Logika i teoria typów Ko-rekursja i ko-indukcja

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Logika i teoria typów Ko-rekursja i ko-indukcja"

Transkrypt

1 Logika i teoria typów Ko-rekursja i ko-indukcja Wykład maja 2016 Strumienie Jaki sens ma równanie Stream = int Stream? Można je potraktować podobnie jak równanie int = 1 int, i rozważać typ rekurencyjny (indukcyjny) Stream = µp. int p. Ale to jest najmniejsze rozwiązanie równania: typ pusty. Najmniejszy punkt stały µ = µp. σ(p): - Kres górny (suma) ciągu aproksymacji skończonych. - Najmniejszy prefixpoint : σ(r) R f : σ(r) R µ R Elim f : µ R Na przykład: 1 R R f : 1 R R nat R Elim f : nat R Najmniejszy punkt stały µ = µp. σ(p): - Kres górny (suma) ciągu aproksymacji skończonych. - Najmniejszy prefixpoint : σ(r) R f : σ(r) R µ R Elim f : µ R Największy punkt stały ν = νp. σ(p): - Kres dolny (przecięcie) ciągu aproksymacji nieskończonych. - Największy postfixpoint : R σ(r) f : R σ(r) R ν Intro f : R ν Największy postfixpoint R σ(r) f : R σ(r) R ν Intro f : R ν Na przykład: R nat R f : R nat R R Stream Intro f : R Stream Co to znaczy? - Jeśli R nat R, to każdy element R jest strumieniem. - Funkcja R nat R wyznacza funkcję R Stream. Destruktory dla strumieni: hd : Stream nat i tl : Stream Stream. W Coqu destruktory nie są pierwotne. Definiujemy je przez dopasowanie: CoInductive Stream : Set := Cons : nat -> Stream -> Stream. Definition hd (s : Stream) := match s with Cons a t => a end. Definition tl (s : Stream) := match s with Cons a t => t end. Coq < Check hd. Coq < Check tl. hd : Stream -> nat tl : Stream -> Stream Przykład Coquanda Może być więcej niż jeden konstruktor. (Nie ma uniwersalnych destruktorów.) Proces typu P może wczytać liczbę i wypisać liczbę. in : (nat P) P; out : nat P P. Na przykład coś takiego: in(λn 1. out(0, in(λn 2. out(n 1, out(1, in(λn 3... Można definiować procesy ko-rekurencyjnie: p = in(λn. out(n + 1, p))

2 Przykład: definicje korekurencyjne: Predykaty koindukcyjne CoFixpoint samezera : Stream := Cons 0 samezera. CoFixpoint parzysteod : nat -> Stream := fun n :nat => Cons n (parzysteod (n+2)). Definition wszystkieparzyste := parzysteod 0. Coq < Eval simpl in hd (tl (wszystkieparzyste)). = 2 : nat Równość strumieni (czerwona): s = t, wtedy i tylko wtedy, gdy: hd(s) = hd(t) oraz tl(s) = tl(t) To jest bisymulacja. Predykat koindukcyjny: strumień składa się tylko z liczb parzystych. CoInductive Sameparzyste : Stream -> Prop := krok : forall x : Stream, even (hd x) -> Sameparzyste (tl x) -> Sameparzyste x. Dowód przez koindukcję: (zakładamy, że zeroparz : even(0)) CoFixpoint samezera : Stream := Cons 0 samezera. CoFixpoint Zeraparzyste : Sameparzyste samezera := krok samezera zeroparz Zeraparzyste. Coq < Zeraparzyste is corecursively defined Sens moralny CoInductive Sameparzyste : Stream -> Prop := krok : forall x : Stream, even (hd x) -> Sameparzyste (tl x) -> Sameparzyste x. CoFixpoint Zeraparzyste : Sameparzyste samezera := krok samezera zeroparz Zeraparzyste. Predykat Sameparzyste to w istocie największy punkt stały operacji s even s. W tym dowodzie korzystamy z reguły R even R R Sameparzyste dla relacji R = {samezera} Kolokwialny dowód przez ko-indukcję Kolokwialny dowód przez ko-indukcję Chcemy udowodnić, że każdy strumień z rodziny R składa się wyłącznie z liczb parzystych. Weźmy dowolny strumień s R. Sprawdzamy, że hd(s) jest liczbą parzystą. Sprawdzamy, że tl(s) też należy do rodziny R. Z założenia koindukcyjnego wnioskujemy, że tl(s) składa się z samych liczb parzystych. A zatem s też składa się tylko z liczb parzystych. Twierdzenie udowodnione. Chcemy udowodnić, że strumień samezera składa się wyłącznie z liczb parzystych. Weźmy więc ten strumień. Sprawdzamy, że hd(samezera) = 0 jest liczbą parzystą. Sprawdzamy, że tl(s) to też samezera. Z założenia koindukcyjnego wnioskujemy, że strumień samezera składa się z samych liczb parzystych. A zatem strumień samezera składa się tylko z liczb parzystych. Twierdzenie udowodnione. Bałamutny dowód przez ko-indukcję Definicje produktywne Chcemy udowodnić, że strumień samezera składa się wyłącznie z liczb parzystych. Korzystaliśmy z założenia koindukcyjnego, że strumień tl(samezera) = samezera składa się z samych liczb parzystych. Ale w takim razie teza wynika bezpośrednio z założenia koindukcyjnego! Twierdzenie udowodnione!? Nie, ten dowód nie jest produktywny Dowód przez koindukcję, to definicja nieskończonego obiektu zbudowanego z konstruktorów właściwych dla dowodzonego predykatu koindukcyjnego (w tym przypadku krok). Definicja nieskończonego obiektu (np. strumienia) jest produktywna, jeśli definiowany obiekt redukuje się do postaci kanonicznej (z konstruktorem) i wszystkie jego składowe też. Te definicje nie są produktywne: CoFixpoint Bad : CoFixpoint Dab : Stream := Bad. Stream := tl (Cons 0 Dab)

3 Nieproduktywna definicja funkcji F : Stream Stream CoFixpoint F : Stream -> Stream := fun s : Stream => Cons ((hd s)+(hd(tl s))) (F(F(tl(tl(s))))) Czyli po ludzku: F (a :: b :: t) = (a + b :: F 2 (t)). Co jest na drugim miejscu w strumieniu F (0 :: 1 :: 2 :: 3...)? Liczymy: F (0 :: 1 :: 2 :: 3...) = 1 :: F (F (2 :: 3...)) = 1 :: F (2 + 3 :: F 2 (4...)) = 1 :: F (2 + 3 :: F (4 + 5 :: F 2 (6...)) Nie można ewaluować F (2 + 3 :: F 2 (4...)), bo argument nie jest postaci a :: b :: t. Jak zagwarantować produktywność Definicje korekurencyjne w Coqu muszą być strzeżone (guarded). Wywołania rekurencyjne są dozwolone tylko bezpośrednio pod konstruktorem czołowym. Definicja: CoFixpoint F : Stream -> Stream := fun s : Stream => Cons ((hd s)+(hd(tl s))) (F(F(tl(tl(s))))) jest niestrzeżona, bo F występuje pod F. Gdzie drwa rąbią... Ta definicja jest, owszem, produktywna: F (a :: t) = (a + 1 :: F 2 (t)). Ale Coq jej też nie lubi: CoFixpoint F : Stream -> Stream := fun s : Stream => Cons ((hd s)+1) (F(F(tl(s)))). Coq < Error: Recursive definition of F is ill-formed. In environment F : Stream -> Stream s : Stream Nested recursive occurrences. Recursive definition is: "fun s : Stream => Cons (hd s + 1) (F (F (tl s)))". Gdzie drwa rąbią... Ta definicja jest też produktywna i też nie działa: CoFixpoint wszystkieparzyste : Stream := Cons 0 (map (fun x:nat => x+2) wszystkieparzyste). Coq < Error: Recursive definition of wszystkieparzyste is ill-formed. In environment wszystkieparzyste : Stream Unguarded recursive call in "cofix map (f : nat -> nat) (s : Stream) : Stream := Cons (f (hd s)) (map f (tl s))". Recursive definition is: "Cons 0 (map (fun x : nat => x + 2) wszystkieparzyste)". Type constructors Higher-order polymorphism Example: Why is (λzy. y(zi)(zk))(λx. xx) untypable in F? Because types we can assign to I and K differ too much: I : p. p p K : p. p (q p). There is no common pattern for these two types... unless we write it this way: I, K : p. p α(p). Here, α is a type constructor: if p : Type then α(p) : Type. We say that the kind of α is Type Type. Zamiast Type piszemy gwiazdkę. System F ω Kinds: The constant is a kind; If 1 and 2 are kinds then 1 2 is a kind. Constructors: Constructor variables of any kind; Applications ϕ 1 2 ψ 1 : 2 ; Abstractions λα 1 φ 2 : 1 2 ; Function types τ σ : ; Polymorphic types α τ :. Constructor reduction: (λα σ)τ β σ[α := τ]. Type assignment F ω VAR Γ x : σ when Γ(x) = σ APP ABS INST GEN Γ M : σ τ Γ N : σ Γ (M N) : τ Γ(x : σ) M : τ Γ (λx M) : σ τ Γ M : α σ Γ M : nf (σ[α := τ]) Γ M : σ Γ M : α σ α FV(Γ)

4 Example Example Let α :, ϕ : ( ) ( ). Then: K : p (p q p) 2 : α ( p (p α(p)) p (p α(α(p)))) 2 : [ α ( p (p α(p)) p (p (α(α(p))))] [ α ( p (p α(p)) p (p (α(α(α(α(p)))))))] Therefore 22K : p (p q q q q p) Let 1 = λfu. fu and 1 = λvg. gv. The term (λx. z(x1)(x1 ))(λy. yyy) is strongly normalizable, but untypable in F ω 2 : ϕ([ α ( p (p α(p)) p (p ϕ(α)(p)] [ α ( p (p α(p)) p (p (ϕ(ϕ(α))(p))))] Therefore 222K : p (p q q q q p) Properties of F ω Dependent types Every typable term is strongly normalizing. Type-checking and typability problems are undecidable. The inhabitation problem is undecidable. Dependent types System λp Principal idea: Type array[n] depends on n : int. It is created by a type constructor (type family) array : int. Curry-Howard: Constructor P : τ is a predicate on τ. Adding all numbers in an array: Parameterized by n: sum n : array[n] int sum : (n : int) array[n] int sum : n:int. array[n] int Kategorie syntaktyczne: Termy, np. λx z :q. α(z) λy p q v p. x(yv); Typy i konstruktory, np. λx τ. αx p Rodzaje, np. τ σ. Nie ma absolutnej definicji termu, konstruktora, ani rodzaju. Wszystko zależy od otoczenia. Np. to, czy αx jest legalnym typem czy nie, zależy od rodzaju zmiennej α i typu zmiennej x. Surowa składnia ( raw terms ) Alternatywna notacja κ ::= (Πx :φ κ); φ ::= α ( x :φ φ) (φm) (λx :φ φ); M ::= x (MM) (λx :φ M); (x : τ ) κ zamiast Πx:τ. κ; τ κ, gdy x nie jest wolne w κ; (x : τ ) σ zamiast x:τ. σ; τ σ, gdy x nie jest wolne w σ. Γ ::= Γ, (x : φ) Γ, (α : κ).

5 Wiązanie zmiennych Alfa-konwersja FV( ) =, FV(α) = {α}, FV(x) = {x}, FV(EE ) = FV(E) FV(E ), FV( x :φ E) = FV(φ) (FV(E) {x}), gdzie {λ, Π, }. (Zakładamy alfa-konwersję) Niech x : p oraz P : p. Który z tych osądów jest poprawny? Γ (λx:px. x) : x:px. Px? Γ (λx:px. x) : y:px. Px? Po przemianowaniu zmiennych: Γ (λy:px. y) : y:px. Px (czyli Px Px). Ćwiczenie Beta-redukcja Podstawienie E[x := M], gdzie M to surowy term, definiujemy jak zwykle. Nie ma typu x:px. Px, czyli typu y:px. Py. Bo wtedy P : P x. Beta-redukcja: (λx :τ. M)N β M[x := N]; (λx :τ. φ)n β φ[x := N]. Trzy rodzaje osądów Poprawne otoczenie Kind formation judgements of the form Γ κ :, ( κ is a kind in the environment Γ ) Kinding judgements of the form Γ ϕ : κ, ( ϕ is a constructor of kind κ in Γ. ) Typing judgements of the form Γ M : τ, ( M is a term of type τ in Γ. ) Do tego mamy pięć rodzajów reguł. Otoczenie Γ jest ciągiem deklaracji, a nie zbiorem. Poprawne otoczenie: takie, które występuje w jakimś wyprowadzalnym osądzie. Nie każdy ciąg deklaracji jest poprawnym otoczeniem, np. ciąg {α : p, x : p} nie jest, bo najpierw trzeba zadeklarować p :. Można udowodnić taki fakt: Γ jest poprawne wtedy i tylko wtedy, gdy Γ :. Metazmienne w regułach System λp: reguły κ rodzaj; τ, σ typy; ϕ konstruktor; M term obiektowy; x zmienna obiektowa; α zmienna konstruktorowa (typowa).

6 Formowanie rodzajów Rodzajowanie : Γ, x : τ κ : Γ Πx :τ κ : Γ κ : (α Dom(Γ)) Γ, α : κ α : κ Wszystkie rodzaje są postaci Πx 1 : τ 1... x n : τ n., czyli postaci (x 1 : τ 1 ) (x n : τ n ). Ale tu mogą być zależności: (x 1 : τ 1 ) (x 2 : τ 2 (x 1 )) (x 3 : τ 3 (x 1, x 2 )) (x n : τ n (x 1,..., x n 1 )). Γ, x : τ σ : Γ ( x :τ σ) : Γ ϕ : (Πx :τ κ) Γ M : τ Γ (ϕm) : κ[x := M] Γ, x : τ ϕ : κ Γ (λx :τ ϕ) : (Πx :τ κ) Typowanie Osłabianie (generyczne) Γ τ : (x Dom(Γ)) Γ, x : τ x : τ Γ M : ( x :τ σ) Γ N : τ Γ (MN) : σ[x := N] Γ, x : τ M : σ Γ (λx :τ M) : ( x :τ σ) Γ τ : Γ ls : ps Γ, x : τ ls : ps Γ κ : Γ ls : ps Γ, α : κ ls : ps (x Dom(Γ)) (α Dom(Γ)) Konwersja Przykłady Γ ϕ : κ Γ κ : (κ = β κ ) Γ ϕ : κ Γ M : σ Γ σ : (σ = β σ ) Γ M : σ Uwaga: Sprawdzanie typu jest nieelementarne! (Bo taka jest konwersja = β.) Niech Γ = {τ :, α : τ, β : τ }. Term λx z:τ. αz βz λy z:τ. αz λz τ. xz(yz) ma w Γ typ ( x :τ. αx βx) ( x :τ. αx) x :τ. βx. Term λf τ τ λy x:τ. αx α(fx) λx τ λz αx. y(fx)(yxz) ma typ f :τ τ. ( x :τ. αx α(fx)) x :τ. αx α(f 2 (x)). Term λy τ λf Πx:τ α(x) λg α(y) τ. f (g(fy)) ma typ y τ f Πx:τ α(x) g α(y) τ. α(g(f (y))). Wzajemne uwikłanie Poprawność Rodzaje nie występują w termach, konstruktorach i typach, ale: W termach i rodzajach mogą występować konstruktory i typy; W rodzajach, konstruktorach i typach mogą występować termy. Na przykład w rodzaju (x : τ ) α(λx β(y) x) jest term λx β(y) x, a w nim typ β(y). Lemma Jeśli Γ ϕ : κ, to Γ κ :, a jeśli Γ M : τ to Γ τ :. Theorem Jeśli Γ M : σ oraz M β M, to Γ M : σ. Jeśli Γ ϕ : κ oraz ϕ β ϕ, to Γ ϕ : κ. Jeśli Γ κ : oraz κ β κ, to Γ κ :.

7 Wycieranie zależności Wycieranie zależności Wycieranie zależności z konstruktorów i typów: α = α; ( x : τ )σ = τ σ; ϕm = ϕ. Wynikiem jest zawsze typ prosty. Wycieranie zależności z termów: x = x; MN = M N; λx:τ.m = λx:τ.m. Wycieranie zależności z otoczenia: Γ = {(x : τ ) (x : τ ) Γ}. Wycieranie zależności Wycieranie zależności (term : typ) Wycieranie zależności z rodzajów (na razie niepotrzebne): = 0; Π(x : τ )κ = τ κ; Wynikiem jest typ prosty. Fakt: Jeśli Γ M : τ, to Γ M : τ Na przykład: Term λx z:τ. αz βz λy z:τ. αz λz τ. xz(yz) ma typ ( x :τ. αx βx) ( x :τ. αx) x :τ. βx. Jego wytarciem jest S = λx τ α β λy τ α λz τ. xz(yz) typu (τ α β) (τ α) τ β Wycieranie typów System λp à la Curry Wycieranie typów x = x; λx:τ.m = λx M ; MN = M N. Def: Beztypowy term M jest typowalny w λp, gdy istnieją takie Γ, N, τ, że Γ λp N : τ oraz N = M. Fakt: Term M jest typowalny w λp, wtedy i tylko wtedy, gdy jest typowalny w typach prostych. Lemat: M = M. Dowód: Jeśli Γ λp N : τ, to Γ N : τ w typach prostych w stylu Churcha. Zatem Γ N : τ czyli Γ N : τ. Sprawdzanie typu à la Curry Problem inhabitacji dla λp Fakt 1: Term M jest typowalny w λp, wtedy i tylko wtedy, gdy jest typowalny w typach prostych. Fakt: Następujący problem jest nierozstrzygalny: Dane Γ i τ. Czy istnieje taki term N, że Γ λp N : τ? Fakt 2: Następujący problem jest nierozstrzygalny: Dany beztypowy term M oraz Γ i τ. Czy istnieje taki term N, że Γ λp N : τ oraz N = M? Dowód: W systemie λp mieści się intuicjonistyczna logika pierwszego rzędu (dla i, ale to wystarczy).

8 Silna normalizacja Translacja Termy λp przerabiamy na termy Churcha w typach prostych. Twierdzenie: System λp ma własność silnej normalizacji. Dowód: Zrobimy redukcję do typów prostych. Na razie mamy wycieranie zależności. Jeśli Γ M : τ, to Γ M : τ ale to za mało. Zamiast M zrobimy M. x = x; (MN) = M N ; (λx:τ. M) = (λz 0 λx τ. M )τ. O co tu chodzi? Przy tej translacji nie gubią się redeksy wewnątrz typu τ. Translacja Translacja Konstruktory i typy też przerabiamy na termy: α = x α, gdzie x α jest nową zmienną; (ϕm) = ϕ M ; (λx:τ. ϕ) = (λz 0 λx τ. ϕ )τ ; ( x:τ. σ) = yτ (λx τ. σ ), gdzie y : 0 (τ 0) 0 jest nową zmienną. Dla dowolnego Γ definiujemy: Γ + = {x : τ (x : τ ) Γ} {x α : κ (α : κ) Γ} {y ρ : 0 (ρ 0) 0 ρ typ prosty}. Fakt 1: Jeśli Γ ϕ : κ, to Γ + ϕ : κ w typach prostych. Fakt 2: Jeśli Γ M : τ, to Γ + M : τ w typach prostych. Silna normalizacja Fakt 3: If M 1 β M 2 then M 1 + β M 2. Fakt 4: Jeśli ϕ 1 β ϕ 2 to ϕ 1 + β ϕ 2. Twierdzenie: System λp ma własność silnej normalizacji. Dowód: Nieskończona redukcja w λp M 0 β M 1 β M 2 β tłumaczy się na nieskończoną redukcję w λ : M 0 + β M 1 + β M 2 + β

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria typów. Typy rekurencyjne (i indukcyjne) Recursive types (Curry style) Positive and Negative. Positive recursive types.

Logika i teoria typów. Typy rekurencyjne (i indukcyjne) Recursive types (Curry style) Positive and Negative. Positive recursive types. Logika i teoria typów Wykład 11 Typy rekurencyjne (i indukcyjne) 18 maja 2016 Recursive types (Curry style) Positive and Negative + Principal idea: Type µp. τ (p) is a solution of X = τ (X ). For example,

Bardziej szczegółowo

Rachunek lambda, zima

Rachunek lambda, zima Rachunek lambda, zima 2015-16 Wykład 2 12 października 2015 Tydzień temu: Własność Churcha-Rossera (CR) Jeśli a b i a c, to istnieje takie d, że b d i c d. Tydzień temu: Własność Churcha-Rossera (CR) Jeśli

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria typów

Logika i teoria typów Logika i teoria typów Wykład 10 4 maja 2016 Logika drugiego rzędu, czyli Polimorfizm Klasyczna logika drugiego rzędu Składnia: Zmienne relacyjne i kwantyfikatory R, R. Klasyczna logika drugiego rzędu Składnia:

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria typów

Logika i teoria typów Logika i teoria typów Wykład 1 2 marca 2016 O czym będzie ten wykład: Powtórzenie z rachunku lambda. Logika intuicjonistyczna. Logika jako gra dialogowa. Podstawy logiki liniowej. Logika klasyczna, kontynuacje

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów. Zbiory i funkcje. Powtórzenie z rachunku lambda. Ekstensjonalność (?) Beztypowy rachunek lambda

O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów. Zbiory i funkcje. Powtórzenie z rachunku lambda. Ekstensjonalność (?) Beztypowy rachunek lambda O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów Wykład 1 2 marca 2016 Powtórzenie z rachunku lambda. Logika intuicjonistyczna. Logika jako gra dialogowa. Podstawy logiki liniowej. Logika klasyczna, kontynuacje

Bardziej szczegółowo

Rekurencyjna przeliczalność

Rekurencyjna przeliczalność Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi

Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

rachunku kombinatorów logiką kom- binatoryczną Zmienne przedmiotowe Podstawienie słabej redukcji kombinatorami

rachunku kombinatorów logiką kom- binatoryczną Zmienne przedmiotowe Podstawienie słabej redukcji kombinatorami 12 Wykłady 12 i 13: Rachunek λ Rachunek kombinatorów, typy proste i izomorfizm Curry-Howarda Zdefiniujemy teraz system CL(beztypowego) rachunku kombinatorów, zwany także logiką kombinatoryczną, chociaż

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Obliczenia i wnioskowanie w systemie Coq

Obliczenia i wnioskowanie w systemie Coq Obliczenia i wnioskowanie w systemie Coq Małgorzata Biernacka Instytut Informatyki UWr Wykład 2 05.03.2013 1 Pewne pojęcia podstawowe dowód formalny logika konstruktywna izomorfizm Curry ego-howarda, czyli

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda

Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda 1 Wstęp Wartości logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu

Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Agnieszka Kozubek Nr albumu: 197879 Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu Praca magisterska na kierunku INFORMATYKA Praca

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7

2.1 Przykład wstępny Określenie i konstrukcja Model dwupunktowy Model gaussowski... 7 Spis treści Spis treści 1 Przedziały ufności 1 1.1 Przykład wstępny.......................... 1 1.2 Określenie i konstrukcja...................... 3 1.3 Model dwupunktowy........................ 5 1.4

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Rachunek lambda

Wykład 2: Rachunek lambda Wykład 2: Rachunek lambda Systemy typów, II UWr, 2010 20 października 2010 λ-termy zmienne (Var) {x, y, z,...} nieskończony, przeliczalny zbiór zmiennych termy (Term) t ::= x λx.t t t skróty notacyjne

Bardziej szczegółowo

Topologia zbioru Cantora a obwody logiczne

Topologia zbioru Cantora a obwody logiczne Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Programowanie Funkcyjne. Marcin Kubica Świder,

Programowanie Funkcyjne. Marcin Kubica Świder, Programowanie Funkcyjne Marcin Kubica Świder, 28-04-2015 Czym jest programowanie funkcyjne? Obliczalne pojęcia matematyczne. Definicje stałych i funkcji i relacji. Wszystkie definicje są konstruktywne,

Bardziej szczegółowo

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.

ϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }. VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (4)

Wstęp do Matematyki (4) Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976]

R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976] R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976] Programowanie 2009 - seminarium grupy zaawansowanej Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 1 lipca 2009 1 Motywacja Funkcje

Bardziej szczegółowo

Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja

Bisymulacja. Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych. Grzegorz Maj Grzegorz Maj Bisymulacja Niezawodność systemów współbieżnych i obiektowych 18.03.2009 Plan prezentacji Przypomnienie: Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Plan prezentacji Przypomnienie: Gra bisymulacyjna Definicje

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Jak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość

Jak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość 11. Wykład 11: Rachunek λ. Obliczenia i obliczalność. Rachunek λ jest systemem pozornie bardzo prostym. Abstrakcja i aplikacja wydają się trywialnymi operacjami, i może się zdawać, że niczego ciekawego

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawowe operatory genetyczne Plan wykładu Przypomnienie 1 Przypomnienie Metody generacji liczb

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 1 Wstęp Wartości

Bardziej szczegółowo

Programowanie. Lista zadań nr 15. Na ćwiczenia 11, 19 i 23 czerwca 2008

Programowanie. Lista zadań nr 15. Na ćwiczenia 11, 19 i 23 czerwca 2008 Programowanie Lista zadań nr 15 Na ćwiczenia 11, 19 i 23 czerwca 2008 Zadanie 1. Pokaż, że w systemie z polimorfizmem parametrycznym można napisać program P n rozmiaru O(n), którego typ ma rozmiar 2 2Ω(n).

Bardziej szczegółowo

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju

Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Kilka podstawowych pojęć Definition Programy imperatywne zmieniają stan, czyli wartości zmiennych. Asercja = warunek logiczny, który

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

CsPL, system do weryfikacji bezpieczeństwa programów p.1/20

CsPL, system do weryfikacji bezpieczeństwa programów p.1/20 CsL, system do weryfikacji bezpieczeństwa programów XVII FI, Karpacz 003 Wiktor Zychla, Wojciech omanik Uniwersytet Wrocławski Instytut Informatyki 13 grudnia 003 CsL, system do weryfikacji bezpieczeństwa

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Poprawność programów Jeżeli projektujemy algorytmy lub piszemy programy, to ważne jest pytanie, czy nasz algorytm lub program

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

DIAGRAMY SYNTAKTYCZNE JĘZYKA TURBO PASCAL 6.0

DIAGRAMY SYNTAKTYCZNE JĘZYKA TURBO PASCAL 6.0 Uwaga: DIAGRAMY SYNTAKTYCZNE JĘZYKA TURBO PASCAL 6.0 1. Zostały pominięte diagramy: CYFRA, CYFRA SZESNASTKOWA, ZNAK i LITERA. Nie została uwzględniona możliwość posługiwania się komentarzami. 2. Brakuje

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14

Logika i teoria mnogości Wykład 14 Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w

Bardziej szczegółowo

Helena Boguta, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019

Helena Boguta, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019 Poniższy zbiór zadań został wykonany w ramach projektu Mazowiecki program stypendialny dla uczniów szczególnie uzdolnionych - najlepsza inwestycja w człowieka w roku szkolnym 2018/2019. Składają się na

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 9 i 10 1 / 30 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki WYKŁAD 6 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Własności Wariancji Przypomnijmy, że VarX = E(X EX) 2 = EX 2 (EX) 2. Własności

Bardziej szczegółowo

Zadanie 4 Zadanie 5 Zadanie 6. Repetytorium z JFiZO. Jakub Michaliszyn 25 maja 2017

Zadanie 4 Zadanie 5 Zadanie 6. Repetytorium z JFiZO. Jakub Michaliszyn 25 maja 2017 Repetytorium z JFiZO Jakub Michaliszyn 25 maja 2017 dom(m) jest rekurencyjny wtw, gdy istnieje całkowita funkcja rekurencyjna t M (n) taka, że jeśli M(n) staje, to staje po dokładnie t M (n) krokach. dom(m)

Bardziej szczegółowo

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.

Bardziej szczegółowo

Poprawność semantyczna

Poprawność semantyczna Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Przegląd metod optymalizacji wielowymiarowej. Funkcja testowa. Funkcja testowa. Notes. Notes. Notes. Notes. Tomasz M. Gwizdałła

Przegląd metod optymalizacji wielowymiarowej. Funkcja testowa. Funkcja testowa. Notes. Notes. Notes. Notes. Tomasz M. Gwizdałła Przegląd metod optymalizacji wielowymiarowej Tomasz M. Gwizdałła 2012.12.06 Funkcja testowa Funkcją testową dla zagadnień rozpatrywanych w ramach tego wykładu będzie funkcja postaci f (x) = (x 1 1) 4 +

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5

Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2016/2017 Outline Moduły i bariery abstrakcji 1 Moduły i bariery abstrakcji Moduły co to jest i po co to jest? Duży system dzielimy na mniejsze, łatwiejsze

Bardziej szczegółowo

Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych

Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Kierunek matematyka Praca dyplomowa magisterska Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Promotor: dr Paweł Gładki

Bardziej szczegółowo