ZAGADNIENIA ODWROTNE PRZEWODZENIA CIEPŁA W ZASTOSOWANIU DO WYZNACZANIA CHARAKTERYSTYK MATERIAŁÓW

Transkrypt

1 17/ Archives of Foundry, Year 001, Volume 1, 1 (/) Archiwum Odlewnictwa, Ro 001, Roczni 1, Nr 1 (/) PAN Katowice PL ISSN ZAGADNIENIA ODWRONE PRZEWODZENIA CIEPŁA W ZASOSOWANIU DO WYZNACZANIA CHARAKERYSYK MAERIAŁÓW SRESZCZENIE Z.IGNASZAK 1, H.KAMIŃSKI, G.SYPNIEWSKA KAMINSKA 1 Instytut echnologii Materiałów, Instytut Mechanii Stosowane Politechnia Poznańsa, ul. Piotrowo 3, POZNAŃ W artyule rzedstawiono rzyłady ratycznych sosobów rozwiązywania zagadnień odwrotnych znaduące zastosowanie do wyznaczania cielnych charaterysty materiałów. Podano założenia, sformułowania oraz rzerowadzono analizę iteracynych i bezośrednich metod rozwiązywania tych zagadnień. Wsazano na otrzebę rozwou tych metod w owiązaniu z metodyą ieczołowicie rzerowadzonego eserymentu. Key words: thermal data of materials, heat transfer, inverse solution, direct and iterative methods. 1. WPROWADZENIE W warunach szeroiego stosowania otymalizaci technologii odlewania na drodze virtual rototying bezdysusyna est otrzeba oszuiwania efetywnych metod identyfiaci i wantyfiaci baz danych materiałowych [1,]. W ostatnich latach zagadnienia odwrotne rzewodnictwa cieła wyorzystywane są coraz częście do tego celu. Ich zastosowania dotyczą głównie roblemów identyfiaci stałych materiałowych taich a n. wsółczynni rzewodnictwa cieła czy też wsółczynni rzemowania cieła w celu oreślenia warunów ontatu w uładzie odlew-forma. Zastosowania metod odwrotnych maą na celu oreślenie wielości niezbędnych do ełnego zdefiniowania założonego modelu rocesów zachodzących w uładzie odlew forma, a nie- 1 Dr hab.inż. rof.politechnii Poznańsie, zenon.ignasza@ut.oznan.l Dr inż., henry.aminsi@ut.oznan.l

2 dostęnych rzez bezośredni omiar. Wyznaczenie tych wielości wymaga znaomości zmian temeratury w wybranych untach uładu odlew-forma. Zagadnienia odwrotne rzewodnictwa cieła obemuą bardzo szeroą roblematyę. Wg [3] rozróżniamy nastęuące rodzae zagadnień odwrotnych: zagadnienia graniczne, nazywane również zagadnieniami identyfiaci temeratury, zagadnienia wsółczynniowe i graniczne, czyli zagadnienia identyfiaci charaterysty materiałowych i warunów na brzegu obszarów, zagadnienia identyfiaci funci źródła cieła, zagadnienia odtwarzania historii rocesu, zagadnienia wyznaczania ształtu obszaru, w tórym zachodzi roces. (do gruy te należą taże zagadnienia wyznaczania granicy faz). Zagadnieniami naczęście rozważanymi i osiadaącymi nabogatszą literaturę, również w odniesieniu do roblemów sotyanych w odlewnictwie, są zagadnienia ierwsze i drugie gruy. W [4] odano nieco odmienną lasyfiacę metod odwrotnych, dodatowo wyróżniaąc zadania odwrotne i zadania z inwersą. Obie lasyfiace są sóne i umuą lasy zagadnień rozatrywanych w odniesieniu do ratyi i eserymentu. W ninieszym artyule główną uwagę oświęcono zagadnieniom wsółczynniowym.. ISOA ZAGADNIEŃ ODWRONYCH I ICH APLIKACJI W SYMULACJI PROCESÓW W ODLEWNICWIE Ja zostało to dowiedzione, w symulacach numerycznych rocesów odlewania roblemem ogromne wagi est znaomość wartości wsółczynniów termofizycznych, adewatnych do warunów, w aich zachodzi roces. Użyteczność dostęnych w literaturze oraz w bazach odów (systemów) symulacynych wartości wsółczynniów materiałowych, szczególnie w odniesieniu do materiałów formy est w duże mierze ograniczona, a rzynamnie owoduąca nieewność co do aości stosowanych z onieczności wartości [5, 6]. Waruni, w aich wyznaczano te wielości, o ile w ogóle zostały ściśle srecyzowane, z reguły znacznie odbiegaą od warunów rzeczywistych. Kwestii te wiele uwagi oświęcono w monografii [7]. Jaość rezultatów rzerowadzone symulaci numeryczne zależy również w istotny sosób od doładności oreślenia cielnych warunów ontatu metalu i formy, taich a wartości charaterystycznych temeratur, strumień cieła czy wsółczynnii rzemowania cieła, w rzyadu warunu brzegowego II lub III rodzau. Obie te gruy arametrów w zasadniczy sosób wływaą na aość i doładność symulaci rocesów odlewania. Otrzymane wynii obliczeń mogą być obarczone dużym błędem, tórego źródłem est rzyęcie niewłaściwych wartości wsółczynniów, bądź warunów brzegowych daleich od rzeczywistych [6]. rywializuąc, na nic zda się dosonalenie metod numerycznych rozwiązywania zagadnień oczątowo-brzegowych i odów symulacynych wyorzystuących te metody, gdy wsółczynnii materiałowe i waruni brzegowe nie oisuą w

3 zadowalaący sosób rzeczywistości i nie są adewatne ednocześnie do modelowego sosobu uroszczenia warunów anuących w rzeczywistości. Złożoność rocesów zachodzących w czasie zalewania formy oraz óźnie w czasie rzenięcia odlewu, w istotny sosób ogranicza możliwości odtworzenia ich w warunach laboratorynych dla otrzeb eserymentalnego wyznaczania wszystich niezbędnych charaterysty termicznych. W tym świetle aliaca zagadnień odwrotnych, w szczególności zaś wsółczynniowych i granicznych, est bardzo cennym, a czasami wręcz edynym, źródłem uzysiwania danych o rzeczywistych warunach transortu cieła, oreślanych w sosób rzydatny do wrowadzenia do modelu. Wyznaczenie tych wielości wymaga znaomości zmian temeratury w wybranych untach uładu odlew-forma. Ważna est rzy tym świadomość o decyduącym wływie błędu omiaru na aość wyznaczanych wsółczynniów. Metodya omiaru temeratury, zastosowane elementy omiarowe, sosób ich loalizaci i inne czynnii wływaące na błędy statyczni i dynamiczne, muszą być ieczołowicie rzygotowane, zwłaszcza gdy w grę wchodzą temeratura owyże 1000 C [7]. 3. SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ ODWRONYCH Istniee wiele metod rozwiązywania zagadnień odwrotnych rzewodnictwa cieła. Są to zarówno metody analityczne a i numeryczne, rzy czym zares rozwiązań analitycznych est ograniczony ratycznie do roblemów ednowymiarowych. Metody stosowane do rozwiązywania zagadnień odwrotnych zależą w duże mierze od rodzau zagadnienia. Szerszą dysusę na ten temat można znaleźć w monografiach [4, 7]. Sosób, w ai w zagadnieniach odwrotnych odchodzi się do wyznaczenia oszuiwanych wielości, może stanowić odstawę do wyróżnienia metod : iteracynych, bezośrednich. W metodach iteracynych cel osiąga się rozwiązuąc wielorotnie zagadnienie roste. Poszuiwane wielości rzedstawia się a riori w ostaci funci arametrycznych oreślone ostaci. W tracie rocesu iteracynego minimalizue się ewną funcę celu będącą miarą odległości omiędzy wartościami temeratury ochodzącymi z omiaru a wartościami obliczanymi w olene iteraci. Funca celu est funcą arametrów oisuących identyfiowaną wielość. Jao funcę celu naczęście rzymue się błąd wadratowy. Przed ażdym rozwiązaniem zagadnienia rostego wielości oszuiwane są modyfiowane według ustalone rocedury. yowy dla metod iteracynych rzebieg obliczeń rzedstawiono na rys. 1 na rzyładzie odwrotnego zagadnienia wsółczynniowego. W rzyadu zagadnień odwrotnych innych tyów ętlę srzężenia zwrotnego należy soarzyć z odowiednią inną gruą wielości niezbędnych do ełnego zdefiniowania modelu matematycznego rocesu transortu cieła. Metody bezośrednie nie wymagaą rozwiązywania zagadnienia rostego. Ich istota olega na wyznaczaniu oszuiwanych wielości wrost z zależności, otrzymanych o odowiednim rzeształceniu równań modelu matematycznego. Przebieg rocesu

4 obliczeniowego charaterystyczny dla bezośrednich metod rozwiązywania zagadnień odwrotnych oazano na rys.. Schemat dotyczy taże zagadnień wsółczynniowych. 4. MEODY IERACYJNE W ubliaci [8] autor oisue rozwiązanie zagadnienia odwrotnego dla rzyadu wsółczynnia rzemowania cieła we wtórne strefie chłodzenia wlewa. Jest to edna z ierwszych aliaci odtworzenia warunu brzegowego dla otrzeb odlewnictwa. W racy [9] autorzy oszuuą wsółczynnia rzewodności cielne masy formiersie w ostaci wielomianu: Funca celu zdefiniowana została nastęuąco: 4 * F i, i,, 0, 1,, 3 (4.) 5 i1 1 gdzie: i, * (4.1) - zmierzone wartości temeratury w uncie i i chwili czasu, i,, 0, 1,, 3 - wartości temeratury w uncie i i chwili czasu, znalezione ao rozwiązanie zagadnienia rostego w olene iteraci. OBIEK RZECZYWISY Właściwości materiałowe istotne dla rocesu Źródła i uusty cieła MODEL FIZYCZNY Kształt Stan oczątowy Otoczenie Wartości oczątowe dla oszuiwanych właściwości MODEL MAEMAYCZNY Funce źródeł cieła Geometria Waruni oczątowe Waruni brzegowe MEODY OBLICZEŃ WPROS EKSPERYMEN SPECJALNIE OPRZYRZĄDOWANY Wartości temeratury w ażdym uncie obszaru Wartości temeratury w wybranych untach obszaru Modyfiaca wartości oszuiwanych właściwości Rys.1 Schemat metody iteracyne Fig.1 Scheme of iterative method N KRYERIUM Zais wartości PORÓWNAWCZE wsółczynniów KONIEC

5 * Rozwiązania oleno rozatrywanych zagadnień rostych otrzymywano metodą różnic sończonych. Zastosowany model zagadnienia rostego nie uwzględniał szczeliny tworzące się omiędzy formą i odlewem. Do oszuiwania minimum funci celu F ze względu na wartości oszuiwanych stałych 0, 1,, 3 zastosowano nieliniową otymalizacę według Powella [9]. Poszuiwane wielości muszą być rzedstawione ao arametryczna funca temeratury. Funcę celu rzyęto w ostaci błędu wadratowego omiędzy wartościami temeratury zmierzonymi i obliczanymi w olenych roach rocesu iteracynego. Do rozwiązywania zagadnień rostych wyorzystano metodę elementów sończonych. Autor racy [] wsazue na szczególnie istotną zależność wyniów symulaci numeryczne rocesów transortu cieła od termicznych właściwości materiału formy, taich a wsółczynni rzewodności cielne C, cieło właściwe oraz gęstość masy. Proonue więc rocedurę oreślania tych wielości dla stanów nieustalonych, możliwie nabardzie zbliżonych do warunów w obiecie rzeczywistym. W racy [10] może być stosowana do rozwiązywania zarówno wsółczynniowych a i granicznych zagadnień odwrotnych rzewodnictwa cieła. Funcę celu rzyęto w ostaci: OBIEK RZECZYWISY Właściwości materiałowe istotne dla rocesu MODEL FIZYCZNY Źródła i uusty cieła Kształt Stan oczątowy Otoczenie Wartości oszuiwanych właściwości MODEL MAEMAYCZNY Funce źródeł cieła Geometria Waruni oczątowe Waruni brzegowe MEODY OBLICZEŃ WPROS Formuła rzeształcona EKSPERYMEN SPECJALNIE OPRZYRZĄDOWANY Arosymaca temeratury w czasorzestrzeni Wartości temeratury i innych wielości mierzalnych rocesu w wybranych untach obszaru Zais wartości wsółczynniów KONIEC Rys. Schemat metody bezośrednie Fig. Scheme of direct method

6 β N N m c N 0 t m i i β S i1 1 1 (4.3) m i gdzie: - zmierzone wartości temeratury w uncie obszaru i w chwili czasu t i, c i β - obliczone wartości temeratury dla untu obszaru i chwili czasu t i, z rozwiązania zagadnienia rostego, β 1,,..., N - wetor ostaci, - odchylenie standardowe, błąd związany z omiarem temeratury, - długość rzedziału, wewnątrz tórego ażda ze wsółrzędnych wetora 0 może zmieniać się woół ewne, zadane a riori wartości. Za omocą wetora możemy, w zależności od otrzeb, rzedstawić oszuiwany związe: wsółczynnia rzewodnictwa cieła f od temeratury, rzy czym wsółrzędne wetora są wówczas interretowane ao wartości funci f dla wybranych 1,,... N ustalonych wartości temeratury: f (4.4) wsółczynnia rzewodnictwa cieła od temeratury w ostaci nastęuącego wielomianu N N (4.5) g() wsółczynnia rzemowania cieła od temeratury, rzy czym wsółrzędne wetora są wówczas interretowane ao wartości funci g dla wybranych 1,,... N wartości temeratury: g (4.6) q h(t) strumienia cieła q od czasu, rzy czym wsółrzędne wetora są wówczas t 1, t,... t N interretowane ao wartości funci h w ustalonych chwilach czasu ht (4.7) We wyże wymienionych rzyadach, oza wymienionym w drugie oleności, mamy do czynienia z interolacą liniową identyfiowanych zależności. Do rozwiązywania zagadnień rostych w olenych roach rocesu iteracynego wyorzystano metodę elementów sończonych.

7 5. MEODY BEZPOŚREDNIE W racy [11] odęto róbę wyznaczenia zależności wsółczynnia rzewodności cieła od temeratury. Wstęnie założono, że identyfiowana będzie nastęuąca ostać tego związu: (5.1) Po odstawieniu do równania rzewodnictwa cieła t C (5.) w miesce rawe strony wzoru (5.1) i wyonaniu odowiednich rzeształceń, żąda się, by błąd sełnienia równania (5.) w untach obszaru (ednowymiarowego), w tórych mierzono temeraturę i w ażde chwili czasu, w tóre doonywany był omiar, osiągał minimum. Żądanie to dorowadza do uładu równań 0 F =0,1,,3, (5.3) gdzie F est błędem sełnienia równania, danym wzorem N t C F (5.4) Wartości ochodnych ierwszego i drugiego rzędu względem zmienne rzestrzenne uzysiwano z arosymaci rzebiegu temeratury wielomianem trzeciego stonia. Do obliczenia wartości ochodnych czasowych temeratury osłużyła arosymaca wielomianem stonia ósmego. Zdaniem autorów racy [10] oisana wyże metoda nie dawała zadowalaących rezultatów. Odmienne odeście do roblemu oreślania wsółczynnia rzewodnictwa cieła masy formiersie rzedstawiono w racach [1, 13]. Autorzy rozważaą ednowymiarowe zagadnienie odwrotne ostaci:

8 1 a q C t * 0 0 (5.5) (5.6) b b b (5.7) (,0) 0 (5.8) gdzie:, a b wsółrzędne brzegu rozważanego obszaru (tzn. ednowymiarowe róbi), - wsółczynni ształtu, równy: 0 - dla warstwy łasie, 1 dla warstwy walcowe, dla warstwy uliste, C - gęstość ozorna masy formiersie, - e cieło właściwe, q - gęstość strumienia cieła na brzegu a, * b - temeratura otoczenia brzegu b, b - wsółczynni wymiany cieła na brzegu b. W modelu uwzględniono zależność cieła właściwego od temeratury, rzy czym założono, że ostać tego związu, wyznaczona w warunach staconarnych, może być wyorzystana do oisu niestaconarnego ola temeratury. Przyęto onadto, że gęstość const. Idea wyznaczania wsółczynnia rzewodnictwa cieła, zaroonowana w omawianych tuta racach [1,13], olega na scałowaniu równania Fouriera (5.4) w mieszczą- zmiennym obszarze: od brzegu a do ewne wartości wsółrzędne ce się w rzedziale, a b. 1 C d 0 t a a nastęnie na rozwiązaniu równania (5.9) względem wsółczynnia. C (5.9) q a C t a d (5.10)

9 W celu otrzymania (5.10) wyorzystano warune brzegowy (5.6). Należy edna zaznaczyć, że omiar i reestraca q=q(t) est roblemem złożonym i wymaga zastosowania secalnego źródła cieła lub systemu zwanego flusometrem. Pochodne czasową i rzestrzenną temeratury wyznaczono stosuąc secalny algorytm arosymaci temeratur i ochodnych, uzysanych na odstawie omierzonych wartości temeratury. 6. PODSUMOWANIE Wobec stałego niedosytu odnośnie brau wiarygodnych danych literaturowych dotyczących wielości termofizycznych, charateryzuących materiały, stosowane w odlewnictwie zwłaszcza do wyonywania form odlewniczych, wsółczynniowe zagadnienia odwrotne rzewodnictwa cieła wydaą się być wielce obiecuącym narzędziem służącym do identyfiowania tych wielości w rzeczywistych, niestaconarnych warunach. Metody iteracyne rozwiązywania zagadnień odwrotnych są naczęście stosowane. Są to zarazem metody narostsze oęciowo. Wymagaą one srawnego narzędzia obliczeniowego do rozwiązywania zagadnień rostych rzewodnictwa cieła, co w obecne chwili, nawet w odniesieniu do obszarów wielowymiarowych, nie stanowi uż więsze bariery. rzeba sobie edna zdawać srawę z fatu, że do rozwiązywania bardzie złożonych zagadnień w obszarach dwu- lub trówymiarowych, metody te wymagaą duże mocy obliczeniowe. Metody bezośrednie nie maą w dziedzinie odlewnictwa wielu aliaci. Jedna z rzedstawionych w niniesze racy metod [11], omimo że bardzo rosta oęciowo, nie dawała zadowalaących wyniów. Źródło nieowodzeń te metody związane est naszym zdaniem ze złym uwarunowaniem numerycznym obliczania ochodnych. Druga z rzedstawionych metod bezośrednich dotyczyła secyficznego, uroszczonego zagadnienia. Uzysana formuła ońcowa dla wsółczynnia rzewodnictwa cieła [1, 13] nie ma wobec tego cech ogólności. Wydae się edna, że tą drogą można otrzymać taże rozwiązania w innych, bardzie ogólnych rzyadach. Za możliwością aliaci metod bezośrednich w rocesach rzenięcia rzemawia taże fat, że są one z owodzeniem stosowane w zagadnieniach rzewodnictwa cieła w innych obszarach technii. Przy czym mogą to być nie tylo metody taie, a bilansowa metoda oisana w rozdziale 5, ale również inne metody n. metoda elementów brzegowych wyniaąca z teorii otencałów, metoda źródeł ozornych czy inne metody olloacyne. Zaletą metod bezośrednich est to, że w orównaniu z metodami iteracynymi do rozwiązania tego samego roblemu wymagaą znacznie mnieszych mocy obliczeniowych. Ponadto należy rzyomnieć, że dysutuąc roblemy aości rozwiązań zagadnień odwrotnych oniecznie należy analizować ich tzw. słabe uwarunowanie, związane z wrażliwością temeratury na błędy omiarów.

10 LIERAURA [1] Z.Ignasza, P.Miołacza: Chosen asects of gradient criteria correlation with shrinage defects in ost-rocessing rocedure of simulation code. 10th Conference and Ehibition on VIRUAL PROOYPING by NUMERICAL SIMULA- ION EUROPAM 000, Nantes 000. [] Z. Ignasza: Aliacyne uwarunowania rozwou modelowania i symulaci rocesów odlewania.. Materiały Konferenci srawozdawcze Komitetu Hutnictwa PAN, Krynica, 1998 [3] K. Grysa, O ścisłych i rzybliżonych metodach rozwiązywania zagadnień odwrotnych ól temeratur. wyd. Politechnii Poznańsie, Seria Rozrawy Nr 04, Poznań [4] J.S.Suchy: Zastosowanie metod numerycznych w roetowaniu technologii odlewniczych. Krzemięcie Metali i Stoów, wyd. Ossolineum, Wrocław [5] Z.Ignasza : Simulation model sensivity to quality of material roerties. Solidification of Metals and Alloys, 1999, vol.1, Boo no 40. [6] Z.Ignasza: ermofizyczne arametry materiałów izolacynych w zastosowaniach do roetowania zasilania odlewów i symulaci ich rzenięcia. Solidification of Metals and Alloys, 1999, vol.1, Boo no 40. [7] Z.Ignasza: Właściwości termofizyczne materiałów formy w asecie sterowania rocesem rzenięcia odlewów. Rozrawy nr 11,. wyd. Politechnii Poznańsie, Poznań [8] R.Grzymowsi: Analiza numeryczna rocesów wymiany cieła na owierzchni wlewa ciągłego. Sryt Matematyczne metody w obliczeniach rocesów... wyd. Politechn.Śląsie [9] K. Kubo, Mizuuchi K., Ohnaa I., Fuasao.: Measurement of hermal Proerties of Sand Molds by Pouring Method. Proceedings of 50 Congrès International de Fonderie, Cairo [10] M.Raaz, J. L.Desbiolles, J. M.Drezet, Ch.-A..Gandin, A..Jacot, Ph..hévoz: Alication of Inverse Methods to the Estimation of Boundary Conditions and Proerties. VII International Conference Modelling of Casting, Welding and Advanced Solidification Processes, he Minerals, Metals &Materials Society, London [11] K. Kubo, I.Ohnaa., Fuasao., Mizuuchi K.: Measurement of hermal Conductivity of Sand Molds by Parameter Otimization echnique. Imono, Vol. 53, No 11, [1] Z.Ignasza, H.Kamińsi - Metoda wyznaczania wsółczynnia rzewodności cielne. Podstawy teoretyczne. Archiwum echnologii Budowy Maszyn, zeszyt 6, wyd.pan, Poznań 1987 [13] Z.Ignasza: La conductivité thermique substitutive du moule. Une nouvelle méthode de mesure our la simulation de la solidification des ièces. Fonderie - Fondeur d'auourd'hui 11, 1993.

11 INVERSE PROBLEMS OF HEA RANSFER APPLICAED IN DAA MAERIAL DEERMINAION SUMMARY In the aer the eamles of ractical solutions of inverse roblem methods alied to thermal material data determination are resented. he assumtions and rules and also analyse of iterative and direct methods are shown. It is indicated that the develoment of those methods, connected with careful eeriment methodology, are needed. Recenzowała Prof. Ewa Machrza