PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI

Transkrypt

1 PODSTAWOWE POJĘCIA DOTYCZĄCE RELACJI (niniejsze opracowanie jest nieznacznie skróconą wersją opracowania zawartego w książce Zygmunta Ziembińskiego Logika pragmatyczna. (wyd. XIX, s ). Polecam lekturę całej pracy Z. Ziembińskiego. l. Zdania stwierdzające relację Pewne wyrazy i wyrażenia wskazują na stosunki, czyli relacje, jakie zachodzą między różnymi przedmiotami. Do takich wyrazów należą np. wyrazy: nad", pod", za", przy", po", braterstwo", wyższość", władza" itp. Stosunki między przedmiotami opisujemy w takich zdaniach, jak np.: Jan jest bratem Piotra" (tzn. Jan pozostaje w stosunku braterstwa do Piotra); Poznań leży nad Wartą"; Paweł jest starszy od Adama", itp. Ograniczamy rozważania do stosunków dwuczłonowych opisywanych w zdaniach, w których mowa jest o dwóch elementach powiązanych daną relacją, jakkolwiek wyróżnia się często, np. przy analizowaniu stosunków prawnych, stosunki trójczłonowe i więcej niż trójczłonowe (np.... jest poręczycielem... wobec... co do..."). Zdania opisujące stosunki dwuczłonowe mają ogólny wzór budowy: xry, co czytamy: przedmiot x pozostaje w stosunku R do przedmiotu y (R to skrót łacińskiego słowa relatio = stosunek). Wszystko to, o czym w opisie stosunku może być mowa na pierwszym miejscu (na miejscu x), nazywamy poprzednikiem stosunku (relacji), wszystko to, o czym w opisie stosunku może być mowa na drugim miejscu (na miejscu y), nazywamy n a s t ę p n i k i e m stosunku (relacji). Jeśli weźmiemy np. stosunek jest potomkiem" (stosunek pochodzenia od), to np. jakieś niemowlę może być poprzednikiem w opisie tego stosunku, bo można Powiedzieć: To niemowlę jest potomkiem tego a tego"; nie może być jednak następnikiem tej relacji, bo nie można o nikim powiedzieć, iż jest potomkiem jakiegoś niemowlęcia, które właśnie oglądamy. Jakiś pies może być następnikiem stosunku jest właścicielem", ale nie może być poprzednikiem tego stosunku. Ktoś może być właścicielem psa, ale pies nie może być właścicielem czegoś. Jeśli mowa o ustroju społecznym, który nie uznaje instytucji niewolnictwa, to człowiek może być tylko poprzednikiem stosunku jest właścicielem". Człowiek może być właścicielem czegoś, ale coś czy ktoś nie może być właścicielem człowieka. Natomiast w ustroju, gdzie istnieje niewolnictwo, człowiek może być i poprzednikiem, i następnikiem stosunku jest właścicielem". Widzimy więc, że stosunek wyznacza pewne klasy przedmiotów, przedmiotów, które mogą być członami tego stosunku: przedmioty, które aktualnie są poprzednikami danego stosunku, tworzą klasę zwaną dziedziną tego stosunku (relacji), a przedmioty, które są jego następnikami, tworzą klasę zwaną przeciwdziedziną tego stosunku. Stosunek pomiędzy pewnymi przedmiotami x oraz y może być opisywany dwojako: jako stosunek x do y albo jako stosunek y do x. Stosunek ten brany jako 1

2 przebiegający w jednym kierunku może być w niektórych przypadkach nazywany inaczej niż stosunek brany jako przebiegający w drugim kierunku. Porównajmy np. takie stosunki, jak starszeństwo i bycie młodszym. Jeśli pierwszy z tych stosunków zachodzi między jakimś Janem i jakimś Piotrem, to drugi z nich także zachodzi między tymże Piotrem a tymże Janem. Podobnie jest ze stosunkami: mniejszość i większość (Adam jest mniejszy od Piotra to tyle, co: Piotr jest większy od Adama), jest przodkiem" i jest potomkiem", jest dłużnikiem i jest wierzycielem", jest obserwującym" i jest obserwowany". Taką właściwość zauważyliśmy też mówiąc o stosunku podrzędności i stosunku nadrzędności zakresów nazw. Jeżeli w każdym przypadku, gdy pewien stosunek R1 zachodzi między jakimś poprzednikiem x a jakimś następnikiem y, zachodzi odpowiednio odmienny stosunek R2 między tym y a tym x, to mówimy, że stosunek R2 jest stosunkiem odwrotnym względem stosunku R1 (czyli konwersem stosunku R1). Tak więc stosunek niższości będzie stosunkiem odwrotnym względem stosunku wyższości, mniejszości względem większości, dłużnictwa względem wierzycielstwa, bycia potomkiem względem bycia przodkiem, itp. 2. Stosunki symetryczne, asymetryczne i nonsymetryczne Niektóre stosunki mają taką właściwość, że jeśli zachodzą między pewnym poprzednikiem i następnikiem, to w każdym przypadku zachodzą też między tym właśnie następnikiem a poprzednikiem. Przykładem może być stosunek pokrewieństwa: Jeżeli Paweł jest krewnym Piotra, to na pewno Piotr jest krewnym Pawła. Taki stosunek, który w każdym przypadku jeśli zachodzi między pewnym poprzednikiem a następnikiem, to zachodzi też między tym następnikiem a poprzednikiem nazywamy stosunkiem symetrycznym. Symetryczny jest np. stosunek rówieśnictwa: bo o jakimkolwiek Janie i Piotrze mowa, wiadomo jest, że jeśli ów Jan jest rówieśnikiem Piotra, to Piotr jest rówieśnikiem Jana. Stwierdzić, że stosunek R jest stosunkiem symetrycznym, to tyle, co stwierdzić, że (w przypadku jakiegokolwiek x i jakiegokolwiek y) x pozostaje w stosunku R do y zawsze i tylko wtedy, y pozostaje w stosunku R do x. Np. stosunek wykluczania się zakresów dwóch nazw jest symetryczny: zakres dowolnej nazwy x wyklucza się z zakresem nazwy y zawsze i tylko wtedy, gdy zakres nazwy y wyklucza się z zakresem nazwy x. Porównajmy to z określeniem stosunku odwrotnego względem pewnego innego stosunku. Określony stosunek i stosunek względem niego odwrotny (np. bycie wyższym od, niższym od) wiązały te same przedmioty, ale w przeciwnym kierunku. Gdy napotykamy stosunek symetryczny, to zachodzi on między danymi przedmiotami i w jedną w drugą stronę, poprzednik tego stosunku jest zarazem następnikiem I następnik poprzednikiem. Stosunek jest małżonkiem" jest stosunkiem symetrycznym, bo Anna jest małżonkiem Adama zawsze i tylko wtedy, gdy Adam jest małżonkiem Anny. Natomiast stosunek ojcostwa ma taką właściwość, że jeśli np. Jan jest ojcem Piotra, to na pewno Piotr nie jest ojcem Jana. Jeśli pewien stosunek zachodzący między 2

3 jakimś x a jakimś y wyklucza to, by stosunek ten zachodził także między tymże y a tymże x, mówimy, że stosunek ten jest stosunkiem asymetrycznym. Np. jeśli Jan jest starszy od Romana, to nieprawda, że Roman jest starszy od Jana. Jeśli Paweł jest niższy od Piotra, to nieprawda, że Piotr jest niższy od Pawła. Starszeństwo, niższość to przykłady stosunku asymetrycznego. Stwierdzenie, że stosunek asymetryczny R zachodzi między x oraz y, nie jest jednak równoważne stwierdzeniu, iż nie zachodzi ten stosunek pomiędzy y a x. Z tego, że Jan jest przodkiem Piotra, wynika, iż nieprawda, że Piotr jest przodkiem Jana, ale z tego, że nieprawda, iż Piotr jest przodkiem Jana, bynajmniej nie wynika, że Jan jest przodkiem Piotra. Czy stosunek taki, jak x kocha y, np. Jan kocha Zofię", jest stosunkiem symetrycznym? Nie, bo z tego, że Jan kocha Zofię, nie wynika, że Zofia kocha Jana. Czy jest to stosunek asymetryczny? Też nie, bo nie wynika z tego, iż Zofia nie kocha Jana. Taki stosunek, który nie jest ani stosunkiem symetrycznym, ani asymetrycznym, nazywamy stosunkiem nonsymetrycznym (niesymetrycznym). Stosunek szacunku jest stosunkiem nonsymetrycznym: z tego bowiem, że Adam szanuje Pawła, ani nie wynika to, że Paweł szanuje Adama, ani to, że Paweł nie szanuje Adama; może być i tak, że szanuje, i tak, że nie szanuje trzeba byłoby to dopiero zbadać. Ważną sprawą jest to, do jakiego z tych trzech rodzajów stosunków zaliczyć stosunek wynikania. Stosunek wynikania łączący dwa zdania jest stosunkiem nonsymetrycznym, bo jeśli ze zdania p wynika zdanie q, to wcale nie wiadomo stąd, czy ze zdania q wynika zdanie p, czy nie wynika. Ze zdania Przepaliły się bezpieczniki" wynika zdanie Zgasło światło", ale z tego, że zgasło światło, nie wynika, że przepaliły się bezpieczniki: może przepaliły się bezpieczniki, a może żarówka. Ze zdania,,jeśli pada deszcz, to jest mokro w danym miejscu" nie możemy wnosić, iż prawdziwe jest zdanie Jeśli w danym miejscu jest mokro, pada tam deszcz", ani też nie mamy podstaw do tego, by orzec, że to zdanie jest fałszywe. Często wprawdzie w taki sposób wnioskujemy, ale takie wnioskowanie może okazać się zawodne. Natomiast stosunek równoważności dwóch zdań, stosunek, jaki stwierdzamy wypowiadając równoważność, np.: p zawsze i tylko wtedy, gdy q", jest stosunkiem symetrycznym, bo w każdym przypadku, w którym zdanie p jest równoważne zdaniu q, również zdanie q jest równoważne zdaniu p. 3. Stosunek przechodni Ważnym dla prawnika pojęciem jest również pojęcie stosunku przechodniego czyli tranzytywnego. Stosunkiem przechodnim, czyli tranzytywnym, nazywamy stosunek, który ma taką własność, iż w każdym przypadku, jeśli zachodzi między jakimś x a jakimś y oraz między tymże y a jakimś z, to zachodzi też między owym x a owym z, niezależnie od tego, jakie trzy przedmioty x, y i z wzięto pod uwagę. Np. przechodni jest stosunek starszeństwa, bo o kimkolwiek mowa, jeśli Paweł jest 3

4 starszy od Jana, a Jan jest starszy od Gawła, to wiadomo, że Paweł jest starszy od Gawła. Nie jest przechodni stosunek ojcostwa, bo jeśli Adam jest ojcem Bolesława, a Bolesław ojcem Czesława, to na pewno nieprawda, że Adam jest ojcem Czesława. Jest to stosunek atranzytywny, taki, iż w każdym przypadku jeśli xry oraz yrz, to nieprawda, że xrz. Natomiast przechodni jest stosunek bycia potomkiem, bo jeśli Czesław jest potomkiem Bolesława, a Bolesław potomkiem Adama, to na pewno Czesław jest potomkiem Adama. Nie jest przechodni stosunek pokrewieństwa, bo z tego. że x jest krewnym y oraz że y jest krewnym z, nie wynika, że x jest krewnym z (ani też nie wynika w tym przypadku, że x nie jest krewnym z). Np. ojciec jest krewnym dziecka, dziecko jest krewnym matki, ale normalnie ojciec nie jest krewnym matki. Gdyby zaś chodziło o dziadka, ojca i jego dziecko, dziadek byłby też krewnym dziecka. Pokrewieństwo jest więc stosunkiem nontranzytywnym. to znaczy takim, który nie jest ani tranzytywny, ani atranzytywny. Nontranzytywny jest stosunek przyjaźni itp. Ważną sprawą jest to, że stosunek wynikania oraz stosunek równoważności są stosunkami przechodnimi. Jeżeli ze zdania p wynika zdanie q, a ze zdania q wynika zdanie r, to łatwo zauważyć, że ze zdania p wynika zdanie r; skoro bowiem przy prawdziwości zdania p zdanie q nie może być fałszywe, a przy prawdziwości zdania q nie może być fałszywe zdanie r, to rzecz jasna, że przy prawdziwości zdania p zdanie r nie może być fałszywe. Podobnie przy równoważności, jeśli zdanie p jest równoważne zdaniu q, a zdanie q równoważne zdaniu r, to zdanie p musi być tej samej wartości logicznej, co zdanie r. 4. Stosunek porządkujący i stosunek równościowy w danej klasie przedmiotów Aby wyjaśnić pojęcie stosunku porządkującego w danej klasie przedmiotów, musimy uprzednio wprowadzić pomocniczo pojęcie stosunku spójnego w danej klasie przedmiotów. Stosunkiem spójnym w danej klasie przedmiotów nazywamy taki stosunek, który zachodzi w jednym lub w drugim kierunku między każdymi dowolnie wybranymi elementami tej klasy. A więc jeśli stosunek R jest spójny w pewnej klasie, to dla każdych dwóch różnych, dowolnie dobranych elementów x i y z tej klasy prawdą jest, że xry, lub że yrx. Jeśli weźmiemy jako przykład dla rozważań klasę złożoną z kilkudziesięciu osób, wśród których nie ma osób urodzonych tego samego dnia, to w tej klasie osób stosunek starszeństwa będzie stosunkiem spójnym; jakiekolwiek bowiem weźmiemy dwie osoby z tej klasy, zawsze znajdziemy, że pierwsza jest starsza od drugiej, albo że druga jest starsza od pierwszej. Jeśli dobrano kompanię żołnierzy równego wzrostu, to stosunek równości wzrostem będzie stosunkiem spójnym w klasie tych żołnierzy, każdy z nich bowiem będzie równy wzrostem dowolnemu innemu. Dlatego właśnie taki stosunek nazywa się spójnym, że w pewnej klasie spaja on, wiąże w jedną lub drugą stronę, każdy element tej klasy z każdym innym elementem. Wystarczy jednak, że w danej klasie jakiś element nie jest związany rozważanym stosunkiem z pewnym innym 4

5 elementem tej klasy, by już stosunek ten nie był spójny w danej klasie. Wystarczy, że w pewnym kręgu osób wzajemnie względem siebie życzliwych znajdziemy taką parę osób, z których ani pierwsza nie jest życzliwa drugiej, ani też druga pierwszej, by już stosunek życzliwości nie był stosunkiem spójnym w kręgu tych osób. W grupie rodzinnej (rodzice, dzieci) stosunek pokrewieństwa nie jest zazwyczaj spójny, gdyż ojciec nie jest zazwyczaj krewnym matki (nie mają wspólnych przodków), a więc nie każde dwa elementy rozważanej klasy osób są związane pokrewieństwem. Stosunkiem porządkującym w danej klasie przedmiotów nazywamy taki stosunek, który pozwala ustawić (przynajmniej w myśli) wszystkie przedmioty należące do danej klasy w jeden szereg, w którym każdy przedmiot będzie zajmować określone, to, a nie inne, miejsce. Aby jakiś stosunek był stosunkiem porządkującym w pewnej klasie przedmiotów, musi on być zarazem: l) stosunkiem asymetrycznym, 2) stosunkiem przechodnim i 3) stosunkiem spójnym w danej klasie przedmiotów. Jeśli więc stosunek wyższości wzrostem jest spójny w kompanii żołnierzy, tzn. Jeśli nie ma w tej kompanii dwóch ludzi tego samego wzrostu, i jeśli zważyć, że jest to stosunek przechodni (jeśli A jest wyższy od B i B jest wyższy od C, to A jest wyższy od C), a przy tym asymetryczny (jeśli A jest wyższy od B, to nieprawda, że B jest wyższy od A), to możemy ustawić żołnierzy z tej kompanii w jeden szereg, w którym każdy będzie miał określone, to, a nie inne, miejsce wedle stosunku wyższości wzrostem. 5