Wykład 7. Opis współzaleŝności zjawisk. 1. Wprowadzenie.

Transkrypt

1 Wykład 7. Opis współzaleŝności zjawisk 1. Wprowadzenie. 2. Prezentacja materiału statystycznego.

2 Rodzaje współzaleŝności zjawisk 1. WspółzaleŜność funkcyjna określonym wartościom jednej zmiennej jest ściśle przyporządkowana jedna odmiana drugiej zmiennej. 2. WspółzaleŜność stochastyczna określonym wartościom jednej zmiennej jest przyporządkowanych wiele odmian drugiej zmiennej.

3 3. WspółzaleŜność korelacyjna określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej. Przykład współzaleŝności funkcyjnej X powierzchnia glazury w m² Y wynagrodzenie w zł Całkowite wynagrodzenie za pracę Y=50X.

4 Przykład współzaleŝności stochastycznej X miesięczna produkcja cukru (w tonach) Y koszty stałe (w tys. zł) Koszty stałe są uzaleŝnione nie tylko od wielkości produkcji, ale takŝe, np.: od wynagrodzenia członków zarządu,, amortyzacji, lokalizacji cukrowni, itd.

5 Przykład współzaleŝności korelacyjnej X wykształcenie podstawowe 1326 średnie 1913 wyŝsze 2289 Y średnie wynagrodzenie miesięczne (w zł) ZauwaŜmy, Ŝe jeŝeli mamy do czynienia z zaleŝnością korelacyjną, to jest ona zawsze i stochastyczna. Nie zawsze jest jednak na odwrót, tzn. jeśli istnieje współzaleŝność stochastyczna, to i korelacyjna. Oto przykład:

6 WspółzaleŜność stochastyczna X - płeć Y ocena z egzaminu męŝczyźni 3,5 4 3 Brak współzaleŝności korelacyjnej X- płeć Y średnia ocena z egzaminu męŝczyźni 3,5 kobiety 4 5 kobiety 3,5 3 2

7 Podejścia w analizie współzaleŝności zjawisk: 1. Jakościowe określa związki przyczynowo skutkowe między zmiennymi. WspółzaleŜność dwustronna przyczyna skutek skutek przyczyna X Y X kwoty wydawane na reklamę, Y przychody.

8 WspółzaleŜność jednostronna przyczyna skutek X Y X wiek, Y staŝ pracy. WspółzaleŜność pozorna X Y Z X wielkość strat po przejściu huraganu, Y liczba osób usuwających skutki huraganu, Z moc huraganu.

9 2. Ilościowe: Analiza korelacji określa siłę i kierunek zaleŝności między badanymi cechami; Analiza regresji słuŝy do badania mechanizmu powiązań między cechami, którego wyrazem jest funkcja regresji.

10 Prezentacja materiału statystycznego szereg korelacyjny x i x 1 y i y 1 x 2 x n n M i= 1 x i y 2 M y n n i= 1 y i

11 diagramy korelacyjne y y x x brak koleracji korelacja liniowa dodatnia

12 y y x korelacja liniowa ujemna korelacja krzywoliniowa x

13 tablica korelacyjna jest to tablica skonstruowana w ten sposób, iŝ w poszczególnych wierszach podajemy warianty cechy X, natomiast w kolumnach warianty cechy Y.

14 x i x 1 x 2 y j y1 y2 n11 n12 n 21 n22 y l n 1l n 2l n i n ij = l n 1 n 2 j= 1 x k nk1 n k 2 n kl n k n k j = n ij i= 1 n 1 n 2 n l n

15 Przykład Mamy następujący szereg korelacyjny obrazujący zaleŝność między liczbą reklamacji X a tygodniowymi obrotami sklepów obuwniczych Y (w tys. zł): x i y j 1,5 4,5 6,9 8,3 11, 2 6,2 6,3 7,4 8,7 9,6 9,9 10, 4 11, 2 13, 0 18, , 7 12, 0 13, 2 14, 6 15, 2 16, 3 17, 0 19, 6 19, 9 22, 5 25, 6 26, 3 26, 7 28, 2 29, 7

16 ,4 11,0 12,3 13,3 15,6 18,6 20,0 21,1 21,4 22, ,9 24,0 24,5 25,0 25,7 27,2 27,4 28,7 28,9 29,8 Zbudujemy na ich podstawie tablicę korelacyjną i omówimy, jakich obliczeń i obserwacji moŝemy dokonać na jej podstawie.

17 Tablica korelacyjna liczby reklamacji X i obrotów sklepów Y wygląda następująco: x i y j [0 10) 5 [10 20) 15 [20 30) 25 n i n j

18 W tablicy korelacyjnej są zawarte dwa rodzaje rozkładów: rozkłady brzegowe i rozkłady warunkowe. Rozkład brzegowy przedstawia strukturę jednej cechy bez względu na kształtowanie się drugiej z nich. W powyŝszej tablicy występują dwa rozkłady brzegowe (w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu), odpowiednio dla cechy X i Y. Chcąc je opisać moŝemy posłuŝyć się parametrami średnią arytmetyczną i wariancją (lub odchyleniem standardowym).

19 Dla naszego przykładu średnia liczba reklamacji (niezaleŝnie od wielkości obrotów) wyniosła 3 reklamacje, zaś wariancja 1,02 reklamacji². Obliczając pierwiastek z wariancji otrzymujemy odchylenie standardowe, które wynosi 1,01 reklamacji i oznacza, Ŝee we wszystkich analizowanych sklepach liczba reklamacji róŝniła się os średniej liczby reklamacji o 1,01 reklamacji. Natomiast średnie obroty wszystkich sklepów (niezaleŝnie od liczby złoŝonych reklamacji)

20 wyniosły 17 tys. zł z wariancją 57,14 tys. zł², czyli odchylały się od średnich obrotów średnio o 7,56 tys. zł. Rozkłady warunkowe prezentują strukturę jednej cechy przy nałoŝonym warunku na druga z nich. Mamy zatem 3 rozkłady warunkowe liczby reklamacji (tyle było odmian wielkości obrotów) i 4 rozkłady warunkowe obrotów (tyle było odmian liczby reklamacji). Wartości ich poszczególnych parametrów przedstawiają następujące tabelki:

21 xi y j 2 S y j y j ,00 xi 1,6 3,0 3, , ,71 2 S xi 0,27 0,74 0, ,11

22 Na podstawie ustalonych średnich warunkowych moŝna określić kształt oraz siłę i (niekiedy) kierunek związku. SłuŜy temu tzw. wykres regresji empirycznej. W układzie współrzędnych nanosimy punkty przyporządkowujące średnie warunkowe jednej zmiennej przy kolejnych warunkach kształtowania się drugiej z nich i łączymy je linią łąmaną.

23 Skrajne przypadki kształtowania się regresji empirycznej:

24 Dla naszego przykładu wykres wygląda następująco: