Zastosowania matematyki chemia aplikacyjna. Marek Kręglewski

Transkrypt

1 Zsosow memk em plkj Mrek Kręglewsk

2 Progrm zjęć. Czm są meod umerze? Tworzee lgormu.. Ierje rozwąze rówe pu =(). 3. Rozwązwe rówń jedej zmeej: meod bsekj, Newo sez. 4. Cłkowe umerze: meod rpezów Smpso. 5. Różzkowe umerze. 6. Rozwęe ukj w szereg. 7. Crkersk błędu meod umerzej w zleżoś od długoś kroku. 8. Eksrpolj Rrdso. 9. Numerze rozwązwe rówń różzkow..welom: posć url, sem Horer..Ierpolj welomem.

3 Progrm zjęć.deje rodzje merz. Dzł merz. 3.Zps merzow ukłdu rówń low. 4.Rozwąze ukłdu rówń low w pos merzowej. 5.Wroś rkersze merz. 6.Eleme eor błędu przeoszee sę błędów. 7.Opmlzj low. 8.Opmlzj elow. LABORATORIUM. Progrm MS Eel. Wkorzse MS Eel do rozwązw problemów umerz LITERATURA:. E. Seer, Memk dl emków, WN PWN.. A. Rlso, Wsęp do lz umerzej, PWN 975.

4 Lzb rzezwse Nurle:,,3, Cłkowe:,-,-,,,,3,. Wmere: moż przedswć jko m/ Newmer: e moż przedswć jko m/, p. Przesępe: e, π π = [obwód koł]/[śred] = 3,45965 e = +/!+/!+/3!+/4!+ =,78888

5 Algebr lzb rzezws Przemeość dodw +b=b+ Przemeość może b=b Łązość dodw +(b+)=(+b)+ Łązość może (b)=(b) Rozdzelość może względem dodw (b+)=b+ Moduł lzb =+ Dzłe poęg m = m+ m / = m- ( m ) = ( ) m (b) m = m b m - = / m /m =

6 Lzb zespoloe Rówe =- e m rozwąz w dzedze lzb rzezws W dzedze lzb zespolo ke rozwąz seją: =-, =, gdze =-, zl =- Ogól posć lzb zespoloej z = +* zęść rzezws lzb zespoloej Re(z) zęść urojo lzb zespoloej Im(z) Przkłd lzb zespolo: -, 4, -6,,5+, Lzb rzezwse o podzbór lzb zespolo, dl kór =, Im(z)= Poęg : =-, 3 =-, 4 =, 5 =, - = / = / = /(-) =-

7 Dzł lzb zespolo Dwe lzb zespoloe: z = +, z = + Rówość: z =z, jeśl = orz = Dodwe: z +z = ( + ) + ( + ) Możee: z z = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) = = = ( - ) + ( + ) Sprzężee zespoloe lzb z=+, o lzb z * =- Kwdr modułu lzb zespoloej z z * = (+)(-) = -+- = + Wzór Euler e = os() + s(), e - = os() - s(), os() = (e + e - )/ s() = (e - e - )/()

8 Algorm rozwąz rów =() START Wzj, ε, A = = =½(+A/) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń

9 Eleme lgormu sekwejego Komórk poząku lub koń Komórk wejś/wjś Komórk operj? Komórk wruku odpowedź TAK lub NIE Keruek do kolejej komórk =() Isrukj podswe wlzo wrość wrże () podsw jes jko ow wrość zmeej

10 Proes zbeż: =½(+4/) L P 4 4 6

11 Proes rozbeż: =6-* E E E E E E E L P

12 Meod bsekj Rozwąze rów ()=, zl szuke mejs zerow ukj (). Szukm mejs zerowego w przedzle <,b>, w kórm: ) ukj () jes ągł ) () zme zk w przedzle <,b>, z. ()(b)< mejse zerowe p p 3 p 4 p b b b Przkłd: 3 +4* -=

13 Algorm meod bsekj START Wzj, b, ε ()*(b)< TAK p=(+b)/ ()*(p)< TAK b=p NIE NIE Wpsz: zł przedzł =p Śld dzłń NIE -b <ε TAK Wpsz,b STOP

14 Meod Newo Rozwąze rów ()=, zl szuke mejs zerow ukj (). Szukm mejs zerowego rozpozją w dowolm puke, jeżel: ) ukj () orz jej perwsz pood są ągłe ) perwsz pood jes róż od zer mejse zerowe 3 sz Rozwęe ukj w szereg Tlor:! ' '

15 Wjśee meod Newo () ( ) (α)= ( ) (8-α)= ( ) /( - ) - = ( ) /(8-α) - = -( ) /(α) = - ( ) /(α) = - ( ) / ( ) 8-α α Wprowdzee z werdze Pgors

16 Algorm meod Newo START Wzj, ε = = - ( ) / ( ) NIE - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń

17 Meod sez Rozwąze rów ()=, zl szuke mejs zerow ukj (). Szukm mejs zerowego rozpozją z pr puków (, ) jeżel: ) ukj () jes ągł ) ( ) ( ), gd mejse zerowe 3 Perwsz pood przblżo przez lorz różow: '

18 Algorm meod sez START Wzj,, ε q =( ) q =( ) = ; = q =q ; q =( ) NIE = q ( - ) /(q -q ) - < ε TAK Wpsz STOP Śld dzłń

19 Ruek różzkow Pood ukj mr, jk szbko zme zleż zme sę ze zmą zmeej ezleżej =() L gesow (α) (lee) = - α = - lm lm d d pood

20 Ruek różzkow Zjdź poodą ukj = Ne = - d orz = ( )-( ) = ( ) -( ) = ( +) -( ) = [( ) + +() ]-( ) = = [ +() ] Po podzeleu przez W gr, gd (z. ) d d lm Poodą ukj = jes d/d=

21 Ruek różzkow Poode wbr ukj elemer ( jes słą): Fukj =() Pood d/d= () - l() l() / s() os() os() -s() d d Ne () orz z() są różzkowlm ukjm : z d dz d z d dz d z dz d z d / z d d d d d d d d d z d d z dz d Fukj złożo (u()) d d d du * du d

22 Poode - przkłd d/d(4* 5.3* 3 ) = 4*5* 4 -.3*3* = * 4 -.9* d/d(s()*os()) = d/d(s())*os()+s()*d/d(os())= =os()*os() +s()*(-s())=os ()-s ()=os() d/d(½ s()) = ½ os()* =os() d/d(4* 5 /( 3 )) =[d/d(4* 5 )*(- 3 )-4* 5 *d/d(- 3 )]/(- 3 ) = =[* 4 *(- 3 )+* 7 ]/ (- 3 ) =[* ]/ (- 3 )

23 Ruek łkow - podsw Fukją perwoą F() ukj () jes k ukj F(), że df()/d=() Cłk eozzo o po prosu ukj perwo Cłk ozzo o gr sum złoów () b d Fb F

24 Ruek łkow - przkłd Smoód porusz sę ze słą prędkośą v()=5 km/. Oblz odległość, jką poko w ągu (godz). s v( ) 5km/ * km s v d 5d 5 5* 5* km Kmeń spd z przspeszeem g() = m/s. N poząku jego prędkość wosł m/s. Oblz odległość, jką kmeń poko mędz gą 4 ą sekudą spdku. v v s 4 v g( ) d d 4 os d os d 5 4 5*4 5* 8 6m

25 Ruek łkow - przkłd Jk oblzć łkę z lozu dwó ukj? Cłkowe przez zęś: dg d d = g d d g d Cłk eozzo s d = os os d = os + s + os Cłk ozzo π s d = os π + s π = π os π + os + s π s = π

26 Cłkowe umerze T b T b d m b m m T T T m * * T T T m m m *, m m T T T T Meod rpezów T m

27 Cłkowe umerze S b b d m b S S S m m m m *, / 4 3 m m m m S S S S / Meod Smpso S m/ m przse

28 I Cłkowe lze - przkłd ( ) d ()= 3 3 d ()= 4 4 d ,4

29 Cłkowe umerze - przkłd I ( ) d () T ( ) T ( ) S( ) * * Wk oblzeń umerz 3 4 T(=) T(=) S(=) ,67 I (dokłd) ,4 ()= 3 ()= 4 T ( ) T ( ) S( ) * * Błęd meod rpezów błąd T() T()-I T() T()-I ,6 39 4,6

30 Gr ukj lm 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 𝑥 𝑎 Problem, gd w gr ukj jes eągł. Przkłd: /, /, - Reguł de l Hôspl (opublkow w 696 roku) Gd () g() dl, o 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 lm = lm 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 jeżel g (). Gd dl () g () dl, o 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 lm = lm 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥 𝑥 𝑎 𝑔 𝑥

31 Szereg geomerz /* 3 S S S S S S r r Gd = ) Sum jes rów ) Jes rozwęem w szereg ukj = Smbol sum:

32 Szereg Mlur ) ( ,,, 3 słe 6 ) "( 4 3 ) '( d d d d Tus '''() 3! "()! '()!!! 3! '''()! "() '() 3 3

33 Szereg Tlor ) ( ,,, 3 słe 6 ) "( 4 3 ) '( d d d d Tus ) '''( 3! ) "(! ) '(!!! 3! ) '''(! ) "( ) '( 3 3

34 Rozwęe w szereg s() = s = os = s = os = s s =! +! +! + 3! 3 + 4! 4 + +! s =! s +! os! s 3! os 3 + 4! s 4 + s = 3! 3 + 5! 5 7! 7 +

35 Szereg Mlur - przkłd e k k, Oblz wrość (6) sosują rozwęe w szereg Mlur ' k ke k " k e k e k * k Wwołj Tlor seres

36 Różzkowe umerze ) ( ) ( lm ) ( ) ( lm Przblże jedosroe: L P ) ( ) ( ) ( ) ( - + (+) () (-) Śred P L (róż erl): L P ) ( ) (

37 Różzkowe błąd meod 3!!! 3!!! 3 3! /:!!! pood błąd 3 3 3! : / 3! 3! pood błąd Pood jedosro Pood erl _

38 Przkłd oblzee poodej Oblz poodą l() w puke =3 meodą poodej erlej orz jedosroej dl róż długoś kroków: ()=l() l'(3)=/3 l(3)=.986 '()=[(+)-(-)]/(*) () '(3) błąd ^ błąd/^ '()=[(+)-()]/ + (+) (3) błąd błąd/ Zmejszee kroku zmejsz błąd, prz zm szbej błąd mleje w meodze róż erl

39 Eksrpolj Rrdso Cz wkoują oblze ze skońzo długośą kroku moż oszowć wk grz dl? F p r O r p F() wrość oblzo dl długoś kroku = F() poez wrość dl zerowej długoś kroku p rząd błędu meod umerzej Oblzm wk umerz F dl dwó róż kroków (q) F F F F p r O p q q O r q p p p q q /* q p

40 Eksrpolj Rrdso.d. r O q q F F F p eż jes obrzoe błędem posępowe moż prowdzć dlej. Njzęśej eksrpolję sosujem dl q=, wed: r O F F F p p p p p p p p p q q F F q q q F q q F q odejmujem srom

41 Eksrpolj Rrdso przkłd I 3 d 684 Wk umerze meodą rpezów: T() T T T

42 Eksrpolj Rrdso przkłd ()=l() l'(3)=/3 '()=[(+)-(-)]/(*) P() / błąd meod róż erl, zl p=. = P()-P()

43 Rówe różzkowe I rzędu Rówe różzkowe opsująe rozpd promeowórz Propozj rozwąz: Sprwdze poprwoś: Podswee do rów: Lew sro rów prwej, gd: dn d N N dn d be b b k e e b be k b ke kn Wrość wzz z wruku poząkowego: Oseze rozwąze lze: k sł szbkoś rozpdu promeowórzego b N e N k N N N N e k

44 Rozpd promeowórz Rówe różzkowe opsująe rozpd promeowórz dn d kn Rozwąze lze: Okres połowzego rozpdu : N N N e e k k k N e k l k N l k N l

45 Rówe różzkowe meod Euler Rówe ( jes zą ukją): Wzór przblżo poodą: Po przekszłeu: Uproszzo zps: d d d d, d, d d d Os wzór pozwl oblze wroś ukj puk po puke. Wrość ukj w puke zerowm określją wruk poząkowe.

46 Rówe różzkowe I rzędu dn d kn k N dn/d Nl N Nl

47 Rówe różzkowe II rzędu Drg rmoze F p = m - przspeszee F w = -k - wlee Przjmjm: m= k= Rówowg sł F p = F w =- b ' " b d d Rozwąz szzególe rów: e b b e b be b b e e b b e e Rozwąze ogóle rów: e e F Słe wzze z wruków poząkow

48 Rówe różzkowe II rzędu e e - Wruk poząkowe: ' ' e e e e Rozwąze ogóle z uwzględeem wruków poząkow: e e os

49 Rozwąze umerze I d d v d d d dv gdze : Korzsm z przblżo wzorów poode: v v v v v v k v v k k k Ozzm: v v v k k k k k k Z pos rów wk: k k

50 Rozwąze umerze I.d. Gd = : m v m s 4 k (k) (k) v(k) (k) pood jedosro v (k) v(k) (k)

51 Rozwąze umerze II d d v d d d dv gdze : Korzsm z przblżo wzorów poode erle: v v v 3 v v v 3 k v v k k k Ozzm: v v v k k k k k k 3 Z pos rów wk: k k

52 Rozwąze umerze II.d. Gd = : m v m v v s 4 k (k) (k) v(k+/) (k) pood erl v (k) v(k+/) (k)

53 Rów kek emzej Rekj rzędu: A k B d A d = k A A = A e k Rekj rzędu: H + H k H v = d H d d d = k = d H d = k H d d = k

54 Rozwąze Rozdzelee zme d d = k d = k d Po słkowu = k + Jeżel w wl = sężee poząkowe wosło, o =/ = k A A = k A = A + k A /[A] /[A]

55 Wekor Rówość wekorów = b Dodwe wekorów +b = b+ Wrość, keruek zwro Przkłd: Drog Prędkość Przspeszee Sł Pęd Mome pędu Odejmowe wekorów -b = +(-b) +b b -b -b Możee wekor przez sklr

56 Skłdowe wekorów = - = - j j Wersor, j są wekorm o długoś jedoskowej skerowe wzdłuż os,. Skłdowe wekor : = -, = - Długość wekor = + Zps wekor: =(, ) lub = + j Wekor w 3 wmr: =(,, z ) lub = + j+ z k

57 Dzł wekor Rozwżm wekor =(,, z ), b=(b,b,b z ) Rówość wekorów =b, gd =b, =b, z =b z b Dodwe wekorów +b=( +b, +b, z +b z ) Przkłd płszzźe b +b b b Możee przez sklr: =(,, ) 3

58 Mome dpolow ząsezk Łduek ujem -q o położeu określom przez wekor r Łduek dod +q o położeu określom przez wekor r +q r Mome dpolow r = -q r + q r = q (r -r ) = q r r -q

59 Pood wekor po sklrze wekor położe s() = s + j s +k s z = (s, s, s z ) wekor prędkoś v() = v + j v +k v z = (v, v, v z ) = = (ds /d, ds /d, ds z /d) wekor przspesze () = + j +k z =(,, z ) = = (dv /d, dv /d, dv z /d) = = (d s /d, ds /d, d s z /d ) Przkłd: s() s s(+) ds/d W ruu po okręgu zm wekor położe s jes określo przez wekor prędkoś zm ds/d, kór jes w kżdej wl prosopdł do s.

60 Iloz sklr wekorów A b = b os = b + b + z b z gdze =, b = b są długośm wekorów, ( ) jes kąem mędz m Rówowżość dej lozu sklrego O b B AB = OA + OB OA OB os θ = + b b os θ AB = b AB = b + b + b z z = + + z + b + b + b z b + b + z b z = + b b + b + z b z zem b os θ = b + b + z b z

61 Przkłd lozu sklrego =(4,,-) b=(,,) b = (-) = 9 = (-) (-) = 8 = 4,46 b= + + = 9 = 3 loz sklr długoś wekorów b = 4,46 3 =,779 os = (b) /(b)=,77 = os(,77) = π/4 =45

62 Zk lozu sklrego </ =/ >/ os > os = os < b > b = b < Iloz sklr jes rów zero, gd dw ezerowe wekor są prosopdłe wekor orogole

63 Iloz wekorow v b b w v = b w = b v = -w włsość komuj długość wekor v = v = b s

64 Skłdowe lozu wekorowego Iloz wekorowe wersorów, j, k: j=k jk= k=j j=-k kj=- k=-j = jj= kk= =(,, z ) lub = + j+ z k b=(b,b,b z ) lub b=b +b j+b z k b = ( + j+ z k) (b +b j+b z k) = = b + b j + b z k + b j + b jj + b z jk + z b k + z b kj + z b z kk = = b k - b z j b k + b z + z b j z b = b = ( b z - z b ) + ( z b - b z ) j + ( b - b ) k = j k z b b b z wzzk merz

65 Ierpolj welomem D jes ukj () w pos bl, z. zm jej wroś w (+) puk (węzł) ( ), ( ), ( ),, ( ). Zde: zleźć welom -ego sop k, że: w( )= ( ) w( )= ( ) w( )= ( ) w () zwm welomem erpoljm. Cele erpolj: łwe zpmęe pos ukj (współzk) wkowe operj memz welome wzze pośred wroś ukj

66 Oblze wroś welomu Posć url welomu k k k w Oblze wroś welomu wg semu Horer w

67 Oblze wroś welomu Algorm START Wzj, { }, w= =- w=w*+ =- TAK NIE Wpsz w STOP

68 Śld dzłń w 3 ()= =3 = =3 =- 3 =4 Oblz wrość welomu w puke =3. w 3 4 4*3-= *3+3=33 33*3+= - Wrość welomu w puke =3 wos.

69 Posć Newo welomu Ne,,,, - są dm lzbm, dl kór wroś welomu są określoe (de). Tworzm welom pomoze p k (k=,,,,) ke, że p () = p () = - p () = (- )(- ) p k ()= (- )(- ) (- k- ) Welom w () przedswm jko w k b k p k Jk wzzć współzk b k?

70 Wzze współzków b k () [ l, l+ ] [ l, l+, l+ ] ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,, k k b,,,

71 Przkłd w p p p p () [,] [,..,] [,,3] b = b = 83 b = 58 b 3 = 4

72 Ierpolj low Pros: w ()= + ( ) = = + (/ ) ( ) = = + (/ ) Wzz, - = =( - )/( - ) - = =( )/( - ) w ()= [( )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= [( + )/( - )] + [( - )/( - )] w ()= + [( - )/( - )] (- ) o posć Newo dl w () = b p () + b p (), gdze p () = b = p () = - b = ( - )/( - )

73 Zjwsko Rugego Prz erpolj welomem wsokego sop, p. -ego dl ukj ( ) w przedzle [-,] dl węzłów rówoodległ 5 = - + *, =,,,, () w() E E

74 Zjwsko Rugego Porówe wkresu ukj welomu:

75 Dokłdość oblzeń Źródł błędów: błęd d wejśow błęd zokrągleń błęd obę uproszze modelu błęd przpdkowe Błęd bezwzględe względe: wrość przblżo wrość dokłd błąd bezwzględ błąd względ r

76 Zokrągle obe zokrąglee obęe,397,4,39 -,397 -,4 -,39 zokrąglee do r po przeku lzb obrzo błędem ½ - Przkłd powżej:,4 ½ -3 =,4,5 Jk zokrąglć lzb zkońzoe rą 5?,345,34,435,44 redukj błędów prz dodwu

77 Przeoszee sę błędów Dodwe odejmowe,5 3,75 3,7,3,4,,33 m 3,8,3,4,,33 m,3,4,,33 Jk jes błąd sum? Jk jes błąd róż?,5,9,86,3,4,,33 m,96,3,4,,33 m

78 Przeoszee sę błędów Dodwe odejmowe Podobe: Błąd bezwzględ sum lub róż rów sę sume błędów bezwzględ skłdków.

79 Zoszee sę skłdków prz odejmowu %,,,,,,5763,5764,5763, r błąd bezwzględ błąd względ

80 Przeoszee sę błędów Możee dzelee r r r r r r r r r r r r r r Podobe: r r r r Błąd względ lozu lub lorzu rów sę sume błędów względ zków.

81 Wkorzse zsd przeosze błędów Oblz perwsk rów kwdrowego wkoują oblze z dokłdośą do 5 r zzą ,98 8 7,98,8 3 lko r zząe 8 7,98 55, r zzą r,5,8 3 r,5 55,98 9 6

82 Wkorzse zsd przeosze błędów Wkorzse wzorów Vee ,98,5 3,7863,5, ,98 55,98 7,98 8 7, r r b

83 Błęd mksmle złożo wrżeń r,,,,,, D zleżość ukj Prmer obrzoe błędm. Jk jes błąd mksml welkoś złożoej?

84 Przkłd szow błędu mksmlego 6%,6,3,3, 3 3 r b b b b b,,, 3 3 b b

85 Błęd sdrdowe złożo wrżeń,,,,,,,,, s s s s s s s s s D zleżość ukj s o błęd sdrdowe zme. Jk jes błąd sdrdow welkoś złożoej?

86 Przkłd szow błędu sdrdowego,, 3 3 b b s b s s s s b s s b,,, 3 3 b s s b s

87 Merze Zzjm od ukłdu rówń low + b =, b,,, b, - słe + b =, - zmee (ewdome) b + b b = b możm przez b b + b b = b możm przez b ( b -b ) = b - b odejmujem srom ( b -b ) = - podobe jk dl = b b b b = b b D = b b = b b wzzk D = b D b = = D D = D D

88 Oblze wroś wzzk Rozwąż ukłd rówń 3-4 = + = 8 D = 3 4 D = 4 8 = 3 4 = = 8 4 = 33 D = 3 8 = 3 8 = = D D = 33 = 3 = D D = =

89 Wzzk sop = b = b = b 3 Nleż oblzć wzzk j umer wersz j umer kolum D = = = = D = b 3 b 3 D = b b 3 b 3 D 3 = 3 b 3 33 b b 3 3 b 3 = D D = D D 3 = D 3 D Gd prwe sro są róże od, o ukłd rówń m rozwąz lko wed, gd wzzk D. Gd b =b =b 3 =, o D = D = D 3 = seje rozwąze rwle = = 3 =, erwle rozwąz lko wed gd D=.

90 Wzzk sop (-) + M + (-) + M +(-) +3 3 M (-) + M Mor M Dopełee lgebrze elemeu j : A j = (-) +j M j

91 Włsoś wzzków. Zm wersz kolum e zme wroś wzzk D = b b = 3 b b b b 3 3 rspozj. Możee przez słą D = λ λb λ b = λ 3 b 3 3 b Jeżel λ=, o wrość b wzzk = 3 b Zm kolejoś wersz lub kolum b b = 3 b 3 3 b b 3 b 3 3 b b = 3 b 3 3 b b b 3 3 3

92 Włsoś wzzków 4. Dodw wzzków różą sę jedm werszem (kolumą) + d b + d b = 3 + d 3 b 3 3 b b + 3 b 3 3 d b d b d 3 b Rówość lub proporjolość dwó wersz lub kolum b λ λb λ = 3 b 3 3 λ λ = 3 λ Dodwe wersz lub kolum pomożo przez słą + λb b + λb b = 3 + λb 3 b 3 3 b b + 3 b 3 3 λb b λb b = λb 3 b 3 3 b b 3 b 3 3

93 Merze Sposób zpsu przekszłeń low = b = b = b 3 Zdeujm merze A = 3 3 = b = b b b 3 Zdeujm dzł merz, b moż z uworzć wrże rówowże ukłdow rówń

94 Rodzje merz Merz prosoką o wersz m kolum 3 m 3 m m 3 m Merz kwdrow o wersz kolum Merz kolumow b b b 3 b Merz werszow b b b 3 b Merz jedoskow I =

95 Algebr merz A = 3 3 B = b b b 3 b b b 3 Rówość merz A = B, gd =b, =b, 3 =b 3, =b, =b, 3 =b 3 Możee merz przez sklr A = 3 3 = 3 3 Dodwe merz A + B = b b b 3 b b b 3 = + b + b 3 + b 3 + b + b 3 + b 3

96 Możee merz = 3 b = b b b 3 b = 3 b b b 3 = b + b + 3 b 3 Wruek wkoloś może: lzb kolum w perwszej merz mus bć dez jk lzb wersz w drugej merz C = AB = b b b 3 b b b 3 = = b + b b + b b 3 + b 3 b + b b + b b 3 + b 3 Ne merz C (mp) jes wkem może merz A (m) B (p) j = k= k b kj = do m, j= do p

97 Możee merz A = B = C = AB = = = Jk możć merze? B A *+*8 3*+4*4 3*+* *+5*8 4*+5*4 4*+5*3 C

98 Włsoś lozu merz Łązość A(BC) = (AB)C = ABC Rozdzelość może względem dodw A(B+C) = AB + AC Neprzemeość może merz AB BA A = B = AB = = BA = =

99 Merz odwro A jes merzą kwdrową A - jes merzą odwroą I jes merzą jedoskową A - A = A A - = I Pr merz odwro A = b d, d b A = d b A d b b A = d b d d b db bd = d b + b + d = = I Przkłd: A = 3 4, A = 4 3 A A = = = = I A A = 4 = = = I

100 Merz odwro Proedur oblz merz odwroej Merz kwdrow Merz dopełeń lgebrz Merz dopełeń lgebrz rspoow A = zsąp przez A A A A rspouj A A = A A A Merz dołązo Merz odwro A = A de A Iseje lko wed, gd de A jes róż od

101 Rozwązwe ukłdu rówń A b A A A A A = b b Sprwdzee merz odwroej b = Przkłd: = = = A A = = A = = de A = A b =- = 3 =

102 Merze przekszłe geomerze wersj P odbe w płszzźe P obró os s s os P φ Merze rsormj geomerz Q są merzm orogolm Q Q Q Q Q T Q Q Q Q Q T os s s os os s s os os s s os Q Q Q Q Q T de Q = (-)(-)-= de Q = (-)(+)-=- de Q = (os) +(s) =

103 Przekszłee merz przez podobeńswo Iseje odwzorowe A, kóre przekszł : = A Jeżel wekor przekszłe są do wekorów poprzez rsormję Q, jk wgląd odwzorowe wekor w wekor? = Q = Q = A Jeżel orz, o Q = AQ Jeżel merz Q jes eosoblw, o Q Q = Q AQ = Q AQ = B Merze A B są swom rsormm przekszłom przez podobeńswo, wzzk są rówe B = Q AQ de(b) = de Q AQ = de Q de A de Q = de A de Q = de(a) de(q)

104 Przekszłee - przkłd ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' φ=45 A = Q = os φ s φ s φ os φ = = + = = = = +

105 Przekszłee - przkłd = 3 45 = 3 3 = (, )=(,) (, )=(3,-) +=3 -=-, = 3, + = =, =, Sprwdzee: 3 = 3 = = = = = = =

106 Rówe rkersze merz λ sklr, A() I() K() K = A λi merz rkersz merz A dek = K(λ) = de(a - λi)=a - λi= rówe rkersze merz K(λ) = λ + - λ λ λ + = Perwsk welomu K(λ): λ, λ,, λ -, λ zwm perwskm rkerszm (wrośm włsm) merz A. Jeżel B = Q - AQ, o merz rkersz merz B K = B λi = Q - AQ - Q - IQ = Q - (A - I)Q, wzzk dek =B - λi= Q - A - λi Q = A - λi= Dwe merze zwąze przekszłeem przez podobeńswo mją e sme perwsk rkersze.

107 Perwsk rkersze, de, de I I A B A B

108 Merz dgol d d d d d d d d d d d d d d d d,,,, I D I D D Jeżel seje ke przekszłee przez podobeńswo, kóre merz A sprowdz do merz dgolej D, o eleme przekąej merz dgolej są zrzem perwskm rkerszm (wrośm włsm) merz A.

109 Przkłd dgolzj merz Q = os φ s φ s φ os φ Q os φ AQ = s φ os φ s φ = s φ os φ s φ os φ os φ + s φ os φ s φ Ab wzerowć eleme edgole: A = os φ s φ s φ os φ os φ s φ os φ s φ = os φ + s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ s φ os φ + s φ os φ + s φ os φ s φ = os φ s φ os φ s φ os φ s φ = os φ = s φ φ = φ = π 4 φ = π 8 Po przekszłeu orzmujem merz: os π 4 + s π 4 os π 4 s π 4 = λ =, λ =

110 Perwsk wekor rkersze C - AC jes przekszłeem dgolzująm merz A. Kolum merz C są wekorm rkerszm. Jeżel merz C jes orogol, o C - =C T, C - AC = C T AC. C = os π 8 s π 8 s π 8 os π 8 Obusroe pomożee merz A przez wekor rkersz dje wrość rkerszą: os 8 os s os s 8 os s os os os s s os s os s 8 Ogóle: 8 8 T k Ak k k,,, 4 8 s s 8 4 8

111 Regresj low (, ) 5 (, ) Regresj low: =*+b Zde: Wzzć opmle wroś orz b.

112 Regresj low Podswowe złoże: ) Rozkłd wokół l prosej jes losow ) Wrj σ jes ezleż od Meod jmejsz kwdrów: b b, Wzzm m Φ(,b) względem orz b:, b, b b b b

113 3 Regresj low b b b b Rozwąze ukłdu rówń ze względu, b: b

114 Regresj low Esm wrj dl wroś : b s Esm wrj dl prmerów orz b: s s s b s Współzk korelj lowej dl próbk r r ov vr, S vr S S Wrość r zwer sę mędz - +. r> wskzuje zleżość dodą, r< zleżość ujemą mędz orz. r= wskzuje brk zleżoś lowej mędz orz. 4

115 Regresj low - przkłd

116 * * -*-b (-*-b)^ -sr -sr 4 4,3, ,9 3, ,, , Sum: 4 8, 5,8 = 5, b= 9,5 s^=,9 s=,79 s^=,45 s=,388 sb^= 4,35 sb=,857 sr= 5 *ov(,)=, sr= 35 *vr()=, *vr()= 56, r(,)=,9945 6

117 Węej o korelj - kwdr IV III 35 3 μ I II Kwdr: I -μ < -μ < (-μ )(-μ )> II -μ > -μ < (-μ )(-μ )< III -μ > -μ > (-μ )(-μ )> IV -μ < -μ > (-μ )(-μ )< μ ov(, ) ov, 7

118 r Współzk korelj lowej ov vr, S vr S S r=- -<r< r= <r< r= 8

119 Regresj low jko ukłd rówń b b b b Newdome:, b Szukm rozwąz kego, b uzskć b m Zps merzow: b J

120 Ukłd rówń dmrow J J ε ε ε J T T Poszukujem rozwąz, dl kórego T jes mmle. J J J J J J J J J ε ε J J J J J J J J J J J T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T Tk oblzoe wroś prmerów zpewją mmlzję sum kwdrów odleń od prosej

121 Przkłd przedswe merzowego 9,5 5, *4 de J J J J J J J J T T T T b

122 Wrj dl zmeej 8 4 J Wrje s,3 5,,9 9,5,,7 ε T ε 4,3,9,,7 ε s,3,9,,7, 9 Wrje kowrj dl prmerów (-) o lzb sop swobod w ukłdze 5,8 s ov(, b) ov(, b) s sb 4, J T J,9* Współzk korelj lowej dl prmerów r ov(, b) 58,6*348, b, 9 s s b Wsok wrość r(,b) ozz, że e moż rówoześe wzzć obu prmerów, b

123 Jkob W regresj lowej ukj modelu o pros = * + b. Jkob o merz pood po prmer, b we wszsk puk d =,,, b b b J Jeżel do d elbśm dopsowć welom -go sop = + * + *, o jkob młb posć: J

124 Rozkłd złożoego psm Psmo dośwdzle Nleż dopsowć do psm krzwe Guss w pos P k k e b k k b - wsokość b - położee - szerokość 4

125 Meod jmejsz kwdrów { k }, k=:m, M dopsow prmerów Fukj błędu (sum po puk): Φ{ k } = j [ j (dośw) - j ({ k }] Zde Mmlzowć Φ modkują zbór { k } srują z wroś poząkow { k } 5

126 Fukj błędu jkob 6 3 k k k k k k b k k k k k b k k k k k b k k e b P e b b P e P N k k b k k P P e P k k Rozkłd N psm Eleme jkobu

127 Algorm 7 b b b P P b P P P P b P P J Y Poprwo wrość { k } J T Y J T J

128 Meod jmejsz kwdrów Krok 3 4 Psmo rozłożoe skłdowe