OPTYMALNE STEROWANIE TEMPERATURĄ I STĘŻENIEM DWUTLENKU WĘGLA W WYBRANYM PROCESIE KLIMATYCZNYM SZKLARNI

Transkrypt

1 Inżynieria Rlnicza 9(8)/009 OPYMALNE SEROWANIE EMPERAURĄ I SĘŻENIEM DWULENKU WĘGLA W WYBRANYM PROESIE KLIMAYZNYM SZKLARNI Anna Stankiewicz Katedra Pdstaw echniki, Uniwersytet Przyrdniczy w Lublinie Streszczenie. W pracy rzważa się zadanie równczesneg sterwania temperaturą pwietrza i stężeniem dwutlenku węgla wewnątrz szklarni dla wybraneg, znaneg w literaturze, systemu klimatyczneg szklarni. Sterwanie realizwane jest w systemie sterwania typu feedback-feedfrward, który pzwala w trze sprzężenia wprzód skutecznie i szybk kmpenswać skutki szybkzmiennych deterministycznych zakłóceń, a w trze sprzężenia zwrtneg d stanu prcesu zapewnia szybkie zanikanie błędu sterwania. Macierz regulatra dbran ptymalnie w sensie całkweg wskaźnika kwadratweg z mnżnikiem czaswym. Wyniki eksperymentów przeprwadznych z wykrzystaniem prgramu Matlab/Simulink dwdzą skutecznści zastswanej struktury i algrytmu sterwania. Słwa kluczwe: sterwanie, klimat, szklarnia, mdel matematyczny, sprzężenie zwrtne, sprzężenie wprzód Wprwadzenie Wlnzmienne prcesy bilgiczne i relatywnie szybkzmienne prcesy fizykchemiczne rządzące klimatem i wzrstem uprawy w szklarni są bardz złżne. Skuteczne sterwanie klimatem i wzrstem uprawy w szklarni wymaga więc stswania dpwiednich struktur i algrytmów. Stswane dtychczas regulatry PI/PID, bardz częst strjne manualnie, dziś zastępują zaawanswane, bazujące na mdelu matematycznym sterwaneg prcesu, struktury i algrytmy sterwania ptymalneg wykrzystujące na bieżąc zarówn pmiary zmiennych stanu prcesu, jak i części zakłóceń (stężenie O, temperatura, prędkść wiatru, wilgtnść względna pwietrza na zewnątrz szklarni). W pracy rzważa się zadanie równczesneg sterwania stężeniem O i temperaturą wewnątrz szklarni. W pracy [Stankiewicz 009a] dla zadania stabilizacji stanu prcesu przy dcinkami stałych wartściach zadanych współrzędnych stanu zaprpnwan system sterwania klimatem wykrzystujący sprzężenie wprzód d mierznych zakłóceń raz sprzężenie zwrtne d stanu prcesu. Macierz regulatra dbran ptymalnie w sensie całkweg wskaźnika kwadratweg z mnżnikiem czaswym - zapewnia t szybkie zanikanie błędu sterwania. W pracy zilustrujemy skutecznść tej kncepcji sterwania dla przykładweg, zaczerpnięteg z literatury prcesu klimatyczneg uprawy sałaty w szklarni. 73

2 Anna Stankiewicz Układ sterwania feedback-feedfrward klimatem szklarni W pracy [Stankiewicz 009a] rzwiązan zadanie stabilizacji współrzędnych stanu prcesu klimatyczneg szklarni: temperatury pwietrza X i stężenia dwutlenku węgla X wewnątrz szklarni przy dcinkami stałych wartściach zadanych X i X. Bazując na liniwym stacjnarnym mdelu prcesu klimatyczneg Δ x& = AΔ x+b Δ u+ Δ v+ E Δ z, () gdzie Δ x = x x, Δ u = u u, Δ v = v v i Δ z = z z są przyrstami wektrów stanu prcesu, sterwań, zakłóceń mierzalnych i zakłóceń nie mierznych x = [ ], u = [ U U U ], v = [ ], [ ] X X v V V z = V rad X d () w tczeniu punktu pracy x, u, v i z, zaprpnwan system sterwania wykrzystujący w trze sprzężenia wprzód pmiary temperatury V raz stężenia dwutlenku węgla V na zewnątrz szklarni. Zmiennymi sterującymi są: temperatura systemu grzewania U, prędkść dzwania dwutlenku węgla U i prędkść przepływu pwietrza przez twry wentylacyjne U. Strukturę systemu przedstawia rysunek w pracy [Stankiewicz v 009a]. Sterwanie u jest sumą składwej x u = u +. (3) u, danej zgdnie ze wzrem (5) w [Stankiewicz 009a], frmułą u p [ BB ] Ax B [ BB ] v u u = B +, (4) X X u = B BB Ax + B BB v + u raz składwej przejściwej generwanej przez sprzężenie zwrtne d błędu sterwania e = x x gdzie = [ ], a składwa stała [ ] [ ] u p = Fe. (5) Dwie pierwsze składwe sterwania (4) generwane są przez statyczne sprzężenie d x i v. Macierz statyczneg sprzężenia zwrtneg F dbiera się ptymalnie w sensie wskaźnika, (6) gdzie Q = Q 0 i R = R > 0 są symetrycznymi macierzami, dpwiedni, i 3 3 wymiarwymi, któreg pierwszy składnik dzięki zastswaniu mnżnika t wymu- 74

3 Optymalne sterwanie temperaturą... sza szybkie zanikanie błędu d zera. Przy łatwych d spełnienia załżeniach macierz sprzężenia zwrtneg F minimalizująca wskaźnik istnieje (pr. wierdzenie [Stankiewicz 009a]). Przykładwy system klimatyczny Rzważmy prces uprawy sałaty pisany szczegółw w pracach [van Henten 994; van Hentena i Bntsema 009]. Przyjmując parametry fizyk-chemiczne prcesów pdane w ddatku B w pracy [Stankiewicz 009a] na pdstawie równań ()-(3) z pracy [Stankiewicz 009a] trzymujemy następujący pis dynamiki prcesów zachdzących w szklarni. Pdsystem. emperatura: (7) Pdsystem. Stężenie O : dx dt 4. 7 ( ) [ ( )( )] 0. X. 5 4 = X + U U X V d v V ( ) ( 5. 0 X +. 30X 6. 9)( X 5. 0 ) rad e V + ( 5. 0 X +. 30X 6. 9)( X 5. 0 ) Pdsystem 3. Uprawa: dx dt rad d 7 ( 0. X. 5) = X d 9 3 X V ( ) ( 5. 0 X +. 30X 6. 9)( X 5. 0 ) d rad e V + ( 5. 0 X X 6. 9)( X 5. 0 ) rad System pisany równaniami (7)-(9) zamdelwan w prgramie Matlab/Simulink, schemat układu przedstawia rysunek. Na rysunku przedstawin przykładwy mdel pdsystemu. U Mdel liniwy w przestrzeni stanów Przyjmiemy następujące współrzędne punktu pracy: X = 4.,, 776 () t = kg m V,, 6 U, = kg m s, V rad, = 00 W m i X d, =,, 0 = 0 00 m (8) (9) X,. kg, m V = 4,, U v, = 0. 0 s, = 0. kg m. Macierze liniweg mdelu wyznaczneg w tym punkcie pracy są na pdstawie wzrów (7), (8) i (A.)-(A.5) z pracy [Stankiewicz 009a] następujące: 75

4 Anna Stankiewicz Wskaźnik jakści Przyjmiemy następujące macierze wagwe wskaźnika J = E { } 0 ( tx D Dx + u Ru) R=diag,.,.,, a także załżymy, że macierz kwariancji warunku pczątkweg = diag{ 4, 0 } 8 dt (6) Φ. Przebiegi wartści zadanych w czasie gdzin przedstawin na rysunku 5. Załżn, że na układ działają szybkzmienne zakłócenia: temperatury, stężenia dwutlenku węgla i nasłnecznienia na zewnątrz szklarni. Ich przebiegi przedstawia rysunek 3. 5V3UV4UPdsystem. V X U X emperatura6xux V U X Pdsystem 3. Uprawa X X X Pdsystem. Stezenie O X 3 Źródł: pracwanie własne autrki Rys.. Fig.. System klimat i uprawa w szklarni zamdelwany w prgramie Matlab/Simulink Matlab/Simulink mdel f the greenhuse climate and crp prductin prcesses system 76

5 Optymalne sterwanie temperaturą... -/ /5000 -K- Prduct X V -K- 9/3000 V dx/dt s Integratr 0 X 3 U U -K- / K- 0./30000 Źródł: pracwanie własne autrki Rys.. Pdsystem temperatura w szklarni zamdelwany w prgramie Matlab/Simulink Fig.. Matlab/Simulink mdule fr the temperature subsystem V V (t) [ rad (t) [W m - ] ] temperatura, temperature V (t) czas, time t [s] x 0 4 naslneczniennie, slar rad. V rad (t) czas, time t [s] x 0 4 V (t) [kg m -3 ] 8 x stezenie O, O cnc. V (t) czas, time t [s] x 0 4 Źródł: pracwanie własne autrki Rys. 3. Fig. 3. Zakłócenia: temperatury, stężenia dwutlenku węgla i radiacji na zewnątrz szklarni Disturbances f temperature, O cncentratin and slar radiatin utside the greenhuse Sterwanie ptymalne W pracy [Stankiewicz 994] zaprpnwan, a w pracy [Stankiewicz 995] rzwinięt glbalnie zbieżny algrytm numeryczny wyznaczania ptymalnej macierzy sprzężenia zwrtneg, który wymaga w klejnych iteracjach tylk rzwiązania liniwych i nielini- 77

6 Anna Stankiewicz wych równań algebraicznych. Schemat ten zaimplementwan w prgramie Matlab i w rzpatrywanym przykładzie wyznaczn macierz ptymalneg sprzężenia zwrtneg:. Na rysunku 4 przedstawin układ sterwania zamdelwany zgdnie z równaniami (3)-(5). w prgramie Matlab/Simulink (pr. też rysunek w pracy [Stankiewicz 009a]). Ddatkw wprwadzn tu dla trzech zmiennych sterujących elementy graniczające (blk Saturatin), dzięki którym sygnały sterujące przyjmują wartści dpuszczalne: 0 U 90, 0 U 0 kg m s i 0 U v m s (pr. [van Henten 994; Stankiewicz 009b]). Sterwanie realizwane w układzie z elementami graniczającymi jest czywiście tylk subptymalne w sensie wskaźnika J. Sterwanie ptymalne realizwane jest w układzie bez graniczników. Przebiegi zmiennych stanu klimatu i dpwiednich wartści zadanych uzyskane dla F i zakłóceń z rysunku 3 w układzie sterwania z granicznikami i bez ilustruje rysunek 5; na rysunku 6 przedstawin przebiegi sygnałów sterujących dla systemu sterwania z rysunku 4. W tabeli zestawin czas sterwania raz przeregulwanie w układach stabilizacji temperatury stężenia O z elementami graniczającymi i bez; czas regulacji dla zmiennej X wyznaczn z dkładnścią d. 0, dla zmiennej X z dkładnścią d kg m. V V X* X* x* x u K*u -BpA u* e K*u up Regulatr F e v K*u -Bp U u U Saturatin System Klimat i uprawa w szklarni V V U U X X U X,X e U Źródł: pracwanie własne autrki Rys. 4. Fig. 4. Układ sterwania feedback-feedfrward prcesem klimatycznym szklarni zamdelwany w prgramie Matlab/Simulink Matlab/Simulink mdel f the feedback-feedfrward cntrl system fr greenhuse climate prcess 78

7 Optymalne sterwanie temperaturą... X (t) [ ] temperatura, temperature X (t) czas, time t [s] x 0 4 X (t) [kg m -3 ] x stezenie O, O cnc. X (t) czas, time t [s] x 0 4 Źródł: pracwanie własne autrki Rys. 5. Fig. 5. Zmienne stanu: temperatura i stężenie O w układzie sterwania z granicznikami (linia niebieska) i bez (linia zielna) raz ich wartści zadane (linia czerwna) he state variables: greenhuse air temperature and carbn dixide cncentratin fr cntrl system with saturating actuatrs (blue line), system withut saturating actuatrs (green line) and the set pints (red line) temperatura syst.grzew., heating temperature U (t) 80.5 x 0-5 dzwanie O, O supply rate U (t) 0.0 predksc wentylacji, ventilatin rate U v (t) U (t) [ ] U (t) [kg m - s - ] 0.5 U v (t) [m s - ] czas, time t [s] 4 x czas, time t [s] x czas, time t [s] x 0 4 Źródł: pracwanie własne autrki Rys. 6. Fig. 6. Sygnały sterujące dla sterwania ptymalneg w układzie sterwania z granicznikami he cntrl signals fr ptimal cntrl system with saturating actuatrs Pdsumwanie Na znanym w literaturze przykładzie prcesu klimatyczneg szklarni pkazan skutecznść zaprpnwaneg systemu sterwania temperaturą i stężeniem O w szklarni. Zastswana struktura układu feedback-feedfrward, dzięki statycznemu sprzężeniu wprzód d szybkzmiennych deterministycznych zakłóceń zapewnia ich skuteczną kmpensację. W trze sprzężenia zwrtneg zastswan scentralizwany regulatr własn- 79

8 Anna Stankiewicz ściach statycznych, jeg macierz dbran ptymalnie w sensie wskaźnika z mnżnikiem czaswym, c zapewnił szybkie (a nawet rewelacyjnie szybkie w przypadku sterwania stężeniem dwutlenku węgla) zanikanie błędu sterwania. Zastswana struktura sterwania nie wymaga ani destabilizująceg i spwalniająceg układ całkwania regulatra PI, ani zmniejszająceg dprnść układu na szybkzmienne zakłócenia różniczkwania regulatra PD. abela. Ocena jakści sterwania w układzie z elementami graniczającymi (klumna A) i bez graniczników (klumna B) (źródł: bliczenia własne autrki) able. he cntrl quality fr the system with saturating actuatrs (clumn A) and withut saturating actuatrs (clumn B) ) Stabilizacja temperatury w szklarni zas sterwania [ s ] Przeregulwanie [%] Wartść zadana A B A B Stężenie dwutlenku węgla kg m kg m kg m Źródł: bliczenia własne Bibligrafia Henten E.J. van, 994. Greenhuse climate management: an ptimal cntrl apprach. Ph. D. hesis, Institute f Agricultural and Envirmental Engineering, Landbuwuniversiteit te Wageningen, he Netherlands. Henten E.J. van, Bntsema J ime-scale decmpsitin f an ptimal cntrl prblem in greenhuse climate management. ntrl Engineering Practice. Vl. 7, s Stankiewicz A Numerical Algrithm fr the Optimal Output Feedback Design using ime- Multiplied Perfrmance Index. Prceedings f the nd Biennial Eurpean Jint nference n Engineering Systems Design and Analysis 994, Lndn. Vl. 64-6, s Stankiewicz A On the ptimal utput feedback design using time-multiplied perfrmance index. Prc. Secnd Internatinal Sympsium n Methds and Mdels in Autmatin and Rbtics, Miedzyzdrje 995. s Stankiewicz A. 009a. O ptymalnym sterwaniu temperaturą i stężeniem dwutlenku węgla w szklarni. Inżynieria Rlnicza 8(7). s Stankiewicz A. 009b. O ptymalnym sterwaniu klimatem w szklarni. Acta Scientiarum Plnrum, Seria echnica Agraria (ddan d druku). 80

9 Optymalne sterwanie temperaturą... OPIMAL ONROL OF EMPERAURE AND ARBON DIOXIDE ONENRAION IN SELEED GREENHOUSE LIMAE PROESS Abstract. he cntrl f the temperature and carbn dixide cncentratin inside the greenhuse is an imprtant tl t cntrl crp grwth bth in a qualitative as well as in a quantitative sense in view f the hrticultural practice f mdern greenhuses. he simulatin experiments were cnducted fr simultaneus cntrl f the temperature and carbn dixide cncentratin fr the knwn in the literature example f the prductin f a lettuce crp by the use f the Simulink tlbx f Matlab. he effectiveness f the mdel based feedback-feedfrward cntrl system is demnstrated fr the state variables stabilizatin n piecewise cnstant user-desired r cmputed by the upper ptimizatin level set-pints. Key wrds: greenhuse climate cntrl, feedback cntrl, feedfrward cntrl, time-multiplied perfrmance index Adres d krespndencji: Anna Stankiewicz; anna.stankiewicz@up.lublin.pl Katedra Pdstaw echniki Uniwersytet Przyrdniczy w Lublinie ul. Dświadczalna 50A 0-80 Lublin 8