Wybrane aspekty optymalnego sterowania portfelem inwestycyjnym akcji na rynku kapitałowym

Transkrypt

1 Jerz Tiński Wdział Zarządzania Wższa Szkoła Gospodarki Krajowej w Kutnie Wbrane aspekt optalnego sterowania portfele inwestcjn akcji na rnku kapitałow Wstęp Rnek kapitałow zskuje na znaczeniu w iarę rozwoju gospodarki rnkowej. W szczególności istotne jest zainteresowanie przedsiębiorców i enedżerów strategiai inwestowania na rnku kapitałow. Podejowanie racjonalnch deczji w obszarze transakcji handlowch na rnku kapitałow waga stosowania odpowiednich, preczjnch narzędzi analitcznch. Należą do nich etod optalizacjne oraz teoria sterowania. Uiejętne ich wkorzstanie oże istotnie zwiększć trafność podejowanch deczji inwestcjnch i osiągnięcie przez inwestora oczekiwanego poziou kreacji zaangażowanego kapitału [Pońsko 2, s. 37; Tiński, Zawiślak 29, s. 719]. Rentowność kapitału, obok płnności finansowej, odgrwa szczególną rolę w kształtowaniu się przszłej stuacji gospodarczej przedsiębiorstwa [Wasilewski, Gałecka 21, s. 231]. Efektwne wkorzstanie kapitału jest istotn procese optalnego sterowania w stuacjach deczjnch w przedsiębiorstwie. Cele artkułu jest zaprezentowanie autorskiej koncepcji sterowania w procesach deczjnch związanch z nabcie portfeli inwestcjnch akcji spółek, jak również sprzedaż portfeli niej korzstnch w generowaniu dochodów. Procesowi badawczeu poddano dwa portfele różniące się pod względe konstrukcji. Pierwsz portfel został skonstruowan w oparciu o koncepcję Sharpe a i rozwiązan etodą prograowania kwadratowego z wkorzstanie funkcji Lagrange a. Drugi, skonstruowan według koncepcji autora z uwzględnienie eleentów teorii niezawodności, rozwiązano etodą prograowania dnaicznego. Prowadzone rozważania zilustrowano praktczni przkładai. W pierwszej części artkułu przedstawiono zars teorii sterowania, wkorzstując wcześniejsze badania autora [Tiński, Zawiślak 28]. W drugiej części artkułu

2 118 wkorzstano inforacje dotczące kursów akcji oraz stóp zwrotu wbranch spółek notowanch na GPW w Warszawie w latach Eleent teorii sterowania Inwestor konstruując strategię inwestowania powinien dsponować różni instruentai deczjni, którch cele jest uożliwienie jak najkorzstniejszego lokowania kapitału. Zasob kapitału będące w dspozcji inwestora w oencie t wrazić ożna funkcją S(t). Transakcje zakupu portfeli na rnku kapitałow powodują wczerpwanie zasobów kapitału, co ożna wrazić stopą wczerpwania się kapitału [Tiński, Zawiślak 29, s. 719]: ds() t = Et () (1) dt gdzie: E(t) stopa wczerpwania się kapitału. Podstawą deczji o inwestowaniu kapitału jest funkcja użteczności inwestora U(E). Jest to funkcja celu zależna od wielkości zużwanego kapitału S(t) w kolejnch transakcjach. U(E) jest więc zienną sterowaną, zaś zienną sterującą jest E(t). Przjęcie E(t) jako ziennej sterującej wnika z faktu, że deczje inwestora wpłwają bezpośrednio na tepo zużwania się kapitału. W konsekwencji stopa wczerpwania się kapitału E(t) kształtuje wielkość zasobu kapitałowego S(t). Oawiane relacje w aspekcie optalizacji deczji inwestcjnch podlegają sterowaniu w kierunku aksalizacji funkcji użteczności inwestora. Można to wrazić forułą: T ρt ds () t ax U( E) e dt dla = E( t) (2) dt oraz S(o) = S, S(T) dowolne gdzie: S, T dane. Kształtowanie się zasobu kapitałowego w czasie opisać ożna prz pooc funkcji trendu postaci: St () = α + α t α t (3) 2 1 2

3 119 Stąd tepo wczerpwania się kapitału zgodnie z forułą (1) określa zależność: ds() t = α1 2 α1t = E( t) dt Na podstawie danch historcznch oszacowana funkcja (3) przjuje wartość: St ( ) 4 4t 4t 2 = + (4) stąd: E(t) = 4 Procedura optalizacji waga określenia wjściowch wielkości: S() = S = 4 (4a) U(E) = [S E(t)] (4b) Jest to zasób kapitału po poniejszeniu o stopę jego wczerpwania. Całkowanie funkcji U(E) zgodnie z odele ciągłej kapitalizacji pozwala wznaczć wartość bieżącego struienia użteczności: T ρt U( E) e dt (5) gdzie: ρ stopa zwrotu z zakupionego portfela. W oencie realizowania transakcji rnkowch (t = ) U(E) przjie wartość: U(E) = 4 = 4 Zgodnie z forułą (2) aksalizacja struienia użteczności jest równoznaczna z obliczenie całki: ( 1) (1 ) 1 t 1 t t 1 1, 1, e dt e dt e e e (6) Wraze użteczności U(E) ożna uznać wartość bieżącą ciągłego struienia przchodów osiąganch przez inwestora jako rezultat podjętej deczji na rnku kapitałow. Z przeprowadzonch wcześniej badań wnika, że prz założonch paraetrach ρ = 1% oraz T = 1 okresów będzie to:

4 12 4 (1 1, ) 2528,5 jednostek (dla ) e S o,1 1, Dla t =1, będzie: 36 (1 e ) 2275,6 jednostek (dla S ) 1,1 Otrzane wniki aksalizujące wartość bieżącą ciągłego struienia przchodów są ilustracją efektu optalnego sterowania kapitałe prz wkorzstaniu eleentów teorii sterowania. Proces optalnego sterowania portfele inwestcjn na rnku kapitałow. Wniki badań W probleatce optalizacji portfela inwestcjnego kluczowe znaczenie obok wartości stop zwrotu zoptalizowanego portfela a efektwność zainwestowanego kapitału. Krteriu efektwności kapitału oże bć rozstrzgające prz wborze optalnego portfela. Proces badawcz dotcz ocen efektwności kapitału dwóch alternatwnch portfeli. Należ dodać, że niezależnie od wariantu portfela, zarówno wielkość zasobu kapitałowego, jak i okres inwestowania T są określone przez inwestora. Zienna stanu wstępuje w procesie sterowania portfele jako arguent funkcji celu. W prezentowanej koncepcji jest to zasób kapitału przeznaczon na zakup portfela inwestcjnego. Zienna stanu jest kształtowana przez inwestora w sposób pośredni (Pońsko 2, s. 36; por. wz. 4b). Ocenę efektwności zainwestowanego kapitału przeprowadzono dla dwóch alternatwnch portfeli, wkorzstując kurs akcji oraz stop zwrotu wbranch spółek z lat (dane z gazet PARKIET 26). Portfel I zoptalizowan etodą tradcjną składa się z akcji czterech spółek według udziałów: 1,336 PKM + 1,714 GTC +,673 RPC,52 WWL Wartość zaangażowanego kapitału w chwili zakupu ustalono przjując średnie kurs akcji rozpatrwanch spółek oraz krótką sprzedaż, co wiąże się z kapitałe pożczon [Trzaskalik 24, s. 159]. I tak dla portfela I wnosi: U(E)I = 1, ,2 + 1, ,3 +,673 22,,52 155,5 = 125,8 Oznacza to, że inwestor powinien przeznaczć na zakup portfela I 125,8 jednostek kapitału własnego, poijając inne koszt związane z kapitałe pożczon.

5 121 Portfel II zoptalizowan etodą prograowania dnaicznego prz wkorzstaniu teorii niezawodności składa się z akcji trzech spółek GTC, RPC oraz WWL i waga zaangażowania kapitału w wsokości: U(E)II =,85 166,3 +,128 22, +,23 155,5 = 161,2 Na t etapie optalizacji ożna określić i ocenić efektwność kapitału wprowadzonego do portfela, a następnie podjąć deczję o wborze korzstniejszego wariantu. Z przeprowadzonch badań wnika, że ρ = 15% dla portfela I zaś dla II ρ = 9,7%. Zgodnie z forułą (5) wartość bieżąca ciągłego struienia dochodów dla portfela I wniesie: T = 1,15t 125,8e dt = 651,5 jednostek (7) zaś dla portfela II: T = 1,97t 161,2 e dt = 131,9 jednostek (8) A zate efektwność zainwestowanego kapitału jest wższa w portfelu II. Należałob więc wbrać ten portfel jako korzstniejsz. Ocena optalnego sterowania portfele w warunkach losowch Proces podejowania optalnch deczji na rnku kapitałow nie zawsze kończ się wbore korzstniejszego, efektwnego portfela [Haugen 2, s. 15]. Należ paiętać, że deczje o wborze najkorzstniejszego portfela inwestor podejuje przez przat aksalnej oczekiwanej użteczności. Osiągnięcie oczekiwanej użteczności waga często od inwestora fachowego onitorowania stuacji na rnku, a także podejowania deczji odfikującch dotchczasowe kroki. Do istotniejszch eleentów wpłwającch na pozio użteczności inwestora, obok zakupu portfela, zalicza się oent jego sprzedaż oraz ocenę prawdopodobieństwa realizacji oczekiwanej stop zwrotu. Optalne sterowanie portfele waga uwzględnienia stuacji stochastcznch. Kształtowanie się kluczowch paraetrów instruentów finansowch (dochód, rzko) a charakter losow, zate realizacja oczekiwanego dochodu z zakupionego portfela powinna bć poparta odpowiednio wsoki pozioe prawdopodobieństwa.

6 122 W prezentowanej koncepcji końcow etape jest analiza optalnego sterowania w warunkach losowch [Krński, Badach 1976, s. 523]. Uwagę skoncentrowano na ocenie potencjalnch ożliwości zbcia zakupionego portfela w zależności od poptu na rnku kapitałow na instruent finansowe wchodzące w jego skład. W analizie stochastcznej uwzględniono następujące paraetr: X zienna losowa wrażająca liczbę instruentów finansowch w portfelu, x wartość ziennej losowej X, Y zienna losowa wrażająca liczbę instruentów finansowch; określa potencjaln popt na instruent finansowe na rnku kapitałow, wartość ziennej losowej Y, Z zienna losowa wrażająca zsk uzskan ze zbcia X ilości instruentów finansowch, z wartość ziennej losowej Z, c jednostkowa cena; oznacza dochód jednostkow (na spółkę w portfelu), k jednostkow nakład kapitału (na spółkę w portfelu). Inwestor zainteresowan sprzedażą posiadanch w portfelu walorów powinien rozważć kilka ożliwch wariantów z punktu widzenia skutków transakcji zbtu. Ponadto powinien preczjnie ocenić prawdopodobieństwo ożliwości zbcia portfela lub jego części. W t celu rozważane zagadnienie opisano w dwóch wariantach. Wariant I, w któr realnie inwestor oże sprzedać posiadaną liczbę instruentów finansowch x (portfel), prz cz potencjaln popt jest większ od x. z1 ( x ) = cx k (gdż > x) (9) Wariant II zakłada, że inwestor oże zbć nie niejszą liczbę instruentów finansowch w porównaniu do poptu. z 2 (x) = c k bądź: z 2 (x) = (c k) (gdż x) (1) Jeżeli intenswność zbcia jest zienną losową, to wartość oczekiwana zsku Z jest również zienną losową oraz suą wartości oczekiwanego zsku z dwóch alternatwnch stuacji, tj. z 1 oraz z 2. Model oczekiwanego zsku przjie więc postać: E(Z) = E(Z 1 ) + E(Z 2 ) (11) Przjuje się, że zbcie instruentów finansowch a rozkład noraln [Jajuga K., Jajuga T. 1998, s. 154]. Na rs. 1 przedstawiono gęstość rozkładu prawdopodobieństwa ziennej X.

7 123 * x 2 * x 1 Rsunek 1 Krzwa gęstości rozkładu prawdopodobieństwa ziennej X Źródło: Badania własne. W związku z t, iż postać funkcji gęstości p(x) nie jest znana, nie będzie ożliwe uzskanie w analizie deczjnej w sposób bezpośredni rozwiązania jednoznacznego (dla optalnego * oraz x*). W t przpadku ożna przeprowadzić proces analitczn w następując sposób: oraz Ez ( ) = zpxdx ( ) = ( cx k) pxdx ( ) (12) Ez ( ) = z pxdx ( ) = c ( k) pxdx ( ) (13) Uwzględniając wzór (11) i odpowiednie przekształcenia w obszarze rachunku całkowego otrzuje: E( z) = ( cx k) p( x) dx + ( c k) p( x) dx = = ( cx k) p( x) dx k p( x) dx + c p( x) dx k p( x) dx = = c xp( x) dx k p( x) dx + c p( x) dx k p( x) dx = = c xpxdx ( ) k pxdx ( ) + pxdx ( ) + c pxdx ( ) (14)

8 124 Wiedząc z rachunku całkowego, iż: pxdx ( ) = pxdx ( ) + pxdx ( ) = 1 (15) zależność (14) ożna zredukować do postaci: Ez ( ) = c xpxdx ( ) + c pxdx ( ) k (16) Następnie, ponieważ jest wielkością zienną, wkorzstując własności rachunku różniczkowego oraz całkowego, ożna zapisać: także: d xp( x) dx = p( ) d (17) d p( x) dx p( ) d = ( = const.) (18) Obliczenie pochodnej de( z) i przrównanie jej do zera pozwala ustalić d dstrbuantę w przedziale całkowania od do : de( z) d d c xp( x) dx c p( x) dxc p( x) dxk d d d cp( ) c p( x) dx cp( ) k c p( x) dxk (19) stąd:

9 125 k pxdx ( ) = (2) c Relacja k c wskazuje jaka część poptu oże bć zrealizowana posiadaną liczbą instruentów finansowch x (z przedziału ( : ) por. rs. 1). Wprowadzenie do (15) zależności (2) prowadzi do foruł: c k pxdx ( ) = (21) c W przpadku, gd c k k > aksaln zsk znajduje się w punkcie odpowiadając zrealizowanej sprzedaż x 1 przedziału <; > z prawdopodobień- c c * stwe nie wższ niż p 1 (x). Jeżeli zachodzi c k k <, to aksaln zsk c c * znajdzie się w punkcie x 2 przedziału <; > z niższ prawdopodobieństwe niż p 1 (x) (por. rs. 1). Zate wartości c oraz k dla portfela I składającego się z czterech spółek (PKM, GTC, RPC, WWL) wnoszą: c = 162,875 jednostek (wzór 7) jest to iloraz wartości bieżącej struienia przchodów i liczb spółek w portfelu, tj. 651,5/4; k = 31,45 jednostek jest to iloraz wartości zaangażowanego kapitału w nabcie portfela i liczb spółek w portfelu, tj. 125,8/4. Stąd wartość dstrbuant dla portfela I wnosi: ck 162,87 31, 45,87 c 162,87 Ponieważ c k k *, zsk aksaln znajduje się w punkcie x 1 przedziału c c <; > (por. rs. 1). Na oc zależności: F( x) + P( x) = 1 prawdopodobieństwo wstąpienia zsku z 1 wnosi: P(x) =,193 (19,3%)

10 126 Dla portfela II składającego się z trzech spółek (GTC, RPC, WWL) wartości c i k wnoszą: c = 344, jednostek k = 53,73 jednostek Stąd wartość dstrbuant dla portfela II: 344,53,73,844(84,4%) 344, oraz P (x) =,156 (15,6%) Zachodzi więc nierówność c k k, a zate * x2 znajduje się w przedziale <; > (por. rs. 1). c c Z przeprowadzonej analiz wnika, że inwestor powinien zbć portfel II io wższej efektwności kreacji kapitału wrażonej wższą wartością bieżącą ciągłego struienia przchodów. Jednakże prawdopodobieństwo realizacji tego portfela jest niższe niż portfela I. Podsuowanie W artkule przedstawiono koncepcję optalnego sterowania portfele inwestcjn na rnku kapitałow. Sterowanie zasobai kapitału angażowanego w transakcjach finansowch a na celu jego efektwne wkorzstanie, tj. aksalizowanie jego kreacji. Proces sterowania wiąże się z wbore (zakupe) optalnego portfela akcji zapewniającego nie tlko generowanie dodatkowego kapitału, ale także odpowiednio wsoki pozio prawdopodobieństwa jego realizacji. W artkule optalneu sterowaniu poddano dwa portfele. Optalizację przeprowadzono dwiea etodai dająci różne wartości kreacji kapitału. Badanie pogłębiono oceną aksalizacji zsku w warunkach stochastcznch, w której określono pozio prawdopodobieństwa realizacji obu analizowanch portfeli. Z przeprowadzonch badań wnika, że portfel generując wższ pozio efektów kapitałowch daje niższ pozio prawdopodobieństwa ich realizacji. Inwestor na t etapie procesu sterowania powinien dokonać sprzedaż tego portfela. Założenia przjęte w procesie badawcz został zrealizowane dla danch epircznch z lat Autor kontnuuje badania w obszarze sterowania portfelai inwestcjni, stosując obdwa prezentowane wariant dla kolejnch okresów badawczch po 26 r. Wniki badań będą przediote kolejnego opracowania.

11 127 Literatura HAUGEN R.A.: Teoria nowoczesnego inwestowania. Wdawnictwo WIG PRESS, Warszawa 2. JAJUGA K., JAJUGA T.: Inwestcje instruent finansowe, rzko finansowe, inżnieria finansowa. Wdawnictwo Naukowe PWN, Warszawa KRYŃSKI H., BADACH A.: Zastosowania ateatki do podejowania deczji ekonoicznch. Wdawnictwo Naukowe PWN, Warszawa POŃSKO P.: Optalizacja dnaiczna wzrostu gospodarczego. Wdawnictwo ELIPSA, Warszawa 2. TRZASKALIK T.(red.): Modelowanie preferencji a rzko. Wdawnictwo Akadeii Ekonoicznej, Katowice 24. TYMIŃSKI J., ZAWIŚLAK R.: Dwukrterialna koncepcja wboru instruentów finansowch dla efektwnej konstrukcji portfela i jego optalizacja na rnku kapitałow. [w:] Zarządzanie finansai. Wdawnictwo Uniwerstetu Szczecińskiego 28. TYMIŃSKI J., ZAWIŚLAK R.: Wkorzstanie eleentów teorii sterowania w probleatce optalizacji portfela inwestcjnego na rnku kapitałow. [w:] Zarządzanie finansai. Wdawnictwo Uniwerstetu Szczecińskiego 29. WASILEWSKI M., GAŁECKA A.: Rentowność kapitału własnego gospodarstw rolniczch w zależności od bieżącej płnności finansowej. Zeszt Naukowe SGGW, Ekonoika i Organizacja Gospodarki Żwnościowej, Nr 81, Warszawa 21. Soe aspects of optial control applied to an investent portfolio in the capital arket Abstract The article presents a concept of capital anageent for assebling investent portfolios. Two optiization variants of a portfolio to be purchased are discussed. Portfolio I is structured using the traditional ethod. To asseble portfolio II, eleents of reliabilit theor and the dnaic prograing ethod were used. The article also analses the sale of a portfolio with respect to the deand for financial instruents in the capital arket.

12