Statystyka matematyczna. w zastosowaniach

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna w zastosowaniach Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania (analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych i jakościowych oraz przedstawianiu wyników w postaci zestawień tabelarycznych, wykresów, itp; posługuje się rachunkiem prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA: dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie znajomości własności ich części Encyklopedia Popularna PWN, Warszawa 1982 RP W SET Statystyka 1

2 Grupa Płeć Punkty Ocena Grupa Płeć Punkty Ocena RP W SET Statystyka 2

3 Grupa Płeć Punkty Ocena Grupa Płeć Punkty Ocena RP W SET Statystyka 3

4 Grupa Płeć Punkty Ocena Grupa Płeć Punkty Ocena RP W SET Statystyka 4

5 Grupa Płeć Punkty Ocena Grupa Płeć Punkty Ocena RP W SET Statystyka 5

6 Grupa Płeć Punkty Ocena Grupa Płeć Punkty Ocena RP W SET Statystyka 6

7 Punkty z klasówki 000: 0 005: 0 010: 0 015: 0 020: 0 025: 0 030: 1 035: 5 040: 9 045: : : : : : : : : 9 090: 1 095: 0 100: 0 Średnia 0589 Kwartyl dolny 0508 Mediana 0595 Kwartyl górny 0672 RP W SET Statystyka 7

8 Stopnie z klasówki 20: 76 30: 88 35: 92 40: 37 45: 7 50: 0 Średnia 306 Kwartyl dolny 200 Mediana 300 Kwartyl górny (29%) 20 (25%) 35 (31%) 40 (12%) 45(2%) RP W SET Statystyka 8

9 Oceny z klasówki Negatywne Pozytywne Razem Ogółem 76 (25%) 224 (75%) 300 Kobiety 46 (28%) 116 (72%) 162 Mężczyźni 30 (22%) 108 (78%) 138 Grupa 1 3 (10%) 27 ( 90%) 30 Grupa 2 11 (37%) 19 ( 63%) 30 Grupa 3 17 (57%) 13 ( 43%) 30 Grupa 4 0 ( 0%) 30 (100%) 30 Grupa 5 6 (20%) 24 ( 80%) 30 Grupa 6 4 (13%) 26 ( 87%) 30 Grupa 7 12 (40%) 18 ( 60%) 30 Grupa 8 3 (10%) 27 ( 90%) 30 Grupa 9 7 (23%) 23 ( 77%) 30 Grupa (43%) 17 ( 57%) 30 RP W SET Statystyka 9

10 Pytania 1 Na ile dokładne są podane wyniki? 2 Na ile wyniki odzwierciedlają stan wiedzy? 3 Jakich wyników można oczekiwać na następnej klasówce? 4 Jakich wyników można oczekiwać na egzaminie? RP W SET Statystyka 10

11 Populacja Wnioski o populacji Próba Wnioski z próby RP W SET Statystyka 11

12 F F F F F M M M F F M M F M M M M F M M F F M M M Próba 1: Średnia z próby: 340 Próba 2: Średnia z próby: 720 Próba 3: Średnia z próby: 920 Próba 4: Średnia z próby: 1180 Próba 5: Średnia z próby: 1060 Średnia populacji: 844 RP W SET Statystyka 12

13 844 Pytania Czy mając do dyspozycji tylko jedną próbę można ocenić na ile dobrze średnia z tej próby przybliża prawdziwą średnią? Co zrobić, by być pewniejszym wyniku? RP W SET Statystyka 13

14 Populacja Zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami) Próba Wybrana część populacji podlegająca badaniu Cecha Wielkość losowa charakteryzująca obiekty danej populacji Cecha jakościowa Cecha przyjmująca wartości nie będące liczbami (np kolor, płeć, smakowitość) Cecha (ilościowa) skokowa Cecha przyjmująca pewne wartości liczbowe i nie przyjmująca wartości pośrednich (np ilość bakterii, ilość pracowników, ilość pasażerów) Cechy te nazywane są również dyskretnymi Cecha (ilościowa) ciągła Cecha przyjmująca wartości z pewnego przedziału liczbowego (np wzrost, waga, plon) RP W SET Statystyka 14

15 Jakość wnioskowania statystycznego Oceniamy parametr θ cechy na podstawie próby X 1, X 2,, X n Niech ˆθ(X 1, X 2,, X n ) będzie jakąś oceną parametru θ Nieobciążoność Jeżeli średnia wartość oceny ˆθ jest równa wartości parametru θ, to ocenę ˆθ nazywamy nieobciążoną Minimalna wariancja Z dwóch różnych nieobciążonych ocen ˆθ oraz ˆθ tego samego parametru θ za lepszą uznajemy tę, która średnio przyjmuje wartości bliższe parametrowi θ Minimalny błąd średniokwadratowy Jeżeli ocena ˆθ nie jest nieobciążona, to wówczas jako miernik jakości stosuje się błąd średniokwadratowy Jest to uśrednienie obciążenia oraz wariancji RP W SET Statystyka 15

16 Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych Ω Doświadczenie losowe realizacja określonego zespołu warunków wraz z góry określonym zbiorem wyników Zdarzenie losowe A jest podzbiorem zbioru zdarzeń elementarnych Ω RP W SET Statystyka 16

17 Prawdopodobieństwo (definicja aksjomatyczna) jest funkcją określoną na zbiorze zdarzeń losowych: 1 P (A) 0, 1 2 P (Ω) = 1 3 P (A B) = P (A) + P (B), o ile A B = Prawdopodobieństwo (definicja klasyczna) Jeżeli Ω składa się z n jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A składającego się z k zdarzeń elementarnych wyraża się wzorem P (A) = k n Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem realizacji zdarzenia B: P (A B) = P (A B) P (B) (P (B) > 0) RP W SET Statystyka 17

18 Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zdarzenia B 1,, B n są takie, że B i B j = dla wszystkich i j, B 1 B n = Ω oraz P (B i ) > 0 dla wszystkich i, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi P (A) = P (A B 1 )P (B 1 ) + + P (A B n )P (B n ) Twierdzenie Bayesa P (B k A) = P (B k )P (A B k ) P (A B 1 )P (B 1 ) + + P (A B n )P (B n ) Niezależność zdarzeń Zdarzenia A oraz B są niezależne, jeżeli Równoważnie P (A B) = P (A)P (B) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) RP W SET Statystyka 18

19 Zmienna losowa (cecha) Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze zdarzeń elementarnych Rozkład zmiennej losowej Zbiór wartości zmiennej losowej oraz prawdopodobieństwa z jakimi są te wartości przyjmowane Przykład Jednokrotny rzut kostką Zmienna losowa: ilość wyrzuconych oczek Zbiór wartości: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Rozkład (kostka uczciwa) x i p i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Rozkład (kostka nieuczciwa) x i p i 1/24 1/24 1/24 1/24 1/6 2/3 RP W SET Statystyka 19

20 Zmienna losowa skokowa (dyskretna) jest to zmienna, której zbiór wartości jest skończony lub przeliczalny Jeżeli x 1 oraz x 2 są kolejnymi wartościami zmiennej losowej skokowej, to nie przyjmuje ona żadnych wartości między x 1 a x 2 Przykłady Rzut kostką, liczba bakterii, ilość pracowników Zmienna losowa ciągła jest to zmienna przyjmująca wszystkie wartości z pewnego przedziału (najczęściej zbioru liczb rzeczywistych) Jeżeli x 1 oraz x 2 są dwiema wartościami zmiennej losowej ciągłej, to może ona przyjąć dowolną wartość między x 1 a x 2 Przykłady Wzrost, ciężar paczki towaru, wydajność pracowników RP W SET Statystyka 20

21 Dystrybuanta F jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R wzorem F (x) = P {X x}, x R Najważniejsze własności dystrybuanty 1 0 F (x) 1 2 F ( ) = 0, F ( ) = 1 3 dystrybuanta jest funkcją niemalejącą 4 P {a < X b} = F (b) F (a) Funkcja (gęstości) rozkładu prawdopodobieństwa f jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R wzorem f(x) = { F (x), jeżeli F (x) istnieje 0, w przeciwnym przypadku Najważniejsze własności funkcji gęstości 1 f(x) 0 2 P {a < X b} = b a f(x)dx RP W SET Statystyka 21

22 Skokowa zmienna losowa Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Dystrybuanta RP W SET Statystyka 22

23 Ciągła zmienna losowa Funkcja gęstości F (b) F (a) a Dystrybuanta b RP W SET Statystyka 23

24 Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych Wartość oczekiwana (średnia) Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej X jest liczbą charakteryzującą położenie zbioru jej wartości EX = { xi p i dla zmiennej skokowej xf(x)dx dla zmiennej ciągłej Prawo wielkich liczb: X 1 + X X n n EX Wariancja Wariancja D 2 X zmiennej losowej jest liczbą charakteryzującą rozrzut zbioru jej wartości wokół wartości średniej EX D 2 X = { (xi EX) 2 p i (x EX) 2 f(x)dx RP W SET Statystyka 24

25 Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe DX zmiennej losowej X jest liczbą charakteryzującą rozrzut zbioru jej wartości wokół wartości średniej EX DX = D 2 X Kwantyl rzędu p zmiennej losowej X jest to taka liczba x p, że F (x p ) = p Frakcja Jeżeli A jest danym podzbiorem zbioru wartości zmiennej losowej X, to frakcją nazywamy liczbę p = P {X A} Asymetria (skośność) Liczba γ 1 charakteryzująca niejednakowość rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej RP W SET Statystyka 25

26 Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa X ma rozkład D(p), jeżeli P {X = 1} = p = 1 P {X = 0} EX = p D 2 X = p(1 p) Doświadczenie Bernoulliego Wykonujemy dwuwynikowe doświadczenie Wyniki nazywane są umownie sukces oraz porażka Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p (porażki: 1 p) Niech zmienną losową X będzie uzyskanie sukcesu Zmienna losowa X ma rozkład D(p) Przykłady Płeć osoby Wadliwość produktu RP W SET Statystyka 26

27 Rozkład dwumianowy Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p), jeżeli P n,p {X = k} = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0, 1,, n k EX = np D 2 X = np(1 p) Schemat Bernoulliego Zmienną losową o rozkładzie D(p) obserwujemy n krotnie w sposób niezależny Niech zmienną losową X będzie ilość sukcesów Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p) Przykłady Ilość nasion, z których wzeszły rośliny Ilość wadliwych produktów Popularność danej osobistości publicznej P n,p {X = k} = P n,1 p {X = n k} RP W SET Statystyka 27

28 Przykład Niezaliczalność klasówki jest równa 30% Obliczyć prawdopodobieństwo, że na dziesięć wylosowanych klasówek będzie co najwyżej jedna niepozytywna Doświadczenie Bernoulliego: ocena klasówki Sukces klasówka niezaliczona; p = 03 X liczba niezaliczonych klasówek wśród dziesięciu wylosowanych P 10,03 {X 1} = P 10,03 {X = 0} + P 10,03 {X = 1} Tablice: Q(k; n, p) = n P n,p {X = i} i=k P 10,03 {X 1} = 1 Q(2; 10, 03) = P 10,03 {X = 1} = Q(1; 10, 03) Q(2; 10, 03) = = RP W SET Statystyka 28

29 Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład P o(λ), jeżeli P λ {X = k} = λk k! e λ, k = 0, 1, EX = λ D 2 X = λ Przykłady Ilość wad na metrze kwadratowym produkowanego materiału Ilość klientów przybywających do sklepu w jednostce czasu RP W SET Statystyka 29

30 Przykład Ile średnio powinno przypadać rodzynków na bułeczkę, by prawdopododobieństwo, że w bułeczce znajdzie się co najmniej jeden rodzynek, było nie mniejsze niż 099? X ilość rodzynków w bułeczce X P o(λ), λ =? Znaleźć takie λ, że P λ {X 1} 099 Tablice: Q(k; λ) = P λ {X = i} i=k Q(1; λ) 099 = λ = 48 Obliczenia: P {X 1} = 1 P {X = 0} = 1 e λ e λ 001 = λ log 001 = RP W SET Statystyka 30

31 Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) o wartości średniej µ i wariancji σ 2, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem f µ,σ 2(x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, < x < EX = µ D 2 X = σ 2 Przykłady Błędy pomiarowe Ciężar ciała Zawartość białka w mięsie Standardowy rozkład normalny: N(0, 1) Dystrybuanta F (x) standardowego rozkładu normalnego (N(0, 1)) jest stablicowana F (x) = 1 F ( x) RP W SET Statystyka 31

32 Rozkład normalny µ = 0 µ = 1 µ = 1 σ = 05 σ = 10 σ = 20 RP W SET Statystyka 32

33 Jeżeli X N(µ, σ 2 ), to Standaryzacja Z = X µ σ N(0, 1) { ( a µ P {X (a, b)} = P Z σ, b µ )} σ ( ) ( ) b µ a µ = F F σ σ Przykład Dla zmiennej losowej X N(10, 16) obliczyć P {X (8, 14)} P {X (8, 14)} = P { Z ( 8 10, 4 = F (1) F ( 05) = ( ) = )} RP W SET Statystyka 33

34 Prawo trzech sigm P { X µ < σ} = P { X µ < 2σ} = P { X µ < 3σ} = µ µ σ µ + σ µ 2σ µ + 2σ µ 3σ µ + 3σ RP W SET Statystyka 34

35 Pożyteczne przybliżenia X B(n, p), n duże, p małe X P o(np) X B(n, p), n duże, p około 05 X N(np, np(1 p)) X P o(λ), λ duże X N(λ 05, λ) lub X N ( ) λ, 1 4 RP W SET Statystyka 35

36 Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,, X n Estymator (punktowy) jest funkcją próby ˆθ = ˆθ(X 1, X 2,, X n ) przybliżającą wartość parametru θ Przedział ufności (estymator przedziałowy) jest przedziałem o końcach zależnych od próby, który z pewnym z góry zadanym prawdopodobieństwem pokrywa nieznaną wartość parametru θ P {θ (θ(x 1,, X n ), θ(x 1,, X n ))} = 1 α Poziom ufności: prawdopodobieństwo 1 α Co wpływa na długość d przedziału ufności? 1 Liczność próby (n = d ) 2 Poziom ufności (1 α = d ) 3 Wariancja cechy (σ 2 = d ) RP W SET Statystyka 36

37 Rozkład normalny Estymacja parametrów Próba (prosta): X 1, X 2,, X n Estymator średniej µ średnia arytmetyczna X = 1 n n i=1 X i = X X n n Estymator wariancji σ 2 wariancja próbkowa S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 Suma kwadratów odchyleń od średniej varx = n (X i X) 2 = i=1 n Xi 2 n X 2 i=1 Estymator odchylenia standardowego σ S = S 2 RP W SET Statystyka 37

38 Szereg rozdzielczy (dane skumulowane) Przedział klasowy Liczebność x 0 x 1 n 1 x 1 x 2 n 2 x k 1 x k n k n Średnia z próby (ẋ i = (x i 1 + x i )/2) X = 1 n k ẋ i n i i=1 Suma kwadratów odchyleń od średniej varx = k (ẋ i X) 2 n i i=1 RP W SET Statystyka 38

39 Liczność próby Jeżeli X 1,, X n są niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że X i N(µ, σ 2 ), i = 1,, n, to ) X N (µ, σ2 n Przykład Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia X trafi bliżej µ niż 01σ? P { X µ < 01σ} = P { X (µ 01σ, µ + 01σ)} ( ) ( ) (µ + 01σ) µ (µ 01σ) µ F σ/ F n σ/ = n F (01 n) F ( 01 n) = 2F (01 n) 1 n P n P RP W SET Statystyka 39

40 Przedział ufności dla średniej Wariancja σ 2 jest nieznana Poziom ufności: 1 α ( X t(α; n 1) S n, X + t(α; n 1) S n ) t(α; n 1): wartość krytyczna rozkładu t (Studenta) z ν stopniami swobody Długość przedziału: d = 2t(α; n 1) S n Przedziały jednostronne (, X + t(2α; n 1) S n ) ( X t(2α; n 1) S n, ) RP W SET Statystyka 40

41 Przykład Na podstawie próby 11, 12, 08, 09, 12, 13, 10, 07, 08, 10 oszacować wartość średnią rozkładu obserwowanej cechy x = = 10 varx = (11 10) (10 10) 2 = 036 s 2 = = 004, s = s 2 = 02 Poziom ufności 1 α = 095, czyli α = 005 t(005; 9) = t(005; 9) s n = = 014 (1 014, ) = (086, 114) Wniosek Średnia wartość cechy jest jakąś liczbą z przedziału (086, 114) Zaufanie do tego wniosku wynosi 95% RP W SET Statystyka 41

42 Przykład Oszacować przeciętną ilość punktów uzyskiwanych na klasówce n = 300 xi = x 2 i = Populacja: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce Założenie: cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Zadanie: oszacować parametr µ Technika statystyczna: przedział ufności dla średniej poziom ufności 1 α = 095 RP W SET Statystyka 42

43 Obliczenia x = 1 n xi = ( xi ) 2 = 0589 varx = x 2 i 1 n = = s 2 = = , s = s 2 = t(005; 299) 196 t(005; 299) s n = = ( , ) = (0576, 0602) Odpowiedź: µ (0576, 0602) Wniosek Przeciętna liczba punktów zdobywana na klasówce jest liczbą z przedziału (0576, 0602) Zaufanie do tego wniosku wynosi 95% RP W SET Statystyka 43

44 Przedział ufności dla wariancji Średnia µ jest nieznana Poziom ufności: 1 α ( varx χ 2 ( α 2 ; n 1), ) varx χ ( 2 1 α 2 ; n 1) χ 2 (α; n 1) jest stablicowaną wartością krytyczną rozkładu chi kwadrat z ν stopniami swobody Przedziały jednostronne ( varx 0, χ 2 (α; n 1) ( varx χ 2 (1 α; n 1), ) ) RP W SET Statystyka 44

45 Przykład Na podstawie próby 11, 12, 08, 09, 12, 13, 10, 07, 08, 10 oszacować zróżnicowanie rozkładu obserwowanej cechy x = = 10 varx = (11 10) (10 10) 2 = 036 s 2 = = 004, s = s 2 = 02 Poziom ufności 1 α = 095, czyli α = 005 ( χ 2 α ) 2 ; n 1 = χ 2 (0025; 9) = ( χ 2 1 α ) 2 ; n 1 = χ 2 (0975; 9) = ( ) , 036 = (0019, 0133) Wniosek Wariancja cechy jest jakąś liczbą z przedziału (0019, 0133) Zaufanie do tego wniosku wynosi 95% RP W SET Statystyka 45

46 Przedział ufności dla odchylenia standardowego Średnia µ jest nieznana Poziom ufności: 1 α ( varx χ 2 ( α 2 ; n 1), ) varx χ 2 (1 α 2 ; n 1) Przedziały jednostronne ( ( 0, varx χ 2 (α; n 1) ) ) varx χ 2 (1 α; n 1), Przykład (cd) Przedział ufności dla odchylenia standardowego: ( 0019, 0133) = (0136, 0365) RP W SET Statystyka 46

47 Przykład Oszacować zróżnicowanie ilości punktów uzyskiwanych na klasówce n = 300 xi = x 2 i = Populacja: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce Założenie: cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Zadanie: oszacować parametr σ Technika statystyczna: przedział ufności dla odchylenia standardowego poziom ufności 095 RP W SET Statystyka 47

48 Obliczenia x = 0589 varx = ( χ 2 α ) 2 ; n 1 = χ 2 (0025; 299) = χ 2 ( 1 α 2 ; n 1 ) = χ 2 (0975; 299) = ( ) , = (010610, ) Odpowiedź: σ (010610, ) Wniosek Odchylenie standardowe liczby punktów zdobywanych na klasówce jest liczbą z przedziału (0106, 0125) Zaufanie do tego wniosku wynosi 95% RP W SET Statystyka 48

49 Rozkład dwupunktowy Estymacja parametru p frakcja, wskaźnik struktury Próba: X 1,, X n (X i = 0 lub = 1) k = n i=1 X i ilość jedynek (sukcesów) Estymator punktowy: ˆp = k n Przedział ufności na poziomie ufności 1 α (p 1 (1 α 2 ; k, n k ), 1 p 1 ( 1 α 2 ; n k, k )) Jednostronne przedziały ufności (p 1 (1 α; k, n k), 1) (0, 1 p 1 (1 α; n k, k)) RP W SET Statystyka 49

50 Przykład Wśród 20 zbadanych detali znaleziono dwa braki Ocenić na tej podstawie wadliwość produkcji Cecha X jakość detalu (dobry, zły) Sukces detal wybrakowany Pytanie: p =? n = 20, k = 2 = ˆp = 2/20 = 01 Poziom ufności 1 α = 09, czyli α = 01 p 1 ( 1 α 2 ; k, n k ) = p 1 (095; 2, 18) = p 1 ( 1 α 2 ; n k, k ) = p 1 (095; 18, 2) = (00123, ) = (00123, 03170) Wniosek Wadliwość produkcji wyraża się liczbą z przedziału (123%, 3170%) Zaufanie do wniosku wynosi 90% RP W SET Statystyka 50

51 Przybliżony przedział ufności ( ˆp u 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n ) ˆp(1 ˆp), ˆp + u 1 α/2 n u α jest kwantylem rzędu α rozkładu N(0, 1) Przykład (cd) n = 200, k = 20 = ˆp = 20/200 = 01 Poziom ufności 1 α = 09, czyli α = 01 u 1 α/2 = u 095 = (1 01) (1 01) = = Wniosek Wadliwość produkcji wyraża się liczbą z przedziału (651%, 1349%) Zaufanie do wniosku wynosi 90% RP W SET Statystyka 51

52 Przykład Oszacować odsetek ocen dostatecznych otrzymywanych na klasówce n = 300 k = 88 Populacja: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Cecha X: ocena dostateczna z klasówki Założenie: cecha X ma rozkład D(p) Zadanie: oszacować parametr p Technika statystyczna: przybliżony przedział ufności dla prawdopodobieństwa poziom ufności 095 RP W SET Statystyka 52

53 Obliczenia p = = 029 u 1 α/2 = u 0975 = (1 029) (1 029) = = Odpowiedź: p (02387, 03413) Wniosek Odsetek ocen dostatecznych zdobywanych na klasówce jest liczbą z przedziału (2387%, 3413%) Zaufanie do tego wniosku wynosi 95% RP W SET Statystyka 53

54 Porównanie dwóch rozkładów normalnych Założenia: 1 X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2) 2 X 1, X 2 są niezależne Ocena µ 1 µ 2 oraz σ 2 1/σ 2 2 Próby: X 11,, X 1n1 ; X 21,, X 2n2 X 1, varx 1, s 2 1 = varx 1 n 1 1 X 2, varx 2, s 2 2 = varx 2 n 2 1 RP W SET Statystyka 54

55 Ocena różnicy między średnimi µ 1 µ 2 Ocena punktowa: X 1 X 2 Przedział ufności (poziom ufności 1 α) 1 Założenie σ 2 1 = σ 2 2 ( X 1 X 2 t(α; n 1 + n 2 2)s r, X 1 X 2 + t(α; n 1 + n 2 2)s r ) s 2 e = varx 1 + varx 2 n 1 + n 2 2, s2 r = s 2 e ( 1 n n 2 ) 2 Bez założenia σ 2 1 = σ 2 2 ( X 1 X 2 V (α; n 1 1, n 2 1, c)s r, X 1 X 2 + V (α; n 1 1, n 2 1, c)s r ) s 2 r = ( ) s s2 2 n 1 n 2 c = s 2 1/n 1 s 2 1 /n 1 + s 2 2 /n 2 V (α; n 1 1, n 2 1, c) wartość krytyczna testu Behrensa Fishera RP W SET Statystyka 55

56 Przykład Ocenić różnicę między średnimi wynikami klasówki pań i panów Panowie: n 1 = 138, x1i = 82833, varx 1 = Panie: n 2 = 162, x2i = 93733, varx 2 = Populacja 1: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Populacja 2: Słuchaczki podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce Założenie: cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ 1, σ 2 1) cecha X ma w populacji 2 rozkład N(µ 2, σ 2 2) σ 2 1 = σ 2 2 Zadanie: oszacować różnicę µ 1 µ 2 Technika statystyczna: przedział ufności t dla różnicy średnich poziom ufności 095 RP W SET Statystyka 56

57 Obliczenia s 2 r = x 1 = , x 2 = , = ( ) 162 t(005; 298) 196; t(005; 298)s r = ( ± ) = ( , ) Odpowiedź: µ 1 µ 2 ( , ) Wniosek Różnica średnich ilości punktów zdobywanych na klasówce przez panie i panów jest liczbą z przedziału ( , ) Zaufanie do tego wniosku wynosi 95% Sugestia Ponieważ przedział obejmuje zero, więc można uznać, że µ 1 = µ 2 RP W SET Statystyka 57

58 Ocena ilorazu wariancji σ 2 1/σ 2 2 Ocena punktowa: S 2 1/S 2 2 Przedział ufności (poziom ufności 1 α) ( S 2 1 S 2 2 F ( 1 α ) 2 ; n 1 1, n 2 1, S 2 1 S 2 2 F ( α 2 ; n 1 1, n 2 1) ) F (α; u, v) jest stablicowaną wartością krytyczną rozkładu F Snedecora (Fishera Snedecora) F (1 α; u, v) = 1 F (α; v, u) RP W SET Statystyka 58

59 Przykład Porównać zróżnicowanie ocen wyników klasówek pań i panów Panowie: n 1 = 138, x1i = 82833, varx 1 = Panie: n 2 = 162, x2i = 93733, varx 2 = Populacja 1: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Populacja 2: Słuchaczki podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce Założenie: cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ 1, σ 2 1) cecha X ma w populacji 2 rozkład N(µ 2, σ 2 2) Zadanie: oszacować iloraz σ 2 1/σ 2 2 Technika statystyczna: przedział ufności dla ilorazu wariancji poziom ufności 090 RP W SET Statystyka 59

60 Obliczenia s 2 1 = = , s2 2 = = , F (005; 137, 161) = F (095; 137, 161) = F (005; 161, 137) 1 = = ( ) , = (066415, ) Odpowiedź: σ 2 1/σ 2 2 (066415, ) Wniosek Iloraz wariancji ilości punktów zdobywanych na klasówce jest liczbą z przedziału (066415, ) Zaufanie do tego wniosku wynosi 90% Sugestia Ponieważ przedział obejmuje jedynkę, więc można uznać, że σ 2 1 = σ 2 2 RP W SET Statystyka 60

61 Porównanie dwóch rozkładów dwupunktowych Założenia: 1 X 1 D(p 1 ), X 2 D(p 2 ) 2 X 1, X 2 są niezależne Ocena p 1 p 2 Próby: X 11,, X 1n1 ; X 21,, X 2n2 (X ij = 0 lub 1) k 1 = n 1 i=1 X 1i k 2 = n 2 i=1 X 12 ˆp 1 = k 1 /n 1 ˆp 2 = k 2 /n 2 ˆp = (k 1 + k 2 )/(n 1 + n 2 ) Przedział ufności (poziom ufności 1 α) ˆp 1 ˆp 2 u 1 α 2 ( 1 ˆp(1 ˆp) + 1 n 1 n 2 ˆp 1 ˆp 2 + u 1 α 2 ), ( 1 ˆp(1 ˆp) + 1 ) n 1 n 2 RP W SET Statystyka 61

62 Przykład Oszacować różnicę między niezaliczalnością klasówki ze statystyki przez panie i panów Na podstawie dotychczasowych danych wiadomo, że na 162 pań nie zaliczyło klasówki 46 pań oraz na 138 panów 30 uzyskało ocenę negatywną Populacja 1: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Populacja 2: Słuchaczki podstawowego kursu statystyki Cecha X: uzyskanie z klasówki oceny negatywnej Założenie: cecha X ma w populacji 1 rozkład D(p 1 ) cecha X ma w populacji 2 rozkład D(p 2 ) Zadanie: oszacować różnicę p 1 p 2 Technika statystyczna: przybliżony przedział ufności dla różnicy prawdopodobieństw poziom ufności 095: u 0975 = 196 RP W SET Statystyka 62

63 Obliczenia n 1 = 162 k 1 = 46 n 2 = 138 k 2 = 30 ˆp 1 = k 1 n 1 = = ˆp 2 = k 2 n 2 = = ˆp = (k 1 + k 2 ) (n 1 + n 2 ) 02533( ) 300 = ( ) ( ) = ( ) 138 = ( , ) ( 00321, 01653) Wniosek Różnica prawdopodobieństw jest liczbą z przedziału ( 00321, 01653) Sugestia Ponieważ przedział obejmuje zero, więc odsetki pań i panów niezaliczających klasówki można traktować jako porównywalne RP W SET Statystyka 63

64 Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2% Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi W jaki sposób ma to zrobić? Krok 1 Zakładamy, że partia ma wadliwość 2% Krok 2 Pobierana jest próba elementów z partii towaru (np 100 elementów) k P {X = k} P {X k} RP W SET Statystyka 64

65 Krok 3 (wnioskowanie) Zaobserwowano k = 7 wadliwych: 1 Przypuszczenie jest słuszne i próba pechowa lub 2 Próba jest dobra, a przypuszczenie złe Uznać twierdzenie producenta za nieprawdziwe! Zaobserwowano co najmniej siedem wadliwych Wnioski jak wyżej Ostatecznie: Po zaobserwowaniu więcej niż sześciu wadliwych elementów raczej uznać twierdzenie producenta za nieprawdziwe W przeciwnym przypadku można uznać twierdzenie producenta za uzasadnione RP W SET Statystyka 65

66 Hipotezą statystyczną nazywamy dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu prawdopodobieństwa cechy w populacji Oznaczenie H 0 Testem hipotezy statystycznej nazywamy postępowanie mające na celu odrzucenie lub nie odrzucenie hipotezy statystycznej Statystyką testową nazywamy funkcję próby na podstawie której wnioskuje się o odrzuceniu lub nie hipotezy statystycznej Rzeczywistość: Wniosek o hipotezie H 0 hipoteza H 0 nie odrzucać odrzucić prawdziwa prawidłowy nieprawidłowy nieprawdziwa nieprawidłowy prawidłowy RP W SET Statystyka 66

67 Błędem I rodzaju nazywamy błąd wnioskowania polegający na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa Błędem II rodzaju nazywamy błąd wnioskowania polegający na nieodrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa Poziomem istotności nazywamy dowolną liczbę z przedziału (0, 1) określającą prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju Oznaczenie: α Mocą testu nazywamy prawdopodobieństwo odrzucenia testowanej hipotezy, gdy jest ona nieprawdziwa, czyli prawdopodobieństwo nie popełnienia błędu II rodzaju Oznaczenie: 1 β RP W SET Statystyka 67

68 Rozkład normalny Porównanie z normą H 0 : µ = µ 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test Studenta (poziom istotności α) Próba: X 1,, X n Statystyka testowa t emp = X µ 0 S Wartość krytyczna t(α; n 1) n Jeżeli t emp > t(α; n 1), to hipotezę H 0 : µ = µ 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 68

69 Przykład Przypuszczenie: maszyna pakująca kostki masła nastawiona na jednostkową masę 250 g uległa po pewnym czasie rozregulowaniu W celu weryfikacji tego przypuszczenia z bieżącej produkcji pobrano próbę otrzymując wyniki 254, 269, 254, 248, 263, 256, 258, 261, 264, 258 Czy można na tej podstawie sądzić, że maszyna uległa rozregulowaniu? Populacja: paczkowane kostki masła Cecha X: masa kostki masła Założenie: cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Formalizacja: Rozregulowanie maszyny może być interpretowane jako odejście od nominalnej wagi Zatem należy zbadać, czy średnia µ wynosi 250, czyli weryfikujemy hipotezę H 0 : µ = 250 RP W SET Statystyka 69

70 Technika statystyczna: test Studenta (test t) poziom istotności α = 005 Obliczenia x = 2585, s 2 = 3605, t emp = 447 Wartość krytyczna: t(005; 9) = Odpowiedź: hipotezę odrzucamy Wniosek: maszyna uległa rozregulowaniu RP W SET Statystyka 70

71 Moc testu Moc testu = 1 P {błąd II rodzaju} Moc testu = P {odrzucenie nieprawdziwej H 0 } Moc testu Studenta hipotezy H 0 : µ = µ 0 M(µ) = P { t emp > t(α; n 1) X N(µ, σ 2 )} M(µ 0 ) = α n = 10 n = 20 n = 30 RP W SET Statystyka 71

72 Przedział ufności a test hipotezy H 0 : µ = µ 0 Cecha X N(µ, σ 2 ) H 0 : µ = µ 0 H 0 nie odrzucamy na poziomie istotności α µ 0 t emp < t(α; n 1) t(α; n 1) < X µ 0 S ( n < t(α; n 1) X t(α; n 1) S n, X + t(α; n 1) S n ) µ 0 należy do przedziału ufności na poziomie ufności 1 α RP W SET Statystyka 72

73 H 0 : µ µ 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test Studenta (poziom istotności α) Próba: X 1,, X n Statystyka testowa t emp = X µ 0 S Wartość krytyczna t(2α; n 1) n Jeżeli t emp > t(2α; n 1), to hipotezę H 0 : µ µ 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 73

74 H 0 : σ 2 = σ 2 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test chi kwadrat (poziom istotności α) Próba: X 1,, X n Statystyka testowa χ 2 emp = varx σ 2 0 Wartości krytyczne χ 2 ( 1 α 2 ; n 1) oraz χ 2 ( α 2 ; n 1) Jeżeli χ 2 emp < χ 2 ( 1 α 2 ; n 1) lub χ 2 emp > χ 2 ( α 2 ; n 1), to hipotezę H 0 : σ 2 = σ 2 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 74

75 H 0 : σ 2 σ 2 0 Cecha X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) Średnia µ oraz wariancja σ 2 są nieznane Test chi kwadrat (poziom istotności α) Próba: X 1,, X n Statystyka testowa χ 2 emp = varx σ 2 0 Wartość krytyczna χ 2 (α; n 1) Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; n 1), to hipotezę H 0 : σ 2 σ 2 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 75

76 Przykład Na podstawie obserwacji prowadzonych przez długi okres czasu stwierdzono, że dzienny udój uzyskiwany w pewnym stadzie krów jest wielkością losową, zaś przeciętny dzienny udój mleka wyraża sie liczbą z przedziału (900, 1200) Rachunek finansowy pokazał, że produkcja mleka jest opłacalna, jeżeli całkowity dzienny udój będzie wynosił nie mniej niż d = 700 l mleka przez co najmniej 280 dni w roku W jaki sposób można zbadać, czy produkcja mleka jest opłacalna? Populacja: Cecha: całkowity dzienny udój Założenia: Cecha X ma rozkład N(µ, σ 2 ) µ d = 900 µ µ g = 1200 RP W SET Statystyka 76

77 Formalizacja problemu P {X d} p = P {X d} = 1 F ( ) d µ σ 1 F ( ) d µd σ 1 F ( ) d µd σ 1 p F ( ) d µd σ 1 p d µ d σ d, µ d oraz p są ustalone, więc F 1 (1 p) = u 1 p σ 2 σ 2 0 = ( ) 2 d µd = u 1 p Produkcja mleka jest opłacalna, jeżeli wariancja σ 2 dziennych udojów jest większa niż σ 2 0 = H 0 : σ RP W SET Statystyka 77

78 Rozkład dwupunktowy Porównanie z normą H 0 : p = p 0 Cecha X ma rozkład D(p) Próba: X 1,, X n (X i = 0 lub = 1) Statystyka testowa Y = n i=1 X i Jeżeli Y k 1 lub Y k 2, to hipotezę H 0 : p = p 0 należy odrzucić Liczby k 1 oraz k 2 dobrane są tak, że jeżeli Y jest zmienną losową o rozkładzie B(n, p 0 ), to P {Y k 1 lub Y k 2 } α RP W SET Statystyka 78

79 H 0 : p = p 0 Test przybliżony (poziom istotności α) Przypadek: n duże Statystyka testowa u emp = Y np 0 np0 (1 p 0 ) Wartość krytyczna u 1 α/2 Jeżeli u emp > u 1 α/2, to H 0 : p = p 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 79

80 H 0 : p p 0 Test przybliżony (poziom istotności α) Przypadek: n duże Statystyka testowa u emp = Y np 0 np0 (1 p 0 ) Wartość krytyczna u 1 α Jeżeli u emp > u 1 α, to H 0 : p p 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 80

81 Przykład W swojej ofercie sprzedaży stawu rybnego jego właściciel podaje, iż w stawie żyje co najmniej tysiąc karpi Potencjalny nabywca zainteresowany jest sprawdzeniem prawdziwości tego twierdzenia W tym celu wyłowiono sto karpi i po zaobrączkowaniu ich wpuszczono je z powrotem do stawu Po jakimś czasie ponownie odłowiono sto ryb i stwierdzono, że wśród nich jest piętnaście zaobrączkowanych Czy w świetle uzyskanych wyników można reklamę uznać za prawdziwą? Populacja: ryby w stawie Cecha: zaobrączkowanie ryby Założenia: Cecha X ma rozkład D(p) RP W SET Statystyka 81

82 Formalizacja problemu Jeżeli w stawie żyje co najmniej N ryb, to odsetek zaobrączkowanych jest co najwyżej 100/N Zgodnie z twierdzeniem właściciela, N 1000, czyli odsetek ryb zaobrączkowanych nie przekracza 01 Technika statystyczna Przybliżony test hipotezy H 0 : p 01 Poziom istotności: α = 005 Obliczenia u emp = Y = 15 n = 100 Y np 0 np0 (1 p 0 ) = = Wartość krytyczna: u = Odpowiedź: hipotezę odrzucamy Wniosek: należy uznać, że ogólna liczb ryb w stawie jest mniejsza niż podana w ofercie RP W SET Statystyka 82

83 Porównanie dwóch rozkładów normalnych Założenia: 1 X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2) 2 X 1, X 2 są niezależne Czy µ 1 = µ 2? Czy σ 2 1 = σ 2 2? Próby: X 11,, X 1n1 ; X 21,, X 2n2 X 1, varx 1, s 2 1 = varx 1 n 1 1 X 2, varx 2, s 2 2 = varx 2 n 2 1 RP W SET Statystyka 83

84 H 0 : µ 1 = µ 2 Założenie σ 2 1 = σ 2 2 Test Studenta (poziom istotności α) Statystyka testowa t emp = X 1 X 2 S r S r = S 2 e ( 1 n n 2 ), S 2 e = varx 1 + varx 2 n 1 + n 2 2 Wartość krytyczna t(α; n 1 + n 2 2) Jeżeli t emp > t(α; n 1 + n 2 2), to hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 84

85 H 0 : µ 1 = µ 2 Bez założenia σ 2 1 = σ 2 2 Test V Behrensa Fishera (poziom istotności α) Statystyka testowa V = X 1 X 2 S r S r = S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 Wartość krytyczna V (α; n 1 1, n 2 1, c) (n 1 n 2 ) c = S 2 1/n 1 S 2 1 /n 1 + S 2 2 /n 2 Jeżeli V > V (α; n 1 1, n 2 1, c), to hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 85

86 Przykład Porównać przeciętne osiągnięcia punktowe pań i panów na klasówce ze statystyki Panowie: n 1 = 138, x1i = 82833, varx 1 = Panie: n 2 = 162, x2i = 93733, varx 2 = Populacja 1: Słuchacze podstawowego kursu statystyki Populacja 2: Słuchaczki podstawowego kursu statystyki Cecha X: ilość punktów zdobytych na klasówce Założenia: cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ 1, σ 2 1) cecha X ma w populacji 2 rozkład N(µ 2, σ 2 2) σ 2 1 = σ 2 2 Zadanie: zweryfikować hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 Technika statystyczna: test t poziom istotności 005 RP W SET Statystyka 86

87 Obliczenia s 2 r = x 1 = x 2 = = ( ) 162 t emp = = 1634 Wartość krytyczna t(005; 298) 196 Odpowiedź: hipotezy nie odrzucamy Wniosek Średnie ilości punktów uzyskiwane przez panie i panów można traktować jako porównywalne RP W SET Statystyka 87

88 Przedział ufności a test hipotezy H 0 : µ 1 = µ 2 Cecha X 1 N(µ 1, σ 2 1), X 2 N(µ 2, σ 2 2), σ 2 1 = σ 2 2 H 0 : µ 1 = µ 2 H 0 nie odrzucamy na poziomie istotności α t emp < t(α; n 1 + n 2 2) t(α; n 1 + n 2 2) < X 1 X 2 S r < t(α; n 1 + n 2 2) 0 ( X1 X 2 ± t(α; n 1 + n 2 2)S r ) 0 należy do przedziału ufności na poziomie ufności 1 α RP W SET Statystyka 88

89 Przykład Porównać wartości średnie dwóch cech X 1 oraz X 2 o rozkładach normalnych H 0 : µ 1 = µ 2 Test V Behrensa Fishera (α = 005) Próby: n 1 = 20 x 1 = 7440 s 2 1 = 1541 n 2 = 20 x 2 = 6505 s 2 2 = 8373 V = = = 419 c = 1541/ / /20 = = 015 Wartość krytyczna V (005; 19, 19, 015) = 206 Ponieważ V > V (005; 19, 19, 015), więc hipotezę H 0 : µ 1 = µ 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 89

90 H 0 : µ 1 µ 2 Założenie σ 2 1 = σ 2 2 Test Studenta (poziom istotności α) Statystyka testowa t emp = X 1 X 2 S r Wartość krytyczna t(2α; n 1 + n 2 2) Jeżeli t emp > t(2α; n 1 + n 2 2), to hipotezę H 0 : µ 1 µ 2 odrzucamy Bez założenia σ 2 1 = σ 2 2 Test V Behrensa Fishera (poziom istotności α) Statystyka testowa V = X 1 X 2 S r Wartość krytyczna V (2α; n 1 1, n 2 1, c) (n 1 n 2 ) Jeżeli V > V (2α; n 1 1, n 2 1, c), to hipotezę H 0 : µ 1 µ 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 90

91 H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 1 S 2 2 Wartości ( krytyczne F 1 α ) 2 ; n 1 1, n 2 1 ( α F 2 ; n 1 1, n 2 1) Jeżeli F emp < F lub F emp > F ( 1 α ) 2 ; n 1 1, n 2 1 ( α 2 ; n 1 1, n 2 1) to hipotezę H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 91

92 Uwaga F (1 α; u, v) = 1 F (α; v, u) Reguła: większa wariancja do licznika Jeżeli S 2 1 > S 2 2, to wyznaczana jest statystyka F emp = S2 1 S 2 2 i hipoteza jest odrzucana, gdy F emp > F ( α 2 ; n 1 1, n 2 1) Jeżeli zaś S 2 1 < S 2 2, to wyznaczana jest statystyka F emp = S2 2 S 2 1 i hipoteza jest odrzucana, gdy F emp > F ( α 2 ; n 2 1, n 1 1) RP W SET Statystyka 92

93 Przykład Dla sprawdzenia stabilności pracy maszyny pobrano dwie próbki: pierwszą w początkowym okresie eksploatacji oraz drugą po miesięcznym okresie pracy tej maszyny Wykonano pomiary wylosowanych produktów i otrzymano wyniki: n 1 = 25, x 1 = 324, s 2 1 = oraz n 2 = 19, x 2 = 319, s 2 2 = Zbadać na tej podstawie czy maszyna nie rozregulowała się w trakcie pracy Populacja 1 produkcja maszyny w początkowym okresie Populacja 2 produkcja maszyny po miesiącu eksploatacji Cecha X pomiar produktu Założenia cecha X ma w populacji 1 rozkład N(µ 1, σ 2 1) cecha X ma w populacji 2 rozkład N(µ 2, σ 2 2) RP W SET Statystyka 93

94 Formalizacja Stabilność pracy maszyny może być mierzona podobieństwem wytwarzanych produktów: im własności produktów są do siebie bardziej zbliżone, tym bardziej stabilna jest praca maszyny Podobieństwo takie jest wyrażane wariancją cechy Zatem stabilność pracy można wyrazić liczbowo jako wariancję interesującej cechy produktu, a problem stabilności jako zagadnienie weryfikacji hipotezy H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 Technika statystyczna Test F (poziom istotności α = 010) Obliczenia F emp = s2 2 s 2 1 = 1051 Wartość krytyczna F (005; 19, 24) = 2114 Odpowiedź: hipotezy nie odrzucamy Wniosek: można uznać że maszyna nie rozregulowała się w trakcie pracy RP W SET Statystyka 94

95 H 0 : σ 2 1 σ 2 2 Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 1 S 2 2 Wartość krytyczna F (α; n 1 1, n 2 1) Jeżeli F emp > F (α; n 1 1, n 2 1) to hipotezę H 0 : σ 2 1 σ 2 2 odrzucamy Uwaga W tym przypadku zasada większa wariancja do licznika nie ma sensu RP W SET Statystyka 95

96 Porównanie dwóch rozkładów dwupunktowych Założenia: 1 X 1 D(p 1 ), X 2 D(p 2 ) 2 X 1, X 2 są niezależne H 0 : p 1 = p 2 Test przybliżony (poziom istotności α) ˆp 1 = k 1 n 1, ˆp 2 = k 2 n 2, ˆp = (k 1 + k 2 ) (n 1 + n 2 ) Statystyka testowa u emp = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ) u emp u 1 α/2 = H 0 : p 1 = p 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 96

97 Przykład Celem badania było porównanie przygotowania z matematyki kandydatów na studia będących absolwentami liceów oraz techników W tym celu spośród kandydatów zdających matematykę wylosowano 400 absolwentów liceów oraz 600 absolwentów techników W wylosowanej grupie stwierdzono, że 385 absolwentów liceów oraz 501 absolwentów techników rozwiązało test wstępny Czy można na tej podstawie sądzić, że przygotowanie w obu grupach absolwentów jest jednakowe? Populacja 1: absolwenci liceów zdający egzamin wstępny Populacja 2: absolwenci techników zdający egzamin wstępny Cecha X: umiejętność rozwiązania testu (tak/nie) Założenia: cecha X ma w populacji 1 rozkład D(p 1 ) cecha X ma w populacji 2 rozkład D(p 2 ) Formalizacja Weryfikacja hipotezy H 0 : p 1 = p 2 RP W SET Statystyka 97

98 Technika statystyczna Test przybliżony (poziom istotności α = 005) Obliczenia n 1 = 400 k 1 = 385 ˆp 1 = 385/400 = n 2 = 600 k 2 = 501 ˆp 2 = 501/600 = u emp = ˆp = ( )/( ) = (1 0886) ( ) = Wartość krytyczna u 0975 = 196 Odpowiedź: hipotezę H 0 : p 1 = p 2 odrzucamy Wniosek: przygotowanie absolwentów liceów i techników z matematyki nie jest takie same RP W SET Statystyka 98

99 H 0 : p 1 p 2 Test przybliżony (poziom istotności α) ˆp 1 = k 1 n 1, ˆp 2 = k 2 n 2, ˆp = (k 1 + k 2 ) (n 1 + n 2 ) Statystyka testowa u emp = ˆp 1 ˆp 2 ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ) u emp u 1 α = H 0 : p 1 p 2 odrzucamy RP W SET Statystyka 99

100 Porównanie wielu rozkładów normalnych Założenia: 1 X i N(µ i, σi 2 ), i = 1,, k 2 X 1,, X k są niezależne Czy µ 1 = = µ k? Czy σ 2 1 = = σ 2 k? Próby: X i1,, X ini, i = 1,, k X i, varx i, s 2 i = varx i n i 1 ; i = 1,, k RP W SET Statystyka 100

101 H 0 : µ 1 = = µ k Założenie σ 2 1 = = σ 2 k Test F (poziom istotności α) Statystyka testowa F emp = S2 a S 2 e S 2 a = 1 k 1 k n i ( X i X) 2 i=1 S 2 e = 1 N k k n i (X ij X i ) 2 i=1 j=1 X i = 1 n i n i X ij, X = 1 N k n i X ij j=1 i=1 j=1 N = k n i i=1 RP W SET Statystyka 101

102 Jeżeli F emp > F (α; k 1, N k), to hipotezę H 0 : µ 1 = = µ k odrzucamy Wniosek praktyczny: przynajmniej jedna ze średnich µ 1,, µ k jest inna od pozostałych Model analizy wariancji X ij = µ i + ε ij Błąd losowy ε ij N(0, σ 2 ) Przykłady Plenność kilku odmian pewnej rośliny uprawnej Wydajność pracowników kilku zakładów pracy Zarobki kilku grup społecznych Czynnik: odmiana, zakład, grupa Poziomy czynnika: badane odmiany, badane zakłady, badane grupy RP W SET Statystyka 102

103 Model analizy wariancji X ij = µ + a i + ε ij a i efekt i tego poziomu czynnika: k i=1 a i = 0 H 0 : a 1 = = a k = 0, H 0 : Tabela analizy wariancji k a 2 i = 0 i=1 Źródło Stopnie Sumy Średnie F emp zmienności swobody kwadratów kwadraty Czynnik k 1 vara S 2 a = vara k 1 Błąd losowy N k vare S 2 e = vare N k Ogółem N 1 vart S2 a/s 2 e vara = k n i ( X i X) 2, vare = i=1 k n i (X ij X i ) 2, i=1 j=1 k n i vart = (X ij X) 2, i=1 j=1 vara + vare = vart RP W SET Statystyka 103

104 Grupy jednorodne podzbiory średnich, które można uznać za takie same Procedury porównań wielokrotnych postępowanie statystyczne zmierzające do podzielenia zbioru średnich na grupy jednorodne Procedury: Tukeya, Scheffégo, Bonfferroniego, Duncana, Newmana Kuelsa i inne Ogólna idea procedur porównań wielokrotnych (n 1 = = n k ) N IR najmniejsza istotna różnica Jeżeli X i X j < NIR, to uznajemy, że µ i = µ j Jeżeli X i X j < NIR X i X l < NIR X l X j < NIR, to uznajemy, że µ i = µ j = µ l Badając w ten sposób wszystkie pary średnich próbkowych otrzymujemy podział zbioru średnich na grupy jednorodne RP W SET Statystyka 104

105 Procedura Tukeya Założenie: n 1 = = n k = n NIR = t(α; k, N k)s e 1 n t(α; k, N k) wartość krytyczna studentyzowanego rozstępu Przypadek nierównolicznych prób Jedna z modyfikacji procedury Tukeya NIR ij = t(α; k, N k)s e 1 2 ( 1 n i + 1 n j ) RP W SET Statystyka 105

106 Przykład Przeprowadzić analizę porównawczą wyników punktowych klasówki w grupach studenckich Populacje Możemy wyodrębnić dziesięć populacji indeksowanych numerami grup studenckich Cecha X Ilość punktów uzyskanych na klasówce Założenia cecha X ma w i tej populacji rozkład N(µ i, σ 2 i ) (i = 1,, 10) σ 2 1 = = σ 2 10 Formalizacja weryfikacja hpotezy H 0 : µ 1 = = µ 10 Techniki statystyczna Jednoczynnikowa analiza wariancji Porównania szczegółowe Poziom istotności 005 RP W SET Statystyka 106

107 Obliczenia i n i xi x 2 i i n i x i n i ( x i x) 2 varx i N =300 x= vara= vare= vart = /300 = RP W SET Statystyka 107

108 Tabela analizy wariancji Źródło Stopnie Sumy Średnie Femp zmienności swobody kwadratów kwadraty Grupa Błąd losowy Ogółem Wartość krytyczna F (005; 9, 290) = 1912 Odpowiedź: hipotezę H 0 : µ 1 = = µ 10 odrzucamy Wniosek: przynajmniej jedna grupa uzyskała inną średnią liczbę punktów niż pozostałe RP W SET Statystyka 108

109 Wyznaczenie grup jednorodnych Procedura Tukeya (α = 005) Wartość krytyczna: t(005; 10, 290) = 4474 NIR = = i x i RP W SET Statystyka 109

110 RP W SET Statystyka 110

111 Porównanie wariancji Cecha X i ma rozkład normalny N(µ i, σi 2) Średnie µ i oraz wariancje σi 2 są nieznane H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k Test Bartletta (poziom istotności α) Statystyka testowa M = (N k) ln ( 1 N k k k (n i 1)Si 2 i=1 ) i=1 (n i 1) ln S 2 i S 2 i = 1 n i 1 n i j=1 (X ij X i ) 2 Jeżeli M > m(α), to H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k odrzucamy RP W SET Statystyka 111

112 m(α) = 1 c 1 c [(c 1 c 3 )m 1 (α; k, c 1 ) + (c 3 c)m 2 (α; k, c 1 )] c 1 = k i=1 1 n i 1 1 N k c 3 = k i=1 1 (n i 1) 1 3 (N k), 3 c = c 3 1/k 2, m 1 (α; k, c 1 ), m 2 (α; k, c 1 ) są stablicowane Jeżeli wszystkie n i > 4, to statystyka testowa M 1 + c 1 /(3(k 1)) ma w przybliżeniu rozkład chi kwadrat z k 1 stopniami swobody Jeżeli c 1 = 0, to m 1 (α; k, c 1 ) = m 2 (α; k, c 1 ) = χ 2 (α; k 1) RP W SET Statystyka 112

113 Przypadek n 1 = = n k = n Test Cochrana (poziom istotności α) Statystyka testowa G = S 2 max S S2 k S 2 max = max{s 2 1,, S 2 k} Jeżeli G > g(α; k, n), to H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k odrzucamy Wartości krytyczne g(α; k, n) są podane w tablicach RP W SET Statystyka 113

114 Przypadek n 1 = = n k = n Test Hartleya (poziom istotności α) Statystyka testowa F max = S2 max S 2 min S 2 min = min{s 2 1,, S 2 k} Jeżeli F max > f max (α; k, n), to H 0 : σ 2 1 = = σ 2 k odrzucamy Wartości krytyczne f max (α; k, n) są podane w tablicach RP W SET Statystyka 114

115 Przykład W celu porównania zróżnicowania cen targowiskowych na jaja w czterech województwach w Polsce z każdego województwa wylosowano pewne ilości targowisk i zanotowano przeciętne ceny jaj na tych targowiskach Po odpowiednich przeliczeniach uzyskano nastepujące wyniki Województwo Liczba targowisk n i Wariancja s 2 i Czy można na tej podstawie uznać, że zróżnicowanie cen w badanych województwach jest takie same? Populacje Są cztery populacje: targowiska w badanych województwach Cecha X przeciętna cena jaj na targowisku Założenie cecha w i tej populacji ma rozkład N(µ i, σ 2 i ) (i = 1, 2, 3, 4) RP W SET Statystyka 115

116 Formalizacja Miernikiem zróżnicowania cechy jest jej wariancja Zatem problem analizy porównawczej zróżnicowania cen można zapisać jako zagadnienie weryfikacji hipotezy H 0 : σ 2 1 = = σ 2 4 Technika statystyczna Test Bartletta (poziom istoności α = 005) Obliczenia n i (n i 1)s 2 i (n i 1)lns 2 i 1/(n i 1) 1/(n i 1) Razem M = (26 4) ln ( ) = c 1 = c 3 = (26 4) = (26 4) 3 = c = = RP W SET Statystyka 116

117 Wartość krytyczna m(005) = m 1 (005; 4, 07141) = m 2 (005; 4, 07141) = ( )84630+( ) = Odpowiedź: nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy Wniosek: zróżnicowanie cen targowiskowych w badanych województwach można uznać za takie same RP W SET Statystyka 117

118 Badanie zgodności z określonym rozkładem H 0 : Cecha X ma rozkład F F jest dowolnym rozkładem prawdopodobieństwa Test chi kwadrat zgodności F jest rozkładem ciągłym Test Kołmogorowa F jest rozkładem normalnym Test Shapiro Wilka RP W SET Statystyka 118

119 Test Chi kwadrat zgodności (poziom istotności α) Statystyka testowa Klasa Liczebność 1 n 1 2 n 2 k n k χ 2 emp = k i=1 (n i n t i )2 n t i n t i = Np t i, N = k n i, i=1 p t i = P F {X przyjęła wartość z klasy i} Wartość krytyczna χ 2 (α; k u 1) (u jest liczbą nieznanych parametrów hipotetycznego rozkładu F ) Wniosek Jeżeli χ 2 emp > χ 2 (α; k u 1), to hipotezę H 0 odrzucamy RP W SET Statystyka 119

120 Przykład Pracodawca przypuszcza, że liczba pracowników nieobecnych w różne dni tygodnia nie jest taka sama W tym celu w ciągu pewengo okresu czasu zebrał następujące dane Dzień n i Poniedziałek 200 Wtorek 160 Środa 140 Czwartek 140 Piątek 100 Populacja: Cecha X: dzień nieobecności pracownika Założenie: cecha przyjmuje wartości będące nazwami dni tygodnia (cecha jakościowa) RP W SET Statystyka 120