Zadania z wprowadzenia do matematyki wyższej
|
|
- Seweryn Jastrzębski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Logika Zadania z wprowadzenia do matematyki wyższej. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla: a) A = {x N : x < 5} B = {x Z : 5 x}, b) A = {x R : x 5} B = {x R : 6 x < 0}.. Niech A i B będą dowolnymi niepustymi zbiorami i A B. Wyznacz zbiory: a)a B b)a B c)a d)a \ B e)a B A f)a B g)a B h)b \ A i)a A b)a A c)a d)a \ 3. Dane zbiory A i B zaznacz na osi liczbowej. Znajdź A B, A B, A \ B oraz przedstaw je w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: A = ( 3; 3) {7} 8; 5), B = ( 5; 0; 5) {7} (0; 0; + ). 4. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, A, B i przedstaw je graficznie, jeśli:. A = {(x, y) R : x + y } i B = {(x, y) R : x + y },. A = {n Z : n + n 56} i B = {x R : x x + 3}. 5. Niech A = {(x, y) R : x + x = y + y}, B = {(x, y) R : x + y }, C = {(x, y) R : x + y }. Zaznacz na płaszczyżnie zbiory A, B, C, A B, A B, A C, A C, B C, B C. 6. Oceń, czy poprawne są następujące rozumowania: Założenie: Jeśli pada deszcz, to jezdnia jest mokra. Jezdnia jest mokra. Wniosek: Pada deszcz. 7. W starożytnym Rzymie lud domagał się od cezarów chleba i igrzysk. Czy cezar powinien być zdziwiony gniewem ludu, gdyby były same igrzyska? Czy gdyby zawołanie ludu brzmiało chleba lub igrzysk, to cezar może uznać, że same igrzyska wystarczą? 8. Oceń, czy równoważne są zdania: a) Każdy uczeń w klasie ma ołówek i pióro. b) Każdy uczeń w klasie ma ołówek i każdy uczeń w klasie ma pióro. a) W klasie jest uczeń, który ma ołówek i pióro. b) W klasie jest uczeń, który ma ołówek i jest uczeń, który ma i pióro. a) Każdy uczeń w klasie ma ołówek lub pióro. b) W klasie każdy uczeń ma ołówek lub każdy ma pióro.
2 a)w klasie jest uczeń, który ma ołówek lub pióro. b) W klasie jest uczeń, który ma ołówek lub jest uczeń, który ma pióro. 9. Oceń, czy poprawne są uzasadnienia następujących faktów: Fakt: Nie każdy ssak żyje na lądzie. Uzasadnienie: Delfin jest ssakiem i żyje w morzu. Fakt: Nie istnieje liczba nieparzysta podzielna przez 4. Uzasadnienie: Liczby,3,5,7,9,,3,5 nie są podzielne przez Napisz zdania, które są zaprzeczeniem następujących zdań: a)p q b)p q c)p q d) xφ(x) e) xφ(x) f) x(φ(x) Ψ(x)) g) x(φ(x) Ψ(x)). Napisz zdania, które są zaprzeczeniem następujących zdań: a) x yψ(x, y) b) x yψ(x, y) c) x y(ψ(x, y) Φ(x, y)) d) x y(ψ(x, y) Φ(x, y)). Udowodnij, że następujące zdania są fałszywe: a) x R(x + x = ), b) x R(x + x > x > x + ). 3. Czy (i dlaczego) prawdziwe są następujące zdania: a) x R y R(x + y = 0), b) y R x R(x + y = 0), c) x R y R(xy = 0 x + y = 0), d) x R y R(xy = 0 x + y = 0), e) x R y R(xy < 0 x + y = 0). 4. Sprawdź, które z podanych wyrażeń są prawami logicznymi:. p (p q),. (p q) q, 3. ( p q) (p q). 5. Korzystając z praw de Morgana napisz zaprzeczenia zdań:. n N ε>0 q Q (q n < ε),. M>0 x,x R f(x ) f(x ) < M. Praca domowa z logiki:. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla A = {, 5, 0,, 3, 5, 8, 0} i B = {x Z : x > 3}.. Dane zbiory A i B zaznacz na osi liczbowej. Znajdź A B, A B, A \ B oraz przedstaw je w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: A = ( ; 5) { } ( ; 3 5; + ), B = ( ; (; 6) 0; + ). 3. Napisz zdania, które są zaprzeczeniem poniższych zdań: a) x(φ(x) Ψ(x)) b) x(φ(x) Ψ(x)) c) x(φ(x) Ψ(x)).
3 4. Udowodnij, że następujące zdania są fałszywe: a) x R(x + x > 0) b) x R(x + x > x > 0). 5. Sprawdź, które z podanych wyrażeń są prawami logicznymi:. (p q) ( p q),. (p q) ( p q). Wyrażenia algebraiczne. Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: a)9a b)( + x) (x + ) c)x + y + xy z. Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: a)a 3 b 3 + ab(a b) b)0, 07a b3 c)5(p + q) 6 000p 3 q 3 3. Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: a)a 4 (b c) + b 4 (c a) + c 4 (a b) b)a 8 + a 4 + c)a d)a (b c)+b (c a)+c (a b) e)(a+b+c)(ab+bc+ca) abc f)(a+b+c) 3 (a 3 +b 3 +c 3 ) 4. Uprość wyrażenie (3 n k ) (3 n + k ) (3 n+ k+ ). 5. Uprość wyrażenie: 3 a 3 ( a + + a + a 6. Uprość wyrażenia: a a a a + ). a) x x x+ + x(x ) x+ b) x x+x + +x +x+x +x +x+x x x+x 7. Uprość wyrażenie: a (a + b)(a + c) (a b)(a c) + b (b + c)(b + a) (b c)(b a) 8. Udowodnij, że x + y + z xy + xz + yz. 9. Udowodnij implikację : Jeżeli a + b = (a + b c), to a + (b c) b + (b c) = a c b c. 0. Obliczyć A = (a+c)(a+d)(b+c)(b+d) (a+b+c+d), jeśli ab = cd.. Obliczyć B = abcd( a + b + c + d ) ab+cd, jeśli a + b = c + d. + c (c + a)(c + b) (c a)(c b).. Udowodnić, że jeśli a + b = (a + b c), to a +(a c) b +(b c) = a c b c 3
4 3. Oblicz wartość wyrażenia ( dla a = b m +n mn 4. Oblicz sumę : [ (a + b ) + (a b ) (a + b ) (a b ) ), b > 0, n > m > 0. ] Udowodnij, że jeżeli a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 6. Udowodnić nierówność a 4 + b + c ab ac + bc. Praca domowa z wyrażeń algebraicznych:. Uprość wyrażenie: x 3 + y 3 (x + y)(x y ) + y x + y xy x y.. Uprość wyrażenie: + 3 +x + 3x 3 +x 3x +x + 3x 3 +x 3x 3. Uprość wyrażenia: a) (a+b+c)(bc a )+(a +b +c )(a b)+(a +b +c )(a c) bc a +b(a b)+c(a c), b) a+b ab 4 a+b a 4 b b +c b c ( b c ) a +c a c ( a ). c 4. Obliczyć C = ( a b c + b c a + c b c a b )( a + c a b + a b c ) ( a + b + c )3, jeśli a + b + c = Obliczyć D = (a 3 + b 3 + c 3 )( a + b + c )3, jeśli (a + b + c)(( a + b + c ) =. 6. Udowodnij, że jeżeli a + b + c = 0, to a 3 + a c abc + b c + b 3 = Udowodnić nierówności: a + b + ab + a + b. x 4 + y 4 + z + x(xy x + z + ). 8. Udowodnij, że jeżeli a + b, to a + b. 9. Udowodnij, że jeżeli b = a, to (a + b)(a + b )(a 4 + b 4 )(a 8 + b 8 )...(a 3 + b 3 ) = a 64 b 64. 4
5 Podzielność liczb, kongruencje. Udowodnij, że jeśli A)a b oraz b c to a c B)a b oraz c d to ac bc C)c 0 to a b wtedy i tylko wtedy gdy ac bc D)a b to a n b n. Udowodnij, że suma dwóch liczb jednakowej parzystości jest liczbą parzystą oraz suma lliczby parzystej i nieparzystej jest liczbą nieparzystą. 3. Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej a, liczba a 3 a jest podzielna przez Ile jest liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 000, takich, że 3 a i 5 a. 6. Udowodnij, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. 7. Rozłóż na czynniki pierwsze Znajdź N W D(5, 836). 9. Znajdź N W D(364, 585). 0. Znajdź NW D(4!, 4 8 ).. Znajdź NW W (75, 70).. Znajdź NW W (504, 6). 3. Znajdź NW W (, 8 8 ). 4. Niech a = , b = , c = Obliczyć NW D(a, b, c) oraz NW W (a, b, c). 5. Która liczba jest większa: czy 6 9? 6. Znajdź liczby naturalne a i b takie, że NW W (a, b) = 46 a NW D(a, b) = Udowodnij, że NWD(a, b) NWW(a, b) = a b. 8. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą to liczba 7 n + jest podzielna przez Udowodnij, że iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n 5 n dzieli się przez 30.. Jakie reszty może dawać sześcian liczby całkowitej przy dzieleniu przez 7?. Dowieść, że liczba naturalna o sumie cyfr równej 47 nie może być ani kwadratem, ani sześcianem liczby całkowitej. 3. Wykaż,że liczba nie jest kwadratem liczby naturalnej. 4. W liczbie ?? wpisz w miejsce obu znaków zapytania takie cyfry (mogą być różne), aby otrzymać liczbę podzielną przez 7. Podaj wszystkie rozwiązania. 5
6 5. Podać trzy ostatnie cyfry liczby 3! 6. Udowodnij, że jeżeli x + 7 jest liczbą pierwszą, to x jest liczbą złożoną. 7. Określ dwie ostatnie cyfry liczby Udowodnij, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p dzieli się przez Udowodnij, że jeżeli p jest iloczynem pierwszych n liczb pierwszych, to ani p ani p + nie jest kwadratem liczby naturalnej. 30. Udowodnij, że liczba 0 6 jest podzielna przez Udowodnij, że liczba jest podzielna przez Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi 3 n. 33. Udowodnij, że suma kwadratów trzech liczb całkowitych nie może dać przy dzieleniu przez 8 reszty Czy suma cyfr liczby, która jest kwadratem liczby naturalnej może być równa 34534? 35. Liczby p i p + są liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba 4p + jest złożona. 36. Rozwiąż następujące kongruencje: a) 3x 4( mod 7), b) x 37( mod ), 37. Udowodnij, że liczba jest podzielna przez Wykaż, że jeżeli n jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczba n+ + 3 n+ jest podzielna przez 7. Praca domowa z podzielności liczb i kongruencji:. Znajdź N W D(4, 558).. Znajdź NW W (4, 64). 3. Niech a = , b = , c = Obliczyć NW D(a, b, c) oraz NW W (a, b, c). 4. Udowodnij, że jeśli n jest liczbą naturalną to liczba 7 n jest podzielna przez Udowodnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą to liczba n + jest podzielna przez Udowodnij, że kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę. 7. Jakie reszty może dawać sześcian liczby całkowitej przy dzieleniu przez 9? 8. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n >, dla których liczba n jest pierwsza. 9. Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba 3p+ jest pierwsza. 6
7 0. W liczbie 3?000000?5 wpisz w miejsce obu znaków zapytania taką samą cyfrę tak, aby otrzymać liczbę podzielną przez 75. Podaj wszystkie rozwiązania.. Określ dwie ostatnie cyfry liczby 06.. Udowodnij, że liczba jest podzielna przez Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby Udowodnij, że jeśli 3 n to 3 n 4 + n Rozwiąż kongruencję: 0x 5( mod 35). Liczby wymierne i rzeczywiste. Przedstaw: w systemie dwójkowym liczbą 5 oraz w systemie dziesiętnym liczbę (0).. Zamień na ułamek dziesiętny Zamień 0,(67) na ułamek zwykły. 4. Załóży, że a i b są liczbami niewymiernymi. Czy niewymierne są również a+b, ab, a/b? 5. Czy istnieją liczby niewymierne a i b takie, że a b jest liczbą wymierną? 6. Wykaż, że jeżeli a, b, a + b są liczbami wymiernymi, to a, b też są liczbami wymiernymi. 7. Udowodnij, że nie jest liczbą wymierną. 8. Udowodnij, że + 3 nie jest liczbą wymierną. 9. Liczby a + b, b + c i c + a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c są wymierne? 0. Uporządkować następujące liczby w kolejności rosnącej: (5 37) 008, (6 37) 009, (7 73) 0, (9 73) 03.. Obliczyć podając wynik w postaci ułąmka zwykłego: a) 0, (4) + 3 3, 374(9), b) (0, (9) +, (09)), (), c) (0, (037)) 0,(3).. Oblicz wartość wyrażenia dla a = / i b = / Oblicz: [a 3/ b(ab ) / (a ) /3 ] 3 7
8 (8/7) 3 (3/) (3/) 4. Usuń niewymierność z mianownika liczb: a) 3 4 c) Uprość wyrażenie b) d) Sprawdź, czy liczby: a) , b) są liczbami wymiernymi. Oblicz je. 7. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n jest liczbą naturalną lub niewymierną. 8. Czy pierwiastek trzeciego stopnia z liczby niewymiernej może być liczbą wymierną? Praca domowa z liczb wymiernych i niewymiernych:. Przedstaw: w systemie dwójkowym liczbą 55 oraz w systemie dziesiętnym liczbę (00).. Zamień na ułamek dziesiętny Zamień 0,(37) na ułamek zwykły. 4. Udowodnij, że 3 nie jest liczbą wymierną. 5. Liczby a + b, b + c i c + a są niewymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczba a + b + c niewymierna? 6. Liczby a + b, b + c, c + d i d + a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c, d są wymierne? 7. Liczby a + b, b + c, c + d, d + e i e + a są wymierne. Czy możemy stąd wnioskować, że liczby a, b, c, d, e są wymierne? 3 8. Sprawdź, czy liczb: jest liczbą wymierną. Oblicz ją. 9. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 liczba n(n + ) jest liczbą niewymierną. 8
9 Indukcja matematyczna. Udowodnij przez indukcję następujące równości: a) n = n(n+) n b) i = n(n+)(n+) 6 c) e) f) i= n i= i(i + ) = n(n+)(n+) 3 n i i = + (n ) n+ i= n ( 4 (i ) ) = +n n i=. Udowodnij przez indukcję: a)7 3 n + 6 b) 4n + 5 c)7 n+ + 3 n+ 3. Udowodnij przez indukcję: d) 6n+ + 9 n+ e)6 0 n 4 a)3 n 3 + n b)6 n 3 + n 4. Udowodnij indukcyjnie nierówność Bernoulliego: ( + x) n + nx dla n N i x. 5. Udowodnij przez indukcję następujące nierówności: a) b) n i= n i= i n dla n > 7 i n 6. Udowodnij, że każdą liczbę naturalną n większą lub równą można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. 7. Udowodnij, że obszary wyznaczone przez dowolną ilość prostych na płaszczyźnie można pokolorować co najwyżej dwoma kolorami tak, by żadne dwa obszary o tym samym kolorze nie miały wspólnego boku. 8. Udowodnij, że dla każdego n N n5 5 + n n 5 9. Ile przekątnych ma n-kąt wypukły? jest liczbą naturalną. 0. Udowodnij, że n kwadratów można poprzecinać wzdłuż prostych w ten sposób, aby ze wszystkich otrzymanych kawałków można było ułożyć jeden kwadrat. Praca domowa z indukcji matematycznej:. Udowodnij przez indukcję następujące równości: a) b) n i= n i= i(i+) = n n+ (i )(i+) = n n+ 9
10 c) n ( (i+) ) = n+ n+ i=. Udowodnij przez indukcję: a)3 n + b)3 0 n + 4 n c)33 n+ + n 3. Udowodnij przez indukcję: a)6 n 3 + 3n + n b)30 n 5 n 4. Udowodnij przez indukcję n i= i n. 5. Na ile obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których każde dwie się przecinają i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie? Podstawowe własności funkcji. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f(x). Na podstawie wykresu podaj: a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji f, b) wartość najmniejszą i największą funkcji f, c) zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f, d) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.. Wyznacz naturalną dziedzinę funkcji: x 5 7 x x 3 5 x a)f(x) = b)f(x) = x 6 x 4 x + x c)f(x) = d)f(x) = log 5x + 3 x x. 3. Podaj zbiór wartości funkcji f(x) = x na przedziale: a) [, 4), b) [, ), c) ( 3, ). 4. Na podstawie wykresu funkcji f(x) = x 4x + 5 narysuj wykres funkcji : a. f(x) +, b. f(x + ) 3, c. f(x) 3 +, d. f(x ). 5. Niech f(x) = x 4x + 5. Narysuj wykres funkcji g(x), jeśli a)g(x) = f(x) b)g(x) = f(x) + 4 c)g(x) = f(x + ) 3 d)g(x) = f(x) 3 + e)g(x) = f(x ) f)g(x) = f(x+) 3 6. Niech [ f(x) = x + ] x Naszkicuj wykres funkcji f oraz wykresy następujących funkcji: f(x), f( x ), f(x), f(x+ ), f(x), f( x 4 ), f(x ), f(x)+x Narysuj wykres funkcji f(x) = { x +, dla x, znajdź przeciwobrazy x +, dla x > zbiorów [, 3], (, 0], [, 0) i obrazy zbiorów [0, ], (, 3), R. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = x + m w zależności od parametru m R. 0
11 8. Zbadaj, czy funkcja f(x) jest różnowartościowa dla a)f(x) = ax + b gdzie a 0, b)f(x) = 5 x + c)f(x) = x Wykaż, ze funkcja f(x) = 3 x jest rosnąca w zbiorze (, 0) i rosnąca w zbiorze (0, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych. 0. Wykaż, ze funkcja f(x) = x jest malejąca w zbiorze (, 0) i malejąca w zbiorze (0, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych.. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f(x), x X, jeśli: a) X = {,, 3, 4, 5}, f() =, f() = 4, f(3) =, f(4) = 5, f(5) = 3 b) X = [, = ), f(x) = x c) X = (, ], f(x) = x +x. Niech f(x) = x+3 3x. Określ naturalną dziedzinę funkcji f. Wykaż, że jest to funkcja odwracalna i wyznacz funkcję odwrotną g(y) = f (y). Wyznacz dziedzinę funkcji g. 3. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3 + 6x Zbadaj okresowość funkcji a. f(x) = A sin(ax) + B cos(ax), b. f(x) = sin x + sin x, c. f(x) = sin x. d. f(x) = sin(x ), e. f(x) = sin x + sin( x). 5. Udowodnij, że suma dwóch funkcji o okresach współmiernych i równych dziedzinach jest funkcją okresową. 6. Czy złożenie funkcji okresowej z dowolną funkcją jest funkcją okresową? Rozważ dwa przypadki kolejności złożenia. 7. Zbadaj parzystość funkcji: a)f(x) = x b)f(x) = x sgn(x) c)f(x) = π x π d)f(x) = log(x+ x + ). 8. Zbadaj nieparzystość funkcji: a)f(x) = x 3 + x b)f(x) = x c)f(x) = sgn(x) 9. Wykaż, że jeżeli f : R R, to istnieją funkcje g : R R, h : R R takie, że g jest funkcją parzystą, h jest funkcją nieparzystą oraz f(x) = g(x) + h(x). Praca domowa z podstawowych własności funkcji:. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f(x). Na podstawie wykresu podaj: a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji f, b) wartość najmniejszą i największą funkcji f, c) zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f, d) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.. Naszkicuj wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem:
12 a) f(x) = x, b) f(x) = x, c) f(x) = x, d) f(x) = x, e) f(x) = x, f) f(x) =. x 3. Wyznacz naturalną dziedzinę funkcji: a)f(x) = x x b)f(x) = 4. Podaj zbiór wartości funkcji f(x) = x 8 na przedziale: a) (0, ), b) (, 4], c) (, 3 ]. log 3 ( 3x x + ). 5. Zbadaj, czy funkcja f(x) = 3+x x+4 jest różnowartościowa. 6. Wykaż, ze funkcja f(x) = x jest rosnąca w zbiorze (, ) i rosnąca w zbiorze (, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych. 7. Wykaż, ze funkcja f(x) = 5 x jest malejąca w zbiorze (, ) i malejąca w zbiorze (, ), ale nie jest monotoniczna w zbiorze liczb rzeczywistych. 8. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji f(x), x X, jeśli: a) X = {, 4, 6, 8}, f() =, f(4) = 6, f(6) = 8, f(8) = 4 b) X = [, = ), f(x) = (x ) c) X = (, ], f(x) = x x Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = x 3 + 3x Zbadaj okresowość funkcji. Zbadaj parzystość funkcji: a. f(x) = sin x, b. f(x) = sin x. a)f(x) = x + x+ x b)f(x) = sin(cos x) c)f(x) = log + sin x sin x.. Zbadaj nieparzystość funkcji: f(x) = x x +.
13 Funkcja liniowa. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = (3, 4) i B = ( 3, ).. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = ( 3, ) i B = (4, 6). 3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = 6x + i przechodzi przez punkt A = ( 3, ). 4. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 3 przechodzi przez punkt A = (, 4). 5. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + przechodzi przez punkt A = (4, ). 6. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 5 przechodzi przez punkt A = (, ). 7. Napisz wzór funkcji liniowej f, jeżeli wiesz, że a)f(4) = 3 i f(x) > 0 x ( 5 ; + ) 8. Mamy dane funkcje liniowe b)f() = 5 i f(x) < 0 x (, 3 ) f(x) = (5m 5)x + m + 8 i g(x) = 5 x + 3m + a) Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) są prostopadłe? b) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) jest malejąca? 9. Rozwiąż podane równania i nierówności : a. (m + )x + 4 < (3 m)x. c. b. ax a x 3 x m x m n x n m + n = mn m n. d. ax > 3. e. ax + 3 > x + a. 0. Oblicz
14 . Rozwiąż równanie x 7 = 5.. Rozwiąż równanie: x + x + 3 = Rozwiąż równanie: 4. Rozwiąż nierówność: x 3 3. x + x = Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x x+4 i rozwiąż graficznie nierówność f(x) Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, o następującej własności: suma odległości od punktów - i 3 jest większa od * Oblicz liczbę rozwiązań równania: x = Rozwiąż równania a) Praca domowa z funkcji liniowej: [ ] x = 3x, 4 b) [ 3x ] = 5x Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A = ( 3, ) i B = (4, 6).. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą równoległą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 3 przechodzi przez punkt A = (, 4). 3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostą prostopadłą do prostej będącej wykresem funkcji liniowej y = x + 5 przechodzi przez punkt A = (, ). 4. Mamy dane funkcje liniowe f(x) = (4m 6)x + m 7 i g(x) = 4 x + 4m a) Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f(x) i g(x) są prostopadłe? b) Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) jest rosnąca? 5. Rozwiąż równanie: x 5 + x + = Rozwiąż nierówność: x Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, o następującej własności: suma odległości od punktów - i jest mniejsza od 4. 4
15 8. Rozwiąż równanie [x + 3] = 3x Naszkicuj wykres funkcji f(x) = x x+3 i rozwiąż graficznie nierówność f(x) 0. Funkcja kwadratowa. Napisz wzór funkcji kwadratowej f, do której wykresu należą punkty A = (0, ), B = (, 3), C = (, ). Przedstaw w postaci iloczynowej i w postaci kanonicznej x 6x Znajdź miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli y = f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x). Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) i zbiór wartości. a)f(x) = 3x 7x + 0 b)f(x) = 4x + 5x Rozwiąż równania, wprowadzając pomocniczą niewiadomą a)x 4 + 7x 8 = 0 b)x 4 + 7x 8 = 0 c)x 4 + 5x 4 = 0 5. Rozwiąż nierówności: a) 5x + 4x + 0 b) 6x + 4x Rozwiąż nierówności: a) x 6 7 x < 0 b)x 4 5 x 0 7. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x +x w przedziale 3; Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x x 3 w przedziale 0; Rozwiąż równania: a) x + x + = b)x = x c) x 4 = 0. Rozwiąż nierówności: a) x + 5 > x b)x 6 x + 8 > 0 c) x x. Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji w zależności od parametru m. f(x) = mx + mx. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + (m + )x + m + = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba leży pomiędzy nimi. 3. Liczbę 6 przedstaw w postaci sumy czterech liczb takich, że druga jest o większa od od pierwszej, trzecia jest o mniejsza od pierwszej tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza. 5
16 4. Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru k. (k + )x 4kx + 4k = 0 5. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie? x (m 3)x + m = 0 6. Dla jakich wartości parametru k równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne? x + (k 3)x + k + 5 = 0 7. Dla jakich wartości parametru a równanie ma dwa pierwiastki różnych znaków? 8. Mamy równanie (a )x + (a 3)x + 5a 6 = 0 (m 5)x 4mx + m = 0. Dla jakich m równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie? Oblicz ten pierwiastek. 9. Dla jakich m najmniejsza wartość funkcji jest liczbą dodatnią? f(x) = (3m 5)x (m )x + (3m 5) 4 0. Niech x, x będą pierwiastkami równania x bx + c = 0. Udowodnij, że x + x = b c.. Niech x, x będą pierwiastkami równania x ax + b = 0. Udowodnij, że jeśli x, x są pierwiastkami równania x cx + d = 0 to d = b oraz c b.. Dla jakiego m R równania (R ) x + mx + m + 7 = 0 oraz (R ) x + mx + m + 3 = 0 mają wspólny pierwiastek? 3. Dla jakich wartości m R dwa różne pierwiastki równania są większe od 3? 4. Pokaż, że pierwiastki x, x równania spełniają warunek : 3 5 x + x. x mx + m 7 = 0 x + 007x 007 = 0 5. Dla jakiego naturalnego k pierwiastki równania kx ( k)x + k = są wymierne? 6
17 6. Znaleźć trójmian kwadratowy, wiedząc, że suma jego pierwiastków wynosi 8, suma ich odwrotności wynosi 3, a wartość w zerze wynosi Wykaż, że jeżeli zachodzi związek mp = (n + q), to przynajmniej jedno z równań x + px + q = 0, x + mx + n = 0 ma rozwiązanie. Praca domowa z funkcji kwadratowej:. Napisz wzór funkcji kwadratowej f, do której wykresu należą punkty A = (0, ), B = (, ), C = (, 3).. Przedstaw w postaci iloczynowej i w postaci kanonicznej: 3x 7x Znajdź miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka paraboli y = f(x) Naszkicuj wykres funkcji y = f(x). Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f(x) i zbiór wartości. f(x) = x + 7x Rozwiąż równania, wprowadzając pomocniczą niewiadomą a) x 4 + 6x 7 = 0 b)x 4 + 7x 8 = 0 c)x 4 + 4x = 0 5. Rozwiąż nierówność: x + 3x Rozwiąż nierówność: 7 x 3+x. 7. Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x +x 6 w przedziale 3; Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x +5x+6 w przedziale ; Rozwiąż równania: a) x + x = x b)x + 3 = x c) x 3x + = 0. Rozwiąż nierówności: a) x + 4 > x b)x x + > 0 c) x x 4. Wyznacz liczbę miejsc zerowych funkcji w zależności od parametru m. f(x) = mx + mx. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + (m )x + m = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba 3 leży pomiędzy nimi. 3. Liczbę przedstaw w postaci sumy czterech liczb takich, że pierwsza jest o większa od od drugiej, czwarta jest o mniejsza od drugiej tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza. 4. Wyznacz liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru k. kx kx = 0 7
18 5. Dla jakich wartości parametru a równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie? 6. Mamy równanie (a )x (a + )x + (a + ) = 0 (m 5)x 4mx + m = 0. Dla jakich m równanie ma dwa różne rozwiązania dodatnie? 7. Udowodnij, że równanie (x a)(x b) + (x a)(x c) + (x b)(x c) = 0 ma dla dowolnych różnych a, b, c dwa różne pierwiastki rzeczywiste. 8. Rozwiązać równanie x + x sin(xy) + = 0. Wielomiany. Następujące wielomiany rozłożyć na czynniki nierozkładalne: a) (x + x + )(x + x + ) b) (x + 4x + 8) + 3x((x + 4x + 8) + x c) 8x 3 36x + 54x 7.. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x): a) P (x) = x 4 3x 3 + 4x 5x + 6, Q(x) = x 3x + b) P (x) = x 3 3x x, Q(x) = 3x x + c) P (x) = x 4 x 3 + 4x 6x + 8, Q(x) = x d) P (x) = x 5 5x 3 8x, Q(x) = x Wykazać, że x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: a) W (x) = x 4 3x 3 + 4x 3, x 0 = b) W (x) = x 3 + 3x x, x 0 = 4. Wykazać, że x 0 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: a) W (x) = x 3 5x + 7x 3, x 0 = 5. Wykazać, że x 0 jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: a) W (x) = x 5 7x 3 + x 6x +, x 0 = b) W (x) = x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 5x + X + 7, x 0 = 6. Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian V : a) W (x) = x 3 + 5x 7x + 9, V (x) = x b) W (x) = x 5 + 3x 3 x + x, V (x) = x + 7. Nie wykonując dzielenia, wykaż, że W jest podzielny przez V : a) W (x) = x 3 + x 3x + 0, V (x) = x 3x + b) W (x) = x 3 + 0x x 0, V (x) = x 8. Które z wielomianów x 30, x 30 +, x 60, x 60 + są podzielne przez wielomian: 8
19 a) x 5 +, b) x 5, a) x 6 +, a) x 6, 9. Oblicz resztę R z dzielenia wielomianu W przez (x )(x ), jeżeli wiesz, że W () =, W () = Oblicz resztę R z dzielenia wielomianu W przez x 4, jeżeli wiesz, że W ( ) = 0, W () = 3.. Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + 4) jest równa 4, a przez (x ) jest równa -. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez x + x 8.. Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + 3) jest równa 0, a przez (x + ) jest równa 4. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez x + 5x Oblicz resztę z dzielenia wielomianu x x + x + 3 przez x. 4. Rozwiązać równania: a) x 3 + x 4x = 0 b) 3x 5 9x 4 + 9x 3 + 7x 84x + 0 = 0 c) x 4 + 4x 3 7x 3x 6 = 0 5. Rozwiązać nierówności: a) (x )(x )(x 3) > 0 b) (x 9)(x 5x + 4) < 0 c) x 3 + x 3x d) x 4 + x 3 x < 0 e) x 6 x 5 x 4 3x 3 x + x + 0 f) x 3 x x 7 + x 6 < 0 6. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 3 3x x 3m = 0 ma trzy rozwiązania takie, że jedno z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. 7. Znajdź wartości parametru a, dla których równanie ax 4 x + ma cztery pierwiastki. 8. Znajdź sumę współczynników wielomianu (4x x ) Czy istnieje wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych taki, że W (7) = 4 i W () = 9? 0. Znaleźć wszystkie wielomiany W (x) takie, że (x 3)W (x) = xw (x ).. Wielomian x 6 + ax 3 + bx + cx + d ma wszystkie pierwiastki rzeczywiste. Udowodnij, że wtedy a = b = c = d = 0.. Wyznacz wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba: a.3 + 3, b
20 3. Wielomian o współczynnikach wymiernych stopnia dla wszystkich argumentów całkowitych przyjmuje wartości całkowite. Czy musi mieć współczynniki całkowite? (To samo dla wielomianu stopnia 3.) 4. Czy istnieje wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych taki, że W (3) = 3 i W ( 3) =? 5. Wielomian W (x) o całkowitych współczynnikach przyjmuje dla 4 różnych wartości całkowitych wartość 7. Udowodnij, że dla żadnej wartości całkowitej nie przyjmuje wartości 4. Praca domowa z wielomianów:. Następujące wielomiany rozłożyć na czynniki nierozkładalne: a) x 3 6x x + 30 b) x 4 + 4x 3 + x 4x + c) x Wykonać dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x): a) P (X) = x 5 4x 4 x x + 5, Q(x) = x 9 b) P (X) = x 5 + x 3 + x x +, Q(x) = x 3 x + 3. Wykazać, że x 0 = jest pierwiastkiem wielomianu W (x)x 4 x 3 +x +x Wykazać, że x 0 = jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x)x 3 + 7x + x Wykazać, że x 0 = jest potrójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 5 6x 4 7x x 8x Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x 4 + 3x 3 7x + 0 przez wielomian V (x) = x + : 7. Nie wykonując dzielenia, wykaż, że W (x) = x 4 +x 3 7x x+6 jest podzielny przez V (x) = x x. 8. Oblicz resztę R z dzielenia wielomianu W przez x x, jeżeli wiesz, że W ( ) =, W () = Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x + ) jest równa, a przez (x 3) jest równa 6. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez x x Rozwiązać równanie x 4 + 4x 3 7x 3x 6 = 0.. Rozwiązać nierówności: a) x 4 + x 3 x < 0 b) x 3 x x 7 + x 6 < 0. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 3x 3 +(m 9)x 8x = 0 ma trzy rozwiązania takie, że jedno z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych. 3. Wyznacz wielomian o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba:
21 4. Wielomian stopnia dwa o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla każdej liczby całkowitej wartość całkowitą podzielną przez 5. Czy jego współczynniki muszą być podzielne przez 5? 5. Określ wyraz wolny wielomianu W (x) = ((...((x ) )...) ). Ciągi. Cztery różne liczby tworzą ciąg geometryczny. Znajdź iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest 3 razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu.. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę pozostawimy bez zmiany, do drugiej dodamy, a od trzeciej odejmiemy to otrzymamy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o sumie równej. Znajdź te liczby. 3. Znajdź iloraz ciągu geometrycznego nieskończonego, w którym a =, zaś suma wyrazów jest 3 razy mniejsza od sumy kwadratów tych wyrazów. 4. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli od pierwszej liczby odejmiemy, do drugiej dodamy, a do trzeciej 7 - to otrzymamy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Znajdź te liczby. 5. Dla których liczb naturalnych n 3 istnieje ciąg arytmetyczny n wyrazowy o sumie n i jednym z wyrazów równym n? 6. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych dających przy dzieleniu przez 7 resztę Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych dających przy dzieleniu przez 5 resztę lub Zamień ułamek okresowy 0, (7) na zwykły. 9. Zamień ułamek okresowy 0, 3(3) na zwykły. 0. Rozwiąż równanie x = 57 w którym lewa strona jest sumą kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego x = 76. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego x = Rozwiąż równanie x + + x +... = 5x + 3, 4 w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego.
22 4. Rozwiąż równanie x + 4 x 8 x = 6 x + 5, w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego. 5. Rozwiąż równanie x 3 + (x 3)x 5 + (x 3)x = 5(x ), w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego. 6. Wykazać, że jeśli a, b, c, d tworzą ciag geometryczny, to (i) (a + b + c)(a b + c) = a + b + c, (ii) (a + b + c )(b + c + d ) = (ab + bc + cd). 7. Wykazać, że w każdym ciągu geometrycznym {b n } prawdziwe są równości:. (b + b + b 3 )(b 7 + b 8 + b 9 ) = (b 4 + b 5 + b 6 ) ;. b + b 4 + b b m = q +q S m; 8. Obliczyć sumy:. (x + x ) + (x + x ) (x n + x ) ; n. (a + b) + (a + ab + b ) (a n + a n b ab n + b n ); }{{} ; n 9. Zbadaj monotoniczność ciągu (a n ). Znajdź ograniczenia tego ciągu. a)a n = 3n + 4n d)a n = 3 n n + 6 b)a n = 7 n n e)a n = n 7 3n 5 c)a n = 4n + 7 6n 0. Wykaż, że podane ciągi są ograniczone i zbadaj ich monotoniczność: a)a n = n + 3n 5 n b)a n = ( )n n + 9 c)a n = 3 5 n. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu.a n = 3 n + 3 n;. a n = an n!, a ; 3. a n = n+a n+b, b 0; 4. a n = n a, a > ; 5. a n n = + q + q q n, 0 q < ; 6. a n = n +n+7 n +n+8 ; 7. a n = log log (3n 8n + 9).. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a =, a n+ = a n + dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = n.
23 3. Wykazać, iż ciąg a n = 3 ( ) n + 5 n spełnia równanie rekurencyjne a = 7, a = 3, a n+ = a n+ + a n. 4. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a =, a n+ = a n + n dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = n. 5. Załóżmy, że F =, F = oraz F n+ = F n + F n+. Udowodnij, że wyrazem ogólnym jest: F n = [( + 5 ) n ( 5 ) n ]. 5 Praca domowa z ciągów:. Trzy liczby, których suma równa się 93, tworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby wiedząc, że są one pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego.. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli do pierwszej liczby dodamy 3 a pozostałe pozostawimy bez zmian, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, których suma wynosi. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego. 3. Z pięciu liczb pierwsze trzy tworzą ciąg geometryczny, zaś cztery ostatnie ciąg arytmetyczny. Suma czterech ostatnich wynosi 0, a iloczyn drugiej i piątej wynosi 6. Znajdź te liczby. 4. Znajdź sumę wszystkich liczb mniejszych od 300 dających przy dzieleniu przez 4 resztę. 5. Zamień ułamek okresowy 0, 67(4) na zwykły. 6. Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego x = Rozwiąż równanie przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego x = 5 8. Rozwiąż równanie x + x + x +... = (8x 5), w którym lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego. 9. Rozwiąż równanie x x ( x) 4( x) + x + x = x 3, w którym lewa strona jest sumą nieskończonego zbieżnego szeregu geometrycznego. 3
24 0. Wykazać, że jeśli a, b, c, d tworzą ciag geometryczny, to (a c) + (b c) + (b d) = (a d).. Wykazać, że w każdym ciągu geometrycznym {b n } prawdziwe są równości:. b + b b m = Sm b b m ;. S n (S 3n S n ) = (S n S n ).. Obliczyć sumę: }{{} n 3. Zbadaj monotoniczność ciągu (a n ). Znajdź ograniczenia tego ciągu. a)a n = 3 n n Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: b)a n = n 7 3n 5 a =, a n+ = a n + n + dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = n. 5. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a = 3, a n+ = a n + (n + )(n + 3) dla n N. Udowodnij, korzystając z indukcji matematycznej, że a n = Funkcje trygonometryczne. Udowodnij poniższe tożsamości trygonometryczne: a) cos x sin x cos x = tg x ctg x, b) sin x sin x sin x + sin x = x tg, c) sin 6 x + cos 6 x + 3 sin x cos x =. Udowodnij poniższe tożsamości trygonometryczne: a) sin (3π α) cos (5π + α) = 4 4 sin(5 π 8α) n n+. b) (sin 4α tg( 7π + 4α)) + tg(5π + α) = ctg α c) cos α + sin α + cos 3α + sin 3α = cos α sin( π 4 + α) d) tg α + tg β tg(α + β) + tg α tg β tg(α β) + tg α = cos α e) sin 4x + ctg( 3 π x) cos 4x = 0 4 f) sin 9x + sin 0x + sin x + sin x = 4 cos x 3. Rozwiąż poniższe równania: sin x cos x 3 a) sin x = 0 b) sin x = c) cos 3x = d) tg x = e) sin x + cos x + = 0 f) cos x = cos x 3 4 g) tg x + ctg x = 4 sin x h) sin x cos x = 0 i) sin x+sin x cos x+3 cos x = 3 j) sin 3x+sin 7x = 0 4
25 4. Rozwiąż poniższe równania: a) tg x = + cos 4x b) sin x + sin π = sin(x + π ) c) +tg x ctg x +ctg x tg x = 0 d) sin 7x+sin 9x = (cos ( π 4 x) cos ( π 4 +x)) e) ctg x sin x = sin x f) 4 ctg x + ctg x + sin x + = 0 5. Rozwiąż poniższe nierówności w przedziale x < 0; π > a) sin x 3 b) sin x cos x < c) sin x 4 sin x Rozwiąż poniższe nierówności w przedziale x < 0; π > a) sin x + sin(π 8x) > cos 3x b) cos x 5 sin x 3 0 c) sin 3x > 3 cos 3x d) sin 3x + sin x 4 sin 3 x e) sin x cos x < f) 7. Rozwiąż poniższe nierówności trygonometryczne: a) 8. Udowodnić: cos x + cos x cos x Jeśli x ( 0, π ) to cos x + cos x cos x sin x > b) sin 3 x cos x cos 3 x sin x < 4 c) sin x + cos x <. i) sin x cos x <, ii) sin x + cos x <, iii) tg x + ctg x >. Jeśli x, y ( 0, π ) to sin(x + y) < min{sin x + sin y, cos x + cos y}. Jeśli x, y, z, x + y + z ( 0, π ) to sin(x + y + z) < sin x + sin y + sin z. a) cos π 5 cos π 5 = 4, b) cos π 7 cos π 7 cos 4π 7 = 8. Jeżeli cos x + cos y = oraz sinx + siny = a, to a Wyznaczyć sin(x + y) i cos(x + y) jeśli sin x + sin y = a, cos x + cos y = b. 0. Oblicz sumę S = sin x + sin x sin nx. Praca domowa z funkcji trygonometrycznych:. Udowodnij poniższe tożsamości trygonometryczne: a) (sin x) + (tg x) = ctg x b) tg x + ctg x + tg 3x + ctg 3x = 8 cos x sin 6x sin( π c) + 3α) sin(3α π) = ctg(5 4 π + 3 α) d) sin α( + tg α tg α) + + sin α sin α = tg α + tg ( π 4 + α ) 5
26 . Rozwiąż poniższe równania: a) cos x+cos 3x+cos 4x = 0 b) sin x sin 7x = sin 3x sin 5x c) sin 4 x+cos 4 x = Rozwiąż poniższe równania: a) sin x 4 sin x sin x + 4 sin x 4 + = tg x b) sin x sin 6x cos x cos 6x = sin 3x cos 8x c) sin x cos x cos x cos 8x = sin x 4 4. Rozwiąż poniższe nierówności w przedziale x < 0; π > a) + tg x ctg x + ctg x + tg x > 0 b) tg 3t tg t 4 sin t = 0 c) sin( π +x) ctg 3x+sin(π+x) cos 5x 0 d) cos t sin t = Rozwiąż nierówność trygonometryczne: sin x sin x. 6. Oblicz sumę S = cos x + cos x cos nx. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne. Uporządkuj rosnąco liczby:, 3, 0,, 4,,,4. Naszkicuj wykres funkcji: f(x) = x f(x) = x +5 f(x) = 3 x+4 f(x) = x +7 f(x) = x f(x) = x f(x) = x 3 f(x) = x 3. Rozwiąż równania: a) x+3 = 4 x b)(0, 5) x 4 = 6 5x 4 c)( 3) 3x 5 = (0, 5) x 7 d)(0, (3)) x 7 = 7 3x 7 e)( 7 4) 3x+8 = (4+ 7) x+9 f)6 3x 7 = 5 36 x 4. Rozwiąż poniższe nierówności: g)(0, 5) x = 04 x+5 h)9 x+ 3(79) x+ = 0 a)8 x < 4 x b)( )x+ ( ) x c) 5 8 3x > 4 x d) x < (0, 5) 3x e)8( 8) x 3 > ( ) x Znajdź wszystkie wartości parametru m, dla których równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. 9 x + m 3 x m + = 0 6. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. 6 x + 4 x + m = 0 6
27 7. Wyznacz wartość sumy x + x, jeśli 4 x + 4 x = Uporządkuj od najmniejszej do największej liczby: a = log 7 5, b = log 5, c = log 7, d = log 7 5, e = log 5 9. Oblicz wartość wyrażenia: a) 5 log log 8 7 b) 36 log log 3 log 9 36 c) (7 log log 5 49 )(8 log log 4 9 ) log log Czy podane liczby tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny trójwyrazowy: a) log 7 4, log 7 6, log 7 9, b) log 7 5 log 7 0, log 7 4?. Dowieść, że liczba log 3 jest niewymierna.. Wyznacz dziedzinę poniższych funkcji: a)f(x) = log 3x+ (x ) b)f(x) = 4 log 9 x (x + 7x 8) 3. Naszkicuj wykres funkcji f(x) dla : a)f(x) = log 3 (x ) b)f(x) = log 3 x c)f(x) = log 3 (x + ) 4. Podaj wzór określający funkcję odwrotną do funkcji f(x) dla: a)f(x) = log x b)f(x) = log (x+) c)f(x) = log 0,5 (4x) d)f(x) = log 0 x 5. Rozwiąż poniższe równania: a) log (x+) = 3 b) log (x+)+log (x+4) = 6 c) log (x+)+log x = d) log (x+3)+log x (x ) = log 5 e)(log 5 x) + log 5 5x = 0 f)x log x = 0 6. Rozwiąż poniższe nierówności: 5 a) log (x 3) < b) log π 0x > log π 8 c) log 3 (x ) < log 3 (x ) d) log 0,5 3x + x + < 3 e) log 5(x ) < log 5 ( 3 x ) f)3 log 3 x log 4 x > 7. Wykaż, że jeżeli a > 0, b > 0 oraz a + b = 7ab, to log a + b 3 = (log a + log b) 8. Zakładając, że log = a oraz log 7 = b oblicz log 56. 7
28 Praca domowa z funkcji wykładniczych i logarytmicznych:. Uporządkuj rosnąco liczby: 5 3, (0, ), ( 5 ), 5 3 3, Rozwiąż poniższe równania i nierówności: a) 3 3 x + x ( 3 ) + x+x (+ x) = 8 b)3 5 x 5 x = 0, c)8 x 3x+3 x + > 0 d)5 x + x 5 x + x+ = 0 3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie nie ma rozwiąń rzeczywistych. 4. Oblicz wartość wyrażenia: 9 x + 3 x + m = 0 a) 4 +log 7 b) log 3 log 5 9, c) log 6 + log log d) log (log ) e) log 3 6 (( log 7) log 5 6 ) 5. Czy podane liczby tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny trójwyrazowy: a) log 7, log 7 3, log 7 5, b) log 7 log 7 4, log 7 6? 6. Dowieść, że liczba log 8 jest niewymierna. 7. Czy liczba log ( + ) jest wymierna czy niewymierna? 8. Wyznacz dziedzinę funkcji: f(x) = log 3 x + log3 4 x. 9. Rozwiąż poniższe równania i nierówności: a) log 3 (3 x 8) = x b)7 log x 5 log x+ = 3 5 log x log x 3 7 log x c) log x 7 3 log 7 x < d) log(6x 5) e) log 4 x + log(6 x) = f) log x log 4 = log(5 x ) g) log (9 x ) 3 x > h) log 4x+ 7 + log 9x 7 = Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a, b, c oraz a b zachodzi poniższa równość log a c log b c log a c + log b c = log ab c. 8
29 Kombinatoryka. W grupie 35 osób 0 zna angielski, - francuski, 6 - niemiecki. Oblicz ile osób nie włada żadnym spośród tych trzech języków wiedząc, że język angielski i francuski naraz zna 6 osób, angielski i niemiecki 7 osób, francuski i niemiecki 5 osób, zaś osoby znają wszystkie trzy języki.. W grupie 50 studentów 30 uczy się języka francuskiego, 0 - niemieckiego, 5 - angielskiego. studentów uczy się jednocześnie francuskiego i angielskiego, 3 - niemieckiego i angielskiego, - niemieckiego i francuskiego, a - wszystkich trzech języków. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrany losowo student z grupy: a) uczy się dokładnie dwóch języków, b) uczy się co najmniej dwóch języków. 3. Dane są zbiory A = {,, 3, 4, 5} i B = {0,, 4, 6, 8} Oblicz ile jest a) wszystkich funkcji ze zbioru A w B, b)wszystkich funkcji rosnących ze zbioru A w B, c) wszystkich funkcji różnowartościowych ze zbioru A w B. 4. Dany jest zbiór A = {,, 3, 4, 5, 6, 7}. Podaj liczbę wszystkich a)permutacji zbioru A, b) dwuwyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru A, c) trójelementowych kombinacji d) czterowyrazowych wariacji bez powtórzeń. 5. Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje 0? 6. Ile jest liczb a) 5-cyfrowych, b) parzystych 5-cyfrowych, c)5-cyfrowych zawierających dokładnie jedną trójkę, d) 5-cyfrowych takich, że niezależnie od kierunku czytania przedstawiają tę samą liczbę? 7. Ile jest liczb nieparzystych, trzycyfrowych, większych od 33? 8. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 6 osób? 9. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 dziewcząt i 6 chłopców przy założeniu, że dziewczęta stoją przed chłopcami? 0. Na podłużnej ławie ma usiąść rzędem 6 kobiet i 6 mężczyzn, na przemian. Na ile sposobów mogą to zrobić?. Na ile sposobów można posadzić 0 chłopców i 7 dziewcząt na jednej podłużnej ławce, w ten sposób, aby żadne dwie dziewczyny nie siedziały obok siebie?. Mały Jaś ma pięć par butów. Wkładając buty kieruje się dwiema zasadami: a) nigdy nie wkłada lewego buta na lewą noge, ani prawego na prawą; b) nigdy nie wkłada dwóch butów z tej samej pary. Na ile sposobów może włożyć buty na obie nogi? 3. Na ile sposobów możemy utworzyć niepusty podzbiór, mając do dyspozycji pięć identycznych jabłek i osiem identycznych brzoskwiń? 4. Na ile sposobów można na zwykłej szachownicy ustawić 8 czarnych wież tak, aby żadne dwie się nie biły? 5. Na ile sposobów można ustawić dwa króle na szachownicy o wymarach m na n tak, aby nie stały na sąsiednich polach? 6. Na ile sposobów można podzielić 0 przedmiotów pomiędzy dwie osoby tak, aby każda dostała co najmniej jeden? 7. Znajdź liczbę przekątnych w sześciokącie wypukłym. 9
30 8. Na ile sposobów można wybrać z talii 5 kart 6 tak, aby były wśród nich: a) asy, króle i damy, b) 3 piki i 3 kiery? 9. Na ile sposobów można wybrać kolejno dwie karty z talii 5 kart tak, aby: a) pierwszą kartą był as, a drugą nie była dama, b) pierwsza karta byłą kolokru karo, a druga nie była damą? 0. Iloma sposobami można zbiór n elementowy podzielić na dwa zbiory?. Urna zawiara jedną kulę oznaczoną numerem, dwie kule oznaczone numerem,..., n kul oznaczonych numerem n. Na ile sposobów można wyciągnąć z tej urny, bez zwracania, dwie kule oznaczone takim samym numerem?. Udowodnić, że dla n, k N i k n zachodzi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a) = n b)k = n 0 n k k 3. Udowodnić, że dla n, k N i k n zachodzi a) n ( ) n k = n n b) k k= n ( ) n k(k ) = n(n ) n k k= 30
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ
WPROWADZENIE DO MATEMATYKI WYŻSZEJ. Elementy logiki i teoria zbiorów Zad... Rozpatrzmy wartościowanie w takie, że w(p) = i w(q) = 0. Oblicz: a) w( (p p)), b) w( ( p p)), c) w( (q q)), d) w( p q), e) w(
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY
ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoOstatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.
Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ. Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym
S t r o n a ZBIÓR ZADAŃ Matematyczne ABC maturzysty na poziomie podstawowym Każdy uczeń, który kończy szkołę ponadgimnazjalną i chce przystąpić do matury, zobowiązany jest do zdawania egzaminu z matematyki
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY)
ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI - MATURA (POZIOM ROZSZERZONY) wersja robocza - 19.03.2019 Edukacja Karol Suchoń Korepetycje, zajęcia, przygotowanie do egzaminu www.karolsuchon.pl kontakt: kontakt@karolsuchon.pl
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)
Bardziej szczegółowoZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/ : (2 5 ) 5 (0, 5)
Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia:
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.
Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY SUPER TRUDNE
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.
W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas
Bardziej szczegółowoZadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }
Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoTest kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoZad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=
Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności
Bardziej szczegółowoFunkcje i ich własności. Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43
Funkcje i ich własności Energetyka, sem.1 (2017/2018) Matematyka #3: Funkcje 1 / 43 Zbiory liczbowe Zbiory Zbiór Iloczyn (część wspólna zbiorów) A B = {x : x A x B} Suma Różnica Zawieranie się A B = {x
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 17 KWIETNIA 2010 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Jeżeli liczba 3b
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Liceum Ogólnokształcące Klasa I Poniżej przedstawiony został podział wymagań edukacyjnych na poszczególne oceny. Wiedza i umiejętności konieczne do opanowania (K) to zagadnienia,
Bardziej szczegółowoEgzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.
Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15
Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY
www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.
I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli:
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE POZIOM PODSTAWOWY KLASA 1 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk
WYMAGANIA EDUKACYJNE - matematyka - poziom rozszerzony Dariusz Drabczyk str 1 Klasa 1d: wpisy oznaczone jako: LICZBY RZECZYWISTE, JĘZYK MATEMATYKI, FUNKCJA LINIOWA, (F) FUNKCJE, FUNKCJA KWADRATOWA. Przypisanie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy M A T E M A T Y K A 14 MARCA Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut
Kod ucznia Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A 14 MARCA 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowo