Zagadnienia regresji. Cz ± III Regresja wielokrotna Konspekt do zaj : Statystyczne metody analizy danych
|
|
- Jarosław Świderski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zagadnienia regresji. Cz ± III Regresja wielokrotna Konspekt do zaj : Statystyczne metody analizy danych 1 Wprowadzenie Agnieszka Nowak-Brzezi«ska 17 listopada 2009 Niech ogólne równanie regresji ma posta : ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b m x m + ɛ W takim modelu mamy zatem m zmiennych obja±niaj cych. Omawiaj c dot d regresj liniow (prost ) rozpatrywali±my jedynie takie przypadki zale»no- ±ci mi dzy zmiennymi obja±niaj cymi a obja±nianymi gdzie zmienna obja±niana byªa zale»na tylko od jednej konkretnej zmiennej obja±niaj cej. Jednak w praktyce niezwykle cz sto zmienna obja±niana zale»na jest nie od jednej ale od kilku (wielu) zmiennych obja±niaj cych. Pomiar wspóªczynnika determinacji dla jednej i wielu zmiennych obja±niaj cych, test t zale»no±ci mi dzy zmienn obja±nian a obja- ±niaj c a tak»e test istotno±ci F caªego modelu regresji oraz zagadnienie wspóªliniowo±ci s tematem niniejszych zaj. 2 Przykªad analizy wspóªczynnika R 2 dla jednej i wielu zmiennych obja±niaj cych Przykªad wykonamy dla zbioru danych z pªatkami ±niadaniowymi. Pobierzemy go z adresu Zbiór zawiera dane 77 rodzajów pªatków ±niadaniowych, które opisane s 14 atrybutami warunkowymi i jednym atrybutem decyzyjnym rating mówi cym o warto±ci od»ywczej pªatków w oparciu o informacje typu: calories, sugars, f iber, sodium, vitamins czy weight (oraz inne). 2.1 Przykªad analizy wspóªczynnika R 2 dla jednej zmiennej obja±niaj cej Procedura analizy wspóªczynnika determinacji R 2 dla jednej zmiennej obja±niaj cej mo»e wygl da nast puj co. Je±li zaªo»ymy,»e zmienn obja±nian ma by warto± od»ywcza pªatków (rating) za± zmienn obja±niaj c poziom cukrów (sugars) to komenda R wywoªuj c badanie zale»no±ci mi dzy tymi zmiennymi b dzie nastepuj ca: 1
2 lm(rating~sugars, data=dane) Wówczas peªny zapis okna dialogu z R-em b dzie nast puj cy: > dane<- read.table("c:\\cereals.data", header = TRUE, row.names = 1) > model<-lm(rating~sugars, data=dane) > summary(model) Call: lm(formula = rating ~ sugars, data = dane) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** sugars e-15 *** --- Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: on 75 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 75 DF, p-value: 1.153e-15 > Widzimy zatem,»e równanie regresji, gdy zmienn obja±nian b dzie zmienna rating (warto± od»ywcza pªatków) za± obja±niaj c sugars (poziom cukrów), b dzie nast puj cej postaci: rating = -2.4 * sugars Teraz mo»emy przewidywa,»e gdy poziom cukrów wynosi np 1 to warto± od»ywcza pªatków b dzie wynosi 56.9 za± gdy poziom cukrów b dzie wynosiª np 10 wówczas warto± od»ywcza zmaleje do warto±ci 35.3 (patrz poni»ej). > predict(model,data.frame(sugars=10), level = 0.9, interval = "confidence") fit lwr upr > predict(model,data.frame(sugars=1), level = 0.9, interval = "confidence") fit lwr upr Przykªad analizy wspóªczynnika R 2 dla wielu zmiennych obja±niaj cych Jak ju» wspomnieli±my we wst pie, cz sto w ±wiecie rzeczywistym mamy do czynienia z zale»no±ciami zmiennej obja±niaj c nie od jednej zmiennej obja±nianej ale raczej od wielu zmiennych obja±niaj cych. Wykonanie tego typu analiz w pakiecie R nie jest rzecz trudn. Wr cz przeciwnie. Nim przeprowadzimy analiz zale»no±ci zmiennej rating od wielu zmiennych obja±niaj cych np. sugars oraz ber przyjrzyjmy si wykresom rozrzutu dla tych zmiennych osobno. Wykres rozrzutu bowiem doskonale odzwierciedla zale»no±ci mi dzy pojedynczymi zmiennymi. 2
3 wykres rozrzutu rating sugars Rysunek 1: Wykres rozrzutu dla zmiennej sugars wykres rozrzutu rating fiber Rysunek 2: Wykres rozrzutu dla zmiennej f iber Przykªad analizy zmiennej obja±nianej (a wi c warto±ci od»ywczej pªatków ze zbioru Cereals) od kilku zmiennych, np. sugars oraz ber (a wi c odpowiednio: poziom cukrów oraz bªonnik) przedstawiamy poni»ej. > model<-lm(rating~sugars+fiber, data=dane) > summary(model) 3
4 Call: lm(formula = rating ~ sugars + fiber, data = dane) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** sugars < 2e-16 *** fiber e-14 *** --- Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 Residual standard error: on 74 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 74 DF, p-value: < 2.2e-16 wtedy powiemy,»e równanie regresji b dzie wygl da nast puj co: rating = * sugars * fiber Czyli, aby zinterpetowa wspóªczynnik nachylenia prostej regresji b 1 = powiemy,»e warto± od»ywcza maleje o punktu, je±li zawarto± cukru ro- ±nie o jedn jednostk. Zakªadamy przy tym,»e zawarto± bªonnika (ber) jest staªa. Z kolei interpretacja wspóªczynnika b 2 = jest taka,»e warto± od-»ywcza ro±nie o punktu, je±li zawarto± bªonnika ro±nie o jedn jednostk a zawarto± cukru (sugars) jest staªa. Uogólniaj c b dziemy mówi,»e dla m zmiennych obja±niaj cych zachodzi reguªa, zgodnie z któr oszacowana zmiana warto±ci zmiennej odpowiedzi to b i, je±li warto± zmiennej x i ro±nie o jednostk i zakªadaj c,»e wszystkie pozostaªe warto±ci zmiennych s staªe. Bª dy predykcji s mierzone przy u»yciu reszt y ŷ. Co wa»ne: w prostej regresji liniowej reszty reprezentuj odlegªo± (mierzon wzdªu» osi pionowej) pomi dzy wªa±ciwym punktem danych a lini regresji. Za± w regresji wielokrotnej, reszta jest reprezentowana jako odlegªo± mi dzy wªa±ciwym punktem danych a pªaszczyzn lub hiperpªaszczyzn regresji. Przykªadowo pªatki Spoon Size Shredded Wheat zawieraj x 1 = 0 gramów cukru i x 2 = 3 gramy bªonnika, a ich warto± od»ywcza jest równa podczas gdy warto± oszacowana, podana za pomoc równania regresji: > predict(model, data.frame(sugars=0,fiber=3),level=0.95, interval="confidence") fit lwr upr > Zatem dla tych konkretnych pªatków reszta jest równa = Zwró my uwag na to,»e wyniki które tutaj zwraca fukcja R: predict s bardzo istotne. Mianowicie, oprócz podanej (oszacowanej, przewidywanej) warto- ±ci zmiennej obja±niaj cej, otrzymujemy równie» przedziaª ufno±ci na zadanym poziomie ufno±ci równym 0.95, który to przedziaª mie±ci si mi dzy warto±ci (lwr) a (upr). 4
5 Pami tamy z poprzednich zaj,»e z poj ciem regresji wi»e si poj cie wspóªczynnika determinacji R 2. R 2 = SSR SST, gdzie SSR to regresyjna suma kwadratów (SSR = n i=1 (ŷ ȳ)2 ) za± SST to caªkowita suma kwadratów (SST = n i=1 (y ȳ)2 ). B dziemy go interpetowa jako cz ± zmienno±ci zmiennej obja±nianej, która jest wyja±niana przez liniow zale»no± ze zbiorem zmiennych obja±niaj cych. Co wa»ne: Im wi ksza b dzie liczba zmiennych obja±niaj cych tym nie mniejsza b dzie warto± wspóªczynnika determinacji R 2. Mo»emy wnioskowa,»e gdy dodajemy now zmienn obja±niaj c do modelu, warto± R 2 b dzie nie mniejsza ni» przy modelu o mniejszej liczbie zmiennych. Oczywi±cie skala (wielko± ) tej ró»nicy jest bardzo istotnaw zale»no±ci od tego czy dodamy t zmienn do modelu czy te» nie. Je±li wzrost jest du»y to uznamy t zmienn za znacz c (przydatn ). Je±li takie reszty obliczymy dla ka»dej obserwacji to mo»liwe b dzie wyznaczenie warto±ci wspóªczynnika determinacji R 2. W naszym przypadku jest on równy czyli 80.92%. Oznacza to w naszej analizie,»e 80.92% zmienno±ci warto±ci od»ywczej jest wyja±niana przez liniow zale»no± (pªaszczyzn ) pomi dzy zmienn warto± od»ywcza a zbiorem zmiennych obja±niaj cych - zawarto±ci cukrów i zawarto±ci bªonnika. Je±li popatrzymy jaka byªa warto± tego wspóªczynnika, gdy badali±my na pocz tku zale»no± zmiennej obja±nianej tylko od jednej zmiennej obja±niaj cej (cukry) to warto± ta wynosiªa R 2 = 57.71%. Dla dwóch zmiennych obja±niaj cych ta warto±ci wyniosªa 80.92%. Czyli powiemy,»e dodaj c now zmienn obja±niaj c (w tym przypadku bªonnik) mo-»emy wyja±ni dodatkowe = 22.19% zmienno±ci warto±ci od»ywczej (rating) pªatków. Typowy bª d oszacowania jest tu obliczany jako standardowy bª d oszacowania s i wynosi 6.22 punktu. Oznacza to,»e estymacja warto±ci od»ywczej pªatków na podstawie zawarto±ci cukrów i bªonnika zwykle ró»ni si od wªa±ciwej warto±ci o 6.22 punktu. Je±li nowa zmienna jest przydatna, to bª d ten powinien si zmniejsza po dodaniu nowej zmiennej. Najprostszym sposobem na wybór optymalnej liczby zmiennych obja±niaj cych jest wspóªczynnik Radj 2 zwany uproszczonym wspóªczynnikiem. Je±li zaªo»ymy,»e R 2 = 1 SSE to wówczas warto± SST R2 adj obliczymy jako Radj 2 = 1 SSE(n p) SST (n 1) i zwykle ta warto± b dzie po prostu nieco mniejsza ni» warto± R 2. W ±rodowisku R wspóªczynnik determinacji R 2 wyznaczymy stosuj c bezpo±rednio komend : summary(model.liniowy)$r.square. Z kolei wspóªczynnik determinacji ale ten tzw. skorygowany (ang. adjusted) za pomoc komendy: summary(model.liniowy)$adj.r.squared. Chc c wyznaczy warto±ci tych wspóªczynników dla naszego testowego modelu w dwiema zmiennymi obja±niaj cymi sugars oraz f iber w ±rodowisku R u»yjemy odpowiednich komend, jak to pokazuje poni»szy kod R wraz z wynikami: > dane<- read.table("c:\\cereals.data", header = TRUE, row.names = 1) > model<-lm(rating~sugars+fiber, data=dane) > summary(model)$r.square [1]
6 > summary(model)$adj.r.squared [1] Jak widzimy wspóªczynnik R 2 wynosi za± R 2 adj odpowiednio Wyznaczenie obserwacji odstaj cych w modelu z wieloma zmiennymi obja±niaj cymi Chc c przeprowadzi test na obserwacje odstaj ce u»yjemy znanego ju» pakietu car i funkcji outlier.test w ramach tego pakietu. library(car) > outlier.test(model) max rstudent = , degrees of freedom = 73, unadjusted p = , Bonferroni p = Observation: Golden_Crisp Wykryto wi c jedn obserwacj odstaj c (pªatki o nazwie Golden_Crisp). Wyznaczenie obserwacji wpªywowych w modelu z wieloma zmiennymi obja±niaj cymi Warto±ci wpªywowe b dziemy wykrywa za pomoc fukcji influence.measures. Wyniki takiej analizy widzimy poni»ej. influence.measures(model) Influence measures of lm(formula = rating ~ sugars + fiber, data = dane) : dfb.1_ dfb.sgrs dfb.fibr dffit 100\%_Bran e \%_Natural_Bran e All-Bran e All-Bran_with_Extra_Fiber e Almond_Delight e Apple_Cinnamon_Cheerios e Apple_Jacks e Basic_ e Bran_Chex e Bran_Flakes e Cap'n'Crunch e Cheerios e Cinnamon_Toast_Crunch e Clusters e Cocoa_Puffs e Corn_Chex e Corn_Flakes e Corn_Pops e Count_Chocula e Cracklin'_Oat_Bran e Cream_of_Wheat_(Quick) e Crispix e Crispy_Wheat_&_Raisins e
7 Double_Chex e Froot_Loops e Frosted_Flakes e Frosted_Mini-Wheats e Fruit_&_Fibre_Dates,_Walnuts,_and_Oats e Fruitful_Bran e Fruity_Pebbles e Golden_Crisp e Golden_Grahams e Grape_Nuts_Flakes e Grape-Nuts e Great_Grains_Pecan e Honey_Graham_Ohs e Honey_Nut_Cheerios e Honey-comb e Just_Right_Crunchy Nuggets e Just_Right_Fruit_&_Nut e Kix e Life e Lucky_Charms e Maypo e Muesli_Raisins,_Dates,_&_Almonds e Muesli_Raisins,_Peaches,_&_Pecans e Mueslix_Crispy_Blend e Multi-Grain_Cheerios e Nut&Honey_Crunch e Nutri-Grain_Almond-Raisin e Nutri-grain_Wheat e Oatmeal_Raisin_Crisp e Post_Nat._Raisin_Bran e Product_ e Puffed_Rice e Puffed_Wheat e Quaker_Oat_Squares e Quaker_Oatmeal e Raisin_Bran e Raisin_Nut_Bran e Raisin_Squares e Rice_Chex e Rice_Krispies e Shredded_Wheat e Shredded_Wheat_'n'Bran e Shredded_Wheat_spoon_size e Smacks e Special_K e Strawberry_Fruit_Wheats e Total_Corn_Flakes e Total_Raisin_Bran e Total_Whole_Grain e Triples e Trix e Wheat_Chex e Wheaties e Wheaties_Honey_Gold e
8 cov.r cook.d hat inf 100\%_Bran e * 100\%_Natural_Bran e All-Bran e * All-Bran_with_Extra_Fiber e * Almond_Delight e Apple_Cinnamon_Cheerios e Apple_Jacks e Basic_ e Bran_Chex e Bran_Flakes e Cap'n'Crunch e Cheerios e Cinnamon_Toast_Crunch e Clusters e Cocoa_Puffs e Corn_Chex e Corn_Flakes e Corn_Pops e Count_Chocula e Cracklin'_Oat_Bran e Cream_of_Wheat_(Quick) e Crispix e Crispy_Wheat_&_Raisins e Double_Chex e Froot_Loops e Frosted_Flakes e Frosted_Mini-Wheats e * Fruit_&_Fibre_Dates,_Walnuts,_and_Oats e Fruitful_Bran e Fruity_Pebbles e Golden_Crisp e * Golden_Grahams e Grape_Nuts_Flakes e Grape-Nuts e Great_Grains_Pecan e Honey_Graham_Ohs e Honey_Nut_Cheerios e Honey-comb e Just_Right_Crunchy Nuggets e Just_Right_Fruit_&_Nut e Kix e Life e Lucky_Charms e Maypo e Muesli_Raisins,_Dates,_&_Almonds e Muesli_Raisins,_Peaches,_&_Pecans e Mueslix_Crispy_Blend e Multi-Grain_Cheerios e Nut&Honey_Crunch e Nutri-Grain_Almond-Raisin e Nutri-grain_Wheat e Oatmeal_Raisin_Crisp e Post_Nat._Raisin_Bran e * 8
9 Product_ e Puffed_Rice e Puffed_Wheat e Quaker_Oat_Squares e Quaker_Oatmeal e Raisin_Bran e Raisin_Nut_Bran e Raisin_Squares e Rice_Chex e Rice_Krispies e Shredded_Wheat e Shredded_Wheat_'n'Bran e Shredded_Wheat_spoon_size e Smacks e Special_K e Strawberry_Fruit_Wheats e Total_Corn_Flakes e Total_Raisin_Bran e Total_Whole_Grain e Triples e Trix e Wheat_Chex e Wheaties e Wheaties_Honey_Gold e > A wi c mamy zapewne 6 obserwacji wpªywowych. S to kolejno pªatki: 100%_Bran,All-Bran, All-Bran_with_Extra_Fiber czy Frosted_Mini-Wheats, Golden_Crisp (które zreszt uznali±my za obserwacj odstaj c, outlier) oraz Post_Nat._Raisin_Bran. 3 Wspóªliniowo± Gdy zmienne obja±niaj ce s wysoko skorelowane wyniki analizy regresji mog by niestabilne. Szacowana warto± zmiennej X j mo»e zmieni wielko± a nawet kierunek zale»nie od pozostaªych zmiennych obja±niaj cych zawartych w tak testowanym modelu regresji. Taka zale»no± liniowa mi dzy zmiennymi obja±niaj cymi mo»e zagra»a trafno±ci wyników analizy regresji. Zagadnieniami, które uj to tak»e na wykªadzie byªo zagadnienie dotycz ce analizy wspóªliniowo- ±ci zmiennych (ang. collinearity). Do wska¹ników oceniaj cych wspóªlniowo± nale»y, m.in VIF (Variance Ination Factor) zwany wspóªczynnikiem podbicia (inacji) wariancji. V IF pozwala wychwyci wzrost wariancji ze wzgl du na wspóªliniowo± cechy. Innymi sªowy: wskazuje on o ile wariancje wspóªczynników s zawy»one z powodu zale»no±ci liniowych w testowanym modelu. Niektóre pakiety statystyczne pozwalaj tak»e alternatywnie mierzy tzw. wspóªczynnik 1 toleracji (TOL - ang. tolerance), który mierzy si jako. V IF V IF i = (1 R 2 i ) 1 dla modelu x i = f(x 1,..., x i 1, x i+1,..., x p ) gdzie zmienna x i b dzie wyja- ±niana przez wszystkie pozostaªe zmienne. 9
10 Gdy V IF > 10 mówimy,»e wspóªliniowo± wyst piªa. Musimy j usun. Eliminacja wspoªliniowo±ci polega na usuni ciu z modelu cech, które s liniow kombinacj innych zmiennych niezale»nych. Rad na wspóªliniowo± jest wg niektórych prac zwi kszenie zbioru obserwacji o nowe, tak, by zmienimalizowa istniej ce zale»no±ci liniowe pomi dzy zmiennymi wyja±niaj cymi. Jednak wiadomym jest»e zwi kszenie liczby obserwacji nie gwarantuje poprawy - a wi c nie jest to dobry pomysª. Lepszym wydaje si komponowanie zmiennych zale»nych w nowe zmienne (np. waga i wzrost, które s skorelowane silnie, i zamiast nich tworzenie jednej zmiennej stosunek wzrostu do wagi). Tak now zmienn nazywa si w literaturze kompozytem. Cz sto - dla du»ej liczby zmiennych obja±niaj cych - stosuje sie metod analizy skªadowych gªównych (ang. principal component analysis która b dzie tematem odr bnych zaj ) dla redukcji liczby zmiennych do jednego lub kilku kompozytów niezale»nych. 3.1 Przykªad modelu ze wspóªliniowo±ci Dla modelu postaci: Y i = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 X 3i + ɛ 1i w którym X 3i = 10 X 1i 2 X 2i powiemy,»e zmienna x 3 jest kombinacj liniow zmiennych x 1 i x 2. Próba szacowania takiego modelu zwi zana jest ze ±wiadomym popeªnianiem bª du, gdy» w modelu tym wyst puje dokªadna wspóªliniowo± (jedna ze zmiennych obja±niaj cych jest kombinacj liniow pozostaªych). W ±rodowisku R sprawdzanie wspóªliniowo±ci nie jest trudne. Wystarczy skorzysta z funkcji vif której argumentem jest model regresji dla danego zbioru danych. Przykªad dotycz cy naszego zbioru pªatków zbo»owych przedstawiamy poni»ej: > vif(lm(rating~sugars+fiber, data=dane)) sugars fiber Inaczej sprawa wygl da dla 1 stopnia swobody a inaczej dla wi kszej liczby stopni swobody, gdy oblicza si tzw. uogólniony wspoªoczynnik podbicia wariancji (GV IF ( 1/2Df)). 4 Jako± utworzonego modelu regresji Porównanie ró»nych modeli regresji jest niew tpliwie istotne, zwªaszcza gdy chcemy wybra ten tzw. najlepszy model. Jedn z metod oceniaj cych jako± modelu na podstawie miar dopasowania modelu dla modelu regresji liniowej jest wspóªczynnik determinacji R 2. Musimy jednak od razu zauwa»y,»e model taki mo»na ocenia ale w odniesieniu do próby ucz cej. A co z nowo dodawanymi do modelu danymi? Czy model wcze±niej okre±lony dla danych ucz cych jako poprawny i optymalny nadal takim musi by dla danych testowych? Ocen klasykatorów dla prób ucz cych i testowych rozwi» nam takie metody jak kroswalidacja, czy metoda bootstrap a tak»e wspóªczynniki czuªo±ci oraz specyczno±ci stosowane z tzw. krzywymi ROC. To zagadnienie b dzie przedmiotem odr bnych zaj. 10
11 4.1 Porównywanie modeli regresji Zaªó»my,»e chcemy porówna dwa modele regresji: lm(rating~sugarsber)+ oraz lm(rating~sugars). > regresja<-lm(rating~sugars+fiber, data=dane) > regresja1<-lm(rating~sugars, data=dane) > anova(regresja, regresja1) Analysis of Variance Table Model 1: rating ~ sugars + fiber Model 2: rating ~ sugars Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) e-14 *** --- Signif. codes: 0 `***' `**' 0.01 `*' 0.05 `.' 0.1 ` ' 1 > 4.2 Kryterium Akaikego u»yteczn miar dopasowania modelu U»yteczn miar dopasowania, szczególnie przy porównywaniu kilku konkurencyjnych modeli, jest tak»e warto± kryterium Akaikego, która dla danego modelu jest okre±lona jako: AIC = dev ω + 2(p + 1) gdzie p + 1 jest liczb parametrów modelu za± dev ω b dziemy nazywa odchyleniem modelu (ang. model deviance i dla naszego przypadku analizy rezyduuów b dzie po prostu sum kwadratów rezyduuów n i=1 y i ŷ i dla i = 1, 2,..., n). Czynnik 2(p + 1) odgrywa rol kary pªaconej za doª czenie nowych zmiennych do modelu i ma na celu zrównowa»enie oczywistego zmniejszenia si w takim przypadku odchylenia modelu. Maj c kilka modeli, wybierzemy ten, który cechuje si minimaln warto±ci AIC i co wa»ne jest opisany mo»liwie maª liczb parametrów. Mo»emy teraz wybra, który z utworzonych modeli jest lepszy. Pomocnym jest tutaj tzw. kryterium Akaikego. Wykorzystanie jego wªa±ciwo±ci w ±rodowisku R wygl da nast puj co: > dane<- read.table("c:\\cereals.data", header = TRUE, row.names = 1) > model<-lm(rating~sugars, data=dane) > model2<-lm(rating~sugars+fiber, data=dane) > AIC(model) [1] > AIC(model2) [1] Bibliograa Opracowanie przygotowano w oparciu o prace: 1. J. Koronacki i J. wik, Statystyczne systemy ucz ce si, wyd. II, Exit J. Koronacki i J. Mielniczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych, WNT
12 3. Daniel T. Larose, Metody i modele eksploracji danych, Tytuª oryginalny: Data Mining Methods and Models, Wydawnictwo Naukowe PWN Redakcja naukowa: Marek Walesiak, Eugeniusz Gatnar, Statystyczna analiza danych z wykorzystaniem programu R, Wydawnictwo Naukowe PWN
Analiza regresji. Analiza korelacji.
Analiza regresji. Analiza korelacji. Levels name mfr type calories protein fat sodium fiber carbo sugars potass vitamins shelf weight cups rating Storage 77 integer 7 integer 2 integer integer integer
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji część III. Agnieszka Nowak - Brzezińska
Analiza regresji część III Agnieszka Nowak - Brzezińska Są trzy typy obserwacji, które mogą ale nie muszą wywierać nadmiernego nacisku na wyniki regresji: Obserwacje oddalone (outlier) Obserwacje wysokiej
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa oraz regresja wielokrotna w zastosowaniu zadania predykcji danych. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III-VI
Regresja liniowa oraz regresja wielokrotna w zastosowaniu zadania predykcji danych. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III-VI Analiza regresji Analiza regresji jest bardzo popularną i chętnie stosowaną
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji Konspekt do zaj : Statystyczne metody analizy danych
Opis zaj Analiza regresji Konspekt do zaj : Statystyczne metody analizy danych Agnieszka Nowak-Brzezi«ska 28 pa¹dziernika 2009 Celem zaj jest realizacja praktyczna zagadnie«zwi zanych z analiz regresji,
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13)
Analiza zależności cech ilościowych regresja liniowa (Wykład 13) dr Mariusz Grządziel semestr letni 2012 Przykład wprowadzajacy W zbiorze danych homedata (z pakietu R-owskiego UsingR) można znaleźć ceny
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoAgnieszka Nowak Brzezińska Wykład 2 z 5
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład 2 z 5 metoda typ Zmienna niezależna Regresja liniowa Regresja Wszystkie ilościowe Zakłada liniową zależność, prosta w implementacji Analiza dyskryminacyjna klasyfikacja
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoTemat zajęć: ANALIZA DANYCH ZBIORU EKSPORT. Część I: analiza regresji
Temat zajęć: ANALIZA DANYCH ZBIORU EKSPORT Część I: analiza regresji Krok 1. Pod adresem http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/adb/eksport.txt znajdziesz zbiór danych do analizy. Zapisz plik na dysku w dowolnej
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
23 kwietnia 2014 Korelacja - wspó lczynnik korelacji 1 Gdy badamy różnego rodzaju rodzaju zjawiska (np. przyrodnicze) możemy stwierdzić, że na każde z nich ma wp lyw dzia lanie innych czynników; Korelacja
Bardziej szczegółowoModel regresji wielokrotnej Wykład 14 ( ) Przykład ceny domów w Chicago
Model regresji wielokrotnej Wykład 14 (4.06.2007) Przykład ceny domów w Chicago Poniżej są przedstawione dane dotyczące cen domów w Chicago (źródło: Sen, A., Srivastava, M., Regression Analysis, Springer,
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa w R Piotr J. Sobczyk
Regresja liniowa w R Piotr J. Sobczyk Uwaga Poniższe notatki mają charakter roboczy. Mogą zawierać błędy. Za przesłanie mi informacji zwrotnej o zauważonych usterkach serdecznie dziękuję. Weźmy dane dotyczące
Bardziej szczegółowoKORELACJA 1. Wykres rozrzutu ocena związku między zmiennymi X i Y. 2. Współczynnik korelacji Pearsona
KORELACJA 1. Wykres rozrzutu ocena związku między zmiennymi X i Y 2. Współczynnik korelacji Pearsona 3. Siła i kierunek związku między zmiennymi 4. Korelacja ma sens, tylko wtedy, gdy związek między zmiennymi
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa wprowadzenie
Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska
Analiza regresji część II Agnieszka Nowak - Brzezińska Niebezpieczeństwo ekstrapolacji Analitycy powinni ograniczyć predykcję i estymację, które są wykonywane za pomocą równania regresji dla wartości objaśniającej
Bardziej szczegółowoWykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Bardziej szczegółowoRegresja ważona. Co, gdy nie ma stałej wariancji? Tu prawdziwe σ 2 =1 (dużo powtórzeń, więc wariancje są dobrze oszacowane) PAR Wykład 5 1/8
Dobry chrześcijanin powinien wystrzegać się matematyków i tych wszystkich, którzy tworzą puste proroctwa. Istnieje niebezpieczeństwo, że matematycy zawarli przymierze z diabłem, aby zgubić duszę człowieka
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoLab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 1
Ekonometria - wykªad 1 0. Wprowadzenie Barbara Jasiulis-Goªdyn 28.02.2014 2013/2014 Ekonometria Literatura [1] B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczesny, Ekonometria. Wybrane Zaganienia, PWN, Warszawa 2003.
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Bardziej szczegółowoRegresja logistyczna. Regresja logistyczna. Przykłady DV. Wymagania
Regresja logistyczna analiza relacji między zbiorem zmiennych niezależnych (ilościowych i dychotomicznych) a dychotomiczną zmienną zależną wyniki wyrażone są w prawdopodobieństwie przynależności do danej
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoStatystyczne metody analizy danych przy użyciu środowiska R
Statystyczne metody analizy danych przy użyciu środowiska R Agnieszka Nowak - Brzezińska Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Wybrane zagadnienia Plan wystąpienia 1. Wprowadzenie. 2. Środowisko R.
Bardziej szczegółowoRegresja logistyczna. Regresja logistyczna. Wymagania. Przykłady DV
Regresja logistyczna analiza relacji między zbiorem zmiennych niezależnych (ilościowych i dychotomicznych) a dychotomiczną zmienną zależną wyniki wyrażone są w prawdopodobieństwie przynależności do danej
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
28 marca 2012 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa - wst ep Przypuśćmy, że chcemy porównać wieksz a (niż dwie) liczbe grup. Aby porównać średnie w kilku grupach, można przeprowadzić analize wariancji.
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoPermutacyjna metoda oceny istotności regresji
Permutacyjna metoda oceny istotności regresji (bez założenia normalności) f
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 3 29 pa¹dziernik 2015 1 / 39 Plan wykªadu 1. Test log-rank dla wi cej ni» dwóch grup 2. Test Mantela-Haenszela dla wi cej ni» dwóch grup 3. Wst p do
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik
MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą
Bardziej szczegółowoProjekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy
Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: Eksploracja (mining) Problemy: Jedna zmienna 2000 najwi ększych
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa, klasyfikacja metodą k-nn. Agnieszka Nowak Brzezińska
Regresja liniowa, klasyfikacja metodą k-nn Agnieszka Nowak Brzezińska Analiza regresji Analiza regresji jest bardzo popularną i chętnie stosowaną techniką statystyczną pozwalającą opisywać związki zachodzące
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Bardziej szczegółowoANALIZA REGRESJI SPSS
NLIZ REGRESJI SPSS Metody badań geografii społeczno-ekonomicznej KORELCJ REGRESJ O ile celem korelacji jest zmierzenie siły związku liniowego między (najczęściej dwoma) zmiennymi, o tyle w regresji związek
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoPakiety statystyczne - Wykªad 8
Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne
Bardziej szczegółowoProjekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy
Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy ANALIZA PORÓWNAŃ WIELOKROTNYCH GDY WARIANCJE SĄ NIERÓWNE lsales.bim
Bardziej szczegółowoRegresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;
LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny
Bardziej szczegółowoEkonometria dla IiE i MSEMat Z7
Ekonometria dla IiE i MSEMat Z7 Rafał Woźniak Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Warszawa, 21-11-2016 Na podstawie zbioru danych cps_small.dat z książki Principles of Econometrics oszacowany
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoListy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Bardziej szczegółowoStosowana Analiza Regresji
prostej Stosowana Wykład I 5 Października 2011 1 / 29 prostej Przykład Dane trees - wyniki pomiarów objętości (Volume), średnicy (Girth) i wysokości (Height) pni drzew. Interesuje nas zależność (o ile
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYSTYCZNEJ ANALIZY DANYCH
Wykład 1 Prosta regresja liniowa - model i estymacja parametrów. Regresja z wieloma zmiennymi - analiza, diagnostyka i interpretacja wyników. Literatura pomocnicza J. Koronacki i J. Ćwik Statystyczne systemy
Bardziej szczegółowoRegresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoArytmetyka zmiennopozycyjna
Rozdziaª 4 Arytmetyka zmiennopozycyjna Wszystkie obliczenia w octavie s wykonywane w arytmetyce zmiennopozycyjnej (inaczej - arytmetyce ) podwójnej precyzji (double) - cho w najnowszych wersjach octave'a
Bardziej szczegółowoNowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy
Projekt Nowa oferta edukacyjna Uniwersytetu Wrocławskiego odpowiedzią na współczesne potrzeby rynku pracy i gospodarki opartej na wiedzy Dane: 2000 największych spółek światowych z 2004 (Forbes Magazine)
Bardziej szczegółowoAnaliza wariancji Piotr J. Sobczyk 19 November 2016
Analiza wariancji Piotr J. Sobczyk 19 November 2016 Zacznijmy zajęcia od klasycznego przykładu czyli testu Studenta dla dwóch prób. x 1,i N(µ 1, σ 2 ), i = 1,..., n 1 x 2,i N(µ 2, σ 2 ), i = 1,..., n 2
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoEgzamin z ekonometrii - wersja ogólna
Egzamin z ekonometrii - wersja ogólna 27-0-202 Pytania teoretyczne. Dlaczego w modelu nie powinno si umieszcza staªej i wszystkich zmiennych zero-jedynkowych, zwi zanych z poziomami zmiennej dyskretnej?
Bardziej szczegółowoModel obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoAnaliza wydajno±ci serwera openldap
Analiza wydajno±ci serwera openldap Autor: Tomasz Kowal 13 listopada 2003 Wst p Jako narz dzie testowe do pomiarów wydajno±ci i oceny konguracji serwera openldap wykorzystano pakiet DirectoryMark w wersji
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
Za zadanie D mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Maj c do dyspozycji: LXIV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA generator napi cia o przebiegu sinusoidalnym o ustalonej amplitudzie
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoRegresja liniowa. Etapy analizy regresji. Założenia regresji. Kodowanie zmiennych jakościowych
Etapy analizy regresji Regresja liniowa 1. zaproponowanie modelu, 2. sprawdzenie założeń dotyczących zmiennych, 3. wyszukanie wartości odstających, wpływających i dźwigni, 4. oszacowanie istotności modelu
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowo