PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ

Transkrypt

1 PODSTAWY MECHANIKI RELATYWISTYCZNEJ W wielu przypadkah : elekrmagneyzm, fizyka jądrwa, fizyka ząsek elemenarnyh (np. fn, neurn), galakyki ddalają się z prędkśiami bliskimi, efeky relaywisyzne w gwiazdah neurnwyh, pulsarah i zarnyh dziurah, związki relaywisyzne pmiędzy masą, energią i pędem. Psulay erii względnśi w kńu XIX w. Mawell i Herz zaprpnwali knepję świała jak prmieniwania elekrmagneyzneg. knepja eeru świelneg jak pierwneg i bezwzględneg układu dniesienia dla świała 887 r. eksperymen Mihelsna i Mrleya w elu sprawdzenia naury eeru świelneg i wyznazenia prędkśi świała względem nieg.

2 Alber A. Mihelsn (85 93) Nbel 907 Apsł świała ( Alberie Abrahamie Mihelsnie) Tmasz Kardaś i Szymn Kardaś Psępy Fizyki, Tm 55, Zeszy, s (004) Alber Abraham Mihelsn urdził się 9 grudnia 85 w Srzelnie. Mihelsnwie wyjehali ze Srzelna prawdpdbnie sierpnia 855 r. Wędrówkę rzpzęli z Hamburga, a jej elem była Ameryka (przez Nwy Jrk, Panamę, a na kńu San Franis). Laem 856 darli d elu pdróży. Alber Abraham Mihelsn ukńzył Akademię Marynarki Wjennej w Annaplis w 873 rku. Pierwsze pmiary prędkśi świała dknał w 877 r. W 887 zaprsił d współpray Edwarda Mrleya, kóry był hemikiem i udsępnił swje labrarium d dalszyh badań. Obydwaj deydująe pmiary przeprwadzili 8, 9 i lipa 887 r gdzinie raz 8, 9 i lipa gdz. 8. Sprawzdanie zayułwane On he relaie min f he Earh and he luminiferus eher publikwali w Amerian Jurnal f Siene,. 34, nr 03 z lispada 887 r. Ih wnisek był nasępująy; nie ma widznej różniy w prędkśi świała, niezależnie d kierunku, w kórym prusza się bserwar. W 907 r. uzyskał Nagrdę Nbla wspólnie z Mrleyem. Zmarł 9 maja 93 r.

3 Alber A. Mihelsn w Ryersn Physial Labrary w Chiag (96).

4 Jeżeli inerfermer jes w spzynku względem eeru ba prmienie przehdzą ę samą drgę pyzną. Prędkść świała względem eeru wynsi. Drga prmienia w kierunku zwieriadła wyniesie sąd ' l ' l ' Pdbnie zas pwru blizymy z równania '' prmienia Rys. 3.3 Shema inerfermeru Mihelsna użyeg d wyznazenia prędkśi świała względem Ziemi. sąd '' '' l l ' (3.9) ' Zaem, zas przebiegu prmienia wyniesie: ' '' l (3.0)

5 , Z ' Rys Względny ruh prmienia świała dbijająeg się d zwieriadeł Z i Z. Prmień przebiegnie drgę 0Z 0 w zasie Z drugiej srny drga a jes równa ' '' 00 0Z 0 0Z l l 0Z '' 0

6 sąd rzymamy l (3.) Widzimy, że. Prmień przebuje więej zasu niż prmień na przebyie swjej drgi. Warunki świadzenia Mihelsna-Mrleya ramię 0Z II d rbialneg biegu Ziemi wkół Słńa, prędkść eg ruhu Ziemi względem gwiazd 30 km/s, długśi ramin inerfermeru l 6 m, różnia dróg pyznyh prmieni /4 λ świała zielneg, p brie inerfermer 90 różnia dróg pyznyh prmieni /4 λ Wynik dświadzenia: nie udał się swierdzić zmiany brazu inerferenyjneg, wię i ruhu Ziemi względem eeru, prędkść świała jes aka sama, niezależnie d eg zy jes na mierzna przez bserwara w układzie sajnarnym, zy eż przez bserwara znajdująeg się w układzie pruszająym się ze sałą prędkśią względem świała, negaywny wynik dświadzenia Mihelsna-Mrleya spwdwał przewró w spsbie myślenia fizyków; pwsała knieznść głębszeg spjrzenia na naurę przesrzeni i zasu, nie ma wyróżnineg układu dniesienia. W 905 r. Einsein drzuił pjęie eeru i sfrmułwał szzególną zasadę względnśi: wszyskie prawa fizyki muszą być akie same we wszyskih układah inerjalnyh pruszająyh się względem siebie ruhem jednsajnym prsliniwym. Nie mżna eż swierdzić bezwzględneg spzynku jakiegklwiek układu.

7 Alber Einsein lied frm Brn: 4 Marh 879 in Ulm, Würemberg, Germany Died: 8 April 955 in Prinen, New Jersey, USA Nbel 9 Einsein nribued mre han any her sienis he mdern isin f physial realiy. His speial and general heries f relaiiy are sill regarded as he ms saisfary mdel f he large-sale unierse ha we hae.

8 Firs Slay Physis Cnferene, Brussels, 9. Delegaes aending he s f he Slay Physis Cnferenes whih were iniiaed by Belgian hemis and indusrialis Ernes Slay (838-9). The 9 nferene disussed urren quesins f mleular and kinei hery. Thse presen inluded suh luminaries as Marie Curie ( ), Ernes Ruherfrd (87-937), Alber Einsein ( ), Ma Plank ( ) and Paul Langein (87-946).

9

10 Transfrmaje Galileusza nie dpwiadają psulam erii względnśi, pnieważ według nih prędkść świała jes równa w różnyh układah inerjalnyh. Teria względnśi piera się na dwóh psulaah: szzegółwej zasadzie względnśi; sałśi prędkśi świała w próżni.

11 Transfrmaje Lrenza Układ inerjalne (Rys. 3.5): 0 jes w spzynku, 0 prusza się prędkśią ns w kierunku si, w hwili 0 ze wspólneg pząku układów 0 i 0 wysłany jes prmień świała w kierunku punku P. r r Rys. 3.5 Układ 0 prusza się ze sałą prędkśią względem sajnarneg układu 0.

12 Współrzędne punku P w układah 0 i 0 Wówzas Czasy i są różne!, y, z, i, y, z, r ; r (3.) Na pdsawie wyrażeń (3.) rzymujemy: y y z z (3.3) a pnieważ y y raz z z (3.4) Związki ransfrmayjne pmiędzy układami 0 i 0 pwinny spełniać pewne warunki frmalne: ransfrmaja musi być liniwa; zn. zdarzeniu w jednym układzie inerjalnym musi dpwiadać pjedynze zdarzenie w drugim układzie jednznaznie kreślnyh współrzędnyh, ruh jednsajny musi przekszałać się w ruh jednsajny, dla małyh prędkśi ransfrmaja musi sprwadzić się d ransfrmaji Galileusza.

13 W związku z pwyższym ( ) ( ) b a z z y y γ (3.5) gdzie γ, a raz b są sałymi. Wsawiają wyrażenia (3.5) d równania (3.4) ( ) ( ) ( ) 0 a b a b a γ γ γ Pnieważ wyrażenie jes żsamśiw równe zeru, wię a b a b a γ γ γ (3.6) Pwyższe równania rzwiązujemy względem sałyh γ, a i b. Orzymujemy wedy a γ (3.7)

14 raz b (3.8) Oznazenia ( ) γ / zynnik Lrenza / β Wzry ransfrmayjne (3.5) przybierają eraz psać: ( ) z z y y β γ β γ β (3.9)

15 Transfrmaja dwrna: ( ) z z y y β γ β γ β (3.0) Transfrmaja hlenderskieg fizyka H.A. Lrenza z 890 r.

16 Knsekwenje ransfrmaji Lrenza Ddawanie prędkśi Klasyzne praw ddawania prędkśi r r r (3.) ma granizny zakres zasswania ylk d małyh prędkśi. W elu wyprwadzenia prawa relaywisyzneg musimy użyć ransfrmaji Lrenza (3.9). Prędkść w układzie 0 d d, zaś w układzie 0 d d. Różnizkują pierwsze i sanie równanie (3.9) rzymujemy: d d d ; β sąd d d d d d d d d d d d β d d

17 Wię saeznie (3.) gdy prędkśi i mają en sam kierunek. W przeiwnym przypadku, musimy zmienić znaki w ym wzrze na Gdy <<,. Względna prędkść dwóh sygnałów świelnyh pruszająyh się w przeiwne srny wynsi: / ( ) ( )

18 Skróenie długśi Z erii względnśi wynika, że iała ruhme dznają skróenia swih wymiarów w kierunku ih ruhu. Załóżmy, że pewien prę ma długść l i prusza się wraz z układem 0. Prę en w układzie 0 spzywa i płżny jes równlegle d si. Długść eg pręa w układzie 0 l (3.3) B A W układzie 0, prę en będzie się pruszał z prędkśią. W elu wyznazenia długśi l eg pręa w układzie 0 należy wyznazyć w ej samej hwili współrzędne jeg kńów B i A, gdy je prę mija. Z ransfrmaji Lrenza (3.9) mamy: Wbe eg B B ; ( / ) A A ( / ) ( / ) B A ( B A ) Widzimy wię, że długść l bserwar w układzie 0 eni jak l l (3.4) a wię krószą. Pdbnie będzie w syuaji dwrnej bserwara w układzie 0.

19 Liniwe rzmiary iała są największe w ym układzie, względem kóreg iał spzywa. Skróenie długśi zahdzi ylk w przypadku długśi mierznyh równlegle d kierunku ruhu względneg. Lrenz i Fizgerald uważali, że zjawisk skróenia (knrakji) przedmiu jes spwdwane pewną siłą działająą na en przedmi w zasie jeg przehdzenia przez sajnarny eer. Einsein udwdnił, że skróenie jes właśiwśią samej przesrzeni jak akiej i że bezwzględny lub wyróżniny spśród innyh układ dniesienia nie isnieje.

20 Wydłużenie przedziałów zaswyh y y A A y A O O Rys Punk A znajduje się w spzynku względem układu 0. Dwa zdarzenia w punkje A zahdzą według bserwara 0 w hwili A i B. Przedział zasu między dwma zdarzeniami T A B (3.5) Rzważmy eraz ę samą parę zdarzeń, ale bserwwaną z układu 0, pruszająeg się równlegle d si układu 0, z prędkśią względną. T B (3.6) A

21 W układzie 0 warśi współrzędnyh przesrzennyh pierwszeg zdarzenia nie będą akie same jak drugieg zdarzenia, jak był w układzie spzynkwym 0. Chwili pząkwej A dpwiada współrzędna A, hwili kńwej B współrzędna B. Z ransfrmaji Lrenza (3.9) mamy A A ( / ) ( / ) A ; P djęiu srnami yh równśi, rzymujemy Ale B A T i wbe eg zyli T T T ( / B )( B ( / ) T ( / ) B A ( / ) ( / ) ) B (3.7) T < T Przedział zasu, kóry rzdziela dwa nasępująe p sbie zdarzenia, w każdym układzie pruszająym się względem układu spzywająeg, jes dłuższy niż w układzie spzywająym. Pruszająe się zegary hdzą wlniej niż zegary w spzynku. Pwyższe wniski ssują się d wszyskih zjawisk, również d presów bilgiznyh: paradks bliźnią rzpad meznów μ (τ. 0 6 s,, l 660 m)

22 Mehanika relaywisyzna Masa i pęd Pęd iała masie bezwładnej m i prędkśi r jes definiwany jak r r p m (3.8) Praw zahwania pędu izlwaneg układu ząsek jes najbardziej fundamenalnym prawem fizyki. m r i i ns (3.9) i Zbazymy jak zahwuje się pwyższe równanie gdy zassujemy ransfrmaję Lrenza dla pruszająyh się układów współrzędnyh. Przewidują kmplikaje dyząe masy jakie mgą pwsać, wyróżniamy masę spzynkwą m mierzną w naszym układzie dniesienia. Masa widziana z pruszająeg się układu dniesienia nie jes równa m, ale jes dwrnie prprjnalna d zynnika Lrenza m m γm β (3.37) Masa iała nie jes zaem w gólnśi sała ani aka sama dla wszyskih bserwarów, ale jes wielkśią kóra: zależy d układu dniesienia z jakieg jes bserwwana jes równa m kiedy iał jes w spzynku w układzie dniesienia z kóreg jes bserwwane.

23 γ m/m 4 3 Właśiwśi zynnika Lrenza γ pwdują, że masa saje się bardz duża i w kńu zbliża się d nieskńznśi, kiedy prędkść względna zbliża się d. Wyrażenie relaywisyzne na pęd ma psać r r r p m γm (3.38) a na zahwanie pędu układu izlwaneg n n r r mi i γ mi i ns (3.39) i i / Zależnść zynnika Lrenza γ m/m d ssunku prędkśi

24 Definija siły Drugie praw Newna r r dp d r F (m ) (3.40) d d Zróżnizkwanie eg równania prwadzi d r r d r dm F m (3.4) d d gdzie m znaza eraz γm.

25 Relaywisyzna energia kineyzna Oblizamy praę wyknaną w elu zwiększenia prędkśi ząski d zera d kńwej warśi. Zakładamy, że siła i przesunięie mają en sam kierunek. Energia kineyzna, kóra jes rezulaem pray wyknanej nad ząską r r r K F dr (3.4) zyli d d F (m ) d d upraszza się d psai 0 m m d m( / ) ( / ) ( / ) d [ ( / ) ] F [ ( m / ) ] 3 / P uwzględnieniu ej zależnśi w wyrażeniu (3.4) mamy r Pnieważ dr K r, ( ) r d d d 3 / d d (3.43) r 0 m [ ( ) ] / 3 / r m m, a d r d d d r dr, wię

26 d ] ) / ( [ m K r / 0 3 p sałkwaniu daje m ) / ( m K i saeznie ( ) m m K (3.44) Chiaż wyrażenie wyprwadzn dla przypadku szzególneg, jes n gólne i zawsze się ssuje. Wyrażenie (3.44) mżemy z ławśią zredukwać d psai m ) / ( K, kiedy <<. Rzwijamy równanie (3.44) w szereg m... m m K / Kiedy / 0, wyższe pęgi / mżna zaniedbać m m K

27 Energia ałkwia Z równania (3.44) wynika, że praa przebna na zwiększenie energii kineyznej iała wynsi K m ) (m m ) (m m ) ( Δ m) (m (3.45) Zaem zmiana prędkśi (energii kineyznej) wywła zmianę masy Δ m m m. W plu sił zahwawzyh, praw zahwania energii ma psać K U K U ns (3.46) Na pdsawie równań (3.45) i (3.46) rzymujemy K K U U ( Δ m) zyli K K U U Δ m (3.47) Pnieważ energia spzynkwa jes zdefiniwana jak E m, energia ałkwia będzie zdefiniwana jak E E K (3.48) a skr E m (m m ), E m (3.49) Ta definija energii ałkwiej w mehanie relaywisyznej nie zawiera energii penjalnej.

28 Równważnść masy i energii wyrażna wzrem (3.49) jes jedną z najważniejszyh knsekwenji szzególnej erii względnśi. Inny użyezny związek mże być rzymany wprs z wyrażenia na masę 4 4 m m Pnieważ p m, wię mżna również zapisać w psai Jeżeli iał prusza się z bardz dużą prędkśią, m m ( / ) m. E E p (3.50) E jes d pminięia w prównaniu z p i E p (3.5) Dla bardz dużyh prędkśi, E jes eż małe w prównaniu z K i z równania (3.49) wynika, że, zyli na pdsawie (3.48) mamy E K K p (3.5) Jeszze inny związek zawierająy ałkwią energię rzymuje się różnizkują równanie (3.50) de dp Wbe eg, jeżeli iał prusza się z prędkśią świała, raz de dp, zyli Dla p 0, E E, a wię p E E p p m ns (3.53)

29 Tymzasem z równania (3.50) wynika, że E E p (3.54) E E p (3.55) zyli birą pd uwagę bydwa równania, mamy E E p (3.56) Prównanie równań (3.54) i (3.56) nasuwa wnisek, że E 0, zyli m 0. Inazej mówią, jeżeli iał prusza się z prędkśią świała, jeg energia spzynkwa raz masa spzynkwa muszą być równe zeru. Słuszne pwinn być akże swierdzenie dwrne: jeżeli jakaś maeria nie ma masy spzynkwej, zyli energii spzynkwej, musi pruszać się z prędkśią świała. Chiaż z klasyzneg punku widzenia iał nie mże mieć masy równej zeru, jes pprawny relaywisyzny pis akih ząsek jak fn i neurin.

30 Ogólna eria względnśi T dyhzas rzważaliśmy, nazywamy szzególną erią względnśi w dróżnieniu d gólnej erii względnśi. Pierwsza z nih była ałkwiie rzwinięa przez Einseina w 905 r., pdzas gdy druga w zasadzie w 9 r. Ogólna eria względnśi sanwi współzesną erię grawiaji. W erii grawiaji Newna siła F G m m r działa nayhmias, a znaza, że sygnał bądź energia przekazywane są nayhmias d masy m d masy m. W en spsób naruszne jes jedn z pdsawwyh załżeń erii względnśi, że żaden sygnał (żadna psać energii) nie mże się rzhdzić z prędkśią większą d prędkśi świała. Einsein sanął przed knieznśią sfrmułwania relaywisyznej erii iężkśi. Ogólna eria względnśi dgrywa dużą rlę w dziale asrfizyki zwanej ksmlgią naue pwsaniu, rzmiarah i budwie Wszehświaa. Wyjaśnia na akie zjawiska jak: zwiększenie długśi fali przy emiwaniu świała przez iała dużej masie, zakrzywienie prmienia świelneg przehdząeg w pbliżu pwierzhni Słńa w kierunku śrdka Słńa, zy eż mehanizm pwsawania zw. zarnyh dziur.