OPTYMALIZACJA UKŁADÓW MASZYNOWYCH Z ZASTOSOWANIEM RÓWNAŃ LOGICZNYCH I STRUKTUR GRAFOWYCH. mgr inż. Adam Deptuła

Transkrypt

1 POLITECHNIKA OPOLSKA OPTYMALIZACJA UKŁADÓW MASZYNOWYCH Z ZASTOSOWANIEM RÓWNAŃ LOGICZNYCH I STRUKTUR GRAFOWYCH mgr inż. Adam Deptuła Rozpraa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Mariana A. PARTYKI Lipiec 03

2 Spis treści SPIS TREŚCI Spis treści... WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SYMBOLI... 4 ROZDZIAŁ... 6 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY Przedmiot rozażań Cel i zakres pracy... 8 ROZDZIAŁ... 4 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH Algebra Boole a Funkcje booloskie Implikanty piersze funkcji booloskiej Metody minimalizacji funkcji logicznych Metoda tablic Karnaugha Metoda iteracyjnego konsensusu Metody graficzne Algorytm Quine a-mc Cluskeya minimalizacji cząstkoych ieloartościoych funkcji logicznych... 3 ROZDZIAŁ RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Wieloartościoe funkcje logiczne z agoymi spółczynnikami Współczynniki agoe Minimalizacja ieloartościoych funkcji logicznych z agoymi spółczynnikami Układy ieloartościoych rónań logicznych z agoymi iloczynami Roziązyanie układu ieloartościoych rónań logicznych z agoymi spółczynnikami Zastosoanie ieloartościoych funkcji logicznych z agoymi iloczynami badaniu rangi ażności parametró konstrukcyjnych zaoró hydraulicznych Hydrauliczny zaór przeleoy Ranga ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych hydraulicznego zaoru przeleoego Hydrauliczny zaór proporcjonalny Model matematyczny hydraulicznego zaoru proporcjonalnego Ranga ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych hydraulicznego zaoru proporcjonalnego Analiza decyzyjna ytycznych projektoania badanego układu arunkach niepeności Rozłączna analiza logiczna ytycznych projektoania na przykładzie zaoruprzeleoego Analiza logiczna ytycznych projektoania zaoru przeleoego z uzględnieniem niepeności Rozłączna analiza logiczna ytycznych projektoania zaoru przeleoego z uzględnieniem niepeności...05 ROZDZIAŁ

3 Spis treści 3 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM Pozyskianie iedzy uczeniu maszynoym Indukcyjne drzea decyzyjne Analiza porónacza optymalnych logicznych drze decyzyjnych i indukcyjnych drze systemu DeTreex yznaczaniu rangi ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych danych układó...3 ROZDZIAŁ STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Grafy Grafy jako modele układó mechanicznych Grafy zależności i struktury rozgryające parametrycznie Graf zależności rozgryający parametrycznie Współczynniki złożoności ujeciu struktur rozgryających parametrycznie Struktry drzeiaste rozgryające parametrycznie Zastosoanie grafu zależności i struktur rozgryających parametrycznie badaniu łasności układu maszynoego Skieroany graf przepłyu sygnałó struktur rozgryających parametrycznie Skieroany graf przepłyu sygnałó z zamkniętą pętlą sprzężenia zrotnego strukturach rozgryających parametrycznie KOMPLEKSOWE DRZEWA ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE Technika porotó (backtracking BT) drzeach rozgryających parametrycznie Idea techniki porotó Współczynnik złożoności struktury ujęciu ieloartościoych drze logicznych ROZDZIAŁ OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA Obiekt badań Stanoisko pomiaroe Badania hydrauliczne pompy zębatej z podciętą stopą zęba Optymalizacja pompy zębatej z podciętą stopą zęba Zastosoanie ieloartościoych drze logicznych Zastosoanie kompleksoych ieloartościoych drze logicznych Zastosoanie kompleksoego spółczynnika złożoności ze struktur rozgryających parametrycznie Zastosoanie układó ieloartościoych rónań logicznych z agoymi spółczynnikami...3 ROZDZIAŁ Podsumoanie... 6 Bibliografia... 3

4 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SYMBOLI 4 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SYMBOLI MZAPN ZKAPN f ( x, x, x ) i A R Y S k, k vx F m p Q p 3 vy Q D, QD Q D 3 Q odb K U z p i E E H φ n μ ρ G + q K p p G ++ q W G ++ q minimalna złożona alternatyna postać normalna złożona kanoniczna alternatyna postać normalna ieloartościoa funkcja logiczna trzech zmiennych spółczynnik agoy dla ieloartościoych iloczynó logicznych cząstkoy iloczyn elementarny ieloartościoy układ R- zbioru rónań logicznych ze S- zbiorem iloczynó kanonicznych spółczynniki strat stopniu sterującym hydraulicznego zaoru proporcjonalnego siła elektromagnetyczna ciśnienie robocze rzeczyista ydajność pompy natężenie przepłyu przez dyszę D, D, D3 zaorze proporcjonalnym natężenie przepłyu odbiornika zaorze proporcjonalnym zmocnienie regulatora zaorze proporcjonalnym ymuszenie skokoe napięcia sterującego zaorze proporcjonalnym pradopodobieństo pojaienia się i-tego elementu zbioru zbiór przykładó uczących liczba przykładó zbiorze uczącym E ysokość podnoszenia, spad kąt ustaienia łopatek irnika prędkość obrotoa lepkość dynamiczna cieczy gęstość cieczy yrażenie analityczne struktury drzeiastej z rozkładu grafu zależności G od ierzchołka q yrażenie analityczne struktury drzeiastej z cyklami z rozkładu grafu zależności G od ierzchołka q yrażenie analityczne struktury drzeiastej z cyklami z rozkładu grafu zależności G od ierzchołka q z uzględnieniem ielokrotnej numeracji ierzchołkoej

5 WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ I SYMBOLI 5 W DG ++ q L ( G ++ q ) K L ( G ++ q ) Q t Q zp R p0 R pp R pz R r R s T K ω D C V B R J η ν η c η hm M t M yrażenie analityczne struktury drzeiastej z cyklami z rozkładu grafu zależności G od ierzchołka q z uzględnieniem ielokrotnej numeracji ierzchołkoej i dekompozycji spółczynnik złożoności struktury drzeiastej G ++ q kompleksoy spółczynnik złożoności struktury drzeiastej G ++ q ydajność teoretyczna pompy (dla ustalonego układu hydraulicznego) natężenie przepłyu przez zaór przeleoy ypadkoa oporność przeciekó enętrznych układzie oporność przeciekó pompy określona ze spraności olumetrycznej oporność przeciekó zaoru przeleoego określona z nachylenia charakterystyki statycznej zaoru dla ciśnień poniżej ciśnienia otarcia oporność przeciekó rozdzielacza oporność przeciekó silnika określona za spraności olumetrycznej stała czasoa zaoru przeleoego przeodność zaoru przeleoego prędkość kątoa ału silnika chłonność jednostkoa silnika kapacytancja układu objętość cieczy linii tłocznej układu zastępczy moduł ściśliości cieczy uzględniający rónież sprężystość przeodó ścianek oporność mechaniczna ruchu obrotoym silnika duży masoy moment bezładności mas irujących spraność objętościoa pompy spraność całkoita pompy spraność hydrauliczno-mechaniczna pompy moment teoretyczny dla pompy zębatej moment strat hydrauliczno-mechanicznych

6 ROZDZIAŁ 6 ROZDZIAŁ PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY.. PRZEDMIOT ROZWAŻAŃ Etap formułoania zadania projektoego yznacza istotne potrzeby jakie mają być zaspokojone, a ięc określa cel projektoania. W ziązku z czym zadanie projektoe poinno być sformułoane ogólnie, tak aby nie ograniczać liczby możliych roziązań. Jednocześnie poinno konkretyzoać potrzebę, a tym samym umożliić efektyne roziązanie problemu oraz jego polepszenia. Na etapie analizy zadania projektoego ustala się zasadnicze arunki jego ykonania, a przede szystkim dokonuje się optymalizacji ymagań projektoych. Projektoanie traktuje się jako działanie przygotoacze, którego celem jest organizacyjno-informacyjne i konstrukcyjno-technologiczne zapenienie procesu realizacji, yniku którego postaje ytór o określonych łasnościach. W procesie projektoania można zauażyć cztery rónoległe realizoane działania: organizacyjno-badacze, konstrukcyjne, optymalizacyjne oraz drożenioo-technologiczne. Czynnością początkoą do podjęcia działań projektoych jest odpoiednie sformułoanie problemu. Finalnym celem definioania problemu poinien być zbiór koncepcji przedmiotu, który spełnia żądane funkcje całego procesu. W otaczającym nas śiecie można yróżnić da podstaoe procesy: robocze i procesy oddziałyania na nie. Projektoanie składa się z teorii, syntezy, konstruoania, a także zbioru algorytmó. W ogólnym sensie zajmuje się torzeniem schemató i budoą tych procesó roboczych. Jest ięc składoą szystkich nauk. W zakres projektoania procesó chodzi problem takiego opracoyania koncepcji, modeli i oddziałyania (poprzez steroanie, kieroanie, uzyskianie), aby ydobyć z nich maksimum zadoolenia. Stierdza się ięc, że projektoanie ma charakter interdyscyplinarny podobnie jak cybernetyka. Do zaprojektoania układu potrzebne są trzy składoe iedzy zakresie: procesó fizycznych, praidłoości oddziałyania na te procesy oraz polepszania zachodzących procesó-optymalizacji. Dlatego optymalne projektoanie lub przeprojektoyanie ogólnym przypadku rozpatruje się jako proces dynamiczny, który obejmuje oddziałyanie oraz torzenie noych artości [5, 89, 99, 0, 65]. Wspólną cechą modeli procesu projektoania jest etapoość. Oznacza to, że proces realizoany jest stopnioo (etapami), tj. poprzez realizację poszczególnych stadió projektoych (faz projektu). Po zakończeniu poszczególnych faz ocenia się ich yniki i podejmuje decyzje, co do dalszego przebiegu procesu. W kolejnym etapie yznacza się dalsze działania, gdy ocena jest pozytyna, albo potarza się dane działania lub sekencje działań, gdy ocena jest negatyna. Metodologia projektoania jest zbiorem ram i reguł narzuconych procesie projektoania, spomaganego komputerem, z ykorzystaniem metod strukturalizacyjnych,

7 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY 7 umożliiających ziększenie modułoości, agregacji i dekompozycji oraz formalizacji odpoiednich jego etapach: formułoaniu problemu, analizę problemu, poszukianiu roziązań zadania projektoego, yborze i optymalizacji. W danym procesie projektoania każdy problem, jako całość należy rozbić na tyle oddzielnych elementó, na ile to jest możlie (Galileusz ; Kartezjusz- Rene Descartes ). Projektoany element składa się z pod elementó (zajemnie przenikających się), które poiązane ze sobą mają pene cechy integralne ("Całość to coś ięcej niż suma jego części składoych"; Arystoteles p.n.e). Przed przystąpieniem do poszukiania roziązania, projektant musi rozażyć możliość podziału (dekompozycji) danego zadania na podzadania cząstkoe, które poinny być od siebie niezależne. Często podział taki jest dokonyany sposób intuicyjny. Po zakończeniu poszczególnych etapó cząstkoych następuje proces ich łączenia (agregacji). Wybór najlepszego roziązania jest jednym z najażniejszych działań tórczych procesie projektoania. Ponieaż często istnieje tylko jedno roziązanie, dlatego konieczne jest ariantoe działanie projektanta, implikujące różne możlie roziązania. W celu optymalizacji ymagań projektoych ustala się funkcję celu i poszukuje takich artości zmiennych decyzyjnych, aby ta funkcja osiągnęła artość ekstremalną. Często zachodzą różne konkurencje i pozorne sprzeczności pomiędzy elementami zbioru kryterialnego, co ymaga uzględnienia kryterium kompromisu, optymalizacji Pareto, nakładkoych logicznych drze decyzyjnych, itd. W literaturze istnieje iele różnych opisó zaróno poszczególnych etapó jak i całych procesó projektoania i konstruoania. W rzeczyistości istnieje iele metod poszukiania pomysłó i strukturalizacji problemu, które chodzą skład metod projektoania, np.: metoda morfologiczna, analiza zajemnie poiązanych obszaró decyzji AIDA, metoda tablic decyzyjnych, graf decyzji, sieć interakcji, graf hierarchiczny, dendryt, logiczne drzea decyzyjne, klasyfikatory drzeiaste,.... Wproadzenie odpoiednich zapisó formalnych procesie strukturalizacji problemu, łączy kompleksoe cechy ilościoe i jakościoe o różnym stopniu szczegółoości edług zasad ieloymiaroej tablicy morfologicznej. Tablice decyzyjne i morfologiczne mogą być analitycznie i numerycznie zakodoane edług definicji i tierdzeń logiki ieloartościoych procesó decyzyjnych, co umożliia ariantoy sposób identyfikacji i klasyfikacji informacji ujęciu informatycznym podczas poszukiania roziązań procesie projektoania. Metoda minimalizacji złożonych cząstkoych ieloartościoych funkcji logicznych yznacza rangę ażności parametró konstrukcyjno - eksploatacyjnych, odgryających rolę logicznych zmiennych decyzyjnych. Istotnego znaczenia nabiera proadzenie agoych układó rónań logicznych, jako ytycznych projektoania, z możliością minimalizacji rozdzielnej albo spólnej z zachoaniem rónoażności logicznej. Naet przypadku duartościoym (booloskim) minimalizacja spólna nie jest gorsza sensie liczności literałó od minimalizacji

8 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY 8 rozdzielnej. Z kolei, gdyby proces projektoania na etapie doboru artości liczboych parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych modelu matematycznym przetłumaczyć na graf zależności, óczas algorytmiczna kolejność zmian artości liczboych (oraz spradzanie ynikó) jest zgodna z graficznym zapisem drze rozgryających parametrycznie. Dotychczas grafy i drzea ujęciu parametrycznym były stosoane m.in. teorii automató z zachoaniem celoym. Proces decyzyjny, określający myśloe i obliczenioe operacje uzasadnia potrzebę proadzania. zagadnień dla strukturalizacji problemu projektoego... CEL I ZAKRES PRACY Pośród narzędzi spomagania decyzji można yróżnić: tablice decyzyjne, dendryty, logiczne drzea decyzyjne, klasyfikatory drzeiaste, a także rónania logiczne z agoymi spółczynnikami oraz grafy rozgryające parametrycznie. Procesy decyzyjne mogą być programoane różnych językach komputeroych z zastosoaniem różnych metod i algorytmó do osiągnięcia tego samego celu. Wraz z rozojem techniki informatycznej zmienia się charakter i możliości stosoanych praktyce metod optymalizacyjnych oraz systemó spomagania decyzji. Wproadzanie sztucznej inteligencji, często zanej inteligencją obliczenioą, do praktyki jest już dzisiaj koniecznością. Istnieje szeroki zakres badań, dotyczących opracoań metodyki spomagania procesó podejmoania decyzji i steroania badaniach łasności układó maszynoych oraz systemach o różnej skali złożoności z udziałem sztucznej inteligencji. Dokonując analizy stanu badań ziązanych z systemami spomagania podejmoania decyzji i steroania, można zauażyć ciągły rozój metod inteligencji obliczenioej tj.: sieci neuronoych, logiki rozmytej, zbioró przybliżonych, systemó ekspertoych oraz kombinacji tych metod np.: systemach hybrydoych. Jednocześnie następuje ciągła propagacja stanu iedzy tz. uczeniu maszynoym. Obejmuje ono problematykę konstruoania systemó, których działanie zrasta raz z dośiadczeniem reprezentoanym przez zbiór przykładó uczących. Coraz częściej ykorzystuje się algorytmy maszynoego uczenia takich dziedzinach jak: mechatronika, robotyka, steroanie złożonymi obiektami, projektoanie inteligentnych systemó spomagania decyzji oraz badaniu łaściości dynamicznych układó maszynoych. Wśród najczęściej ykorzystyanych metod uczenia maszynoego są algorytmy indukcji drze decyzyjnych (torzące graficzną reprezentację iedzy) oraz sieci neuronoe [9, 38, 97, 8, 4, 03, 06, 07]. W pracy przedstaiono metody eryfikacji dośiadczalnej już istniejących przedmiotó-środkó technicznych, tzn. zaprojektoanych i skonstruoanych. Finalnym etapem jest m.in. zbadanie rangi ażności różnych ielkości z dopuszczalnych zakresó, dla istniejących lub noych arunkó pracy, co może być ziązane z przeprojektoaniem gotoego już środka technicznego na noą sytuację decyzyjną. Zamiast od początku torzyć noy środek techniczny, można spradzić czy praca istniejącego już środka technicznego będzie poprana noej sytuacji. W szczególności pracy doktorskiej kategorie informatyczne ograniczono opisoo do CAD (Computer Aided Design), czyli do komputeroego spomagania

9 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY 9 projektoania. Nie należy tutaj dosłonie rozumieć jedynie gotoych już programó obliczenioych i graficznych językó programoania takich jak np.: Visual Fortran, Visual Basic, AutoCad, I-DEAS, (...), lecz także noych metod algorytmicznych z ykorzystaniem logiki matematycznej, teorii algorytmó, metod numerycznych, procesó decyzyjnych, teorii struktur grafoo-dendrytoo-drzeiastych, stosoanych procesie projektoo- konstrukcyjnym z ykorzystaniem komputera [60, 45, 4, 8, 9]. W złożonych sytuacjach procesu projektoania, ażne jest odpoiednie zapisanie algorytmiczne i oprogramoanie przedstaionych metod projektoania grafó i drze rozgryających parametrycznie, aby szczególności uniknąć złożoności obliczenioej typu ykładniczego. Właściość taką uzyskuje się m.in. zagadnieniach minimalizacji funkcji logicznych du- i ieloartościoych. W matematyce funkcja ykładnicza rośnie szybciej niż doolny ielomian i dlatego złożoność obliczenioa NP- zupełna nie garantuje otrzymania yniku obliczenioego danego problemu projektoo-konstrukcyjnego czasie realnym. W pracy doktorskiej nie uzględniono dosłonego, pełnego słonicta Metodologii Szkoły Śląskiej z Politechniki Śląskiej Gliicach [,, 3, 5, 8, 30, 60] zakresie rozumienia następujących zagadnień: poprzez działania techniczne na abstraktach uzyskuje się utory, a na konkretach (materialne obiekty) ytory, utory oznaczają system, zbiór relacji sprzężeń i przekształceń opisujący działanie przyszłego środka technicznego lub konstrukcję (układ rozkładu struktur i stanó ytoru, który opisują cechy konstrukcyjne- geometryczne i montażoe). Zastosoana pracy doktorskiej terminologia dotyczy informacji (ielkości) ejścioych i yjścioych, zmiennych niezależnych i zależnych (funkcji). W Metodologii Szkoły Śląskiej istnieją: uporządkoania rodzin konstrukcji, unifikacja i typizacja, relacje między cechami charakterystycznymi, a cechami konstrukcyjnymi, relacje między zunifikoanymi parametrami, a artościami ymiaró yróżnionych konstrukcji elementó, relacje między typoymi roziązaniami konstrukcyjnymi, a typoymi postaciami konstrukcyjnymi elementó, reguły doboru uporządkoanych składnikó rodziny konstrukcji, metody podobieństa konstrukcyjnego. Do celó niniejszej pracy należy opracoanie algorytmó optymalizacyjnych układó maszynoych, z jednoczesnym opisem ytycznych projektoania na podstaie rónań logicznych i struktur grafoych o realizoalności technicznej.

10 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY 0 W pracy uzględniono: opracoanie algorytmu struktur grafoych, umożliiających zmiany artości parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych edług modeloania matematycznego zagadnieniach optymalizacji układó maszynoych, opracoanie algorytmu Quine a Mc-Cluskeya minimalizacji funkcji logicznych z agoymi spółczynnikami, opracoanie algorytmó ieloartościoych rónań logicznych, umożliiających otrzymanie najażniejszych ytycznych projektoania procesie optymalizacji układó maszynoych, przeproadzenie obliczeń celu potierdzenia opracoanych algorytmó. Zakres pracy:. Matematyczna i informatyczna analiza grafó rozgryających parametrycznie i ieloartościoych rónań logicznych metodologii projektoania: rozkład grafu rozgryającego parametrycznie od doolnych ierzchołkó opisujących parametry konstrukcyjno- eksploatacyjne, analiza złożoności obliczenioej ytycznych projektoania po przejściu na drzeo rozgryające parametrycznie, kompozycja istniejących drze rozgryających parametrycznie, celem otrzymania decyzyjnej strukturze graficznej szystkich podgrup ytycznych projektoania z uzględnieniem niezależnych układó ytycznych projektoania, upraszczanie (redukcja) logicznych drze decyzyjnych przez odcinanie identycznych sekencji parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych z jednoczesnym zapenieniem ciągłości procesu decyzyjnego (jako braku gałęzi izoloanych), interpretacja badania rangi ażności zmian artości arytmetycznych parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, edług logicznych artości z ieloartościoych systemó logicznych, układy rónań logicznych realizoalnych ytycznych projektoania ustalonych parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych jako formalny decyzyjny opis badania rangi ażności zmian artości arytmetycznych takich parametró, yznaczenie najażniejszych realizoalnych ytycznych projektoania yniku roziązania układu rónań logicznych, przykłady obliczenioe zastosoań / zagadnień komputeroym spomaganiu procesu projektoania układó maszynoych.. Zastosoanie grafó rozgryających parametrycznie i ieloartościoych rónań logicznych optymalizacji układó maszynoych : analiza złożoności obliczenioej kompozycji drze ujęciu parametrycznym, minimalizacja rónań logicznych układó ieloartościoych z uzględnieniem różnej ieloartościoości zmiennych decyzyjnych i

11 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY różnych ieloartościoych spółczynnikó logicznych iloczynach logicznych opisujących ciągi ytycznych projektoania, uzględnienie penych (00%-oa peność ystąpienia danej artości) i niepenych (brak możliości określenia danej artości) oraz pełnych i niepełnych danych informacyjnych optymalizacji łasności dynamicznych układó maszynoych, opracoanie algorytmó struktur grafoych umożliiających zmiany artości parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych zagadnieniach optymalizacji układó maszynoych, opracoanie algorytmó ieloartościoych rónań logicznych umożliiających otrzymanie najażniejszych ytycznych projektoania procesie optymalizacji układó maszynoych, przeproadzenie badań symulacyjnych celu potierdzenia opracoanych algorytmó, przykłady obliczenioe zastosoań / zagadnień komputeroym spomaganiu procesu projektoania układó maszynoych. W pracy przedstaiono 7 głónych rozdziałó. Poza zaierającym stęp pierszym rozdziałem, pozostałe pośięcono następującym zagadnieniom: Rozdział : to omóienie podstaoych informacji, dotyczących minimalizacji funkcji logicznych. Funkcję logiczną można przedstaić za pomocą różnych formuł. Zagadnienie minimalizacji funkcji logicznych polega na yznaczeniu formuły rónoażnej o jak najprostszej postaci. Ogólne metody minimalizacji funkcji logicznych, można podzielić na graficzne i algebraiczne. Zastosoanie odpoiednich definicji i tierdzeń umożliia przekształcenie doolnego zapisu logicznego na minimalną alternatyną postać normalną mającą zastosoanie strukturalizacji metodologicznej. Wszystkie arianty, jako roziązania pradzie (realizoalne) opisane są przez kanoniczną alternatyną postać normalną KAPN funkcji logicznej (du- lub ieloartościoej). Po zastosoaniu algorytmu Quine a- McCluskeya otrzymuje się z roziązań realizoalnych podroziązania realizoalne, jako nieredukoalną alternatyną postać normalną NAPN funkcji logicznej, a następnie z MAPN- najażniejsze podroziązania realizoalne. Minimalna złożona alternatyna postać normalna MZAPN funkcji logicznej buduje się ze złożonej alternatynej postaci normalnej ZAPN, uzględniając krotności piętroego upraszczania się zmiennych logicznych.. Wykorzystując zagadnienia minimalizacji złożonych funkcji logicznych możlie jest badanie rangi ażności ustalonych zmiennych, szczegółoa analiza podroziązań realizoalnych, itd. Rozdział 3: pośięcono zagadnieniu zastosoań rónań logicznych optymalizacji układó maszynoych. W procesie optymalizacji, zmiany artości liczboe parametró konstrukcyjnych płyają na zachoanie się funkcji zależnych od czasu. Zmiany

12 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY takie można zapisać kodoo logice ieloartościoej, natomiast ytyczne projektoania- jako ieloartościoe iloczyny logiczne. Takie postępoanie może być przeproadzone oddzielnie, uzględniając każdej ielkości yjścioej dodatkoe, agoe logiczne spółczynniki odpoiadające czasoi stabilizacji. Wagoy ieloartościoy układ rónań logicznych, opisujących ytyczne projektoania, można zminimalizoać rozdzielnie albo spólnie z zachoaniem rónoażności logicznej, ale już naet przypadku duartościoym (booloskim) minimalizacja spólna nie jest gorsza sensie liczności literałó od minimalizacji rozdzielnej. Ziększenie, zmniejszenie lub pozostaienie bez zmian artości liczboych procesie przeprojektoania układu na inne arunku pracy można zapisać kodoo logice ieloartościoej, natomiast zbiory ytycznych projektoania- jako sumy ieloartościoych iloczynó logicznych. Postępoania takie można przeproadzić oddzielnie analizując każdą ielkość yjścioą z dodatkoym, agoym logicznym spółczynnikiem dla czasu stabilizacji, tzn. mniejszy (lepszy) czas stabilizacji ma ażniejszą (iększą) artość spółczynnika agoego odpoiedniego ieloartościoego iloczynu agoego. W rozdziale 3 przedstaiono przykłady zastosoania ieloartościoych funkcji logicznych z agoymi iloczynami badaniu rangi ażności parametró konstrukcyjnych zaoró hydraulicznych. Rozdział 4: zaiera przedstaienie zastosoań struktur drzeiastych, jako narzędzi zastosoania i spomagania procesu projektoania, optymalizacji i podejmoania decyzji. Jeśli parametry konstrukcyjne i /lub eksploatacyjne, przyjmujące artości liczboe z określonego przedziału, oznaczono jako ustaloną zmienną logiczną, to można przeproadzić dyskretyzację takich przedziałó liczboych. Zbiór szystkich kombinacji liczboych jest drzeem ariantó o liczbie pięter rónej liczbie parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych. W rozdziale 4 przedstaiono drzea decyzyjne, generoane sposób indukcyjny na zasadzie przyrostu entropii. Indukcyjne drzea decyzyjne reprezentują serie testó ykonanych określonej kolejności, gdzie każdy kolejny test rozdziela pene próbki danych na podgrupy zaierające coraz ięcej próbek z danej tylko klasy. W rozdziale 4 zastosoano indukcyjne drzea decyzyjne systemu DeTreex ybranych przykładach konstrukcyjnych.. Następnie zastosoano ieloartościoe drzea logiczne. Porónano proces identyfikacji i klasyfikacji oraz ocenę rangi ażności zmiennych decyzyjnych przy użyciu obu metod. Indukcyjne drzea decyzyjne można identyfikoać ze zmodyfikoanymi drzeami logicznymi. Rozdział 5: to opis grafó zależności i drze rozgryających parametrycznie, jako graficznych struktur analizie modeli matematycznych układó maszynoych. Model matematyczny danego problemu (układu, elementu) zapisany analitycznie, jako układ rónań algebraiczno-różniczkoo-całkujących albo graficznie jako graf zależności, którym poiązania (relacje) są doolnymi ustalonymi sensie artości arytmetycznych zmiennymi ejścioymi, a ierzchołki - ielkościami

13 PRZEDMIOT, CEL I ZAKRES PRACY 3 yjścioymi zależnymi od czasu. Ostatecznie z grafu można otrzymać różne struktury drzeiaste z cyklami i różne struktury rozgryające parametrycznie dla różnych początkoych ierzchołkó rozkładu jako zbiory ytycznych projektoania. Struktury rozgryające parametrycznie otrzymane yniku rozkładu grafu zależności od każdego z ierzchołkó pozalają zalgorytmizoać tok obliczeń oraz podzielić całą przestrzeń przeszukiania grafu na podgrupy. Kompleksoe struktury drzeiaste rozgryające parametrycznie generoane są ostatnim etapie dekompozycji grafu zależności. W rozdziale 5 przedstaiono przykład zastosoania grafu i drze analizie łaściości dynamicznych układu hydraulicznego składającego się z pompy zębatej, zaoru przeleoego, rozdzielacza i silnika obciążonego dużym masoym momentem bezładności. Rozdział 6: zaiera przykład optymalizacji dyskretnej pompy zębatej z podciętą stopą zęba. Badany prototyp yprodukoano Wytórni Pomp Hydraulicznych Sp. z o.o. e Wrocłaiu. Innoacyjność jednostki prototypoej polega na modyfikacji profilu eolenty jej dolnej części poprzez tz. podcięcie stopy zęba. W optymalizacji pompy zębatej oblicza się spraność objętościoą, hydraulicznomechaniczną oraz całkoitą. Optymalizacja spraności pompy może przebiegać jako ielokryterialna, bądź monokryterialna. Zastosoanie ieloartościoych drze logicznych optymalizacji dyskretnej pompy zębatej prezentuje noe podejście do zagadnienia, gdyż dotychczas była obliczona innymi metodami. W pierszym etapie badań zastosoano ieloartościoe logiczne drzea decyzyjne do analizy rangi ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych oraz kompleksoe ieloartościoe drzea decyzyjne. W drugim etapie, badania rangi ażności pompy zębatej z podciętą stopą zęba, zastosoano kompleksoy spółczynnik złożoności struktur rozgryających parametrycznie. Rozdział 7: to nioski, spostrzeżenia i omóienie możliości kontynuacji badań.

14 ROZDZIAŁ 4 ROZDZIAŁ PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH Wyszukianie i klasyfikacja informacji znajduje odpoiednie yrażenia logiczne o możliie jak najkrótszym zapisie, rónoażnym z daną informacją pierotną i yodrębnionymi najmniej lub najbardziej ażnymi informacjami. W układach cyfroych stosuje się algebrę Boole a z punktu idzenia funkcji logicznych duartościoych. Wszystkie kombinacje decyzyjne danym systemie (np. układzie mechanicznym) opisuje się tablicy kombinacji skończonej liczby zmiennych dójkoych. Wyrażeniom (funkcjom) jako pradziym sytuacjom decyzyjnym (realizoalnym) przypisuje się artość, oznaczającą pradę. Zbiór alternatynych ersji pradziych zapisuje się alternatynej postaci normalnej APN jako sumę iloczynó zmiennych. Dalsze przekształcenia ykonuje się edług definicji i tierdzeń algebry Boole a. Podobne modyfikacje z arunkami i regułami decyzji przeproadza się odniesieniu do ieloartościoej tablicy decyzyjnej. Podstaoe definicje i tierdzenia umożliiają przekształcenie doolnego zapisu logicznego na minimalną alternatyną postać normalną i na minimalną złożoną alternatyną postać normalną ieloartościoej funkcji logicznej... ALGEBRA BOOLE A W 854 roku George Boole, angielski matematyk i filozof utorzył, chociaż z penością nie zdaał sobie jeszcze z tego spray, podstay dzisiejszej informatyki. Wproadził on algebraiczne ujęcie logiki matematycznej nieielkiej pracy The Mathematical Analysis of Logic (Matematyczna analiza logiki), która została opublikoana 847 roku. Natomiast późniejszej książce The Las of Thought (Praa myśli) 854, Boole sformułoał problem bardziej dojrzały sposób. Dalszy rozój algebra Boole a zadzięcza Williamoi Jevonsoi i Charlesoi Peirce oi, których prace opublikoano latach sześćdziesiątych XIX ieku. Rezultaty dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbioró osiągnęli m.in. Paul Cohen i Dana Steart Scott. W oparciu o algebrę Boole a zdefinioano da ażne działy matematyki jak teoria mnogości oraz logika klasyczna. W algebrze tej definiuje się symbole podstaoe, aksjomaty oraz zbiór tierdzeń z nich yproadzonych. Zbiór aksjomató może być ybierany arbitralnie. Algebrę Boole a można zdefinioać na kilka sposobó [, 4, 7, 8, 0, 9, 04, 09,, 3, 30, 35, 44]. W dalszej części pracy przedstaiony został jeden z nich [7, 76, 89, 9]. Algebrą Boole a nazya się układ A = { A, +,, 0,}, gdzie do A należą przynajmniej da różne elementy i muszą być spełnione następujące aksjomaty:

15 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 5 A. ( a + b) + c = a + ( b + c), a b c A. ( a b) c = a ( b c), a b c A3. a + b = b + a, A4. a b = b a, A5. A6. a b a b! 0 a! a a + 0 = 0 + a = a, a = a = a, A7. a + ( b c) = ( a + b) ( a + c), a b c A8. a ( b + c) = ( a b) + ( a c), a b c A9. a a = 0 i a + a =. a a Jeśli przyjmie się, że a, b będą doolnymi elementami algebry Boole a, można yróżnić następujące łasności [76, 9]: W. a + a = a W. aa = a W3. a + = W4. a 0 = 0 W5. a + ab = a W6. a = a W7. Prao De Morgana sumy: ( a + b) = a b W8. Doolna, skończona liczba elementó a,..., a k należących do algebry Boole a: a + a a = a a... a k W9. Prao De Morgana iloczynu: ( ab) = a + b W0. ( k ) a a... a = a + a +... a k k

16 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 6... FUNKCJE BOOLOWSKIE Funkcjami booloskimi nazya się funkcje doolnej, skończonej liczby zmiennych dójkoych, które przyjmują artości 0 lub [43, 57, 58, 59, 90, 9, 9]. Obszarem określoności funkcji booloskiej n zmiennych jest zbiór możliych ektoró o n składoych x,...,, xn przy czym każdemu i =,..., n odpoiada x i = 0 lub x =. Każdy taki ektor można traktoać jako zesta dójkoy, któremu i odpoiada liczba całkoita nieujemna, yrażoną układzie dójkoym. Na przykład liczba 0 to ektor ( 0,0,0,0,0 ) liczbę 0, a liczba 9 to ektor (,0,0, ) l, ponieaż zachodzą róności: = = 0 oraz W celu naturalnego uporządkoania n ymiaroych zestaó dójkoych stosuje się tz. tablicę kombinacji ( n ymiaroą). Zestaem zeroym (mającym same zera) jest zesta pierszy, a zestaem jedynkoym (mającym same jedynki) ostatni. Gdy n = 3 otrzymuje się tablicę kombinacji zmiennych dójkoych x, x, x 3 : N(0) x x x Wyrażenie, które jest iloczynem doolnego skończonego zbioru liter parami różnych, nazya się iloczynem elementarnym. Skończoną sumę, parami różnych iloczynó elementarnych, nazya się alternatyną postacią normalną (APN). Jeśli APN funkcji booloskiej składa się z kanonicznych iloczynó elementarnych tego samego zbioru zmiennych, to APN nazya się kanoniczną alternatyną postacią normalną (KAPN). W celu sproadzenia doolnej funkcji booloskiej do postaci kanonicznej pozbya się naiasó oraz proadza brakujące zmienne tak, aby artość logiczna była taka sama [57, 58]: Przykład. (,, ) ( ) ( ) f x x x3 = xx + xx3 = xx x3 + x3 + x + x xx3 = = x x x + x x x + x x x + x x x

17 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 7... IMPLIKANTY PIERWSZE FUNKCJI BOOLOWSKIEJ Implikantem funkcji booloskiej f jest iloczyn literałó (zmienne zanegoane albo zykłe) o następującej łaściości: jeśli poszczególnych zestaieniach artości zmiennych, implikan jest róny jedności, także funkcja f jest róna jedności. Istotę implikantó pierszych określił Quine [0] 95 roku. W procesie minimalizacji funkcji booloskiej znajduje się najprostszą funkcję rónoażną danej funkcji początkoej, to znaczy, że istnieje możliość jej zapisu za pomocą najmniejszej liczby liter i symboli logicznych (negacja, koniunkcja i alternatya) [76, 0]. W algorytmie opracoanym przez Quine a znajduje się implikanty piersze funkcji booloskiej. Ziązany jest z etapami: poszukiania szystkich implikantó pierszych danej funkcji, torzenia zredukoanego systemu implikantó pierszych, czyli nieredukoalnej postaci NAPN funkcji booloskiej, torzenia minimalnej alternatynej postaci normalnej (MAPN). Sumę szystkich implikantó pierszych danej funkcji booloskiej nazya się skróconą alternatyną postacią normalną (SAPN). Po zastosoaniu odpoiednich tierdzeń analizy kombinatorycznej, można ogólnie zbadać liczbę szystkich możliych implikantó pierszych danej funkcji logicznej. Po przeproadzeniu operacji sklejania i pochłaniania elementarnego algorytmie Quine'a, znajduje się szystkie implikanty piersze danej funkcji booloskiej [63, 64]. Znalezienie zredukoanego systemu implikantó pierszych przeproadza się na podstaie tablicy implikantó danej funkcji booloskiej, której ierszami są implikanty piersze, natomiast kolumnami kanoniczne yrazy iloczynoe, gdzie funkcja ma artość. Przykład. Funkcja f ( x, y, z) = xy + xy + xz + yz ma cztery implikanty piersze; f ( x, y, z) przyjmuje artość dla pięciu zestaó artości zmiennych dójkoych: ( 0 0), ( 0 ), ( 0 0), ( 0 ), ( ), którym odpoiadają iloczyny kanoniczne: x y z, x y z, x y z, x y z, x y z; xy xy xz yz xyz xyz Wybieranie zredukoanych zbioró implikantó pierszych przeproadza się bezpośrednio z tablicy, przy czym należy przede szystkim ybrać te iersze, dla których znajduje się kolumnie dokładnie jedna giazdka. Takie implikanty piersze chodzą skład każdego zredukoanego zbioru implikantó pierszych danej funkcji. xyz xyz xyz

18 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 8 Jeśli takie implikanty piersze pokryają tylko część jedynek funkcji, to z pozostałego zbioru implikantó pierszych trzeba dodać takie, aby postało całkoite pokrycie ( przykładzie x y i x y nie pokryają całej funkcji, ięc należy dodać jeszcze implikant xz lub yz ). Przy szukaniu zredukoanego systemu implikantó pierszych, na podstaie tablicy funkcji booloskiej dużej liczby zmiennych, stosuje się celu ułatienia rachunkó metodę algebraiczną, którą proadził Petrick [67]. Podczas stosoaniu algorytmu Quine a funkcji booloskiej dużej liczby zmiennych, należy stosoać algorytm Mc Cluskeya, gdyż ystępują tutaj kanoniczne yrazy elementarne zapisane kodoo, a nie jak poprzednio literami... METODY MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH W minimalizacji funkcji logicznej yznacza się jej najprostszej formuły rónoażne. Opracoano iele metod minimalizacji funkcji booloskich. Ogólnie metody minimalizacji funkcji logicznych można podzielić na: graficzne, analityczne i komputeroe. Tradycyjnymi metodami oprócz metody Quine a- McCluskeya są: metoda map Karnaugh [49, 3], metoda iteracyjnego konsensusu [50, 98] czy metoda Espresso [08] (oparta na algorytmie ekspansji). Metody bazujące na generoaniu pokryć przy jak najmniejszej liczbie implikantó prostych. zaproponoali m.in: Michel R. Dagenais [48], Jean C. Madre [46], Patrick C. McGeer [4], Oliver Coudert [44, 45, 46].... METODA TABLIC KARNAUGHA Metoda Karnaugha to sposób minimalizacji funkcji booloskich, który został odkryty 950 roku przez Maurice Karnaugha. Tablica (mapa) Karnaugha jest uporządkoaną specyficzny sposób postacią zapisu tablicy artości funkcji logicznej [49]. Układając tablicę Karnaugha grupuje się szystkie kombinacje artości argumentó, aby zasze, przy przejściu z danego pola do pola sąsiedniego, zmieniała się artość tylko jednego argumentu. Zasadę sąsiedzta stosuje się rónież dla pól leżących przy kraędziach tablicy. W metodzie Karnaugha roziązuje się to ten sposób, że różniącym się tylko o negację pełnym iloczynom przyporządkouje się sąsiednie pola tablicy, do k [3]. Przykład.3 Na rysunku. przedstaiono przykłady minimalizacji funkcji booloskiej metodą Karnaugha: F( x, y, z) = x yz + x yz + x yz + x yz + xyz.

19 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 9 Rys... Przykłady minimalizacji funkcji booloskiej metodą Karnaugha... METODA ITERACYJNEGO KONSENSUSU Metoda ta, rozpoczyna się od implikantó funkcji i polega na iteracyjnym ykonaniu następujących krokó [50, 98]: usunięciu szystkich pokrytych implikantó (z postaci dysjunkcyjnej), ygeneroaniu szystkich konsensusó z par iloczynó, dodaniu ich do postaci dysjunkcyjnej i przejście do kroku pierszego. Obliczenia algorytmiczne ykonuje się dotąd, aż szystkie uzyskane iloczyny będą miały postać implikantó prostych. Poza ymienionymi pozycjami, pozostałe prace odnoszące się do metod yznaczania implikantó pierszych to [6, 5, 45, 98, 06, 4, 7, 3, 35, 36, 37, 39, 70, 74, 75, 83, 88]...3. METODY GRAFICZNE..3.. DRZEWA DECYZYJNE Złożoność tablic logicznych lub tablic prady rośnie ykładniczo zględem liczby zmiennych. W przypadku iększej liczby zmiennych decyzyjnych istnieją praktyczne trudności geometryczne celu yodrębnienia najmniej lub najbardziej ażnych informacji. Drzea decyzyjne pozalają na łate i szybkie yszukianie i klasyfikację informacji. W technice stosuje się bardzo dużo rodzajó drze. Ze zględu na charakter pracy zostały zaprezentoane tylko ybrane. Drzea decyzyjne proadził po raz pierszy Macfarlane 885 roku [35, 36]. Macfarlane a przekodoał tablicę Marquanda [38] do linioego ciągu kratek, a przynależność kratek do odpoiednich zmiennych została przedstaiona postaci drzea. Na rysunku.. przedstaiono drzeo Macfarlane a przykładoej funkcji logicznej.

20 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 0 Rys... Ustalone drzeo Macfarlane a przykładoej funkcji logicznej Przedstaione na rysunku. drzeo posiada złożoność ykładniczą zględem liczby zmiennych podobnie jak tablice logiczne. Dlatego stosuje się drzea zredukoane, otrzymyane przez stosoanie dóch prostych diagramoych reguł redukcji przedstaione na rysunku.3. Rys..3. Zredukoane drzea Macfarlane a W dalszych modyfikacjach uzględniono jeszcze lepsze rezultaty [73]. W przypadku drze logicznych artości logiczne zmiennych są kodoane na gałązkach drzea. Na danym poziomie drzea może ystępoać tylko jedna zmienna logiczna, przy czym liczba pięter jest dokładnie róna liczbie zmiennych niezależnych danej funkcji logicznej [56, 60, 6, 6]. Przedstaienie danej funkcji booloskiej, zapisanej kanonicznej alternatynej postaci normalnej (KAPN), na drzeie logicznym polega na zakodoaniu poszczególnych iloczynó kanonicznych na ścieżce drzea od korzenia do ierzchołka końcoego [56]. Poszczególna ścieżka na drzeie (od korzenia do ierzchołka) jest składnikiem jedynki funkcji logicznej, opisującej realizację jednego możliego roziązania. Zbiór ścieżek jest natomiast zbiorem szystkich możliych roziązań. Na rysunku.4 przedstaiono drzeo logiczne, na którym zakodoano ustaloną funkcję booloską trzech zmiennych. x 3 x f ( x x x, x, x3 ) x 3 + x x = x x x 3 x 3 + x x x 3 + x Rys..4. Funkcja booloska trzech zmiennych zakodoana na drzeie logicznym

21 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH W algorytmie Quine a Mc Cluskeya poprzez upraszczanie funkcji booloskich zapisanych KAPN, otrzymuje się skróconą alternatyną postać normalną (SAPN), a ostatecznie minimalną alternatyną postać normalną (MAPN) (Rys..5) [56, 60]. x 3 x 3 x x x x Rys..5. Drzeo logiczne i uproszczone drzeo logiczne Uzyskuje się óczas zminimalizoaną postać yjścioej funkcji (o minimalnej liczbie literałó). Nie jest to jednak minimalna postać decyzyjna, gdyż ystępują tu tak zane gałązki izoloane, oznaczające brak ciągłości między korzeniem, a ierzchołkami [0]. W przypadku zmodyfikoanych drze logicznych, na danym poziomie drzea może ystępoać iele zmiennych logicznych, co oznacza, że tradycyjne drzea logiczne są szczególnym przypadkiem zmodyfikoanych drze logicznych [, 53, 30, 3]. Na rysunku.6 przedstaiono przykład zmodyfikoanego drzea logicznego. Rys..6. Przykładoe zmodyfikoane drzeo logiczne [3] Na zmodyfikoanym drzeie logicznym z rysunku.6 można yróżnić leą (L) i praą (P) część z następująca kolejnością zmiennych na poszczególnych piętrach: L: x x 0,x,x x = 0 x 0 ; x P: x x x = 0 x,x x ; ,x x x = x 0,x4, = x6 x4 = 0 x3, 5; x x4 = x3, x5.

22 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH Spośród ielu zmodyfikoanych drze danego ariantu obliczenioego, istnieją drzea optymalne, które tak samo jak przypadku drze tradycyjnych, po uproszczeniu graficznym, mają minimalną liczbę gałęzi [3, 53]. Przykład.4 W tabeli. przedstaiono funkcję logiczną zapisaną kodoo KAPN. Optymalne zmodyfikoane drzeo logiczne odpoiadające tabeli. przedstaiono na rysunku.7. Tab.. Kodoy zapis funkcji booloskiej X X 4 X 5 X 6 X X Rys..7. Optymalne zmodyfikoane drzeo logiczne dla funkcji booloskiej z Tab.. Inne rodzaje struktur drzeiastych m.in. z logiką rozmytą można znaleźć [07, 4, 69, 87, 3] METODA SIATKOWO-DRZEWIASTA W metodzie siatkoo-drzeiastej analizuje się minimalizację upraszczania graficznego drzea logicznego położonego na siatce. Należy tu funkcję przedstaić za pomocą układó duartościoych i uprościć całe duartościoe drzeo lub podgrupy drze. Zastosoanie metody siatkoo-drzeiastej, jako jednej ze strukturalnych metod optymalizacyjnych układó maszynoych przedstaiono [0, 30]. Na rysunku.8 pokazano położenie na siatce drzea logicznego o układzie zmiennych X, X 3, X.

23 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 3 Rys..8. Położenie na siatce drzea logicznego o układzie zmiennych X, X 3, X. Zagadnieniami minimalizacji funkcji logicznych zajmoali się m.in.: R. Rudell, A. Sangiovanni-Vincentelli, G. W. Dueck, D. M. Miller, P. W. Besslich, J. A. Armstrong, G. Pomper, R. K. Brayton, (...)..3. ALGORYTM QUINE A-MC CLUSKEYA MINIMALIZACJI CZĄSTKOWYCH WIELOWARTOŚCIOWYCH FUNKCJI LOGICZNYCH Daniej zagadnienia minimalizacji funkcji booloskich były przydatne sieciach przełączających i teorii automató. W minimalizacji uzględniającej ieloartościoe systemy logiczne pełne, yznacza się rangę ażności ustalonych zmiennych, szczegółoą analizę podroziązań realizoalnych, itd. W przypadku ieloartościoych funkcji logicznych, podobnie jak funkcjach booloskich, podstaoą rolę szukaniu implikantó pierszych odgryają pojęcia niepełnego sklejania i pochłaniania elementarnego, które stosuje się do APN danej funkcji logicznej. Operacją sklejania nazya się przekształcenie [56, 40]: Aj o ( x ) + Aj ( x ) = A r + m..., r r gdzie: r =,..., n oraz A - cząstkoy iloczyn elementarny, którego zmienne poszczególnych literałó należą do zbioru { x,..., x, x,..., x } r i r + i n. Operacją niepełnego sklejania nazya się przekształcenie: Aj o ( x ) + Aj ( x ) = A + Aj ( x ) + Aj ( x ) r +... r, mr r o r... + mr gdzie r =,..., n oraz A - cząstkoy iloczyn elementarny, którego zmienne poszczególnych literałó należą do zbioru { x..., x, x,..., x }, r r + n.

24 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 4 Operacją pochłaniania elementarnego nazya się przekształcenie: Aj ( x ) A A +, u r = gdzie: 0 u mr, r n, oraz A - cząstkoy iloczyn elementarny, którego zmienne poszczególnych literałó należą do zbioru { x,..., x r, x r +,..., x n } zachodzi poyższa róność, to A pochłania Aj ( )). u x r. (Jeśli Znaki (v) oznaczają, że dany cząstkoy iloczyn elementarny zapisany za pomocą cyfr układu ( m,..., m n ) -pozycyjnego bierze udział sklejaniu z tymi iloczynami, które mają znak (v) tej samej kolumnie. Znaki zapisu operacji sklejania pisuje się oddzielnie kolumnach, a nie jak dotychczasoych opracoaniach literaturoych przypadkó duartościoych jednej kolumnie. W przypadku jednakoej ieloartościoości zmiennych x,..., xn danej funkcji logicznej, zbiór implikantó pierszych otrzymuje się jako przypadek szczególny z różnej ieloartościoości zmiennych. Przykład.5 Korzystając z zależności: gdzie: A A( x..., x, x,..., x ), r r + =, ( x ) + Aj ( x ) = A, Aj ( x ) + A, Aj0 r +... m r u r = A n j u ( x ) r = m 0,, u = x u x r r 0 u m ; kolejne etapy minimalizacji ieloartościoej funkcji logicznej [56] można przedstaić następujący sposób:

25 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH Ostatecznie otrzymuje się die NAPN i MAPN danej funkcji logicznej, zapisanie za pomocą liczb układu m-pozycyjnego: {(0-), (0-), (-), (-), (-)} oraz {(0-), (0-), (-), (-), (-)}. Ranga ażności kolejnych zmiennych decyzyjnych yznaczana jest poprzez złożone alternatyne postacie normalne, dzięki zamianie pięter logicznych drzeach decyzyjnych. Zamiana pięter drzea logicznego złożonych ieloartościoych funkcjach logicznych, ustala rangę ażności zmiennych logicznych od najażniejszej (przy korzeniu) do najmniej ażnej (na górze).istnieje uogólnienie duartościoego skaźnika jakości na ieloartościoy; (C k k i m i ) + (k i +K i ), gdzie C k liczba gałęzi k-tego pietra, k i - krotność upraszczania na k-tym piętrze m i - artościoej zmiennej, K i liczba gałęzi (k-) ego piętra, z których postały nie upraszczające się gałęzie k tego piętra. W ten sposób można otrzymać minimalną złożoną alternatyną postać normalną MZAPN danej funkcji logicznej bez gałęzi izoloanych na drzeie decyzyjnym, z jednoczesną minimalną liczbą gałęzi pradziych (realizoalnych), które szczególności można uznać za elementarne ytyczne projektoania. Wszystkie przekształcenia dotyczą tz. algorytmu Quine a - Mc Cluskeya minimalizacji indyidualnych cząstkoych ieloartościoych funkcji logicznych. Przykład.6 Wieloartościoa funkcja logiczna f(x, x, x 3 ), gdzie x, x, x 3 = 0,,, zapisanej numerycznie KAPN: 00, 00, 00, 00, 0, 0, 0, 0, 0,, 0, 0, 0,,,,,,, z jedną MZAPN po zastosoaniu algorytmu Quine a Mc Cluskey a minimalizacji indyidualnych cząstkoych ieloartościoych funkcji logicznych, posiada 3 literałó [56]: ( ) ( ) (,, 3 ) = o ( ) o ( ) ( 3 ) + ( ) o ( 3 ) + ( ) + + j ( x ) + j ( x ) jo ( x ) j ( x ) + j ( x ) + j ( x ) j ( x ) f x x x j x j x j x j x j x j x 3 3.

26 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 6 Na rysunku.8 przedstaiono szystkie możlie ZKAPN danej ieloartościoej funkcji logicznej. v x x x V 0 0 V 0 0 V 0 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V V 0 V 0 V 0 V V V V V V V v x x x V 0 0 V 0 0 V 0 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V V 0 V 0 V 0 V V V V V V V

27 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 7 x : = x : = 6 x 3 : = 3 v x x x V 0 0 V 0 0 V 0 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V 0 V V 0 V 0 V 0 V V V V V V V v v x x x x 0 0 V 0 0 V - 0 V - 0 V 0 V 0 V - 0 V - 0 V - V - V 0 V 0 V - V - V - V - V V V x : = x : = 9

28 PODSTAWOWE ZAGADNIENIA Z MINIMALIZACJI FUNKCJI LOGICZNYCH 8 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 Rys..8. ZKAPN i MZAPN danej funkcji logicznej z przykładu.6 Przedstaione podstaoe zagadnienia minimalizacji funkcji logicznych dui ieloartościoych mogą być uogólnione na inne graficzne struktury decyzyjne, celem dostosoania do ymagań optymalizacji dyskretnej układó maszynoych. złożonych z typoych elementó optymalizacja strukturalna. Dodatkoo należy uzględnić ieloartościoe spółczynniki agoe. W dotychczasoych opracoaniach literaturoych nie uzględniono różnych spółczynnikó dla iloczynó logicznych procesach minimalizacji rozdzielnej i spólnej układó ieloartościoych rónań logicznych.

29 ROZDZIAŁ 3 9 ROZDZIAŁ 3 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH We spółczesnej technice yróżnia się systemy zaierające układy o różnym charakterze fizycznym, np.: elektromechaniczne, pneumatyczne, hydrauliczne, itp.. Projektoanie i analiza tego typu układó ymaga stosoania odpoiednich form opisu i metod badaczych, celu zastosoania odpoiedniej procedury optymalizacyjnej [35, 89, 00, 3, 45, 8]. W studium dynamiki doolnego systemu ystępują następujące etapy (rysunek 3.): opracoanie modelu matematycznego tzn. sformułoanie ziązkó (np. rónań różniczkoych), opisujących procesy zachodzące przyjętym modelu fizycznym; określenie łasności dynamicznych układu na podstaie badań modelu matematycznego, celu przeidyania przebiegó procesó yołanych różnymi przyczynami; podjęcie eentualnych decyzji projektoych zapeniających żądane (optymalne) zmiany zachoaniu badanego układu. Rys. 3.. Etapy studium dynamiki układu [93, 8] Szeroka grupa układó stosoanych przemyśle to maszyny przepłyoe [33, 05, 93, 95,, 4]. W ich działaniu yróżnia się da stany: stan przejścioy ( którym artości funkcji układu zmieniają się czasie ) i stan ustalony (artości funkcji nie ulegają zmianie czasie lub zmiany te ystępują cyklicznie). Zmiany parametró konstrukcyjnych x, x,, x n płyają na zachoanie się funkcji f, f,, f n zależnych od czasu t. W procesie optymalizacji dla tych samych zmian parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, można zaobseroać różne zachoanie się funkcji zależnych od czasu [5]. Tablice decyzyjne [39] i funkcje logiczne [5, 79, 8, 0, 0] mają zastosoanie zagadnieniach modeloania układó maszynoych z rónaniami różniczkoymi (zyczajnymi lub cząstkoymi). Wynika to z faktu, że elementy nielinioe można rozdzielić na skończoną liczbę elementó (części) linioych, co proadzi do otrzymania kilku układó linioych sensie przebiegu modeloania z pierotnego pojedynczego modelu.

30 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 30 Optymalizacja dyskretna przepłyoych układó maszynoych polega na yznaczeniu rangi ażności parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych. Wytyczne co do kolejności podejmoanych decyzji ynikają z ieloartościoych drze decyzyjnych z uzględnieniem realizacji założonej funkcji celu (np. stabilności układu). 3.. WIELOWARTOŚCIOWE FUNKCJE LOGICZNE Z WAGOWYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI Działanie maszyn przepłyoych najczęściej oparta jest na dóch stanach: stan przejścioy ( którym artości funkcji układu zmieniają się czasie) i stan ustalony. Określenie stabilności modelu układu, a następnej kolejności rzeczyistego obiektu jest podstaoym problemem dynamiki. Analizę stabilności można rozpatryać aspekcie stabilności elementu lub stabilności całego układu z uzględnieniem analitycznych lub graficznych zależności iążących, np. parametry użytkoe (ciśnienie i natężenie przepłyu) z parametrami eksploatacyjnymi, np.: zmocnieniami regulatoró, pojemnością układu hydraulicznego, ruchomą masą, itd.. Opóźnienia układu przez parametry eksploatacyjne oraz nieodpoiednie zastosoanie zmocnień pętli, iąże się z niestabilną pracą całego układu. W analizie dynamiki hydraulicznych elementó lub układó yróżnia się trzy zasadnicze kryteria stabilności spotykane literaturze: sproadzenie nielinioych rónań różniczkoych do rónoażnych im rónań zlinearyzoanych, roziązanie zagadnień stabilności modelu z ograniczeniem nielinioości, roziązanie zagadnień stabilności na podstaie układu, opisanego nielinioymi rónaniami różniczkoymi. W celu ułatienia procesu optymalizacji i określenia rangi ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, przyjmoany jest najczęściej układ zlinearyzoany. Stabilizacja układu będzie zależeć od zmian artości parametró konstrukcyjnych i /lub eksploatacyjnych, od cech i łasności dynamicznych układu lub elementu. Zachoanie się funkcji f, f,..., fn zmiennych czasie t, uzależnione jest od zmiany parametró konstrukcyjnych x, x,... x n. W procesie optymalizacji dla tych samych zmian parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, można zaobseroać różne zachoanie się funkcji zależnych od czasu [5, 55, 57, 77]. Wykresy ielkości yjścioych z oznaczonymi czasami stabilizacji jako yniki modeloania (np.: programie MATLAB [], FLUENT [96]) zależą od danych artości liczboych parametró konstrukcyjnych. Zmiany takich artości (np.: zmniejszenie, ziększenie, pozostaienie bez zmian) procesie przeprojektoania układu na inne arunki pracy można zapisać kodoo logice ieloartościoej, natomiast zbiór ytycznych projektoania jako sumy ieloartościoych iloczynó logicznych. Działanie to ziązane jest z każdą ielkością yjścioą z uzględnieniem dodatkoych, agoych logicznych spółczynnikó. Wóczas

31 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 3 mniejszy (lepszy) czas stabilizacji ma ażniejszą (iększą) artość spółczynnika agoego odpoiedniego ieloartościoego iloczynu logicznego WSPÓŁCZYNNIKI WAGOWE W cząstkoej ieloartościoej funkcji logicznej fi ( x,..., xn ) n zmiennych ( m,..., mn ) - artościoych spółczynnik agoy i przed iloczynem kanonicznym przyjmuje artości z przedziału,..., n, przy czym j = j + j , gdzie j =,..., n. Dlatego agi funkcji z ykresu na rysunku 3. mogą być opisane następującym układem rónań logicznych: f : (0,, ), f : (0,,), co oznacza, że stabliność f 0 osiągana jest najszybciej, a f najpóźniej, tzn. 0 > > [57, 8], czyli f i i f j, i < j, gdy t t t j >. Rys. 3.. Wykresy funkcji f0, f, f zależnych od czasu dla kodoego zapisu ieloartościoych zmiennych decyzyjnych x = 0, x =, x3 = [57, 8] Przy takich założeniach można dodatkoo proadzić arunki niepeności odpoiednich iloczynó logicznych przedstaiających ytyczne projektoania. W teorii automató przyjmuje się funkcję logiczną częścioo określoną, gdzie nieredukoalna (i minimalna) alternatyna postać normalna jest yznaczana bez udziału niepenych iloczynó logicznych. W ogólnym przypadku, zbiór ustalonych funkcji modeloania, może być rozdzielony na poszczególne ykresy zmiennych yjścioych. Następnie torzy się ieloartościoą alternatyną postać normalną, gdzie iększy logiczny spółczynnik agoy oznacza mniejszy czas stabilizacji [57, 8] MINIMALIZACJA WIELOWARTOŚCIOWYCH FUNKCJI LOGICZNYCH Z WAGOWYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI W ieloartościoych funkcjach logicznych z agoymi iloczynami możlie jest zastosoanie algorytmu Quine a - McCluskeya minimalizacji ieloartościoych funkcji [56]. Podobnie jak przypadku minimalizacji ieloartościoych funkcji logicznych bez spółczynnikó agoych, algorytmie iloczyny elementarne zapisuje się jako liczby odpoiednich układach pozycyjnych. Dokładny algorytm Quine a McCluskeya minimalizacji cząstkoych funkcji logicznych raz z odpoiednimi definicjami i tierdzeniami z izomorfizmem

32 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 3 takich przekształceń przedstaiono pracy [56]. W celu uzględnienia spółczynnikó agoych proadza się dodatkoe elementy oraz operacje. W danych cząstkoych ieloartościoych funkcjach logicznych fi ( x,..., xn ) n zmiennych ( m,..., mn ) - artościoych należy operacjach sklejania oraz pseudosklejania uzględnić spółczynniki agoe (,,,..., ), przypisane n n n odpoiednim ieloartościoym iloczynom logicznym. Algorytm Quine a - McCluskeya minimalizacji ieloartościoych funkcji logicznych buduje się z n kolumn o (,..., n ) spółczynnikach agoych (Tab. 3.). Tab. 3. Kolumnoy zapis spółczynnikó agoych iloczynó elementarnych układzie ( m,..., m n ) - pozycyjnym x,..., x n n n (,..., n ) (,..., n ) (,..., n ) m. n (,..., ) m m... m m. (,..., ) n n n m m... m m. n n n p i 3 4 n... i=,..., n i=,..., n i=,..., n Symbole, oznaczające pseudosklejanie (V) oraz sklejanie (v) kolejno zględem grup indeksó różniących się o, umieszcza się kolumnach odpoiadającym artościom spółczynnikó agoych dla odpoiednich iloczynó logicznych. Przy uzględnieniu ieloartościoych spółczynnikó agoych indyidualne (rónoległe) operacje pseudosklejania (tierdzenie 5.3[56]), kolejno zględem grup indeksó, różniących się co najmniej o, zaierającymi (zgodnie z definicjami.. i.. [56]) co najyżej ( mi ) elementó, mogą przebiegać kanonicznych iloczynach o różnych spółczynnikach agoych. Znaki ystępują różnych kolumnach (uaga 3. [56]). Dodatkoo mogą znajdoać się kolumnach o odpoiednim spółczynniku (,,,..., ), n n n dlatego kolumnach o (,..., n) spółczynnikach agoych (Tab.3.) proadza się numery pozycyjne p i, przy czym i=,...,n., co jest przydatne obliczaniu jakości minimalizacji dalszych etapach.

33 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 33 W przypadku operacji sklejania indyidualnych cząstkoych ieloartościoych funkcji logicznych z agoymi spółczynnikami proadza się definicje czystego i nieczystego sklejania. Definicja 3. Operacja czystego sklejania jest sklejaniem ieloartościoych kanonicznych iloczynó elementarnych g algorytmu Quine a - McClusekya o takim samym spółczynniku agoym i. gdzie: Operacja czystego sklejania to przekształcenie ( )... ( ) Aj x + + Aj x = A, (3.) i o r i mr r i r =,..., n oraz A - cząstkoy iloczyn elementarny, którego zmienne poszczególnych literałó należą do zbioru { x,..., x, x,..., x } (,..., ) m mn - artościoych spółczynnik agoy i r i r + i n. W n zmiennych przed cząstkoym kanonicznym iloczynem przyjmuje artości z przedziału,..., n, przy czym = oraz j,..., n j j j = ( przypadku oznaczeń z [56], przykładoy zapis tego przekształcenia może być jako: (000)+ (00)+ (00)= (0-0)). Definicja 3. Operacja sklejania g algorytmu Quine a McCluskey a ieloartościoych kanonicznych iloczynó elementarnych o różnych artościach spółczynnikó agoych (,..., n ) jest nieczystym sklejaniem. Operację nieczystego sklejania dla ieloartościoych kanonicznych iloczynó elementarnych przeproadza się zględem spółczynnika agoego o najmniejszej artości tzn. min{,..., n }. gdzie: Operacja nieczystego sklejania to przekształcenie: r,..., n ( )... ( ) Aj x + + Aj x = = +, (3.) o o r mr mr r ( min{ o,..., m } ) ( ) r A s A js xr =, min { 0,..., } s m r s= io,..., imr > oraz A - cząstkoy iloczyn elementarny, którego zmienne poszczególnych literałó należą do zbioru { x,..., x, x,..., x } r i r + i n zmiennych ( m,..., mn ) - artościoych spółczynnik agoy i przed cząstkoym kanonicznym iloczynem przyjmuje artości z przedziału,..., n, przy czym = gdzie j,..., n j j j n. W = ( przypadku oznaczeń z [56], przykładoy zapis tego przekształcenia może być przedstaiony jako: (000)+ (00)+ (00)= (0-0)+ (00) +(00)).

34 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 34 Definicja 3.3 Operacja niepełnego sklejania to przekształcenie, które po ykonaniu algorytmu yniku, zatrzymuje pierotne zapisy podlegające sklejeniu. Uaga. W operacji czystego sklejania znaki (V) iloczynó elementarnych o i spółczynniku agoym umieszcza się jednej kolumnie na pozycji p i (co ynika z definicji 3.). Uaga. W operacji nieczystego sklejania znaki (V) iloczynó elementarnych o (,..., n ) spółczynnikach umieszcza się jednej kolumnie odpoiadającej najmniejszej artości spółczynnika min{,..., n } na pozycji p i. W pozostałych sklejających się iloczynach o spółczynnikach agoych W min { 0,..., } >, s m r kolumnach o odpoiednim spółczynniku (,..., n ) staia się znaki (V). Przy czym umieszcza się je na tej samej pozycji p i, na której umieszcza się znaki V kolumnie o spółczynniku min{,..., n}. Istnieje izomorficzna interpretacja przekształceń logicznych, dlatego algorytm Quine'a- McCluskeya minimalizacji indyidualnych cząstkoych ieloartościoych funkcji logicznych [56], może być rozpatryany z uzględnieniem spomnianych spółczynnikó agoych, co ma znaczenie opisyaniu rangi ażności ytycznych projektoania. Minimalizację graficzną na drzeach ykonuje się zasze od ierzchołkó do korzenia, przy założeniu, że nie poinny postaać gałązki izoloane. Przykład 3. W cząstkoej funkcji logicznej f ( x, x, x 3 ), zapisanej numerycznie KAPN: 00, 00, 00, 0, 0, 0,, algorytm Quine'a - Mc Cluskeya minimalizacji funkcji logicznych z ieloartościoymi spółczynnikami agoymi daje jedną MZAPN, która ma literałó f ( x, x3, x ), czyli: ( ) ( ) f ( x, x3, x ) = j0 (x ) j0 (x 3) j (x ) + j (x 3) j (x ) + j (x 3)) + + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x )) natomiast pozostałe ZAPN f ( x, x, x 3 ), f ( x, x, x 3 ), f ( x, x3, x ), f ( x3, x, x ) danej funkcji logicznej mają odpoiednio oraz f ( x3, x, x ) 3 literałó:

35 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 35 = ( + ) + ( ) f ( x, x3, x ) j0 (x ) j0 (x 3) j (x ) j (x 3) j0 (x ) + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) ( ) ( ) ( ) f ( x, x, x3 ) = j0(x ) j0 (x ) j (x 3) + j (x ) j0 (x 3) + + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ) ( ) ( ( ( ( )) )) f ( x, x, x3 ) = j0(x ) j0(x ) j(x 3) + j(x ) j(x 3) + j(x 3) + + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ) ( ) ( ) f ( x3, x, x ) = j0 (x 3 ) j0 (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) ( ) ( ) f ( x3, x, x ) = j0 (x 3) j0 (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) v i x x x 3 i = i = 0 0 V 0 0 V 0 0 V 0 V V 0 V 0 V V V p i v i x x x 3 i = i = 0 0 V 0 0 V 0 0 V 0 V 0 V V 0 V V p i v i x x x 3 i = i = 0 0 V 0 0 V 0 0 V 0 V 0 V V 0 V V V p i

36 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 36 V i x x 3 i = i = (0) - V (0) - 0 V V 0 V 0 0 V p i V i x x 3 i = i = (0) - V (0) - 0 V V 0 V 0 0 V p i V i x x 3 i = i = 0 0 V (0) - 0 V - 0 V 0 V V p i V i x x 3 i = i = 0 0 V (0) - 0 V - 0 V 0 V V p i Na rysunku 3.3 przedstaiono MZAPN ieloartościoej funkcji logicznej z przykładu 3.. Na rysunkach przedstaiono natomiast ZAPN danej funkcji logicznej.

37 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 37 x x x 3 f ( x, x3, x ) = (00) + (0) + (0 ) + (0 ) + (0) + () Rys Drzeo logiczne MZAPN ieloartościoej funkcji logicznej f ( x, x3, x ) z przykładu 3. x x x 3 f ( x, x, x 3) = (00) + (00) + (0 ) + (0) + (0) + (0) + (0) + () Rys Drzeo logiczne ZAPN ieloartościoej funkcji logicznej f ( x, x, x3 ) z przykładu 3. x x x 3 f ( x, x3, x ) = (00) + (00) + (0 ) + (0) + (0) + ( ) + (0) Rys Drzeo logiczne ZAPN ieloartościoej funkcji logicznej f ( x, x3, x ) z przykładu 3.

38 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 38 x x x 3 f ( x, x, x 3) = (00) + (0 ) + (0) + (0) + (00) + (0) + () Rys Drzeo logiczne ZAPN ieloartościoej funkcji logicznej f ( x, x, x3 ) z przykładu 3. x x x 3 f ( x3, x, x ) = (00) + (0 ) + (0) + (0) + (00) + ( ) + (0) Rys Drzeo logiczne ZAPN ieloartościoej funkcji logicznej f ( x3, x, x ) z przykładu 3. x x x 3 f ( x3, x, x ) = (00) + (0 ) + (0) + (0) + (0 ) + () Rys Drzeo logiczne ZAPN ieloartościoej funkcji logicznej f ( x3, x, x ) z przykładu 3. Gdyby nie uzględniać ieloartościoych spółczynnikó agoych, óczas dla cząstkoej funkcji logicznej f ( x, x, x3 ) z przykładu 3., zapisanej numerycznie KAPN: 00, 00, 00, 0, 0, 0,, ynikiem algorytmu Quine'a - Mc Cluskeya minimalizacji indyidualnych cząstkoych funkcji logicznych [56] są cztery roziązania MZAPN złożone z 0 literałó:

39 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 39 ( ) ( ( )) f ( x, x, x3 ) = j0 (x ) j0 (x ) j (x 3 ) + j (x ) + + j (x ) j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ), ( ) ( ) f ( x, x, x3 ) = j0 (x ) j0 (x ) j (x 3 ) + j0 (x ) j (x 3 ) + + j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( x, x3, x ) = j0 (x ) j0 (x 3 ) j (x 3) + j (x 3) j0 (x ) + + j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) + j (x ), f ( x, x3, x ) = j0 (x ) j0 (x 3 ) j (x ) + j (x 3 ) j (x ) + j (x 3 ) + + j (x ) j (x ) + j (x ) j (x ) UKŁADY WIELOWARTOŚCIOWYCH RÓWNAŃ LOGICZNYCH Z WAGOWYMI ILOCZYNAMI Funkcje logiczne uzględniane są zagadnieniach modeloania układó maszynoych opisyanych m.in. rónaniami różniczkoymi (zyczajnymi lub cząstkoymi). W przypadku, gdy układ maszynoy opisany jest zbiorem funkcji f, f, f 3,..., f n, zależnych od czasu t, zmiana parametró konstrukcyjnych x,.., x n implikuje zmianę (dobrą lub złą) przebiegu takich funkcji. W procesie optymalizacji dopuszcza się zmniejszenie, ziększenie lub pozostaienie bez zmian artości liczboych parametró konstrukcyjnych. Współczynnik agoy l i przy iloczynie zmiennych kanonicznych zależy od czasu t stabilizacji ielkości yjścioych, przy czym l i < l j gdy t i > t j [77, 79, 8]. W przypadku obliczeń przepłyoych (np. pompach yporoych lub iroych) jednocześnie badanych jest iele charakterystyk, stanoiących zbiór funkcji f, f, f 3,..., f n odpoiednich zmian parametró konstrukcyjnych x, x, x 3,...,x n. Przykład 3. Iloczyny kanoniczne zmiennych decyzyjnych x, x, x 3 poszczególnych funkcji f,f, f 3, poprzedzone zostały odpoiednimi spółczynnikami agoymi l i [8]. Tab. 3. Iloczyny kanoniczne zmiennych decyzyjnych x, x, x 3 dla funkcji f,f, f 3 z odpoiednimi spółczynnikami agoymi l i x, x, x 3 l i x, x, x 3 l i x, x, x 3 l i x, x, x 3 l i x, x, x 3 l i x, x, x 3 f f f Minimalizacja oddzielna funkcji f : f : (00-) + (-00) + (000) + (00) + (0). W optymalizacji układó przepłyoych ażne jest, aby przeproadzać minimalizację spólną szystkich ielkości yjścioych. Wóczas może istnieć

40 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 40 minimalne roziązanie o mniejszej liczbie literałó porónaniu do minimalizacji oddzielnej [0, 0, 56]. Przykład 3.3 Logicznie zapisane możliości teoretyczne zmian artości liczboych parametró konstrukcyjnych oznaczono przez x =0,, x =0,,, x 3 =0,, (gdzie znak "_" oznacza "zostaić bez zmiany" i otrzymano z modeloania układ dóch ieloartościoych rónań logicznych dla ielkości yjścioych [7]): { y y ( t) = (00) + (0) + (0) + (000). ( t) = (00) + (0) + 3(0) + (000), to ostatecznie po minimalizacji oddzielnej uzyskano zapis: { y y ( t) = (00 ) + (0 ) + (0), ( t) = (00 ) + (0 ) + (0) + 3(0). Gdyby zastosoać minimalizację spólną, tedy może istnieć ogólnym przypadku minimalne roziązanie o mniejszej liczbie literałó (czyli znaczących cyfr kodoych) obec minimalizacji oddzielnej [77]. Roziązanie agoego ieloartościoego układu rónań logicznych, opisujących ytyczne projektoania, można przeproadzić kombinatorycznie ujęciu analizy morfologicznej z zachoaniem aksjomató systemu Rossera- Turguette'a. Jeśli kolejne rónania R i,..., R m mają odpoiednio po r i,..., r n iloczynó (jako składnikó), to istnieje ri... r n ariantó teoretycznych roziązań, z których po usunięciu ariantó logicznie sprzecznych otrzymuje się roziązania pradzie jako arianty realizoalne. Współczynnik agoy i przy iloczynie kanonicznym zależy od czasu stabilizacji t i ielkości yjścioych, gdzie i < j przy t i > t j. W szczególności, jeśli x =0,, x =0,,, x 3 =0, oraz y { y = , = to istnieje 4 4= 6 ariantó teoretycznych. Roziązanie realizoalne można zapisać: y = = (00 ) + (0 ) + (0). Identyczne roziązanie układu otrzymuje się po ykonaniu cześniejszej minimalizacji rozdzielnej układu z 3 4= ariantó teoretycznych: y { y = (00 ) + (0 ) + (0), = (00 ) + (0 ) + (0) + 3 (0).

41 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH ROZWIĄZYWANIE UKŁADU WIELOWARTOŚCIOWYCH RÓWNAŃ LOGICZNYCH Z WAGOWYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI Układ ieloartościoych rónań logicznych można roziązać kombinatorycznie, ujęciu analizy morfologicznej z zachoaniem aksjomató systemu Rossera-Turguette'a. Układ rónań można zdefinioać jako zbiór rónań logicznych- R :{ Ri, Ri,..., Rm} jako składnikó- S :{, r,..., r } r i i R Y S, gdzie: R- +, S- zbiór iloczynó kanonicznych r i i+ n, przy czym: S R, Ri = r i + r i+ +,..., + rn, = A,gdzie: A - cząstkoy iloczyn elementarny, którego zmienne poszczególnych literałó należą do zbioru { x,..., x, x,..., x } r i r + i n. W n zmiennych ( m,..., m ) - artościoych spółczynnik agoy i przed cząstkoym kanonicznym iloczynem przyjmuje artości z przedziału,..., n, przy czym j = j + j dla j =,..., n. n Ri = ri + ri + j rn, R YS : Ri+ = ri + ri + j rn, Rm = ri + ri + j rn. (3.3) Układ ieloartościoych rónań logicznych zapisuje się za pomocą tablicy morfologicznej, gdzie liczba ierszy odpoiada liczbie rónań R j, j=,..., m. Każdemu j- temu rónaniu odpoiada i iloczynó kanonicznych (Tab. 3.3): Tab. 3.3 Tablica morfologiczna układu ieloartościoych rónań logicznych i=,..., n j=,..., m R j 3 4 M r ji N r r r 3 r... 4 r r r 3 r... 4 r 3 r 3 r 33 r r 4 r 4 r 43 r r n r n r 3n r 4n r m r m r m3 r m4 r mn W celu roziązania układu ieloartościoych rónań logicznych buduje się drzeo morfologiczne o j piętrach przy R j rónaniach logicznych, j=,..., m. Na każdym piętrze liczba iloczynó kanonicznych dla danego rónania. Dlatego zapis iloczynu kanonicznego r ji oznacza i- ty iloczyn na j-tym piętrze. Czasem przyjmuje się zasadę, że rónania o najmniejszej liczbie iloczynó kanonicznych poinny się znajdoać korzeniu drzea morfologicznego. W układzie 3 rónań:

42 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 4 Y R = r + r + r3, : R = r + r, R = r + r + r + r , (3.4) istnieje drzeo morfologiczne przedstaione na rys r3 r3 r3 3 r3 4 r3 r3 r3 3 r3 4 r3 r3 r3 3 r3 4 r3 r3 r3 3 r3 4 r3 r3 r3 3 r3 4 r3 r3 r3 3 r 3 4 R 3 r r r 3 r r r 3 R r r R Rys Drzeo morfologiczne układu trzech rónań logicznych R, R, R 3 Każda ścieżka z dołu do góry na drzeie morfologicznym jest iloczynem odpoiednich iloczynó kanonicznych ri... r n, przy czym obecnie już ri = i A. Liczba ariantó teoretycznych roziązań określona jest przez zbiór szystkich ścieżek pradziych. Na drzeie z rysunku 3.9 istnieją 4 ścieżki: : rrr 3, : rrr 3,3 : rrr 33, 4 : rrr 34, 5 : rr r3, 6 : rr r3, 7 : rr r33,8 : rr r34, 9 : rr3 r3,0 : rr3 r3,: rr3 r33, : rr3 r34,3 : r r r3,4 : r r r3,5 : r r r33, 6 : rrr 34,7 : r r r3,8 : r r r3,9 : r r r33, 0 : r r r34, : r r3 r3, : r r3 r3, 3 : r r3 r33, 4 : r r3 r34, z których należy ybrać roziązania realizoalne. Jeśli danej ścieżce e szystkich iloczynach r,..., r = (,..., ) A (,..., ) A,..., (,..., ) A, gdzie ij nm 0 mr 0 mr 0 mr n (,..., ) oznaczają ieloartościoe spółczynniki agoe, zachodzi 0 m r A = A =,..., = An = A (tzn. każdy cząstkoy iloczyn elementarny posiada zmienne { x x x x },..., r i, r+ i,..., n posiadające te same ( m,..., mn ) -artościoości na n- pozycjach) to r,..., r = min( 0,..., ) A. ij nm m r Jeśli ścieżka na drzeie morfologicznym jest pogrubiona, to oznacza, że iloczynem kanonicznym określany jest ariant realizoalny. Na danym drzeie morfologicznym może być r... r n pradziych iloczynó kanonicznych. Suma szystkich iloczynó kanonicznych, jako ariantó realizoalnych (pogrubionych ścieżek) jest roziązaniem pradziym danego problemu projektoego i szczególności może oznaczać zbiór (alternatyny) pradziych ytycznych projektoania.

43 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 43 Przykład 3.4 Jeśli x =0,, x =0,,, x 3 =0, oraz y { y = , = , to istnieje drzeo morfologiczne przedstaione na rysunku y y Rys Drzeo morfologiczne dla układu rónań z przykładu 3.4 Po minimalizacji, roziązanie pradzie można zapisać jako: y = , co daje (00 ) + (0 ) + (0). Do roziązania ieloartościoego układu rónań z agoymi spółczynnikami może zostać zaimplementoana metoda przeszukiania drzea morfologicznego. Jednym z algorytmó poszukiania roziązań pradziych jako ytycznych realizoalnych na drzeie morfologicznym jest algorytm przeszukiania głąb (ang. Depth-first search, DFS) [03, 3]. Algorytm przeszukuje szystkie ścieżki drzea odrzucając iloczyny iloczynó kanonicznych r,..., r = (,..., ) A (,..., ) A,..., (,..., ) A, dla których nie ij nm 0 mr 0 mr 0 mr n zachodzi arunek A = A =,..., = An = A ZASTOSOWANIE WIELOWARTOŚCIOWYCH FUNKCJI LOGICZNYCH Z WAGOWYMI ILOCZYNAMI W BADANIU RANGI WAŻNOŚCI PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH ZAWORÓW HYDRAULICZNYCH HYDRAULICZNY ZAWÓR PRZELEWOWY W celu zapenienia rzeczyistemu układoi stabilnej pracy przeproadza się badania modeloe, na podstaie których dobierane są istotne parametry. Zjaiska zachodzące podczas przepłyu medium, są dość często określone mało precyzyjnie,

44 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 44 stad też podczas przeproadzenia takich badań zachodzi konieczność identyfikacji modelu analitycznego. Dodatkoo zachodzi konieczność analizy rangi ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych i zbadania ich płyu na funkcje zależne od czasu. Zaory hydrauliczne są podstaoymi elementami układó hydraulicznych oraz integralną częścią każdego układu steroania. Istnieje bardzo liczna grupa różnych typó zaoró, co ynika z bardzo zróżnicoanych funkcji, jakie mają do spełnienia układzie. Na rysunku 3. przedstaiono zaór przeleoy bezpośredniego działania typ UZPD 4 []. Ciśnienie reguloane działa na różnicę poierzchni tłoczka korpusu, który utrzymyany jest przez sprężynę 3 położeniu yjścioym (zamknięcia). a) b) Rys. 3.. Zaór przeleoy bezpośredniego działania typ UZPD 4 a) ygląd ogólny, b) budoa [] Zaór przeleoy stosuje się układach celu przepuszczenia do zbiornika nadmiaru tłoczonej cieczy, gdy ydajność pompy przeyższa zapotrzeboanie. Na rysunku 3. przedstaiono przykład układu napędoego siłonika z zaorem przeleoym [9]. Rys. 3.. Układ napędoy siłonika z zaorem przeleoym [9] W układzie, przedstaionym na rysunku 3., prędkość ruchu tłoka steroana jest za pomocą zaoru dłaiącego D. W yniku czego, tylko część strumienia cieczy, pompoanej przez pompę P dopłya do siłonika. Reszta strumienia cieczy

45 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 45 Q = Q Q ) przepłya przez zaór przeleoy ZP, który musi być ciągle ( Z P D otarty gdyż Q > 0. Z Podczas działania zaoru przeleoego należy uzględnić m. in: siły statyczne (od ciśnienia siły roboczej), siły hydrodynamiczne, siły tarcia lepkiego, siły sprężyny, siły inercji słupa cieczy. W celu modyfikacji łasności dynamicznych układó przepłyoych buduje się modele strukturalne, które odzierciedlają łasności transformacyjne układu. Przy budoie modelu zaoru przeleoego korzysta się z rónań przepłyu cieczy przez zaór (opartych o zasadę zachoania masy). W pracy zaoru yróżnia się da rodzaje rónań:: rónanie sił działających na zaieradło, rónanie przepłyó. Rónanie sił, działających na zaieradło zgodnie przedstaia się następująco [53, 09]: Q p A dqp ρ + ρ A + ρ l = Gap + S + k x + dt dx d x + f + m + Φ ρ cos( v) Q p p dt dt (3.5) Rónania przepłyó: Q = µ K x dx V dp p + A +, dt B dt (3.6) Q p = µ K x dx p + A, dt (3.7) gdzie: K = π dm. (3.8) ρ Modelując pracę zaoru przeleoego proadzone zostały pene uproszczenia. Najażniejsze uproszczenia: przyjęto jednakoą zmianę ciśnienia całej objętości zaoru, hydraulicznej instalacji pominięto procesy faloe, zaór jest zaorem idealnym- bez przeciekó, generator przepłyu jest generatorem idealnym- nie ma pulsacji, ruchoma masa jest masą zaieradła i 0,33 masy sprężyny, całkoicie pominięto masę cieczy i elementó mechanicznych, przyjęto jednakoą artość modułu sprężystości cieczy całym zakresie pracy,

46 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 46 nie uzględniono płyu uderzeń elementu zamykającego o gniazdo zaoru, przyjęto linioy spadek artości ciśnienia przestrzeni pomiędzy zaieradłem a gniazdem zaoru, dla całego zakresu pracy zaoru przyjęto stały kąt υ odchylenia strugi, nie uzględniono oddziałyania ściśliości ścianek zaoru, przyjęto, że nie następuje zmiana objętości V raz z przemieszczeniem zaoru x, uzględniono zmianę spółczynnika ypłyu podczas otarcia zaoru. W przypadku zaoró, drgania pochodzą głónie od siły hydrodynamicznej oraz yniku różnorodnych enętrznych i zenętrznych zaburzeń. Do jednych z najiększych zaburzeń ystępujących czasie pracy zaoru przyczynia się pulsacja tłoczonej przez pompę cieczy, oraz znajdujące się cieczy nie rozpuszczone poietrze BEZWYMIAROWE RÓWNANIA PRACY ZAWORU Rónania zaoru postaci bezymiaroej, służącej do ykonania symulacji, przyjmuje się następującej formie [53, 09]: T T o o Q ρ A S ms o Q p d x + Φ dt A po + S o ρ cos( v) QoQ S o p T + T Qp o dq dt p p kx = + S p o o p o x, T + T f o dx dt + (3.9) T A dx dp Q = µ x p + +, (3.0) T dt dt o TA dx Q p = µ x p +. (3.) T dt o Rónania (3.9-3.) zamodeloano programie Matlab firmy MathWork [53, 09, ] RANGA WAŻNOŚCI PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH I/LUB EKSPLOATACYJNYCH HYDRAULICZNEGO ZAWORU PRZELEWOWEGO Badania modeloe mają na celu obranie istotnych parametró, aby była zapeniona stabilność układu rzeczyistego. Istotne eryfikacji modelu jest określenie rangi ażności parametró konstrukcyjnych i /lub eksploatacyjnych, a następnie ybór odpoiedniej procedury optymalizacyjnej. Zmieniane parametry konstrukcyjne zaoru to: średnica zaoru d, masa grzybka m i stała sprężyny k - przy obseracji zniosu x, ciśnienia p i natężenia przepłyu Q. Opóźnienia układu przez parametry eksploatacyjne oraz nieodpoiednie zastosoanie zmocnień pętli, iąże się z niestabilną pracą całego układu. W celu przeproadzenia optymalizacji

47 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 47 dyskretnej zmiany parametró zakodoano następująco: 0- duże zmniejszenie, - małe zmniejszenie, - bez zmian, 3- ziększenie, 4- duże ziększenie (m i k ) oraz : 0- małe zmniejszenie, - bez zmian, - ziększenie (d). W yniku przeproadzonych badań symulacyjnych uzyskano 75 ykresó [53, 09] przebiegó zniosu zaoru x, ciśnienia cieczy p oraz natężenia przepłyu Q funkcji czasu- kolejnych zmian parametró: m, k i d. W celu przeproadzenia procesu optymalizacji proadzono zależności iążące ograniczenia na parametry konstrukcyjne i eksploatacyjne, m in. z punktu idzenia różnych artości czasu stabilizacji t oraz stosunku artości maksymalnej funkcji do jej artości po ustabilizoaniu max stab., np.: I. Czas stabilizacji t < 300t ; Stosunek artości maksymalnej funkcji do jej artości po ustabilizoaniu: max o stab. <,4, II. Czas stabilizacji t < 000t ; Stosunek artości maksymalnej funkcji do jej artości po ustabilizoaniu: o max stab. realizacji zniosu x, ciśnienia p oraz natężenia przepłyu Q. <3,6, dla jednoczesnych przebiegó czasoych W przypadku ograniczenia I, selekcję przeszło 0 ykresó [53, 09] o zmianach kodoych parametró konstrukcyjnych m, k i d przedstaionych tabeli 3.4 W ograniczeniu II selekcję przeszło 37 ykresó [53, 09] o zmianach kodoych parametró konstrukcyjnych m, k i d (tabela 3.5). Tab KAPN danych zmian artości parametró m, k i d (t <300 t o, M K d m K d max stab. <,4)

48 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 48 Tab KAPN danych zmian artości parametró m, k i d (t <000 t o, M K d m k d max stab. <3,6) Warunek kryterialny I nie pozala na stabilność działania układu, gdy m= 4. W ziązku z czym tabeli 3.4 istnieją tylko iloczyny kanoniczne (jako arianty pradzie ytycznych projektoania), których parametr m jest zakodoany jako: 0,,, 3. Na rysunku 3.3 pokazano przykładoe ykresy przebiegu funkcji x, Q oraz p kodoych zmian parametró (m, k i d) 0 (spełniających ograniczenia: t < 300t ; max stab. <,4). Na rysunku 3.4 przedstaiono ykresy funkcji x, Q oraz p kodoych zmian parametró (m, k i d) 43 (spełniających ograniczenia: t < 000t ; o max stab. o <3,6). Rys Charakterystyka działania zaoru przy zmianach kodoych parametró m, k i d-0

49 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 49 Rys Charakterystyka działania zaoru przy zmianach kodoych parametró m, k i d- 43 Każdemu z iloczynó KAPN odpoiednich zmian artości parametró m, k i d z tabel 3.3 i 3.4, przypisuje się 6 ieloartościoych drze logicznych [53]. Na rysunku 3.5 przedstaiono optymalne ieloartościoe drzeo logiczne (po redukcji dopuszczalnych pełnych iązek z góry na dół) z tabeli 3.3, a na rysunku 3.6 z tabeli 3.4. Na optymalnych drzeach logicznych yznaczono pradzią rangę ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych od najażniejszego na dole do najmniej ażnego na górze. 8 g k m d Rys Optymalne drzeo logiczne dla Tab. 3.3 ( t <300 t o, max stab. <,4) [53] 3 5 g m k d Rys Optymalne drzeo logiczne dla Tab. 3.4 ( t <000 t o, max stab. <3,6) [53]

50 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 50 ( t < 000t ; Dla ograniczenia I ( t < 300t ; o max stab. o max stab. <,4 ) oraz dla ograniczenia II <3,6), najażniejszym parametrem jest średnica zaoru d, sklasyfikoana korzeniach ieloartościoych drze logicznych z rysunkó 3.5 oraz ZASTOSOWANIE WIELOWARTOŚCIOWYCH DRZEW LOGICZNYCH Z WAGOWYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI Dane zmiany artości parametró m, k i d, ziązane są ze spełnieniem założonych ograniczeń t < 300t ; o max stab. <,4 Tab. 3.4 oraz t < 000t ; o max stab. <3,6 Tab. 3.5 przez szystkie funkcje: x, Q oraz p. Jednak yniku poszczególnych zmian kodoych parametró m, k i d zachoanie się funkcji x, Q oraz p jest lepsze lub gorsze, dlatego przed iloczynem kanonicznym parametró decyzyjnych m, k i d (Tab. 3.4 i Tab. 3.5) proadza sie spółczynnik agoy i, przy czym liczba agoa jest tym iększa, im czas stabilizacji funkcji x, Q oraz p jest krótszy, tzn. i < j, gdy t t > t j. W przypadku ograniczenia I: Czas stabilizacji t < 300t ; następujące artości spółczynnikó agoych: 0t < t 00t ; i = gdy 00t < t 300t. o o o o o max stab. <,4, przyjęto i =3 gdy t 0t ; i = gdy W przypadku ograniczenia II: Czas stabilizacji t < 000t ; artości spółczynnikó agoych ynoszą: o o max stab. <3,6, i =4 gdy t 50t, i =3 gdy 50t < t 500t ; i = gdy 500t < t 750t ; i = gdy 750t < t 000t. o o o o o o o Na rys. 3.7 przedstaiono przykładoe przebiegi funkcji x, Q, p ograniczenia t < 300t ; o max stab. <,4 i spółczynnikó agoych i =3, i =, i =, natomiast rysunek 3.8 przedstaia przebiegi funkcji x, Q, p przypadku ograniczenia t < 000t ; o max stab. <3,6 i artości spółczynnikó i =4, i =3, i =.

51 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 5 a) = 3; t 0 t i o b) = ;0 t < t 00 t i o o c) = ;00 t < t 300 t i o o Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p i ograniczenia t < 300to ; max stab. <,4 oraz kodoych zmian parametró m, k i d i spółczynnikó agoych i: a) 00, i= 3; b) 0, i= ; c) 03, i=.

52 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 5 a) = 4; t 50 t i o b) = 3;50 t < t 500 t i o o c) = ;500 t < t 750 t i o o Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p i ograniczenia t < 000to ; max stab. <3,6 oraz kodoe zmiany parametró m, k i d i spółczynnikó agoych i: a) 0, i= 4; b) 03, i= 3; c) 4, i=

53 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 53 Zmiany kodoe parametró konstrukcyjnych m, k i d z uzględnieniem ieloartościoych spółczynnikó agoych i ograniczenia I przedstaiono tabeli 3.5, natomiast uzględniając ograniczenie II- tabeli 3.6. Tab KAPN danych i oraz zmian artości parametró m, k i d oraz (t <300 t o, i M K d i m k d max stab. <,4) Tab KAPN danych i oraz zmian artości parametró m, k i d(t <000 t o, i m K d i m K d max stab. <3,6) Na rysunkach przedstaiono ieloartościoe drzea logiczne, ze spółczynnikami agoymi z tabeli 3.6, natomiast na rysunkach ieloartościoe drzea logiczne z tabeli 3.7.

54 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH k m d Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- d, m, k z Tab. 3.6 t < < m ax 300 to,, 4 stab m k d 3 0 Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró - d, k, m z Tab. 3.6 t < t < m ax 300 o,, 4 stab k d m 3 Rys. 3.. Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- m, d, k z Tab. 3.6 t < < m ax 300 to,, 4 stab.

55 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH m d k Rys. 3.. Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- k, d, m z Tab. 3.6 t < < m ax 300 to,, 4 stab d k m Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- m, k, d z Tab. 3.6 t < t < m ax 300 o,, 4 stab d m k Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- k, m, d z Tab. 3.6 t < t < m ax 300 o,, 4 stab.

56 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH k m d Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- d, m, k z Tab. 3.7 t < t < m ax 000 o, 3, 6 stab m k d Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró- k, m, d z Tab. 3.7 t < < m ax 000 to, 3, 6 stab.

57 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH d m k Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró - k, m, d z Tab. 3.7 t < < m ax 000 to, 3, 6 stab d k m Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró - m, k, d z Tab. 3.7 t < < m ax 000 to, 3, 6 stab.

58 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH m d k Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró - k, d, m z Tab. 3.7 t < < m ax 000 to, 3, 6 stab k d m Rys Wieloartościoe drzeo logiczne parametró - m, k, d Tab. 3.7 t < < m ax 000 to, 3, 6 stab.

59 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 59 Zapis minimalizacji ieloartościoych drze decyzyjnych z rysunkó , można przedstaić następująco: { f (d, m, k ) = (00) + (00) + (0) + (0) + (0 ) + () + () + + 3(0 ) + ( ) + 3(0) + (0) + () + 3() + (3) + (3) f (d, k,m ) = (00) + (00) + (0) + () + (0) + () + (30) + + 3(00) + 3(0) + (0) + 3(00) + 3(0) + (0) + 3(0) + () + + 3() + ( ) + 3(0) + () + () + ( ) + 3(30) + 3(3) { f (m, d, k ) = (00) + (00) + (0) + (0) + (0 ) + 3(0 ) + () + + () + 3(0) + ( ) + () + 3() + (3) + (3) + (3) f (k,d,m ) = (00) + 3(00) + 3(0) + (0) + (00) + (0) + () + + 3(0) + () + () + ( ) + (0) + () + 3(0) + () + 3() + + ( ) + (30) + (30) + 3(30) + () f (m,k,d ) = (00) + 3(00) + (0 ) + (0) + 3(0) + (0) + 3(0) + + (03) + 3(03) + (0) + () + () + () + () + (3) + (0) + + () + 3() + (3) + (3) f (k,m,d ) = (00) + 3(00) + 3(0) + (0) + (0 ) + (0) + 3(0) + + () + () + () + (3) + (0) + 3(0) + () + () + 3() + + (3) + (30) + 3(30) + (3) Zapis minimalizacji ieloartościoych drze logicznych z rysunkó : f = (0) + 3(03) + 4(0) + 4() + 4() + (0) + () + () + 4(00) + + 4(0) + 4(0) + 4(03) + 4(0) + 4() + 4() + 4(3) + 4(0) + 4() + + 4() + 3(3) + ( ) + 3(30) + 3(3) + 3(3) + (33) + (40) + (4) + + (4) + (43) (d, m, k ) 3(000) 3(00) 3(00) 3(003) (00) (0) 4(00) 4(0) f (d,k,m ) = 3(000) + (00) + 3(00) + (0) + 3(00) + (030) + 4(00) + 4(0) + + (0) + 4(0) + 4() + () + 4(0) + 4() + () + 3(30) + 4(00) + 4(0) + + 4(0) + 3(03) + (0 ) + 4(0) + 4() + 4() + 3(3) + ( ) + 4(0) + + 4() + 4() + 3(3) + ( ) + 4(30) + 4(3) + 3(3) + (33) + (3 ) + (4) f (k,m,d ) = 3(00 ) + 4(00) + 4(00) + (0 ) + 4(0) + 4(0) + (0) + 4(0) + + 3(03) + (04) + 3(0 ) + 4(0) + 4(0) + ( ) + 4() + 4() + () + 4() + + 3(3) + (04) + 3(0 ) + 4(0) + 4(0) + 4() + 4() + () + 4() 3(3) (4) + (30 ) + 3(30) + 4(30) + 4(3) + 3(3) + (3) + (34) + (4) f (m,k,d ) = 3(00 ) + 4(00) + 4(00) + 3(0 ) + 4(0) + 4(0) + 3(0 ) + 4(0) + 4(0) + (03 ) + 3(03) + 4(03) + (0 ) + 4(0) + 4(0) + ( ) + 4() + 4() + + 4() + 4() + 4(3) + (0) + 4(0) + () + 4() + () + 4( ) 3(3) (4) + 3(30) + 3(3) + 3(3) + (33) + (40) + (4) + (4) + (43) f (k,d,m,) = 3(000) + (00) + 4(00) + 4(0) + (0) + 4(00) + 4(0) + 4(0) + + 4(04) + 3(0 ) + 3(00) + (0) + 4(0) + 4() + () + 4(0) + 4() + 4() + + 3(3) + ( ) + 3(00) + 4(0) + 4() + () + 4(0) + 4() + 4() + 3(3) + + ( ) + 3(300) + 3(30) + 4(30) + 4(3) + 3(3) + (33) + (3 ) + (4) f (m,d,k ) = 3(000) + 3(00) + 3(00) + (003) + 4(00) + 4(0) + 4(0) + 3(03) + + 4(00) + 4(0) + 4(0) + 4(03) + (00) + (0) + 4(0) + 4() + 4() + 4(0) + + 4() + 4() + 4(3) + (0) + () + () + 4(0) + 4() + 4() 3(3) ( ) + 3(30) + 3(3) + 3(3) + (33) + (40) + (4) + (4) + (43)

60 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 60 W ieloartościoych drzeach logicznych z agoymi spółczynnikami rangę ażności parametró konstrukcyjnych m, k i d yznacza się tak jak ieloartościoych drzeach logicznych bez spółczynnikó agoych [53]. W przypadku arunku kryterialnego ograniczenia I: ( t < 300t ; o max stab. <,4) istnieje jedno optymalne drzeo logiczne przedstaione na rysunku 3.9., natomiast przy arunku kryterialnym ograniczenia II ( t < 000t ; o max stab. <3,6) otrzymuje się da optymalne drzea logiczne (rys. 3.5 i 3.6). Uzględniając spółczynniki agoe procesie optymalizacji dyskretnej, możlie jest dokładniejsze odzierciedlenie modelu fizycznego analizoanego układu technicznego jego model matematyczny ZASTOSOWANIE UKŁADÓW WIELOWARTOŚCIOWYCH RÓWNAŃ LOGICZNYCH Z WAGOWYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI W procesie optymalizacji przy odmiennych zmianach artości parametró można zaobseroać różne zachoanie się funkcji zależnych od czasu. W zaorze przeleoym te same zmiany artości parametró konstrukcyjnych m, k i d, poodują różne (lepsze lub gorsze) zachoania się funkcji x, Q oraz p. Dodatkoo, przy danych zmianach kodoych parametró m, k i d, tylko jedna funkcja może spełniać arunek kryterialny. Dlatego, każdej funkcji oddzielnie przydzielane są spółczynniki agoe i przy iloczynie zmiennych kanonicznych zależnie od czasu t stabilizacji. Roziązując układ ieloartościoych rónań logicznych, otrzymano arianty realizoalne, jako roziązania pradzie dla szystkich funkcji zależnych od czasu. Obserując zachoanie się funkcji x, Q oraz p czasie stabilizacji t < 00t (arunek rygorystyczny), przy iloczynach zmian kodoych parametró m, o k i d przyjęto artości spółczynnikó agoych: =4, t 50t ; i i i i =3, 50t < t 00t ; o o o =,00t < t 50t ; o o =, 50t < t 00t. o o Ziększając czas stabilizacji do t < 800t (liberalne arunki pracy) założono: i i i i =4, t 00t ; =3, 00t < t 400t ; o o o =, 400t < t 600t ; o o =, 600t < t 800t. o o o Zapisom kodoym iloczynach kanonicznych przypisuje się zmiany artości (kombinacjom) arytmetycznych parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych m, k i d, przy czym: 0- duże zmniejszenie, - małe zmniejszenie, - bez zmian, 3- ziększenie, 4- duże ziększenie (dla m i k ) oraz: 0- małe zmniejszenie, - bez zmian, - ziększenie (dla d). Na przykład kombinacja zmian oznacza małe zmniejszenie masy grzybka m, pozostaienie bez zmian stałej sprężyny k oraz

61 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 6 ziększenie średnicy d. Z kolei kombinacja 40 oznacza duże ziększenie masy grzybka m, duże zmniejszenie stałej sprężyny k oraz ziększenie średnicy d odniesieniu do przyjętych artości arytmetycznych początkoym etapie projektoania. W zależności od przyjętych kombinacji zmian kodoych parametró m, k i d iloczynach kanonicznych, następuje różne zachoanie się funkcji zależnych od czasu: x- zniosu grzybka, Q- natężenia przepłyu oraz ciśnienia p. Jeśli przy danych kombinacjach zmian parametró m, k i d, funkcje zależne od czasu x, Q, p stabilizują się określonym czasie, tzn. spełniają arunek ograniczający, to pradzie ytyczne projektoania określone są poprzez takie zmiany kodoe. Jednak przy tych samych kombinacjach i zmianach kodoych parametró m, k i d niektóre funkcje mogą szybciej się stabilizoać, a niektóre czasie późniejszym Współczynnik agoy i przy oznaczeniach kodoych zależy od czasu stabilizacji t, przy czym l i < l j gdy t i > t j. W zbiorze funkcji danego układu maszynoego, podatność każdej funkcji z osobna na zmiany parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, yznaczana jest poprzez ieloartościoy spółczynnik agoy. Na rysunkach przedstaiono przebiegi funkcji x, Q oraz p, przy odpoiednich zmianach kombinacji kodoych m, k i d, które podpisano pod każdym z rysunkó. Przebiegi funkcji x, Q oraz p analizoano dla arunku kryterialnego t < 00t (arunek rygorystyczny) oraz arunku t < 800t (arunek liberalny). o Każdej funkcji oddzielnie przypisuje się spółczynnik agoy przed iloczynem kanonicznym zmian kodoych m, k i d. Przy czym, artość spółczynnika agoego, z punktu idzenia arunku ograniczającego t < 00t,umieszczono symbolu, natomiast przy arunku ograniczającym t < 800t - symbolu. Dodatkoo za pomocą strzałek symbolicznie pokazano miejsce stabilne każdej z funkcji. Na przykład g rysunku 3.3 funkcji zależnej od czasu x, Q, p odpoiednie iloczyny kombinacji zmian kodoych posiadają następujące spółczynniki agoe: - przy ograniczeniu t < 00t : x: () + () + () ; Q: () + 3 () ; p: () + () ; - przy ograniczeniu t < 800t : x: 4 () + 4 () + 4 () ; Q: 4 () + 4 () + 3 () ; p: 4 () + 4 () + 3 (). o o o o o

62 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: ;,

63 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d:,,

64 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 3; 0, 0

65 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 0; 0, 03

66 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 0; 0, 00

67 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 00; 3, 3

68 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 03; 00; 3

69 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 300; 00,

70 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 70 Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 33;, 0

71 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 0; 4, 4

72 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Przebiegi czasoe funkcji x, Q, p z oznaczonym czasem stabilizacji i spółczynnikami agoymi przy ograniczeniach t <00 t o oraz t <800 t o kodoych zmian parametró m, k i d: 000; 00, 40

73 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 73 W działaniu zaoru przeleoego otrzymano z modeloania (Rys ) układ trzech ieloartościoych rónań logicznych ielkości yjścioych x, Q, p odpoiednio dla arunku ograniczającego: a) t < 00t o Y t < 00to x = = Q= p = b) t < 800t o Y t < 800to x = Q = p = Roziązaniem układu rónań Y t < 00t jest 50 (6(x) 0(Q) 6(p)) ariantó o teoretycznych roziązań. Roziązanie pradzie dla układu Y t < 00t przyjmuje następującą postać: f t < 00to (x,q, p) 3 0 = o = (00) + 3 (0 ) + (0) + (0) + ( ) + () + + () + + (0) + ( ) + (0) + () + () Na rysunku 3.4 schematycznie przedstaiono drzeo morfologiczne układu t 00t z ariantami realizoalnymi zmian kodoych parametró konstrukcyjnych m, k i d. Y < o

74 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 74 Y < Rys Schemat drzea morfologicznego dla układu t 00t W przypadku arunku ograniczającego t < 800t, istnieje (30(x) 33(Q) 3(p)) ariantó teoretycznych roziązań. Roziązania realizoalne są następującej postaci: f t < 800to (x,q, p) = = 3(00 ) + 4(00) + 4(00) + 3(0 ) + 4(0) + 4(0) + 3(0 ) + + 4(0) + 4(0) + 3(0 ) + 4(00) + 4(0) + 4(0) + 4(0 ) + + 4( ) + ( ) + 3(3) + 4() + 4() + 4(0) + 4(03) + + 3(0) + 4() + 3() + (0) + () + 4() + () + + 3(3) + 3(300) + 3(3) + (33) o o Gdyby przyjąć przebiegu funkcji x, Q oraz p bardzo rygorystyczny arunek kryterialny: czas stabilizacji t < 00t oraz artości spółczynnikó agoych : i i i i =4, t 5t ; =3, 5t < t 50t ; o o o =, 50t < t 75t ; o o =, 75t < t 00t. o o o to agoy ieloartościoy układ rónań dla x, Q oraz p jest następujący: Y t< 00 to x = Q = = , p = Roziązanie realizoalne przyjmuje następującą postać: f t < 00to (x,q, p) = = (0 ).

75 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 75 Roziązaniem układu agoych ieloartościoych rónań logicznych są arianty realizoalne zmian kodoych parametró m, k i d szystkich funkcji x, Q oraz p zależnych od czasu t. Zachouje się jednocześnie indyidualne łaściości każdej z funkcji HYDRAULICZNY ZAWÓR PROPORCJONALNY Na rysunku 3.43 przedstaiono układ napędoy z zaorem proporcjonalnym z odbiornikiem. Rys Schemat układu napędoego [99] Odbiornikiem analizoanym układzie jest zaór dłaiący, którego charakterystykę pracy [00] opisano następująco: 0 p Mpa : Qodb =, p, 0 4 MPa p 6 MPa : Qodb = 0, p + 0, , 0 5 p 6 MPa : Qodb = 0, p + 4, W celu opisu przepłyu przez zaór proporcjonalny, konieczne jest uzględnienie artości spółczynnika strat funkcji przemieszczenia elementu ruchomego. Rzeczyisty przebieg jest zbliżony do roziązania rónania różniczkoego drugiego rzędu ze zmiennym spółczynnikiem tłumienia. Zależność tą opisano postaci: < 0, k vx x 3 3 = 0, 8[ exp( b 0 ) cos(0 )], (3.) gdzie: b = 5 +, p = b 00π

76 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 76 > 0 k vx 3 = 0,8[ exp( b )0 ]. (3.3) x W stopniu sterującym ykorzystano przebieg przedstaiony [0, 00] Przyjęto: y < 0 3 y 3 kvy = 0, 75[ exp( by 0 ) cos(0 y y )], (3.4) y > 0 k = b y y (3.5) vy 3 0, 78[ exp( y ) cos(0 )], gdzie: b y 8,5 0 = 40 +, 5 p + 0 y = b 00 π. y y Siłę generoaną przez przetornik elektromagnetyczny zastosoany zaorze, opisano następującej postaci: gdzie: Fm = 73, 6963( i 0, 045), U di = ( i ) dt, (3.6) T 8 m Tm Tm U = 5ms gdy i rośnie ( i > 0) 8 U = 7,5ms gdy i maleje ( i < 0) MODEL MATEMATYCZNY HYDRAULICZNEGO ZAWORU PROPORCJONALNEGO Bilans przepłyu układzie napędoym zgodnie z pracą [99] zapisać można jako: Q = Q + Q + Q (3.7) p zq odb Szczegółoo model matematyczny, prezentoanego zaoru hydraulicznego, opisano opracoaniu [99]. Na rysunku 3.44 przedstaiono schemat analizoanego zaoru hydraulicznego.

77 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 77 Natężenie przepłyu Rys Schemat zaoru proporcjonalnego [99] Bilans przepłyu przez stopień głóny zaoru: Q = Q + Q + Q (3.8) zq zqx D tx. Przepły przez dyszę: Q = Q = Q (3.9), D D D 3 QDG = QzQY + QtY. (3.0) Bilans przepłyu przez stopień sterujący: Q = Q + Q + Q Q (3.) D 3 Y zqy ty tx, Poza tym, yróżnia się natężenie przepłyu stopniu głónym: Q 3 Vx dp 4, dp dp x = = = 9 3, , B dt, 4 0 dt dt (3.) stopniu sterującym: Q 6 V y dp, 0 dp 5 dpy y = = = 9 0,857 0, B dt, 4 0 dt dt (3.3) Natężenie przepłyu przez zaór:

78 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 78 Qz = k ( kv x) p p0, (3.4) ρ -przez stopień głóny: 3 QzQx = π 0 sin 30 ( kvx x) p, (3.5) 89 Q = k x p (3.6) zqx - przez stopień sterujący: 3, ( vx ), 3 QzQy = π,8 0 ( kvy x) p y, (3.7) 89 Q = k y p (3.8) zqy Ostatecznie natężenia przepłyu: -przez dyszę : -przez dyszę 3 : 3 0, ( vy ). D 0 D Q = a ( p p ) = 0, ( p p ). (3.9) D 0 QD 3 a3 p p y p p y Siły ystępujące zaorze obciążenia dynamiczne: F stopniu głónym: d = ( ) = 0, ( ). (3.30) d x = m dt, (3.3) d x d x Fdx = 0, (0, , 00439) 0, =, (3.3) dt dt stopniu sterującym: y F dy d y = 0, 03, (3.33) dt Tarcie lepkie: F t A L µ st =, (3.34) 0 dx dt - siły stopniu głónym:

79 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 79 F π dx = = 9, 08850, 5 0 dt , 5 0 0, 0665 tx 6 (3.35) - siły stopniu sterującym: F , 0665 t y 6 dy dy = = 0,670666, 0 dt dt (3.36) Siły reakcji hydromechanicznej: - stopnia głónego: F k θ k x sin 30 cos 35 ( k x) p 5 rx = x cos ( vx ) p = 0 vx π (3.37) F rx = k x p (3.38) 6 56, ( vx ) - pary dysza-przysłona g pracy [00] F ry 6 Ay ( k y) = Pp, (3.39) d vy DG 3 6 π / 4(, 65 0 ) ry = 3 ( vy ) = ( vy ) p F k y 5,976 k y P. (, 5 0 ) (3.40) Rónania dynamiczne sił zaoru proporcjonalnego zostały opisane doolnej chili stanu przejścioego po proadzeniu ymuszeniu skokoego: Stopnia głónego: Stopnia sterującego: F = F F F F + F F (3.4). dx tx rx szx Gx sx s x F = F F F F + F F (3.4) dy t y ry sy tsy opy m. Rónanie pętli sprzężenia zrotnego: gdy: U U e0 < 0, z p du dt ( ) = K M K p( U z U p ) K p U z U p e + 0, (3.43) gdy: U U + e0 > 0, z p du dt ( ) = K M K p( U z U p ) K p U z U p e + + 0, (3.44) jeśli żaden z tych arunkó nie jest spełniony, tzn.:

80 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 80 e < U U < e, 0 z p 0 to : du KM K p (U z U p ). dt = Rónania yjścioe do symulacji komputeroej: Rónania yjścioe do przeproadzenia symulacji działania części hydraulicznej g pracy [99] są następującej postaci: dx : = x, dt dx dt dx : = 0,856 0 (,3 0 x3 ) 0, ( kvx x ) x3 0,636 0 x 7,65( x3 x6 ) + dt 0, Qodb, dx 4 4: = x5, dt dx : = 5, x5 0, x5 signx 5 + 0, x7 + 48,87733( kvy x4 ) x7 + dt,66 signx 5 33,33333 Fm, dx : = 0, ( x3 x6 ) 0,334 0 ( kvy x4 ) x6 + 0, x3, x5, dt 6 7: x7 = x6 0, ( kvy x4 ) x6 38,096 x : = 4846,30 x 80,0 0 ( kvx x ) x3 474,3 x 95,35 + 5, ( 0 x ) x3 x6, Rónania yjścioe do symulacji (-7) zamodeloano programie Matlab firmy MathWork (Rys. 3.45). Rónania yjścioe działania części hydraulicznej opisano także grafem zależności przepłyu sygnałó, przedstaionym na rysunku 3.46.

81 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 8 Rys Model graficzny rónań programie Matlab

82 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 8 Rys Graf przepłyu sygnałó rónań yjścioych dla części hydraulicznej

83 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 83 dx Warunki początkoe rónań różniczkoych yznacza, się proadzając i 0 dt = Symulacji dokonano pakiecie Matlab/Simulink ,0 0 ( kvx x ) x3 474,3 x 95,35 + 5, ( 0 x ) x3 x 6 = 0, ,856 0 (,3 0 x3 ) 0, ( kvx x ) x3 7,65( x3 x6 ) 0, Qodb = 0, 4 0, x7 + 48,87733( kvy x4 ) x7 33,33333 Fm = 0, 5 0, ( x3 x6 ) 0,334 0 ( kvy x4 ) x6 = 0, 6 x7 = x6 0, ( kvy x4 ) x6. Przyjmując U = U = V, z Wyznacza się: U = U = V, Q z odb p p 3 4 m = / 6 0. s RANGA WAŻNOŚCI PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH I/LUB EKSPLOATACYJNYCH HYDRAULICZNEGO ZAWORU PROPORCJONALNEGO W procesie optymalizacji zmienianymi parametrami zaoru proporcjonalnego jest zmocnienie regulatora K p K p (jako zmienna kompleksoa), natężenie przepłyu odbiornika U z ) oraz siła magnetyczna p. Q odb (zależne od ymuszenia skokoego napięcia sterującego Fm - przy obseracji natężenia przepłyu Q oraz ciśnienia ZASTOSOWANIE WIELOWARTOŚCIOWYCH DRZEW LOGICZNYCH Z WAGOWYMI WSPÓŁCZYNNIKAMI Do analizy ybrano artości arytmetyczne badanych parametró, które zakodoano przez autora pracy logicznymi zmiennymi decyzyjnymi: ( K p K p) = 30 ~ 0; ( K p K p) = 40 ~ ; ( K p K p ) = 50 ~ ; ( K p K p ) = 60 ~ 3. F =,96 [N] ~ 0; F =,96 [N]~ ; F = 3,96 [N]~ ; F = 4,96 [N]~ 3; m m m Q = 36 4 [ dm 3 / min ] ~ 0; Q = 4 [ dm 3 / min ]~ ; rz Q = 36 [ dm 3 / min ]~. rz W działaniu zaoru przeleoego autor proadził ograniczenia na parametry konstrukcyjne Q oraz p z punktu idzenia czasu stabilizacji t : t < 0, 48t. Następnie przeproadzono obliczenia dynamiczne zaoru, yniku o których ograniczeniu t : t < 0, 48to selekcję przeszły 3 ykresy. Zmiany kodoe parametró konstrukcyjnych K p, K p, Q rz,, F m przedstaiono tabeli 3.8. rz m

84 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 84 Tab KAPN dla danych kodoych parametró K p K p, Q rz,, F m F m K p K p Q rz Następnie zmianach kodoych parametró konstrukcyjnych K p K p, Q rz,, F m podobnie jak przypadku zaoru przeleoego proadza się ieloartościoe spółczynniki agoe i, przy czym liczba agoa jest tym iększa, im funkcje Q oraz p szybciej osiągają stan stabilny, i < j, gdy t t > t j. W ograniczeniu t < 0, 48to przyjęto następujące artości spółczynnikó agoych: i =3, t 0.6t ; i i =, 0.6t < t 0.3t ; o o o =, 0.3t < t 0.48t. o o W tabeli 3.9 przedstaiono zmiany kodoe parametró konstrukcyjnych K p K p, Q rz,, F m z uzględnieniem ieloartościoych spółczynnikó agoych oraz ograniczenia t < 0,48t. o

85 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 85 Tab KAPN danych kodoych parametró K p K p, Q rz,, F m z uzględnieniem spółczynnikó agoych i i F m K p K p Q rz Należy zaznaczyć, że tabeli 3.9, artość spółczynnika agoego przy zmianach kodoych parametró konstrukcyjnych K p K p, Q rz,, F m jest minimalna, spośród spółczynnikó określonych osobno funkcji Q oraz p. W przypadku gdy jedna z funkcji stabilizuje się szybciej od drugiej, tedy iloczynoi kanonicznemu dla tych samych zmian kodoych parametró K p K p, Q rz,, F m należy przypisać mniejszy spółczynnik agoy. W układzie ieloartościoych funkcji logicznych ze spółczynnikami agoymi, przypisuje się osobno spółczynniki agoe dla każdej z funkcji [77]. Na rysunkach , przedstaiono opracoane przez autora przebiegi czasoe funkcji Q oraz p, z zaznaczonymi przedziałami spółczynnikó agoych i : p oraz Q.

86 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 86 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz (), (), (0)

87 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 87 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz 3(30), 3(0),(00)

88 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 88 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz (), (3), ()

89 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 89 Rys Przebiegi czasoe Q, p dla kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz 3(03), ( 0), ( 0)

90 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 90 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz (30), ( 0), (00)

91 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 9 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz (), (), (3)

92 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 9 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz (3), (3), 3(33)

93 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 93 Rys Przebiegi czasoe Q, p kodoych zmian parametró F m, K p K p, Q rz 3(00), 3(00) Wieloartościoe drzea logiczne ze spółczynnikami agoymi z tabeli 3.9, przedstaiono na rysunkach

94 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH g K F Q p p m odb K Rys Wieloartościoe drzeo logiczne - Q odb, F m, K p K p Tab g K Q F p p odb m K Rys Wieloartościoe drzeo logiczne - F m, Q odb, K p K p Tab. 3.8 Rys Wieloartościoe drzeo logiczne - Q odb, K p K p, F m Tab. 3.8

95 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH g F Q K m odb K p p Rys Wieloartościoe drzeo logiczne - K p K p, Q odb, F m Tab g Q K F odb p p m K Rys Wieloartościoe drzeo logiczne - F m, K p K p, Q odb, Tab. 3.8 Rys Wieloartościoe drzeo logiczne - K p K p, F m, Q odb, Tab. 3.8

96 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 96 Dla arunku kryterialnego ograniczenia t < 0, 48t istnieje jedno optymalne ieloartościoe drzeo logiczne przedstaione na rysunku Dla hydraulicznego zaoru proporcjonalnego najażniejszym parametrem jest natężenie przepłyu odbiornika Q (zależne od ymuszenia skokoego napięcia sterującego U z ). odb 3.4. ANALIZA DECYZYJNA WYTYCZNYCH PROJEKTOWANIA BADANEGO UKŁADU W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI o ROZŁĄCZNA ANALIZA LOGICZNA WYTYCZNYCH PROJEKTOWANIA NA PRZYKŁADZIE ZAWORU PRZELEWOWEGO Działanie układu można rozpatryać aspekcie stabilności pojedynczych elementó, analizując pojedyncze funkcje zależne od czasu. Dlatego proadza się modeloaniu układó maszynoych rozłączną analizę logiczną ytycznych projektoania [73]. Dodatkoo [53, 09] proadza się ograniczenia na parametry konstrukcyjne m, k i d, z punktu idzenia czasu stabilizacji t oraz stosunku artości maksymalnej funkcji do jej artości po ustabilizoaniu max stab. : t < 550t ; o max stab. <,4 przy jednoczesnych przebiegach czasoych realizacji zniosu x, ciśnienia p oraz natężenia przepłyu Q. Otrzymuje się óczas 5 ykresó ze zmianami kodoymi parametró konstrukcyjnych m, k i d, zgodnie z tabelą 3.0 [73]. W tabeli 3.przedstaiono nieredukoalną alternatyną postać normalną NAPN funkcji logicznej z tabeli 3.0. Tab KAPN i SAPN danych zmian artości parametró m, k i d m k d m k d m k d

97 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 97 Tab. 3.. NAPN funkcji z Tab. 3.0 m k d Po zastosoaniu algorytmu Quine a- McCluskeya [56] otrzymuje się NAPN i MAPN danej funkcji: { }[73]. Przykładoe ykresy przebiegu funkcji x, Q oraz p odpoiadające kodoym zmianom parametró m,k,d () i (03, przedstaiono na rysunkach 3.6, 3.6. Zmieniając artości parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych działanie całościoego układu może być niestabilne, przy stabilności pojedynczych parametró. Właściości każdej funkcji f i ze zbioru funkcji f n mogą być różne zależności od czasu t, zatem praidłoe jest przeproadzenie rozłącznej analizy logicznej [73]. Ziększając czas obseracji do t = 000t przy o max stab. <,4- niektóre przebiegi czasoe (znios x, ciśnienie p lub natężenie przepłyu Q) dalszym ciągu spełniają arunek kryterialny: t < 550t ; o max stab. <,4 przy odpoiednich zmianach kodoych parametró m, k i d. Na rysunku 3.6 przedstaiono przebieg czasoy, gdzie tylko ielkość Q (przy zmianach kodoych m=0, k=0, d=0), spełnia arunek kryterialny.

98 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 98 Rys Charakterystyka pracy zaoru zmian kodoych 000 (tylko ielkość Q spełnia arunek kryterialny I) Tabela 3. zaiera iloczyny kanoniczne opisujące zmiany kodoe parametró, zapeniające spełnienie arunku t < 550t ; o max stab. <,4 oddzielnie przez funkcję: x, p oraz Q czasie obseracji t = 000t. W tabeli 3.3 przedstaiono SAPN funkcji o f(x), f(q) i f(p ) z tabeli 3., natomiast tabelach NAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) z tabeli 3.3. Tab. 3.. KAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) danych zmian artości parametró m, k i d f(x) f(q) f(p) m k d m k d m k d m k D m k d m k d

99 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 99 Tab SAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) Tabeli 3. f(x) f(q) f(p) m k d m k d m k d Tab NAPN funkcji f(x) z Tab. 3.3 m k d

100 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 00 Po zastosoaniu algorytmu Quine a - McCluskeya otrzymuje się MAPN funkcji f(x ): { }[73]. Tab NAPN funkcji f(p) z Tab. 3. m k d Po zastosoaniu algorytmu Quine a - McCluskeya otrzymuje się MAPN funkcji f(p ):{ } [73]. Tab NAPN funkcji f(q) z Tab. 3. m m k k d d

101 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 0 Po zastosoaniu algorytmu Quine a - McCluskeya otrzymuje się MAPN funkcji f(q ): { }[73]. W rozłącznej analizie ytycznych projektoania możlie jest, szczegółoe zbadanie łaściości pojedynczych funkcji oraz ich płyu na badanie rangi ażności parametró konstrukcyjnych. Przy rygorystycznych arunkach działania zaoru otrzymuje się funkcję MAPN złożoną z 0 implikantó. Ziększając czas obseracji poiększa się liczba iloczynó kanonicznych (jako ariantó realizoalnych) zmian kodoych m, k i d. Liczba pradziych roziązań, każdej z funkcji (f(p), f(q), f(x)), zależy od jej płyu na zmiany arunkó pracy. Czas stabilny później osiągany jest przez funkcje o dużej podatności na zmiany parametró konstrukcyjnych. Mała destabilizacja ystępuje przypadku funkcji mniej podatnych na zmiany ytycznych projektoych. W rozpatryanym przykładzie funkcja f(q) spełnia początkoe arunki kryterialne t < 550t ; o max stab. <,4 przy iększej liczbie zmian kodoych parametró konstrukcyjnych m, k i d po ziększeniu czasu obseracji do t = 000t. W przypadku funkcji f(p) i f(x), arunki ograniczające po ziększeniu czasu obseracji do t = 000t, spełniono tylko przypadku pojedynczych iloczynó o kanonicznych, jako pradziych ytycznych projektoania. o ANALIZA LOGICZNA WYTYCZNYCH PROJEKTOWANIA ZAWORU PRZELEWOWEGO Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPEWNOŚCI Jeśli istnieje peność spełnienia arunku kryterialnego tylko przez niektóre funkcje f i ze zbioru funkcji f n danego układu, to optymalizacji uzględnia się arunki niepeności [55]. Wproadzając arunek kryterialny: a) t < 000t ; o max stab. <3,6 niektóre przebiegi czasoe (znios x, ciśnienie p lub natężenie przepłyu Q) są pradzie jednocześnie dla arunku kryterialnego: b) t < 550t ; o max stab. <,4 (Tab. 3. rozdz. 3.4.)- dla tych samych zmian kodoych parametró m, k i d. Na rysunku 3.6 przedstaiono przebiegi czasoe ielkości x, p i Q (przy zmianach kodoych m= 4, k= 0, d=), gdzie ielkości p i x spełniają arunek kryterialny a) t <000 t o, t <500 t o, max stab. <,4. max stab. <3,6, a tylko ielkość Q - arunek kryterialny b)

102 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 0 Rys Charakterystyka pracy zaoru dla zmian kodoych 40 (tylko ielkość Q spełnia arunek kryterialny t <500 t o, max <3,6) (ponieaż Z kolei na rysunku 3.63,arunek kryterialny a) spełniły tylko ielkości x i Q max stab. >,4 dla p),przy zmianach kodoych m=0, k=0, d=0). Gdy arunek kryterialny nie jest spełniony przez szystkie funkcje, to iloczyn kanoniczny zmian artości kodoych parametró nazya się niepenym i umieszcza naiasie ( ) [55]. Pene i niepene kanoniczne iloczyny biorą udział operacji sklejania. W tabeli 3.6 przedstaiono pene iloczyny kanoniczne przy kryterium ograniczającym a) t <500 t o, max stab. stab. <,4 oraz niepene iloczyny kanoniczne (), (0), (0), (4), (4), (000), (00), (40) opisujące zmiany kodoe, przy których dalszym ciągu istnieje spełnienie arunku a) tylko przez pojedyncze przebiegi czasoe x, p lub Q, po zmianie na kryterium b) t < 000t ; o max stab. <3,6.

103 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 03 Tab KAPN penych i niepenych danych zmian artości parametró m, k i d m k d m k d ( ) 0 3 ( 0 ) 0 ( 0 ) (4 ) (4 ) (0 0 0) ( 0 0) 3 (4 0 ) 0 W tabeli 3.7 przedstaiono SAPN funkcji z tabeli 3.6. Tab. 3.7 SAPN funkcji z tabeli 3.6 m k d

104 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 04 Tab NAPN funkcji z tabeli 3.7 m k d m k d ( ) ( 0 ) ( 0 ) (4 ) (4 ) (0 0 0) ( 0 0) ( 0 ) Po zastosoaniu algorytmu Quine a- McCluskeya otrzymuje się MAPN danej funkcji logicznej z tabeli 3.8: { } [55]. Przy torzeniu SAPN funkcji logicznej uzględnia się niepene iloczyny kanoniczne (), (0), (0), (4), (4), (000), (00), (40), nie są natomiast one analizoane przy yszukianiu implikantó pierszych danej funkcji. W ziązku z

105 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 05 czym istnieją puste kolumny iloczynach kanonicznych: 0 i tabeli 3.8 (NAPN danej funkcji). Zatem zapisach iloczynó elementarnych: 00-; 0-; -0; - ; - (cześniej sklejających się SAPN funkcji z tabeli 3.7), z kreską na jednym miejscu dzięki niepenym iloczynom kanonicznym, nie uzględnia się kolumnach (tabela 3.8) szystkich możliych giazdek (*). Uzględniając niepene zmiany kodoe, uzyskano iększą liczbę iloczynó elementarnych SAPN funkcji logicznej (Tab.3.7), jednak postać MAPN ieloartościoej funkcji z tabeli 3.8 jest rónoażna MAPN z tabeli 3.0. Właściości każdej funkcji f i ze zbioru funkcji f n mogą być różne zależności od czasu t, dlatego przy uzględnianiu niepeności konieczne jest przeproadzanie rozłącznej analizy logicznej ytycznych projektoania ROZŁĄCZNA ANALIZA LOGICZNA WYTYCZNYCH PROJEKTOWANIA ZAWORU PRZELEWOWEGO Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPEWNOŚCI Gdyby zmniejszyć czas stabilizacji do t < 00t przy stosunku artości maksymalnej funkcji do jej artości po ustabilizoaniu: o max stab. <,4, dla x, p, Q, to zmiany kodoe parametró konstrukcyjnych m, k i d przedstaiono tabeli 3.9 [7]. Tab KAPN, SAPN i NAPN dla danych zmian artości parametró m, k i d. m k d m k d m k d m k d Przy ziększeniu czasu obseracji do t = 000t przy o max stab. <,4, yróżnia się oddzielną grupę pradziych iloczynó kanonicznych odpoiadających zmianom kodoych parametró m, k i d, przy których przebiegi czasoe zniosu x, ciśnienia p lub natężenia przepłyu Q dalszym ciągu spełniają arunek kryterialny: t < 00t ; o max stab. <,4 [7]. Proces minimalizacji każdej z funkcji przeproadza się osobno [7, 73].

106 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 06 Tabela 3.0 zaiera pene iloczyny kanoniczne z tabeli 3.9 oraz niepene iloczyny kanoniczne rozłącznych przebiegó czasoych x, p oraz Q. Tab KAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) danych zmian artości parametró m, k i d f(x) f(q) f(p) m k d m k d m k d m k d m k d m k d 0 0 (0 0 0) (0 0) ( 0 ) (3 0 ) ( 0 0) (3 ) ( 0 ) (4 0 ) 0 (4 ) Pene i niepene kanoniczne iloczyny odpoiednich funkcji biorą udział operacji sklejania SAPN, nie są natomiast uzględniane przy torzeniu NAPN i MAPN danej funkcji [7]. W tabeli 3. przedstaiono SAPN funkcji f(p), f(q) i f(x)) danych zmian parametró m, k i d z tabeli 3.0. Tab. 3.. SAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) danych zmian artości parametró m, k i d. f(x) f(q) f(p) m k d m k d m k d

107 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 07 Tab 3.. NAPN funkcji f(q ) z tabeli 3.0 M K D Po zastosoaniu algorytmu Quine a - McCluskeya, otrzymuje się SAPN funkcji f(q ): { } oraz NAPN i MAPN: { }[7]. Nie ziększyła się liczba niepenych iloczynó kanonicznych przebiegó czasoych f(p) i f(x) (tab. 3.0), NAPN i MAPN tych funkcji pozostaje bez zmian: { }. W przypadku, gdy czas stabilizacji t < 300t przy o max stab. <,4 (jednoczesnych przebiegó czasoych realizacji zniosu x, ciśnienia p oraz natężenia przepłyu Q), óczas otrzymuje się 0 ykresó pradziych [53, 55]. Ziększając czas obseracji do t = 550t przy o max stab. <,4, każdej z funkcji (f(p), f(q), f(x)) ziększa się zbiór realizoalnych iloczynó kanonicznych (ytycznych projektoania) o jeden niepeny iloczyn kanoniczny. W tabeli 3.3 przedstaiono zbiór penych i niepenych iloczynó kanonicznych przebiegó czasoych f(p), f(q) i f(x)).

108 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 08 Tab KAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) danych zmian artości parametró m, k i d f(x) f(q) f(p) m k d m k d m k d m k d m k d m k d ( 3 ) 0 3 (3 0 ) 0 3 ( 3 ) W tabeli 3.4 przedstaiono SAPN funkcji f(p), f(q) i f(x))danych zmian parametró m, k i d z tabeli 3.. Tab SAPN funkcji f(x), f(q) i f(p ) danych zmian artości parametró m, k i d. f(x) f(q) f(p) m k d m k d m k d Tab NAPN funkcji f(q ) z tabeli 3.4. m k d

109 RÓWNANIA LOGICZNE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 09 Stosując algorytm Quine a- McCluskeya przypadku: - funkcji f(q ), otrzymano NAPN i MAPN:{ } zgodnie z tabelą funkcji f(x ) i f(p): NAPN i MAPN: { } zgodnie z tabelą 3.6. Tab NAPN funkcji f(x ) i f(p) z tabeli 3.4. m k d Jeśli tabeli 3.3 uzględnić tylko pradzie iloczyny kanoniczne, które są pene (bez naiasó), óczas po operacji sklejania i pochłaniania elementarnego szystkich funkcji (f(p), f(q), f(x)) uzyskuje się tylko jedną NAPN i MAPN: { }. Wartości kodoe parametró konstrukcyjnych określone przez niepene iloczyny kanoniczne oceniają, czy dany parametr eksploatacyjny może spełniać kryterialne arunki pracy (zachoanie danej funkcji nie jest pełni określone). W analizoanym przykładzie pracy zaoru przeleoego przy arunku kryterialnym: t < 00t ; o max stab. <,4, istnieje 0 najażniejszych ytycznych projektoania { }.Zmiana czasu obseracji do t = 000t przy o max stab. <,4 ziększa liczbę niepenych iloczynó kanonicznych tylko przypadku funkcji f(q). W ostateczności otrzymuje się także 0 najażniejszych ytycznych projektoania { }. W arunku kryterialnym t 300to < przy max stab. <,4 istnieją najażniejsze ytyczne projektoania: { }. Po uzględnieniu kanonicznych iloczynó niepenych i rozłącznej analizy logicznej, istnieją najażniejsze ytyczne projektoania przypadku funkcji f(q): { } oraz funkcji f(x) i f(p): { }. Rozłączna analiza logiczna ytycznych projektoania umożliia, dokładniejsze badanie złożonej dynamiki systemó przepłyoych, charakteryzującej się zmiennością łaściości i ziązkó

110 ROZDZIAŁ 4 0 badanych funkcji f n. ROZDZIAŁ 4 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM W yniku rozoju technik informatycznych, ziększa się liczba i możliości stosoanych praktyce metod optymalizacyjnych oraz systemó spomagania decyzji. W procesie decyzyjnym głónej mierze korzysta się z odpoiednich metod i technik decyzyjnych, proadzących do roziązania danego problemu decyzyjnego skazując najażniejsze możlie arianty działania. W całościoym procesie innoacyjnym uzględnia się nie tylko końcoy rezultat określonego zadania technicznego, ale rónież szereg decyzji, poprzedzającej jego postanie. Istnieje szeroki zakres badań dotyczących opracoań metodyki spomagania procesó podejmoania decyzji i steroania systemach o różnej skali złożoności. Wykorzystanie odpoiedniego narzędzia, opisującego proces decyzyjny, jest niezbędne zaróno torzeniu iedzy o potrzebach przedsiębiorsta jak i określeniu ytycznych konstrukcyjnych dla projektanta. W przypadku drze indukcyjnych, ziązanych z regułoą reprezentacją iedzy uczeniu maszynoym, zbiór analizoanych danych najczęściej reprezentoany jest postaci tablic informacyjnych lub zapisu logice pierszego rzędu. Gdyby z kolei proces projektoania na etapie doboru artości liczboych parametró konstrukcyjnoeksploatacyjnych modelu matematycznym przetłumaczyć na graf zależności, tedy drzea rozgryające parametrycznie mogą odgryać rolę algorytmó opisujących kolejność zmian artości liczboych i spradzanie otrzymanych ynikó. W rozdziale ybranych przykładach konstrukcyjnych ygeneroano indukcyjne drzea decyzyjne systemu DeTreex. Następnie zastosoano ieloartościoe drzea logiczne. Porónano proces klasyfikacji i predykcji oraz ocenę rangi ażności zmiennych decyzyjnych przy użyciu obu struktur graficznych. 4..POZYSKIWANIE WIEDZY W UCZENIU MASZYNOWYM Pozyskianie iedzy (ang. knoledge acquistion) jest ściśle ziązane z uczeniem maszynoym, i rozumiane jest jako pozyskianie informacji symbolicznej z efektynym ykorzystaniem iedzy. W przypadku odkryania iedzy z danych, informacja dotycząca zachoania się danych zmiennych decyzyjnych pełni funkcję przykładó [37]. Proces budoy reprezentacji iedzy o klasyfikoaniu, np. postaci reguł lub drze decyzyjnych, uzględnia także fazę testoania, gdzie reguły eryfikoane są na zbiorze przykładó testoych. Często zbiór analizoanych danych (przykładó uczących) zapisyany jest logice pierszego rzędu [68, 9]. Funkcje odzoroujące przykłady na odpoiedni zbiór pojęć mogą być poszukiane ieloma metodami m in. [9, 4, 07]. Istnieje duża liczba dotychczasoych badań, dotyczących uczenia maszynoego i odkryania iedzy, torzenia i eksperymentalnej oceny

111 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM pojedynczych uczących się algorytmó [38, 97, 8, 03, 06]. W czasie ostatnich lat zrosło zainteresoanie torzeniem noych systemó klasyfikujących. Idea taka polega na integracji ielu pojedynczych algorytmó uczenia się, celu otrzymania lepszej trafności klasyfikacji, aniżeli użycie oddzielnie pojedynczych klasyfikatoró. Według badań eksperymentalnych na obiektach technicznych dostępnych literaturze nie ma jednego typu metod klasyfikacji informacji i metod spomagania decyzji. W pracach [47, 48] zaprezentoano teorię zbioró przybliżonych, o ysokiej skuteczności klasyfikacyjnej, do analizy stanu technicznego łożysk. Z kolei praca [6] dotyczy oceny stanu technicznego autobusó określonego typu. Decyzja o dalszym eksploatoaniu pojazdu, podejmoana jest na podstaie ynikó okresoych przeglądó. Inne prace przedstaiają zastosoanie metod klasyfikacji do analizy danych finansoych [8, 9]. W rozażanych problemach technicznych jedną z metod klasyfikacji informacji i spomagania decyzji jest metoda indukcyjnego generoania reguł za pomocą drze decyzyjnych. W indukcji do ustalenia najbardziej znaczącego atrybutu, ykorzystyana jest miara entropii. Indukcyjne drzea decyzyjne mogą być porónane procesie klasyfikacji, predykcji i yznaczania rangi ażności zmiennych decyzyjnych z ieloartościoymi drzeami logicznymi [5, 74]. W szerszym znaczeniu można ykazać, że indukcyjne drzea decyzyjne są szczególnym przypadkiem zmodyfikoanych struktur drzeiastych. Takie podejście zaprezentoano pracach [5, 74] INDUKCYJNE DRZEWA DECYZYJNE Jednym z przykładó pozyskiania iedzy sposób indukcyjny jest generoanie reguł za pomocą drze decyzyjnych [05]. W generoaniu indukcyjnych drze decyzyjnych, przeproadza się serie testó ykonanych określonej kolejności, gdzie próbki danych yniku każdego kolejnego testu, rozdzielane są na podgrupy o iększej czystości", tzn. zaierające coraz ięcej próbek z danej tylko klasy. Kryterium umożliiającym ybór atrybutu stosoanego do rozbudoy drzea jest entropia, jako pena miara informacji zaartej zjaisku, które przypadkoy sposób może przyjmoać n-stany. Oznacza ięc także artość średnią ilości informacji, niezbędnej do zapenienia faktu, że danemu zjaisku przyporządkoany będzie jeden spośród n dostępnych stanó. n ( i log i ), (4.) i= 0 E = p p gdzie: pi - jest pradopodobieństem pojaienia się i-tego elementu zbioru W problemach indukcji drze decyzyjnych entropia yznacza najbardziej znaczący atrybut. Informacja zbiorze przykładó uczących jest róna: E Ei Ei I ( E) = log i= E E, (4.)

112 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM gdzie: E - zbiór przykładó uczących - liczba przykładó i-tego obiektu, Ei E - liczba przykładó zbiorze uczącym E. Oczekiana artość informacji, po podziale zbioru przykładó E na ( m podzbiory E ), m =,..., V a, których atrybut a ma artość V m, określona jest jako [03, 04, 05]: gdzie: atrybutu, ( m) E ( m) E ( m) I( E, a) = I ( E ), (4.3) E ( m ) m=, K, Va, E = - liczba przykładó po podziale zbioru E zględem artości m danego E - liczba przykładó zbiorze uczącym E. Indukcyjne drzeo określa rangę ażności atrybutu od najażniejszego umieszczonego korzeniu, poprzez zaklasyfikoanie doolnego przykładu. [04]. Graficzną prezentację struktury drzea decyzyjnego przedstaiono na rysunku 4.. Rys. 4.. Graficzna prezentacja struktury drzea decyzyjnego Przy yborze testu zależy nam na ogół na tym, aby uzyskać proste drzeo. Najczęściej stosoane kryterium yboru testu ma charakter teorio informacyjny. Zgodnie z nim ybiera się test, którego zastosoanie dla aktualnego zbioru przykładó daje najiększy przyrost informacji. Nieformalnie, oznacza to preferoanie takiego testu, który yznacza podział zbioru przykładó E na podzbiory jak najbardziej jednolite pod zględem artości decyzji. Obserując konkretne implementacje algorytmó torzenia drze decyzyjnych można podzielić funkcje oceniające na trzy podstaoe grupy:. Funkcje mierzące różnicę między zbiorem E (przykładó), a zbiorami, na jakie dzieli się ten zbiór g artości ocenianego atrybutu ze zględu na rozkład częstotliości klas-decyzji.. Funkcje mierzące różnicę między poszczególnymi podzbiorami zbioru E (utorzonymi na podstaie artości ocenianego atrybutu), ze zględu na rozkład częstotliości klas-decyzji. 3. Funkcje mierzące statystyczną niezależność między rozkładem klas-decyzji, a podziałem E na podzbiory.

113 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM ANALIZA PORÓWNAWCZA OPTYMALNYCH LOGICZNYCH DRZEW DECYZYJNYCH I INDUKCYJNYCH DRZEW SYSTEMU DETREEX W WYZNACZANIU RANGI WAŻNOŚCI PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH I/LUB EKSPLOATACYJNYCH DANYCH UKŁADÓW 4... RANGA WAŻNOŚCI PARAMETRÓW ZAWORU PRZELEWOWEGO W działaniu zaoru przeleoego analizoano trzy zależności iążące ograniczenia na parametry konstrukcyjne i eksploatacyjne, dotyczące czasu stabilizacji funkcji oraz stosunku artości maksymalnej funkcji do jej artości, po ustabilizoaniu [53, 74]:. t < 00to, max <,4;. t < 750to, max <3,6 3. t < 300t o, stab. stab. max <,4. W tabelach przedstaiono zmiany kodoe stab. parametró konstrukcyjnych m, k i d, przy których spełnione są odpoiednie ograniczenia funkcji zależnych od czasu [74]. Tab. 4.. Wartości logiczne ustalonych parametró ograniczenia M k d m k D m k d Tab. 4.. Wartości logiczne ustalonych parametró ograniczenia m k d m k d m k d

114 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM Tab Wartości logiczne ustalonych parametró dla ograniczenia 3 m k d m k d m k d Na rysunkach przedstaiono optymalne ieloartościoe drzea logiczne z rangą ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych od najażniejszego na dole do najmniej ażnego na górze. k m d R Rys. 4.. Optymalne ieloartościoe drzeo decyzyjne Tab. 4. k m d R Rys Optymalne ieloartościoe drzeo decyzyjne Tab. 4. k m d

115 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 5 Rys Optymalne ieloartościoe drzeo decyzyjne Tab. 4.3 Najażniejszym parametrem jest średnica d, natomiast najmniej ażnym-stała sprężyny k. Następnie ygeneroano indukcyjne drzea decyzyjne za pomocą modułu DeTreex, [04, 4]. Atrybutami ejścioymi są parametry: m, k, d, atrybutem yjścioym natomiast jest funkcja kryterialna f( m, k, d) d. Na rysunku 4.5 przedstaiono indukcyjne drzeo decyzyjne. Rys Indukcyjne drzeo decyzyjne Tab.4. Rys Indukcyjne drzeo decyzyjne Tab.4. Rys Indukcyjne drzeo decyzyjne Tab.4.3

116 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 6 Ranga ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych zaoru przeleoego, oceniona przez indukcyjne drze decyzyjne jest praidłoa. Najażniejszym parametrem jest średnica d, natomiast najmniej ażnym-stała sprężyny k. Indukcyjne drzea decyzyjne z tablicy 4. oraz tablicy 4.3 (Rys. 4.6 i 4.7) podobnie jak drzea logiczne, posiadają tylko jeden parametr decyzyjny na pojedynczym piętrze. W przypadku drzea indukcyjnego z rysunku 4.5 dane piętro jest opisane doma parametrami m i k, jednakże ocena rangi ażności parametró nie jest zaburzona RANGA WAŻNOŚCI PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH POMPY WIROWO- ŚMIGŁOWEJ W przypadku badań eksperymentalnych pompy iroej śmigłoej charakterystycznymi ielkościami fizycznymi, które yznaczono na stanoisku, były: przełyk turbiny Q, spad H, moc N, spraność η i prędkość obrotoa n [34, 6, 5]. Schemat stanoiska laboratoryjnego przedstaiono na rysunku 4.8. Rys Stanoisk pomiaroe pompy iroo śmigłoej - turbina odna śmigłoa, - pompa zasilająca, 3- silnik elektryczny, 4- pompa zasilająca układu hamoania, 5- zaór regulacyjny, 6- przepłyomierza, 7- momentomierza,8, 9, 0- manometry, - miernik prędkości obrotoej, - przetornica częstotliości [34] Stierdzono, że najyższe spraności, niezależnie od prędkości obrotoej, uzyskano przy kącie ustaienia łopatek irnika φ = 3 [6, 5]. W dotychczasoych opracoaniach literaturoych, przedstaionej śmigłoej turbiny dośiadczalnej, yznaczono φ i n za najażniejsze parametry procesie projektoania. Metodę ieloartościoych drze logicznych, z różnym kodoaniem zmian arytmetycznych parametró, stosoano już ielokrotnie [34, 6,5]. Uzględniając dane interpoloane zakresy przedziałó poszczególnych parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych można opisać zmiennymi logicznymi następujący sposób: φ = 0, 3 0; n = 800, 900, 000, 00 0; φ = 7, ; n = 00, 300, 400 ; Q (3; 5,6] 0; Q (5,6; 6,66] ; Q (6,66; 8] ; H (4; 6,] 0; H (6,; 7,6] ; H (7,6; 0] ; N (; 3,5] 0; N (3,5; 4,6] ; N (4,6; 7].

117 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 7 Tabela 4.4 przedstaia dyskretyzację takich przedziałó. Zdanych przedziałó otrzymano optymalne ieloartościoie drzea logiczne o kolejności pięter φnqhn i nφqhn. Oznacza to, że najażniejszymi parametrami są φ i n.. Parametry Q, H, N są ziązane interakcyjnie, a zatem nie są one dosłonie zmiennymi niezależnymi i dlatego poinny być jedną zmienną zastępczą. Na rysunku 4.9 przedstaiono ieloartościoe drzeo logiczne o kolejności pięter φnqhn [34, 6]. Tab. 4.4 Kodoy zapis parametró znamionoych śmigłoej turbiny Φ N Q H N Φ n Q H N Rys Wieloartościoe drzea logiczne o układach: ϕ nqhn Następnie dla danych przedziałó ygeneroano indukcyjne drzeo decyzyjne [74]: Rys Indukcyjne drzeo decyzyjne Tab.4.4 W literaturze istnieją przypadki obliczeń z kodoaniem duartościoym (parametró: φ, n, Q, H, N) na podstaie standaryzacji. Jednak z poodu subiektynego yznaczania przedziałó i potem kodoania, często nie otrzymuje się

118 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 8 praidłoej rangi ażności, na podstaie drze logicznych z minimalną liczbą gałęzi pradziych. Dlatego ziększa się artość logiczną parametró mniej istotnych [34]. Gdyby zakresy przedziałó poszczególnych parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych opisać następujący sposób [34]: φ (-,8; -0,508] 0; φ (-0,508; 0,7] ; φ (0,7; 0,850] ; φ (0,850;,59] 3; Q (-,04; -0,834] 0; Q (-0,834; 0,376] ; Q (0,376;,586] ; n (-,4; -0,660] 0; n (-0,660; 0,097] ; n (0,097; 0,854] ; n (0,854;,6] 3; H (-,76; -0,587] 0; H (-0,587; 0,587] ; H (0,587;,763] ; N (-,89; -0,556] 0; N (-0,556; 0,78] ; N (0,78;,]. to otrzymuje się tabelę 4.5 oraz ieloartościoe drzea logiczne φnqhn, nφqhn, φnhqn, nφhqn [34]. Tab. 4.5 Ziększony kodoy zapis parametró znamionoych śmigłoej turbiny φ N Q H N φ n Q H N Na rysunku 4. przedstaiono ieloartościoe drzea logiczne o kolejności pięter φnqhn [34]. Rys. 4.. Wieloartościoe drzeo logiczne o układzie: ϕ nqhn Indukcyjne drzeo decyzyjne danych zakresó przedziałó poszczególnych parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych z tabeli 4.5 przedstaiono na rysunku 4..

119 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 9 Rys. 4.. Indukcyjne drzeo decyzyjne Tab. 4.5 Ocenę rangi ażności parametró n, Q, H, N z użyciem indukcyjnych drze decyzyjnych określono nie praidłoo. Indukcyjne drzea decyzyjne z Tab.4.4 oraz Tab.4.5 sklasyfikoały parametry φ oraz n koronach drze, podczas gdy ieloartościoe drzea logiczne - korzeniu, jako ażniejsze od Q, H, N. Podobnie parametry φ, n były ocenione, jako najażniejsze dostępnej literaturze [5] RANGA WAŻNOŚCI PARAMETRÓW KONSTRUKCYJNYCH GŁOWICY FREZARKI Na rysunku 4.3 przedstaiono schemat napędu głoicy frezarki, składającej się z silnika asynchronicznego, sprzęgła podatnego S, przekładni stożkoej o przełożeniu i oraz rzeciona głoicy [5, 84]. J3 J J Rys Schemat głoicy frezarki Zredukoane momenty bezładności na ał sprzęgła: Wymuszenia: I = J = kg m, (4.4) 0[ ] I J J i kg m 6 3 = + 3 = = 0[ ]. (4.5) π ni π 950 ν = z = 9 = s, (4.6)

120 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 0 gdzie: n - obroty silnika procesie skraania, z- liczba ostrzy głoicy. Współczynnik zrostu amplitudy: α =, (4.7) ( β ) + 4γ β gdzie: β 0 β ( γ ). (4.8) Pomijając tłumienie sprzęgle (na korzyść peności), otrzymano: skąd: I + ν ω = c I (4.9) I I 0 v II c ( I + I ) = [ Nm] (4.0) Przyjmując sztyność sprzęgła jako arunek kryterialny, obliczenia przeproadzono przy różnych artościach parametró n, J, J oraz J 3. Do analizy ybrano odpoiednie artości arytmetyczne badanych parametró, które zakodoano potem logicznymi zmiennymi decyzyjnymi, jako kodoe ytyczne logicznych drze decyzyjnych [5, 74]: obr n = 900 [obr/min] ~ 0; n = 880 [ ] ~ ; min J J J 5[ kg m ] = ~ 0; J = 0[ kg m ] ~ ; J = 5[ kg m ] ~ ; 0[ kg m ] = ~ 0; J = 0[ kg m ] ~ ; J = 30[ kg m ] ~ ; = ~ 0; J3 = 60[ kg m ] ~ ; J3 = 70[ kg m ] ~ ; J3 = 80[ kg m ] ~ [ kg m ] Podstaą yodrębnienia ariantó pradziych jest nieróność (4.0). Jeżeli spełniona została nieróność, to funkcji f ( n, J, J, J 3 ) przyjmuje artość:, przecinym razie przyjmuje artość: 0 [5] W yniku analizy [5] otrzymano 4 ieloartościoe drzea logiczne. Po redukcji dopuszczalnych pełnych iązek z góry na dół, otrzymano jedno optymalne ieloartościoe drzeo logiczne z pradzią rangą ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, od korzenia do korony drzea (Rys. 4.4). Optymalne drzeo to MZAPN danej funkcji logicznej.

121 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM J n J 3 J Rys Optymalne ieloartościoe drzeo logiczne z układem piętroym J, J, n, J 3 Indukcyjne drzeo decyzyjne, ygeneroane za pomocą pakietu DeTreex, przedstaiono na rysunku 4.5. Rys Indukcyjne drzeo decyzyjne J, J, n, J 3 Na podstaie indukcyjnego drzea decyzyjnego z rysunku 4.5 można odczytać rangę ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych głoicy frezarki zgodnie z ieloartościoym drzeem decyzyjnym z rysunku 4.4. Parametry o najiększej randze ażności to: J (moment bezładności sprzęgła asynchronicznego) oraz J (moment ały rzeciona). Najażniejszymi parametrami okazały się momenty bezładności sprzęgła asynchronicznego J oraz ału rzeciona J INDUKCYJNE DRZEWA DECYZYJNE DLA DANYCH KAPN FUNKCJI LOGICZNYCH W danych KAPN funkcji logicznych, które mogą opisyać kodoanie zmian artości arytmetycznych parametró konstrukcyjnych układó maszynoych, zbudoano optymalne ieloartościoe drzea logiczne (Tab. 4.6). Następnie ygeneroano drzea decyzyjne za pomocą pakietu DeTreex (Rys. 4.6).

122 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM Tab. 4.6 KAPN danej funkcji logicznej F(X, X, X3) X X X3 F(X, X, X3) X X X3 F(X, X, X3) x x 3 x Rys Optymalne ieloartościoe drzeo logiczne oraz indukcyjne drzeo decyzyjne Tab.4.6 Tab KAPN danej funkcji logicznej F(X, X, X3) X X X3 F(X, X, X3) X X X3 F(X, X, X3)

123 DRZEWA DECYZYJNE W UCZENIU MASZYNOWYM 3 x x x 3 Rys Optymalne ieloartościoe drzeo logiczne oraz indukcyjne drzeo decyzyjne Tab.4.7 W danych funkcjach logicznych KAPN F i F z Tab.4.6 i Tab. 4.7 ranga ażności zmiennych decyzyjnych ocenie indukcyjnych drze decyzyjnych jest analogiczna jak przypadku ieloartościoych optymalnych drze logicznych (Rys. 4.7) ANALIZA PORÓWNAWCZA LOGICZNYCH DRZEW DECYZYJNYCH I DRZEW DECYZYJNYCH PAKIETU DETREEX Jeśli istnieje przybliżona liczba obiektó oznaczonych jako pradzie i niepradzie, to ranga ażności zmiennych decyzyjnych ocenie indukcyjnych drze jest identyczna jak przypadku ieloartościoych drze logicznych. Taka sytuacja istnieje podczas analizy rangi ażności parametró konstrukcyjnych zaoru przeleoego oraz danych KAPN funkcjach logicznych (Tab. 4.6 i Tab. 4.7). Sytuacja jest przecina tedy, kiedy analiza dotyczy małej lub bardzo małej liczby realizoalnych ytycznych projektoania stosunku do roziązań teoretycznych. Przykładem jest yznaczenie rangi ażności parametró φ, n pompie iroośmigłoej. W analizie przedstaionej m.in. pracach [5, 74] identyfikuje się indukcyjne drzea decyzyjne ze zmodyfikoanymi drzeami logicznymi, z ieloma zmiennymi logicznymi na pojedynczym piętrze drzea. Istnieje możliość dalszej analizy zastosoań indukcyjnych drze decyzyjnych do optymalizacji układó maszynoych, jako graficznych struktur decyzyjnych. W szczególności konieczne jest uzględnienie spółczynnikó agoych fazie testoania podczas indukcyjnego generoania reguł odpoiednich atrybutó.

124 ROZDZIAŁ 5 4 ROZDZIAŁ 5 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Wśród narzędzi spomagania decyzji można yróżnić tablice i drzea decyzyjne, dendryty, klasyfikatory drzeiaste, a także grafy. Narzędzia te zalicza się do tz. grafoych metod spomagania i podejmoania decyzji. Często zbiór decyzji (i relacji między nimi) zapisyany jest sposób graficzny z modelu matematycznego, który jest głóną płaszczyzną realizacji procesu decyzyjnego z jakiej decydent może skorzystać celu roziązania doolnego problemu. W przypadku spomagania podejmoania decyzji optymalizacji układó mechanicznych (jako systemó), ymagane jest zamodeloanie całościoego procesu. Składa się ona z abstrakcji (model matematyczny), konkretyzacji (model graficzny, model komputeroy) oraz eryfikacji (badania symulacyjne) (Rys. 5..). ABSTRAKCJA (Model) KONKRETYZACJA (Model graficzny) WERYFIKACJA (Symulacja) Rys. 5.. Schemat modeloania procesu dla systemu spomagania decyzji ybranego modelu Model matematyczny jako układ rónań algebraiczno-różniczkoocałkujących, zostaje zapisany graficznie, jako poiązania (relacje) będące doolnymi ustalonymi sensie artości arytmetycznych zmiennymi ejścioymi i yjścioymi. W badanych obiektach (np. układ mechaniczny) yróżnia się bardzo dużo licznych sprzężeń zrotnych pomiędzy poszczególnymi elementami enętrznej budoy. Dlatego na etapie konkretyzacji konieczne jest stosoanie odpoiedniego modelu graficznego, gdzie opisyane są zachodzące enątrz badanego obiektu ziązki przyczynoo- skutkoe. Grupy danych pomiaroych dostarczane są przez stanoisko pomiaroe. Dyskretyzacja zakresó przedziałó poszczególnych danych pomiaroych proadzi do kodoego zapisu parametró konstrukcyjno- eksploatacyjnych. Wieloartościoe drzea logiczne yznaczają rangę ażności parametró konstrukcyjnoeksploatacyjnych, odgryających rolę logicznych zmiennych decyzyjnych. Głóną tematyką rozdziału 5 jest omóienie zastosoań metod grafoych analizie łasności układó maszynoych. W rozdziale przedstaiono autorską metodę opisu grafó i drze parametrycznych optymalizacji układó maszynoych. Dotychczas grafy i drzea rozgryające parametrycznie były stosoane m. in. teorii automató z zachoaniem celoym.

125 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH GRAFY Każde dyskretne zadanie optymalizacyjne można roziązać przez przejrzenie szystkich możliości (szystkich elementó przestrzeni stanó). Model danego systemu, np.: układu maszynoego opisyany jest przez przestrzeń stanó. Torzone są schematy, które danym zakresie problemoym są reprezentacją penej klasy zjaisk, celu storzenia podstay do badań i (lub) komunikacji. W ogólnym sensie jest to opis myśloy (enętrzny) lub postacioy (diagramy, zory matematyczne, relacje itp.), na ogół zredukoany do najistotniejszych cech o charakterze symbolicznym. W zagadnieniach technicznych mói się o modelach rzeczyistych, opisujących rzeczyistą budoę obiektu konkretnego. Można przytoczyć definicje Regniera [77, 8]: " Zauażając, z jednej strony, że obiekt abstrakcyjny jest całkoicie opisyany przez jego definicje, a obiekt konkretny nie jest nigdy opisany sposób yczerpujący, można poiedzieć: obiekt abstrakcyjny jest modelem obiektu konkretnego, jeśli definicja tego pierszego jest brana za reprezentację tego drugiego. Model rzeczyisty zatem to taki, który opisuje rzeczyistą budoę obiektu konkretnego". Do modeloania poszczególnych podukładó analizoanego systemu (układu maszynoego) znakomicie nadaje się klasyczne pojęcie relacji, określającej istnienie lub brak ziązku między doma elementami (obiektami). Każdą z relacji można interpretoać jako łasność, którą ma lub nie ma 'para' ariantó a' i a. Przez słoo 'para' trzeba rozumieć fakt, że da rozażane arianty nie zależą od porządku, którym je podano. Jednym ze sposobó przedstaienia modelu obiektu jest graf. Za pomocą grafu można opisyać (modeloać) szelkiego rodzaju obiekty rzeczyiste (obiekty fizyczne, zjaiska, procesy, itp.), które posiadają pene cechy (ierzchołki grafu) i pene relacje między cechami (łuki grafu). Na rysunku 5. przedstaiono przykładoy graf skieroany (ang. directed graph lub digraph). (3, 6) (, 3) 3 (, ) (, 4) (3, 4) (, 4) 4 (, 6) (5, 6) 5 (4,5) (3, 7) 6 (6, 7) (5, 7) 7 Rys. 5. Przykładoy graf skieroany W grafie skieroanym z rysunku 5. rozróżnia się zbiór ierzchołkó: V = {,,3,4,5,6,7 } oraz zbiór kraędzi reprezentoany przez uporządkoane pary ierzchołkó, pomiędzy którymi jest rozpięta dana kraędź: ( ),( 3 ),( 4 ),( 4 ),( 6 ),( 3 4 ), ( 3 6 ),( 3 7 ),( 5 4 ),( 6 5 ),( 5 7 ),( 7 6) E =

126 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 6 Zależności grafoe mogą opisyać poszukianie drogi pomiędzy miastami, połączeń kolejoych, połączeń drogoych między skrzyżoaniami, system pozycjonoania GPS. W lingistyce torzone są zależności między słoami zdaniu (syntaktyka) oraz między ich znaczeniem (semantyka), co dalej ma zastosoanie rozpoznaaniu moy, interakcji między maszyną a człoiekiem. Dział matematyki i informatyki, zajmujący się badaniem łasności grafó- Teoria Grafó, dalszym ciągu rozija algorytmy yznaczające łaściości grafó. Algorytmy te stosuje się do roziązyania ielu zadań praktycznych. W zależności od łaściości i budoy rozróżnia się różne rodzaje grafó, np.: grafy skieroane (zane rónież digrafami) to grafy których kraędzie są uporządkoanymi parami ierzchołkó, grafy ażone, gdzie dodatkoo każdej kraędzi przypisana jest aga, hipergrafy, czyli rozszerzone grafy, gdzie kraędzie mogą być zbiorami ięcej niż dóch ierzchołkó. Grafy znalazły szerokie zastosoanie socjologii [4], biologii [5, 5], fizyce, chemii [54], energetyce [, ], matematyce [86, 88, 0], modeloaniu układó maszynoych [3, 3, 47, 9, 93, 94, 86, 96, 0, 7]. Specyficznym rodzajem grafó spójnych bez cykli są drzea. Wiele przykładó drze dostarczają struktury logiczne, np.: ieloartościoe drzea logiczne, ankiety, dendryty ielochodoe gry, ( ). Drzea mają taką łaściość, że zaczynają się korzeniu, od którego budoane są kolejne gałęzie. Stosoanie drze optymalizacji układó maszynoych jest pełni użyteczne sferze koncepcji, ponieaż pozala na ybory (zmienianie) artości arytmetycznych odpoiednich parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych danego układu maszynoego i ocenę pracy układu noych arunkach. W doolnym etapie optymalizacji można sporządzić drzeo, ybierając optymalne decyzje. Następnie można dołączyć do drzea ierzchołki, które reprezentują optymalne odpoiedzi układu na zmiany artości arytmetycznych parametró konstrukcyjnych i tak dalej. Jeśli ograniczy się liczbę ierzchołkó na każdym poziomie decyzji do tych, które reprezentują pradzie ytyczne konstrukcyjne (realizoalne), to można skonstruoać graf, rozbudoany dość głęboko penym kierunku. W takim postępoaniu uzyskiana jest aproksymacja sposobu myślenia np.: dobrego projektanta. Innego przykładu drzea dostarcza procedura klasyfikacji. Schematy klasyfikacji są bardzo użyteczne nie tylko technice, ale także innych dziedzinach, szczególnie zakresie np.: biologii dośiadczalnej. 5.. GRAFY JAKO MODELE UKŁADÓW MECHANICZNYCH W przypadku układó zbudoanych z dużej liczby podukładó, analityczne roziązyanie rónań różniczkoych jest zazyczaj pracochłonne lub może być istotnie utrudnione. Korzysta się óczas z metod siecioych, nazyanych literaturze metodami nieklasycznymi. Poprzez ysoki stopień zalgorytmizoania metod siecioych, ułationa jest ich implementacje komputeroych systemach

127 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 7 obliczenioych. Z drugiej strony sposób graficzny - postaci grafó przedstaiają strukturę modeloego układu. Metody grafó i liczb strukturalnych od dana mają zastosoanie mechanice [3, 86,3, 96, 0,, 7]. W kraju i za granicą ukazało się iele prac dotyczących teorii grafó, jako narzędzi badaniu dynamiki układó, zaróno zakresie analizy, jak rónież i syntezy złożonych układó mechanicznych. Metody grafoe są łate algebraizacji, dlatego raz z rozojem komputeró i sztucznej inteligencji rozinęły się bardzo szybkim tempie. W metodach grafoych stosoane są takie klasy grafó, jak grafy biegunoe, grafy przepłyoe, grafy hybrydoe, grafy iązań oraz hipergrafy i liczby strukturalne [3, 4, 7, 3, 34, 96]. Wybór odpoiedniej klasy grafó, ykorzystyanych procesie modeloania, zależy od modeloanego układu oraz od przyjętego modelu odniesieniu do tego układu [97]. Przykładoe zastosoania różnych rodzajó grafó badaniu układó maszynoych, zakresie analizy jak i syntezy można znaleźć m. in. pracach [, 5, 5, 4, 7,, 9, 9,, 3,, 6, 30, 8, 3, 34, 40, 47, 94, 93, 9, 95, 5,55, 86, 95, 97, 96, 0,, 7]. W pracy [95, 7] przedstaiono metody teorii grafó, stosoane do modeloania przekładni planetarnych. Analizę kinematycznej przekładni planetarnej przeproadzono na podstaie grafu linioego przekładni tz. grafu Hsu, który został zmodernizoany przez autoró pracy. Zastosoane metody pozalają inżynieroi głębiej zrozumieć budoę i zasadę działania przekładni. W pracach [97, 96, 86] przedstaiono zastosoanie grafó hybrydoych, łączących sobie cechy grafó biegunoych i przepłyoych. Badanie przestrzenne modeli układó drgających, czyli układó z linioymi sprzężeniami dynamicznymi, niejednorodnych geometrycznie i strukturalnie, poddanych jednoczesnemu działaniu zbioró ymuszeń biegunoych, możlie jest z ykorzystaniem grafó hybrydoych. Do charakterystycznych cech tych grafó można zaliczyć prostą algebraizację i algorytmizację obliczeń. Za pomocą grafu hybrydoego pracy [97] analizoano model fenomenologiczny dyskretno- ciągłego układu mechanicznego. W ośrodku gliickim rozażano drgające układy belkoe, dyskretne i dyskretno - ciągłe układy mechaniczne metodą liczb strukturalnych, które modeloano grafami różnych kategorii [, 5, 30, 8]. Z kolei ciągło-dyskretne drgające skrętnie i giętnie układy mechatroniczne były przedmiotem prac [5,, 3], gdzie celu yznaczenia charakterystyk amplitudoo-częstotliościoych zastosoano przybliżoną metodę analizy częstotliościoo-modalnej - Galerkina. Z kolei pracy [6] badano ciąg modeli systemu: operator-sunica postaci zbioru dyskretnych układó mechanicznych, które utorzono z elementó inercyjnych oraz elementó sprężystych. W otrzymanym modelu matematycznym (analiza) dobrano parametry układu mechanicznego (synteza i projektoanie) celu uzyskania żądanych łasności dynamicznych. Kolejną grupę grafó stanoią grafy iązań - Bond Graphs Method. Za początek tej metody można przyjąć publikację Henrego M. Pyntera profesora Politechniki z Massachusetts - USA), która to ukazała się 96. Następnie zagadnienia podjęli się D. Karnopp oraz Rosenberg. Modeloanie tą metodą przeproadzane jest dóch etapach: konstrukcji modelu graficznego postaci

128 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 8 grafu iązań oraz konstrukcji modelu przyczynoo-skutkoego postaci rónań stanu [9, 9]. Model graficzny zbudoany za pomocą grafó iązań, odzierciedlono przejrzystej postaci dynamicznej struktury obiektu i może być prosty sposób modyfikoany. Grafy przepłyu mocy (grafy iązań) i ich ziązek z modeloaniem układu przedstaiono m.in. [34, 5, 47]. W przykładoej pracy [47] przedstaiono zastosoanie metody grafó iązań do modeloania pracy zespołu prądotórczego siłoni okrętoej. Ponadto istnieją specjalne grafy strumienioe, np.: inżynierii chemicznej i procesoej. W odróżnieniu od grafó, struktury dendrytoo- drzeiaste nie mają cykli, ale może istnieć różna liczba ierzchołkó początkoych. Dlatego odmienne podejście może być przeproadzone jako przetłumaczenie skieroanego grafu zależności na drzeo parametryczne GRAFY ZALEŻNOŚCI I STRUKTURY ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE Podczas zmian artości liczboych zmiennych ejścioych modelu matematycznym otrzymuje się zmiany artości zmiennych yjścioych. Aby otrzymać inne planoane zachoanie się układu (elementu), można uzyskać na iele sposobó zmiany artości liczboych zmiennych ejścioych. W procesie optymalizacji zadaane są dodatkoo pytania: które parametry zmieniać? jak zmieniać - ziększyć?, bez zmiany?, zmniejszyć? jakiej kolejności? itd. Takie koncypoanie subiektyizuje (edług danego projektanta) zmieniane artości liczboe parametró konstrukcyjnych modelu matematycznym. Poprzez proadzenie obiektyności modelu uzględniono głóne czynniki niedoskonałości, niepeności i nieokreśloności pozostające ziązku z budoanym modelem, przyjętymi założeniami oraz określeniem ich płyu [78, 80, 8]. Specjalista od modeloania (konstruktor) nie zasze unika tego typu błądzenia po omacku, naet tedy, gdy posługuje się spradzoną metodologią. Wyodrębnienie klasy zjaisk danego zakresu problemoego implikuje mnósto opcji, na które przy określaniu łaściości danego układu lub określaniu funkcji kryterialnej ma pły przede szystkim dośiadczenie. Oczyiście, spra obiektynych nie roziązuje naet CAD z ykorzystaniem Matlab-a i dlatego należy ykonać "strukturalizację myśli projektanta", aby kolejność zmian i kontroli przebiegała edług łasności modelu matematycznego i fizycznego. W takiej sytuacji subiektyne postępoanie projektanta procesie projektoania zależy praktycznie tylko od początkoego ierzchołka rozkładu grafu zależności. Dlatego ostatecznie można otrzymać różne drzea z cyklami i drzea parametryczne, z różnymi początkoymi ierzchołkami rozkładu, jako odpoiednie zbiory ytycznych projektoania. Takie podejście jest odmienne obec dotychczasoych opracoań literaturoych na temat automató rozgryających parametrycznie i ich zastosoań, ziązanych z systemami steroania, systemami operacyjnymi, reprezentacją iedzy na poziomie języka naturalnego, programoaniem zachoania się systemu cybernetycznego itd. W dotychczasoych opracoaniach literaturoych metod graficznych i automató rozgryających parametrycznie uzględniono:

129 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 9 bazy iedzy z użyciem grafó, działania automatu skończonego na podstaie yrażeń symbolicznych, dendryty reprezentujące grę prognozującą, ścieżki dendrycie gry opisującej prognozę rozoju systemu przyszłości z określeniem tz. semaforó. W takim stanie dotychczasoych opracoań literaturoych uzględniono dane skieroane grafy przepłyu sygnałó, który rozkład od doolnego ierzchołka pierszym etapie proadził do struktury drzeiastej z cyklami, a potem do ogólnej struktury drzeiastej rozgryającej parametrycznie. W pracy proadzono uogólnienia i modyfikacje celu zastosoań grafó i drze rozgryających parametrycznie analizie modeli matematycznych układó maszynoych GRAF ZALEŻNOŚCI ROZGRYWAJĄCY PARAMETRYCZNIE Skieroany graf definiuje się uporządkoaną parą zbioró. W pierszym z nich zaarto ierzchołki grafu, a drugim kraędzie grafu, czyli uporządkoanej pary ierzchołkó. Na rysunku 5.3 przedstaiono przykładoy skieroany graf zależności rozgryający parametrycznie. Rys Skieroany graf zależności rozgryający parametrycznie Skieroany graf zależności z rysunku 5.3 składa się ze zbioru ierzchołkó Q : {,, } Q = q q q, 3 oraz ze zbioru kraędzi Z, czyli uporządkoanej pary ierzchołkó: { z, z } Z =. W yniku rozkładu grafu od ybranego ierzchołka pierszym etapie uzyskiana jest struktura drzeiasta z cyklami, a następnie ogólna struktura drzeiasta rozgryającej parametrycznie. Każda z nich posiada łaściy zapis analityczny G + oraz G ++. i i W grafie zależności (Rys. 5.3) może określić yrażenie analityczne, reprezentujące ten graf, a ięc będące jego modelem analitycznym [, ]. Odpoiednią postacią takiego modelu analitycznego jest ciąg utorzony z symboli opisujących ierzchołki i kraędzie grafu oraz z naiasó, jako kolejnych pięter drzeach.

130 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 30 Wyrażenie opisujące stopień podrzędności danego grafu składoego k oznaczane jest parą naiasó (...) k, enątrz której zapisuje się yrażenie, dotyczące danego grafu składoego. Przystępując do budoy yrażenia analitycznego reprezentującego graf, najpier należy ustalić ierzchołek początkoy grafu q. Kraędzie tego ierzchołka- jak rónież i z innych ierzchołkó - rozpatruje się kolejności zgodnej z ruchem skazóek zegara. Przyjmuje się oznaczenia: k- indeks opisujący doolny naias, c- indeks kolejności odczytyanych ierzchołkó grafu, v- indeks kolejności odczytyanych kraędzi grafó. Ziększenie artości indeksu k o jeden oznacza się jako k + k, zmniejszenie o jeden- jako k k, nadanie k artości zero- jako 0 k. Po przyjęciu takich oznaczeń algorytm przejścia z grafu na yrażenie analityczne można przedstaić następujących punktach:. Przyjąć artość początkoą indeksoi naiasó k, tj. indeksoi k nadać artość zero, czyli 0 k. Otorzyć naias z indeksem k=0. Założyć artość początkoą c= indeksu kolejności odczytyanych ierzchołkó grafu. Wstaić symbol q ierzchołka początkoego grafu. r C. Ziększyć artość indeksu naiasó o jeden, tj. ykonać k + k. Otorzyć naias z aktualną artością indeksu k. 3. Założyć artość początkoą v= indeksu kolejności odczytyanych kraędzi. Ziększyć o jeden artość indeksu kolejności odczytyanych ierzchołkó, tj. ykonać c + c. Przyjąć symbol pierszej kraędzi ychodzącej z ierzchołka stojącego przed naiasem otierającym z indeksem k oraz symbol ierzchołka, do którego ta kraędź dochodzi, tj. napisać z q. 4. Spradzić, czy symbol q r C nie był już ykorzystany zapisie yrażenia ( poprzednich krokach); jeżeli nie- przystąpić do ykonania punktu 5; jeżeli takprzystąpić do ykonania punktu Dodać jedną artość do indeksu naiasó, tj. ykonać k + k. Otorzyć naias z aktualnym indeksem k. 6. Ziększyć o jeden artość indeksu kolejności ierzchołkó, tj. ykonać c + c. Ziększyć o jeden artość indeksu kolejności kraędzi, tj. ykonać v + v. Napisać symbol z kolejnej, jeszcze nie rozpatryanej, kraędzi ychodzącej z ierzchołka stojącego przed naiasem z aktualnym indeksem k oraz symbol ierzchołka q. Porócić do ykonania punktu Spradzić, czy szystkie kraędzie ychodzące z ierzchołka, którego symbol stoi przed naiasem z aktualnym indeksem k, już były ykorzystane zapisie yrażenia. Jeżeli nie - ykonać punkt 8; jeżeli tak - przystąpić do ykonania punktu 9 algorytmu. r C i V iv rc

131 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 3 8. Za ostatnią pozycją aktualnego zapisu yrażenia postaić przecinek oraz porócić do ykonania punktu Za ostatnią pozycją aktualnego zapisu postaić naias zamykający o indeksie k. 0. Zmniejszyć artość indeksu naiasó o jeden, tj. ykonać k k.. Spradzić, czy aktualna artość indeksó naiasó osiągnęła artość zero. Jeżeli nie - porócić do ykonania punktu 7, jeżeli tak - napisać naias zamykający z indeksem k=0, oznaczający zakończenie operacji przekształcenia grafu na yrażenie analityczne. Postępując zgodnie z poyższym algorytmem i przyjmując za ierzchołek początkoy q, można przekształcić skieroany graf zależności przedstaiony na rysunku 5.3 na yrażenie analityczne yrażenie (5.) G + q, a jako ynik operacji otrzymuje się G + = ( q ( z q ( z q, z q ), z q ( z q, z q ) ) ) (5.) Z odpoiedniego ierzchołka końcoego można porócić do ierzchołka cześniejszego, a naet początkoego, zatem istnieje konieczność przekształcenia yrażenia (5.) na yrażenie, opisujące strukturę drzeiastą z cyklami, oznaczoną symbolem G ++ q. Przy przeproadzeniu tego typu przekształcenia, korzysta się z trzech arunkó [, ]: Warunek Wierzchołkami końcoymi na drzeie mogą być te elementy yrażeniu yrażeniu q r, za którymi G + i stoi przecinek lub naias zamykający. Fakt, że za danym elementem q r qr ystąpił już yrażeniu Warunek G + i jest przecinek lub naias zamykający, oznacza, że dany element G + i na pozycji cześniejszej. Jeśli dany element q r, za którym zapisano przecinek lub naias zamykający, podlega yrazoi oznaczonemu tym samym symbolem cześniejszej pozycji ciągu G + i, to dany element struktury drzeiastej i oznaczono go dodatkoo indeksem górnym. Warunek 3 Jeśli dany element q r, lecz ystępującemu na q r jest ierzchołkiem końcoym q r, ymieniony arunku, nie jest przypisany pod yraz oznaczony ciągu G + i tym samym symbolem q r, to element ten nie może być ierzchołkiem końcoym. W tym przypadku za rozpatryanym elementem q, k k k znajdującym się członie (... q...),zapisuje się człon (...) r + k +, zaierający

132 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 3 szystkie te elementy elementó q i, które podlegają pod dany element q r. Względem q i, znajdujących się dopisanym członie stosuje się dalszym ciągu arunki,, 3, aż do momentu określenia elementó q i, jako ierzchołkó końcoych struktury drzeiastej. Przestrzegając poyższego przekształcenia ciągu otrzymuje się ciąg G ++ q opisany yrażeniem (5.). G + q o yrażeniu (5.), G ++ = ( q ( z q ( z q, z q ), z q ( z q ( z q, z q ), z q ( z q, z q ) ) ) ) (5.) Na rysunku 5.4 przedstaiono strukturę drzeiastą z cyklami, natomiast na rysunku 5.5- drzeo parametryczne o ierzchołku początkoym q. Rys Struktura drzeiasta z cyklami z ierzchołkiem początkoym q q q 3 q q 3 q 3 z q 3 z z q z 3 z z z q 3 q z Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie z ierzchołkiem początkoym q

133 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 33 Struktury drzeiaste rozgryające parametrycznie od każdego ierzchołka różnią się między sobą budoą i łasnościami. W odróżnieniu od tradycyjnych grafó zależności i klasyfikatoró drzeiastych, grafie z drzeami rozgryającymi parametrycznie istnieje ziązek rangi ażności ierzchołkó (stanó) z ysokością struktury drzeiastej. W tradycyjnym grafie rozkładem zględem różnych ierzchołkó yznaczana jest jedynie ranga ażności ierzchołkó zględem siebie edług grupoania taksonomicznego: ierzchołki z dużą liczbą poiązań poinny być ustalonej grupie, różne grupy zględem siebie poinny być poiązane małą liczbą poiązań, rozkład od ierzchołka ażnego yznacza małą liczbę grup o dużej liczności, rozkład od ierzchołka mało ażnego proadzi do dużej liczby grup mało licznych. Algorytmiczny sposób torzenia drze parametrycznych z modelu matematycznego układu o pierotnym grafie zależności yznacza optymalizacyjną metodę systematycznego poszukiania. Celem struktur drzeiastych rozgryających parametrycznie od każdego z ierzchołku grafu, jest usystematyzoanie procesu decyzyjnego i przestrzeni możliych do uzyskania stanó analizoanego systemu. Ponadto, drzea budoane od każdego ierzchołka różnią się łasnościami. Dlatego strukturach rozgryających parametrycznie konieczne jest proadzenie spółczynnika złożoności [56, 83, 84] WSPÓŁCZYNNIKI ZŁOŻONOŚCI W UJECIU STRUKTUR ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE ZWYKŁY WSPÓŁCZYNNIK ZŁOŻONOŚCI STRUKTUR Drzea parametryczne zbudoane od każdego ierzchołka początkoego różnią się miedzy sobą łasnościami. Stopień złożoności może być określony przez spółczynnik złożoności L( G ++ ) [56, 83, 84]. i ++ L( G ) = i d ( i ), (5.3) h( ) + W ( L) gdzie: L( G ++ )- spółczynnik złożoności struktury i G ++ i, i -i-ty ęzeł, d( ) deg( ) i = - stopień rozgałęzienia i-tego ęzła, i h( i ) - odległość i-tego ęzła od korzenia, W ( L) - zbiór szystkich ęzłó, Wartość spółczynnika zrasta raz ze stopniem złożoności danej struktury. Rysunek 5.6 przedstaia przykładoe drzea parametryczne o różnych artościach spółczynnika L. i

134 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 34 Rys Drzea rozgryające parametrycznie z różnymi artościami spółczynnika L. Jednak ocena rozbudoy drzea ocenie spółczynnik złożoności jest tylko przybliżona. W celu dokładnego rozróżnienia stopnia ażności struktur rozgryających parametrycznie, otrzymanych yniku rozkładu grafu zależności od każdego z ierzchołkó, proadza się kompleksoy spółczynnik złożoności [69]. Poprzez uzględnienie decyzji nie rozgałęziających się, możliy jest dokładniejszy ybór najlepszej struktury ocenie problemu decyzyjnego KOMPLEKSOWY WSPÓŁCZYNNIK ZŁOŻONOŚCI STRUKTURY Zykły spółczynnik złożoności struktury opisuje strukturę skali makro uzględniając jedynie liczbę ęzłó i rozgałęzień na strukturze. W kompleksoym spółczynniku złożoności uzględniono rónież stopień złożoności szystkich liści ychodzących z każdego rozgałęziającego się ęzła. Na rysunku 5.7 schematycznie przedstaiono sposób opisu drzea rozgryającego parametrycznie za pomocą kompleksoego i zykłego spółczynnika złożoności struktury [69, 83, 84]. LG ( ++ i ) L K ( G ++ i ) Rys Schematyczny opis struktury rozgryającej parametrycznie za pomocą spółczynnika [69]: złożoności L( G ++ i ) oraz kompleksoego spółczynnika złożoności L K ( G ++ ) Kompleksoy spółczynnik złożoności struktury określony jest jako L K ( G ++ ) i i

135 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 35 K ++ d( i ) L ( Gi ) = + h( ) + W( L) i L, (5.4) h l L li L K ( G ++ i )- kompleksoy spółczynnik złożoności struktury G ++ i, i -i-ty ęzeł; d( ) deg( ) i = - stopień rozgałęzienia i-tego ęzła; i h( i ) - odległość i-tego ęzła od korzenia; W ( L) - zbiór szystkich ęzłó, L- liczba liści dla i-tego ęzła rozgałęziającego się ( deg( i ) ), hl i - ysokość (złożoność) i-tego liścia. Na rysunku 5.8 przedstaiono struktury rozgryające parametrycznie z rysunku 5.6 z dodatkoo obliczonym kompleksoym spółczynnikiem złożoności L K. Udoskonalony kompleksoy spółczynnik złożoności struktury uzględnia stopień złożoności szystkich pojedynczych liści ychodzących z ęzłó. Na artość kompleksoego spółczynnika złożoności struktury dużej mierze płya stopień złożoności pojedynczych ęzłó. Końcoe liście struktury poinny być możliie jak najkrótsze oraz ychodzić z jak najmniejszej ilości rozgałęzień. Nadrzędnym celem jest, aby proces analizy danego układu/systemu był jak najkrótszy i posiadał minimalną liczbę stadió decyzyjnych. W doolnych badanych systemach (układach), obec noych zalecanych arunkó pracy zmienią soje zachoanie nieiadome funkcje zależne od czasu. Dlatego oboiązuje zasada, że ierzchołki grafu określają funkcje zależne od czasu, natomiast kraędziami opisane są decyzje STRUKTRY DRZEWIASTE ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE Analiza modelu matematycznego danego układu maszynoego lub przebiegu procesu produkcyjnego może być opisana za pomocą grafó rozgryających parametrycznie o różnych przykładoych poiązaniach ierzchołkoych G(), G(), G(3), G(4), przedstaionych na rysunku 5.9. G ( ) : q z G ( ) : z 8 q z 3 z 5 z 6 q 5 q z 6 z 7 q 3 q 4 z z 7 z z 3 q 3 z 4 z 5 q 4 z q q 5 z G ( 3 ) : z q 5 z 3 z G ( 4 ) : z 7 q 3 z z 5 q 3 z 5 z 4 z 7 q z 6 q 5 z q z 4 q q 4 q z 8 z 3 q 4 z 6 Rys Grafy rozgryające parametrycznie G(), G(), G(3), G(4) z różnymi poiązaniami ierzchołkoymi.

136 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 36 W yniku rozkładu grafó od ybranych ierzchołkó pierszym etapie torzone jest drzeo z cyklami, a następnie ogólne drzeo rozgryające parametrycznie. Każde z drze opisano łaściym zapisem analitycznym: początkoy G () + i, G () + i, G (3) + i, G (4) + i oraz ostateczny: G () ++ i, G () ++ i, G (3) ++ i, G (4) ++ i (gdzie i- początkoy ierzchołek rozkładu grafu). Rozkładając graf G() od każdego z ierzchołkó: q, q, q3, q4, q 5, otrzymano zbiór drze rozgryających parametrycznie: { q q q q q } D() = G(), G(), G(), G(), G() Drzea rozgryające parametrycznie przedstaiono na rysunkach 5.0 i 5.. G () : + + q q q q 5 q q 3 4 q z 4 z 5 z 3 q 3 z 4 z 7 z q z 6 z 7 q 5 z q 4 G () : q z 3 q 3 z + + q 3 q q z 3 q 3 z q z z 7 q 5 z q 4 5 q z 4 z 6 3 q z 3 q q 4 3 z q z 7 q 5 z Rys Struktury rozgryające parametrycznie G () ++ q i G () ++ q q q 4 z z 5 4 z 6 q 4 q 5 q q 4 q 5 q 4 q 3 z q 3 q 3 z q G () : + + q 4 q z 3 q 3 z q z 7 q 5 z q 4 z 4 z 5 G () : + + q 5 q z 3 q 3 q 5 z q z 7 z 6 q 3 z q z 4 G () : + + q 3 z 7 q 5 z q 4 z q 3 5 q z 3 z 6 z 7 q 5 z q 4 Rys. 5.. Struktury rozgryające parametrycznie G () ++ q 3, G () ++ q 4 i G () ++ q 5

137 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 37 Właście zapisy analityczne G () + i oraz G () ++ i struktur z rysunkó 5.0 i 5.: G() ( q ( z q ( z q ( z q, z q ( z q ( z q ) ), z q ) ) ) ), q = G() ( q ( z q ( z q ( z q, z q ( z q ( z q ) ), z q ( z q ( z q ) ) ) ) ) ), q = G() = ( q ( z q ( z q ( z q ) ), z q ( z q ( z q ) ), z q ) ), q G () ( q ( z q ( z q ( z q ) ), z q ( z q ( z q ( z q ( z q ) ) ) ), z q z q z q z q z q q = ( 5 ( 7 ( 3 ( 3 ) ) ) ) ) ) () + q3 = ( 3 ( 3 ( 4 ( 3 ), 5 4 ( 5 ( 7 ) ), 6 4 ) ) ), G q z q z q z q z q z q z q z q G() ( q ( z q ( z q ( z q ), z q ( z q ( z q ( z q ) ) ), z q ( z q ( z q ( z q ) ) ) ) ) ), q3 = G() ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q, z q ) ) ) ) ) ), q 4 = G () ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q, z q ) ) ) ) ) ), q 4 = G () ( q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q ( z q ), z q ( z q ) ) ) ) ) ), q 5 = Dla każdej ze struktur rozgryających parametrycznie G () ++ q, G () ++ q, G () ++ q 3, G () q 4 G () ++ q5 obliczono spółczynnik złożoności struktury g zoru (5.4): K ++ d( i ) L L ( G() q ) = + = 0,7, = W( L) h( i ) l L h + + l i K ++ d( i ) L 3 3 L ( G() q) = + = ,66, + = W( L) h( i ) l L h + + l i K ++ d( i ) L 3 3 L ( G() q3 ) = + = ,66, + = W( L) h( i ) l L h + + l i K ++ d( i ) L 3 3 L ( G() q4) = + = ,33, + = W( L) h( i ) l L h + + l i K ++ d( i ) L 3 3 L ( G() q5 ) = + = ,0, + = W( L) h( i ) l L h + + l 3 3 i W przypadku grafu G() otrzymuje się zbiór D() struktur drzeiastych rozgryających parametrycznie: { q q q q q } D() = G(), G(), G(), G(), G() i

138 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 38 Drzea rozgryające parametrycznie przedstaiono na rysunkach 5. i 5.3. q 4 z 4 z 6 q 3 z 3 q q q z q 5 z 4 z 5 q 4 z 4 z 6 q q z 8 q 3 z 3 4 q z 7 3 q q 5 z q 4 z q 4 q 3 z 3 z 6 q z 8 q q 5 z q 4 z z 5 q z 8 q q 3 q z 8 q z z 7 4 q 3 z 8 q z 6 q 5 z q 3 q 4 z 3 q 4 z 4 Rys. 5.. Drzea rozgryające parametrycznie G () ++ q i G () ++ q q 4 z 5 q z 8 q z G () : + + q 3 q 4 z 7 q 5 z q 3 z 3 3 q 4 z 5 z 7 q z 8 4 q 4 q 4 z 5 q z 8 q q 4 z 7 z G () : 3 q 4 z 4 q 5 z q 4 q 3 z 6 q q 4 q z z 4 q 5 q 3 z 6 q 5 z z 4 q 5 q 4 z 5 z 7 5 q 5 z z q 4 q 4 q 4 q 4 3 q 5 q z 5 z 7 q z q 4 z 8 q G () : + + q 5 z 8 z 4 z 6 q q 3 z z 3 Rys Drzea rozgryające parametrycznie G () ++ q 3, G () ++ q 4 i G () ++ q 5 Właście zapisy analityczne G () + i oraz G () ++ i dla struktur z rysunkó 5. i 5.3:

139 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH G() + q = ( q ( z8q ( z5q4 ( zq5 ( z3q3 ( z4q4, z6q ), zq ) ), z7q4 ) ) ), G() ++ q = ( q ( z8q ( z5q4 ( zq5 ( z3q3 ( z4q4, z6q ), zq ) ), z7q4 ( zq ( zq z3q3 ( z4q4, z6q ) ) ) ) ) ), G() + q = ( q ( z5q4 ( zq5 ( zq ( z8q ), z3q3 ( z4q4, z6q ) ) ), z7q4 ) ), G() ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ), z q ( z q, z q ( z q ) ) ) ), z q z q z q z q z q z q z q z q q = ( 5( ( 8 ), 3 3( 4 4, 6 ( 8 ) ) ) G() + = ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q ) ), z q ) ), z q ) ), q G() ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q ) ), z q ) ), z q ( z q ( z q, z q ) ) ) ) q3 = G() + = ( q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q ) ), z q ( z q, z q ) ) ) ), q G() ++ = ( q ( z q ( z q ( z q ( z q, z q ) ), z q ( z q, z q ) ) ) ), q G() + = ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ), z q ) ), z q ( z q, z q ) ) ) ), q G() ( q ( z q ( z q ( z q ( z q ), z q ( z q ) ) ), z q ( z q ( z q ), z q z q z q z q z q z q q5 = ( 8 ( 5 4( 5 ), 7 4( 5 ) ) ) ) Współczynnik złożoności drze rozgryających parametrycznie G () ++ q, G () ++ q G () ++ q 3, G () ++ q 4 i G () ++ q 5 obliczono g zoru (5.4): K d( i ) L ++ L ( G() q ) = + = W( L) h( i ) l L h l 3 3 i + 5,69, = K ++ d( i ) L L ( G() q) = + = 4,0, W( L) h( i ) + l L h li K ++ d( i ) L L ( G() q3 ) = + =,66, W( L) h( i ) + l L h li K ++ d( i ) L L ( G() q4) = + = 9,0, W( L) h( i ) + l L h li K ++ d( i ) L L ( G() q5 ) = + =,0, W( L) h( i ) + l L h li

140 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 40 Podobną analizę można przeproadzić przypadku grafó G(3) i G(4). W grafach zależności rozgryające parametrycznie analizoane są decyzje tz. ziązane. Wyniki uzyskane kolejnych decyzjach zależą od decyzji początkoych, co umożliia torzenie modeli dynamicznych. Na drzeach rozgryających parametrycznie od każdego z ierzchołku grafu opisano proces decyzyjny i przestrzeń możliych do uzyskania stanó analizoanego systemu. W każdej otrzymanej strukturze rozgryającej parametrycznie konieczne jest obliczenie kompleksoego spółczynnika złożoności. W strukturach drzeiastych ujęciu przyrostu entropii (informacji) jako heurystyki do ybory parametru decyzyjnego, ażne jest ystępoanie rozgałęzień jak najdalej od korzenia struktury. Wóczas zachouje się jak najdłużej ciąg informacyjny i dopiero przy odgałęzieniu, ybór zmiennych decyzyjnych jest odpoiednio rozdzielony do noych ęzłó (poddrze). Dlatego, artość kompleksoych spółczynnikó złożoności drze, których ystępują rozgałęzienia na najyższych piętrach, jest najmniejsza. Wartość kompleksoego spółczynnika złożoności struktury zależy od stopnia złożoności pojedynczych ęzłó i pojedynczych rozgałęzień (końcoych liści), które poinny być możliie jak najkrótsze. Nadrzędnym celem procesu analizy danego układu/systemu jest minimalna liczba stadió decyzyjnych. Gdyby zastosoać graf zależności opisie modelu matematycznego układu maszynoego, który opisano układem rónań algebraiczno-różniczkoo-całkoych, tedy ierzchołkami grafu oceniono funkcje zależne od czasu, natomiast decyzjamiparametry konstrukcyjne i /lub eksploatacyjne oraz przekształcenia analitycznoalgebraiczne [68, 64, 7, 76, 63, 85, 54, 78, 6, 56, 60, 70, 80]. Aby daną strukturę układu zaprojektoać na inne arunki pracy, należy zmienić artości liczboe parametró konstrukcyjno- eksploatacyjnych. Wobec noych zalecanych arunkó pracy zmienią soje zachoanie nieiadome funkcje zależne od czasu. Stosując kompleksoy spółczynnik złożoności, uzyskano możliość yboru najlepszej struktury optymalizacji dyskretnej ZASTOSOWANIE GRAFU ZALEŻNOŚCI I STRUKTUR ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE W BADANIU WŁASNOŚCI UKŁADU MASZYNOWEGO Model matematyczny danego układu maszynoego opisano układem rónań algebraiczno-różniczkoo-całkoych, ze znanymi artościami liczboymi parametró konstrukcyjno- eksploatacyjnych i nieiadomymi funkcjami zależnymi od czasu. Aby dany układ zaprojektoać na inne arunki działania, należy zmienić artości liczboe parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych spradzając jak nieiadome funkcje zależne od czasu zachoują się obec zalecanych noych arunkó. Analizując rónań hydrauliczne określono zajemne poiązania szystkich funkcji, zależnych od czasu. W yniku zapisania i przeproadzenia rozkładu grafu zależności tych funkcji, otrzymuje się postaci graficznej grupy rozkładu kolejnych podukładó danego układu maszynoego oraz zbiór odpoiednich parametró konstrukcyjnych i eksploatacyjnych.

141 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 4 Przykład 5. Na rysunku 5.4 [33], przedstaiono uproszczony schemat hydrauliczny układu z pompą zębatą, zaorem przeleoym, rozdzielaczem i silnikiem obciążonym dużym masoym momentem bezładności, natomiast na rysunku 5.5 przedstaiono jego schemat blokoy. Rys Schemat hydrauliczny układu Model matematyczny układu z rysunku 5.4 ma postać:. Rónanie natężenia przepłyu z pompą Q = Q p Q, gdzie S p p zp Rp0 oraz: p - ciśnienie linii tłocznej pompy, p Qp - ydajność teoretyczna pompy, Qzp - natężenie przepłyu przez zaór przeleoy, = + + +, (5.5) R R R R R p0 pp pz r S QS - natężenie przepłyu podaane do części odbiorczej układu, Rp0 - ypadkoa oporność przeciekó enętrznych układzie, Rpp - oporność przeciekó pompy określona ze spraności olumetrycznej, Rpz - oporność przeciekó zaoru przeleoego określona z nachylenia charakterystyki statycznej zaoru dla ciśnień poniżej ciśnienia otarcia, Rr - oporność przeciekó rozdzielacza, Rs - oporność przeciekó silnika określona za spraności olumetrycznej.. Rónanie zaoru przeleoego Q = 0 dla p p, 0 zp p

142 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 4 dqzp K = p p Q zp dla p p dt T T > p, 0 (5.6) T- stała czasoa zaoru przeleoego, K- przeodność zaoru przeleoego (nachylenie charakterystyki statycznej zakresie p p > p0 ) 3. Rónanie strat ciśnienia na odcinku pompa silnik pp = RlQs + ps (5.7) gdzie: p s - ciśnienie komorze silnika, QS - natężenie przepłyu podaane do części odbiorczej układu na uzupełnienie strat yołanych ściśliością cieczy i niezbędne do zapenienia silnikoi odpoiedniej prędkości obrotoej, Rl - oporność instalacji hydraulicznej. Oporność instalacji uzględnia straty ciśnienia przeodach i na rozdzielaczu. 4. Rónanie dopłyu do silnika dps D Qs, (5.8) dt = C C ω gdzie: ω - prędkość kątoa ału silnika, D- chłonność jednostkoa silnika C- kapacytancja układu V C = B, gdzie: V- objętość cieczy linii tłocznej układu, B- zastępczy moduł ściśliości cieczy uzględniający rónież sprężystość ścianek przeodó, 5. Rónanie momentó silnika dω D R = ps ω, (5.9) dt J J gdzie: R- oporność mechaniczna ruchu obrotoym silnika, J - duży masoy moment bezładności mas irujących, obciążający silnik zębaty.

143 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 43 Rys Schemat blokoy układu Obciążenie zenętrzne postaci momentu MS nie opisano dosłonie modelem matematycznym chociaż zależności Qp oraz ω zaznaczono informacyjnie jako k. W szczególności, jeśli nie jest obciążony silnik, tzn. naet cały układ hydrauliczny, to ciśnienie zasilające należy porónać ze stratami hydrauliczno-mechanicznymi. W opracoaniu ielkością k oznaczono sens informacyjny, ogólnym przypadku analizy strukturalnej należy, natomiast uzględnić przepłyy informacji, masy i energii [90]: VS d M S = ps J + B ωs, π dt (5.0) π d ωs = QS Ch K ps, V + S dt (5.) gdzie: VS - objętość robocza silnika, J - moment bezładności silnika, B - spółczynnik tarcia lepkiego silniku, Ch - pojemność hydrauliczna silnika, K - spółczynnik przeciekó silniku,

144 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 44 Rónania (5.0) i (5.) można przekształcić do postaci (5.) i (5.3). d VS K p S = Q S ω p S, dt C π C C h h h d M S VS ps B ωs + = ωs, dt J π J J (5.) (5.3) co jest zgodne z ogólnym modelem dynamicznym silnika [90] (Rys. 5.6). Rys Ogólny model dynamiczny silnika Na rysunku 5.7 przedstaiono przykładoe przebiegi czasoe następujących kg artości liczboych spółczynnikó rónań: T=0, s, p0= 87,8 cm 3 kg D=8 cm,/c=6,95 cm R=0,455 kgcm / s, Q p = B= 0,6 0 kg 5 cm, /Rp0= 3,9 cm kgs 3 cm s., J=,68 kgcms, K= 75,8 5 cm kgs,

145 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 45 a ) b) c) d) e) Rys Przebiegi czasoe: a) natężenia przepłyu Q s,b) ciśnienia P s c) natężenia przepłyu Q zp, d) ciśnienia linii tłoczenia pompy P p, e) prędkości kątoej silnika ω Nieiadome funkcje (parametry) podstaie danego ejścia układu P p, P s, Q s, Wynikają stąd następujące zapisy grafu zależności: Q zp, ω są obliczane m.in. na Q p, a ięc istnieje układ systemoy (Rys. 5.8).. Sygnały postałe z danych sygnałó : Q ( P ); P ( Q, P ); P ( Q, ω ); ω ( ); Q ( Q, P, Q ); zp p p s s s s P s s p p zp. Sygnały torzone dane sygnały: Qs ( Pp, P s ); Pp ( Qzp, Q s ); Qzp ( Q s ); Ps ( Pp, ω ); Qp ( Q s ); ω ( ). P s

146 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 46 Rys Struktura systemoa układu hydraulicznego. Ogólnie można otrzymać roziązanie grafoe ujęciu drzeiastym dla układu hydraulicznego z rysunku 5.4 przy uzględnieniu parametró konstrukcyjnych i następujących arunkoych zapisó zależności:. Sygnały postałe z danych sygnałó: Q ( P K, T ); P ( P ; Q R ); P ( Q C; ω C, D); ω( P D, J; R); zp p p s s l s s s Q ( Q ; P R ; Q ); s p p p0 zp. Sygnały torzone dane sygnały: Q ( P, R ; P, C); P ( Q, K, T; Q, R ); Q ( Q ); P ( P ; ω, D, J); s p l s p zp s p0 zp s s p Q ( Q ); ω( P, D, C). p s s W tym przypadku ostatecznie otrzymano roziązanie grafoe (przy ierzchołku początkoym Q p ), które jest ieloznaczne (ielokrotne), z punktu idzenia kolejnego otrzymyania konkurencyjnych podgrup drugiego i czartego rzędu, g rozkładu tradycyjnego grafu zależności [4, 43]. ({ Q, Q, P, P, R, C}), ({ T, Q },{ K}), ({ Q },{ K},{ T}), p s p s l zp ({ K, Q },{ T}), { }, ({ ω, J},{ D}), ({ ω, D},{ J}) [4, 43]. zp R po zp SKIEROWANY GRAF PRZEPŁYWU SYGNAŁÓW STRUKTUR ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE Analizując rónań hydrauliczne określono zajemne poiązania szystkich funkcji zależnych od czasu. W yniku zapisania i przeproadzenia rozkładu grafu zależności tych funkcji, otrzymano grupy rozkładu o łasnościach kolejnych podukładó danego układu maszynoego oraz zbiór odpoiednich parametró konstrukcyjnych i eksploatacyjnych. Model matematyczny układu hydraulicznego może być zapisany jednoznacznie za pomocą grafu zależności struktur drzeiastych

147 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 47 rozgryających parametrycznie (rysunek 5.9). Tego typu analizę m.in. pracach [37, 64, 7, 76, 63, 85, 54, 68, 78, 6, 60] przedstaiono Rys Skieroany graf zależności przepłyu sygnałó Skieroany graf zależności opisano zbiorem ierzchołkó V z funkcjami zależnymi od czasu: dps dω dqzp V = Qs,, Ps,, ω, Pp,, Qzp dt dt dt, (5.4) oraz ze zbioru kraędzi A, czyli uporządkoanej pary ierzchołkó, opisujących parametry konstrukcyjne i/lub eksploatacyjne oraz przekształcenia analitycznoalgebraiczne: D R D K A =, dt( Ps ),, dt( ω),,,,, Rl,, dt( Qzp), C J J C Rp0 T T (5.5) W yniku rozkładu grafu od ybranego ierzchołka pierszym etapie uzyskano drzeo z cyklami, a następnie ogólną strukturę rozgryającą parametrycznie. Każdej ze struktur zdefinioano łaściy zapis analityczny: oraz G ++ i, gdzie i oznacza ierzchołek, od którego dokonano rozkładu grafu. Wierzchołkami początkoymi opisano dane funkcje zależne od czasu, a nie jej pochodną (rozkład grafu od dóch ierzchołkó ziązanych z tą samą ielkością nie ma ziązku z łaściością struktury rozgryającej parametrycznie, gdyż oba ierzchołki łączy pojedyncza kraędź-decyzja oznaczająca przekształcenie analityczne). Zatem zbiór V ierzchołkó od których jest możliy rozkład grafu zależności: G + i

148 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 48 { s s ω p zp} V ' = Q, P,, P, Q. (5.6) Rozkładając graf od każdego z ierzchołkó, otrzymano zbiór D struktur drzeiastych rozgryających parametrycznie: { Qs, Ps, ω, Pp, Qzp} D = G G G G G (5.7) Rozkładając graf od ustalonego ierzchołka początkoego Ps otrzymano pierszej kolejności yrażenie G + Ps (5.8) dps GPs = ( Ps( Pp( Qs( RlPp, ( dtps) ), Rpo C dt K dqzp dqzp D d D dps R d ( dtqzp(, Qs) ) ), ω ω ( dtω(, ) ) ) ) T dt T dt J dt C dt J dt (5.8) Z odpoiedniego ierzchołka końcoego można porócić do ierzchołka cześniejszego, a naet początkoego, a zatem zgodnie z algorytmem, opisanym rozdziale (5.3.), otrzymuje się yrażenie G ++ (.9). PS d P s K d Q zp G P s = ( P s ( P p ( Q s ( R lp p, ( dtp s ) ), R p o C d t T dt 3 4 dq zp 5 d P s ( d tq zp (, Q s ( R lp p, ( dtp s ) ) ) ) ), T d t C d t D d ω 3 D d P s R d ω 3 0 ( d tω ( ( d tp s ), ) ) ) ) J d t C d t J d t (5.9) Strukturę drzeiastą z cyklami o yrażeniu (5.9) przedstaiono na rysunku 5.0. W następnym etapie, uzyskano strukturę drzeiastą rozgryającą parametrycznie, którą przedstaiono na rysunku 5..

149 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 49 Rys Struktura drzeiasta z cyklami z ierzchołkiem początkoym P s Rys. 5.. Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego P s

150 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 50 Z kolei rozkładając graf zależności od ierzchołka początkoego P p, pierszej kolejności uzyskano yrażenie (5.0), a następnie yrażenie (5.). Na rysunku 5. przestaiono drzeo z cyklami, o yrażeniu (5.0). W następnym etapie uzyskano strukturę rozgryającą parametrycznie przedstaioną na rysunku dps 3 4 D dω 5 G Pp = ( Pp( Qs( RlPp, ( dtps( Pp, ( dtω Rpo C dt J dt D dps R dω K dqzp dqzp (, ) ) ) ) ), ( dtqzp(, Qs) ) ) ) C dt J dt T dt T dt (5.) Rys. 5.. Drzeo z cyklami i ierzchołkiem początkoym P p G ++ Pp = Pp Qs RlPp dtps Pp dt Rpo C dt J dt ω C dt R dω K dqzp 3 dqzp 4 3 dps ) ) ) ) ), ( dtqzp(, Qs( RlPp, J dt T dt T dt C dt D dω 7 8 D dps R dω ( dtps( Pp, ( dtω (, ) ) ) ) ) ) ) J dt ) ) C dt J dt 0 dps 3 4 D dω 5 6 D dps ( ( (, ( (, ( (, (5.)

151 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 5 Rys Drzeo rozgryające parametrycznie od ierzchołka początkoego P p Podobne postępoanie należy ykonać przypadku pozostałych ierzchołkó Q, ω. Qzp S Struktury rozgryające parametrycznie odpoiednio dla rysunkach 5.4, 5.5 i 5.6. Qzp Q S, ω przedstaiono na

152 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 5 Rys Drzeo rozgryające parametrycznie od ierzchołka początkoego Q zp

153 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 53 Rys Drzeo rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego Q s Rys Drzeo rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego ω

154 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 54 Następnie każdej struktury rozgryającej parametrycznie z rysunkó 5., 5.3, oblicza się zykły L( G ++ i ) oraz kompleksoy spółczynnik złożoności L K ( G ++ ). struktury i Przykładoy graficzny schemat obliczenioy spółczynnika złożoności G ++ Ps złożoności L ( G ++ Ps ) z rysunku 5. przedstaiono na rysunku 5.7. Współczynnik stopnia obliczany jest następująco: ++ d( i ) L( GPs ) = = = 3,96 W ( L) h( i ) gdzie: W ( L) {,,,,, } = Rys. 5.7.Drzeo rozgryające parametrycznie G + + z L( G ++ ) = 3,96 W pozostałych drzeach rozgryających parametrycznie G, G, G, G Ps Ps Qs ω Pp Qzp otrzymanych yniku rozkładu grafu zależności z rysunku 5.3, artość spółczynnikó to: L ( G ++ Pp ) = 4,3, L ( G ++ Pp ) = 4,3, ++ L ( G ω ) 3,37 L ( G ++ Qs ) = 4,04. = oraz

155 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 55 Najmniejsza artość spółczynnika złożoności to: G ω : L ( G ω ) = 3,37, najiększą natomiast artość spółczynnika złożoności określono strukturach oraz G : L( G ) L( G ) 4,3 Qzp Pp Qzp G ++ Pp = =. Wartość spółczynnikó złożoności uzależniona jest od budoy i łaściości systemoej układu (Rys. 5.8). Nieiadome funkcje: P p, P s, Q s, Q zp,ω, będące ierzchołkami początkoymi strukturach rozgryających parametrycznie są obliczane na podstaie danego ejścia układu Q p. Współczynnik złożoności jest najmniejszy przypadku struktur rozgryających parametrycznie od ierzchołkó początkoych opisanych przez funkcje określone najbliżej yjścia danego układu. Wpły funkcji znajdujących się najbliżej yjścia układu na pozostałe funkcje jest najmniejszy, co jest popranym zjaiskiem ze zględu na model fizyczny. Dokładne rozróżnienie stopnia ażności struktur rozgryających parametrycznie uzyskuje się, obliczając kompleksoy spółczynnik złożoności każdej ze struktur G, G, G, G, G ++ g zoru: Ps Qs ω Pp Qzp K ++ d( i ) L L ( G( H) Pp) = + = W( L) h( i ) l L h l i Ps ω Ps ω ,66, = Pp Qs Qzp Qs K ++ d( i ) L L ( G( H) Qzp ) = + = W( L) h( i ) l L h l i Ps ω Pp Qzp ,4, = Qzp Qs Pp Qzp ω K ++ d( i ) L L ( G( H) ω ) = + = W( L) h( i ) l L h l i Qzp Qs = 7,0, Ps Pp Qs

156 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 56 K ++ d( i ) L L ( G( H) Qs ) = + = W( L) h( i ) l L h l i Pp Qz p ω , = Qs Pp Qzp Ps K d( i ) L ++ L ( G( H) P ) = s + = W( L) h( i ) l L h l i Qzp Qs ω = 4 9,38, Ps Pp Qs Kompleksoy spółczynnik złożoności ocenia jakościoo strukturę poprzez uzględnienie decyzji nie rozgałęziających się. Dodatkoo uzględnia stopień złożoności ęzłó nierozgałęziających się. Dlatego kompleksoy spółczynnik złożoności dokładniej ocenia struktury rozgryające parametrycznie pod kątem ich rangi ażności. W strukturach G, G, G, G, G Ps Qs ω Pp Qzp najniższą artość kompleksoego spółczynnika złożoności określono przypadku struktury G ω : L ( G ω ) = 7.0, która także najlepiej została oceniona przez zykły spółczynnik złożoności ++ ( L ( G ω ) = 3,37 ). Z kolei najyższa artość kompleksoego spółczynnika złożoności to: L ( G ++ Qzp ) = 3, 4. Charakteryzuje się ona yraźnie najiększą złożonością decyzyjną. Podczas gdy przy zykłym spółczynniku złożoności tak samo oceniono struktury G ++ Qzp oraz G ++ Pp. Na artość kompleksoego spółczynnika złożoności struktury dużej mierze płya stopień złożoności pojedynczych ęzłó. Końcoe liście struktury poinny być możliie jak najkrótsze oraz ychodzić z ęzłó o minimalnej liczbie rozgałęzień. Nadrzędnym celem jest, aby proces analizy danego układu/systemu był jak najkrótszy i posiadał minimalną liczbę stadió decyzyjnych WIELOKROTNA NUMERACJA WIERZCHOŁKOWA W yrażeniu opisującym graf stopień podrzędności danego grafu składoego k oznacza się parą naiasó (...) k, enątrz której zapisuje się yrażenie, dotyczące danego grafu składoego. W czasie rozkładu grafu od każdego ierzchołka zapisach analitycznych struktur podporządkoane podległe elementy q i. G + i oraz G ++ i, każdy element q r ma zasze

157 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 57 Zaróno elementy q r jak i elementy qi istnieją iele razy yrażeniu G ++ i k naiasach (...) k o różnych artościach indeksu k, a ięc na różnych piętrach drzea rozgryającego parametrycznie. Na przykład, yrażeniu (5.8) ierzchołek ystępuje naiasie o numerze indeksu k= (óczas szystkie elementy enątrz naiasu o numerze indeksu k= 3 są podległe ierzchołkoi Q )) oraz naiasie o numerze indeksu k=4. Oznacza to, że ierzchołek Q ystępuje na różnych piętrach struktury S drzeiastej (Rys. 5.0 i Rys. 5. ) i sam zależy od różnych ierzchołkó naiasie, którym się znajduje. Mianoicie, gdy jest naiasie o numerze indeksu k= podporządkoany jest tylko ierzchołkom: P s i P p, a podczas gdy naiasie o numerze indeksu k= 4 zależy od ierzchołkó: P s, P p, dqzp dt S oraz Q zp. Dlatego konieczne jest proadzenie ielokrotnej numeracji ierzchołkoej, jednoznacznie podporządkoującej elementy układzie [64]. Dlatego yrażeniach analitycznych oznacza się jako G + i oraz G ++ i, każdy ierzchołek l q i k, gdzie k- indeks naiasu i-tego ierzchołka, l- indekskrotność i- tego ierzchołka k- tym naiasie. Graf z ielokrotną numeracją ierzchołkoą opisano yrażeniami W G + oraz W G ++. W rozkładzie grafu zależności (Rys. 5.9) i i badanego układu hydraulicznego (Rys. 5.4) od ierzchołka początkoego Qs z uzględnieniem ielokrotnej numeracji ierzchołkoej uzyskano yrażenie analityczne W G + Qs q i W + 0 K dqzp 3 4 dqzp 4 3 GQs = ( Qs0 ( RlPp ( Qs, ( dtqzp3 (, Qs4) ) ), Rpo T dt T dt 4 dps 3 D dω 4 5 D dps R dω ( dtps ( Pp3, ( dtω (, ) ) ) ) ) ) C dt 4 J dt 3 C dt 5 J dt 5 (5.) Szczególnym przypadkiem podporządkoania elementó układzie jest to, że z ierzchołka końcoego można porócić do ierzchołka cześniejszego, a naet początkoego (początek i koniec drogi tym samym elemencie q ). Wóczas taki ierzchołek oznacza się jako q l l ' i k k ' l i k, gdzie: k - oznacza indeks naiasu, i- tego ierzchołka cześniejszego, l - indeks oznaczający krotność ystępoania i- tego ierzchołka cześniejszego k - tym naiasie; k- indeks naiasu, i- tego ierzchołka; l- krotność ystępoania i-tego ierzchołka k- tym naiasie. Uzględniając taki sposób numeracji po przekształceniu ciągu W G + otrzymano ciąg W G ++ opisany yrażeniem (5.3) Qs Qs W + 0 K dqzp 3 4 dqzp 4 3 G + Qs = ( Qs0 ( RlPp ( Qs 0, ( dtqzp3 (, Qs4 0 ) ) ), Rpo T dt 4 T dt dps 3 4 K dqzp 5 6 dqzp ( dtps ( Pp3 ( Qs4 0, ( dtqzp5 (, Qs6 0 ) ) ), C dt Rpo T dt 4 T dt 6 4 D dω 4 5 D dps R dω ( dtω 4 (, ) ) ) ) ) ) J dt C dt J dt (5.3)

158 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 58 Strukturę drzeiastą z cyklami o yrażeniu (5.3) przedstaiono na rysunku 5.8, natomiast strukturę drzeiastą rozgryającą parametrycznie- na rysunku 5.9. W ogólnym znaczeniu systemoym można proadzić inne kodoania ielokrotnej numeracji ierzchołkoej [64]. Rys Struktura drzeiasta z cyklami z ierzchołkiem początkoym Qs z uzględnieniem ielokrotnej numeracji ierzchołkoej

159 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 59 Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego Q z uzględnieniem ielokrotnej numeracji ierzchołkoej s DEKOMPOZYCJA DECYZYJNA DLA DRZEW ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE We łaściej procedurze optymalizacyjnej, zasób i rodzaj informacji, uzyskany z modelu matematycznego analizoanego układu był jak najiększy. Zgodnie z tą myślą przeproadza się rozkład grafu zależności od danego ierzchołka, uzględniając szystkie parametry konstrukcyjne i/lub eksploatacyjne, zapisane oddzielnie, a nie sposobem interakcyjnym [76]. Dane parametry konstrukcyjne i eksploatacyjne mogą być matematycznie ziązane ze sobą różny sposób, a ięc konieczny jest szczegółoy rozkład grafu zależności, celu określenia zmiennych decyzyjnych. Takie postępoanie określa obszar roziązań dopuszczalnych, a następnie ybór łaściej procedury optymalizacyjnej. Wproadzoną dekompozycję decyzyjną uzględnia się opisie grafu: D G + i oraz D G ++ i. Uzględnienie dekompozycji decyzyjnej grafie zależności (Rys. 5.9) od ierzchołka początkoego P p, proadzi do struktury drzeiastej z cyklami oraz struktury drzeiastej rozgryającej parametrycznie (Rys oraz Rys. 5.3), opisanych zależnościami (5.4), (5.5).

160 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 60 0 dps 3 4 dω 5 6 dps dps DG + Pp = ( Pp( Qs( RlPp, ( dtps( Pp, D ( dt (, D Rpo C dt dt ω C dt dt dω dω 6 5 dω 5 6 dps dps dω dω , R ) ) ), ( dt (, D,, R ) ) ) ) ), J dt dt J dt ω C dt dt J dt dt dqzp 3 dqzp 3 dqzp 3 dqzp 3 0 K ( dtqzp(, Qs) ), ( dtqzp( dt T dt T dt, Qs) ) ) ) T dt (5.4) 0 dps 3 4 dω 5 6 dps DG ++ Pp = ( Pp( Qs( RlPp, ( dtps( Pp, D ( dt (, Rpo C dt dt ω C dt dps dω dω 6 5 dω 5 6 dps dps dω D,, R ) ) ), ( dt (, D,, dt J dt dt J dt ω C dt dt J dt 4 dω dqzp 3 dqzp 4 3 dps 5 R ) ) ) ) ), K ( dtqzp (, Qs( RlPp, dt dt ( dtps T dt C dt dω 7 8 dps dps dω dω 8 7 dω 7 ( Pp, D ( dt (, D,, R ) ), ( dt dt ω C dt dt J dt dt J dt ω dps dps dω dω dqzp 3 dqzp (, D,, R ) ) ) ) ) ) ), ( dtqzp (, C dt dt J dt dt T dt T dt dps dω 7 8 dps dps dω Qs( RlPp, ( dtps( Pp, D ( C dt (,,, dt dtω D C dt dt J dt 0 dω 8 7 dω 7 8 dps dps dω dω R ) ), ( dtω(, D,, R ) ) ) ) ) ) ) ) ) dt J dt C dt dt J dt dt (5.5)

161 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Struktura drzeiasta z cyklami i ierzchołkiem początkoym Pp z uzględnieniem dekompozycji decyzyjnej 6

162 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys. 5.3 Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego Pp z uzględnieniem dekompozycji decyzyjnej 6

163 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 63 Uzględnienie dekompozycji decyzyjnej oraz ielokrotnej numeracji ierzchołkoej, przy rozkładzie grafu zależności (Rys. 5.9), tym razem od ierzchołka początkoego Q s, proadzi do yrażeń (5.6) i (5.7) oraz ostatecznie do drzea rozgryającego parametrycznie (Rys. 5.3) [76]. 0 dq zp 3 4 dq zp 4 3 dq W zp DG + Qs = ( Qs 0( RlPp ( Qs, K ( dtq zp3(, Qs 4) ), Rpo dt T dt 4 T dt 3 4 dq zp 4 3 dps 3 dω 4 5 dps dps ( dtq zp3(, Q s4) ) ), ( dtp s( Pp 3, D ( dt 4(, D, T dt 4 C dt ω dt 3 C dt 5 dt dω dω 5 4 d 4 5 dps dps d d , R ) ), ω ( dt 4(, D,, R ) ) ) ) ) ). J dt 5 dt 5 J dt ω ω ω 3 C dt 5 dt 5 J dt 5 dt 5 (5.6) 0 dq zp 3 4 dq W zp 4 3 DG ++ Qs = ( Qs 0( RlPp ( Qs 0, K ( dtqzp 3(, Qs 4 0 ) ), Rpo dt T dt 4 dqzp 3 4 dqzp 4 3 dps 3 ( dtqzp 3 (, Qs 4 0 ) ) ), ( dtps ( Pp 3 T dt T dt 4 C dt dq 3 zp 5 6 dqzp 6 5 dqzp 5 ( Qs 4 0, K ( dtqz Rpo dt p5(, Qs 6 0 ) ), ( dtqzp 5 4 T dt 6 4 T dt dqzp dω 4 5 dps dps dω (, Qs 6 0 ) ) ), D ( dtω4 (, D,, T dt 6 4 dt 3 C dt 5 dt 5 J dt dω 5 4 dω 4 5 dps dps dω dω R ) ), ( dtω4 (, D dt 5 3 J dt,, R ) ) ) ) ) ). 3 C dt 5 dt 5 J dt 5 3 dt 5 3 (5.7)

164 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 64 Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego z uzględnieniem dekompozycji decyzyjnej i ielokrotnej numeracji ierzchołkoej Zastosoanie dekompozycji decyzyjnej przypadku grafó i drze rozgryających parametrycznie nie zmienia typu i kształtu graficznego takich struktur. Są one bardziej złożone, ale z zachoaniem danych łasności strukturalnych, ynikających z pierotnego grafu zależności. Dlatego można lokalnie odróżnić rolę dekompozycji. Dzięki proadzonej dekompozycji decyzyjnej, projektant może zdecydoać się jedynie na pojedyncze zmiany i obseracje kolejnych etapach [76]. W ielokrotnej numeracji ierzchołkoej, dodatkoo rozpatruje i odróżnia takie same elementy, ale na różnych piętrach struktury drzeiastej, z zachoaniem ogólnego kształtu struktury graficznej, istniejącej naet przed dekompozycją. Qs SKIEROWANY GRAF PRZEPŁYWU SYGNAŁÓW Z ZAMKNIĘTĄ PĘTLĄ SPRZĘŻENIA ZWROTNEGO W STRUKTURACH ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE W układzie otartym sygnał przepłya tylko jednym kierunku od ejścia do yjścia. W układach maszynoych yróżnia się liczne proste, skośne i złożone sprzężenia zrotne. W sprzężeniu zrotnym uzyskano pły ynikó z bloku końcoego ( postaci charakterystyk czasoych ielkości zależnych od czasu) na selekcję i możliość ykorzystania informacji merytorycznych napłyających bloku początkoym [54, 63].

165 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 65 Aby dany układ mógł być analizoany jako układ zamknięty, konieczne jest sprzężenie zrotne, którym sygnał ejścioy nie zależy jedynie od enętrznego stanu obiektu, ale także od aktualnej artości sygnału yjścioego. Dlatego konieczne jest proadzenie zapisie grafu zależności (Rys. 5.9) dodatkoego ierzchołka początkoego Q, połączonego z ierzchołkiem końcoym ω porotną p decyzją przejścia k. Ostatecznie model matematyczny analizoanego układu hydraulicznego, może być jednoznacznie zapisany za pomocą skieroanego grafu zależności z zamkniętą pętlą sprzężenia zrotnego przedstaionego na rysunku 5.37 [63]. W grafie zależności (Rys. 5.33), podobnie jak grafie z rysunku 5.9, można określić yrażenie analityczne, reprezentujące ten graf. Rozkład grafu zależności na strukturę drzeiastą z cyklami, a następnie na strukturę rozgryającą parametrycznie, określa obszar roziązań dopuszczalnych i ybór łaściej procedury optymalizacyjnej. Rys Skieroany graf zależności przepłyu sygnałó z dodatkoym ierzchołkiem początkoym Na rysunku 5.34 przedstaiono rozkład grafu zależności przepłyu sygnałó od ustalonego ierzchołka początkoego Q z uzględnieniem Q. W pierszym etapie otrzymuje się drzeo z cyklami (Rys ), opisane stępnie rónaniem (5.8). W następnym etapie uzyskuje się drzeo rozgryającą parametrycznie (5.9), przedstaione na rysunku S p

166 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 66 0 dq zp 3 4 dq + K zp GQs = ( Q s ( RlP p( Q s, ( dtq zp (, R po T dt T dt dps D dω Q dtp Pp dt kqp t Qs C dt J dt ω D dps R dω 5 4 3, ) ) ) ) ). C dt J dt s ) ) ), ( s (, ( ( ( [ ] ), (5.8) Rys Struktura drzeiasta z cyklami i ierzchołkiem początkoym QS z uzględnieniem Q p K dqzp 3 4 dqzp G Qs = ( Qs( RlPp( Qs, ( dtqzp( Rpo T dt T dt dps K dq zp Qs ) ) ), ( dtps( Pp( Qs, ( dtqzp( C dt Rpo T dt dqzp D dω D dps, Qs ) ) ), ( dtω ( kqp( [ t ] Qs ), T dt J dt C dt R dω ) ) ) ) ) ). J dt (5.9)

167 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 67 Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego Q z uzględnieniem Q S p Uzględniając jednocześnie dekompozycję decyzyjną oraz ielokrotną numerację ierzchołkoą, przy rozkładzie grafu zależności z rysunku 5.33, od ierzchołka początkoego Q, otrzymano strukturę drzeiastą z cyklami (Rys. 5.36) S i rozgryającą parametrycznie (Rys. 5.37). Rozkład taki jest opisany yrażeniem ( (, ) ) ), ( ( (, dqzp 6 5 dqzp 5 6 dqzp ( dtqz p5(, Qs 6 0) ), ( dtqzp 5(, Qs 6 0) ) ), T dt 6 4 T dt 4 T dt 6 4 dω dps dps dω dω 5 4 D ( dt 4( kqp5 ( [ t] Qs6 0 ),, D,, R ) ), dt ω 3 C dt 5 dt 5 J dt 5 3 dt dω dps dps dω dω ( dtω4 ( [ t] Qs6 0 ),, D,, R ) ) ) ) ) ). J dt 3 C dt 5 dt 5 J dt 5 3 dt dq zp 3 4 dqzp 4 3 dq W zp DG ++ Qs = ( Qs 0( RlPp ( Qs 0, K ( dtqzp 3(, Qs 4 0 ) ), Rpo dt T dt 4 T dt dqzp 4 3 dps 3 4 dq 3 zp dtqzp 3 Qs 4 0 dtps Pp3 Qs 4 0 K T dt 4 C dt Rpo dt 4 (5.30)

168 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 68 Rys Struktura drzeiasta z cyklami i ierzchołkiem początkoym Q p, numeracji ierzchołkoej i dekompozycji decyzyjnej QS z uzględnieniem Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego QS z uzględnieniem Q p, numeracji ierzchołkoej i dekompozycji decyzyjnej

169 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 69 Gdyby przeproadzić rozkład grafu zależności z zamkniętą pętlą sprzężenia zrotnego (Rys. 5.33) od ierzchołka początkoego P, tedy otrzymano by ostatecznie strukturę rozgryającą parametrycznie (Rys. 5.38), opisaną yrażeniem (5.3). p Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego P z uzględnieniem Q p 0 dps 3 4 dω G + Pp = ( Pp0 ( Qs ( RlPp, ( dtps3 ( Pp4, D ( dt 5( kqp6( [ t] Qs7 ), Rpo C dt dt ω 4 3 dps dps dω dω 6 5 dω dps, D,, R ) ) ), ( dtω 5 ( kqp6 ( [ t] Qs),, C dt 6 dt 6 J dt 6 dt 6 J dt 4 C dt dps dω dω dqzp 3 dqzp 3 dqzp D,, R ) ) ) ) ), K ( dtqzp (, Qs3 ) ), dt 6 J dt 6 dt 6 dt T dt 3 T dt 3 dqzp 3 0 ( dtqzp (, Qs3 ) ) ) ). T dt 3 (5.3)

170 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 70 Jednocześnie uzględniając dekompozycję decyzyjną oraz ielokrotną numerację ierzchołkoą struktury z rysunku 5.38, otrzymano strukturę drzeiastą rozgryającą parametrycznie (Rys. 5.39). Rozkład taki opisano yrażeniem W 0 dps 3 4 dω dps dps DG ++ Pp = ( Pp( Qs ( RlPp, ( dtps ( Pp, D ( dt ( kq p( [ t] Qs ),, D, Rpo C dt dt ω C dt dt dω dω 6 5 dω dps dps dω dω dqzp, R ) ) ), ( dtω ( kq p( [ t] Qs ),, D,, R ) ) ) ) ), K J dt dt J dt C dt dt J dt dt dt dqzp 4 3 dps dω dps dps ( dtqzp (, Qs ( RlPp, ( dtps ( Pp, D ( dtω ( kq p( [ t] Qs ),, D, T dt C dt dt C dt dt dω dω 8 7 dω dps dps dω dω dqzp, R ) ), ( dtω ( kq p( [ t] Qs ),, D,, R ) ) ) ) ) ) ), J dt dt J dt C dt dt J dt dt T dt dqzp 4 5 dps dω dps dps ( dtqzp (, Qs ( RlPp, ( dtps ( Pp, D ( dt ( kq p( [ t] Qs ), D, T dt C dt dt ω C dt dt 9 0 dω dω 8 7 dω dps dps dω dω , R ) ), ( dtω ( kq p( [ t] Qs ),, D,, R ) ) ) ) ) ) ) J dt dt J dt ) ). C dt dt J dt dt (5.3)

171 Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie od ierzchołka początkoego P p z uzględnieniem ielokrotnej numeracji ierzchołkoej oraz dodatkoego ierzchołka początkoego Q p STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 7

172 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 7 W rozpatryanym układzie hydraulicznym, po uzględnieniu dodatkoego sprzężenia zrotnego sensie informacyjnym projektoania, układ (kształt) drze rozgryających parametrycznie nie ulega zmianie sensie strukturalnym, a jedynie dodane są odpoiednie rozgałęzienia. W przypadku opisu danego układu maszynoego za pomocą grafu zależności przepłyu sygnałó istotną spraą jest yodrębnienie z grafu najażniejszych stanó determinoanych przez ierzchołki, a także najażniejszych decyzji determinoanych przez kraędzie. W tym celu buduje się kompleksoe drzea parametryczne KOMPLEKSOWE DRZEWA ROZGRYWAJĄCE PARAMETRYCZNIE Struktury drzeiaste rozgryające parametrycznie od każdego ierzchołka początkoego różnią się miedzy sobą kształtem i łasnościami. Opisują proces decyzyjny i przestrzeń możliych do uzyskania stanó pracy układu hydraulicznego po cześniejszych zmianach parametró konstrukcyjnych i eksploatacyjnych. Istotną rzeczą jest yodrębnienie z grafu zależności najażniejszych stanó i decyzji determinoanych przez ierzchołki i kraędzie. W tym celu buduje się kompleksoe drzea rozgryające parametrycznie [68, 70]. Rozkładając graf zależności z rysunku 5.9, opisujący model matematyczny układu hydraulicznego (Rys. 5.4) od każdego z ierzchołkó, otrzymano zbiór D struktur drzeiastych rozgryających parametrycznie: { Qs Ps ω Pp Qzp} D = G, G, G, G, G. (5.33) W kompleksoej strukturze drzeiastej rozgryającej parametrycznie nałożono szystkie struktury drzeiaste rozgryające parametrycznie, od każdego z ierzchołkó, na strukturę rozgryającą, od ustalonego cześniej ierzchołka. W ziązku z tym grafie zależności z rysunku 5. istnieje zbiór S struktur rozryających parametrycznie: gdzie np.: { GQ GP Gω GPp GQzp} S = S, S, S, S, S, SGQ S S S (5.34) - to struktura kompleksoa z nałożonymi szystkimi strukturami drzeiastymi rozgryającymi parametrycznie ze zbioru D, na strukturę rozgryająca parametrycznie od ustalonego cześniej ierzchołka G ++. Qs Kompleksoe struktury rozgryające parametrycznie przedstaiono odpoiednio na rysunkach S, S GQ S GP S, G S ω, S, GP p

173 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 73 Rys Drzeo kompleksoe S GQs Rys Drzeo kompleksoe S GPs

174 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 74 Rys Drzeo kompleksoe S Gω Rys Drzeo kompleksoe S GPp

175 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH ZŁOŻONOŚĆ DECYZYJNA KOMPLEKSOWYCH STRUKTUR ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE Budoa kompleksoych struktur rozgryających parametrycznie polega na operacji sczepiania danej struktury rozgryającej parametrycznie nazyaną strukturą bazoą. Kompleksoą strukturę rozgryającą parametrycznie uzyskuje się yniku operacji zaszczepienia struktury bazoej. Definicja 5. Sczepienie oznacza złączenie na strukturze bazoej innej struktury rozgryającej parametrycznie ierzchołku początkoym danej struktury. Definicja 5. Zszczepienie struktury rozgryającej parametrycznie oznacza przyłączenie na strukturze bazoej szystkich struktur rozgryających parametrycznie danego grafu ierzchołkach początkoych danych struktur. Uaga 5. W operacji zszczepienia, struktury rozgryające parametrycznie dla danego ierzchołka przyłącza się tylko raz na strukturze bazoej, przy czym struktury rozgryające parametrycznie należy dołączać zaczynając od ierzchołka początkoego struktury bazoej. Ostatecznie uzyskuje się połączenie nakładkoe identycznych fragmentó sensie graficznym, ale ystępujących różnych takich strukturach, co proadzi do tz. struktury kompleksoej. Kompleksoe drzea z rysunkó 5.40 i 5.43 przedstaiono sposób uproszczony. W ogólnym przypadku należy przedstaić szczegółoo pojedyncze oznaczenia kraędzi, jako parametró konstrukcyjno-eksploatacyjnych badanego układu. Należy óczas uzględnić dekompozycję parametryczną parametró decyzyjnych zapisanych oddzielnie, a nie sposób interakcyjny [68]. Na rysunku 5.44 przedstaiono strukturę decyzyjną dekompozycję. G ++ Ps z rysunku 5.7, uzględniając

176 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 76 SGPs Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie G + + z uzględnieniem dekompozycji decyzyjnej Aby otrzymać szczegółoą budoę kompleksoej struktury rozgryającej z rysunku 5.4, należy zeszczepić bazoą strukturę rozgryającą parametrycznie G ++ z rysunku Ps Na rysunku 5.45 zaznaczono miejsca sczepień struktur rozgryających parametrycznie odpoiednich ierzchołkó początkoych. Ps

177 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 77 Rys Struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie G + + z zaznaczonymi miejscami sczepień pozostałych struktur rozgryających parametrycznie: G ++, - G ++, - G ++ ++, - G ω - Pp Q zp Q s Ps Na rysunku 5.46 przedstaiono szczepioną kompleksoą strukturę rozgryającą parametrycznie G ++ Ps.

178 Rys Zszczepiona struktura drzeiasta rozgryająca parametrycznie G Ps ++ obrazująca całościoą postać kompleksoej struktury rozgryającej parametrycznie STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 78

179 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 79 Na rysunkach przedstaiono szczegółoą złożoność fragmentó, i 3, zaznaczonych na całościoej kompleksoej strukturze rozgryającej parametrycznie SGPs z rysunku Fragmentami opisano decyzje, przekształcenia analitycznoalgebraiczne i stany łaście odpoiednich struktur. Rys Złożoność decyzyjna fragmentu kompleksoej struktury SGPs z rysunku 5.46

180 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 80 Rys Złożoność decyzyjna fragmentu 3 kompleksoej struktury SGPs z rysunku 5.46

181 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 8 Rys Złożoność decyzyjna fragmentu kompleksoej struktury Węzłami na kompleksoych strukturach drzeiastych opisano decyzje, przekształcenia analityczno-algebraiczne i stany łaście danej struktury rozgryającej parametrycznie. Jeśli odpoiednie fragmenty struktur rozgryających parametrycznie są identyczne, to ęźle oznaczono ich koniunkcję. Węzeł na strukturze kompleksoej będący iloczynem szystkich elementó ze zbioru D: { Qs, Ps, ω, Pp, Qzp} D = G G G G G nazya się -pełnym i oznaczany jest jako γ. Na przykład, na strukturze kompleksoej SGPp S GPs z rysunku 5.43 opisano jeden taki ęzeł iloczynem GPp GQzp GQs GPs Gω. Odpoiada on spólnej części szystkich struktur rozgryających parametrycznie ze zbioru D, przedstaionej na rysunku 5.50.

182 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 8 a) b) Cześć spólna szystkich struktur rozgryających parametrycznie (z eentualnym rozpisaniem na oddzielne parametry konstrukcyjno- eksploatacyjne) Oznacza to analizę procesu decyzyjnego e szystkich elementach struktur z rysunku 5.50, niezależnie od ustalonego cześniej ierzchołka rozkładu grafu zależności z rysunku 5.9, W kompleksoych strukturach rozgryających parametrycznie może być n ęzłó pełnych γ n, dlatego istnieje rodzina B zbioró pełnych ęzłó ze szystkich struktur zbioru S: {{ γ,..., γ n} : γ,..., γ n Qs Pp Ps ω Qzp, γ γ... γ n} B G G G G G 5.6. TECHNIKA POWROTÓW (BACKTRACKING BT) W DRZEWACH ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE W celu yszukania optymalnych zachoań się funkcji zależnych od czasu opisanych za pomocą ierzchołkó grafie zależności, możlie jest zastosoanie algorytmu techniki porotó [, 85] IDEA TECHNIKI POWROTÓW W grafie zależności rozgryającym parametrycznie określono przestrzeń stanó, przy czym stan jest sytuacją stanoiącą roziązania problemu albo mogącą proadzić do znalezienia optymalnej artości funkcji oraz sposób przechodzenia z jednego stanu układu (elementu) drugi. Aby roziązać problem, najpier należy przeszukać przestrzeń stanó, przechodząc z jednego ierzchołka drugi (zgodnie ze zrotem kraędzi oraz zmieniając parametry konstrukcyjne i lub eksploatacyjne), aż zostanie znaleziona optymalna artość funkcji, zależnej od czasu ierzchołku grafu. W danym stanie (zachoanie się funkcji zależnej od czasu) może istnieć iele dopuszczalnych ruchó, czyli dróg grafie oraz zmian artości parametró konstrukcyjnych odpoiadającym kraędziom, można ybrać złe decyzje. Jeśli grafie zależności, będzie ybrana zła droga oraz niepraidłoe zmiany arytmetyczne parametró konstrukcyjnych (nie osiągając popranego zachoania się funkcji zależnych od czasu), to należy cofnąć się do cześniejszego ierzchołka i ybrać inną drogę. Na drzeie z cyklami, cofnięcie się do cześniejszego etapu procesu przeszukiania jest możlie za pomocą cykli. Jeśli na danym etapie procesu

183 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 83 decyzyjnego nie istnieją cykle proadzące do cześniejszych ierzchołkó, to należy ykorzystać technikę porotó W metodzie porotó szystkie drogi i odiedzone stany drzeie rozgryającym parametrycznie zostają zapamiętane, co umożliia cofnięcie decyzji. Naturalną techniką kodoania algorytmó opartych na decyzji jest rekurencja. W algorytmie zdefinioano: x,..., xn, xn - szukane roziązanie, czyli artości arytmetyczne ybranych zmiennych decyzyjnych danych ierzchołkach, Ak x zbiór możliych rozszerzeń roziązania częścioego,..., xk, F funkcję przejścia grafie, która dla danego roziązania częścioego x,..., xi x przyjmuje artość 0- fałsz, gdy ciąg,..., xi nie daje się rozszerzyć do roziązania całkoitego, a przecinym ypadku. Funkcji F przyporządkoany jest algorytm rozkładu grafu od danego ierzchołka. Przykład 5. W celu znalezienia optymalnych artości ybranych zmiennych decyzyjnych G (Q ) na strukturze + Ps s zdefinioano: Ps - ierzchołek początkoy; X- macierz incydencji- tablica sąsiedzta; DOP- tablicę logiczną rejestrującą możliość istnienia cykli danej drodze DOP; k- długość roziązania częścioego (droga na strukturze drzeiastej od ierzchołka początkoego do ierzchołka końcoego ); y- szukana artość ybranego parametru decyzyjnego. Dla struktury rozgryającej parametrycznie: dps GPs = ( Ps( Pp( Qs( RlPp, ( dtps) ), Rpo C dt K dqzp dqzp D dω D dps R dω ( dtqzp(, Qs) ) ), ( dtω(, ) ) ) ) T dt T dt J dt C dt J dt Skrócony pseudokod działania algorytmu: For ( i = ; i n; i + + ) to DOP [i]=; and X[]=s; DOP[s]=0; G + (Q ) ; i G + (k) Ps s Ps [ [ ] ] u = G X k ; for każdy ierzchołek y Adj( u) { if ( k == n + & & y == s) X zaiera cykl porotny ; else (if DOP [y]) { X[k]=y; DOP [y]=0; G + Ps (k+ ) DOP [y]=;}}

184 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 84 W całościoym algorytmie należy uzględnić tablicę zmian artości funkcji określonej przez ierzchołek ( przykładzie Q s ) oraz tablicę zmian artości parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych (płyających na artości funkcji ierzchołku) przypisanym odpoiednim kraędziom tablicy X WSPÓŁCZYNNIK ZŁOŻONOŚCI STRUKTURY W UJĘCIU WIELOWARTOŚCIOWYCH DRZEW LOGICZNYCH Możlie jest zastosoanie spółczynnika złożoności L oraz kompleksoego spółczynnika złożoności L K opisie ieloartościoych drze logicznych. W zależności tej yszukano optymalne ieloartościoe drzeo decyzyjne [58, 83, 84]. Przykład 5. W ieloartościoej funkcji logicznej f ( x, x, x 3), zapisanej numerycznie KAPN: 000, 00, 00, 0, 003, 0, 004, 03, 04, 03, 4, 03, istnieje 6 ieloartościoych drze decyzyjnych (Rys.5.5), z odpoiednią kolejnością pięter decyzyjnych zmiennych. W pracach [83, 84] ieloartościoej funkcji logicznej obliczono spółczynnik złożoności, bez uzględnienia i z uzględnieniem procesu minimalizacji. Wartości kompleksoych spółczynnikó złożoności, z odpoiednią kolejnością pięter decyzyjnych, bez uzględnienia minimalizacji ynoszą odpoiednio: K d( i ) L Lmin. (x,x,x 3) = + = W( L) h( i ) l L h l i ,48, = oraz: ( ) K L f ( x, x, x ) = 4,9, 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) K L f ( x, x, x ) = 0,8, K L f ( x, x, x ) =,, K L f ( x, x, x ) =,4, K L f ( x, x, x ) = 4,3. 3 Uzględniając minimalizacje dla drze decyzyjnych z rysunku 5.5, artości kompleksoych spółczynnikó złożoności L K obliczono:

185 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 85 4 K d( i ) L 3 3 Lmin. (x,x,x 3) = + = W( L) h( i ) l L h l i =0,59, oraz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L f ( x, x, x ) =,8, K min. 3 L f ( x, x, x ) = 5,3, K min. 3 L f ( x, x, x ) = 7,, K min. 3 L f ( x, x, x ) = 6,6, K min. 3 L f ( x, x, x ) =,64. K min. 3 W ieloartościoym drzeie logicznym, przedstaionym na rysunku 5.5, o układzie pięter x, x, x3 yznaczono najmniejszy kompleksoy spółczynnik złożoności: ( ) L f(x,x,x ) = 0,59. K min. 3 Przykład 5.3 W ieloartościoej funkcji logicznej f ( x, x, x 3), zapisanej numerycznie KAPN: 00, 00, 0, 0, 00, 0,, istnieje 6 ieloartościoych drze decyzyjnych (Rys.5.55), z odpoiednią kolejnością pięter decyzyjnych dla zmiennych Wartości kompleksoych spółczynnikó złożoności L K drzeach decyzyjnych z rysunku 5.5, bez uzględnienia minimalizacji : K d ( i) L 3 3 L(x,x,x) 3 = + =,65, = WL ( ) h ( i) l L h l i oraz: ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) K L f ( x, x, x ) =,66, K L f ( x, x, x ) =,65, K L f ( x, x, x ) =,66, K L f ( x, x, x ) =,8, K L f ( x, x, x ) =,8. 3 Wartości kompleksoych spółczynnikó złożoności L K rysunku 5.5 z uzględnieniem minimalizacji: drze decyzyjnych z

186 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 86 L 3 d( i ) L 3 3 (x,x,x ) = + = 8,33, = W( L) h ( i) l L h l i K min. 3 oraz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L f ( x, x, x ) = 9,66, K min 3 L f ( x, x, x ) = 8,33, K min 3 L f ( x, x, x ) = 9,66, K min 3 L f ( x, x, x ) = 8,96, K min 3 L f ( x, x, x ) = 8,96. K min 3 W ieloartościoych drzeach logicznych, po dokonaniu szystkich możliych odcięć, yznaczono spółczynnik złożoności. Wartością spółczynnika złożoności (kształtu) określono optymalne oraz najgorsze ieloartościoe drzeo logiczne, oraz hierarchiczną ocenę drze zależności od liczby gałązek pradziych. Kompleksoy spółczynnik złożoności jest bardzo ażny z punktu idzenia zastosoania grafó i drze rozgryających parametrycznie, jako alternatynej metody optymalizacji dyskretnej i rangi ażności zmiennych decyzyjnych, stosunku do ieloartościoych logicznych drze decyzyjnych.

187 87 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH Rys Kompleksoe spółczynniki złożoności ieloartościoej funkcji logicznej z przykładu 5. 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x x x x

188 STRUKTURY GRAFOWE W OPTYMALIZACJI UKŁADÓW MASZYNOWYCH 88 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 x x x 3 Rys Kompleksoe spółczynniki złożoności ieloartościoej funkcji logicznej z przykładu 5.3 Kompleksoy spółczynnik złożoności jest bardzo ażny z punktu idzenia zastosoania grafó i drze rozgryających parametrycznie jako alternatynej metody optymalizacji dyskretnej i rangi ażności zmiennych decyzyjnych stosunku do ieloartościoych logicznych drze decyzyjnych. Wartość spółczynnika kształtu yznacza optymalne oraz najgorsze ieloartościoe drzeo logiczne, oraz hierachicznie ocenia drzea zależności od liczby gałązek pradziych..

189 ROZDZIAŁ 6 89 ROZDZIAŁ 6 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA Układy hydrauliczne są coraz częściej stosoane ze zględu na możliości przenoszenia dużych mocy przy stosunkoo ysokiej spraności. Jednym z głónych elementó każdego układu są generatory energii strumienia cieczy. Najbardziej rozposzechnione przemyśle są pompy zębate o zazębieniu zenętrznym. Ich udział oceniany jest na około 50%. Tak poszechne zastosoanie ynika z prostej i zartej ich konstrukcji, niezaodności działania, ysokiej odporności na zanieczyszczenia czynnika roboczego, dużego spółczynnika spraności, małych gabarytó porónaniu do innych jednostek pompujących oraz niskiego kosztu ytarzania. Dodatkoo jednostki zębate mogą działać ze znacznymi prędkościami obrotoymi i pod tym zględem przeyższają inne rodzaje pomp yporoych. Wymienione zalety, a także ysokie ciśnienia robocze dochodzące do 30 MPa oraz spraność całkoita dochodząca do 90%- płyają na rozległe zastosoania układach napędoych, steroniczych lub smaroniczych maszyn i urządzeń. Pomimo ysokiej efektyności energetycznej dalszym ciągu prace nad popraą spraności są proadzone przez iększość producentó i ośrodkó naukoych. W procesie projektoania ykorzystyano różne algorytmy optymalizacji, np.: metodę systematycznego poszukiania, metodę Monte Carlo, czy też metodę gradientoą. W niniejszej pracy przedstaiono noe podejście optymalizacji z uzględnieniem ieloartościoych drze logicznych. Wykorzystanie ymienionej metody zaprezentoano na przykładzie innoacyjnej jednostki zębatej z podciętą stopą zęba [6, 7, 5]. 6.. OBIEKT BADAŃ Zaprojektoaną i ykonaną jednostkę prototypoa o konstrukcji trójpłytoej, pokazano schematycznie na rys. 6.. Płyta przednia ykorzystyana jest jako mocoanie pompy do zespołu napędoego. W płycie środkoej umieszczone są koła zębate, korpusy łożysk ślizgoych oraz otory ssane i tłoczne służące do podłączenia instalacji. Całą budoę zamyka płyta tylnia 3.

190 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 90 Rys. 6.. Trójpłytoa konstrukcja mikropompy zębatej o zazębieniu zenętrznym. płyta przednia (mocująca), płyta środkoa (okularoa), 3 płyta tylna, 4 ałek napędoy Badana jednostka prototypoa jest projektem łasnym, yprodukoanym przez Wytórnię Pomp Hydraulicznych Sp. z o.o. mieszczącą się e Wrocłaiu. Pompę eksperymentalną zaprojektoano z myślą o możliościach technologicznych WPH S.A. W procesie innoacyjności zmodyfikoano profil eolenty jej dolnej części, poprzez tz. podcięcie stopy zęba. Modyfikacja może być ykonana za pomocą narzędzia skraającego z tak zaną protuberancją lub poprzez odpoiedni dobór korekcji zazębienia. W modelu eolentoego zarysu zęba (rys. 6.) przyjęto, że yniku zaokrąglenia lub sfazoania kraędzi skraającej miarodajna linia ierzchołkoa ulegnie przesunięciu, kierunku promienia stopy narzędzia o artość luzu ierzchołkoego l. Uzględniono rónież przesunięcie zarysu o artość korekcji +x m0. Rys. 6.. Podcięcie stopy narzędziem zębatką o zarysie trapezoym [5]

191 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 9 Podstaoe parametry zazębienia dla pompy o ydajności jednostkoej q = 40 cm 3 : Parametr Symbol Jednostka Wartość Liczba zębó z - 9 Moduł m 0 [mm] 4.5 Kąt przyporu α 0 [ ] 0 Szerokość koła zębatego b [mm] STANOWISKO POMIAROWE Charakterystyki statyczne oraz tłumienie obodoe, ystępujące pompie zębatej z podciętą stopą zęba, yznaczono na stanoisku badaczym, przedstaionym na rysunku 6.3. W układzie tym badana pompa napędzana jest silnikiem prądu stałego o mocy 00 kw, spółpracującym z terystoroym układem sterującym 0. Silnik prądu stałego Pxob-94a oraz terystoroy układ sterujący typu DSI-0360/MN-503 umożliiają płynną zmianę prędkości obrotoej pompy zakresie od 0 do 000 obr/min. Pompa stępnego ciśnienia 3 oraz pompa badana są zabezpieczone zaorami bezpieczeństa 7 i 8. Obciążenie badanej pompy realizuje się za pomocą zaoru dłaiącego 0. Wydajność rzeczyistą Q rz pompy mierzono za pomocą przepłyomierza turbinkoego 6 typu PT-M z czujnikiem przepłyu typu PT5-00, o zakresie pomiaroym 0-00 dm 3 /min. Na mikroamperomierzu METEX typ M- 3650B, przeproadzono rejestrację chiloych natężeń przepłyu. Moment M na ale pompy jest mierzony za pomocą czujnika momentu typ Mt000, o zakresie pomiaroym od 0 do 000 Nm oraz układu rejestrującego typu Beta 00. Liczba obrotó n pompy jest kontroloana na ałku silnika napędoego za pomocą układu pomiaroego, zbudoanego z fotokomórki i licznika cyfroego. W tym celu na ałku silnika zamocoano tarczę z naciętymi otorami. Z jednej strony tarczy znajduje się źródło śiatła, a z drugiej fotokomórka, która układzie elektronicznym zlicza ilość impulsó, zależnych od prędkości obrotoej ałka. Zesta ten służy tylko do ustalenia żądanej prędkości silnika napędoego. Temperaturę t cieczy zbiorniku mierzono zestaem termistoró, czujnik typu PU 39/ miernik typu PU 38/. Badania przeproadzono po uruchomieniu próbnym stanoiska tzn. spradzono działanie pompy, zaoru bezpieczeństa oraz skazania szystkich przyrządó pomiaroych. Pomiar rozpoczęto od nastaienia określonych prędkości obrotoych ałka, n = 500, 800, 000, 500 i 000 obr/min. Obciążenie pompy realizoano przy p t = 0, 5, 0, 5, 0, 5, 8 i 30 MPa. Maksymalna artość ciśnienia tłoczenia ograniczona była zakresem pomiaroym momentomierza. Badania

192 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 9 charakterystyk statycznych przeproadzono przy stałej artości temperatury czynnika roboczego tj. 50 o C. Rys Schemat stanoiska badaczego: -badana pompa, -silnik napędoy prądu stałego, 3-pompa zasilająca, 4-silnik prądu zmiennego, 5 filtr ssany, 6-zaór odcinający, 7,8-zaory bezpieczeństa, 9,0,-zaory odcinające, - filtr zleoy, 3,4-manoakuometr, 5-manometr, 6-przepłyomierz z mikroamperomierzem, 7-mikrofony pomiaroe, 8-komora akustyczna, 9-zbiornik, 0- elektroniczny układ regulacji obrotó, -czujnik momentu z rejestratorem, -fotokomórka z licznikiem pomiaroym Na rysunkach przedstaiono zdjęcia stanoiska badaczego.

193 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 93 Rys Stanoisko badacze: silnik napędoy prądu stałego, pompa zasilająca, silnik prądu zmiennego

194 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 94 Schemat stanoiska badaczego Rys Stanoisko badacze: zegary pomiaroe (manoakuometry, manometry) Rys Stanoisko badacze: skrzynka prądoa, komora akustyczna

195 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 95 Rys Stanoisko badacze: pompa zębata z podciętą stopą zęba komorze kaustycznej Rys Stanoisko badacze: komora akustyczna

196 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA BADANIA HYDRAULICZNE POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA Wyznaczając odpoiednie spraności pompy zębatej jest możlia oszczędność energii. Spraność całkoitą pompy yznacza stosunek mocy yjścioej Ny do mocy łożonej Ne lub iloczyn spraności objętościoej i hydrauliczno-mechanicznej [7, 8, 5], czyli: η C Ny = ηνη hm. (6.) N e Całkoite straty objętościoe pompie: niecałkoite ypełnienia komór roboczych okresie ssania, ściśliość cieczy, odkształcenia elementó pompy oraz przecieki enętrzne, proporcjonalne do lepkości i gęstości cieczy. Spraność objętościoa pompy ην jest stosunkiem yporności rzeczyistej Q rz do ydajności teoretycznej Q t, a zatem: gdzie: Qt Q Q =, (6.) Q Q t t Q = Q + Q ρ, (6.3) Straty objętościoe Q µ zależne od ciśnienia roboczego i mogą być określone jako: Q u qp = c. (6.4) πµ µ µ Straty objętościoe Q ρ zależą od gęstości cieczy i mogą być przedstaione następującej postaci: p Q c q ρ 3 ρ = r. (6.5) Ostatecznie otrzymuje się następującą postać strat objętościoych pompie: qp p 3 cµ + cr q πµ ρ ηv =. (6.6) Q t Podstaiając miejsce Q t ogólną zależność: Qt = qn,

197 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 97 Otrzymano zór: p p πµ n n ρ 3 η ν = c µ cr q, (6.7) gdzie: c µ - spółczynnik, który jest funkcją rozmiaró i liczby szczelin zależy rónież od ydajności łaściej pompy, p- ciśnienie robocze, q- ydajność łaścia, n- prędkość obrotoa, µ - lepkość dynamiczna cieczy, cr - spółczynnik zależny od rodzaju szczelin i ich rozmiaru oraz od ydajności łaściej pompy, Spraność hydrauliczno-mechaniczna pompy η hm jest stosunkiem artości momentu teoretycznego M t do sumy momentu strat hydrauliczno-mechanicznych M i momentu teoretycznego M i momentu teoretycznego M t [6]: M t η hm =. M + M Moment strat hydrauliczno-mechanicznych momentó: t (6.8) M jest róny sumie czterech M = M + M + M + M. (6.9) ν Momentem M v opisano straty, które są proporcjonalne do siły tarcia cieczy, a ięc ziązany jest z lepkością dynamiczną cieczy oraz prędkością obrotoą i ydajnością łaścią q: v ρ v p k M = c µ nq. (6.0) Momentem strat M ρ opisano straty, na które istotny pły ma gęstość cieczy, co można napisać następująco: n M cρρ q 4 π 3 5 ρ =. (6.) Momentem M p opisano straty mechaniczne, które są proporcjonalne do ciśnienia tłoczenia g zależności: M p pq = cp. (6.) π

198 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 98 Momentem Mk opisano sposób montażu I zastosoanych uszczelnień, niezależnie od ciśnienia tłoczenia i eksploatacji pompy. Podstaiając odpoiednie yrażenia na momenty strat teoretyczny jako: M oraz moment M t pq, π = (6.3) Otrzymuje się: η hm = pq π, pq n 3 5 pq + cvµ nq + cρρ q + cp π 4π π (6.4) i następnie: ηhm = µ n ρ n p p 3 cv π cρ q cp, (6.5) gdzie: c - spółczynnik zależny głónie od rodzaju pompy, p c ρ - spółczynnik zależny głónie od jej ydajności łaściej, c ν - spółczynnik zależny od rodzaju pompy Współczynnikiem c µ określono zależność od ymiaró szczelin i rodzaju oraz ydajności łaściej pompy. Wartość spółczynnika-zależnie od konstrukcji pompy- ynosi od 0 8 do Współczynnik cr zmienia się przypadku pomp zębatych: od do Współczynnik konstrukcyjny c v oszacoano granicach od Współczynnik c ρ dla pomp zębatych określono od 0 do 70. Współczynnik cp określono od 0,0-0,3. Ostatecznie spraność całkoitą można yrazić następująco: 5 0, 0 do 5,6 0. p p πµ n n ρ η c = µ n ρ n p p 3 cµ cr q 3 cv π cρ q c p. (6.6) W opracoaniu jako funkcje kryterialne celu uznano : η v, η hm, η v, natomiast parametry n, p t, Q rz przyjęto, jako zmienne decyzyjne. Taki sposób postępoania ma sens z punktu idzenia ykorzystania danej pompy zębatej różnych układach oraz na yznaczenie rozbieżności obliczenioych, ze zględu na różne algorytmy

199 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 99 projektoania pompy zębatej [6, 7, 8] np.: yznaczenie maksymalnej spraności objętościoej przy założeniu dopuszczalnej hydrauliczno-mechanicznej, yznaczenie maksymalnej spraności całkoitej. Badania pompy przeproadzono po uruchomieniu próbnym stanoiska tzn. spradzono działanie pompy, zaoru bezpieczeństa oraz skazania szystkich przyrządó pomiaroych [5]. Wyniki pomiaró charakterystyk statycznych eksperymentalnej pompy z podciętą stopą zęba przedstaiono tabeli 6.. Tabela 6. Wyniki pomiaró hydraulicznych [5] n p t Q rz M N h N m η v η hm η c [rpm] [Mpa] [l/min] [Nm] [kw] [kw] [%] [%] [%] 500 0,,0 0,00 0,0 94,6 0,0 0,0 5 0,5 36,0,70,88 9, 98,0 90,3 0 0,3 77,0 3,38 4,03 9,3 9,8 83,8 5 0, 6,0 5,05 6,07 90,9 9,5 83, 0 0, 56,0 6,73 8,7 90,9 90,7 8,4 5 0,5 00,0 8,53 0,47 9, 88,5 8,5 8 0,6 8,0 9,60,4 9,5 90,9 84, 30 0,7 36,0 0,34,36 93,0 90,0 83, ,9,0 0,00 0,7 98,0 0,0 0,0 5 34,7 38,0,88 3,8 97,5 9,8 90,5 0 34,3 78,0 5,70 6,53 96, 90,6 87, 5 34, 8,0 8,53 9,89 96,0 89,9 86,3 0 34, 60,0,34 3,40 95,7 88,4 84,6 5 34,5 0,0 4,38 6,9 97,0 87,6 85,0 8 34,7 4,0 6,9 8,77 97,5 88,5 86, ,8 40,0 7,39 0, 97,8 88,5 86, ,5, 0,00 0,3 99,9 0,0 0,0 5 44, 38,0 3,66 3,98 99, 9,8 9,0 0 43,9 8,0 7,30 8,59 98,7 86, 85, 5 43,4 4,0 0,83,99 97,4 85,6 83,4 0 43,4 68,0 4,44 7,59 97,4 84, 8, 5 43,4 08,0 8,05,78 97,4 85, 8,9 8 43,4 34,0 0, 4,50 97,4 84,7 8, ,3 49,0,6 6,08 97, 85,3 8, ,3 6,0 0,00 0,94 00,9* 0,0 0,0 5 66,8 4,0 5,54 6,60 00,0 84,0 84,0 0 66,5 84,0,06 3,9 99,6 84, 83,8 5 66, 5,0 6,5 9,63 99, 84,9 84, 0 65,5 7,0,80 7,0 98, 8,3 80,7 5 65,7 0,0 7,34 3,99 98,4 84, 8,9 8 65,6 35,0 30,58 36,9 98, 84,3 8, ,5 55,0 3,7 40,06 98, 83,3 8, ,3 8,0 0,00,68 00,3* 0,0 0,0 5 89,0 47,0 7,39 9,84 00,0 75,0 75,0 0 88,3 94,0 4,69 9,69 99,3 75, 74,6 5 88,0 38,0,96 8,90 98,8 76,9 76,0 0 87,6 8,0 9,7 38, 98,4 77,8 76,5 5 88,0 4,0 36,6 44,8 98,8 8,7 8,7 8 87,9 4,0 40,98 50,47 98,7 8, 8, 30 87,8 59,0 43,86 54,4 98,6 8,0 80,9

200 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 00 Na rysunkach przedstaiono ykresy spraności całkoitej, olumetrycznej i hydrauliczno-mechanicznej przy prędkości n. Charakterystyki momentu i mocy umieszczono na rysunkach Z kolei na rysunkach przedstaiono spraności porónacze dla pompy [5]. Spraność pompy z podciętą stopa zęba 40 cm 3 dla n=500 obr/min Spraność [%] η c [%] η hm η V [%] Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys Charakterystyka spraność eksperymentalnej pompy przy n = 500 obr/min [5] Spraność pompy z podciętą stopa zęba 40 cm 3 dla n=800 obr/min η V [%] η c [%] η hm [%] Spraność [%] Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys Charakterystyka spraność eksperymentalnej pompy przy n = 800 obr/min [5]

201 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 0 Spraność pompy z podciętą stopa zęba 40 cm 3 dla n=000 obr/min η V [%] 80 Spraność [%] η hm [%] η c Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys. 6.. Charakterystyka spraność eksperymentalnej pompy przy n = 000 obr/min [5] Spraność pompy z podciętą stopa zęba 40 cm 3 dla n=500 obr/min η V [%] η hm [%] Spraność [%] Ciśnienie tłoczenia [MPa] η c [%] Rys. 6.. Charakterystyka spraność eksperymentalnej pompy przy n = 500 obr/min [5]

202 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 0 Spraność pompy z podciętą stopa zęba 40 cm 3 dla n=000 obr/min η hm [%] η V [%] Spraność [%] Ciśnienie tłoczenia [MPa] η c [%] Rys Charakterystyka spraność eksperymentalnej pompy przy n = 000 obr/min [5] Moc oraz moment pompy z podciętą stopa zęba dla n=500 obr/min 40 8,0 0 6,5 00 5,0 Moment [Nm] M [Nm] Ν m [kw] Ν h [kw] 3,5,0 0,5 9,0 7,5 6,0 Moc [kw] 60 4,5 40 3,0 0,5 0 0, Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys Charakterystyka momentu oraz mocy eksperymentalnej pompy przy n = 500 obr/min [5]

203 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 03 Moc oraz moment pompy z podciętą stopa zęba dla n=800 obr/min M [Nm] Moment [Nm] Ν h [kw] Ν m [kw] Moc [kw] Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys Charakterystyka momentu oraz mocy eksperymentalnej pompy przy n = 800 obr/min [5]. Moc oraz moment pompy z podciętą stopa zęba dla n=000 obr/min Moment [Nm] M [Nm] Ν m [kw] Ν h [kw] 3,5 30,0 7,5 5,0,5 0,0 7,5 5,0,5 0, Ciśnienie tłoczenia [MPa] 0,0 7,5 5,0,5 Moc [kw] Rys Charakterystyka momentu oraz mocy eksperymentalnej pompy przy n =000 obr/min [5]

204 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 04 Moc oraz moment pompy z podciętą stopa zęba dla n=500 obr/min Moment [Nm] M [Nm] Ν m [kw] Ν h [kw] 45,5 4,0 38,5 35,0 3,5 4,0 0,5 7,0 3,5 0, Ciśnienie tłoczenia [MPa] 8,0 4,5,0 7,5 Moc [kw] Rys Charakterystyka momentu oraz mocy eksperymentalnej pompy przy n =500 obr/min [5] Moc oraz moment pompy z podciętą stopa zęba dla n=000 obr/min Moment [Nm] M [Nm] Ν m [kw] Ν h [kw] 58,5 54,0 49,5 45,0 40,5 8,0 3,5 9,0 4,5 0, Ciśnienie tłoczenia [MPa] 36,0 3,5 7,0,5 Moc [kw] Rys Charakterystyka momentu oraz mocy eksperymentalnej pompy przy n =000 obr/min [5]

205 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 05 Spraność olumetryczna pompy PZ oraz pompy z podciętą stopą zęba dla n=500 obr/min Spraność [%] η V [%] pompa eksperymentalna z podciętą stopą zęba η V [%] PZ4-3 nr Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys Porónanie spraności objętościoej przy n =500 obr/min [5] Spraność hydrauliczno-mechaniczna pompy PZ oraz pompy z podciętą stopą zęba dla n=500 obr/min Spraność [%] η hm [%] pompy z podciętą stopą zęba η hm [%] PZ4-3 nr Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys Porónanie spraności hydrauliczno-mechanicznej przy n =500 obr/min [5]

206 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 06 Spraność całkoita pompy PZ oraz pompy z podciętą stopą zęba dla n=500 obr/min Spraność [%] η c [%] pompy z podciętą stopą zęba η c [%] PZ4-3 nr Ciśnienie tłoczenia [MPa] Rys. 6.. Porónanie spraności całkoitej przy n = 500 obr/min [5] W Optymalizacja pompy zębatej obliczono spranośćobjętościoą, hydraulicznomechaniczną oraz całkoitą. Zakładając, że funkcją celu jest spraność całkoita pompy, a poszukianymi parametrami są artości parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, optymalizację można przeproadzić zgodnie z opracoanym algorytmem, oddzielnie przypadku parametró konstrukcyjnych i eksploatacyjnych, poszukując maksymalnej artości spraności. W pierszym etapie badań zastosoano ieloartościoe logiczne drzea decyzyjne do analizy rangi ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych pompy zębatej, a następnie zastosoano kompleksoe ieloartościoe drzea logiczne OPTYMALIZACJA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA W optymalizacji pompy zębatej obliczono spraność objętościoą, hydrauliczno-mechaniczną oraz całkoitą. Optymalizacja spraności pompy może ięc przebiegać jako ielokryterialna bądź monokryterialna. Zakładając, że funkcją celu jest spraność całkoita pompy, a poszukianymi parametrami są artości parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych, optymalizację można przeproadzić oddzielnie przy parametrach konstrukcyjnych i eksploatacyjnych, poszukując maksymalnej artości spraności [6, 7, 8, 5]. Maksymalna spraność danej konstrukcji pompy uzyskiana jest poprzez dobór parametró eksploatacyjnych.. W pierszym etapie badań zastosoano ieloartościoe logiczne drzea decyzyjne do analizy rangi ażności parametró konstrukcyjnych i/lub eksploatacyjnych pompy zębatej [53]. Analizę rangi ażności parametró konstrukcyjnych pompy zębatej przeproadzono zględem połączonych parametró

207 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 07 Q n. Następnie zastosoano kompleksoe ieloartościoe drzea logiczne przypadku połączonych parametró p M oraz Q n. W analizie dodatkoo uzględniono ieloartościoe spółczynniki agoe. Wśród optymalnych drze logicznych, tzn. z najmniejszą liczba gałęzi pradziych, istnieje yróżnione drzeo optymalne, tzn. z najmniejszą artością kompleksoego spółczynnika złożoności. W szczególności kompleksoym spółczynnikiem złożoności identycznie yznaczono optymalne kompleksoe drzea logiczne Q n przy połączonych i rozdzielnych. W drugim etapie, badania rangi ażności pompy zębatej z podciętą stopą zęba, zastosoano kompleksoy spółczynnik złożoności struktur rozgryających parametrycznie. Wykazano, że śród optymalnych drze logicznych, tzn. z najmniejszą liczba gałęzi pradziych, istnieje yróżnione drzeo optymalne, tzn. z najmniejszą artością kompleksoego spółczynnika złożoności. Kompleksoym spółczynnikiem złożoności identycznie yznaczono optymalne kompleksoe drzea logiczne przy połączonych i rozdzielnych Q n [53]. Dodatkoo zastosoano agoy ieloartościoy układ rónań logicznych, opisujących pradzie ytyczne konstrukcyjne (artości) parametró n, zapeniających uzyskanie optymalnej artości szystkich funkcji jednocześnie. p t, Q rz η v, η hm, η c ZASTOSOWANIE WIELOWARTOŚCIOWYCH DRZEW LOGICZNYCH Poszukując optymalnej artości funkcji η v, η hm, η c, przyjęto następujące artości arytmetyczne zakresy zmian: ηv 0,96 ; ηhm 0,89 ; ηc 0,86. Do analizy edług tabeli 6. ybrano artości arytmetyczne badanych parametró, które zakodoano logicznymi zmiennymi decyzyjnymi logicznych drzeach decyzyjnych [53]: obr obr obr obr n = 500[ ] ~ 0; n = 800 [ ] ~ ; n = 000 [ ] ~ ; n = 500 [ ] ~ 3; min min min min obr obr obr obr n = 000 [ ] ~ 4; p 0 min t = [ ] ~ 0; p t = 5 [ ] ~ ; p 0 min min t = [ ] ~ ; min p = 5[MPa] ~ 3; p = 0 [MPa] ~ 4; p = 5 [MPa] ~ 5; p = 8 [MPa] ~ 6; t p = 30 [MPa] ~ 7; Q 0, ;, [ t Qrz 43,3;44,5 l [ min t rz l min ] ~ ; Qrz 65,5;67,3 [ min t ] ~ 0; Qrz 34, ;34,9 [ min l ] ~ 3; Qrz 87,6;89,3 t l ] ~ ; l [ ] ~ 4; min M,0;47,0 [Nm] ~ 0; M 77,0;5,0 [Nm] ~ ; M 38,0;8,0 [Nm] ~ ; M 00, 0; 59, 0 [Nm] ~ 3; gdzie M,0;59,0 [Nm] oraz M i 0,,, 3. Jeśli pompie zębatej, z podciętą stopą zęba, szystkie ścieżki ieloartościoych drze logicznych z rysunkó oznaczają zbiór szystkich ariantó teoretycznych procesu optymalizacji odpoiednich spraności η, η i η, to należy yodrębnić tylko arianty pradzie (ścieżki pogrubione). c hm υ

208 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 08 Jeśli drzeach logicznych z rysunkó będzie obliczana liczba gałęzi pogrubionych (pradziych) dla odpoiednich spraności z możliością zamiany pięter ze zmiennymi logicznymi, przypisanymi parametrom konstrukcyjnym Q, n, M and p, to tylko drzeami logicznymi z najmniejszą liczbą gałęzi pradziych opisano rangę ażności parametró, od najażniejszego na dole do najmniej ażnego na górze. Optymalne drzea logiczne przedstaiono na rysunkach [53]. Tabela 6.. Wartości arytmetyczne i logiczne ustalonych parametró i funkcji celu [5, 53] n [obr/min] p t [Mpa] Q rz [l/min] M [Nm] η v [%] η hm [%] η c [%] ,6 0,0 0,0 0 9, 98,0 90,3 9,3 9,8 83, ,9 9,5 83, 4 90,9 90,7 8, , 88,5 8, ,5 90,9 84, ,0 90,0 83, ,0 0,0 0,0 0 97,5 9,8 90,5 96, 90,6 87, 3 96,0 89,9 86,3 4 95,7 88,4 84, ,0 87,6 85, ,5 88,5 86, ,8 88,5 86, ,9 0,0 0,0 0 99, 9,8 9,0 98,7 86, 85, 3 97,4 85,6 83,4 4 97,4 84, 8, ,4 85, 8, ,4 84,7 8, , 85,3 8, ,9 0,0 0,0 0 00,0 84,0 84,0 99,6 84, 83, , 84,9 84, 4 98, 8,3 80, ,4 84, 8, , 84,3 8, , 83,3 8, ,3 0,0 0,0 0 00,0 75,0 75,0 99,3 75, 74, ,8 76,9 76,0 4 98,4 77,8 76, ,8 8,7 8, ,7 8, 8, ,6 8,0 80,9

209 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 09 M Q n p Q n M p M p Q n Q p M n p M Q n p Q n M Rys. 6.. Wieloartościoe drzea logiczne spraności η c [53]

210 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 0 M Q n p Q n M p Q p M n p Q n M M p Q n p M Q n Rys Wieloartościoe drzea logiczne spraności η hm [53]

211 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA M Q n p Q n M p p Q n M p M Q n M p Q n Q p M n Rys Wieloartościoe drzea logiczne spraności η v [53]

212 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA p M Q n p Q n M Rys Optymalne ieloartościoe drzea logiczne spraności η c [53] p M Q n Rys Optymalne ieloartościoe drzeo logiczne spraności η hm [53] Q p M n Rys Optymalne ieloartościoe drzeo logiczne spraności η ν [53] Przy spraności całkoitej η c istnieją da optymalne ieloartościoe drzea logiczne, które przedstaiono na rysunku 6.5. Najażniejsze parametry to n iq - traktoane jako jedna zmienna zastępcza oraz moment M. rz Przy spraności mechanicznej η hm i objętościoej η v istnieją pojedyncze optymalne ieloartościoe drzea logiczne, przedstaione kolejno na rysunkach 6.6 i 6.7. W przypadku spraności mechanicznej η hm najażniejszymi parametrami są n i Q rz, a przy spraności objętościoej ηv - moment M. Z kolei najmniej ażnym

213 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 3 parametrem (znajdującym się koronie drzea) przy spraności całkoitej η c oraz spraności mechanicznej η hm jest ciśnienie tłoczenia p t. Przy spraności η c η hm piętra yznaczono kolejności Q n - M- p. W optymalnych logicznych drzeach decyzyjnych przy spraności η v yznaczono korzeniu parametr M, następnie p i koronie drzea Q n. Na drzeie dotyczącym spraności η o kolejności pięter M - Q n - p ykreślono o jedną gałązkę mniej obec M - p - Q n, czyli o,%. v ZASTOSOWANIE KOMPLEKSOWYCH WIELOWARTOŚCIOWYCH DRZEW LOGICZNYCH W kompleksoych drzeach logicznych określono na jednym piętrze łącznie die lub ięcej zmiennych decyzyjnych [65]. Na kompleksoych drzeach decyzyjnych z rysunku 6.8 istnieją da piętra, opisane przez implikację zmiennych x x oraz x x3. x 3 x 4 x x x x x x 3 4 Rys Kompleksoe ieloartościoe drzea logiczne dla x x oraz x3 x4 [65] Z zastosoaniem kompleksoego ieloartościoego drzea logicznego określono taką samą rangę ażności przy co najmniej dóch połączonych spólnie parametró decyzyjnych. Podczas optymalizacji układó maszynoych, zbiorze kryterialnym bardzo często określono różne konkurencje i pozorne sprzeczności. W kompleksoych drzeach decyzyjnych połączono ze sobą parametry konstrukcyjne i/lub eksploatacyjne o podobnych łaściościach, a także o takiej samej przyjętej dyskretyzacji artości przedziałó. Zmniejszono ten sposób złożoność obliczenioą, celu yznaczenia najażniejszych podgrup układzie. W przypadku łączenia zmiennych decyzyjnych o odrębnych łaściościach i funkcjach układzie, uzyskano subanalizę badanego systemu [65]. W rozpatryanym przykładzie analizę rangi ażności parametró konstrukcyjnych pompy zębatej przeproadzono dla połączonych parametró p M oraz Q n. W kompleksoych ieloartościoych drzeach logicznych przyjęto (edług tabeli 6.3) następujące kodoanie artości arytmetycznych badanych parametró:

214 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 4 n = 500[rpm] ~ 0; n = 800 [rpm] ~ ; n = 000 [rpm] ~ ; n = 500 [rpm] ~ 3; n = 000 [rpm] ~ 4; p = 0 [MPa] ~ 0; p = 5 [MPa] ~ ; p = 0 [MPa] ~ ; p = 5[MPa] ~ 3; t t p = 0 [MPa] ~ 4; p = 5 [MPa] ~ 5; p = 8 [MPa] ~ 6; p = 30 [MPa] ~ 7; t Qrz Qrz 0,;, 43,3;44,5 l [ min t l [ min ] ~ 0; Qrz 34,;34,9 [ min t t l ] ~ ; ] ~ ; [l/min] ~ 3; Qrz 87,6;89,3 t l [ ] ~ 4; min M,0;8,0 [Nm] ~ 0; M 36,0;47,0 [Nm] ~ ; M 77,0;94,0 [Nm] ~ ; M 6,0;38,0 [Nm]~3; M 56,0;8,0 [Nm]~ 4; M 00,0;4,0 [Nm] ~ 5; M 0, 0; 4, 0 [Nm] ~ 6; M 36,0;59,0 [Nm] ~ 7., które zakodoano logicznymi zmiennymi decyzyjnymi kompleksoych ieloartościoych logicznych drzeach decyzyjnych, przedstaionych na rysunkach [65]. Podobnie jak przypadku ieloartościoych drze logicznych przyjęto artości arytmetyczne zakresu zmian poszczególnych spraności: ηv 0,96 ; ηhm 0,89 ; ηc 0,86. t

215 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 5 Tabela 6.3. Wartości arytmetyczne i logiczne ustalonych parametró kompleksoych drze decyzyjnych n [rpm] Q rz [l/min] p t [Mpa] M [Nm] η v [%] η hm [%] η c [%] ,6 0,0 0,0 9, 98,0 90,3 9,3 9,8 83, ,9 9,5 83, ,9 90,7 8, , 88,5 8, ,5 90,9 84, ,0 90,0 83, ,0 0,0 0,0 97,5 9,8 90,5 96, 90,6 87, ,0 89,9 86, ,7 88,4 84, ,0 87,6 85, ,5 88,5 86, ,8 88,5 86, ,9 0,0 0,0 99, 9,8 9,0 98,7 86, 85, ,4 85,6 83, ,4 84, 8, ,4 85, 8, ,4 84,7 8, , 85,3 8, ,9 0,0 0,0 00,0 84,0 84,0 99,6 84, 83, , 84,9 84, , 8,3 80, ,4 84, 8, , 84,3 8, , 83,3 8, ,3 0,0 0,0 00,0 75,0 75,0 99,3 75, 74, ,8 76,9 76, ,4 77,8 76, ,8 8,7 8, ,7 8, 8, ,6 8,0 80,9 W kompleksoych optymalnych drzeach decyzyjnych z rysunkó korzeniu kompleksoą zmienną decyzyjną jest Q n. W przypadku analizy dla pojedynczych parametró konstrukcyjnych i eksploatacyjnych o randze ażności decydują głónie ich indyidualne łaściości.

216 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 6 Q n M p M p Q n Rys Kompleksoe ieloartościoe drzea logiczne spraności η c, - Kompleksoe drzeo optymalne [65] Q n M p M p Q n Rys Kompleksoe ieloartościoe drzea logiczne spraności η hm, drzeo optymalne [65] -Kompleksoe

217 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 7 Q n M p M p Q n Rys Kompleksoe ieloartościoe drzea logiczne spraności η ν, - Kompleksoe drzeo optymalne [65] Dobór parametró eksploatacyjnych dla danej konstrukcji pompy decyduje o jej maksymalnej spraności. Optymalizacja spraności pompy może przebiegać jako ielokryterialna bądź monokryterialna i ymaga obliczenia spraności objętościoej, hydrauliczno-mechanicznej oraz całkoitej. W analizie przedstaionej na drzeach z rysunkó uznano za funkcje kryterialne celu: η c, η hm, η v, natomiast parametry M, n, p t, Q rz przyjęto za zmienne decyzyjne. Poszukując optymalnych artości funkcji η v, η hm, η c, przyjęto następujące artości arytmetyczne zakresó zmian:η v 0,96; η hm 0,89; η c 0,86. Następnie szystkie ieloartościoe drzea decyzyjne z układem piętroym parametró M, p t, n Qrz opisano kompleksoym spółczynnikiem złożoności ZASTOSOWANIE KOMPLEKSOWEGO WSPÓŁCZYNNIKA ZŁOŻONOŚCI ZE STRUKTUR ROZGRYWAJĄCYCH PARAMETRYCZNIE Jak ykazano rozdziale możlie jest zastosoanie spółczynnika kompleksoego spółczynnika złożoności L K opisie ieloartościoych drze logicznych. Poszukując optymalnych artości funkcji η v, η hm, η c, przyjęto następujące artości arytmetyczne zakresó zmian:η v 0,96; η hm 0,89; η c 0,86. W pracy [58, 69] szystkie ieloartościoe drzea decyzyjne z układem piętroym parametró M, p t, n Qrz opisano kompleksoym spółczynnikiem złożoności. W poszczególnych spranościach określono następujące artości kompleksoych spółczynnikó złożoności:

218 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 8 K K K K η : L η (p Q n M) = 0, L η (p M Q n) = 0., L η (Q n p M) = 9.66, L η (M p Q n) = 6,3, c c K K L η (Q n M p) = 0,85, L η (M Q n p) =,05 ; c hm c c K K K K η : L η (p Q n M) = 0., L η (p M Q n) = 9.9, L η (M p Q n) = 0., L η (M Q n p) = 8,8, hm K K L η (Q n p M) =.5, L η (Q n M p) = 0,85 ; v hm hm hm K K K K η : L η (p Q n M) = 48,5, L η (p M Q n) = 36.3, L η (M Q n p) = 37,4, L η (Q n M p) = 35., v K K L η (Q n p M) = 4.3, L η (M p Q n) = v v v Drzea opisane kompleksoym spółczynnikiem złożoności poszczególnych spraności przedstaiono na rysunkach Z kolei optymalne drzea opisane kompleksoym spółczynnikiem złożoności dla poszczególnych spraności na rysunkach hm c v hm c v

219 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 9 M Q n p M Q n p K L = 0 K L = 6,3 Q n M p K L = 0, Rys Kompleksoy spółczynnik złożoności struktur spraności η c

220 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA 0 M Q n p K L = 0, Q n M p K L = 9,9 p M Q n K L = 0, Rys Kompleksoy spółczynnik złożoności struktur spraności η hm

221 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA Rys Kompleksoy spółczynnik złożoności struktur spraności η v

222 OPTYMALIZACJA DYSKRETNA POMPY ZĘBATEJ Z PODCIĘTĄ STOPĄ ZĘBA Rys Optymalny kompleksoy spółczynnik złożoności struktury dla spraności η c Rys Optymalny kompleksoy spółczynnik złożoności struktury dla spraności η hm Rys Optymalny kompleksoy spółczynnik złożoności struktury spraności η v Wśród optymalnych drze logicznych, tzn. z najmniejszą liczba gałęzi (ytycznych realizoalnych), istnieje yróżnione drzeo optymalne, tzn. z najmniejszą artością kompleksoego spółczynnika złożoności. W szczególności za pomocą kompleksoego spółczynnika złożoności struktur poszczególnych spraności z rysunkó identycznie yznaczono optymalne kompleksoe drzea logiczne Q n przy połączonych i rozdzielnych parametrach p i M z rysunkó , co pokazano na rysunku 6.38.