ANALIZA KINEMATYKI MANIPULATORA O PIĘCIU STOPNIACH SWOBODY

Transkrypt

1 ZESZYTY NUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIE 29, Mechnk 86 RUTMech, t. XXXI, z. 86 (4/4), pźdzernk-grudzeń 24, s. 49- Potr GIERLK NLIZ KINEMTYKI MNIPULTOR O PIĘCIU STOPNICH SWOBODY W rtykule przestwono nlzę knemtyk mnpultor o pęcu stopnch swoody n przykłdze ednostk knemtyczne root mnpulcynego Scorot-ER 4pc. Do opsu knemtyk ukłdu zstosowno notcę Denvt-Hrtenerg. Przyęto schemt knemtyk mnpultor podno prmetry opsuące ukłd. Zpsno odpowedne mcerze trnsformc, które zstosowno w dlsze nlze. Wyznczono kon nltyczny mnpultor orz kon geometryczny w cele przeprowdzono nlzę osolwośc. Są to tke konfgurce mnpultor, w których wyznczene rozwązn zdn odwrotnego knemtyk est znczne utrudnone, przy zstosownu klsycznych metod nemoŝlwe. Dltego znomość konfgurc osolwych est nezędn w celu poprwnego plnown generown trektor mnpultor. Zprezentown metodyk est unwersln moŝe yć stosown do nlzy knemtyk mnpultorów o nne strukturze knemtyczne nŝ zprezentown w nnesze prcy. Słow kluczowe: kon, konfgurce osolwe, notc Denvt-Hrtenerg. Wprowdzene nlzę knemtyk mnpultor przeprowdz sę w celu uzyskn opsu włścwośc ruchowych ukłdu, które mogą yć wykorzystne w plnownu trektor ruchu orz e relzc, czyl sterownu [, 2]. nlz knemtyk umoŝlw równeŝ określene chrkterystycznych dl dnego mnpultor tzw. konów, które stosue sę np. do olczen wpływu sł momentów zewnętrznych dzłących n końcówkę mnpultor n sły momenty w przeguch. kony mogą yć teŝ uŝyte do uzyskn nformc o tzw. konfgurcch osolwych, czyl ustwench łńcuch knemtycznego, których nleŝy unkć n etpe plnown trektor, ze względu n neednoznczne rozwązn zdn odwrotnego knemtyk. W rtykule dokonno nlzy knemtyk mnpultor root Scorot-ER 4pc. ednostk knemtyczn root to czteroczłonowy mnpultor o pęcu utor do korespondenc/correspondng uthor: Potr Gerlk, Poltechnk Rzeszowsk, l. Powstńców Wrszwy 8, -99 Rzeszów, tel.: (7) 8684, e-ml: pgerlk@prz.edu.pl

2 492 P. Gerlk stopnch swoody z moŝlwoścą ednoczesnego wykonywn orotów osttnego członu wokół dwóch prostopdłych os. Rmę mnpultor o trzech stopnch swoody m strukturę knemtyczną ntropomorfczną (stwową) []. N końcu rmen est dołączon tzw. kść o dwóch stopnch swoody. Formlne wygodne est przyąć, Ŝe mnpultor est pęcoczłonowy, ntomst czwrty człon mnpultor m zerową długość msę. 2. Przeksztłcen ednorodne Do opsu knemtyk mnpultor zstosowno notcę Denvt- -Hrtenerg (D-H) [4-6]. N schemce knemtycznym (rys..) przyętym zgodne z notcą, wprowdzono loklne ukłdy odnesen zwązne z kolenym członm określono prmetry knemtyczne chrkteryzuące ukłd. W notc D-H wprowdz sę tzw. mcerz przeksztłcen ednorodnego [4-6] -, któr przeksztłc współrzędne wyrnego punktu z ukłdu -tego do ( ). est on wynkem czterech przeksztłceń podstwowych [6], co zpsno ko: - z, θ z, d x, x, α = Rot Trns Trns Rot = cθ sθ s c c s = θ θ α α = d sα cα cθ sθ cα sθ sα cθ s c c c s s = θ θ α θ α θ () sα cα d gdze: s θ = snθ, c θ = cosθ, s α = snα, c α = cosα, Rot z,θ mcerz rotc o kąt θ wokół os z, Trns z,d mcerz trnslc o d wzdłuŝ os z, Trns x, mcerz trnslc o wzdłuŝ os x, Rot x,α mcerz rotc o kąt α wokół os x. Rotce trnslce są rozumne ko rotce trnslce ukłdu -tego względem ( ). Ognwo -te łńcuch knemtycznego est chrkteryzowne przez cztery prmetry: długość członu, α skręcene członu, d odsunęce przeguu, θ kąt orotu przeguu. Prmetry mnpultor w uęcu notc D-H zestwono w t..

3 nlz knemtyk mnpultor 49 Rys.. Struktur knemtyczn mnpultor Scorot-ER 4pc Fg.. Knemtc structure of the Scorot-ER 4pc mnpultor Tel. Prmetry knemtyczne mnpultor Scorot-ER 4pc Tle. Knemtcs prmeters of the Scorot-ER 4pc mnpultor Nr ognw α d θ l π/2 d θ 2 l 2 θ 2 l θ 4 π/2 π/2+θ 4 d θ Mcerze przeksztłceń ednorodnych mą nstępuące postce: cosθ snθ l cosθ snθ cosθ l snθ = d (2) cosθ2 snθ2 l2 cosθ2 2 snθ2 cosθ2 l2 snθ 2 = ()

4 494 P. Gerlk cosθ snθ l cosθ snθ cosθ l snθ 2 = (4) snθ4 cosθ4 4 cosθ4 snθ4 = () cosθ snθ snθ cosθ 4 = (6) d Do wyznczen konu nltycznego geometrycznego potrzen est znomość mcerzy trnsformc ukłdu -tego do ( ) [7]: k - = k- k= T (7) ogóln struktur mcerzy T - to: = R p T gdze: R - R mcerz rotc ukłdu -tego względem ( ), wektor trnslc ukłdu -tego względem ( ). p - (8) R. kon nltyczny W welu spektch rootyk, tkch k modelowne, plnowne ruchu sterowne mnpultorem [2] stosue sę tzw. mcerz konową, nzywną konem (w rootyce ne utoŝsm sę e z wyzncznkem mcerzy konowe, k to m mesce w mtemtyce). W lterturze zdefnowno klk

5 nlz knemtyk mnpultor 49 rodzów konów [6-8]. W tym rozdzle zostne przedstwony kon nltyczny, ntomst w kolenym kon geometryczny w cele. Do wyznczen konu nltycznego wykorzystue sę tzw. funkcę knemtyk, któr wynk ze zwązku pomędzy współrzędnym konfgurcynym (przeguowym) współrzędnym zdnowym zwąznym z przestrzeną rooczą (zdnową). Współrzędne zdnowe y mogą yć wyrne np. tk, y określły pozycę orentcę końcówk roocze w przestrzen zdnowe w funkc współrzędnych konfgurcynych: m y = k q R (9) gdze: k(q) tzw. funkc knemtyk, q R wektor współrzędnych konfgurcynych, n wymr przestrzen konfgurcyne mnpultor, m wymr przestrzen zdnowe mnpultor. Wyór współrzędnych zdnowych y do reprezentc knemtyk m stotny wpływ n złoŝoność reprezentc knemtyk [7]. ZleŜność pomędzy prędkoścm przeguowym prędkoścm w przestrzen zdnowe est określon z pomocą konu nltycznego, co zpsno nstępuąco: y& = ( q) q&, ( q) n k q = R q m n n () gdze: q& R wektor prędkośc przeguowych, y& R prędkość we współrzędnych zdnowych, (q) mcerz konow reprezentc knemtyk mnpultor we współrzędnych, nzywn konem nltycznym mnpultor. Do wyznczen konu nltycznego zstosowno eden z moŝlwych sposoów, przedstwony m.n. w prcch [6, 7]. kon nltyczny n-członowego mnpultor skłd sę z kolumn, =, 2,, n, czyl: q = n () m gdze kolumnę określ sę ko: R p p = - R kol - n - kol w przypdku gdy przegu -ty est orotowy lu (2)

6 496 P. Gerlk R = - kol () w przypdku gdy przegu -ty est pryzmtyczny. Elementy wzorów (2) () wyzncz sę n podstwe mcerzy trnsformc (8). Symolem R - kol oznczono trzecą kolumnę mcerzy rotc. W przypdku rozwŝnego mnpultor przyęto 6-wymrową przestrzeń zdnową, w które współrzędne y = [y y 2 y y 4 y y 6 ] T opsuą pozycę (trzy perwsze elementy) orentcę (trzy osttne elementy) końcówk roocze względem os ukłdu zowego. Ze względu n specyfczny sposó pomru kątów orotu członów mnpultor root Scorot-ER 4pc przyęto nowy wektor współrzędnych konfgurcynych: q θ q 2 θ 2 q = q = θ2 + θ (4) q4 θ 2 + θ + θ4 q θ Specyfk pomru kątów orotu członu. 4. poleg n tym, Ŝe kąty orotu tych członów ne są odmerzne względem os x członów poprzedzących, lecz względem pozome płszczyzny x y ukłdu zowego. kon nltyczny wyprowdzony z zstosownem zleŝnośc (8) orz ()-() we współrzędnych q m postć: l + l2c2 + lc + dc4 s l2s2c lsc ds4c l + l2c2 + lc + dc4 c l2s2s lss ds4s l2c2 lc dc4 y ( q ) = s c4c x c c4s s4 () gdze: s = snq, c = cosq. kon nltyczny (q) zndue zstosowne w prktycznych plkcch do olczn wpływu sł momentów występuących w końcówce mnpultor, określonych w ukłdze glolnym, n momenty w przeguch. eśl sły momenty są merzone z pomocą czunk umeszczonego w końcówce mnpultor, to są one wyrŝone w loklnym ukłdze czunk. Wówczs, w celu przelczen sł momentów z mesc pomru do przeguów mnpul-

7 nlz knemtyk mnpultor 497 tor, redukue sę zmerzony wektor sł momentów do ukłdu końcówk wyrŝ sę go w ukłdze glolnym, nstępne stosue sę kon nltyczny. Innym rozwąznem est zstosowne konu geometrycznego w cele. 4. kon geometryczny w cele W celu poprwnego olczen wpływu sł momentów wyrŝonych np. w ukłdze czunk sły umeszczonego w końcówce n sły momenty w przeguch mnpultor moŝn określć kon geometryczny w ukłdze cł (q), zwny krótko konem geometrycznym w cele [7]. MoŜlwy sposó wyznczn konu geometrycznego w cele mnpultor n-członowego przedstwono w prcy [7]. kon tk skłd sę z kolumn, =, 2,, n, czyl: q = n (6) gdze kolumnę defnue sę nstępuąco: = R R p nt R- kol nt nt n - kol - - (7) w przypdku gdy przegu -ty est orotowy lu = nt R- kol (8) w przypdku gdy przegu -ty est pryzmtyczny. kon geometryczny w cele wyprowdzony z zstosownem zleŝnośc (8) orz (6)-(8) we współrzędnych q m postć: ( q) l + l2c2 + lc + dc4 s l2c% 42c lc% 4c dc l + l2c2 + lc + dc4 c l2c% 42s lc% 4s ds l2s% 42 ls% 4 = c4c s c4s c s4 gdze: s% = sn( q q ), c% = cos( q q ). (9)

8 498 P. Gerlk. Konfgurce osolwe W zgdnench plnown trektor ruchu mnpultor stotnym zgdnenem est wyznczene konfgurc osolwych [, 7, 9]. Z prktycznego punktu wdzen występowne tkch konfgurc znczne utrudn rozwązywne zdn odwrotnego knemtyk, gdyŝ koneczne est wówczs stosowne złoŝonych metod mtemtycznych. W celu wyznczen konfgurc osolwych dokonue sę nlzy konu, przy czym nlzuąc kon nltyczny, moŝn wyznczyć konfgurce osolwe mnpultor, ntomst nlzuąc kon geometryczny, moŝn wyznczyć równeŝ osolwośc reprezentc knemtyk [7]. eśl lcz stopn swoody mnpultor est mnesz nŝ wymr przestrzen zdnowe tk est w przypdku rozwŝnego mnpultor, to zgodne z teorą wszystke ego konfgurce są osolwe. Gdyy kon ył mcerzą kwdrtową, wystrczyłoy olczyć ego wyzncznk wyznczyć zór konfgurc osolwych, przyrównuąc wyzncznk konu do zer. Przedstwone kony mnpultor ne są mcerzm kwdrtowym, dltego w celu wyznczen konfgurc osolwych określ sę zestw mnorów stopn. kŝdego konu poszukue sę konfgurc, w których ędą one równe zeru. Zestw mnorów stopn. konu nltycznego to: D l2l l + l2 cosq2 + l cosq + d cosq4 sn q q2 cosq4 l2l l + l2 cosq2 + l cosq + d cosq4 snq sn q q2 snq4 l2l l + l2 cosq2 + l cosq + d cosq4 cosq sn q q2 snq 4 = (2) l2l cos q sn ( q q2 ) cos q 4 l2l sn q sn ( q q2 ) cos q 4 z czego wynk, Ŝe zór konfgurc osolwych est nstępuący: T ( q q2 q q4 q ) R q = S = sn q = cos q = sn q q2 = sn q4 = (2) cos q4 = l + l2 cos q2 + l cos q + d cos q4 = Zestw mnorów stopn. konu geometrycznego w cele to:

9 nlz knemtyk mnpultor 499 l2l ( l + l2 cosq2 + l cosq + d cosq4 ) sn( q q2 ) snq l2l ( l + l2 cosq2 + l cosq + d cosq4 ) sn ( q q2 ) cosq D = (22) l2l sn( q q2 ) cos q4 cos q l2l sn( q q2 ) cos q4 sn q Wynk z nego zór konfgurc osolwych: ( q q2 q q4 q ) T q = R * S = sn q q2 = cos q4 = sn q = (2) cos q = l + l2 cos q2 + l cos q + d cos q4 = Zer w zestwch mnorów (2) (22) potwerdzą fkt, Ŝe rozptrywny mnpultor formlne zwsze est w konfgurc osolwe. 6. Podsumowne Przeprowdzon nlz knemtyk mnpultor umoŝlw zplnowne trektor we współrzędnych konfgurcynych, któr ędze nstępne relzown przez ukłd sterown root. W tym celu nleŝy rozwązć zdne odwrotne knemtyk przy nrzuconych zmnch pozyc (lu) orentc końcówk roocze mnpultor. Do tego celu moŝn zstosowć równn knemtyk (), z których nleŝy wyznczyć wektor prędkośc przeguowych, nstępne, przez cłkowne, wektor współrzędnych przeguowych. PonewŜ n < m, czyl wymr przestrzen konfgurcyne est mneszy nŝ wymr przestrzen zdnowe, ne est moŝlwe osągnęce przez końcówkę rooczą dowolnego punktu przestrzen zdnowe z dowolną orentcą. Przeprowdzon nlz osolwośc stnow wskzne, k nleŝy plnowć zmny pozyc orentc końcówk roocze, y mnpultor ne osągł konfgurc osolwych. Znomość konów mnpultor est szczególne potrzen w zgdnench sterown ruchem root, z uwzględnenem nterkc z otoczenem. est to sytuc typow m.n. dl róŝnych zdń montŝowych orz w przypdku zrootyzowne orók mechnczne. W tkm przypdku sły momenty nterkc pownny yć merzone przykłdowo przez czunk umeszczony w końcówce roocze, znomość konów pozwl n olczene wpływu sł nterkc n sły momenty w przeguch mnpultor orz umoŝlw poprwne sterowne rootem.

10 P. Gerlk Ltertur [] Grc L., Tornero.: Trckng Trectores wth Rootc Mnpultor wth Sngulrtes. LNCS, 4729 (27), 9-6. [2] śylsk W., Gerlk P.: Sterowne ruchem ndąŝnym rootów mnpulcynych. OW PRz, Rzeszów 24. [] Penne R., Smet E., Klosewcz P.: short Note on Pont Sngulrtes for Root Mnpultors.. Intell. Root Syst., 62 (2), [4] Kozłowsk K., Dutkewcz P., Wrólewsk W.: Modelowne sterowne rootów. Wydwnctwo Nukowe PWN, Wrszw 2. [] Moreck., Knpczyk.: Podstwy rootyk. Teor elementy mnpultorów rootów. WNT, Wrszw 999. [6] Spong M.W., Vdysgr M.: Dynmk sterowne rootów. WNT, Wrszw 997. [7] Tchoń K. n.: Mnpultory rooty molne: modele, plnowne ruchu sterowne. kdemck Ofcyn Wydwncz PL, Wrszw 2. [8] Selg.M.: Geometrc Fundmentls of Rootcs, Sprnger Scence+Busness Med, New York 2. [9] Dulę I.: Metody lgorytmy plnown ruchu rootów molnych mnpulcynych. OW EXIT, Wrszw 2. NLYSIS OF THE KINEMTICS OF THE DOF MNIPULTOR S u m m r y In the pper the knemtcs nlyss of degrees of freedom mnpultor s presented. The nlyss ws relsed for the Scorot-ER 4pc rootc mnpultor. To descre the knemtcs of the mnpultor the Denvt-Hrtenerg notton s used. The knemtcs scheme nd prmeters of the mnpultor s well s pproprte trnsformton mtrces, tht were used n the further nlyss, re gven. The nlytcl con of the mnpultor nd the geometrcl con n the ody re determned nd the nlyss of sngulrtes s relsed. In sngulr mnpultor s confgurtons the soluton of the nverse knemtcs prolem s very dffcult, nd usng clsscl methods mpossle. Therefore, knowledge of the sngulr confgurtons s necessry for the proper plnnng nd genertng the trectory of the mnpultor. The presented methodology s unversl nd cn e used to nlyze the knemtcs of mnpultors wth other knemtc structure tht s not presented n ths pper. Keywords: con, sngulr confgurton, Denvt-Hrtenerg notton DOI:.7862/rm.24. Otrzymno/receved:.6.24 r. Zkceptowno/ccepted: r.