Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych

Transkrypt

1 Modelowanie absorbcji cząsteczek LDL w ściankach naczyń krwionośnych

2 Plan prezentacji Co to jest LDL? 1 Budowa naczynia krwionośnego 2 Przykładowe wyniki 3 Mechanizmy wnikania blaszki miażdżycowej w ścianki naczyń 4 Schemat symulacji 5 Różne stężenie LDL w zależności od naprężenia ścinającego 6 Podsumowanie 7

3 Co to jest LDL? 1 2 Low Density Lipoprotein -Lipoproteina niskiej gęstości Jest to główny transporter cholesterolu z wątroby do innych narządów 3 Tzw. zły cholesterol 4 HDL dobry cholesterol

4 Miażdżyca W początkowym stadium powodowana przez gromadzenie się makromolekuł LDL w ściance naczynia Nie jest do końca wyjaśnione, czy miażdżyca powodowana jest anomalnym gromadzeniem się LDL w intimie, czy jest to skutek choroby

5 Miażdżyca W początkowym stadium powodowana przez gromadzenie się makromolekuł LDL w ściance naczynia Nie jest do końca wyjaśnione, czy miażdżyca powodowana jest anomalnym gromadzeniem się LDL w intimie, czy jest to skutek choroby

6 Budowa naczynia krwionośnego

7 Matematyczne modelowanie transportu w ściance naczynia Model wielowarstwowy cztery warstwy Warstwy to makroskopowo jednolite ośrodki porowate

8 Główne warstwy tętnicy Tętnica Światło naczynia Endothelium Intima IEL Media

9 Główne warstwy tętnicy Endothelium Pojedyncza warstwa komórek śródbłonka wydłużonych w kierunku przepływu krwi Komórki te są ze sobą połączone

10 Główne warstwy tętnicy Endothelium Pojedyncza warstwa komórek śródbłonka wydłużonych w kierunku przepływu krwi Komórki te są ze sobą połączone

11 Główne warstwy tętnicy Endothelium Pojedyncza warstwa komórek śródbłonka wydłużonych w kierunku przepływu krwi Komórki te są ze sobą połączone

12 Główne warstwy tętnicy Intima składała się głównie z włókien kolagenowych i proteoglikanów.

13 Główne warstwy tętnicy Intima składała się głównie z włókien kolagenowych i proteoglikanów.

14 Główne warstwy tętnicy Internal Elastic Lamina nieprzepuszczalna elastyczna tkanka z porami fenestralnymi,

15 Główne warstwy tętnicy Internal Elastic Lamina nieprzepuszczalna elastyczna tkanka z porami fenestralnymi,

16 Główne warstwy tętnicy Media składa się z naprzemiennych warstw komórek mięśni gładkich i elastycznej tkanki łącznej,

17 Główne warstwy tętnicy Media składa się z naprzemiennych warstw komórek mięśni gładkich i elastycznej tkanki łącznej,

18 ENDOTHELIUM I IEL Modele matematyczne Biologiczne membrany porowate Istotne są współczynniki filtracyjnego i osmotycznego odbicia Staverman a

19 Modele matematyczne INTIMA I MEDIA Makroskopowo jednorodne ośrodki porowate Ośrodki są selektywnie przepuszczalne dla LDL co odzwierciedlone jest przez współczynniki Staverman a Pobieranie składników przez komórki mięśni gładkich w medii może być przybliżone jako nieodwracalna reakcja pierwszego rzędu.

20 Stężenie LDL otrzymane z symulacji

21 Stężenie LDL otrzymane z symulacji

22 Mechanizmy wnikania Zależności akumulacji blaszki miażdżycowej od parametrów przepływu nie są obecnie do końca wyjaśnione Koncentracja LDL wzrasta tam, gdzie jest małe naprężenie ścinające WSS. Koncentracja ta wzrasta również tam, gdzie obserwowane są duże zmiany WSS i powierzchniowej koncentracji LDL Może być to związane z powstawaniem tzw. leaky cell junctions, które pozwalają LDL na wnikanie do endothelium lub nawet wiążą się ze zniszczeniami w endothelium

23 Schemat postępowania Segmentacja danych uzyskanych z rezonansu magnetycznego Obliczenie parametrów przepływu, w tym WSS Symulacja przepływu z wykorzystaniem pakietu Sage lub OpenFoam Symulacja osadzania blaszki miażdżycowej w istotnych miejscach naczynia krwionośnego

24 Przykład tętniak aorty brzusznej Naprężenie ścinające w przykładowej aorcie

25 Przykład tętniak aorty brzusznej WSS = 1.0

26 Przykład tętniak aorty brzusznej

27 Przykład tętniak aorty brzusznej WSS = 0.1

28 Przykład tętniak aorty brzusznej

29 Przykład tętniak aorty brzusznej WSS = 10

30 Przykład tętniak aorty brzusznej

31 Podsumowanie Obecny model jest bardzo uproszczony i wymaga dalszej rozbudowy W przyszłości symulacje przepływu krwi i wnikania makromolekuł w ścianki naczyń to: Odpowiedzi na wiele interesujących pytań Ważne narzędzie diagnostyczne

32 Dziękuję za uwagę

33 Endothelium i IEL Model matematyczny ε porowatość K przepuszczalność hydrauliczna ρ gęstość μ efektywna lepkość dynamiczna ośrodka σ f współczynnik odbicia filtracyjnego Stavermana σ d współczynnik odbicia osmotycznego Stavermana V wektor prędkości p ciśnienie hydrauliczne R u - stała gazowa T temperatura c stężenie D e efektywny współczynnik dyfuzji

34 Intima i media Model matematyczny k współczynnik reakcji

35 Parametry Endothelium intima IEL media σ L [μm]

36 Stochastyczne rozwiązanie równania na transport The Random Walk Particle Tracking (RWPT) polega na modelowaniu transportu wykorzystując dużą ilość cząstek (Ujęcie Lagrange a) Pozwala łączyć transport adwekcyjny, dyspersyjny i dyfuzyjny. Problem w przypadku nieciągłości współczynnika dyfuzji

37 Równanie transportu

38

39 Proces Wienera

40 Całka statystyczna

41 Interpretacja Ito

42 Interpretacja Stratonowicza

43 Związek między (I) i (S)

44 Związek między (I) i (S)

45 Związek między (I) i (S)

46 Związek między (I) i (S)

47 Związek między (I) i (S)

48 Związek między (I) i (S)

49 SDE w ujęciu Stratonowicza

50 Backward Ito Pozwala uniknąć problemu z nieciągłym współczynnikiem dyfuzji. B obliczane jest w punkcie X(t k ), czyli:

51 Backward Ito

52 Backward Ito

53 Backward Ito

54 Backward Ito

55 Backward Ito

56 Backward Ito

57 SDE w ujęciu backward Ito

58 Problem z nieciągłością współczynnika dyfuzji

59 Błądzenie przypadkowe - Metoda Monte Carlo

60 Generalized Backward Ito

61 Warunki brzegowe C(x=0)=1 C(x=214)=0 Pochłanianie w warstwie medii z prawdopodobieństwem k

62 Implementacja z wykorzystaniem CUDY Każda cząstka reprezentowana jest przez osobny wątek Każda cząstka ma 2 stany żywy (a=true) i uśpiony (a=false) Obszar [0,L[0]] to obszar, w którym zadajemy stałe stężenie c=1

63 Algorytm n1, n2 zmienne losowe o rozkładzie normalnym w1, w2 zmienna losowa o rozkładzie ciągłym a czy cząstka jest żywa if(x>l, w<k): a=false else if (0 x<l[0]): x=l[0]*w1 if(a): Obliczamy Y(n1) Obliczamy nowe położenie X(n1) Zliczamy wszystkie cząstki w przedziale 0 x<l[0] Budzenie lub usypianie odpowiedniej ilości cząstek

64 Wyniki działania algorytmu

65 Wyniki działania algorytmu

66 Wyniki działania algorytmu

67 Wyniki działania algorytmu

68 Rozwiązanie numeryczny Metodą różnic skończonych szukamy rozwiązania równania dla przypadku jednowymiarowego:

69 Różnice skończone 1. Dzięki rozwinięciu funkcji w szereg Taylor a możemy wyprowadzić przybliżone wzory na pierwszą i drugą pochodną:

70 Różnice skończone

71 Układ równań 5. Konstruujemy układ równań -> 1 równanie z każdego punktu, a z niego macierz rzadką

72 Warunki brzegowe

73 Wnętrza obszarów

74 Ciągłość strumienia

75 Dziękuję za uwagę

76 Przybliżone rozwiązanie analityczne Uproszczenie problemu do zagadnienia jednowymiaro wego Zaniedbanie krzywizny Przybliżone rozwiązanie analityczne

77 Intima IEL i Endothelium Liczba Reynoldsa Liczba Darcy

78 Intima IEL i Endothelium Liczba Peclet a

79 Intima IEL i Endothelium

80 Media

81 Warunki brzegowe Warunek brzegowy na ciśnienie: Warunki na stężenie Warunek na strumień między obszarami

82 Rozwiązania A wykorzystując równanie charakterystyczne:

83

84 Forma macierzowa