Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi"

Transkrypt

1 Programowanie funkcyjne Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 1

2 Dowody konstruktywne Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Rachunek lambda z typami prostymi λ Izomorfizm Curry ego-howarda Rachunek lambda z typami prostymi λ Przykłady dla λ Własności rachunku lambda z typami prostymi Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 2

3 Materiały do tego wykładu zawierają głównie przykłady. Definicje pojęć, twierdzenia i dowody można znaleźć np. tutaj: H.P.Barendregt, Lambda Calculi with Types, w: S.Abramsky, Dov M. Gabbay, T.S.E. Maibaum, Handbook of Logic in Computer Science, vol. 2, Clarendon Press, Oxford 1992, pp , henk/papers.html M.Felleisen, M.Flatt, Programming Languages and Lambda Calculi, draft 2006, J.R.Hindley, J.P.Seldin, Lambda-Calculus and Combinators, an Introduction, Cambridge University Press, Cambridge 2008 M.H.Sørensen, P.Urzyczyn, Lectures on the Curry-Howard Isomorphism, Elsevier, Amsterdam 2006 P.Urzyczyn, Rachunek lambda, wykład monograficzny, urzy/lambda/ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 3

4 Dowody konstruktywne Twierdzenie. Istnieją dwie niewymierne liczby a i b takie, że a b jest wymierne. Dowód. Albo ( 2) 2 jest wymierne i wtedy a = b = 2 albo ( 2) 2 jest niewymierne i wtedy a = ( 2) 2, b = 2. Dowód tego twierdzenie jest oczywiście poprawny w logice klasycznej. Jest to przykład dowodu niekonstruktywnego, ze względu na wykorzystanie reguły wykluczonego środka. Pomimo, że twierdzenie jest dowiedzione i wiadomo, że liczby a i b istnieją, to nie można (na podstawie dowodu) znaleźć pary liczb spełniających warunek określony w twierdzeniu. Konstruktywny dowód tego twierdzenia jest oparty na twierdzeniu Gelfonda Schneidera.Wynika z niego, że liczby a = b = 2 spełniają powyższe twierdzenie. Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 4

5 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji sekwentowej I Γ, ϕ ϕ Γ ϕ (W ) Γ, ψ ϕ reguły wprowadzania reguły eliminacji Γ, ϕ ψ Γ ϕ ψ Γ, ϕ ( I) Γ ϕ Γ 1 ϕ ψ Γ 2 ϕ ( E) Γ 1, Γ 2 ψ Γ 1 ϕ Γ 2 ϕ ( E) Γ 1, Γ 2 Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 5

6 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji sekwentowej II reguły wprowadzania reguły eliminacji Γ 1 ϕ Γ 2 ψ ( I) Γ 1, Γ 2 ϕ ψ Γ ϕ ψ ( E1 ) Γ ϕ Γ ϕ Γ ϕ ψ ( I 1 ) Γ ϕ ψ ( E2 ) Γ ψ Γ ψ ( I 2 ) Γ ϕ ψ ( I) brak Γ 1 ϕ ψ Γ 2, ϕ ρ Γ 3, ψ ρ ( E) Γ 1, Γ 2, Γ 3 ρ brak Γ ( E) Γ ϕ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 6

7 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji sekwentowej III reguły wprowadzania reguły eliminacji Γ 1, ϕ ψ Γ 2, ψ ϕ ( I) Γ 1, Γ 2 ϕ ψ Γ 1 ϕ ψ Γ 2 ϕ ( E1 ) Γ 1, Γ 2 ψ Γ 1 ϕ ψ Γ 2 ψ ( E2 ) Γ 1, Γ 2 ϕ Γ, ϕ (RAA) Γ ϕ dla logiki klasycznej lub Γ ϕ ( ) Γ ϕ lub ϕ ϕ (T ND) (RAA) reductio ad absurdum (reguła sprowadzenia do sprzeczności) (T ND) tertium non datur (reguła wykluczonego środka) ( ) reguła podwójnego zaprzeczenia Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 7

8 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji założeniowej I reguły wprowadzania reguły eliminacji ϕ ψ ( I) ϕ ψ ϕ ψ ( E1 ) ϕ ϕ ψ ( E2 ) ψ ϕ ϕ ψ ( I 1 ) ψ ϕ ψ ( I 2 ) ϕ ψ [ϕ] n. ρ ρ [ψ] n. ρ n( E) ( I) brak brak ( E) ϕ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 8

9 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji założeniowej II reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ [ϕ] n. ϕ n n ( I) ϕ ψ ϕ ( E) ψ ϕ ϕ ( E) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 9

10 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Reguły wnioskowania w notacji założeniowej III reguły wprowadzania reguły eliminacji [ϕ] n. ψ ϕ ψ [ψ] n. ϕ n( I) ϕ ψ ϕ ( E1) ψ dla logiki klasycznej ϕ ψ ψ ( E2) ϕ [ ϕ] n. lub ϕ ( ) ϕ lub ϕ ϕ ϕ n(raa) (RAA) reductio ad absurdum (reguła sprowadzenia do sprzeczności) (T ND) tertium non datur (reguła wykluczonego środka) ( ) reguła podwójnego zaprzeczenia (T ND) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 10

11 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo sylogizmu hipotetycznego: (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Notacja sekwentowa. ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ( E) ψ ρ ψ ρ ϕ ψ, ϕ ψ ( E) ψ ρ, ϕ ψ, ϕ ρ ψ ρ, ϕ ψ ϕ ρ ϕ ψ (ψ ρ) ϕ ρ (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 11

12 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo sylogizmu hipotetycznego: (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Notacja założeniowa. [ϕ ψ] 2 [ϕ] 3 [ψ ρ] 1 ( E) ψ ρ ( E) 3 ϕ ρ 1 (ψ ρ) ϕ ρ 2 (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 12

13 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Notacja sekwentowa. p q p q ( E) p q r p q r p q p p q p q ( E) ( E) p q r, p q q r p q q ( E) p q r, p q r p q r p q r (p q r) (p q r) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 13

14 Dedukcja naturalna dla rachunku zdań Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Notacja założeniowa. [ϕ ψ] 1 [ϕ ψ ρ] 2 ( E) ϕ ( E) ψ ρ ρ ϕ ψ ρ 1 (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) [ϕ ψ] 1 ( E) ψ ( E) 2 Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 14

15 Rachunek lambda z typami prostymi λ Relacja typizująca Γ M : τ gdzie Γ oznacza kontekst typizujący Γ {x 1 : σ 1,..., x n : σ n } w którym każda zmienna występuje co najwyżej raz. Γ M : τ można czytać w kontekście Γ term M ma typ τ. Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 15

16 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Wersja 1: notacja sekwentowa Γ, x : τ x : τ Γ M : τ Γ, x : σ M : τ (W) Γ, x : σ M : τ Γ λx.m : σ τ Γ 1 M : σ τ Γ 2 N : σ ( E) Γ 1, Γ 2 MN : τ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 16

17 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Wersja 2: notacja założeniowa reguła wprowadzania reguła eliminacji [x : ϕ]. M : ψ λx.m : ϕ ψ M : ϕ ψ N : ϕ ( E) MN : ψ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 17

18 Izomorfizm Curry ego-howarda Termin izomorfizm Curry ego-howarda oznacza ścisłą odpowiedniość pomiędzy formułami i typami dowodami i termami (programami) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 18

19 Izomorfizm Curry ego-howarda Prawo sylogizmu hipotetycznego: (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ g : ϕ ψ g : ϕ ψ x : ϕ x : ϕ ( E) f : ψ ρ f : ψ ρ g : ϕ ψ, x : ϕ gx : ψ ( E) f : ψ ρ, g : ϕ ψ, x : ϕ f(gx) : ρ f : ψ ρ, g : ϕ ψ λx.f(gx) : ϕ ρ g : ϕ ψ λfx.f(gx) : (ψ ρ) ϕ ρ λgfx.f(gx) : (ϕ ψ) (ψ ρ) ϕ ρ Prawo sylogizmu hipotetycznego = składanie funkcji Niech będą dane dwie funkcje f : ψ ρ oraz g : ϕ ψ. Złożenie (f g) : ϕ ρ jest definiowane następująco (patrz wykład 3): (f g)(x) = f(gx) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 19

20 Izomorfizm Curry ego-howarda f : ϕ ϕ f : ϕ ϕ (W ) f : ϕ ϕ, x : ψ f : ϕ ϕ f : ϕ ϕ λx.f : ψ ϕ ϕ y : ϕ y : ϕ λfx.f : (ϕ ϕ) ψ ϕ ϕ λy.y : ϕ ϕ ( E) (λfx.f)(λy.y) : ψ ϕ ϕ Przedstawione drzewo wywodu nie jest najprostsze. Wykorzystano założenie f : ϕ ϕ. Jednak w prawym poddrzewie rzeczywiście udowodniliśmy ϕ ϕ, wobec tego założenie f : ϕ ϕ właściwie nie było potrzebne. W efekcie otrzymany λ-term zawiera β-redeks. Niżej przedstawiono najkrótszy dowód ψ ϕ ϕ. y : ϕ y : ϕ (W ) x : ψ, y : ϕ y : ϕ x : ψ λy.y : ϕ ϕ λxy.y : ψ ϕ ϕ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 20

21 Izomorfizm Curry ego-howarda Normalizacja (upraszczanie) dowodów redukcja termów x : σ x : σ D 1, x : σ M : τ D 2 λx.m : σ τ Γ N : σ ( E) Γ, (λx.m)n : τ β D 2 Γ N : σ D 1[x := N] Γ, M[x := N] : τ Bezpośrednio po regule wprowadzania została użyta reguła eliminacji ( E). D Γ M : σ τ x : σ x : σ ( E) Γ, x : σ Mx : τ Γ λx.mx : σ τ Bezpośrednio po regule eliminacji ( E) została użyta reguła wprowadzania. Zakładamy, że x F V (M). η D Γ M : σ τ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 21

22 Izomorfizm Curry ego-howarda Przykład (bardziej skomplikowany) D= [y : σ τ] [z : σ] ( E) yz : τ [v : τ ξ] [u : τ] ( E) vu : ξ λu.vu : τ ξ [x : σ τ ξ] [z : σ] ( E) λvu.vu : (τ ξ) τ ξ xz : τ ξ ( E) (λvu.vu)(xz) : τ ξ D (λvu.vu)(xz)(yz) : ξ λz.(λvu.vu)(xz)(yz) : σ ξ λyz.(λvu.vu)(xz)(yz) : (σ τ) σ ξ λxyz.(λvu.vu)(xz)(yz) : (σ τ ξ) (σ τ) σ ξ W otrzymanym λ-termie są zawarte dwa redeksy: η-redeks λvu.vu oraz β-redeks (λv.m)(xz). Po redukcji otrzymamy term λxyz.xz(yz). Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 22

23 Izomorfizm Curry ego-howarda Przykładowy wywód po zastosowaniu η D= [y : σ τ] [z : σ] yz : τ ( E) [v : τ ξ] [x : σ τ ξ] [z : σ] ( E) λv.v : (τ ξ) τ ξ xz : τ ξ ( E) (λv.v)(xz) : τ ξ D (λv.v)(xz)(yz) : ξ λz.(λv.v)(xz)(yz) : σ ξ λyz.(λv.v)(xz)(yz) : (σ τ) σ ξ λxyz.(λv.v)(xz)(yz) : (σ τ ξ) (σ τ) σ ξ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 23

24 Izomorfizm Curry ego-howarda Przykładowy wywód po zastosowaniu β D= [y : σ τ] [z : σ] yz : τ ( E) [x : σ τ ξ] [z : σ] ( E) xz : τ ξ D ( E) xz(yz) : ξ λz.xz(yz) : σ ξ λyz.xz(yz) : (σ τ) σ ξ λxyz.xz(yz) : (σ τ ξ) (σ τ) σ ξ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 24

25 Rachunek lambda z typami prostymi λ Relacja typizująca Γ M : τ gdzie Γ oznacza kontekst typizujący Γ {x 1 : σ 1,..., x n : σ n } w którym każda zmienna występuje co najwyżej raz. Γ M : τ można czytać w kontekście Γ term M ma typ τ. Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 25

26 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Notacja sekwentowa Γ, x : τ x : τ Γ M : τ Γ, x : σ M : τ (W) Γ, x : σ M : τ Γ λx.m : σ τ Γ 1 M : σ τ Γ 2 N : σ ( E) Γ 1, Γ 2 MN : τ Γ M : ϕ N : ψ ( I) Γ, pair MN : ϕ ψ Γ M : ϕ ψ ( E1 ) Γ fst M : ϕ Γ M : ϕ ψ ( E2 ) Γ snd M : ψ Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 26

27 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły typizacji. Notacja sekwentowa Γ M : ϕ Γ inl M : ϕ ψ ( I 1 ) Γ M : ψ Γ inr M : ϕ ψ ( I 2 ) Γ M : ϕ ψ 1, x : ϕ P : ρ 2, x : ψ Q : ρ ( E) Γ, 1, 2 when M(λx.P )(λx.q) : ρ Γ M : Γ absurde M : τ ( E) Γ, x : σ M : ( I) Γ neg λx.m : σ Γ 1 M : σ Γ 2 N : σ ( E) Γ 1, Γ 2 nege MN : Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 27

28 Rachunek lambda z typami prostymi λ Reguły redukcji dla λ (λx.m)n M[x := N] fst(pair MN) M snd(pair MN) N when(inl M)P Q P M when(inr M)P Q QM nege(neg M)N MN Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 28

29 Przykłady dla λ Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) (ϕ ψ ρ) Notacja sekwentowa. D= x : p q x : p q x : p q snd x : q ( E) x : p q x : p q ( E) f : p q r f : p q r x : p q fst x : p ( E) f : p q r, x : p q f(fst x) : q r D f : p q r, x : p q f(fst x)(snd x) : r f : p q r λx.f(fst x)(snd x) : p q r λf.λx.f(fst x)(snd x) : (p q r) (p q r) Prawo importacji = zwijanie funkcji (patrz wykład 3, funkcja uncurry) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 29

30 Przykłady dla λ Prawo importacji: (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ Notacja założeniowa. [x : ϕ ψ] ( E) [f : ϕ ψ ρ] fst x : ϕ [x : ϕ ψ] ( E) ( E) f(fst x) : ψ ρ snd x : ψ ( E) f(fst x)(snd x) : ρ λx.f(fst x)(snd x) : ϕ ψ ρ λfλx.f(fst x)(snd x) : (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ Prawo importacji = zwijanie funkcji (patrz wykład 3, funkcja uncurry) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 30

31 Przykłady dla λ Prawo eksportacji: (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ [x : ϕ] [y : ψ] ( I) [f : ϕ ψ ρ] pair x y : ϕ ψ ( E) f(pair x y) : ρ λy.f(pair x y) : ψ ρ λxy.f(pair x y) : ϕ ψ ρ λfxy.f(pair x y) : (ϕ ψ ρ) ϕ ψ ρ Prawo eksportacji = rozwijanie funkcji (patrz wykład 3, funkcja curry) Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 31

32 Własności rachunku lambda z typami prostymi Podstawianie. Jeśli Γ, x : σ M : τ oraz Γ N : σ, to Γ M[x := N] : τ. Poprawność redukcji. Jeśli Γ M : τ oraz M βη N, to Γ N : τ. Silna normalizacja. Jeśli Γ M : τ to term M jest silnie normalizowalny. Typ główny (najogólniejszy). Jeśli term M jest typizowalny, to istnieje dla niego typ główny, z którego można otrzymać wszystkie typy tego termu (przez odpowiednie podstawienia za zmienne przebiegające typy). Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 14. Rachunek λ z typami prostymi 32

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Instytut Informatyki Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 1. Rachunek zdań Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 1. Rachunek zdań 1 Systemy

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

rachunku kombinatorów logiką kom- binatoryczną Zmienne przedmiotowe Podstawienie słabej redukcji kombinatorami

rachunku kombinatorów logiką kom- binatoryczną Zmienne przedmiotowe Podstawienie słabej redukcji kombinatorami 12 Wykłady 12 i 13: Rachunek λ Rachunek kombinatorów, typy proste i izomorfizm Curry-Howarda Zdefiniujemy teraz system CL(beztypowego) rachunku kombinatorów, zwany także logiką kombinatoryczną, chociaż

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna

Logika intuicjonistyczna 9 listopada 2011 Plan 1 2 3 4 Plan 1 2 3 4 Intuicjonizm Pogl d w lozoi matematyki wprowadzony w 1912 L. E. J. Brouwera. Twierdzenia matematyczne powstaj dzi ki intuicjom naszego umysªu. Skupienie si na

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda

Programowanie funkcyjne Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda Instytut Informatyki Programowanie funkcyjne Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda

Bardziej szczegółowo

Logika matematyczna w informatyce

Logika matematyczna w informatyce Paweł Gładki Logika matematyczna w informatyce http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Piątek, 8:00-9:30 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37

Logika. Michał Lipnicki. 15 stycznia Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia / 37 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 15 stycznia 2011 Michał Lipnicki () Logika 15 stycznia 2011 1 / 37 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1

Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1 Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ). 6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j

Bardziej szczegółowo

Logika intuicjonistyczna

Logika intuicjonistyczna Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.

Bardziej szczegółowo

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1

Logika. Michał Lipnicki. 18 listopada Zakład Logiki Stosowanej UAM. Michał Lipnicki Logika 18 listopada / 1 Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 18 listopada 2012 Michał Lipnicki Logika 18 listopada 2012 1 / 1 Wstęp Materiały na dzisiejsze zajęcia zostały opracowane na podstawie pomocy naukowych

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA

WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 7: DEDUKCJA NATURALNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Systemy dedukcji naturalnej pochodzą od Gerharda Gentzena (1909 1945) oraz Stanisława

Bardziej szczegółowo

Jak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość

Jak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość 11. Wykład 11: Rachunek λ. Obliczenia i obliczalność. Rachunek λ jest systemem pozornie bardzo prostym. Abstrakcja i aplikacja wydają się trywialnymi operacjami, i może się zdawać, że niczego ciekawego

Bardziej szczegółowo

III rok kognitywistyki UAM,

III rok kognitywistyki UAM, METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 14: POWTÓRKA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Dzisiejszy wykład w całości poświęcony będzie omówieniu przykładowych zadań, podobnych do

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Elementy logiki. Klasyczny rachunek predykatów. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria typów

Logika i teoria typów Logika i teoria typów Wykład 1 2 marca 2016 O czym będzie ten wykład: Powtórzenie z rachunku lambda. Logika intuicjonistyczna. Logika jako gra dialogowa. Podstawy logiki liniowej. Logika klasyczna, kontynuacje

Bardziej szczegółowo

O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów. Zbiory i funkcje. Powtórzenie z rachunku lambda. Ekstensjonalność (?) Beztypowy rachunek lambda

O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów. Zbiory i funkcje. Powtórzenie z rachunku lambda. Ekstensjonalność (?) Beztypowy rachunek lambda O czym będzie ten wykład: Logika i teoria typów Wykład 1 2 marca 2016 Powtórzenie z rachunku lambda. Logika intuicjonistyczna. Logika jako gra dialogowa. Podstawy logiki liniowej. Logika klasyczna, kontynuacje

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ

Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ Teoretyczne Podstawy Języków Programowania Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Teoretyczne Podstawy Języków Programowania, Wykład 4. Siła wyrazu rachunku λ 1 Wstęp Wartości

Bardziej szczegółowo

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z... Język rachunku predykatów 1 Zmienne x, y, z... 2 Predykaty n-argumentowe P(x, y,...), Q(x, y...),... 3 Funktory zdaniowe,,,, 4 Kwantyfikatory: istnieje, dla każdego Język rachunku predykatów Ustalenie

Bardziej szczegółowo

-termami -wyrażeń pre-termami abstrakcją aplikacją zmiennych wolnych zmienną związaną domknięte

-termami -wyrażeń pre-termami abstrakcją aplikacją zmiennych wolnych zmienną związaną domknięte 8. Wykład 8: Rachunek λ. Wprowadzenie. Rachunek lambda i logika kombinatoryczna powstały w latach trzydziestych dwudziestego wieku. Początkowo miały stanowić alternatywne wobec teorii mnogości podejście

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY

Imię i nazwisko:... OBROŃCY PRAWDY Egzamin: Logika Matematyczna, I rok JiNoI, 30 czerwca 2014 Imię i nazwisko:........................................... OBROŃCY PRAWDY Wybierz dokładnie cztery z poniższych pięciu zadań i spróbuj je rozwiazać.

Bardziej szczegółowo

Rachunek lambda, zima

Rachunek lambda, zima Rachunek lambda, zima 2015-16 Wykład 2 12 października 2015 Tydzień temu: Własność Churcha-Rossera (CR) Jeśli a b i a c, to istnieje takie d, że b d i c d. Tydzień temu: Własność Churcha-Rossera (CR) Jeśli

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA

WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.

Bardziej szczegółowo

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM

Logiczne podstawy informatyki 1. Wojciech Buszkowski. Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 1 RACHUNEK λ Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki UAM Logiczne podstawy informatyki 2 1. Czysty rachunek λ Symbole - zmienne: x, y,

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Rekurencyjna przeliczalność

Rekurencyjna przeliczalność Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda

Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda Programowanie funkcyjne Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda Zdzisław Spławski Zdzisław Spławski: Programowanie funkcyjne, Wykład 13. Siła wyrazu rachunku lambda 1 Wstęp Wartości logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. 1 Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy

Bardziej szczegółowo

Logika rachunek zdań

Logika rachunek zdań Wprowadzenie do Wykładu 1 Logika Logika rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu dla Studentów Informatyki Wydział EAIiIB AGH Antoni Ligęza Materiały pomocnicze: http://home.agh.edu.pl/~ligeza Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk

Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...

Bardziej szczegółowo

Zasady krytycznego myślenia (1)

Zasady krytycznego myślenia (1) Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte

Bardziej szczegółowo

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych: Definicja: Alfabet języka logiki zdań składa się z nieskończonego (najczęściej zakładamy: przeliczalnego) zbioru P, o którym myślimy jak o zbiorze zmiennych zdaniowych i skończonego zbioru symboli, o których

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:...

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca Imię i Nazwisko:... JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 29 czerwca 2015 Imię i Nazwisko:............................................................... DZIARSKIE SKRZATY Wybierz

Bardziej szczegółowo

Metoda Tablic Semantycznych

Metoda Tablic Semantycznych Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976]

R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976] R. D. Tennent, The Denotational Semantics of Programming Languages [1976] Programowanie 2009 - seminarium grupy zaawansowanej Instytut Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego 1 lipca 2009 1 Motywacja Funkcje

Bardziej szczegółowo

Paradygmaty dowodzenia

Paradygmaty dowodzenia Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 7 i 8. Aksjomatyczne ujęcie Klasycznego Rachunku Zdań 1 Istnieje wiele systemów aksjomatycznych Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I

JEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Logika pragmatyczna dla inżynierów Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna dla inżynierów Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Test pisemny

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań III Przypomnijmy: Logika: = Teoria form (schematów, reguł) poprawnych wnioskowań. Wnioskowaniem nazywamy jakąkolwiek skończoną co najmniej dwuwyrazową sekwencję

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego

Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej. Adam Meissner. Elementy uczenia maszynowego Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis Elementy uczenia maszynowego Literatura [1] Bolc L., Zaremba

Bardziej szczegółowo

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a

Bardziej szczegółowo

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Programowania potok funkcyjny

Wstęp do Programowania potok funkcyjny Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline 1 Kilka podstawowych pojęć Definition Programy imperatywne zmieniają stan, czyli wartości zmiennych. Asercja = warunek logiczny, który

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1

Weryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1 Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa. Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Konsekwencja logiczna

Konsekwencja logiczna Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami

Bardziej szczegółowo

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1. 3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy

Bardziej szczegółowo

Stosowana Analiza Regresji

Stosowana Analiza Regresji Model jako : Stosowana Analiza Regresji Wykład XI 21 Grudnia 2011 1 / 11 Analiza kowariancji Model jako : Oprócz czynnika o wartościach nominalnych chcemy uwzględnić wpływ predyktora o wartościach ilościowych

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA

Adam Meissner STUCZNA INTELIGENCJA Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis STUCZNA INTELIGENCJA Elementy programowania w logice Literatura

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce! Logika Analiza języka i czynności badawczych (np. rozumowanie, definiowanie, klasyfikowanie) w celu poznania takich reguł posługiwania się

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcjonalne

Programowanie funkcjonalne Programowanie funkcjonalne Wykªad 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcjonalne, Wykªad 12. Funkcje rekurencyjne i rachunek lambda 1 Formalizacje

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy logiki. Klasyczny rachunek zdań. Elementy logiki Klasyczny rachunek zdań Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 1 Spójniki

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcjonalne. Wykªad 12

Programowanie funkcjonalne. Wykªad 12 Programowanie funkcjonalne. Wykªad 12 Podstawowe informacje o rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcjonalne. Wykªad 12, Podstawowe informacje o rachunku lambda 1 Literatura

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie: Logika pragmatyczna Logika pragmatyczna Kontakt: dr hab. inż. Adam Kasperski pokój 509 B4 adam.kasperski@pwr.wroc.pl materiały + literatura + informacje na stronie www. Zaliczenie: Kolokwium pisemne na

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003

Zadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10

Metoda Monte Carlo. Jerzy Mycielski. grudzien Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien / 10 Metoda Monte Carlo Jerzy Mycielski grudzien 2012 Jerzy Mycielski () Metoda Monte Carlo grudzien 2012 1 / 10 Przybliżanie całek Powiedzmy, że mamy do policzenia następującą całkę: b f (x) dx = I a Założmy,

Bardziej szczegółowo

Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu

Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Agnieszka Kozubek Nr albumu: 197879 Problem sprawdzania typu dla logiki pierwszego rzędu Praca magisterska na kierunku INFORMATYKA Praca

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów

Uzgadnianie formuł rachunku predykatów Składanie podstawień Plan wykładu Uzgadnianie Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan wykładu Składanie podstawień 1 Składanie podstawień Podstawienie Motywacja Złożenie podstawień 2 Uzgadnianie

Bardziej szczegółowo

Formalizacja podstawowych pojęć rachunku lambda

Formalizacja podstawowych pojęć rachunku lambda Formalizacja podstawowych pojęć rachunku lambda Antoni Kościelski 1 Zmienne Zbiór zmiennych będziemy oznaczać literą V. Zakładamy, że jest to zbiór nieskończony (przeliczalny). Chcemy mieć do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna (I JiIN UAM)

Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 31V-1VI 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (I JiIN UAM) 31V-1VI 2007 1

Bardziej szczegółowo

Gramatyka Kategorialna Języka Polskiego

Gramatyka Kategorialna Języka Polskiego Gramatyka Kategorialna Języka Polskiego Wojciech Jaworski Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 3 października 2011 Wojciech Jaworski (MIM UW) Gramatyka Kategorialna Języka Polskiego 3 października

Bardziej szczegółowo