O OPTYMALNYM STEROWANIU TEMPERATURĄ I STĘŻENIEM DWUTLENKU WĘGLA W SZKLARNI

Transkrypt

1 Inżynieria Rlniza 8(7)/9 O OPYMALNYM SEROWANIU EMPERAURĄ I SĘŻENIEM DWULENKU WĘGLA W SZKLARNI Anna Stankiewiz Katedra Pdstaw ehniki, Uniwersytet Przyrdnizy w Lublinie Streszzenie. Systemy sterwania klimatem we współzesnyh szklarniah t złżne struktury wykrzystująe mdel matematyzny sterwaneg presu i nwzesne knepje sterwania. W pray rzważa się zadanie równzesnej stabilizaji temperatury pwietrza i stężenie dwutlenku węgla wewnątrz szklarni przy dinkami stałyh wartśiah zadanyh. Zaprpnwan nwy system sterwania typu feedbak-feedfrward, który pzwala w trze sprzężenia wprzód skuteznie i szybk niwelwać skutki szybkzmiennyh zakłóeń, a w trze sprzężenia zwrtneg d stanu presu zapewnia szybkie zanikanie błędu sterwania. Maierz regulatra dbran ptymalnie w sensie wskaźnika z mnżnikiem zaswym. Słwa kluzwe: sterwanie, klimat, szklarnia, mdel matematyzny, sprzężenie zwrtne, sprzężenie wprzód Wprwadzenie Rlnitw szybk przekształa się w znaząą dziedzinę prdukji, hłnąą nwzesne tehniki infrmatyzne, kmputerwe systemy zintegrwaneg zarządzania raz zaawanswane systemy autmatyki i rbtyki. Odpwiednia temperatura i dpwiednie stężenie dwutlenku węgla wewnątrz szklarni wpływają bk prmieniwania słnezneg na prędkść ftsyntezy, a wię w knsekwenji na prędkść wzrstu uprawy w szklarni [Bakker i in. 995]. W iągu statnih dwudziestu lat pwstał bardz wiele pra sterwaniu klimatem w szklarni. Większść pświęna jest ddzielnemu sterwaniu jedną lub dwma zmiennymi stanu presu. Przykładw, sterwaniu temperaturą wewnątrz szklarni traktuje praa [Arvanitis i in. ]. Sterwanie stężeniem dwutlenku węgla jest rzpatrywane w [Linker i in. 998]. W pray [Linker i in. 997] sterwanie stężeniem O i temperaturą realizwane jest równześnie pprzez dzwanie dwutlenku węgla i dpwiednią wentylaję. elem pray jest synteza systemu sterwania klimatem szklarni, w którym trzy zmienne sterująe: temperatura systemu grzewania, prędkść dzwania dwutlenku węgla raz prędkść przepływu pwietrza przez twry wentylayjne wpływają równześnie na dwie zmienne stanu klimatu: temperaturę pwietrza i stężenie dwutlenku węgla wewnątrz szklarni. 89

2 Anna Stankiewiz System Opisują klimat w szklarni zakłada się, że wnętrze szklarni jest traktwane jak zbirnik pwietrza idealnym wymieszaniu. Równania dynamiki presu wynikają wówzas z bilansu przepływu masy i energii pmiędzy wnętrzem a tzeniem szklarni raz z egzgenneg dpływu masy i energii w wyniku sterwania. Szzegółwy pis tyh presów bazująy przede wszystkim na praah [van Henten 994, 3] wyprwadzn w pray [Stankiewiz 9a]. u pdan tylk pisująe je równania różnizkwe. Dynamikę klimatu szklarni raz wzrstu uprawy pisują trzy zmienne stanu: X temperatura pwietrza wewnątrz szklarni [ ], 3 X stężenie dwutlenku węgla w szklarni [ kg m ], X suha masa uprawy [ kg m ]. d Zmienne sterująe t: U temperatura systemu grzewania [ ], U prędkść dzwania dwutlenku węgla [ kg m s ], U prędkść przepływu pwietrza przez twry wentylayjne [ m s ]. v Nie sterwalne sygnały wejśiwe raz zakłóenia t: V prmieniwanie ieplne na zewnątrz szklarni (nasłneznienie) [ W m ], V temperatura tzenia [ ], 3 V stężenie dwutlenku węgla w pwietrzu na zewnątrz szklarni [ kg m ], Z bilansu energii dstarzanej przez system grzewania, strat energii w wyniku naturalnej wentylaji przez twry kienne i transmisję pprzez śiany raz iepła dstarzaneg przez prmieniwanie słnezne wynika równanie różnizkwe pisująe temperaturę X : dx dt ap,q,v ai,u,q ( U X ) U + ( X V ) + V v pi,ai = () ap,q ap,q ap,q ap,q Wartśi parametrów ap,q, ap,q,v, ai,u,,q i pi,ai pdan w ddatku B. Dynamikę zmian stężenia O w szklarni determinuje bilans prędkśi jeg dzwania, pbru w presie ftsyntezy, wymiany przez twry wentylayjne raz prdukji w presie ddyhania rślin. Stężenie dwutlenku węgla pisuje równanie [Stankiewiz 9a]: dx = dt + ap, ap, ( X α ) β [ X + U ( U + )( X V )] resp, d v leak X ( e pl,d d ) V V ( X + X )( X ),,, 3 Γ ( X + X )( X ) +,,, 3 Γ. () 9

3 O ptymalnym sterwaniu...,3 Wartśi raz interpretaję fizyzną parametrów ap,,,, resp,,,,, α i β pdbnie jak pprzedni, pdan w ddatku B. Γ pl,d leak,,,, O dynamie zmian suhej masy uprawy deyduje bilans prędkśi ałkwitej prdukji ukrów w wyniku pbru dwutlenku węgla w presie ftsyntezy raz prędkść knsumpji ukrów w presie ddyhania rślin; pisuje ją równanie różnizkwe: dx V ( X + X )( X ) d pl,d X d,,, 3 Γ = e αβ dt V + ( X + X )( X ),,, 3 Γ (3) ( X α ) β X resp,d d Shemat strukturalny systemu złżneg z trzeh pdsystemów ilustrująy przepływy sygnałów i interakje pmiędzy nimi przedstawia rysunek. Opróz iaji słneznej wejśiami pdsystemu 3 są wyjśia X i X pdsystemów i. Sterwanie wzrstem uprawy dbywa się wię pprzez sterwanie klimatem szklarni. Równześnie wzrst uprawy wpływa na przebieg presów klimatyznyh szklarni pprzez sprzężenie pdsystemów i 3. U V V U v Pdsystem emperatura X U v U V V Pdsystem Stężenie O X X X d V X X Pdsystem 3 Uprawa X d Rys.. Fig.. Struktura systemu klimat i uprawa w szklarni Strutural diagram f the greenhuse limate and rp prdutin presses Mdel Zdefiniujemy wektry: stanu presu, sterwań, zakłóeń mierzalnyh i zakłóeń nie mierznyh, dpwiedni, jak x = [ ], u = [ U U U ], v = [ ], [ ] X X v V V z = V X d. (4) 9

4 Anna Stankiewiz W punkie pray są ne następująe: x, u, v i z. Nieh Δ x = x x, Δ u = u u, Δ v = v v i Δ z = z z będą przyrstami tyh wektrów w tzeniu punktu pray. W pray [Stankiewiz 9a] pkazan, że klimat w szklarni mżna pisać równaniem stanu Δ x& = AΔ x+b Δ u+ Δ v+ E Δ z, (7) w którym maierz stanu i maierz wejść są następująe: A A =, A A B = pi,ai ap,q ap, ap,q,v ap,q ap, ( X V ),, X V,,, (8) a elementy A, A, A zdefiniwane są, dpwiedni, wzrami (A.)-(A.3) w ddatku A. Maierze zakłóeń mierzalnyh i niemierzalnyh t: = ap,q,v ap,q U v, + ai,u ap,q ap, U + v, leak,q ap,q, E =, (9) E E gdzie elementy E, E dane są, dpwiedni, wzrami (A.4), (A.5) w ddatku A. W pray [Stankiewiz 9a] pkazan, na przykładzie znaneg w literaturze presu klimatyzneg, że rzezywisty nieliniwy pis presu jest bardz dbrze aprksymwany przez mdel liniwy w zakresie typwyh zmian sygnałów sterująyh i zakłóeń. Sterwanie Rzważmy zadanie nadążania zmiennyh X i X za dinkami stałymi wartśiami zadanymi X i X. Wartśi te są wyznazane przez nadrzędną warstwę ptymalizaji presu, kreślająą punkt pray ptymalny dla aktualneg etapu wzrstu uprawy i aktualneg stanu tzenia szklarni lub ih dbór i zmiany w zasie zależą d dświadzenia i wiedzy spejalistów - grdników. Zmieniają się ne z reguły kilka, rzadziej kilkanaśie razy w zasie dby. Układ sterwania feedbak-feedfrward Nieh x = [ X ] X będzie wektrem wartśi zadanyh zmiennyh stanu presu. Synteza algrytmu sterwania będzie bazwała na mdelu uprszznym Δ x& = AΔ x+b Δ u+ Δ v. () 9

5 O ptymalnym sterwaniu... Załżenie, iż przyrst zakłóeń Δ z jest zerwy, znaza jedynie, że w rzpatrywanym hryznie zasu zakłóenia te traktujemy jak stałe. Jeśli wartśi zadane są stałe w zasie (w dstateznie długim hryznie zasu), t sterwanie u stabilizująe wektr stanu mdelu () na wartśi zadanej x dane jest wzrem Δu = B [ BB ] AΔ x B [ BB ] Δ v. () gdzie Δ x = x x. Pdstawiają () d równania (7) trzymujemy e& = Ae+ E Δ z, gdzie e = x x jest wektrem błędu regulaji, drugi składnik algrytmu () spełnia wię rlę idealneg kmpensatra zakłóeń v. Maierz stanu A jest asympttyznie stabilna, pnieważ jej wartśi własne są ujemne dla dwlnyh wartśi parametrów fizyznyh presu. Stąd, jeśli zakłóenia Δ z są zerwe, t błąd sterwania asympttyznie dąży d zera. Jednak taki pres stabilizaji błędu sterwania przebiega zazwyzaj bardz wln, znaza, że próz sterwania () należy zastswać krygująą składwą przejśiwą sterwania u, zyli p u = u +. () Składwą przejśiwą sterwania będziemy dbierać jak u p = Fe, (3) zyli zastsujemy statyzne sprzężenie zwrtne d stanu (błędu) presu. Na pdstawie równań ()-() błąd sterwania dany jest równaniem różnizkwym e& = Ae+Bu p. (4) Strukturę systemu sterwania feedbak-feedfrward pisaneg równaniami ()-(3) przedstawia rysunek. Pnieważ na pdstawie () sterwanie u mżna przedstawić w pstai u p [ BB ] Ax B [ BB ] v u u = B +, (5) gdzie składwa u = B [ BB ] [ ] Ax + B BB v + u, w strukturze układu sterwania rzdzieln składwą zależną d wektra x d składwej zależnej d zakłóeń v i stałej składwej u. Dwie pierwsze składwe sterwania (5) generwane są przez statyzne sprzężenie d x i zakłóeń v. Aby uzyskać szybkie zanikanie błędu sterwania d zera i równześnie minimalizwać kszty sameg sterwania maierz F będziemy dbierać ptymalnie w sensie wskaźnika kwadratweg z mnżnikiem zaswym. Wskaźnik ten, znany w terii sterwania już d kilkudziesięiu lat [Fukata i amura 984; Stankiewiz 994], jest skuteznie stswany w wielu dziedzinah tehniki, nie był natmiast dtyhzas stswany w sterwaniu klimatem szklarni. 93

6 Anna Stankiewiz u v z B [ BB ] A B [ BB ] x e Regulatr F u p u u Pres klimatyzny szklarni x Źródł: prawanie własne Rys.. Fig.. Struktura układu sterwania klimatem w szklarni he strukture f the greenhuse limat ntrl system Sterwanie ptymalne w sensie wskaźnika ałkweg z mnżnikiem zaswym Nieh będzie dany liniwy stajnarny system dynamizny (4) i nieh x & = Ax + Bu; E{ x x } = Φ. Przyjmiemy kwadratwy wskaźnik jakśi sterwania z mnżnikiem y = x zaswym ( tx D Dx u Ru) J = E + dt, (6) gdzie Q i R są maierzami i 3 3 wymiarwymi. Załżymy, że sterwanie u jest generwane zgdnie z (3). Prblem syntezy ptymalneg sterwania plega na p wyznazeniu maierzy F minimalizująej wskaźnik J (6) przy granizeniah (3), (4). Maierze wagwe Q i R pwinny być dbierane dla każdeg systemu indywidualnie. Pierwszy ze składników wskaźnika (6) jest miarą błędu regulaji, zastswanie + mnżnika t wymusza szybkie zanikanie błędu J = E ( tx D Dx u Ru) dt d zera. Drugi składnik, eniająy składwą przejśiwą sterwania, jest pewną miarą ksztów sterwania. Przy łatwyh d spełnienia załżeniah rzwiązanie pstawineg prblemu istnieje; rzstrzyga t pniższe twierdzenie. Jeg dwód pmijamy, pnieważ jest n analgizny d dwdów twierdzeń -3 w pray Stankiewiz [994]. 94

7 O ptymalnym sterwaniu... wierdzenie. Jeśli R = R >, Φ = Φ > i Q = Q, t maierz sprzężenia zwrtneg F minimalizująa wskaźnik J istnieje i spełnia kniezne warunki ptymalnśi: F = R B ΣU + WM U, (7), gdzie symetryzne ddatni półkreślne maierze Σ i W są jedynymi rzwiązaniami algebraiznyh równań Lapunwa (ang. Algebrai Lapunw Equatin ALE) ( A+ BF) + ( A+ BF) Σ + F RF+ W =, Σ (8) W ( A BF) + ( A+ BF) W + D D =, + (9) a symetryzne ddatni kreślne maierze U i M są jednznaznie dane równaniami ALE A + BF U + U A+ BF + Φ =, () ( A BF) M + M ( A+ BF) + U =. + () W pray Stankiewiz [994] pdan glbalnie zbieżny algrytm numeryzny wyznazania ptymalnej maierzy sprzężenia zwrtneg spełniająej warunki ptymalnśi (7)- (). Pdsumwanie W pray zaprpnwan nwy układ sterwania temperaturą i stężeniem O w szklarni. Zastswan strukturę feedbak-feedfrward, w której bk sprzężenia zwrtneg d stanu presu raz sprzężenia wprzód d pmiarw dstępnyh zakłóeń występuje także sprzężenie d wartśi zadanej raz składwa stała. Statyzne sprzężenie wprzód d szybkzmiennyh zakłóeń zapewnia ih skutezną kmpensaję, jeśli tylk mdel dbrze przybliża rzezywisty system. Dzięki statyznemu sprzężeniu wprzód d wartśi zadanej, w trze sprzężenia zwrtneg nie jest niezbędne ani destabilizująe układ ałkwanie, ani zmniejszająe dprnść układu na szybkzmienne zakłóenia różnizkwanie. Maierz regulatra dbran ptymalnie w sensie ałkweg wskaźnika z mnżnikiem zaswym. Skuteznść zaprpnwaneg układu sterwania pkazan na znanym w literaturze przykładzie presu klimatyzneg szklarni w klejnej pray [Stankiewiz 9b]. Ddatek A - parametry mdelu (7) A + ap,q,v ai,u = U + v, ap,q ap,q pi,ai (A.) 95

8 Anna Stankiewiz A = ln β A ap, = E ( e pl,d X d, ) V ( X ) X α β Γ,, Γ X resp, d, [ V + Γ ( X )] ap,,, Γ X ( e pl,d d, ) V Γ, U + v, leak [ V + Γ ( X )] ap, ap,,, Γ X d, ( e ) pl,d Γ X, Γ E = [ V + Γ ( X )] ap,,, Γ Γ ( ) resp, V X α β pl,d pl,d X d,,, Γ X = ap, gdzie Γ = ( X + X ) i = ( X + ),,,,,, 3 ap, e Γ Γ.,, (A.) (A.3) (A.4) (A.5) Ddatek B - parametry i stałe fizyzne występująe w pisie presu i jeg mdelu Wartśi parametrów harakteryzująyh własnśi fizyk-hemizne presów klimatyzneg i uprawy w szklarni zazerpnięt z pra van Hentena [994, 3]. Są ne następująe: 3 = J m - pjemnść ieplna atmsfery szklarni, ap,q 3 9 ap,q,v = J m - pjemnśią ieplną na jednstkę bjętśi atmsfery szklarni, pi,ai = 5 W m - współzynnik przenszenia iepła, ai,u = 6 W m - współzynnik przewdnitwa ieplneg przez twry w szklarni, [ bezw. ],q =. - współzynnik phłaniania iepła prmieniwania słnezneg, 3 ap, = 4. m m - pjemnść bjętśiwa dwutlenku węgla atmsfery w szklarni, 7 resp, = s 9 = 355. kg J 6 = 5. m s,, - współzynnik prędkśi ddyhania pdzas prdukji O, - współzynnik sprawnśi świetlnej ftsyntezy, =. 3 m s 4,,, 3 4 = 6. 9 m s - współzynniki temperaturweg efektu dyfuzji O w liśiah uprawy, α = 5, β = - temperaturwe współzynniki prędkśi ddyhania rślin, 5 3 Γ = 5. kg m - punkt kmpensaji O, 4 leak =. 75 m s - prędkść samistnej wymiany pwietrza przez twry w szklarni, 96

9 O ptymalnym sterwaniu... pl,d = 53 m kg - współzynnik efektywnej pwierzhni dahu na jednstkę suhej masy uprawy, =. 544 [ bezw. ] - współzynnik wydajnśi ftsyntezy, αβ 7 resp,d =. 65 s - współzynnik prędkśi ddyhania pdzas pbru O. Bibligrafia Arvanitis K.G., Paraskevpuls P.N., Vernards A.A.. Multirate adaptive temperature ntrl f greenhuses. mputers and Eletrnis in Agriulture. Vl. 6. s Bakker J.., Bt G.P.A., halla H., Van de Braak N.J. (Eds.) 995. Greenhuse limate ntrl: An Integrated Apprah. Wageningen Pers, Wageningen. Fukata S., amura H he Ealuatin f ime-weighted Quadrati Perfrmane Indies fr Disrete and Sampled-Data Systems. Int. Jurnal f ntrl, Vl. 39. s Henten E.J. van, 994. Greenhuse limate management: an ptimal ntrl apprah. Ph. D. hesis, Institute f Agriultural and Envirmental Engineering, Landbuwuniversiteit te Wageningen. he Netherlands. Henten E.J. van, 3. Sensitivity Analysis f an Optimal ntrl Prblem in Greenhuse limate Management. Bisystems Engineering. Vl. 85(3). s Linker R., Gutman P.O., Seginer I Simultaneus ntrl f temperature and O nentratin in greenhuses. Preedings f IFA:ISHS 3rd Wrkshp n Mathematial and ntrl Appliatins in Agriulture and Hrtiulture, Hannver. Germany. s Linker R., Seginer I., Gutman P.O Optimal O ntrl in a greenhuse mdeled with neural netwrks. mputers and Eletrnis in Agriulture. Vl. 9. s Stankiewiz A Numerial Algrithm fr the Optimal Output Feedbak Design using ime- Multiplied Perfrmane Index. Preedings f the nd Biennial Eurpean Jint nferene n Engineering Systems Design and Analysis 994, Lndn. Vl s Stankiewiz A. 9a. O ptymalnym sterwaniu klimatem w szklarni. Ata Sientiarum Plnrum, Seria ehnia Agraria (w druku). Stankiewiz A. 9b. Optymalne sterwanie temperaturą i stężeniem dwutlenku węgla w wybranym presie klimatyznym szklarni. Inżynieria Rlniza (w druku). 97

10 Anna Stankiewiz ON HE OPIMAL ONROL OF EMPERAURE AND O ONENRAION IN GREENHOUSE Abstrat. he ptimal ntrl f greenhuse limate has reeived nsiderable attentin in agriultural engineering researh. In this paper a new feedbak-feedfrward ntrl system is prpsed fr the state variables stabilizatin n pieewise nstant user-desired r mputed by the upper level set-pints fr temperature and O nentratin. he prpsed ntrl struture nsists f tw main parts: a mdel based feedfrward mpensatin f external disturbanes and the mdel based ptimal feedbak simultaneus ntrl f the greenhuse temperature and O nentratin. he applied dempsitin is able t deal with rapidly flutuating deterministi external inputs r disturbanes ating n the system by feedfrward stati mpensatin and guarantee the fast deay f the ntrl errr due t the stati state feedbak with nstant gain matrix ptimal in the sense f timemultiplied quadrati index. In a frthming paper, the simulatin experiments will be nduted fr the knwn in the literature example f the prdutin f a lettue rp by the use f the Simulink tlbx f Matlab in rder t demnstrate the effetiveness f the ntrl system prpsed. Keywrds: greenhuse limate ntrl, mdel based ntrl, feedbak ntrl, feedfrward ntrl, time-multiplied perfrmane index Adres d krespndenji: Anna Stankiewiz; anna.stankiewiz@up.lublin.pl Katedra Pdstaw ehniki Uniwersytet Przyrdnizy w Lublinie ul. Dświadzalna 5A -8 Lublin 98