GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc, Ŝe AEo AF = oblicz pole kwadatu.. W tójkącie postokątnym wysokość dzieli pzeciwpostokątną na odcinki o długościach i. Oblicz pole tego tójkąta.. Boki kwadatu skócono o 0 %. O ile pocent zmniejszyło się pole kwadatu.. Znajdź pole kwadatu wpisanego w okąg o pomieniu R. 6. Znajdź obwód okęgu opisanego na kwadacie o polu P. 7. Znajdź kąty ombu, któego kótsza pzekątna jest ówna bokowi. 8. Znajdź stosunek pzypostokątnych w tójkącie postokątnym jeŝeli wysokość i śodkowa wychodzące z wiezchołka kąta postego mają do siebie jak 0 : 9. W tapezie, któego podstawy mają długość a i b, miay katów pzy większej podstawie są ówne 0 i. Oblicz pole tego tapezu. 0. Dane są długości b i c dwóch boków tójkąta ostokątnego. Pole tego tójkąta jest ówne bc. Znajdź długość tzeciego boku tego tójkąta.. W tójkącie ównoamiennym ABC, w któym AC = BC kąt pzy podstawie ma miaę α. Znajdź długość wysokości CD jeśli wiadomo, Ŝe AC + CD = d.. Obliczyć długość boków tójkąta postokątnego wiedząc, Ŝe twozą one ciąg aytmetyczny, a pole tego tójkąta jest ówne 6.. W tapezie ównoamiennym o podstawach a =0 i b =0 oaz kącie ostym ównym α=0 połączono odcinkami śodki sąsiednich boków. Obliczyć pole czwookąta, któego bokami są te odcinki. Obliczyć długość boku ombu znając jego pole P i stosunek długości pzekątnych n m.. Obliczyć długość okęgu opisanego na tójkącie o bokach długości,,. 6. Obliczyć długość pomienia okęgu wpisanego w wycinek koła o kącie śodkowym 60 i polu P. 7. W tójkącie postokątnym ABC dane są długości pzypostokątnych AB = a oaz AC = b. Dwusieczna kąta postego pzecina pzeciwpostokątną w punkcie D. Oblicz długość odcinka AD. 8. Obwód ombu jest ówny, a suma pzekątnych 8. Oblicz pole i wysokość ombu. 9. W okęgu o śednicy 0 cm kąt śodkowy α ma miaę0. Obliczyć długość cięciwy odpowiadającej temu kątowi. 0. W tójkąt ównoamienny o obwodzie 6 wpisano okąg, któego pomień jest ówny długości wysokości popowadzonej do podstawy tego tójkąta. Obliczyć długości 7 boków tójkąta.. Obliczyć długość pomienia okęgu opisanego na tójkącie postokątnym, i oaz długość pomienia okęgu wpisanego w ten tójkąt.. Obliczyć pomień okęgu wpisanego w tójkąt ównoboczny o polu P.. W okąg o pomieniu = wpisano tójkąt postokątny, któego jedna postokątna jest dwa azy dłuŝsza od dugiej. Obliczyć obwód tego postokąta.
. Obliczyć stosunek pola sześciokąta foemnego wpisanego w okąg o pomieniu, do pola tójkąta ównobocznego opisanego na tym okęgu.. Dane są tzy okęgi zewnętznie styczne względem siebie i paami styczne. Oblicz długość pomienia okęgu wpisanego w tójkąt wyznaczony pzez śodki tych tzech okęgów, jeŝeli ich pomienie są ówne odpowiednio =, =, =. 6. Oblicz długość kaŝdej z tzech wysokości tójkąta o bokach,, 0. 7. Tapez opisany na okęgu o pomieniu cm ma dwa kąty o miaach 90 i. Znaleźć długość boku tapezu i jego pole. 8. Znaleźć kąty tójkąta o bokach a=, b=, c=. 9. Miay łukowe kątów tójkąta postokątnego twozą ciąg aytmetyczny, a jego obwód jest ówny +. Obliczyć długość boków tójkąta. 0. W tapez ównoamienny o polu S wpisano czwookąt tak, Ŝe jego wiezchołki są śodkami boków tapezu. Jaki to czwookąt? Obliczyć jego pole.. DłuŜsza podstawa tapezu ównoamiennego ma długość cm, a jego obwód jest ówny 8cm. Wyazić pole tego tapezu jako funkcję długości amienia tapezu. Znaleźć dziedzinę i zbió watości tej funkcji.. W tójkącie ównoamiennym o amieniu a=0 cm jeden z kątów ma miaę 0. Obliczyć pole tego tapezu.. Obliczyć pomienie okęgów wpisanego i opisanego na tójkącie ównoamiennym o amieniu długości i kącie i kącie pzy podstawie 6 Π.. W tapezie postokątnym w któy moŝna wpisać okąg. Jedna z podstaw ma długość a, duga zaś jest tzy azy dłuŝsza. Obliczyć pole tapezu.. W tapez moŝna wpisać okąg i opisać na nim okąg. Jedna z podstaw jest ówna a, duga jest cztey azy dłuŝsza. Obliczyć pole tapezu. 6. Suma kątów wewnętznych w wielokącie wypukłym jest ówna 0. Ile wiezchołków ma ten wielokąt? 7. RóŜnica pól dwóch kwadatów jest ówna, a óŝnica obwodów wynosi. Jakie są długości boków tych kwadatów? 8. Długości boków tójkąta postokątnego twozą ciąg aytmetyczny. Jakie są długości pzypostokątnych, jeśli pzeciwpostokątna ma długość 0cm. 9. Kótsza pzypostokątna tójkąta postokątnego ma długość. Jakie są długości pozostałych boków, jeśli długości wszystkich boków twozą ciąg aytmetyczny. 0. W tójkącie postokątnym, któego długość pzypostokątnych są ówne i wpisano koło. Obliczyć pole tego koła.. W tójkącie ABC kąt pzy wiezchołku A jest dwa azy mniejszy od kąta pzy wiezchołku B. Długość boku AB jest ówna c, a długość AC jest ówna b. Oblicz długość a boku BC.. Tapez ównoamienny o polu 8 cm i kącie pzy dłuŝszej podstawie 0 jest opisany na kole. Oblicz pole koła, długość boków tapezu oaz długość jego pzekątnych.. Dwa okęgi o pomieniach =cm, =9m są styczne zewnętznie. Oblicz pole oaz obwód figuy oganiczonej tymi okęgami i ich wspólną styczną zewnętzną. Na okęgu o śednicy d opisano tapez ównoamienny, któego podstawy mają odpowiednio długości a i b. Wykazać, Ŝe ab=d. Pomień okęgu wpisanego w tójkąt postokątny ma długość. Obliczyć długość boków tójkąta, wiedząc, Ŝe są one liczbami całkowitymi. 6. Oblicz pole tójkąta postokątnego o pzeciwpostokątnej 0, jeŝeli wiadomo, Ŝe pomień okęgu wpisanego w ten tójkąt jest ówny.
7. W połowę tójkąta ównobocznego o boku wpisano okąg. Jaka jest odległość śodka okęgu od wiezchołka kąta postego. 8. W tójkącie ównoamiennym napzeciw podstawy o długości leŝy kąt 6 Π. Jaka jest odległość śodka okęgu opisanego na tym tójkącie od jego podstawy? 9. Wysokość tapezu jest ówna, a jedno z amion ma długość. Na tapezie tym moŝna opisać okąg i moŝna w niego wpisać okąg. Oblicz obwód tapezu. 0. Oblicz pole tapezu o podstawach a i b jeŝeli wiadomo, Ŝe na tym tapezie moŝna opisać okąg i moŝna w niego wpisać okąg.. Jedną z podstaw tapezu wpisano w okąg o pomieniu i jest śednicą tego okęgu. Dla jednego z kątów tego tapezu zachodzi związek cosα =. Obliczyć pole tego tapezu.. W tójkącie postokątnym mniejsza pzypostokątna ma długość. Posta pzechodząca pzez wiezchołek kata postego twozy z tą pzypostokątną kąt 0 i dzieli pzeciwpostokątną w stosunku :. Znaleźć pozostałe długości boków tójkąta.. W tójkącie ABC dane są: kąt α =60, bok AB = oaz pomień okęgu opisanego na tójkącie R=. Znaleźć długości pozostałych boków i miay kątów tójkąta.. Dany jest czwookąt o polu ównym 0. Znaleźć pole czwookąta, któego bokami są odcinki łączące śodki boków danego czwookąta.. W tójkącie ABC długość boku AB jest ówna 7, a suma długości pozostałych boków jest ówna. Obliczyć długość boków BC i AC jeśli CAo CB =0 6. Na okęgu o pomieniu opisano tapez ównoamienny, któego jedna z podstaw ma długość. Obliczyć odległości śodka okęgu od wiezchołków tapezu. 7. Tapez ównoamienny ma podstawy długości a i a. Jakiej długości powinna być wysokość tapezu, aby w ten tapez moŝna było wpisać okąg? 8. W okąg o śednicy AB=R wpisano dugi okąg, styczny wewnętznie do danego okęgu w punkcie A. Okąg widać z punktu B pod kątem 60. Obliczyć odległość śodka okęgu wpisanego od punktu B. 9. Wykazać, Ŝe w tójkącie postokątnym o pzypostokątnych a i b oaz pzeciwpostokątnej c, pomień okęgu wpisanego wyaŝa się wzoem = ( a + b c) 60. Sfomułować twiedzenie sinusów i podać tego twiedzenia w pzypadku tójkąta ostokątnego. 6. Sfomułować i udowodnić twiedzenie cosinusów 6. Jaką własność ma czwookąt wpisany w okąg. Udowodnić tę własność. 6. W tójkącie ostokątnym ABC z wiezchołków A i C opuszczono wysokości AD i CE na boki BC i AB. Wykazać, Ŝe te tójkąty ABC i BDE są podobne. 6. Wykazać, Ŝe pole dowolnego czwookąta wypukłego jest ówne połowie iloczynu jego pzekątnych pomnoŝonego pzez sinus kąta między nimi. 6. Podać i udowodnić związek pomiędzy wysokością h tójkąta postokątnego popowadzoną z wiezchołka kata postego oaz odcinkami x i y, na któe wysokość ta dzieli pzeciwpostokątną. 66. Udowodnić, Ŝe suma kątów wewnętznych tójkąta jest ówna katowi półpełnemu. 67. Wykazać, Ŝe jeŝeli kąty tójkąta spełniają waunek sinγ = cosαsinβ to tójkąt jest ównoamienny.
68. Wykazać, Ŝe tójkąt o bokach a, a, 6a (a>0) jest ozwatokątny. 69. Udowodnić wzó na pole tójkąta P = p, gdzie p połowa obwodu tójkąta, - pomień okęgu wpisanego w tójkąt. 70. Sfomułować i udowodnić twiedzenie o podziale boku tójkąta dwusieczną kąta wewnętznego. 7. Dwa okęgi o pomieniach R i R są styczne wewnętznie w punkcie A. Pzez śodek większego okęgu popowadzono cięciwę BC styczną do mniejszego okęgu. Obliczyć pole tójkąta ABC. 7. Z wiezchołka kata ozwatego ombu opuszczono dwie postopadłe do jego boków. Długość kaŝdej postopadłej jest ówna a, zaś odległość między spodkami tych postopadłych jest ówna b. Obliczyć pole ombu. 7. Udowodnić, Ŝe odcinek łączący śodki dwóch boków tójkąta jest ównoległy do tzeciego boku i ówna się jego połowie. 7. Na okęgu opisano tapez ównoamienny o obwodzie p i pzekątnej d. Obliczyć stosunek pomienia okęgu wpisanego do pomienia okęgu opisanego na tym tapezie. 7. Obliczyć pole tapezu ównoamiennego, któego długości podstaw są a =, b =0, zaś pzekątna jest postopadła do amienia tapezu. 76. W tójkącie ABC dane są AB = 7cm, AC = 6cm, BC = cm. Wiadomo, Ŝe boki AC i BC są styczne do okęgu któego śodek leŝy na boku AB. Znaleźć długość pomienia okęgu. 77. Wysokość i śodkowa popowadzone z jednego wiezchołka kąta tójkąta dzielą ten kąt na tzy ówne części. Oblicz kąty tójkąta. 78. Dany jest tójkąt o bokach cm, cm, cm. Obliczyć długości śodkowych tego tójkąta. 79. Dany jest tójkąt ównoamienny o podstawie długości 0cm i kącie postym między amionami. Obliczyć długości śodkowych w tym tójkącie. 80. Pole tójkąta postokątnego jest ówne 6 cm. Wysokość opuszczona z wiezchołka kata postego dzieli kąt posty w skali :. Obliczyć długość śodkowych w tym tójkącie. 8. WykaŜ, Ŝe jeŝeli a, b, c, są długościami boków tójkąta ostokątnego, to a²+ b²+ c² < ( ab+ ac+ bc ). 8. WykaŜ, Ŝe tójkąty, któych wspólnym wiezchołkiem jest punkt pzecięcia się pzekątnych tapezu nie będącego ównoległobokiem, zaś boki pzeciwległe temu wiezchołkowi pokywają się z bokami nieównoległymi tego tapezu, mają ówne pola. 8. Na jednym z boków tójkąta ABC obano punkt D, pzez któy zostały popowadzone dwa odcinki ównoległe do pozostałych boków tego tójkąta. Odcinki te podzieliły tójkątna dwa tójkąty i ównoległobok. Mając dane pola P, P powstałych tójkątów obliczyć pole tójkąta ABC. 8. Na tójkącie, któego kąty mają miay α i β opisano koło. Wyznaczyć stosunek pola tego tójkąta, do pola koła opisanego na tym tójkącie. 8. Pzez punkt pzecięcia się pzekątnych tapezu ABCD o podstawach AB i CD popowadzono postą ównoległą do AD, pzecinającą podstawę AB w punkcie E oaz postą ównoległą do BC pzecinającą tę samą podstawę w punkcie R. Wykazać, Ŝe AE = RB. 86. Wykazać, Ŝe w tójkącie postokątnym suma kwadatów długości śodkowych pzypostokątnych stanowi kwadatu długości pzeciwpostokątnej.
87. Wykazać, Ŝe w tapezie postokątnym óŝnica kwadatów długości pzekątnych jest ówna óŝnicy kwadatów długości podstaw. 88. Ramię tójkąta ównoamiennego ma długość cm. Obliczyć długość podstawy tego tójkąta wiedząc, Ŝe odległość śodka amienia od pzeciwległego wiezchołka podstawy jest ówna cm. 89. Wykazać, Ŝe jeŝeli h jest długością wysokości tójkąta postokątnego opuszczoną na jego pzeciwpostokątną, zaś a i b są długościami pzypostokątnych to = +. h a b 90. Odcinek CB jest cięciwą koła o długości 0. Pze punkt C popowadzono styczną do tego koła, zaś pzez punkt B postą l ównoległą do tej stycznej. Obliczyć długość pomienia koła wiedząc, Ŝe odcinek będący częścią wspólną koła i postej l ma długość. 9. Długości dwóch boków tójkąta są ówne i 0. Wykazać, Ŝe długość odcinka będącego częścią wspólną i dwusiecznej jego kąta wewnętznego zawatego między bokami o podanych długościach jest mniejsza od 0/. 9. Wykazać, Ŝe jeśli α, β, γ są kątami tójkąta i sin²α= sin²β + sin²γ to ten tójkąt jest postokątny. 9. Tapez ównoamienny o pzekątnej cm i obwodzie 6 cm jest opisany na okęgu. Oblicz długość pomienia okęgu wpisanego w tapez i długość pomienia opisanego na nim. 9. Wykazać, Ŝe w tójkącie postokątnym suma pzypostokątnych ówna się sumie śednic koła opisanego na tym tójkącie i wpisanego w ten tójkąt. 9. Wykazać, Ŝę suma odległości dowolnego punktu wewnętznego tójkąta od jego wiezchołków jest większa od polowy obwodu. 96. W tójkącie ównoamiennym suma amienia i wysokości jest ówna k, kąt pzy podstawie ma miaę α. Obliczyć pole tego tójkąta. 97. Tzy okęgi o tym samym pomieniu styczne zewnętznie oganiczają tójkąt kzywoliniowy. Obliczyć pole powiezchni tego tójkąta wiedząc, Ŝe pomień okęgu opisanego na figuze utwozonej z tych tzech okęgów jest ówny R. 98. W kwadat o boku a wpisano dugi kwadat tak, Ŝe boki kwadatu wpisanego twozą π z bokami kwadatu danego odpowiednio kąty 6 i π. Obliczyć pole powiezchni wpisanego kwadatu 99. W tapezie ównoamiennym dane jest amie a i kat osty α. Pzekątna tapezu jest postopadła do amienia. Obliczyć pole tego tapezu. 00. Dany jest omb o boku a i kącie ostym α. Romb ten podzielono na tzy części o ównych polach odcinkami mającymi wspólny początek w wiezchołku kąta ostego i końce w bokach ombu. Wyznaczyć długość tych odcinków. 0. Wyznaczyć liczbę x tak, by w postokącie o bokach i x poste popowadzone z pzeciwległych wiezchołków i postopadłe do pzekątnej dzieliły ja na tzy części o ównych długościach. 0.W kwadat ABCD, któego bok ma długość 0 cm, wpisano kwadat KLMN, któego pole stanowi pola kwadatu ABCD. Obliczyć stosunek długości odcinków, na któe wiezchołki kwadatu KLMN dzielą kaŝdy bo kwadatu ABCD. 0.W tójkącie ównoamiennym między długością a podstawy i długościami h, H dwóch jego nieównych wysokości zachodzi związek: a²= h H. Wyznaczyć cosinus kata pzy podstawie tójkąta.
0.W tójkącie postokątnym długość jednej pzypostokątnej jest dwa azy mniejsza od długości pzeciwpostokątnej. Obliczyć stosunek długości pomienia okęgu opisanego na tym tójkącie do długości okęgu wpisanego w ten tójkąt. 0.W tójkącie ównoamiennym podstawa ma długość a, wysokość zaś opuszczona na tę podstawę ma długość h. W tójkąt wpisano okąg i popowadzono styczną do okęgu ównoległa do podstawy. Obliczyć długość pomienia i długość odcinka stycznej zawatego w tym tójkącie. 06.W tapezie ABCD łączymy śodek M amienia AB z końcami amienia CD. Wykazać, Ŝe pole powstałego tójkąta jest połową pola tapezu. 07.W tapezie ównoamiennym jedna z podstaw jest dwa azy dłuŝsza od dugiej. Pzekątna tapezu jest dwusieczną kąta pzy podstawie. Obliczyć długości boków tapezu wiedząc, Ŝe jego pole jest ówne. 08. W tapezie opisanym na okęgu długości amion są ówne i. Odcinek łączący śodki amion dzieli tapez na części, któych pola są w stosunku :.Obliczyć długości podstaw tapezu. 09. W omb o boku długości a i kacie ostym 60º wpisano okąg. Obliczyć pole postokąta, któego wiezchołkami są punkty styczności okęgu z bokami ombu. 0. Pole tójkąta ównobocznego wpisanego w koło o pomieniu jest ówne. Obliczyć długość wysokości tego tójkąta.. Na okęgu o pomieniu = opisano tójkąt postokątny, któego pzeciwpostokątna ma długość 0. Obliczyć pole i obwód tego tójkąta.. Na okęgu o pomieniu długości opisano tapez postokątny, któego najdłuŝszy bok ma długość. Obliczyć pole tego tapezu..dwa boki tójkąta wpisanego w okąg o pomieniu maja długość oaz. Wyznaczyć długość tzeciego boku.tzy cięciwy okęgu o pomieniu twozą tójkąt w wpisany w ten okąg. Długości dwóch tych cięciw są odpowiednio ówne oaz. Wyznaczyć długość tzeciej cięciwy..w tójkącie ABC, gdzie AC = BC = 0, śodkowe popowadzone z wiezchołków A oaz B pzecinają się pod kątem postym. Obliczyć pole tójkąta. 6.Bok ombu ABCD ma długość. Punkty M i N są śodkami boków odpowiednio AB i AD. Poste zawieające odcinki BN oaz BM są postopadłe, a kąt DAB jest osty. Obliczyć pole ombu. 7.Na kwadacie opisano okąg i w ten sam okąg wpisano okąg. Pole pieścienia kołowego, któego bzeg twozą dwa okęgi jest ówne π. Oblicz pole kwadatu. 8.Na tójkącie ównobocznym opisano okąg i w ten sam tójkąt wpisano okąg. Pole powiezchni pieścienia kołowego, któego bzeg twozą okęgi jest ówne π. Obliczyć pole tójkąta. 9.W kwadat o boku a wpisano dwa okęgi o śodkach leŝących na pzekątnej kwadatu w taki sposób, Ŝe są do siebie styczne i kaŝdy z nich jest styczny do dwóch boków kwadatu. Wyznaczyć pomienie tych okęgów, jeśli ich obwody są w stosunku :. 0.Punkt D dzieli podstawę tójkąta ównobocznego w stosunku :. Obliczyć odległości punktu D od amion tego tójkąta wiedząc, Ŝe podstawa ma długość a..wiezchołek A kwadatu ABCD połączono ze śodkami E i F boków BC i CD, Wykazać, ze odcinki AE i AF dzielą pzekątną BD na tzy ówne części..na okęgu o pomieniu długości opisano tapez ównoamienny, któego jedna z podstaw ma długość.obliczyć odległości śodka okęgu od wiezchołków tapezu. 6
.Na okęgu o pomieniu długości opisano tójkąt postokątny, któego jeden z wiezchołków jest oddalony od śodka okęgu o 6. Obliczyć pole tego tójkąta..w ombie ABCD punkt E dzieli bok AB, gdzie AB = a w stosunku : licząc od wiezchołka a. Obliczyć pole powiezchni tego ombu, jeśli odległość punktu E od pzekątnej AC jest tzy azy mniejsza od odległości punktu E od pzekątnej BD. 7
ODPOWIEDZI. P=6cm. P= 6. P=. 6%. P=R 6. α=π 7. 60 0 i 0 0 8. lub ( 9. P= )( a b ) 0. a= b + c bc d sinα. h= + sinα., i. P=. a= P( m + n) mn 6. α = Π P 6. = Π ab 7. AD= a + b 7 8. P=7, h= 9. a= 0 0. 6, 0, 0. R= 6, =. = P 6 +. L=. 0 7. = 7 8
0 0 6.,, 7. P = 0(+ )cm 8. α = β =0 0 γ =0 0 9.,, s 0. Romb,. P = ( x) x, x (, ) P(x) (0,7 >. P = cm. R =, =. P = a. P = a 6. Pięć 7. i 8. 6cm i 8cm 9. +, ( + ) 0. P = Π c + b c. a =. P=Πcm, a=+ b=- c = c = cm, p= cm. P= ( Π) cm, L = (Π + 6 ) cm..,, 6. P = 6 7. cm 8. 9. L = 8 a + b 0. P= ab 60. P = 86. b = c = 7. a =, b = ( + ) γ = ac cos Π β = ac cos. P =0. ( BC = AC = 8) v ( BC = 8 AC = ) 6.x = 7. h = a, y = 9
8. R 9. = ( a + b c) 60. 6. 6. 6. 6.P= 6. 66. 67. 68. 69. 70. d d sinα 7. R a 7., a > b b a b 7. d p 7. =, d > p > 0 R dp 7. 7 9 76. R = 6cm 77. 90, 60, 0 78., 7, 79. CD =cm AE = BF = 0 80. 9 cm, cm, cm 8. - 8. - 8. P = P + P P + P P 8. = P π sinα sinβ sin (α+ β) o 8. 86. 87. - 88. 0 89. - 90. = 9. 9. - 0 9. = R= 0
9. 9. - sin α 96. P = k ( + sinα) ( π ) 97. P = R 98. P= a²( )² a sin α 99. P = cosα 00. Odcinki są ównej długości a + cosα 0. JeŜeli 0<x< to x =, jeŝeli x> to x = 0. (+ ): 0. cos α = R 0. = + 0. a a + h h a a( = d = 06. - 07. ; ; ; ; 08. 7; a 09. P= 6 0. h=. P= ; L= 6. P= ². 0 6 6 6.. P= 6. P= 7 7. P= 8. P= lub lub 0 + 6 6 + 6 ( ) 9. = a R = a( a a 0. d =, d = 6. -.. P=, ². P= a ² a ) + h h a)