METODY OPTYMALIZACJI W BEZPIECZNYM TRANSPORCIE MORSKIM

Transkrypt

1 Józef Lisowski Akademia Morska w Gdyni METODY OPTYMALIZACJI W BEZPIECZNYM TRANSPORCIE MORSKIM Wprowadzenie Podstawowym celem optymalizacji jest realizacja procesu sterowania obiektem w najlepszy sposób. Procesem może być: zjawisko fizyczne, proces technologiczny, obiekt techniczny, system ekonomiczny, planowanie produkcji i transport itp. Opis matematyczny procesu sformułowany dla celów jego optymalizacji stanowi jego model. Optymalizacja jest na tyle dobra, na ile adekwatny jest model matematyczny. Formułowanie i rozwiązywanie zadania optymalizacji można przedstawić jak na rysunku 1. Funkcja F(x) oznacza ocenę jakości działania obiektu lub przebiegu procesu sterowania i przyjmuje nazwę funkcji celu sterowania lub wskaźnika jakości sterowania, zaś x stanowią zmienne decyzyjne lub zmienne stanu procesu sterowania [2,5]. Rys. 1. Formułowanie i rozwiązywanie zadania optymalizacji. W wielu zagadnieniach transportu i logistyki istnieje wiele możliwych i dopuszczalnych rozwiązań problem z których tylko jedno jest rozwiązaniem optymalnym, przy założonym kryterium jakości przebiegu procesu transportowego lub logistycznego.

2 Obecnie mija 318 lat od początku nowożytnej teorii optymalizacji w związku z pionierskimi pracami matematyków i fizyków XVII wiek kiedy to w 1697 roku Johann Bernoulli ogłosił konkurs na rozwiązanie problemu brachistochrony: znaleźć krzywą na płaszczyźnie, łączącą dwa punkty a i b nie leżące w pionie, wzdłuż której punkt materialny poruszający się pod działaniem siły ciężkości, przebywa drogę w najkrótszym czasie. Rozwiązaniem jest łuk cykloidy, krzywej zataczanej przez punkt na obwodzie toczącego się koła. Punkt wykonuje okresowe podskoki na wysokość równą średnicy koła. Odwrócona cykloida stanowi rozwiązanie problemu Bernoulliego. Początek rachunku wariacyjnego przedstawiają w swoich pracach: Lagrange ( ), Hamilton ( ), Weierstrass ( ), Pontriagin ( ). Od 1939 roku datują się współczesne metody optymalizacji, problemy logistyki związane z planowaniem operacji w czasie II wojny światowej - programowanie liniowe: Dantzig ( ); programowanie całkowitoliczbowe i wybór spośród skończonej liczby decyzji: Cabot ( ), Balas (1922); teoria programowania nieliniowego: Kuhn, Tucker i Georffrion. Rozwój metodyki obliczeń komputerowych spowodował zainteresowanie algorytmami numerycznymi: Powell, Rossen, Fletcher oraz programowaniem dynamicznym: Bellman, Riccati. Badania kosmiczne dotyczyły optymalizacji konstrukcji rakiet oraz sterowania lotem w stratosferze i w kosmosie. Optymalizacja procesów ekonomicznych zawiera: problemy alokacji produkcji, optymalnego składu portfela inwestycyjnego, problemy wielkie (ang. large scale) oraz metody dekompozycji (Lasdon, Findeisen). Rozwój metod rozwiązywania zadań optymalizacji dokonywał się w następujących etapach: analityczne metody klasyczne, czyli metody górskiej wspinaczki : modele opracowane przez matematyków XVII-XIX wiek nieskażony świat kwadratowych funkcji celu i wszechobecnych pochodnych, rozwój obliczeń komputerowych: modyfikacje metod klasycznych, algorytmizacja obliczeń umożliwiających zastosowanie do praktycznych problemów nauki i techniki, softcomputing, metody odporne : algorytmy ewolucyjne, genetyczne, sieci neuronowe w zastosowaniu do optymalizacji złożonych modeli procesów. W transporcie i logistyce jak najlepsze sterowanie obiektem znajduje swój wyraz w optymalizacji, zajmującej się tym jak opisać i osiągnąć najlepsze, gdy wiemy już jak mierzyć i zmieniać dobre i złe (Beightler, Phillips, 1979: Foundations of Optimization ).

3 Podział metod optymalizacji Ogólny podział metod optymalizacji, uważanych za najbardziej reprezentatywne, przedstawia rysunek 2. Rys. 2. Podział metod optymalizacji. Metody optymalizacji można podzielić ze względu na: własności obiektu lub procesu na: statyczne i dynamiczne, ograniczenia na: bez ograniczeń oraz z ograniczeniami, sposób obliczeń optimum na: gradientowe i bezgradientowe, rodzaj modelu obiektu lub procesu na: deterministyczne i stochastyczne, rodzaj obliczeń na: analityczne i numeryczne, postać funkcji celu na: liniowe i nieliniowe, złożoność funkcji celu na: jednokryterialne i wielokryterialne. W praktyce najczęściej używane są następujące metody: optymalizacji statycznej bez ograniczeń bezgradientowe: złotego podział bisekcji, Gaussa- Seidela, podziału i ograniczeń, podziału i odcięć, Hooke a-jeevesa, interpolacji kwadratowej, sympleksu Neldera-Meada, Rosenbrocka, Daviesa-Swanna-Campeya, optymalizacji statycznej bez ograniczeń gradientowe: gradientu prostego, najszybszego spadk Newtona-Raphsona, gradientu sprzężonego Hestenesa-Stiefela, Levenberga- Marquardta, Powella, Zangwilla,

4 optymalizacji statycznej z ograniczeniami bezgradientowe: Lagrange a, programowania liniowego, Kuhna-Tuckera, Schmidta-Foxa, optymalizacji statycznej z ograniczeniami gradientowe: Zoutendijk a, rzutowanego gradientu Rosena, stochastyczne: grupowania, Monte Carlo, symulowanego wyżarzania, algorytmy genetyczne, roju cząstek, optymalizacji dynamicznej podstawowe bezpośrednie: rachunku wariacyjnego Eulera, zasada optymalności Bellmana, gradientu prostego w przestrzeni sterowań, gradientu sprzężonego w przestrzeni sterowań, zmiennej metryki, drugiej wariacji, optymalizacji dynamicznej podstawowe pośrednie: zasada maksimum Pontriagina, Newtona w przestrzeni stan Newtona-Rapsona w przestrzeni sprzężonej, optymalizacji dynamicznej specjalne: sterowania czasooptymalnego Neustadta, Gilberta, Barra, funkcjonału kary Balakrishnana, optymalizacji dwupoziomowej Findeisena, optymalizacji wielokryterialnej statycznej: zbioru punktów Pareto optymalnych w przestrzeni wariantów, zasada utylitaryzmu Benthama, zasada sprawiedliwości Rawlsa, punktu odniesienia Salukvadze, optymalizacji wielokryterialnej dynamicznej: doboru współczynników wagi [1,3,4,6]. Formułowanie zadania optymalizacji Zadanie optymalizacji polega na wyznaczeniu takich wartości zmiennych stanu x *, przy których funkcja celu sterowania F(x) przyjmuje wartość minimalną lub maksymalną. Wartości składowych wektora stanu x nie mogą być dowolne i podlegają różnym ograniczeniom. Rozróżnia się ograniczenia nierównościowe: x g i 0 i 1, 2,..., m (1) oraz ograniczenia równościowe: x h j 0 j 1, 2,..., r (2) Wprowadzenie każdego ograniczenia równościowego redukuje rozmiar przestrzeni optymalizacyjnej o jeden i może być przyczyną braku rozwiązania optymalnego.

5 Zadanie optymalizacji statycznej polega na szukaniu minimum lub maksimum wielkości wyjściowej obiektu lub jej funkcji: x f x dla x x1, x2, xn F..., (3) przy jednoczesnym spełnieniu ograniczeń na zmienne x. Zadanie optymalizacji dynamicznej polega na szukaniu minimum lub maksimum funkcjonału jako całki z funkcji: F t k f t 0 o x, t dt (4) gdzie własności dynamiczne obiektu sterowania opisane są przez równania: x f x, y g x, t t (5) oraz spełnieniu ograniczeń na zmienne stanu x i wielkości sterujące u. Zadanie optymalizacji dynamicznej można rozwiązać na drodze analitycznej jako zadanie sterowania czasooptymalnego oraz minimalizacji funkcji celu w postaci kwadratowej, przy liniowych równaniach stanu. Przykłady zadań optymalizacji dynamicznej w transporcie morskim: wyznaczanie optymalnej drogi statku z portu początkowego do portu przeznaczenia zapewniającej minimalne zużycie paliwa przy uwzględnieniu ograniczeń nawigacyjnych i prognoz hydrometeorologicznych, wyznaczanie optymalnego manewru antykolizyjnego własnego statku zapewniającego minimum ryzyka kolizji podczas mijania spotkanych statków, optymalne sterowanie statkiem na zadanym kursie zapewniające maksimum dokładności i minimum kosztów sterowania, optymalizacja sterowania silnikiem głównym statku zapewniająca minimalne zużycie paliwa, optymalizacja załadowania statku zapewniająca maksimum stateczności statk optymalizacja rozdziału mocy na pędniki statku zapewniająca maksimum sterowności statk

6 optymalizacja układu elektroenergetycznego statku zapewniająca maksimum niezawodności zasilania urządzeń statku. Przykład optymalizacji dynamicznej bezpiecznego sterowania statkiem Syntezę optymalnego układu bezpiecznego sterowania statkiem w sytuacjach kolizyjnych można przeprowadzić stosując metodę programowania dynamicznego Bellmana z ograniczeniami stanu procesu. Zasada, zaproponowana przez R.E. Bellmana w 1952 rok przedstawia, że sterowanie optymalne od danej chwili t do chwili końcowej tk zależy tylko od aktualnego stanu proces a nie zależy od poprzednich stanów. Dla równania stanu procesu (5) oraz wskaźnika jakości sterowania (4), który ma przyjąć wartość optymalną: min 0 x, tdt Sx t F min fo, (6) równanie funkcyjne Bellmana, opisujące zasadę optymalności, przyjmie postać: - S - t min[ f u o S x x, t f x, t ] 0 (7) Na rysunku 3 pokazano podział drogi statku na k etapów i n węzłów.

7 Rys. 3. Podział drogi statku na k etapów i n węzłów. Uwzględnienie ograniczeń wynikających z zachowania bezpiecznej odległości zbliżenia polega na sprawdzeni czy zmienne stanu nie przekroczyły ograniczeń w każdym rozważanym węźle i odrzuceniu węzłów, w których przekroczenie to zostało wykryte (Rys. 4). Rys. 4. Optymalna i bezpieczna trajektoria własnego statku w warunkach dobrej widzialności na morzu przy Db=0,5 Mm w sytuacji mijania się z 12 spotkanymi statkami.

8 Wnioski Przy syntezie regulatora optymalnego lub algorytmu sterowania optymalnego danym obiektem transportowym lub logistycznym można zastosować zarówno metodę optymalizacji statycznej, jak i dynamicznej. Natomiast różnorodne zadania optymalizacji w zastosowaniach praktycznych rozwiązuje się najczęściej za pomocą odpowiednich metod numerycznych. Literatura 1. Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. PWN, 1980 Warszawa. 2. Lisowski J., Miller A., Metody optymalizacji, Wyd. Akademii Morskiej w Gdyni, 2016 Gdynia (w przygotowaniu). 3. Nowak A., Optymalizacja, teoria i zadania, Wyd. Politechniki Śląskiej, 2007 Gliwice. 4. Speyer J.L., Jacobson D.H., Primer on optimal control theory, SIAM, 2010 Toronto. 5. Stachurski A., Wierzbicki A., Podstawy optymalizacji, Oficyna Wyd. PW, 2001 Warszawa. 6. Stadnicki J., Teoria i praktyka rozwiązywania zadań optymalizacji. WNT, 2006 Warszawa. Streszczenie W artykule przedstawiono cel optymalizacji procesów transportowych i logistycznych, a następnie przegląd literatury w zakresie metod optymalizacji. Dokonano podziału metod optymalizacji i wymieniono najczęściej używane metody. Sformułowano zadania optymalizacji statycznej oraz dynamicznej. Podano przykład optymalizacji dynamicznej metodą Bellmana bezpiecznego sterowania statkiem w sytuacji kolizyjnej na morzu. Abstract Optimization methods in a safe maritime transport The paper presents the aim of optimizing transport and logistics processes and review of the literature on methods of optimization. A division of optimization methods and lists the most commonly used method. Formulated tasks static and dynamic optimization. Is an example of dynamic optimization method Bellman of safe ship control in collision situation at sea.