AUTOREFERAT. Łukasz Machura. 23 kwietnia Dane osobowe 2

Transkrypt

1 AUTOREFERAT Łukasz Machura 23 kwietnia 2016 Spis treści 1 Dane osobowe 2 2 Wykształcenie, posiadane dyplomy, stopnie naukowe/ artystyczne z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej 2 3 Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych i artystycznych Staże w zagranicznych lub krajowych ośrodkach naukowych lub akademickich Wskazanie osiągnięcia wynikającego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) Tytuł osiągnięcia naukowego Publikacje wchodzące w skład osiągnięcia naukowego Cel naukowy badań Omówienie celu naukowego oraz wyników prac Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo badawczych Dynamika motorów Browna Własności prądów trwałych płynących w mezoskopowych pierścieniach nienadprzewodzących Numeryczna analiza danych medycznych Działalność naukowa Dane bibliometryczne Kierowanie i udział w projektach badawczych Konferencje i referaty Współpraca naukowa Recenzent w czasopismach Nagrody i wyróżnienia Działalność dydaktyczna i organizacyjna Opieka naukowa Działalność dydaktyczna Autorstwo podręczników i skryptów dla studentów Działalność organizacyjna Działalność popularyzująca naukę Pełna lista publikacji naukowych Preprinty

2 1 Dane osobowe imię i nazwisko Łukasz Machura narodowość polska stanowisko i stopień naukowy adiunkt, doktor zatrudnienie Zakład Fizyki Teoretycznej Instytut Fizyki Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach 2 Wykształcenie, posiadane dyplomy, stopnie naukowe/ artystyczne z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej 2001 r. stopień magistra fizyki w zakresie fizyki teoretycznej uzyskany na Wydziale Matematyki, Fizyki i Chemii UŚ po ukończeniu studiów magisterskich w latach praca magisterska zatytułowana Efekty inercyjne w Brownowskich zębatkach z szumem dychotomicznym wykonana w Zakładzie Fizyki Teoretycznej Instytutu Fizyki Uniwersytetu Śląskiego pod kierunkiem prof. dr. hab. Jerzego Łuczki 2006 r. stopień doktora nauk fizycznych uzyskany w Instytucie Fizyki Uniwersytetu w Augsburgu w Niemczech praca doktorska zatytuowana Performance of Brownian Motors wykonana w Lehrstuhl für Theoretische Physik I, Institute für Physik Uniwersytetu w Augsburgu pod kierunkiem prof. dr. dr. h.c. mult. Petera Hänggiego 3 Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych i artystycznych 2006 r. postdoc, Instytut Fizyki, Uniwersytet w Augsburgu, Niemcy 2006 r r. asystent, Instytut Fizyki, Uniwersytet Śląski, Katowice 2007 r. adiunkt, Instytut Fizyki, Uniwersytet Śląski, Katowice 3.1 Staże w zagranicznych lub krajowych ośrodkach naukowych lub akademickich r. studia doktorskie, Lehrstuhl für Theoretische Physik I, Uniwersytet w Augsburgu, Niemcy 2012 r. pobyt naukowy, Department of Condensed Matter Physics, Uniwersytet Karola w Pradze, Republika Czeska 2012 r. pobyt naukowy, Department of Physics, Uniwersytet Bar-Ilan, Ramat Gan, Izrael 2013, 2014 and 2015 r. pobyty naukowe, Theoretical Systems Biology Group, Imperial College London, Wielka Brytania 2

3 4 Wskazanie osiągnięcia wynikającego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) Zgłaszanym przeze mnie osiągnięciem naukowym jest monotematyczny cykl 9 prac, które powstały po uzyskaniu stopnia doktora nauk fizycznych. Wszystkie prace zostały opublikowane w czasopismach znajdujących się w bazie Journal Citation Report (JCR). 4.1 Tytuł osiągnięcia naukowego Kształtowanie własności transportu w klasycznych układach periodycznych za pomocą zewnętrznej siły okresowej 4.2 Publikacje wchodzące w skład osiągnięcia naukowego H1 Forcing inertial Brownian motors: efficiency and negative differential mobility M. Kostur, Ł. Machura, P. Hänggi, J. Łuczka, P. Talkner Physica A (2006) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia tych symulacji, a także wykonania i interpretacji wyników badań numerycznych. W dalszej kolejności dotyczył przygotowania wszystkich rysunków oraz wstępnej wersji publikacji. Wkład ten oceniam na 50%. H2 Transport Characteristics of Molecular Motors Ł. Machura, M. Kostur, J. Łuczka biosystems (2008) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia tych symulacji, a także wykonania i interpretacji wyników badań numerycznych. Dotyczył również przygotowania wszystkich rysunków oraz prac merytorycznych przy końcowej wersji manuskryptu. Wkład ten oceniam na 40%. H3 Negative conductances of Josephson junctions: Voltage fluctuations and energetics Ł. Machura, M. Kostur, P. Talkner, P. Hänggi, J. Łuczka Phys. E (2010) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia tych symulacji, a także wykonania i interpretacji wyników badań numerycznych. W dalszej kolejności dotyczył wykonania wszystkich rysunków użytych w publikacji oraz prac edytorskich przy końcowej wersji manuskryptu. Wkład ten oceniam na 40%. H4 Inertial Brownian motors driven by biharmonic signals Ł. Machura, M. Kostur, J. Łuczka Chemical Physics (2010) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia tych symulacji, a także wykonania i interpretacji wyników badań numerycznych. W dalszej kolejności dotyczył wykonania wszystkich rysunków użytych w publikacji, przygotowania wstępnej części manuskryptu oraz prac edytorskich i merytorycznych przy końcowej wersji publikacji. Wkład ten oceniam na 60%. 3

4 H5 Transport driven by biharmonic forces: impact of correlated thermal noise Ł. Machura, J. Łuczka Phys. Rev. E (2010) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia tych symulacji, a także wykonania i interpretacji wyników badań numerycznych. W dalszej kolejności dotyczył wykonania wszystkich rysunków użytych w publikacji, przygotowania wstępnej części manuskryptu oraz prac edytorskich i merytorycznych przy końcowej wersji publikacji. Wkład ten oceniam na 60%. H6 Control of transport characteristics in two coupled Josephson junctions J. Spiechowicz, Ł. Machura, M. Kostur, J. Łuczka Acta Phys. Polon. B 43, 1203 (2012) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia tych symulacji, a także wykonania i interpretacji wyników badań numerycznych. W dalszej kolejności dotyczył wykonania rysunków 2-6 użytych w publikacji, przygotowania wstępnej części manuskryptu oraz prac edytorskich i merytorycznych przy końcowej wersji publikacji. Wkład ten oceniam na 40%. H7 Two coupled Josephson junctions: dc voltage controlled by biharmonic current Ł. Machura, J. Spiechowicz, M. Kostur, J. Łuczka J. Phys. Condens. Matter 24, (2012) impact factor do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia około połowy tych symulacji, a także wykonania i interpretacji większości badań numerycznych. W dalszej kolejności dotyczył wykonania rysunków 2-7 użytych w publikacji, przygotowania wstępnej części manuskryptu oraz prac edytorskich i merytorycznych przy końcowej wersji publikacji. Wkład ten oceniam na 40%. H8 Directed transport in coupled noisy Josephson junctions controlled via ac signals Ł. Machura, J. Spiechowicz, J. Łuczka Phys. Scr. 151, (2012) impact factor Wkład habilitanta do pracy polegał na pomocy w przygotowaniu programu komputerowego wykorzystanego do symulacji równań ruchu, przeprowadzenia części tych symulacji, a także wykonania i interpretacji części wyników badań numerycznych. Część badań numerycznych o których mowa dotyczyła głównie przygotowania i interpretacji płaszczyzn 2D opisujących napięcia na obu złączach w zależności od zmiennych sterujących prądami. W dalszej kolejności dotyczył wykonania rysunku 2 użytego w publikacji, przygotowania manuskryptu, nadzoru nad badaniami numerycznymi oraz końcowych prac edytorskich i merytorycznych. Wkład ten oceniam na 35%. H9 GPU accelerated Monte Carlo simulation of Brownian motors dynamics with CUDA J. Spiechowicz, M. Kostur, Ł. Machura Comput. Phys. Commun. 191, 140 (2015) impact factor Wkład habilitanta do pracy polegał na przygotowaniu tej części programów komputerowych, które użyte zostały do badania prędkości algorytmów randomizowanych dla procesorów CPU a następnie przeprowadzenia tych badań. W dalszej kolejności dotyczył prac nad interpretacją wyników pełnych badań numerycznych dla CPU i GPU. W fazie końcowej dotyczył przygotowania manuskryptu, rysunku numer 2 oraz prac końcowych nad publikacją. Wkład ten oceniam na 40%. Sumaryczny impact factor dla wymienionych prac [H1 H9]:

5 4.3 Cel naukowy badań Prace wymienione w podrozdziale 4.2 składają się na monotematyczny cykl publikacji Kształtowanie własności transportu w klasycznych układach periodycznych za pomocą zewnętrznej siły okresowej stanowiących podstawę do ubiegania się o stopień naukowy doktora habilitowanego. Prace te opublikowane zostały we współpracy z pracownikami Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach (J. Łuczka, M. Kostur oraz J. Spiechowicz) oraz Uniwersytetu w Augsburgu (P. Hänggi oraz P. Talkner). Zrozumienie zjawisk transportu w mikro oraz nano skali, modelowanych metodami klasycznej fizyki statystycznej, ich charakterystyka oraz identyfikacja ich różnorakich stabilnych stanów dynamicznych jest głównym celem cyklu prac ujętych w monografii. W szczególności, na podstawie opublikowanych wyników, odpowiadamy na następujące pytania: W jaki sposób zewnętrzna, deterministyczna siła periodyczna modyfikuje wybrane charakterystyki transportu. Szczegónej uwagi wymaga stytuacja, gdy siła taka generuje dynamikę chaotyczną układu, co jakkolwiek utrudnia analizę, stanowi przyczynek do wystąpienia nietrywialnych zjawisk fizycznych takich jak np. absolutna ujemna ruchliwość [H1 H9], jaki jest wpływ otoczenia (środowiska, termostatu, temperatury), z którym oddziałuje układ dynamiczny. Środowisko możemy opisywać zarówno za pomoca potencjału (energii potencjalnej), który efektywnie modyfikuje analizowaną dynamikę, jak również poprzez równowagowe lub nierównowagowe fluktuacje termiczne modelujące oddziaływanie układu z termostatem, a odgrywające kluczową rolę w mikroświecie [H1,H2,H5], jaki jest wpływ sprzężenia pomiędzy dwoma podukładami (cząstkami) na dynamikę i własności transportowe układu złożonego [H6 H8]. 4.4 Omówienie celu naukowego oraz wyników prac Klasyczne układy dynamiczne odgrywają kluczową rolę w opisie zjawisk w wielu dziedzinach współczesnej nauki, poczynając od matematyki stosowanej, chemii, biologii, ekonomii wraz z analizą rynków finansowych, aż po szeroko rozuminą fizykę. W szczególnosci wykorzystywane są przy eksploracji licznych interdyscyplinarnych obszarów badawczych, w tym ekonofizyki, biofizyki czy biochemii. W makro skali, której własności, poprzez codzienne obserwacje, są dla nas częstokroć intuicyjne, transport z reguły rozumiemy jako przemieszczanie lub przepływ cząstek, masy, ładunku, energii czy ciepła. W duchu fizyki klasycznej przemieszczenie to następuje pod wpływem przyłożonych sił. Dla przykładu, popychając filiżankę postawioną na stoliku w lewą stronę spodziewamy się, zgodnie z naszą intuicją, że filiżanka ta ulegnie przesunięciu właśnie w lewo. Przechodząc do mikroświata może się okazać, że nasze wyobrażenia i intuicja kompletnie nie zdają egzaminu nawet wtedy, gdy badane zjawiska nie wymagają zastosowania opisu kwantowego. Na przykład ruch w środowisku lepkim w mikro-skali może zasadniczo różnić się od tego w makro-skali [Purcell, 1977], a mikro filiżanka będzie przesuwać się w prawo, mimo że przyłożona do niej siła działa w lewo. Również wszechobecne fluktuacje, zarówno równowagowe jak i te nierównowagowe, mogą mieć, i najczęściej mają, bardzo istotny wpływ na własności ruchu mikro czy nano-obiektów [Luczka et al., 1995]. Badania te mają też charakter badań podstawowych. Przyczyniają się do wyjaśnienia wielu nieintuicyjnych zjawisk transportu w Naturze; pozwalają zrozumieć, dlaczego pewne zjawiska są realizowane. Dla przykładu, prymitywne modele mechanizmu zębatkowo-zapadkowego stanowią dzisiaj podstawę zrozumienia działania motorów biologicznych takich jak kinezyna czy dyneina i odpowiadają na pytanie, dlaczego mikrotubula jest zbudowana nie z jednego ale dwóch rodzajów białek. Transport w mikroskali W ramach prezentowanej monografii badamy dwie klasy zagadnień. Pierwsza z nich dotyczy kontrolowania (manipulowania) własnościami pełnej dynamiki pojedynczej cząstki (układu, np. złącza Josephsona) opisanej równaniem stochastycznym Newtona-Langevina mẍ(t) = F(ẋ, x, t). (1) 5

6 [H1] [H2] [H3-H9] V(x) x Rysunek 1: Trzy różne kształty analizowanych przestrzennie periodycznych potencjałów. Legenda odnosi się do numeru publikacji, w których użyte zostały odpowiednie funkcje Dla publikacji H1 c 1 = 0, 245, c2 = 0, 04, dla H2 c 1 = 0, 25, c2 = 0, co daje wynikową asymetrię potencjału V (x). W pozostałych przypadkach c 1 = c 2 = 0 implikując zachowaną symetrię potencjału. Druga klasa zagadnień dotyczy przetłumionej dynamiki układu dwóch sprzężonych podukładów (cząstek) opisanych układem stochastycznych równań różniczkowych x 1 = F 1 (x 1, x 2, t), (2) x 2 = F 2 (x 1, x 2, t). Wstępnie ograniczymy się do przypadku dynamiki pojedynczego punktu materialnego w celu scharakteryzowania własności sił rozważanych w pracach tworzących niniejszą monografię. Na składnik F, reprezentujący w równaniu (1) siłę: F = γẋ V (x) + F + G(t) + Γ(t), (3) składa się siła tarcia, charakteryzowana współczynnikiem tarcia γ, potencjał V (x), stała siłę F, zależną od czasu siłę G(t) oraz czynnik losowy Γ(t). W przypadku, gdy w (1) występuje siła losowa mówić będziemy o równaniu Langevina [Langevin, 1908] dla określenia równań (1) i (2) w dalszej części monografii, gdyż we wszystkich pracach stanowiących prezentowane osiągnięcie mamy do czynienia właśnie z taką sytuacją. Opis za pomocą równań Langevina, a w zasadzie występujący w nich czynnik losowy, implikuje opis statystyczny, w którym analiza pojedynczej realizacji (trajektorii) cząstki może nie wystarczać do jakościowego opisu transportu. Jest to zagadnienie powiązane z ergodycznością układu. Dlatego też będziemy zajmować się zespołem cząstek, których dynamika posiada własność losowości, a które umownie nazywamy cząstkami Browna. Omawiając dalej własności cząstki Browna zawsze będziemy mieć na myśli statystyczne własności zespołu cząstek. Szczególną klasę stanowią potencjały V (x) przestrzennie periodyczne [Luczka et al., 1995]. Periodyczność oznacza, że istnieje takie L, że V (x) = V (x + L). Używamy tu cudzysłowu ponieważ czasami periodyczność nie jest przestrzenna w dosłownym znaczeniu tego słowa (jak np. dla złącza Josephsona). Dalej będziemy rozważać funkcje o co najwyżej trzech składowych harmonicznych V (x) = V 0 [sin(2πx) + c 1 sin(4πx) + c 2 sin(6πx)], (4) gdzie V 0 to czynnik normalizacyjny, zaś parametrami c 1 i c 2 można modyfikować kształt potencjału. Zauważmy, że dla odpowiednio dobranych wartości parametrów, symetria odbicia przestrzennego dla potencjału może zostać złamana, w wyniku czego otrzymamy niesymetryczny potencjał określany jako zębatka 1. Trzy analizowane kształty potencjałów, dwa typu zębatka oraz jeden symetryczny przedstawione są na rysunku 1. Wartości parametrów charakteryzujące właściwe kształty potencjałów można znaleźć w opisie rysunku 1 oraz poniżej, podczas omówienia poszczególnych prac. 1 ang. ratchet czyli mechanizm zębatkowo zapadkowy, zębatka, zapadka, koło zapadkowe 6

7 Dynamika cząstki Browna zależy w dużej mierze od zewnętrznych sił przyłożonych do układu. Gdy rozważamy wpływ stałej siły F (prace [H1], [H3] i [H6]), będziemy mieli do czynienia z sytuacją przedstawioną na lewym panelu rysunku 2 opisaną wzorem [V (x) F x]. W przypadku, gdy rozpatrujemy symetryczną postać potencjału V (x), będzie istnieć pewna krytyczna wartość ±F C, powyżej (poniżej) której układ nie będzie posiadał barier potencjału i energia aktywacji cząstki będzie wynosić zero. Dla przestrzennie periodycznych potencjałów V (x) o złamanej symetrii odbicia musimy takie wartości krytyczne zdefiniować dwie: ujemną F C oraz dodatnią F +C. Energia aktywacji będzie wtedy znikać dla sił większych od F +C i mniejszych od F C. W takim przypadku będzie istniało tylko rozwiązanie, dla którego średnia prędkość cząstki Browna będzie niezerowa (jest to tzw. running solution). Dla stałych sił F o wartościach z zakresu (F C, F +C ) w układzie będą dwa możliwe rozwiązania o niezerowej oraz o zerowej prędkości średniej (locked solution). Przykładając zależną od czasu siłę G(t) (prace [H1 H8]) będziemy rozpatrywać układ, w którym cząstka odczuwa inny potencjał efektywny w każdej chwili czasu t. Rozważana siła okresowa posiadać może kilka składowych harmonicznych. W pracach [H1 H8] rozpatrujemy wpływ co najwyżej dwóch składowych harmonicznych G(t) = a[cos(ωt) + ε cos(ωt + θ)], (5) które zawierają 5 parametrów (a, ε, θ, ω, Ω). Odpowiednie harmoniki mogą posiadać w ogólności. 0 V(x,t)... π 2 ω 3 π 2 ω. x π ω Rysunek 2: Schematyczny rysunek układu (3) z potencjałem (4) modyfikowanym działaniem stałej siły (lewy panel) oraz siły periodycznej w czasie (5) (prawy panel). dowolne i niezależne od siebie częstotliwości ω i Ω. Dodatkowo druga składowa może być przesunięta w fazie o θ. W prawej części rysunku 2 przedstawiona jest sytuacja dla ε = 0. Warto nadmienić, że dla symetrycznego potencjału (4) i odpowiednio dobranych parametrów siły G możemy uzyskać podobny efekt zębatkowy [Magnasco, 1993] jak dla potencjału z przestrzennie złamaną symetrią [Hänggi et al., 2005, Machura et al., 2010]. Tego typu siły mające wpływ na dynamikę cząstek Browna w potencjałach periodycznych identyfikowano między innymi w układach przetłumionych [Borromeo and Marchesoni, 2005, Borromeo et al., 2005, Borromeo and Marchesoni, 2006], tłumionych [Breymayer, 1984], dla dynamiki zimnych atomów [Renzoni, 2005, Denz et al., 2010] oraz w złączach Josephsona [Monaco, 1990]. Jeżeli dynamikę w układach przestrzennie periodycznych wyrazimy w języku cząstek Browna, to najważniejszą statystyczną charakterystyką opisującą własności transportowe badanego układu będzie prędkość średnia, zdefiniowana jako v = 1 T T 0 dt v(t). (6) Średnia po lewej oznacza zarówno średnią liczoną po okresie T = 2π/ω zewnętrznej siły G(t), po warunkach początkowych {x 0, v 0 } jak i po wszystkich realizacjach procesu losowego (średnia po zespole statystycznym). Średnia po prawej stronie równania (6) oznacza uśrednianie po zespole. W przypadku, gdy układ jest ergodyczny wystarczy badać średnią liczoną po czasie albo po zespole statystycznym. W dalszej części używać będziemy znaków mając na myśli wszystkie powyższe średnie. Dla układu napędzanego siłami okresowymi w czasie, prędkość średnia w granicy długich czasów może być rozwinięta w szereg składników harmonicznych lim Ẋ = v + v ω(t) + v 2ω (t) +..., (7) t 7

8 gdzie v to prędkość niezależna od czasu, a prędkości v nω, n = 1, 2,... są funkcjami periodycznymi (których wartość średnia po okresie T wynosi zero). Wynika z tego, że opierając się na analizie prędkości średniej po długim czasie, uśrednionej po okresie siły zewnętrznej, będziemy analizować tylko komponent stały v. Z tego względu można wymiennie używać obu pojęć v oraz v, mając na uwadze równość obu charakterystyk po formalnym wykonaniu odpowiedniego średniowania po okresie T. Jak nadmieniono, dla układów ergodycznych nie ma znaczenia, którą z tych średnich bierzemy pod uwagę. W ogólności jednak rozważane układy nie muszą być ergodyczne. Dzieje się tak choćby w przypadku braku szumu termicznego czy występowania specyficznych nierównowagowych szumów ξ(t). Prędkość średnia powie nam o tym, jak szybko lub też po jakim średnim czasie cząstka Browna przebędzie odległość od punktu A do punktu B cf. schematyczny rysunek 3. Należy odnotować, że w większości prac badających dynamikę struktur charakteryzowanych poprzez równania (1 5) uwaga autorów skupia się tylko na tym aspekcie transportu. A B Rysunek 3: Podstawowa charakterystyka dynamiki cząstek w układach przestrzennie periodycznych, prędkość średnia, mówi nam jak po jakim czasie statystyczna cząstka Browna przemieści się z punktu A do punktu B. Analiza wyłącznie prędkości średniej nie odpowie nam jednak na pytanie, jak dany zespół statystyczny cząstek Browna zachowuje się przemieszczając się z punktu do punktu, a jedynie da nam pogląd na to, po jakim średnim czasie cząstki dotrą do danego położenia. Oczywiście część z nich dotrze tam dużo wcześniej, a część dużo później, niż owa hipotetyczna, statystyczna średnia cząstka. Spójrzmy na lewy panel rysunku 4. Przedstawiono tam dwie grupy trajektorii realizacji pewnego procesu stochastycznego. Pomimo tego, że średnia prędkość na górnym i dolnym wykresie jest taka sama, to wyraźnie widać, że ostatnia czerwona cząstka (A) przybędzie na miejsce docelowe x 1 wcześniej niż ostatnia niebieska cząstka (B). Można powiedzieć, że czerwone cząstki (A) przemieszczają się razem, bardziej koherentnie. Rozprzestrzenianie się cząstek z upływem czasu może być scharakte- x x A x C x 1 0 x B x D x 1 0 t t 1 t Rysunek 4: Schematyczne trajektorie reprezentujące jakość transportu oraz jego efektywność. ryzowane poprzez współczynnik efektywnej dyfuzji D eff = lim t x 2 (t) x(t) 2 2t (8) 8

9 oraz liczbę Péclet-a [Linke et al., 2005, Machura et al., 2005] P e = l v D eff, (9) która łączy ze sobą dwie charakterystyki transportu prędkość średnią oraz wcześniej zdefiniowany współczynnik efektywnej dyfuzji. Dla niskich wartości współczynnika D eff rozrzut cząstek w danej chwili t jest niewielki, cząstki poruszają się razem, bardziej koherentnie, a ukierunkowany transport jest bardziej efektywny. Dla ustalonej długości charakterystycznej, w rozważanych przypadkach jest to okres L potencjału V (x), liczba Péclet-a przyjmuje duże wartości dla trzech przypadków: (i) dużej prędkości średniej, (ii) niskich wartości współczynnika dyfuzji, lub (iii) obu wymienionych przypadków razem. Oznacza to, że wysokie wartości współczynnika Péclet-a będą charakteryzować koherentny transport o dużej efektywności, a niskie wartości P e będą opisywać mało efektywny transport, gdzie albo cząstki poruszają się z małą prędkością, albo rozrzut trajektorii jest duży. Spójrzmy teraz na prawy panel rysunku 4. Widzimy tam dwie trajektorie (C) i (D) wyraźnie różniące się od siebie. Ponownie, średnia prędkość w dużym przedziale czasu obu cząstek jest podobna, jednak cząstka (C) przemieszcza się w wybranym kierunku niemal bez zakłóceń, natomiast dynamika cząstki (D) podzielona jest na fazy, gdy oscyluje ona wokół jakiegoś wybranego miejsca, po czym następuje jej gwałtowny skok do przodu. Takie fluktuacje prędkości wokół wartości średniej scharakteryzowane są poprzez wariancję prędkości, σ 2 = v 2 v 2. (10) Zmiany prędkości chwilowej cząstki (D) będą zdecydowanie większe niż zmiany prędkości chwilowej cząstki (C). Planując eksperyment, w którym mamy zamiar wydajnie transportować cząstki w mikro skali, powinniśmy wybrać scenariusze (A) i (C). Jeżeli transport miałby być czysto dyfuzyjny, właściwsze są scenariusze (B) i (C), gdyż bardziej wydajne energetycznie będzie wykorzystanie dużej części energii dostarczonej do układu na ruch ukierunkowany z uniknięciem oscylacji wewnątrz jam potencjału widocznych na panelu (D) rysunku 4. Transport cząstek Browna można analizować w języku motorów molekularnych czy poruszających sie mikro-maszyn. Użyteczną charakterystyką takich motorów jest ich sprawności. Nie ma konsensusu dotyczącego definicji sprawności zębatek brownowskich. W literaturze istnieje kilka nierównoważnych definicji. Niewątpliwie jest to stosunek mocy wyjściowej P F do mocy wejściowej P in [Machura et al., 2004, Linke et al., 2005, Machura et al., 2005] η E = P F F v =. (11) P in P in przy czym prawa część tej równości odnosi się do przypadku gdy siłą napędową transportu jest tylko stała siła F. Średnia energia dostarczana do układu w jednostce czasu, czyli moc wejściowa, dana jest przez wzór [Machura et al., 2004] P in = γ v 2 D, (12) gdzie D jest natężeniem szumu termicznego. Relacja ta wynika z równania ruchu dla całkowitej energii cząstki Browna oraz równania Langevina z siłą w rów. (3). Ponieważ D jest bezpośrednio związane z fluktuacjami prędkości w stanie równowagi termodynamicznej poprzez twierdzenie o ekwipartycji energii, wyrażenie w nawiasie jest proporcjonalne do różnicy średniej energii kinetycznej w stacjonarnym stanie nierównowagowym oraz średniej energii kinetycznej w stanie równowagowym. Inna definicja sprawności bazuje na tym, że ruch cząstki Browna odbywa się przeciw siłom dysypacji (sile Stokesa), jako że cząstki Browna poruszają się w lepkim środowisku charakteryzowanym przez współczynnik tarcia γ, η S = γ v 2 P in (13) Wielkość ta nazywa się sprawnością Stokesa [Linke et al., 2005, Machura et al., 2005]. Spotyka sie także definicję sprawności, która jest sumą powyższych sprawności, a mianowicie: η = η E + η S. (14) 9

10 Wróćmy do formuły (1) i przepiszmy ją wyodrębniając jedynie siłę tarcia i umieszczając ją po lewej stronie równania. mẍ + γẋ = F(ẋ, x, t) (15) Z równania tego wynika, że średnia prędkość v w stanie stacjonarnym jest w ogólności nieliniową funkcją stałej siły F. W szczególności może to być niemonotoniczna zależność. Na rysunku 5 prezentujemy cztery typowe odpowiedzi na zewnętrzne wymuszenie F. (A) v (B) v F F v v (D) F (C) F Rysunek 5: Schematyczne ujęcie czterech możliwych odpowiedzi układu na zewnętrzne wymuszenie F. Na panelu (A) widzimy typową odpowiedź układu, kiedy cząstka Browna posiada prędkość o zgodnym zwrocie w stosunku do przyłożonej siły. Panel (B) ukazuje efekt zębatkowy, gdzie dla zerowej siły średniej mamy możliwość indukcji niezerowej prędkości. Panel (C) przedstawia ujemną ruchliwość różniczkową, a panel (D) obrazuje zjawisko ujemnej ruchliwości absolutnej. Na panelu (A) przedstawiamy typową i intuicyjną zależność przy której średnia prędkość cząstek Browna jest dla małych wartości F proporcjonalna do siły F. Jest to także zgodne z teorią reakcji liniowej. Jest to typowa odpowiedź układu na zaburzenie F i oznacza, że dla F > 0 transport odbywa się w kierunku zgodnym z przyłożoną siłą, co daje w rezultacie v > 0 oraz dodatni współczynnik ruchliwości µ zdefiniowany przez równość: v = µf. W kolejnym panelu (B) przedstawiono schematycznie efekt zębatkowy: nawet dla F = 0, średnia prędkość v 0. Istnieje wiele przykładów zarówno teoretycznych jak i eksperymentalnych, gdzie w układach o złamanej symetrii i znikającej średniej sile wypadkowej, istnieje ukierunkowany transport [Reimann, 2002]. W panelu (C) przedstawione jest zjawisko ujemnej ruchliwości różniczkowej dv/df < 0. Odzwierciedla ono fakt malenia prędkości podczas zwiększania siły F [Nava et al., 1976, Hartmann et al., 1997]. Istnieje mnóstwo przykładów, gdzie taki efekt występuje. Najciekawszą z wszystkich czterech przypadków wydaje się być sytuacja przedstawiona na rysunku (D), gdzie prędkość cząstki Browna jest przeciwna do siły F. Zjawisko to znane jest pod nazwą: absolutna ujemna ruchliwość (AUR). Ponieważ prędkość jest ujemna v < 0 dla dodatniej siły F > 0, współczynnik ruchliwości jest ujemny, µ < 0. Zjawisko AUR zostało przewidziane teoretycznie [Machura et al., 2007], a następnie zweryfikowana eksperymentalnie [Nagel et al., 2008] dla układów ze złączem Josephsona. Opis powyższych charakterystyk transportu cząstek Browna w strukturach przestrzennie periodycznych pod wpływem sił zewnętrznych jest podstawą osiągnięcia naukowego, o którym mowa w rozdziale 4. Równania w każdej z publikacji [H1 H9] zostały przeskalowywane do postaci bezwymiaro- 10

11 wej. Szerokie omówienie możliwych skalowań i ich zastosowanie w badanych układach można znaleźć w pracy [H2] oraz w skróconej formie poniżej. Komentarz do prac [H1 H9] [H1 ] Tematykę pracy [H1] stanowi dynamika cząstki Browna w przestrzennie periodycznym potencjale o złamanej symetrii odbicia. Cząstka poddana jest dodatkowo wpływom dwóch zewnętrznych sił deterministycznych. Pierwsza z nich (F ) jest siłą stałą w czasie. Przyłożenie tego typu wymuszenia skutkuje złamaniem symetrii i spodziewanym ukierunkowanym transportem w kierunku w jakim zorientowana jest siła F. Jako drugą siłę rozważamy siłę periodycznie zmienną w czasie o pojedynczej składowej harmonicznej a cos(ωt). W rezultacie rozpatrujemy następujące, przeskalowane równanie ruchu ẍ + γẋ = V (x) + F + a cos(ωt) + 2γDξ(t). (16) Oprócz wcześniej zdefiniowanych wielkości, ostatnim wyrazem po prawej stronie jest losowa siła opisująca wpływ termostatu. Wpływ ten modelowany jest za pomocą białego szumu gaussowskiego ξ(t) o natężeniu D, zerowej średniej ξ(t) = 0 (17) i funkcji autokorelacji Natężenie fluktuacji termicznych jest proporcjonalne to temperatury ξ(t)ξ(s) = δ(t s). (18) D k B T, (19) gdzie k B to stała Boltzmanna, a T oznacza temperaturę. Rozpatrywany potencjał (patrz rysunek 1) składa się z liniowej superpozycji trzech harmonik i generuje specyficzne własności transportu takie jak wysoka koherentność ruchu co skutkuje niską wartością współczynnika dyfuzji oraz sprawnością dochodząca do ponad 60% [Machura et al., 2004] V (x) = 0.461[sin(2πx) sin(4πx) sin(6πx)]. (20) v η v = F/γ F η R η S (a) 0 F stall F F stall F (b) η E 0 F stall F Rysunek 6: Charakterstyki transportowe motorów Browna dla układu [H1]. W pracy analizowane są trzy aspekty transportu: prędkość średnia, liczba Péclet-a oraz sprawność, ze szczególnym uwzględnieniem wpływu stałej siły F na te charakterystyki. Dla wartości F bliskich zeru transport wykazuje własności typowe dla struktur ze złamaną symetrią odbicia efekt zębatkowy. 11

12 Gdy F = 0, łamanie symetrii oraz nierównowagowe stany stacjonarne indukowane periodyczną w czasie siłą to czynniki które generują niezerową prędkość średnią cf. rysunek 6. Co ciekawe, zauważamy występowanie ujemnej ruchliwości różniczkowej występującej w dwóch reżimach dla niewielkich, dodatnich sił F oraz dla relatywnie dużych ujemnych sił (tutaj bliskich F 1.4). Własność ta oznacza malenie prędkości cząstek pojawiający się przy zwiększaniu przykładanej siły. Sprawności η i η E mają sens fizyczny tylko wtedy, gdy układ wykonuje pracę przeciwko przyłożonym siłom. W tym wypadku można je podać dla sił F (F stall, 0). Siła F stall oznacza niezerową stałą siłę, dla której prędkość jest zerowa. Zupełnie inaczej wygląda sytuacja dla sprawności Stokesa η S, którą z kolei możemy obliczyć dla dowolnych parametrów układu. Wynika to z własności siły tarcia γv. Okazuje się, że sprawności η oraz η S dochodzą do zdumiewających wartości bliskich 75%, z kolei wpływ η E na globalną wartość η jest znikomy i ogranicza się do kilku procent, cf. dolna część rysunku 6. [H2 ] Motory molekularne oraz biologiczne są jednym z najważniejszych obiektów wykazujących własności dynamiczne, które mogą być skutecznie modelowane przy użyciu równania (16). Stanowią one doskonałą bazę do teoretycznej oraz numerycznej analizy dynamiki w periodycznych strukturach o złamanej symetrii odbicia [Astumian, 2001]. Powyżej zdefiniowane własności transportowe oraz poprawnie i systematycznie wprowadzone skalowania równań ruchu wraz z ich odpowiednią interpretacją oraz wskazaniem najbardziej odpowiednich przybliżeń dla motorów zarówno biologicznych i tych budowanych sztucznie są przedmiotem pracy [H2]. Aby poprawnie modelować dynamikę motorów molekularnych ograniczymy się do przypadków o znikającej stałej sile (równej zeru). W rezultacie otrzymujemy równanie mẍ + γẋ = V (x) + g(t) + 2Dξ(t). (21) W układach tego typu nie ma z góry założonego ukierunkowanego ruchu. Cała dynamika bazuje na interakcji pomiędzy periodycznymi w czasie siłami zewnętrznymi (tzw. rocking forces, cf. prawy panel rysunku 2), siłą tarcia, równowagowym szumem termicznym oraz, w pewnych szczególnych sytuacjach, siłą bezwładności wynikłą z niezerowej masy motorów. Wpływ siły bezwładności na dynamikę motorów molekularnych czy biologicznych jest od lat przedmiotem dyskusji w środowisku fizyków, biofizyków czy wreszcie biologów [Jülicher et al., 1997, Bustamante et al., 2001]. W układach opisanych równaniem (21) możemy wyróżnić jedną efektywną skalę przestrzenną: okres L potencjału V (x). Z drugiej jednak strony występuje w nich wiele konkurencyjnych skal czasowych czas relaksacji prędkości t L = m/γ, zwany też czasem Langevina, czas τ 0 = γl 2 / V w jakim deterministyczna cząstka pokonuje odległość charakterystyczną L pod wpływem siły V/L w układzie przetłumionym 2, czas τ 2 m = ml 2 / V, charakterystyczny dla układów w którym tłumienie nie występuje, okres zewnętrznej siły T = 2π/ω, czy wreszcie Einsteinowski czas związany z dyfuzją τ E = L 2 /2D. Odpowiednia separacja wyróżnionych skal czasowych daje nam możliwość numerycznego badania interesujących nas własności układu (21). Gdy odniesiemy skale czasowe do τ 0, kładąc s = t/τ 0 możemy przeprowadzić analizę wpływu masy (sił bezwładności) w oparciu o już przeskalowane równanie εÿ(s) + ẏ(s) = F (y) + G(s) + 2D 0 ξ(s). (22) W powyższym równaniu F (y) = W (y) oznacza przeskalowaną siłę związaną z potencjałem, G(s) = (L/ V )g(t) = a cos(ωs) to przeskalowana zewnętrzna okresowa siła wyrażona przez przeskalowaną amplitudę a = (L/ V )A i częstość ω = Ωτ 0. W takim równaniu przeskalowany potencjał W (y) = V (x)/ V = V (Ly)/ V = W (y + 1) posiada jednostkową barierę. Bezwymiarowa masa 2 przetłumienie oznacza tu formalne przejście graniczne γ ε = m γτ 0 = τ L τ 0 (23) 12

13 opisuje stosunek dwóch czasów charakterystycznych. Przeskalowana losowa termiczna siła równowagowa wyrażona jest przez ξ(s) = (L/ V )Γ(t) = (L/ V )Γ(τ 0 s) i posiada dokładnie takie same własności statystyczne jak Γ(t). Natężenie szumu termicznego dane jest wzorem D 0 = k B T/ V (24) i opisuje stosunek energii termicznej do energii aktywacji dla nieprzeskalowanej bariery potencjału. Odnosząc skale czasowe układu do czasu charaktarystycznego dla układu nietłumionego τ m mamy możliwość przebadania układu określając zależność od tłumienia w sposób jawny ÿ(u) + ˆγẏ(u) = F (y) + G(u) + 2ˆγD 0 ξ(u). (25) Przeskalowany czas u = t/τ m. Tym razem bezwymiarowy współczynnik tarcia wyrażony jest stosunkiem innych dwóch czasów charakterystycznych ˆγ = γ τ m m = τ m τ L. (26) Częstotliwość przeskalowanej siły periodycznej G(u) = a cos(ωu) dana jest poprzez ω = Ωτ m. Dwa powyższe skalowania znajdują zastosowanie w dwóch przypadkach granicznych równanie (22) w przypadku przetłumionym, gdy ε << 1 jest wielkością zaniedbywalną, równanie (25) w przypadku słabo tłumionym, czyli gdy ˆγ << 1 jest wielkością zaniedbywalną. Główna analiza w pracy [H2] dotyczy wzajemnego wpływu przeskalowanego współczynnika tarcia ˆγ oraz amplitudy odpowiednio dobranej zmiennej w czasie siły zewnętrznej. Dla odpowiednich parametrów, przy niewielkim natężeniu szumu termicznego D, podstawowa własność transportu, prędkość średnia, może zmieniać się z dodatniej na ujemną dla ustalonej wartości współczynnika tarcia, gdy zmieniać będziemy amplitudę siły. Oznacza to, że poprzez zmianę parametrów periodycznej w czasie siły możemy kontrolować kierunek transportu takich mikro-maszyn. Zjawisko to jest znane jako odwrócenie prądowe [Bartussek et al., 1994, Kostur and Łuczka, 2001] i jest powiązane z przestrzennym łamaniem symetrii odbicia w strukturach o potencjałach typu zębatka. Podobne zjawisko zachodzi, gdy ustalimy parametry siły zewnętrznej częstotliwość oraz amplitudę. Obserwujemy wówczas zmianę kierunku transportu motorów poprzez zmianę współczynnika tarcia, np. zmianę rozmiarów liniowych motorów (zakładając poprawność relacji Stokesa dla współczynnika tarcia). Jest to jedna z metod separacji cząstek, która doczekała się kilku patentów. W drugiej części analizy numerycznej zidentyfikowaliśmy reżimy parametrów {γ, a} w których zachodzący transport możemy charakteryzować jako dyfuzyjny oraz te, w których transport ma wysoką koherentość. Wykazaliśmy też, że efektywność motorów molekularnych maleje ze wzrostem temperatury układu. W szczególności układ można dostroić tak, by wykazywał blisko 90% sprawność. Istnieje jedno zastrzeżenie podane zestawy parametrów są wrażliwe na zmianę, co daje się zauważyć w wyspowym rozłożeniu rejonów o wysokiej efektywności i otaczającym je morzu niskiej sprawności. Ponadto ogólna tendencja wskazuje na to, że wysoka sprawność dla motorów molekularnych idzie w parze z raczej niską jakością transportu. Wynika to z wysokich wartości efektywnej dyfuzji i obrazuje raczej niekoherentny, dyfuzyjny typ translokacji tych mikro maszyn. Złącza Josephsona Kolejnym przykładem grupy układów fizycznych, których dynamika może być z powodzeniem opisana równaniem Langevina (16) są układy zawierające złącza Josephsona [Kautz, 1996]. Semi klasyczny opis dynamiki różnicy faz funkcji falowych par Coopera po obu stronach złącza nazywa sie modelem Stewarta McCumbera [Stewart, 1968, McCumber, 1968]. Złącze można formalnie przedstawić jako elektryczny układ RLC. Wkład do prądu płynącego przez obwód pochodzić będzie z trzech źródeł: tunelowania par Coopera charakteryzowanego przez prąd krytyczny I 0, prądu omowego charakteryzowany przez opór R oraz prądu przesunięcia związany z pojemnością C złącza. Temperaturowe fluktuacje prądu spełniające twierdzenie fluktuacyjno dysypacyjne modelowane są poprzez szum Nyquista związany z oporem R. Wszystkie te prądy do sumują się dając w rezultacie równanie opisujące 13

14 dynamikę różnicy faz [Barone and Paterno, 1982, Kautz, 1996], h 2e C φ + h 1 2e R φ + I 0 sin(φ) = I d + I a cos(ωt + ϕ 0 ) + ξ(t), Wyrazy po prawej stronie powyższego równania odpowiadają siłom dla przypadku dynamiki punktu materialnego. I d to natężenie prądu stałego (DC), I a cos(ωt + φ 0 ) prądu zmiennego (AC) zaś ξ(t) po raz kolejny odpowiada za równowagowy szum termiczny. Po lewej stronie równania można zidentyfikować natężenie prądu płynącego przez złącze I 0 sin(φ), zgodnie z pierwszym prawem Josephsona. Po przeprowadzeniu odpowiedniego skalowania, którego szczegóły można znaleźć między innymi w pracy [H3], możemy otrzymać równanie, w którym wszystkie wielkości pozostają w relacji do prądu krytycznego I 0 d 2 φ dt 2 + γ dφ + sin(φ) = (27) dt i 0 + i 1 cos(ω 1 t + ϕ 0 ) + 2γD Γ(t). [H3 ] Praca [H3] skupia się na charakterystykach wyższego rzędu niż typowe charakterystyki prądowo napięciowe, które stanowią przedmiot większości analiz związanych z dynamiką złącz Josephsona [Kostur et al., 2008]. W szczególności badany jest wpływ fluktuacji napięcia opisywanych za pomocą wariancji σ 2 v = φ 2 φ 2. (28) Rysunek 7: Trajektorie oraz portrety fazowe układu deterministycznego (niebieski) oraz stochastycznego (czerwony) w reżimie najwyższej sprawności oraz regularności ruchu dla [H3]. Relacja dla stacjonarnego (bezwymiarowego) napięcia wynika ze wzoru Josephsona i ma postać v = φ(t), (29) z uśrednianiem po realizacjach szumu termicznego Γ, warunkach początkowych oraz po okresie siły zewnętrznej. Ponieważ model Stewarta- McCumbera to nic innego jak równanie Newtona, jego opis własności transportowych oraz sprawności jest analogiczny jak w opisie motorów brownowskich (8) (13). Wymiarowe, fizyczne napięcie V można otrzymać z relacji V = v hω p /2e, gdzie ω p to częstość plazmowa złącza, natomiast h i e to odpowiednio stała Plancka oraz elementarny ładunek elektryczny. Ponieważ odpowiednik potencjału dla złącz Josephsona jest wiekościa symetryczną, to dla zerowego natężenia prądu stałego i 0 = 0 średnie napięcie będzie równe zeru, co wynika bezpośrednio z symetrii układu. Praca [H3] analizuje sprawność oraz jakość transportu dla złącz wykazujących własności absolutnej ujemnej ruchliwości (tu ujemnej oporności lub przewodności) cf. rysunek 5 i jego opis [Machura et al., 2007]. W tym przypadku (D = 0.001, Ω = 0.78, i 1 = 0.732, γ = 0.143) można zidentyfikować kilka obszarów różniących się od siebie dynamiką. Pierwszy z nich, w którym układ posiada własność AUR (małe natężenia i 0 ) charakteryzuje się niską sprawnością. Wynika to bezpośrednio z niskich wartości napięcia v, które nie są w stanie zrekompensować relatywnie wysokich fluktuacji σ v. Liczba Pécleta pozostaje na mniej więcej stałym poziomie bliskim 1. Gdy natomiast przykładamy do układu większe natężenie DC prądu, wykazuje on własności transportu omowego o własnościach chaotycznych, z wysoką dyfuzją efektywną oraz relatywnie niskimi fluktuacjami napięcia. Okazuje się, że najwyższą sprawność oraz regularność układ wykazuje w obszarze, gdzie występuje różniczkowa ruchliwość ujemna. Reżim ten jest pokazany na rysunku 7, gdzie własności transportu zobrazowane są poprzez odpowiednie trajektorie oraz portrety fazowe. 14

15 [H4 ] W najprostszym przypadku złamanie symetrii badanego układu można osiągnąć wprowadzając niezerową siłę F. Inną możliwością jest złamanie symetrii odbicia przestrzennego potencjału - jak w pracach [H1 H2]. φ φ φ φ φ 2π π 0 2π π 0 2π π 0 2π π 0 2π π (a) γ = (b) γ = (c) γ = (d) γ = (e) overdamped limit ε Rysunek 8: Wpływ dwóch parametrów drugiej składowej harmonicznej siły G(t) na podstawową charakterystykę transportową v pokazaną na skali kolorystycznej [H4]. [H5 ] Jeżeli jednak mamy do czynienia z układem, gdzie powyższe własności nie są spełnione, symetria układu może być złamana poprzez wpływ niesymetrycznej siły zmiennej w czasie (5), której wartość średnia, obliczona na jednym okresie, będzie wynosić zero (przypadek średniej siły różnej od zera jest trywialny). Wpływ skal czasowych, mający decydujący wpływ na dynamikę i własności transportu, jest tematem pierwszej części pracy [H4]. Podstawowe skale czasowe związane z układem definiuje współczynnik tarcia, będący stosunkiem dwóch wielkości γ = τ m /τ L. Jeżeli istnieje takie t 0, dla którego G(t 0 +t) = G(t 0 t) oznacza to, że G jest symetryczna lub, inaczej mówiąc, niezmiennicza względem odbicia w czasie. Z drugiej strony, jeżeli istnieje takie t 1 dla którego G(t 1 + t) = G(t 1 t) to siła G jest antysymetryczna. Praca [H4] analizuje układ mechaniczny cząstek Browna w symetrycznym potencjale przestrzennie periodycznym. Wpływ symetrycznej (φ = π/2, 3π/2), antysymetrycznej (φ = 0, π) oraz asymetrycznej (pozostałe przypadki) siły G(t) na średnią prędkość jest głównym przedmiotem badań. Konsekwencją symetrycznej G okazuje się być znikanie średniej prędkości cząstki, gdy współczynnik tarcia maleje do zera γ 0. Dla niezerowych, choć dowolnie małych γ prędkość w ogólności nie będzie zerowa. W przypadku napędzania antysymetrycznego, średnia prędkość znika dla współczynnika tarcia dążącego do nieskończoności, czyli dla przypadku przetłumionego. Charakterystyka prędkości średniej wykazuje niemonotoniczną zależność z możliwymi wielokrotnymi odwróceniami prądowymi, cf. rysunek 8. Co więcej, można podać ogólne relacje dla przypadku antysymetrycznego v(φ = π) = v(φ = 0) oraz podobne dla G symetrycznego v(φ = 3π/2) = v(φ = π/2). Pełna analiza dla dowolnych kształtów siły zmiennej wykazuje kolejne, globalne i wzajemnie równoważne symetrie w układzie v(φ) = v(φ + π) oraz v( ε) = v(ε). Publikacja [H5] rozszerza powyższą analizę dla przypadku, gdy uwzględnia się nieco bardziej realistyczny przypadek termostatu. Jako że szum biały, wykorzystywany szeroko w analizie procesów losowych, jest najczęściej tylko przybliżeniem rzeczywistych procesów, w pracy [H5] rozważany jest skorelowany szum termiczny. Tego typu szum nazywany jest w literaturze szumem kolorowym 15

16 [San Miguel and Sancho, 1980]. Gdy nie można zaniedbać korelacji szumu termicznego, należy stosować modelowanie bazujące na uogólnionym równaniu Langevina (URL) t mẍ(t) + K(t s)ẋ(s) ds = V (x) + G(t) + ξ(t), (30) 0 gdzie ξ(t) to stacjonarny proces Gaussa o zerowej średniej, który modeluje skorelowany szum termiczny. Funkcja autokorelacji dla procesu ξ(t) związana jest z jądrem całki w powyższym równaniu, opisującym pamięć procesu losowego poprzez twierdzenie fluktuacyjno dysypacyjne C(t s) = ξ(t)ξ(s) = k B T 0 K( t s ). (31) Ponieważ w ogolności proces (30) nie jest ani markowowski, ani też gaussowski, jego analiza jest z reguły wymagająca. Jest to problem na tyle trudny, że w ogólności nie potrafimy nawet podać równania ewolucji dla jednowymiarowej gęstości prawdopodobieństwa p(x, ẋ, t) odpowiadającej (30). Z drugiej strony funkcja korelacji (31) w pełni określa własności procesu ξ(t). Możemy rozpatrywać kilka klas procesów o różnych własnościach: procesy skorelowane wykładniczo, szum harmoniczny czy proces algebraiczny. Tu analizujemy wpływ korelacji zanikających wykładniczo na własności transportu (30). Rozpatrujemy szum termiczny jako stacjonarny, markowowski proces Ornsteina Uhlenbecka (OU), dany poprzez zerową średnią i funkcję korelacyjną [Łuczka, 2005] ξ(t)ξ(s) = k B T 0 K( t s ) = γk BT 0 τ c e t s /τc. (32) Stochastyczne równanie różniczkowo-całkowe może być przekształcone do układu trzech stochastycznych równań różniczkowych zwyczajnych. W tym celu definiuje się pomocniczy proces losowy w(t) za pomocą relacji w(t) = γ t e (t s)/τc ẋ(s) ds. (33) τ c 0 Jest to część całkowa równania (30). Dzięki temu zabiegowi równanie (30) jest równoważne układowi trzech równań: ẋ(t) = v(t), (34) v(t) = 1 m V (x(t) + 1 m G(t) + 1 m z(t), ż(t) = 1 τ c z(t) γ τ c v(t) + 1 τ c 2γkB T 0 Γ(t). gdzie z(t) = ξ(t) w(t). Analizie numerycznej poddana jest przeskalowana wersja układu równań (34). Głównym zagadnieniem pracy jest zbadanie wpływu niezerowego czasu korelacji szumu termicznego oraz wpływ okresowej siły zewnętrznej o dwóch składowych harmonicznych na podstawową własność transportu prędkość średnią w stacjonarnym reżimie. Zidentyfikowaliśmy szereg interesujących zakresów parametrów, dla których wpływ korelacji jest zazwyczaj destruktywny. Oznacza to, że wraz ze wzrostem czasu korelacji τ C szumu termicznego prędkość średnia maleje. Jeden z typowych przypadków przedstawiony jest na rysunku 9. W układzie opisanym równaniem (34) występują również reżimy, dla których wpływ czasu korelacji jest konstruktywny, tj. wzrost czasu korelacji powoduje wzrost prędkości średniej. Co więcej dla niektórych parametrów, dla których nieskorelowany szum wykazuje zerową prędkość średnią, szum skorelowany indukuje transport ukierunkowany. Jako konkretny przykład można podać reżim, w którym amplituda drugiej składowej harmonicznej charakteryzowana przez wielkość ε jest większa niż amplituda składowej podstawowej. Wszystkie charakterystyki, które badane były w pracy [H5] wykazują niemonotoniczne przebiegi i nierzadkie są obszary parametrów w których obserwuje się odwrócenie prądowe (tzn. zmianę kierunku transportu). [H6 ] Przedmiotem badań w pracy [H6] jest układ dwóch złącz Josephsona. Złącza sprzężone są ze sobą 16

17 Rysunek 9: [H5] Destruktywny wpływ czasu korelacji τ C na prędkość średnią układu (34) dla fazy φ dominującej harmoniki wyższego rzędu (ε = 2) zewnętrznej siły G(t). poprzez rezystancję R 3 (cf. rysunek 10). Dynamika odpowiednich różnic faz obu złącz dana jest za pomocą równań (już w postaci bezwymiarowej cf. opis pracy [H3]) φ 1 = I 1 (τ) I c1 sin φ 1 + α[i 2 (τ) I c2 sin φ 2 ] + D η 1 (τ), φ 2 = αβ[i 2 (τ) I c2 sin φ 2 ] + α[i 1 (τ) I c1 sin φ 1 ] + αβd η 2 (τ). (35) Wszystkie bezwymiarowe prądy wyrażone są w jednostkach średniego nadprzewodzącego prądu krytycznego I C = I c1 + I c2. (36) 2 Dwa parametry występujące w (35) dane są poprzez stosunki odpowiednich oporności ( α = 1 + R 3 R 2 Rysunek 10: Układ dwóch złącz Josephsona sprzężonych poprzez zewnętrzny opornik o oporze R 3 z przyłożonymi dwoma zewnętrznymi źródłami prądu I 1 (t) oraz I 2 (t). ) 1 [0, 1], β = 1 + R 3 R 1. (37) W języku mechanicznym może to być układ dwóch sprzężonych cząstek Browna w reżimie przetłumionym (resistively shunted system). Interpretacja mechaniczna jest utrudniona ponieważ nie jest to układ potencjalny: siły działające na poszczególne cząstki nie są potencjalne. Tym niemniej układ jest przestrzennie periodyczny i to jest wspólny mianownik z poprzednimi modelami. Nie jest to układ zębatkowy ponieważ siły są symetryczne ze względu na transformacje odbicia. Czynnikiem łamiącym symetrię są prądy przykładane do układu. Przestrzeń fazowa deterministycznego odpowiednika równań (35) jest trójwymiarowa {φ 1 = x 1, φ 2 = x 2, ωt = x 3 } i dlatego możliwe są rozwiązania chaotyczne. Chaos jest kluczem do interesujących i nieintuicyjnych zjawisk. Bez reżimów chaotycznych niemożliwe byłoby istnienie anomalnych reżimów transportowych, w szczególności ujemnych przewodności. Na sprzężenie podukładów mają wpływ wartości odpowiednich rezystancji własnych złącz Josephsona R 1 dla pierwszego złącza oraz R 2 dla drugiego i rezystancja R 3. Samo sprzężenie może być zmieniane dwoma parametrami α i β. Parametry te oraz związane z nimi równania (35) nie są symetryczne dla transformacji R 1 R 2, 17

18 ponieważ do wyprowadzenia równań ruchu wykonaliśmy skalowanie czasu korzystając z równania na dynamikę różnicy faz dla pierwszego złącza. Wpływ sprzężenia dwóch symetrycznych (R 1 = R 2, αβ = 1) złącz Josephsona na średnie napięcia v i, (i = 1, 2) na poszczególnych złączach jest głównym tematem [H6]. Istotnym parametrem sterującym stopniem sprzężenia jest α. Zmiana tego parametru może być realizowana eksperymentalnie poprzez zmianę rezystancji R 3. W pracy analizowane są dwa przypadki: (I) W pierwszym przypadku zewnętrzny prąd przykładany jest tylko do pierwszego złącza: I 1 (τ) = I 1 + a 1 cos(ωτ), I 2 (τ) = 0 Napięcie jest indukowane na pierwszym oraz na drugim złączu poprzez sprzężenie α. W tym przypadku zidentyfikowaliśmy tylko trzy możliwe tryby pracy dwóch sprzężonych złącz: (a) v 1 > 0 oraz v 2 > 0, (b) v 1 > 0 oraz v 2 < 0 i wreszcie (c) v 1 < 0 oraz v 2 < 0. Ostatni możliwy reżim z ujemnym napięciem na złączu pierwszym i dodatnim napięciem na złączu drugim nie został zidentyfikowany. Przypadek ten jest również bogaty w zjawiska typu absolutnej ujemnej rezystancji (odpowiednika ujemnej mobilności) oraz ujemnej nieliniowej rezystancji poza reżimem liniowej reakcji. (II) Drugi scenariusz odpowiada sytuacji, gdy złącza pobudzamy prądem osobno. Do pierwszego złącza przykładamy prąd stały I 1 (τ) = I 1, a do drugiego prąd zmienny w czasie I 2 (τ) = a 2 cos(ωτ). W tym reżimie gruntowne badania numeryczne nie wykazały równie bogatej struktury rozwiązań. Byliśmy w stanie zidentyfikować tylko dwa tryby pracy złącz: (a) v 1 > 0 oraz v 2 > 0 i (b) v 1 < 0 oraz v 2 > 0. Drugi z wymienionych trybów nie występuje w przypadku poprzednim i w pracy poddany jest szczegółowej analizie. Aby pojawił się transport anomalny potrzebne są trzy kluczowe czynniki: prąd stały (DC), prąd zmienny (AC) przyłożone jednocześnie do dowolnego złącza, lub osobno do dwóch złącz oraz dodatkowo dostatecznie silne oddziaływanie między złączami. [H7 ] Naturalnym rozwinięciem powyższej analizy jest praca [H7], gdzie ten sam układ poddany jest wpływowi prądu zmiennego o dwóch składowych harmonicznych o zerowej wartości średniej na okresie. Ponownie każde złącze charakteryzowane jest przez taką samą rezystancję. Prąd zewnętrzny przyłożony jest tylko do pierwszego złącza: I 1 (τ) = a 1 [cos(ωτ) + ε 1 cos(2ωτ + θ)]. Faza θ jest parametrem łamiącym symetrię w układzie i powodującym powstawanie niezerowych napięć. Zmienny w czasie prąd I 1 posiada takie same symetrie, omawiane już w pracy [H4], indukujące napięcia na złączach o własnościach: v i ( ε 1 ) = v i (ε 1 ), v i (θ ± π) = v i (θ), v i (π θ) = v i (π + θ), v i (π/2) = v i (3π/2) = 0, i = 1, 2. W tym przypadku zmieniając parametry prądu I 1 (τ) oraz sprzężenia α jesteśmy w stanie zidentyfikować wszystkie tryby pracy złącz, które wskazaliśmy w poprzednim paragrafie. Reżimy napięć o jednakowych znakach na obu łączach dominują w przestrzeni parametrów. Oczywiście reżim obu dodatnich/ujemnych napięć można otrzymać z powyższych relacji. [H8 ] Kolejną, możliwą z punktu widzenia eksperymentu, modyfikacją jest przyłożenie prądu zmiennego o jednej, podstawowej częstości harmonicznej do pierwszego złącza I 1 (τ) = a 1 cos(ωτ) oraz prądu zmiennego o pojedynczej, ale wyższej harmonicznej do złącza drugiego I 2 (τ) = a 2 cos(kωτ +θ). Analiza takiej dynamiki opisana jest w pracy [H8]. Również i w tym przypadku wszystkie tryby pracy złącz mogą być zidentyfikowane. Najbardziej uderzającą różnicą w charakterze odpowiedzi układu złącz jest kilkukrotnie większe napięcie generowane na złączach w przypadku, gdy do obu złącz przykładany jest prąd. Różnice te można zaobserwować na przykładowej charakterystyce przedstawionej na rycinie 11. Metodyka badań układów dynamicznych Podanie rozwiązania ścisłego dla ogólnego modelu (1 5) jest możliwe tylko dla pewnych ograniczonych klas problemów. W szczególności, jeżeli modelujemy ruch przetłumiony, gdzie efekty inercjalne mogą 18

19 Rysunek 11: Napięcie na złączach Josephsona napędzanych prądem zmiennym. (a) (b) przedstawia sytuację, gdy prąd przyłożony jest tylko do pierwszego złącza I 1 (τ) = a 1 cos(ωτ) + a 2 cos(2ωτ + θ); (c) (d) gdy prąd zmienny rozdzielony jest na oba łącza I 1 (τ) = a 1 cos(ωτ) oraz I 2 (τ) = a 2 cos(kωτ +θ) być zaniedbane, rozwiązania takie są dostępne w sposób ścisły bądź też w postaci dobrych przybliżeń. Rozwiązanie analityczne dla zagadnienia ogólnego, dla cząstki bezwładnej, poddanej działaniu siły, zarówno stałej jak i zmiennej w czasie, w kontakcie z termostatem, modelowanej choćby w najprostszej możliwej postaci poprzez nieskorelowany szum gaussowski, nie jest możliwe do otrzymania. Co więcej, nie są znane metody matematyczne, dzięki którym moglibyśmy podawać rozwiązania takich zagadnień, choćby w przybliżeniu. W zasadzie pozostaje nam odniesienie do eksperymentu lub użycie znacznie tańszych niż eksperymentalne i obecnie niezwykle efektywnych metod numerycznych. Jeżeli chodzi o analizę numeryczną istnieją dwie podstawowe drogi badań. Jedną z nich jest analiza równań opisujących ewolucję rozkładu prawdopodobieństwa p(x, ẋ, t). Metody te są niezwykle subtelne [Kostur, 2002] i w przypadku układów o geometrii periodycznej mogą prowadzić do mylnych wniosków, w szczególności jeżeli analizujemy procesy o niskim natężeniu szumu D. W naszym przypadku najciekawsze efekty pojawiają się dla natężeń szumu tysiąckrotnie mniejszych od energii aktywacji związanej z barierą potencjału, co z reguły definiuje właśnie ów kłopotliwy numerycznie reżim dla metod stosowanych do rozwiązania równania master czy równania Fokkera Plancka, np. metod różnic czy elementów skończonych. We wszystkich powyższych pracach podstawową metodą obliczeniową były symulacje stochastycznych równań ewolucji czasowej, danych przez (1). Dla odpowiednio dobranych parametrów symulacji, takich jak krok czasowy, który musi współgrać ze wszystkimi skalami czasowymi układu (1), metoda ta może być z powodzeniem wykorzystywana do analizy dowolnych przestrzeni parametrów. Jedynym kłopotem, z jakim boryka się metoda symulacji czasowych, jest zaspokojenie zapotrzebowania na moc obliczeniową. Aby statystyka podawanych wyników była poprawna, należy analizować odpowiednio długie skale czasowe, co obrazuje dobrze definicja (7). Czasami dynamika układu jest na tyle stabilna, że w zupełności wystarczy średnia liczona po zespole 10 3 realizacji, w innym przypadku należy rozpatrywać 10 6 różnych trajektorii. Należy też nadmienić, że układy [H1 H8] wykazują własności chaotyczne. W każdym z analizowanych modeli przestrzeń fazowa jest trójwymiarowa. Dla pojedynczych równań przestrzeń ta zdefiniowana jest dla położenia, prędkości oraz częstości siły zewnętrznej {x, v = ẋ, ż = ω}, dla układów złącz obejmuje ona obie różnice faz oraz ponownie zmienną związaną z częstością siły zewnętrznej {φ 1, φ 2, ż = ω}. Dla małych wartości D własności deterministyczne, zatem i chaotyczne, w dużej mierze determinują dynamikę i w konsekwencji własności stochastyczne układu. Należy więc bardzo ostrożnie podchodzić do problemu wyboru warunków początkowych. Długoczasowa analiza statystycznego zespołu cząstek (realizacji procesu losowego) wymaga olbrzymich mocy obliczeniowych. Z jednej strony możemy wykorzystywać superkomputery, z drugiej postawić na coraz bardziej nowoczesny sprzęt dostępny komercyjnie. Dzisiejsze karty graficzne po- 19

20 siadają możliwość wykorzystywania swoich procesorów strumieniowych do czegoś więcej niż tylko rendering grafiki komputerowej. Od kilku lat czołowi producenci sprzętu przeznaczonego głównie dla graczy komputerowych umożliwiają programowanie i używanie kart graficznych do celów innych niż dedykowane. Istnieją obecnie dwa główne nurty masowego programowania rozproszonego jeden z nich wykorzystuje język OpenCL, drugi, zdecydowanie bardziej popularny wśród użytkowników systemów NVIDIA, wykorzystuje swego rodzaju rozszerzenie języka C, mianowicie język CUDA (Compute Unified Device Architecture). [H9 ] Praca [H9] jest odpowiednikiem opisu aparatury w ekperymentach i przedstawia aparaturę numeryczną służącą do konstruowania symulacji procesów losowych z wykorzystaniem procesorów GPGPU (General-Purpose computing on Graphics Processing Units). Speedup (f) N Rysunek 12: Przyspieszenie obliczeń dla karty graficznej NVIDIA GTX TITAN w porównaniu do procesora Intel i7-3930k dla N realizacji procesu stochastycznego dla pojedynczej precyzji obliczeń. W pracy dogłębnie omówione są metody numeryczne generowania przybliżonych realizacji dla trzech najczęściej analizowanych w literaturze procesów losowych białego szumu Gaussa, białego szumu Poissona oraz szumu dwustanowego (dychotomicznego, telegraficznego). Omówiona jest w niej również w detalach organizacja zasobów pamięci na wszystkich trzech poziomach hierarchii oraz organizacji w wątki multiprocesorów SIMT (Single Instruction Multiple Threads) dla CUDA. Podane algorytmy przetestowane są dla dwóch modeli. Pierwszy opisuje ruch przetłumionej cząstki Browna w potencjale periodycznym napędzanej szumem Poissonowskim. W drugim modelu biały szum Poissona zastąpiony został przez szum dwustanowy. Oba modele posiadają rozwiązania analityczne [Luczka et al., 1995, Kula et al., 1996]. Wyniki symulacji dokładnie odwzorowują rozwiązania teoretyczne potwierdzając zgodność obliczeń numerycznych z przewidywaniami analitycznymi. Pragniemy też nadmienić, że przyspieszenie obliczeń numerycznych na jakie pozwalają odpowiednio zaprogramowane karty graficzne dochodzą do ponad 3000 razy dla pojedynczej precyzji (c.f. rysunek 12) oraz średnio do 500 razy dla podwójnej precyzji. Wyniki prezentowane w [H9] odpowiadają profesjonalnej karcie graficznej przeznaczonej do gier (takiej jak GTX TITAN), ale w zasadzie rzędy wielkości (10 3 czy 10 2 ) nie odbiegają od prezentowanych, jeżeli weźmiemy pod uwagę kartę graficzną z najwyższej półki cenowej przeznaczoną do obliczeń numerycznych, która może być kilkukrotnie droższa od tej pierwszej. Ilość procesorów strumieniowych dochodzi obecnie do 3000 na kartę graficzną, jak w GTX 980 TI, czy nawet blisko 6000, jak w GTX TITAN Z, co powoduje, że przyszłość symulacji stochastycznych z pewnością należy do kart graficznych. Przyszłe badania nad dynamiką cząstek w układach o przestrzennej strukturze periodycznej Naturalną konsekwencją powyższych badań będzie analiza układu trzech i więcej złącz Josephsona oraz identyfikacja możliwych wzorców odpowiedzi i zjawisk kolektywnych. Podstawowe analizy prądowonapięciowe dla pojedynczego złącza oraz dla pary złącz zostały przeprowadzone w pracach [H3,H6-H8]. Inną, ciekawą tematyką jest analiza energetyczna układów złącz i identyfikacja reżimów o najwyższych możliwych sprawnościach. 5 Omówienie pozostałych osiągnięć naukowo badawczych. Prace naukowe oznaczone w pełnym spisie publikacji numerami P30 P1 oraz R1 stanowią pełny dorobek naukowy habilitanta. Literą P oznaczono prace opublikowane. Z kolei literą R oznaczono preprinty prac wysłane do publikacji. Prace te obejmują trzy dziedziny naukowe. Wszystkie wymienione zagadnienia stanowią obecnie przedmiot badań prowadzonych przez habilitanta. 20

21 5.1 Dynamika motorów Browna Tematyka ta jest przedmiotem badań prowadzonych od okresu rozpoczęcia studiów magisterskich pod kierunkiem prof. dr hab. Jerzego Łuczki. Była ona kontynuowana w czasie studiów doktorskich na Uniwersytecie w Augsburgu pod kierunkiem prof. dr Petera Hänggiego i stanowi też podstawę dysertacji doktorskiej habilitanta. Kontynuowana jest do dziś i obejmuje największą grupę prac habilitanta [P1-P2,P4-P8,P11,P13,P15-P17,P19-P22,P24-P28,P30]. Tezy badań nad dynamiką i opisem własności transportowych układów przestrzennie periodycznych w kąpieli termicznej przedstawione zostały we wstępie do poprzedniego rozdziału. Badania te ewoluują w kierunku identyfikacji wszystkich reżimów pracy motorów zaprezentowanych na rysunku 5 w celu późniejszej efektywnej weryfikacji eksperymentalnej np: w układach złącz Josephsona, czy w doświadczeniach przeprowadzanych na zimnych atomach w sieciach optycznych. Najnowsze odkrycia pokazują [P30], że zastosowanie sił losowych w miejsce stałej siły F jest w stanie skutecznie poprawić charakterystyki układów zwiększyć bezwzględną wartość prędkości średniej cząstek i usprawnić transport poprzez zmniejszenie fluktuacji prędkości. Oznacza to, że aplikacja nierównowagowych fluktuacji do układu, na przykład szumu Poissona lub szumu dwustanowego (dychotomiczny) może spowodować znaczną redukcję fluktuacji niektórych zmiennych dynamicznych, zwiększając jednocześnie sprawność tak napędzanych mikro-maszyn Brownowskich. Zmienność, losowość sił oddziałujących na maszyny biologiczne, których sprawność dochodzi do zdumiewających wartości powyżej 90% jak w przypadku F 0 F 1AT P azy [Yasuda et al., 1998], może być z powodzeniem modelowana z pomocą takich losowych oddziaływań. Poprawki kwantowe Dla dostatecznie niskich temperatur klasyczne własności mikro- i nano-układów mogą być modyfikowane. Zjawiska takie jak tunelowanie przez barierę potencjału, koherencja kwantowa czy kwantowe fluktuacje szumu termicznego zaczynają być wówczas odczuwalne i powinny zostać uwzględnione w opisie ewolucji czasowej. Dla układów czysto kwantowych powinniśmy zastosować opis kwantowomechaniczny. Dla układów czysto klasycznych możemy stosować np. opis zaproponowany wcześniej. Na granicy obu światów klasycznego i kwantowego, gdy układ znajduje się w tak zwanej temperaturze crossover, często do opisu dynamiki ma zastosowanie opis klasyczny (np. równaniami Langevina- Newtona) uwzględniający poprawki kwantowe. Nierównowagowa kwantowa fizyka statystyczna nie jest jak dotąd teorią pełną. Co prawda, istnieją opisy kwantowych oddziaływań z kąpielą termiczną, ale są one ograniczone np. liniową dynamiką owej kąpieli, lub też znane są dla granicznego przypadku słabego oddziaływania z termostatem. W tym drugim przypadku możliwe jest podanie kwantowego równania ewolucji (master equation) w formie równania Lindblada [Grabert et al., 1988]. Dla innego przypadku granicznego, czyli dla układu przetłumionego, Ankerhold i współpracownicy wyprowadzili uogólnione równanie Smoluchowskiego bazując na metodzie całek po trajektoriach [Ankerhold et al., 2001]. Model ten prowadził jednak do łamania drugiej zasady termodynamiki, dając przyczynek do niezerowego prądu dla układów ze złamaną symetrią przestrzenną (ratchet). W pracy [P1] podana została modyfikacja tego modelu, sprowadzając Kwantowe Równanie Smoluchowskiego do postaci z potencjałem efektywnym oraz zmodyfikowaną funkcją dyfuzji, zależną od położenia γmẋ = V eff (x) + 2γD mod (x)ξ(t) (38) V eff (x) = V (x) + λ 2 V (x) (39) D mod (x) = 1 β[1 λβv (x)]. (40) W powyższych równaniach β = 1/k B T oznacza odwrotność temperatury. Ważnym parametrem jest wielkość λ, która opisuje odchylenie kwantowych fluktuacji położenia od ich odpowiedników klasycznych λ = x 2 Q x 2 C. (41) 21

22 Poza podaniem poprawnej, nie przywoływującej demona Maxwella, postaci równania, w pracy badany jest wpływ nowo zdefiniowanych poprawek kwantowych na dynamikę układu przetłumionego. Na bazie powyższych badań, w pracy [P6] poddana jest analizie dynamika cząstek Browna w potencjale typu washboard (cf. lewy panel rysunku 2), silnie oddziałujących z termostatem. Omówione są własności średniej prędkości cząstek, dyfuzja efektywna oraz kombinacja tychże pod postacią liczby Pécleta. Wykazane zostało, że uwzględnienie poprawek na zjawiska kwantowe znacznie polepsza dyfuzyjne własności transportu w pewnych zakresach temperatur. Podobne obliczenia przeprowadzone zostały w [P11] dla układów typu ratchet w kilku reżimach pracy motorów, wykazując zdecydowany wpływ poprawek uwzględniających zjawiska kwantowe. 5.2 Własności prądów trwałych płynących w mezoskopowych pierścieniach nienadprzewodzących Problem transportu ładunków w metalicznych pierścieniach niewykazujących własności nadprzewodzących jest przedmiotem badań w pracach [P9-P10,P12,P14,P18,P22-P23,P28]. Prąd wzbudzony zewnętrznym polem magnetycznym w makroskopowym pierścieniu metalicznym doświadcza niezerowego oporu i zanika z czasem relaksacji, który z reguły wynosi około sekundy. Rozpatrując pierścienie o mniejszych wymiarach (obwodach) przechodzimy do skal mezoskopowych, gdzie opis klasyczny nie jest wystarczający i własności kwantowe układów zaczynają odgrywać znaczącą rolę. W układach o strukturze periodycznej zaczynają pojawiać się efekty związane z kwantową koherencją elektronów. Ponieważ dla pierścieni, których obwód jest mniejszy niż średnia droga swobodna, elektrony zachowują koherencję fazową, w pierścieniach indukowany jest trwały prąd równowagowy, który nie zanika dopóki do pierścienia przyłożony jest strumień magnetyczny. Istnienie takich prądów przewidział już w 1938 roku Hund [Hund, 1938], a blisko 30 lat później potwierdzili niezależnie Bloch [Bloch, 1965] oraz Kulik [Kulik, 1970] na bazie metod kwantowo mechanicznych. Jednak dopiero praca z 1983 roku [Büttiker et al., 1983], gdzie pokazano, Rysunek 13: Schematyczny rysunek pierścienia mezoskopowego wzbudzany zewnętrznym strumieniem magnetycznym φ. że prądy trwałe występują również w obecności sprężystych rozproszeń wzbudziła spore zainteresowanie. Pierwsze prace eksperymentalne, które ukazały się na początku lat 90-tych wykazały niezgodność pomiarów z przewidywaniami teoretycznymi [Chandrasekhar et al., 1991]. Późniejsze pomiary indywidualnych pierścieni zredukowały owe dysproporcje [Jariwala et al., 2001]. Ostatnie pomiary indywidualnych struktur o symetrii cylindrycznej, dzięki nowoczesnej technologii dającej możliwość m.in. rozdzielenia tła od właściwego sygnału, potwierdziły przewidywania teoretyczne zarówno jakościowo jak i ilościowo [Bluhm et al., 2009, Bleszynski-Jayich et al., 2009]. Analiza stanów stacjonarnych oraz dynamiki pierścieni mezoskopowych prezentowana w wymienionych pracach bazuje na pół fenomenologicznym modelu dwu cieczowym po raz pierwszy podanym przez Dajkę [Dajka et al., 2003] w 2003 roku. Prądy trwałe I coh są określone przez relację [Cheung et al., 1989] I koh (φ, T ) = pi p (φ, T ) + (1 p)i np (φ, T ) gdzie I p (φ, T ) = I np (φ φ 0 /2, T ) = I 0 n=1 A n (T ) sin(2nπφ/φ 0 ), gdzie φ jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez pierścień. Elementarny kwant strumienia magnetycznego dany jest wzorem φ 0 = h/e. Maksymalne natężenie prądu wynosi I 0 = hen e N/(2l 2 m e ) 22