np. dla elektronów w kryształach; V(x+d) = V(x), d - okres periodyczności = wielkość komórki elementarnej kryształu

Transkrypt

1 Potencjały eriodyczne n. dla elektronów w kryształach; V(x+d) V(x), d - okres eriodyczności wielkość komórki elementarnej kryształu rzyadek kryształu jednowymiarowego sieci z bazą gdy w komórce elementarnej jest więcej niż jeden atom (tego samego lub innego ierwiastka), n.: Twierdzenie Blocha Funkcja falowa oisująca stan elektronu w eriodycznym otencjale (eriodycznie nieskończonym) sełnia warunek (tu rzedstawiony tylko w jednym wymiarze) Ψ( x + d) e ikd Ψ( x) gdzie k - tzw. wektor falowy (ciągła liczba kwantowa numerująca wartości własne oeratora Translacji o wektor d, a także Hamiltonianu, bo ten oerator też ma eriodyczność d) dla układów eriodycznych dostaniemy zawsze NIE dyskretne energie E i, lecz PASMA E i (k) rzy czym k rzebiega wartości w tzw. I strefie Brillouina (BZ), od 0-π dla eriodycznych ale ograniczonych układów (rzeczywiste makroskoowe kryształy) - k rzebiega taki sam zakres ale jest

2 dyskretne tyle różnych wartości k ile komórek elementarnych w krysztale czyli dla makroskoowego kawałka kryształu bardzo dużo; k numeruje stany elektronowe w ramach asm te stany obsadzamy elektronami z owłok walencyjnych atomów tworzących kryształ numeracja PASM wynika z kwantowej numeracji stanów H dla danej komórki elementarnej metale, ółrzewodniki, izolatory n.: w D: atom w komórce elementarnej, n elektronów w atomie > rzy N komórkach n*n elektronów, w asmie mamy *N /sin/ stanów o różnych wart. k n*n elektronami obsadzamy kolejne stany w kolejnych asmach arzysta liczba elektronów > ółrzewodnik / izolator niearzysta > metal ( w D lub 3D niekoniecznie ) metale, izolatory, ółrzewodniki oziom Fermiego: - w metalu: najwyższy energetycznie stan obsadzony w T0K - w ółrzewodniku różnie;

3 Co to znaczy metal - rzewodnik? Do rzewodzenia rądu otrzebne są swobodne elektrony. Swobodne to takie, które od wływem ola elektrycznego mogą być rzysieszane, tzn. ich energia może sukcesywnie rzyrastać o dowolnie małą wartość. A to oznacza, że owyżej oziomu Fermiego musi istnieć continuum nieobsadzonych stanów. Przestrzenie modelowe. Zamiast rozwiązywać równanie różniczkowe () można rzybliżyć funkcję falową w skończonej bazie funkcji (n. wzajemnie ortogonalnych i unormowanych - ortonormalnych) Ψ N cϕ i i i () I rzybliżyć oszukiwaną energię układu jako E < ψ H ψ > (3) < ψ H ψ > W bazie funkcji φ, rzyjmuje ostać MACIERZY H Ψ( x) EΨ( x) a zagadnienie ostać zagadnienia własnego dla macierzy hamiltonianu H H ij < ϕ i H ϕ j > H... H n... H n c c E H nn cn cn rozwiązanie olega na ZDIAGONALIZOWANIU macierzy H otrzymujemy N rozwiązań E i (niektóre mogą się owtarzać degeneracja)

4 dla układów eriodycznych H ij - zależą od k, zatem E i E i (k) Atomy, molekuły Atom wodoru Energia otencjalna elektronu e - w olu dodatnio naładowanego jądra V V(x,y,z)V(r) Ze V ( r) w j. at. 4 r 0 Z r πε, Z - liczba rotonów w jądrze zależy tylko od odległości elektronu od jądra r schematycznie V(r) wygląda tak: E n Ze a n 0, a0 h 50 m me E 0 ok ev Ale, hamiltonian atomu wodoru komutuje z oeratorem dowolnych obrotów wokół osi rzechodzącej rzez jądro atomu wodoru stany własne (oziomy energetyczne) są więc numerowane rzez n tzw. główną liczbę kwantową, ale dodatkowo też rzez tzw. orbitalną liczbę kwantową l, która oisuje zachowanie (własności) kolejnych funkcji falowych rzy obrotach

5 dla danego n jej wartości są l 0 (n-) i odowiednio są nazywane 0 s,, d,. Funkcje falowe stanów numerowane są ostatecznie 3-ma indeksami n, l, m energie w atomie wodoru zależą tylko od n a w innych atomach od n i l, E n,l w sferycznym układzie wsółrzędnych Funkcje daje się rozsearować na część radialną i kątową ψ(x,y,z) ψ(r, Θ, ϕ) R n (r) Y l,m (Θ,ϕ) ψ n,l,m Kolejne funkcje radialne znów rzyominają fale a części kątowe ozwalają łatwo wyjaśniać tworzenie się wiązań chemicznych orzez budowę tzw. orbitali hybrydyzowanych

6 Orbitale zhybrydyzowane są orównywalne lub takie same (tylko w wodorze) to można tworzyć kombinacje liniowe takich orbitali (związane jest to z faktem, że funkcje do zdegenerowanych energii tworzą bazy odrzestrzeni) Gdy energie orbitali nl i nl n. Φ s ns + n oraz Φ s ns - n (tzw. hybrydyzacja s) wyjaśniają trwałość wiązania n. w molekule F (s s 5 ) co to znaczy trwałość wiązania? F F nakładające się orbitale tworzą orbital molekularny, tzw. wiążący, w którym gęstość ładunku elektronowego omiędzy jądrami jest największa dzięki czemu klasycznie utrzymuje dodatnio naładowane jądra (czyli odychające się) w stałej, ale wiążącej odległości hybrydyzacja s wiązanie i trwałość molekuły C H 4 C: s s, H: S

7 s i bardzo bliskie energie z: s + x + y tworzymy w węglu 3 nowe orbitale zhybrydyzowane z y x y x x s s s ) 3 ( ) 3 ( ) ( φ φ φ φ P z - rostoadły do łaszcyzny rzed utworzeniem wiązań o utworzeniu wiązań orbitali molekularnych omiędzy atomami (w rzeczywistości jednak hybrydyzacja jest tyu s3 i dwa orbitale zhybrydyzowane tworzą odwójne wiązanie omiędzy węglami) odobnie w benzenie C 6 H 6

8 wiązanie i trwałość grafitu (grafenu) - C s s walencyjne elektrony - s s3 o jednym elektronie walencyjnym z każdego atomu orbital molekularny utworzony z dwóch orbitali zhybrydyzowanych s3 sąsiednich atomów wiązanie chemiczne (tworzy się zarówno orbital wiążący jak i antywiążacy - wiążący jako suma ) tu są to orbitale krystaliczne Obsadzony elektronami jest tylko orbital wiążący ale to z - decyduje o własnościach elektrycznych i ot. grafenu Grafen Dwuwymiarowa sieć rombowa węgla z bazą dwuatomową (wygląda jak sieć heksagonalna) Wracając do eriodyczności (nie tylko w grafenie), każdy węzeł sieci (dowolny, ustalony unkt każdej komórki elementarnej) w ustalonym układzie wsółrzędnych, wskazywany jest rzez wektor (tzw. wektor sieci), który daje się rzedstawić jako Rn R + n R + n 3 R 3 [ w grafenie D tylko dwie składowe] z n i - liczbami całkowitymi, R i - wektory bazowe (sieci roste i sieci z bazą)

9 Grafen 00 nagroda Nobla Novoselov, Geim, 004 wytwarzanie i zbadanie grafenu (metodą scotchową ) rozmiary jednowarstwowych łatków -mikrometry eitaksjlnywzrost rzez odarowywanie SiC, P.Sutter, Nature Materials 8, 7, 009 rozmiary > mm