Zestaw III Wstęp do matematyki wyższej (cz. 1)
|
|
- Aneta Czech
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zestaw III Wstęp do matematyki wyższej (cz. ) Krzysztof Biedroń, Andrzej Syrwid kolkof@uj.edu.pl ttp:// warsztaty-z-fizykiśzkoly-ponadgimnazjalne 30 września 205 r. Funkcje trygonometryczne Rozważmy trójkąt prostokątny (rys. ). Wtedy: sin α b c cos α a c tg α b a sin α cos α ctg α a b cos α sin α tg α α c a b Zadanie. Korzystając z własności trójkąta prostokątnego pokazać, że sin 2 α cos 2 α. Rysunek. Twierdzenie cosinusów Dla danego trójkąta zacodzi: (oznaczenia na rys. 2): c 2 a 2 b 2 2ab cos β Zadanie 2. Udowodnić twierdzenie cosinusów (Wsk.: podzielić trójkąt na dwa trójkąty prostokątne i skorzystać z twierdzenia Pitagorasa)..2 Wzory na funkcje trygonometryczne sumy kątów β a c Rysunek 2 b sinpα cospα βq sin α cos β cos α sin β βq cos α cos β sin α sin β Zadanie 3. Udowodnić powyższe wzory (Wsk.: policzyć długości poszczególnyc odcinków na rys. 3.) Zadanie 4. Korzystając z powyższyc wzorów policzyć: a) tgpα βq (w zależności od tg α i tg β), b) ctgpα βq (w zależności od ctg α i ctg β), c) sinp2αq, d) cosp2αq. β α α+β α Rysunek 3
2 2 Wektory Skalary są to wielkości carakteryzowane liczbami rzeczywistymi (np. masa, moc, energia, temperatura). Wielkości, do któryc opisu potrzebujemy podać także kierunek i zwrot nazywami wektorami. Wektory zwykle oznacza się umieszczając strzałkę nad symbol zmiennej (np. v, M), albo pogrubiając czcionkę (np. v, M). Długość wektora a oznacza się przez a. Alternatywnie wektor możemy opisać podając jego składowe. Przykładowo, rozkład trójwymiarowego wektora można zapisać jako: a pa x, a y, a z q a xˆx a y ŷ a z ẑ, gdzie ˆx, ŷ i ẑ to wersory (wektory o długości ), skierowane odpowiednio wzdłuż osi x, y i z. 2. Dodawanie wektorów Geometrycznie dodawanie wektorów c a b można zrealizować poprzez ustawienie początku wektora b w miejscu zakończenia wektora a i utworzenie wektora c o początku w początku a i końcu w końcu b. Po rozpisaniu wektorów na składowe sprowadza się to po prostu do dodawania poszczególnyc składowyc: pc x,c y,c z q pa x b x,a y b y,a z b z q. y b x a y a b c 2.2 Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym dwóc wektorów a i b nazywamy skalar określony wzorem: a b a b cos α a x b x a y b y a z b z, a x b y Rysunek 4: dodawanie wektorów x gdzie α jest kątem pomiędzy wektorami a i b. Można zapisać składowe wektora poprzez iloczyn skalarny tego wektora z poszczególnymi wersorami układu współrzędnyc: a x a ˆx, a y a ŷ, a z a ẑ, 2.3 Iloczyn wektorowy Wynikiem iloczynu wektorowego dwóc wektorów a i b jest taki wektor c a b, że: Wektor c jest prostopadły zarówno do wektora a jak i wektora b. Wektory a, b i c tworzą układ prawoskrętny. Można to sobie wyobrazić jako tzw. regułę prawej dłoni (gdzie kciukowi odpowiada a, palcowi wskazującemu b, a palcowi środkowemu c. Długość c jest określona wzorem: c a b sin α, gdzie α jest kątem pomiędzy a i b. c b a Rysunek 5: iloczyn wektorowy 2.4 Zadania Zadanie 5. Jaki jest kąt pomiędzy wektorami a p0,4,3q i b p2,5,q Zadanie 6. Znajdź wektor o długości prostopadły jednocześnie do wektora o współrzędnyc p,2,3q i wersora ŷ. Zadanie 7. Jaką pracę wykonujemy wnosząc ważącą 0kg torbę po scodac o długości 5m nacylonyc pod kątem 30
3 3 Analiza wymiarowa - Twierdzenie Pitagorasa Zadanie. * Wyprowadź tw. Pitagorasa używając analizy wymiarowej. Podpowiedzi:. Ilu parametrów (i jakic) wymaga funkcja opisująca pole powierzcni trójkąta prostokątnego 2. Jak za pomocą tyc parametrów można zapisać pole powierzcni trójkąta 3. Ile niezależnyc parametrów opisuje kwadrat 4. Co można zauważyć gdy wpiszemy trójkąt prostokątny w kwadrat 5. Zapisz pole powierzcni trójkata prostokątnego jako sumę pól powierzcni trójkątów powstałyc po zrzutowaniu wysokości na przeciwprostokątną. 4 Pocodne 4. Formalna definicja Definicja (F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Niec f będzie funkcją odwzorowującą przedział pa,bq w zbiór R, x 0 i x będą dwoma różnymi punktami przedziału, a x x 0. Wyrażenie fpx 0 q fpx 0 q nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x i x 0. () Przykład. Weźmy funkcję liniową fpxq a x fpx 0 q fpx 0 q Dla funkcji stałej pa 0q iloraz różnicowy wynosi zero. a 0. Iloraz różnicowy przyjmie postać: ra px 0 q a 0 s pa x 0 a 0 q Przykład 2. Weźmy funkcję kwadratową fpxq x 2. Obliczamy iloraz różnicowy a a. (2) W granicy Ñ 0 otrzymujemy 2x 0. fpx 0 q fpx 0 q px 0 q 2 x 2 0 2x 0 2 2x 0. (3) Definicja 2. Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę dla Ñ 0, to granicę oznaczamy f px 0 q i nazywamy pocodną funkcji f w punkcie x 0. Interpretacja graficzna ilorazu różnicowego oraz pocodnej jest przedstawiona na rys Notacja d Pocodne oznacza się czasem za pomocą prima, czasem przez symbol dx, przy czym dx mówi nam, po czym ccemy liczyć pocodna (różniczkę). Jeśli np. mamy funkcję zależną od czasu (od t) i ccemy ją zróżniczkować, powinniśmy napisać d dt. Używanie prima jest powszecne, gdy z kontekstu wiadomo po czym się różniczkuje, np. mamy funkcję jednej zmiennej: fpxq 4x 4 2x. Jej pocodną można zapisać jako f pxq. Równoważnie można byłoby też zapisać dfpxq dx. Weźmy jednak wzór na ciśnienie: p ρg. Zapisując p pρgq nie wiadomo po czym ccemy różniczkować! Należy użyć wtedy zapisu z d : dp dρ d dρ dpρgq ρg. dρ gdzie powyższej zaprezentowano różne sposoby zapisu danej pocodnej.
4 Rysunek 6: Interpretacja graficzna ilorazu różnicowego oraz pocodnej. 4.3 Podstawowe wzory Jest kilka wzorów, które trzeba niestety zapamiętać. Funkcja fpxq Pocodna f pxq Funkcja fpxq Pocodna f pxq c 0 x {x {x 2 x a ax a e x e x a x a x ln a ln x x log a x x ln a sin x cos x cosx sin x tg x cos 2 x ctgx sin 2 x x 2 x 3 x 3 3 x 2 Tabela : Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe. Opis Wyrażenie różniczkowane Pocodna pq Suma funkcji pfpxq gpxqq f pxq g pxq p2q Iloczyn funkcji pfpxqgpxqq f pxqgpxq fpxqg pxq p3q Iloraz funkcji fpxq f pxqgpxq fpxqg pxq gpxq rgpxqs 2 p4q Funkcje złożone pfpgpxqqq f pgpxqq g pxq Tabela 2: Podstawowe wzory ułatwiające różniczkowanie funkcji.
5 Kilka przykładów do pq z powyższej tabeli: 4x 5 4x sinpxq 20x 4 4 x x 2 2x 3 cospxq 6x 2 Kilka przykładów do p2q z powyższej tabeli: px 2q px 2 q px 2 q px 2q 2x psinpxq cospxqq cos 2 pxq sin 2 pxq Kilka przykładów do p3q z powyższej tabeli: ax 2 sin x 4 ax b a sin x pax 2q cos x sin 2 x 0 pax bq 4a pax bq 2 4a pax bq 2 Kilka przykładów do p4q z powyższej tabeli: pfpax bqq af pax bq sinpax 2 bx cq p2ax bq cospax 2 bx cq Zadanie 2. * Wyprowadź zależności ()-(3). Zadanie 3. ** Wyprowadź zależność (4). Podpowiedzi:. Można zapisać gpx 0 xq gpx 0 q xpg px 0 q ξpx 0, xqq, fpy 0 yq fpy 0 q ypf px 0 q ζpy 0, yqq dla g px 0 q, f py 0 q 8, gdzie ξ i ζ znikają w granicy nieskończenie małyc przyrostów x, y. 2. Zauważając, że wygodnie jest położyć y gpx 0 xq gpx 0 q, gpx 0 q y 0 rozważ wyrażenie fpgpx 0 xqq fpgpx 0 qq. 4.4 Trocę praktyki Zadanie 4. Obliczyć pocodne funkcji: a) y x 3 2x, Roz.: y 3x 2 2 b) y x sin x, c) y x2 x, d) y tg x sin x cos x, e) y ctg x. Roz.: y sin x Roz.: y x2 2x px q 2 Roz.: y cos 2 x Roz.: y cos 2 x x cos x Zadanie 5. Obliczyć pocodne funkcji złożonej:
6 a) f x 2 5, b) f sin p3x 5q, c) f x 2, d) f ln psin xq. Roz.: f 0x x 2 4 Roz.: f 3 cos p3x 5q Roz.: f x x 2 Roz.: f ctgx Zadanie 6. Policz pocodne następującyc funkcji (tym razem bez podpowiedzi): fpxq 3x 4 6x 3 2x gpxq a 2x 2 3 pxq 2x3 x x 2 ipxq rx sinpax zq x Zadanie 7. ** Oblicz pocodną funkcji arctanpxq wiedząc, że jeśli y tanpxq to x arctanpyq. Zadanie 8. * Policz następujące pocodne: cospln xq fpxq psin xq gpxq x px2 q x3 pxq lnparctanplnpxqqq 4.5 Wykorzystanie pocodnyc Pocodne wykorzystuje się m.in. do rozwiązywanie tzw. problemów optymalizacyjnyc. Z interpretacji geometrycznej (patrz rys. 6) mamy bowiem, że jeśli funkcja ma maksimum, minimum lub punkt przegięcia (jak np. funkcja y x 3 dla x 0), to pocodna tej funkcji jest równa zero. Jeśli policzymy drugą pocodną danej funkcji, to pozwoli ona na rozróżnić wymienione przypadki. Dla drugiej dodatniej drugiej pocodnej mamy do czynienia z minimum. Jeśli druga pocodna jest ujemna, to mamy do czynienia z maksimum. Jeśli jest równa zero, to może być zarówno maksimum, minimum lub punkt przegięcia, i potrzebna jest dalsza analiza. Przykład: Skupmy się na przykładzie: niec obwód okna przedstawionego na rysunku obok wynosi 7 m. W jakim stosunku powinny pozostawać odcinki a i b, aby przez okno wpadało jak najwięcej światła Rozwiązanie: Pole okna wynosi P ab 3 4 a2. Wiemy też, że 3a 2b 7. Możemy wiec wyeliminować b w pierwszym wzorze podstawiając b 3,5,5a. Dostajemy P paq ap3,5,5aq 3 4 a2 3,5a a 2, czyli pole P paq można traktować jako funkcję jednej zmiennej a. Aby rozwiązać zadanie trzeba policzyć dla jakiego a pole P paq będzie największe. W tym celu sprawdzamy, dla jakiego a pocodna P paq zeruje się. Musimy rozwiązać równanie P paq 3,5 p6 3q 2 a 0, z czego dostajemy a 7 6,64 m. Liczymy drugą pocodną, dostajemy P 2 paq p6 3q 3 2 0, mamy więc do czynienia z maksimum. Rozwiązaniem jest a 7 6 7,64 m oraz b 3,5 a 3,5 3 6,04 m. 3 Zadanie 9. Obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 2 cm. Punkty M, N i P należą odpowiednio do boków AB, BC, AC tego trójkąta przy czym AM BN CP x. Zbadaj dla jakiej wartości x, pole trójkąta MNP będzie najmniejsze. Znajdź wartość tego pola. Zadanie 0. Puszka konserwy ma kształt walca. Jaką wysokość i jaki promień podstawy powinna mieć ta puszka, aby przy objętości puszki 250π cm 3 zużyć jak najmniej materiału na jej wykonanie.
7 4.6 Pocodne w kinematyce Związek między położeniem, prędkością, a przyśpieszeniem można zapisać za pomocą odpowiednic pocodnyc: 5 Całki 5. Formalna definicja v dx dt a dv dt d2 v dt 2 Definicja 3 (F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f jeśli: F pxq fpxq. (4) Inaczej mówimy o całce nieoznaczonej F pxq ³ fpxqdx. Obliczanie funkcji pierwotnej do f nazywamy całkowaniem funkcji f. Przykład 3 (właściwości całek). Funkcja pierwotna wyznaczona jest z dokładnością do stałej: Stałą C nazywamy stałą całkowania. 5.2 Nieformalnie rf pxq Cs F pxq 0 fpxq. (5) Całki to generalnie działanie odwrotne do różniczkowania. Można byłoby przepisać tabele zamieniając miejscami wszystkie wyrażenia i dopisując do kratek wynik całki stałą całkowania C (patrz tabela 3). Całka ³ fpxq Funkcja fpxq Całka ³ fpxq Funkcja fpxq C 0 x C {x C {x 2 x a C ax a e x C e x a x C a x ln a ln x C x log a x C x ln a sin x C cos x cosx C sin x tg x C cos 2 x ctgx C sin 2 x x C 2 x 3 x C 3 3 x 2 Tabela 3: Podstawowe wzory ułatwiające całkowanie funkcji. Wszystkie litery poza x to stałe. Przykład: dx p4x 3 xq p4x 3 xqdx x 4 2 x2 C. Stałą C trzeba pisać, bo gdy różniczkujemy prawą stronę mamy: i stała C nam znika. px 4 2 x2 Cq 4x 3 x 0 4x 3 x
8 5.3 Własności całek pfpxq gpxqq dx fpxqdx Afpxqdx A fpxqdx. gpxqdx, 5.4 Trocę praktyki Zadanie. Oblicz: a) ³ 3 cos xdx, b) ³ x 3 5x 2 dx. Roz.: 3 sin x Roz.: x4 4 5 x2 2 2x 5.5 Związek całki z polem Rysunek 7: Pole ograniczone krzywą. Weźmy f - funkcję ciągłą i dodatnią w ra, bs i P P pxq pole ograniczone krzywą, osią odciętyc i rzędnymi w a i x (Rys. 7). Podzielmy powierzcnię P na wiele cienkic pasków o szerokości. Zakładając, że zarówno x, jak i x P ra,bs, różnica P px q P pxq równa jest powierzcni paska i spełnia nierówności fpx min q P px q P pxq fpx max q, (6) gdzie fpx min q to najmniejsza, a fpx max q największa wartość funkcji f w przedziale rx, x s. Dzieląc obustronnie przez otrzymujemy fpx min q P px q P pxq fpx max q. (7) Dla Ñ 0 mamy fpx min q Ñ fpxq i fpx max q Ñ fpxq, a iloraz różnicowy przecodzi w pocodną, dostajemy więc równanie: P pxq fpxq. (8) Tak zdefiniowane pole jest więc funkcją pierwotną funkcji f. Jak już wiemy, pierwotną zawsze otrzymujemy z dokładnością do stałej, tak więc P pxq F pxq C. (9) Stałą całkowania otrzymujemy z warunku P paq 0 (skoro przez P oznaczyliśmy pole pomiedzy a a x). Stąd C F paq. Ostatecznie P pxq F pxq F paq. (0)
9 Pole zaciemnione jak na Rys. 7 przyjmuje więc wartość F pbq F paq. Alternatywnie zapisujemy to w postaci P b a fpxqdx. () Zadanie 2. Oblicz: a) ³ π sin xdx, 0 b) ³ 0 x2 dx. Roz.: 2 Roz.: 3 6 Liczby zespolone Definicja 4 (F. Leja, Funkcje zespolone, Warszawa 979). Każda liczba zespolona z ma postać z x iy, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, symbol i oznacza jednostkę urojoną. 6. Właściwości a) Zero zespolone to z 0 i0 0. b) Rpzq repzq x to część rzeczywista liczby zespolonej. Jeżeli x 0, to z jest liczbą urojoną. c) Ipzq impzq y to część urojona liczby zespolonej. Jeżeli y 0, to z jest liczbą rzeczywistą. d) Liczbie zespolonej z x iy odpowiada na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnyc punkt o współrzędnyc px,yq. Oś x (y) nazywamy osią rzeczywistą (urojoną). e) Liczba przeciwna do z x iy to z x iy. f) Liczba sprzężona do z x iy to z x iy. 6.2 Działania na liczbac zespolonyc a) Dodawanie: z z 2 px x 2 q ipy y 2 q. (2) b) Odejmowanie: c) Mnożenie: Stąd i 2, z z x 2 y 2. z z 2 px x 2 q ipy y 2 q. (3) z z 2 px x 2 y y 2 q ipx y 2 y x 2 q. (4) d) Jeżeli z 0, to jest określona liczba odwrotna do z postaci z z z z x iy x 2 y 2 x x 2 y 2 y x 2 i. (5) y2 e) Dzielenie: z z 2 z z 2 z z 2 z 2 z 2. (6) Zadanie 3. Dla z 3 4i, z 2 3 i obliczyć:
10 a) z z 2, b) z z 2, c) z z 2, d) z {z 2. Roz.: 6 3i Roz.: 5i Roz.: 3 9i Roz.: p 3iq{2 Zadanie 4. Wykazać, że z z 2 z z 2, z z 2 z z 2, z {z 2 z {z 2. Moduł i argument liczby Modułem lub wartością bezwzględną liczby z x iy nazywamy liczbę z a x 2 y 2. Moduł liczby z równa się odległości punktu z od początku układu współrzędnyc. Liczbę φ określoną równaniami cos φ x z, sin φ y z, (7) nazywamy argumentem liczby z, argpzq φ. Postać biegunowa liczby zespolonej: z z pcos φ Zadanie 5. Pokazać, że Stąd wynika, że z z 2 z z 2, z {z 2 z { z 2. Wskazówki a) sinpα βq sin α cos β sin β cos α, b) cospα βq cos α cos β sin α sin β, c) jeżeli z z pcos φ i sin φq, to z pcos φ i sin φq. z i sin φq. z z 2 z z 2 rcospφ φ 2 q i sinpφ φ 2 qs. (8) z z 2 z z 2 rcospφ φ 2 q i sinpφ φ 2 qs. (9) Funkcja wykładnicza a) b) c) d) e) f) e z exppzq z! z 2 2!... (20) e 0, exppz q exppz 2 q exppz z 2 q. (2) exppizq cos z i sin z. (22) expp izq cos z i sin z. (23) e z e x e iy e x pcos y i sin yq. (24) z z pcos φ i sin φq z e iφ. (25) Zadanie 6. Udowodnić wzór Moivre a pcos φ i sin φq n cospnφq i sinpnφq. (26)
11 7 Równania różniczkowe * 7. Wstęp - oscylator armoniczny Rozważmy ruc ciężarka na sprężynie (oryzontalny ruc bez tarcia). Możemy go opisać następującym równaniem: ma kx, gdzie siła kx jest siłą sprężystości Hooka. Pamiętajmy, iż przyspieszenie jest drugą pocodną położenia op czasie: a d2 x dt 2. Teraz nasze równanie ma postać: d 2 x dt 2 k m x To równanie spełnione jest przez funkcje xptq A cospωt δq, gdzie ω 2 k m. (Podstaw i sprawdź!) Wartości A i δ zależą od warunków początkowyc, czyli w jakim położeniu znajdował się ciężarek i jaką miał prędkość w cwili początkowej czyli t Zadania rozszerzone Zadanie. Nieuważny kot wypada z balkonu (uwaga - nic mu się nie dzieje). Wyjaśnij dlaczego tak się dzieje przyjmując, że na spadającego kota działa siła grawitacji i siła oporu powietrza (F αv). Przeanalizuj zależność prędkości kota od czasu. Czy może on osiągnąć dowolnie dużą prędkość (Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m dv dt mg αv) Zadanie 2. Jaka będzie zależność położenia od czasu oscylatora armonicznego (ciężarek na sprężynie ustawionej oryzontalnie) w wypadku gdy dodatkowo działa na niego siła oporu (np związana z oporami powietrza), bądź tarcia wprost proporcjonalna do prędkości αmv. (Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m d2 x dt αm dx 2 dt kx.) Zadanie 3. Jak zmieni się zależność położenia od czasu oscylatora armonicznego z poprzedniego zadania gdy dołożymy siłę wymuszającą drgania przeciwko tarciu i oporom w postaci fptq f 0 cospωtq. (Podpowiedź: należy rozwiązać równanie: m d2 x dt αm dx 2 dt kx fptq.)
A. Kapanowski, M. Abram, A. Kądzielawa, M. Wysokiński. Fizyka-ćwiczenianr października 2012
A. Kapanowski, M. Abram, A. Kądzielawa, M. Wysokiński Fizyka-ćwiczenianr 3-4 października 202 Pocodna funkcji Definicja (F. Leja, Racunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 978). Niecfbędziefunkcjąodwzorowującąprzedział(a,b)wzbiór
Bardziej szczegółowoZestaw IV Wstęp do matematyki wyższej (cz. 1)
Funkcje trygonometryczne. Definicja Zestaw IV Wstęp do matematyki wyższej (cz. ) Łukasz Kuśmierz, Jan Major, Adam Wyrzykowski e-mail: kolkof@uj.edu.pl http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/ warsztaty-z-fizykiśzkoly-ponadgimnazjalne
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych
TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoSzkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na
Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na www.swiatmatematyki.pl 1. Wypiszmy początkowe potęgi liczby Zestaw podstawowy
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.
Bardziej szczegółowoPropozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.
Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowo5. Całka nieoznaczona
5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoWstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoKurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoBLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:
BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoDr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz
Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 162005 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Na rysunku przedstawiono
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowo2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria
1 Pomimo, że ten dział, to typowa geometria wydawałoby się trudny dział to paradoksalnie troszkę tu odpoczniemy, jeśli chodzi o teorię. Dlaczego? Otóż jak zapewne doskonale wiesz, na maturze otrzymasz
Bardziej szczegółowoSIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, Pochodna funkcji
SIMR 03/4, Analiza, wykład 5, 0--6 Pocodna funkcji Definicja: Niec będzie dana funkcja f : D R oraz punkt intd. Wtedy pocodną funkcji f w punkcie nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f f(
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowo