Problem fazowy w optyce rentgenowskiej

Transkrypt

1 Problem fazowy w optyce rentgenowskiej

2 Poprzednie wykłady Na poprzednich wykładach pokazaliśmy, że dla pewnej geometrii rozpraszania zespolona amplituda fali rozproszonej na obiekcie E(q) jest proporcjonalna do transformaty Fouriera jego gęstości elektronowej r(r) k r R r(r) q=k-k

3 Problem fazowy: sformułowanie* Związek między amplitudą rozproszenia i strukturą obiektu W eksperymencie mierzymy tylko natężenie. Informacja o fazach zostaje utracona. Amplituda jest zespolona! Dysponujemy tylko modułem amplitudy: Odwracalności transformacji Fouriera: Nie możemy odzyskać struktury obiektu! Możemy odzyskać strukturę: Obliczanie obrazu dyfrakcji dla znanej struktury jest proste. Wyznaczenie struktury na podstawnie obrazu rozproszenia jest trudne! *Dla prostoty zapisu, na tym wykładzie, znak proporcjonalności zamienimy na równość: jest to możliwe poprzez dobór odpowiednich jednostek. Dlatego używamy symbolu F(q) a nie E(q)

4 Problem fazowy Dla kryształu: (periodyczność) Im r r(0) Re r 1) Bez faz nie wiemy jak dodać wszystkie wektory 2) Pewne ułatwienie: w rezultacie musimy wylądować w dodatniej części osi rzeczywistej

5 Informacja zawarta w fazie Co tracimy? przykład 1 moduł Obiekt tylko moduł faza tylko faza

6 Informacja zawarta w fazie Co tracimy? przykład 2 obiekt moduł faza rekonstrukcja obiektu zamieniamy tylko fazy 2010

7 Metody rozwiązywania problemu fazowy Metody matematyczne numeryczne [dodatkowa wiedza o strukturze] fizyczne [bezpośredni pomiar faz] Obiekty periodyczne [kryształy] nieperiodyczne [nanostruktury układy biologiczne] Często inne podejście!

8 Rozwiązania problemu fazowego - kryształy Q. Shen, Q. Hao, S.M. Gruner, Macromolecular Phasing, Physics Today 59, 46 (2006) Hauptman, Karle, Nobel 1985 Bragg, Nobel 1915 D. Hodkin, Nobel 1964 Kendrew, Perutz, Nobel 1962

9 Autokorelacja i funkcja Pattersona Zobaczmy co przyniesie bezpośrednia transformacja obrazu rozproszenia [natężeń] Pamiętamy, że: Nazwijmy nasze wyrażenie P(r) Teraz je rozpiszmy: Po uporządkowaniu: Wykonujemy całkę po d 3 q Ostatecznie: Jest to tzw. funkcja autokorelacji (w krystalografii jest ona nazywana funkcją Pattersona i ma periodyczność sieci)

10 Autokorelacja i funkcja Pattersona - interpretacja Prosta molekuła Niektóre punkty funkcji Pattersona Molekuła i jej kopia przesunięta o r (0,0) ) Piki w funkcji P(r) odpowiadają wektorom łączącym parę atomów. 2) Intensywność: iloczyn liczb atomowych pary. Niektóre piki odpowiadają wielu parom. 3) Bardzo silne maksimum dla r=0. Suma kwadratów liczb atomowych wszystkich atomów

11 Autokorelacja i funkcja Pattersona - interpretacja Molekuła r(r) F(q) 2 Autokorelacja P(r) Dla prostych struktur znajomość funkcji Pattersona pozwala na odgadnięcie struktury. Liczba pików dla molekuły składającej się z N atomów wynosi N 2. Dla skomplikowanych struktur jest to mission-impossible. Dodatkowo dla dużych molekuł funkcja Pattersona staję się kompletnie rozmyta zbyt dużo wektorów między atomowych.

12 Autokorelacja skomplikowany obiekt Molekuła r(r) Autokorelacja P(r)

13 Ciężki atom Molekuła r(r) Autokorelacja P(r) Zwiększony kontrast Dla pojedynczego ciężkiego atomu (w małej molekule) funkcja Pattersona jest w przybliżeniu obrazem molekuły widzianym z pozycji ciężkiego atomu (+ jej punktowym odbiciem)

14 Ciężkie atomy Prosta molekuła z ciężkimi atomami Molekuła r(r) Autokorelacja P(r) W takim przypadku dominującymi pikami w autokorelacji są piki ciężki-cięzki. Można od razu wyznaczyć ich względne położenia

15 MIR Multiple isomorphous replacement wielokrotne podstawienie izomorficzne Do molekuły dodajemy ciężkie atomy lub kompleksy molekularne zawierające atomy [np. Au, Hg, U] i krystalizujemy. Uwaga: nazwa zamiana jest nieco myląca. Zakładamy (lub oczekujemy), że nie zmienia to struktury molekuły. Stąd przymiotnik izomorficzny. Pomiary możemy wykonać dla kryształów zawierających natywne i pochodne molekuły. Natywna molekuła (P) Ciężkie atomy (H) Pochodna izomorficzna (PH) Przykład: mioglobina. Kendrew&Perutz, Nobel z Chemii 1962

16 MIR pozycja ciężkich atomów W pierwszym kroku musimy wyznaczyć położenia ciężkich atomów. Ponieważ ciężkich atomów jest niewiele to wystarczy wyznaczyć ich funkcję Pattersona. Molekuła natywna Funkcja Pattersona Molekuła pochodna Funkcja Pattersona ciężkie atomy Ponieważ liczba atomów w naszej molekule jest duża to w funkcji Pattersona P PH nie można zazwyczaj zidentyfikować pików ciężki-cięzki

17 Różnica funkcji Pattersona Widoczne piki dla wektorów: atom molekuły atom molekuły Widoczne piki dla wektorów: atom molekuły atom molekuły atom ciężki atom ciężki atom ciężki atom molekuły Widoczne piki dla wektorów: atom ciężki atom ciężki atom ciężki atom molekuły Taka jakość nie zawsze wystarcza!

18 Różnicowa mapa Pattersona Na podstawie zmierzonych obrazów dyfrakcji, tworzymy następującą funkcję: Wyraźne prążki + szum Następnie definiujemy różnicową mapę Pattersona: W wyniku otrzymaliśmy nieco zaszumioną funkcję Pattersona P H ciężkich atomów. Na jej postawie możemy stosunkowo łatwo wyznaczyć względne pozycje ciężkich atomów a w efekcie zespoloną amplitudę F H. Uwaga nie jest to trywialne [patrz Drenth] : Widzimy, że:

19 MIR- Różnicowa mapa Pattersona natywna Papaina enzym trawienny + 1 atom Hg pochodna izomorficzna Principles of protein x-ray crystallography J. Drenth [pewna część dostępna przez googlebooks]

20 MIR- wyznaczenie struktury molekuły Do pełnego wyznaczenia struktury musimy znać Z pomiarów dyfrakcyjnych znamy: Potrafimy wyznaczyć: Jak wyznaczyć? Wiemy, że: Zatem: Dlatego: Rozpisujemy: kosinus to funkcja parzysta = nie znamy znaku tej różnicy

21 MIR- wyznaczenie struktury molekuły (obrazowo) diagram Arganda Im Im F P F PH F PH -F H F P F H Re -F H Re Dwa przecięcia dwie możliwe fazy

22 M(ultiple!)IR Potrzebujemy jeszcze jedną pochodną izomorficzną Im -F H2 -F H Re Jedno przecięcie!

23 Dyspersja - przypomnienie Na tym wykładzie zakładaliśmy, że rozproszenie na krysztale jest spójną superpozycją rozproszenia na swobodnych elektronach opisanym przez Thomsona. Dla pojedynczego oscylatora Wymuszony, tłumiony oscylator harmoniczny elektron w atomie jest związany tłumienie np. promieniste Poprawki dyspersyjne do amplitudy rozpraszania na związanym elektronie. Całkowitą poprawkę uzyskuje się traktując atom jako zespół oscylatorów

24 MAD multiple-wavelength anomalous diffraction Niezwykle ważna metoda fazowania wykorzystująca dyspersję. Poprawki dyspersyjne do amplitudy rozpraszania są ważne w pobliżu krawędzi absorpcji. Makromolekuły (białka itp) są zwykle złożone z lekkich pierwiastków Popularny przykład Metionina jeden z aminokwasów budujących białka [zawiera siarkę] Można w niej podmienić selen za siarkę bez znacznej zmiany w strukturze białka

25 MAD multiple-wavelength anomalous diffraction Krawędź K selenu Z=34 Idea metody: Przez zmianę energii w pobliżu krawędzi absorpcji możemy zmieniać fazę fal rozproszonych na atomach selenu. Powoduje to zmianę intensywności i faz obserwowanych refleksów!

26 MAD anomalna dyfrakcja - równania Szereg Fouriera dla kryształu Współczynniki szeregu [czyli zespolone amplitudy refleksów] liczymy sumując po wszystkich atomach wszystkie normalne atomy anomalne Nierezonansowy czynnik struktury wszystkich atomów Nierezonansowy czynnik struktury anomalnych atomów

27 MAD anomalna dyfrakcja - pomiar znane nieznane Nierezonansowy czynnik struktury wszystkich atomów Nierezonansowy czynnik struktury anomalnych atomów Wykonując pomiary dla trzech energii (długości fali) możemy jednoznacznie wyznaczyć 3 niewiadome. Później trochę podobnie jak z ciężkimi atomami w MIR. Metodę można stosować jedynie na synchrotronach. Potrzeba przestrajalnego źródła X a sygnał jest mały J.Als-Nielsen, Modern x-ray physics

28 Inne metody fazowania dla kryształów 1) METODY BEZPOŚREDNIE Karle & Haumptman Nobel Chemia 1985 czysto matematyczno/statystyczne małe molekuły 2) Molecular Replacement -wielkie molekuły znamy mały fragment struktury. Próbujemy go obracać i przesuwać w obrębie molekuły. Przestrzeń poszukiwań 6D. Na szczęście można odseparować translację od rotacji.

29 Dyfrakcyjna mikroskopia rentgenowska fazowanie spekli

30 Twierdzenie Shannona o próbkowaniu If an function f(r) (object) is known to vanish outside the interval (-a,a) then its Fourier transform is completely specified by the values sampled at k n =ndk, where Dk=p/a, n=0,±1,.., ±. Hence, we can reconstruct the object from disretely sampled Fourier transform F n =F(nDk). Sampling with Dk is reffered to as Nyquist ctitical sampling. 0

31 Próbkowanie nadmiarowe Obraz dyfrakcyjny [zespolony] 2k max Dk FFT -1 Dk= Dk Nqst =p/r max Obiekt 2r max r max =p/dk Próbkując obraz dyfrakcyjny zgodnie z kryterium Nyquista jesteśmy w stanie go w pełni odtworzyć. Pamiętamy, że stosują próbkowanie niedomiarowe jesteśmy narażeni na aliasing Co się stanie jeżeli zastosujemy bardziej gęste próbki tj. próbkowanie nadmiarowe? FFT -1 Odtwarzamy obiekt i pusty obszar wokół niego! Dk= Dk Nqst /2 Tu zero!

32 Skończony nośnik Jeżeli wiemy, że nasz obiekt ma skończony nośnik (tj. ograniczony do pewnego) obszaru. To ta dodatkowa informacja, przy zastosowaniu, nadmiarowego próbkowania może posłużyć do rozwiązania problemu fazowego. Strata części informacji o obiekcie, zawartej w fazie, jest rekompensowana przez dodatkową informacje o jego nośniku! Warunki: 1) Nadpróbkowanie powinno być znaczne. [tym większe im większy szum] 2) Musimy użyć koherentnego promieniowania. Droga koherencji musi być większa niż obiekt + cała pusta przestrzeń wokół obiektu. 3) Metody tej nie da się zastosować dla kryształów. Okazuje się, że piki Bragga odpowiadają próbkowaniu Nyqista, komórki elementarnej.

33 Przykładowy iteracyjny algorytm odzyskiwania fazy Wiemy, że obiekt zajmuje obszar S przestrzeń odwrotna przestrzeń rzeczywista W każdej iteracji zerujemy ten obszar! przestrzeń odwrotna przestrzeń rzeczywista S

34 Demonstracja

35 Spekle rentgenowskie koherentna dyfrakcja na obiektach nieperiodycznych Układy biologiczne. Nie wszystko da się skrystalizować! Bakteria [E.Coli] Eukariota [drożdże] Ludzki chromosom

36 Ptychografia Najbardziej obiecująca i rozwijana metoda obrazowania rentgenowskiego w ciągu ostanich lat kilku lat

37 Ptychochrafia

38 KONIEC