Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi
|
|
- Grażyna Sikora
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1
2 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Rachunek lambda z typami prostymi λ Izomorfizm Curry ego-howarda Rachunek lambda z typami prostymi λ Przykłady dla λ Własności rachunku lambda z typami prostymi Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 2
3 Materiały do tego wykładu zawierają głównie przykłady. Definicje pojęć, twierdzenia i dowody można znaleźć np. tutaj: H.P.Barendregt, Lambda Calculi with Types, w: S.Abramsky, Dov M. Gabbay, T.S.E. Maibaum, Handbook of Logic in Computer Science, vol. 2, Clarendon Press, Oxford 1992, pp , henk/papers.html M.Felleisen, M.Flatt, Programming Languages and Lambda Calculi, draft 2006, J.R.Hindley, J.P.Seldin, Lambda-Calculus and Combinators, an Introduction, Cambridge University Press, Cambridge 2008 M.H.Sørensen, P.Urzyczyn, Lectures on the Curry-Howard Isomorphism, Elsevier, Amsterdam 2006 P.Urzyczyn, Rachunek lambda, wykład monograficzny, urzy/lambda/ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 3
4 Dowody konstruktywne Twierdzenie. Istnieją dwie niewymierne liczby a i b takie, że a b jest wymierne. Dowód. Albo ( 2) 2 jest wymierne i wtedy a = b = 2 albo ( 2) 2 jest niewymierne i wtedy a = ( 2) 2, b = 2. Dowód tego twierdzenie jest oczywiście poprawny w logice klasycznej. Jest to przykład dowodu niekonstruktywnego, ze względu na wykorzystanie reguły wykluczonego środka. Pomimo, że twierdzenie jest dowiedzione i wiadomo, że liczby a i b istnieją, to nie można (na podstawie dowodu) znaleźć pary liczb spełniających warunek określony w twierdzeniu. Konstruktywny dowód tego twierdzenia jest oparty na twierdzeniu Gelfonda Schneidera.Wynika z niego, że liczby a = b = 2 spełniają powyższe twierdzenie. Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 4
5 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji sekwentowej I Γ, ϕ ϕ Γ ϕ (W ) Γ, ψ ϕ reguły wprowadzania reguły eliminacji Γ, ϕ ψ Γ ϕ ψ Γ, ϕ ( I) Γ ϕ Γ 1 ϕ ψ Γ 2 ϕ ( E) Γ 1, Γ 2 ψ Γ 1 ϕ Γ 2 ϕ ( E) Γ 1, Γ 2 Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 5
6 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji sekwentowej II reguły wprowadzania reguły eliminacji Γ 1 ϕ Γ 2 ψ ( I) Γ 1, Γ 2 ϕ ψ Γ ϕ ψ ( E1 ) Γ ϕ Γ ϕ Γ ϕ ψ ( I 1 ) Γ ϕ ψ ( E2 ) Γ ψ Γ ψ ( I 2 ) Γ ϕ ψ ( I) brak Γ 1 ϕ ψ Γ 2, ϕ ρ Γ 3, ψ ρ ( E) Γ 1, Γ 2, Γ 3 ρ brak Γ ( E) Γ ϕ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 6
7 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji sekwentowej III reguły wprowadzania reguły eliminacji Γ 1, ϕ ψ Γ 2, ψ ϕ ( I) Γ 1, Γ 2 ϕ ψ Γ 1 ϕ ψ Γ 2 ϕ ( E1 ) Γ 1, Γ 2 ψ Γ 1 ϕ ψ Γ 2 ψ ( E2 ) Γ 1, Γ 2 ϕ Γ, ϕ (RAA) Γ ϕ dla logiki klasycznej lub Γ ϕ ( ) Γ ϕ lub ϕ ϕ (T ND) (RAA) reductio ad absurdum (reguła sprowadzenia do sprzeczności) (T ND) tertium non datur (reguła wykluczonego środka) ( ) reguła podwójnego zaprzeczenia Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 7
8 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji założeniowej I reguły wprowadzania reguły eliminacji ϕ ψ ( I) ϕ ψ ϕ ψ ( E1 ) ϕ ϕ ψ ( E2 ) ψ ϕ ϕ ψ ( I 1 ) ψ ϕ ψ ( I 2 ) ϕ ψ [ϕ] n. ρ ρ [ψ] n. ρ n( E) ( I) brak brak ( E) ϕ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 8
9 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji założeniowej II reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ [ϕ] n. ϕ n n ( I) ϕ ψ ϕ ( E) ψ ϕ ϕ ( E) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 9
10 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji założeniowej III reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ [ψ] n. ϕ n( I) ϕ ψ ϕ ( E1) ψ dla logiki klasycznej ϕ ψ ψ ( E2) ϕ [ ϕ] n. lub ϕ ( ) ϕ lub ϕ ϕ ϕ n(raa) (RAA) reductio ad absurdum (reguła sprowadzenia do sprzeczności) (T ND) tertium non datur (reguła wykluczonego środka) ( ) reguła podwójnego zaprzeczenia (T ND) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 10
11 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo sylogizmu hipotetycznego: (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Notacja sekwentowa. ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ( E) ψ ρ ψ ρ ϕ ψ, ϕ ψ ( E) ψ ρ, ϕ ψ, ϕ ρ ψ ρ, ϕ ψ ϕ ρ ϕ ψ (ψ ρ) ϕ ρ (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 11
12 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo sylogizmu hipotetycznego: (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Notacja założeniowa. [ϕ ψ] 2 [ϕ] 3 [ψ ρ] 1 ( E) ψ ρ ( E) 3 ϕ ρ 1 (ψ ρ) ϕ ρ 2 (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 12
13 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Notacja sekwentowa. p q p q ( E) p q r p q r p q p p q p q ( E) ( E) p q r, p q q r p q q ( E) p q r, p q r p q r p q r (p q r) (p q r) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 13
14 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Notacja założeniowa. [ϕ ψ] 1 [ϕ ψ ρ] 2 ( E) ϕ ( E) ψ ρ ρ ϕ ψ ρ 1 (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) [ϕ ψ] 1 ( E) ψ ( E) 2 Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 14
15 Rachunek lambda z typami prostymi λ Relacja typizująca Γ M : τ gdzie Γ oznacza kontekst typizujący Γ {x 1 : σ 1,..., x n : σ n } w którym każda zmienna występuje co najwyżej raz. Γ M : τ można czytać w kontekście Γ term M ma typ τ. Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 15
16 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Wersja 1: notacja sekwentowa Γ, x : τ x : τ Γ M : τ Γ, x : σ M : τ (W) Γ, x : σ M : τ Γ λx.m : σ τ Γ 1 M : σ τ Γ 2 N : σ ( E) Γ 1, Γ 2 MN : τ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 16
17 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Wersja 2: notacja założeniowa reguła wprowadzania reguła eliminacji [x : ϕ]. M : ψ λx.m : ϕ ψ M : ϕ ψ N : ϕ ( E) MN : ψ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 17
18 Izomorfizm Curry ego-howarda Termin izomorfizm Curry ego-howarda oznacza ścisłą odpowiedniość pomiędzy formułami i typami dowodami i termami (programami) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 18
19 Izomorfizm Curry ego-howarda Prawo sylogizmu hipotetycznego: (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ g : ϕ ψ g : ϕ ψ x : ϕ x : ϕ ( E) f : ψ ρ f : ψ ρ g : ϕ ψ, x : ϕ gx : ψ ( E) f : ψ ρ, g : ϕ ψ, x : ϕ f(gx) : ρ f : ψ ρ, g : ϕ ψ λx.f(gx) : ϕ ρ g : ϕ ψ λfx.f(gx) : (ψ ρ) ϕ ρ λgfx.f(gx) : (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Prawo sylogizmu hipotetycznego = składanie funkcji Niech będą dane dwie funkcje f : ψ ρ oraz g : ϕ ψ. Złożenie (f g) : ϕ ρ jest definiowane następująco (patrz wykład 3): (f g)(x) = f(gx) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 19
20 Izomorfizm Curry ego-howarda f : ϕ ϕ f : ϕ ϕ (W ) f : ϕ ϕ, x : ψ f : ϕ ϕ f : ϕ ϕ λx.f : ψ ϕ ϕ y : ϕ y : ϕ λfx.f : (ϕ ϕ) ψ ϕ ϕ λy.y : ϕ ϕ ( E) (λfx.f)(λy.y) : ψ ϕ ϕ Przedstawione drzewo wywodu nie jest najprostsze. Wykorzystano założenie f : ϕ ϕ. Jednak w prawym poddrzewie rzeczywiście udowodniliśmy ϕ ϕ, wobec tego założenie f : ϕ ϕ właściwie nie było potrzebne. W efekcie otrzymany λ-term zawiera β-redeks. Niżej przedstawiono najkrótszy dowód ψ ϕ ϕ. y : ϕ y : ϕ (W ) x : ψ, y : ϕ y : ϕ x : ψ λy.y : ϕ ϕ λxy.y : ψ ϕ ϕ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 20
21 Izomorfizm Curry ego-howarda Normalizacja (upraszczanie) dowodów redukcja termów x : σ x : σ D 1, x : σ M : τ D 2 λx.m : σ τ Γ N : σ ( E) Γ, (λx.m)n : τ β D 2 Γ N : σ D 1[x := N] Γ, M[x := N] : τ Bezpośrednio po regule wprowadzania została użyta reguła eliminacji ( E). D Γ M : σ τ x : σ x : σ ( E) Γ, x : σ Mx : τ Γ λx.mx : σ τ Bezpośrednio po regule eliminacji ( E) została użyta reguła wprowadzania. Zakładamy, że x F V (M). η D Γ M : σ τ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 21
22 Izomorfizm Curry ego-howarda Przykład (bardziej skomplikowany) D= [y : σ τ] [z : σ] ( E) yz : τ [v : τ ξ] [u : τ] ( E) vu : ξ λu.vu : τ ξ [x : σ τ ξ] [z : σ] ( E) λvu.vu : (τ ξ) τ ξ xz : τ ξ ( E) (λvu.vu)(xz) : τ ξ D (λvu.vu)(xz)(yz) : ξ λz.(λvu.vu)(xz)(yz) : σ ξ λyz.(λvu.vu)(xz)(yz) : (σ τ) σ ξ λxyz.(λvu.vu)(xz)(yz) : (σ τ ξ) (σ τ) σ ξ W otrzymanym λ-termie są zawarte dwa redeksy: η-redeks λvu.vu oraz β-redeks (λv.m)(xz). Po redukcji otrzymamy term λxyz.xz(yz). Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 22
23 Izomorfizm Curry ego-howarda Przykładowy wywód po zastosowaniu η D= [y : σ τ] [z : σ] yz : τ ( E) [v : τ ξ] [x : σ τ ξ] [z : σ] ( E) λv.v : (τ ξ) τ ξ xz : τ ξ ( E) (λv.v)(xz) : τ ξ D (λv.v)(xz)(yz) : ξ λz.(λv.v)(xz)(yz) : σ ξ λyz.(λv.v)(xz)(yz) : (σ τ) σ ξ λxyz.(λv.v)(xz)(yz) : (σ τ ξ) (σ τ) σ ξ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 23
24 Izomorfizm Curry ego-howarda Przykładowy wywód po zastosowaniu β D= [y : σ τ] [z : σ] yz : τ ( E) [x : σ τ ξ] [z : σ] ( E) xz : τ ξ D ( E) xz(yz) : ξ λz.xz(yz) : σ ξ λyz.xz(yz) : (σ τ) σ ξ λxyz.xz(yz) : (σ τ ξ) (σ τ) σ ξ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 24
25 Rachunek lambda z typami prostymi λ Relacja typizująca Γ M : τ gdzie Γ oznacza kontekst typizujący Γ {x 1 : σ 1,..., x n : σ n } w którym każda zmienna występuje co najwyżej raz. Γ M : τ można czytać w kontekście Γ term M ma typ τ. Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 25
26 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Notacja sekwentowa Γ, x : τ x : τ Γ M : τ Γ, x : σ M : τ (W) Γ, x : σ M : τ Γ λx.m : σ τ Γ 1 M : σ τ Γ 2 N : σ ( E) Γ 1, Γ 2 MN : τ Γ M : ϕ N : ψ ( I) Γ, pair MN : ϕ ψ Γ M : ϕ ψ ( E1 ) Γ fst M : ϕ Γ M : ϕ ψ ( E2 ) Γ snd M : ψ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 26
27 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Notacja sekwentowa Γ M : ϕ Γ inl M : ϕ ψ ( I 1 ) Γ M : ψ Γ inr M : ϕ ψ ( I 2 ) Γ M : ϕ ψ 1, x : ϕ P : ρ 2, x : ψ Q : ρ ( E) Γ, 1, 2 when M(λx.P )(λx.q) : ρ Γ M : Γ absurde M : τ ( E) Γ, x : σ M : ( I) Γ neg λx.m : σ Γ 1 M : σ Γ 2 N : σ ( E) Γ 1, Γ 2 nege MN : Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 27
28 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły redukcji dla λ (λx.m)n M[x := N] fst(pair MN) M snd(pair MN) N when(inl M)P Q P M when(inr M)P Q QM nege(neg M)N MN Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 28
29 Przykłady dla λ Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Notacja sekwentowa. D= x : p q x : p q x : p q snd x : q ( E) x : p q x : p q ( E) f : p q r f : p q r x : p q fst x : p ( E) f : p q r, x : p q f(fst x) : q r D f : p q r, x : p q f(fst x)(snd x) : r f : p q r λx.f(fst x)(snd x) : p q r λf.λx.f(fst x)(snd x) : (p q r) (p q r) Prawo importacji = zwijanie funkcji (patrz wykład 3, funkcja uncurry) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 29
30 Przykłady dla λ Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ Notacja założeniowa. [x : ϕ ψ] ( E) [f : ϕ ψ ρ] fst x : ϕ [x : ϕ ψ] ( E) ( E) f(fst x) : ψ ρ snd x : ψ ( E) f(fst x)(snd x) : ρ λx.f(fst x)(snd x) : ϕ ψ ρ λfλx.f(fst x)(snd x) : (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ Prawo importacji = zwijanie funkcji (patrz wykład 3, funkcja uncurry) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 30
31 Przykłady dla λ Prawo eksportacji: (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ [x : ϕ] [y : ψ] ( I) [f : ϕ ψ ρ] pair x y : ϕ ψ ( E) f(pair x y) : ρ λy.f(pair x y) : ψ ρ λxy.f(pair x y) : ϕ ψ ρ λfxy.f(pair x y) : (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ Prawo eksportacji = rozwijanie funkcji (patrz wykład 3, funkcja curry) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 31
32 Własności rachunku lambda z typami prostymi Podstawianie. Jeśli Γ, x : σ M : τ oraz Γ N : σ, to Γ M[x := N] : τ. Poprawność redukcji. Jeśli Γ M : τ oraz M βη N, to Γ N : τ. Silna normalizacja. Jeśli Γ M : τ to term M jest silnie normalizowalny. Typ główny (najogólniejszy). Jeśli term M jest typizowalny, to istnieje dla niego typ główny, z którego można otrzymać wszystkie typy tego termu (przez odpowiednie podstawienia za zmienne przebiegające typy). Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 32
Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań
Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy
Bardziej szczegółowoLOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółoworachunku kombinatorów logiką kom- binatoryczną Zmienne przedmiotowe Podstawienie słabej redukcji kombinatorami
12 Wykłady 12 i 13: Rachunek λ Rachunek kombinatorów, typy proste i izomorfizm Curry-Howarda Zdefiniujemy teraz system CL(beztypowego) rachunku kombinatorów, zwany także logiką kombinatoryczną, chociaż
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda
Instytut Informatyki Programowanie funkcyjne Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna w informatyce
Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoElementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoLogika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Bardziej szczegółowoLogika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława
Bardziej szczegółowoJak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość
11. Wykład 11: Rachunek λ. Obliczenia i obliczalność. Rachunek λ jest systemem pozornie bardzo prostym. Abstrakcja i aplikacja wydają się trywialnymi operacjami, i może się zdawać, że niczego ciekawego
Bardziej szczegółowoIII rok kognitywistyki UAM,
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek predykatów
Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoLogika i teoria typów
Logika i teoria typów Wykład 1 2 marca 2016 O czym będzie ten wykład: Powtórzenie z rachunku lambda. Logika intuicjonistyczna. Logika jako gra dialogowa. Podstawy logiki liniowej. Logika klasyczna, kontynuacje
Bardziej szczegółowoO czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów. Zbiory i funkcje. Powtórzenie z rachunku lambda. Ekstensjonalność (?) Beztypowy rachunek lambda
O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów Wykład 1 2 marca 2016 Powtórzenie z rachunku lambda. Logika intuicjonistyczna. Logika jako gra dialogowa. Podstawy logiki liniowej. Logika klasyczna, kontynuacje
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ
Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 1 Wstęp Wartości
Bardziej szczegółowoJęzyk rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...
Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie
Bardziej szczegółowo-termami -wyrażeń pre-termami abstrakcją aplikacją zmiennych wolnych zmienną związaną domknięte
8. Wykład 8: Rachunek λ. Wprowadzenie. Rachunek lambda i logika kombinatoryczna powstały w latach trzydziestych dwudziestego wieku. Początkowo miały stanowić alternatywne wobec teorii mnogości podejście
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoImię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY
Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.
Bardziej szczegółowoRachunek lambda, zima
Rachunek lambda, zima 2015-16 Wykład 2 12 października 2015 Tydzień temu: Własność Churcha-Rossera (CR) Jeśli a b i a c, to istnieje takie d, że b d i c d. Tydzień temu: Własność Churcha-Rossera (CR) Jeśli
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.
Bardziej szczegółowoLogiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM
Logiczne podstawy informatyki 1 RACHUNEK λ Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Czysty rachunek λ Symbole - zmienne: x, y,
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoWykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda
Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda 1 Wstęp Wartości logiczne Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy
Bardziej szczegółowoLogika rachunek zdań
Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoLogiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk
Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Bardziej szczegółowoZasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
Bardziej szczegółowoDefinicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:
Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoR. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976]
R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976] Programowanie 2009 - seminarium grupy zaawansowanej Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 1 lipca 2009 1 Motywacja Funkcje
Bardziej szczegółowoParadygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoWykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna dla inżynierów
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję
Bardziej szczegółowoZiemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoInstytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba
Bardziej szczegółowoKultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Kilka podstawowych pojęć Definition Programy imperatywne zmieniają stan, czyli wartości zmiennych. Asercja = warunek logiczny, który
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoMetoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoKonsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
Model jako : Stosowana Analiza Regresji Wykład XI 21 Grudnia 2011 1 / 11 Analiza kowariancji Model jako : Oprócz czynnika o wartościach nominalnych chcemy uwzględnić wpływ predyktora o wartościach ilościowych
Bardziej szczegółowoAdam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura
Bardziej szczegółowoZagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce
Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcjonalne
Programowanie funkcjonalne Wykªad 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcjonalne, Wykªad 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda 1 Formalizacje
Bardziej szczegółowoElementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcjonalne. Wykªad 12
Programowanie funkcjonalne. Wykªad 12 Podstawowe informacje o rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcjonalne. Wykªad 12, Podstawowe informacje o rachunku lambda 1 Literatura
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowoLogika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:
Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowoMetoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10
Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,
Bardziej szczegółowoProblem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Agnieszka Kozubek Nr albumu: 197879 Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu Praca magisterska na kierunku INFORMATYKA Praca
Bardziej szczegółowoWykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową
Bardziej szczegółowoMyślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Bardziej szczegółowoUzgadnianie formuł rachunku predykatów
Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie
Bardziej szczegółowoFormalizacja podstawowych pojęć rachunku lambda
Formalizacja podstawowych pojęć rachunku lambda Antoni Kościelski 1 Zmienne Zbiór zmiennych będziemy oznaczać literą V. Zakładamy, że jest to zbiór nieskończony (przeliczalny). Chcemy mieć do dyspozycji
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (I JiIN UAM)
Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1
Bardziej szczegółowoGramatyka Kategorialna Języka Polskiego
Gramatyka Kategorialna Języka Polskiego Wojciech Jaworski Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 3 października 2011 Wojciech Jaworski (MIM UW) Gramatyka Kategorialna Języka Polskiego 3 października
Bardziej szczegółowo