Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Transkrypt

1 28 marca 2012

2 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa - wst ep Przypuśćmy, że chcemy porównać wieksz a (niż dwie) liczbe grup. Aby porównać średnie w kilku grupach, można przeprowadzić analize wariancji.

3 Wykonaliśmy k serii pomiarów. Pomiary w serii i oznaczamy przez X i1,..., X ini N (µ, σ i ). Jak widać w serii i wykonaliśmy n i pomiarów. Przyjmujemy, że zmienne X ij sa niezależne.

4 Wykonaliśmy k serii pomiarów. Pomiary w serii i oznaczamy przez X i1,..., X ini N (µ, σ i ). Jak widać w serii i wykonaliśmy n i pomiarów. Przyjmujemy, że zmienne X ij sa niezależne. Uwaga Wariancje sa równe dla wszystkich grup!!!

5 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa Interesuje nas hipoteza zerowa postaci:

6 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa Interesuje nas hipoteza zerowa postaci: H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k.

7 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa Interesuje nas hipoteza zerowa postaci: H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k. Hipoteze alternatywna możemy sformu lować w nastepujacy sposób:

8 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa Interesuje nas hipoteza zerowa postaci: H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k. Hipoteze alternatywna możemy sformu lować w nastepujacy sposób: Przynajmniej jedna ze średnich różni si e istotnie od pozosta lych

9 Analiza wariancji klasyfikacja jednokierunkowa Statystyka testowa w analizie wariancji jest: gdzie n = n i oraz F = SSA/(k 1) SSE/(n k) SSA = k n i (ȳ i ȳ ) 2, SSE = i=1 k n i (y ij ȳ i ) 2. i=1 j=1 Przy prawdziwości hipotezy zerowej, statystyka testowa F ma rozk lad Snedecora z k 1 i n k stopniami swobody.

10 UWAGA, UWAGA, UWAGA,... Za lożenie o tym, że wariancje we wszystkich grupach sa równe jest istotne dlatego przed zastosowaniem analizy wariancji należy je sprawdzić używajac np. testu Bartletta.

11 Test Bartletta Wykonaliśmy k serii pomiarów. Pomiary w serii i oznaczamy przez X i1,..., X ini N (µ, σ i ). Testujemy nastepuj ac a hipoteze zerowa:

12 Test Bartletta Wykonaliśmy k serii pomiarów. Pomiary w serii i oznaczamy przez X i1,..., X ini N (µ, σ i ). Testujemy nastepuj ac a hipoteze zerowa: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 =... = σ 2 k.

13 Test Bartletta Wykonaliśmy k serii pomiarów. Pomiary w serii i oznaczamy przez X i1,..., X ini N (µ, σ i ). Testujemy nastepuj ac a hipoteze zerowa: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 =... = σ 2 k. Hipoteze alternatywna możemy sformu lować w nastepujacy sposób:

14 Test Bartletta Wykonaliśmy k serii pomiarów. Pomiary w serii i oznaczamy przez X i1,..., X ini N (µ, σ i ). Testujemy nastepuj ac a hipoteze zerowa: H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 =... = σ 2 k. Hipoteze alternatywna możemy sformu lować w nastepujacy sposób: Przynajmniej jedna z wariancji różni si e istotnie od pozosta lych

15 Test Bartletta - statystyka testowa Statystyka testowa jest: χ 2 = [(n k)log(s 2 ) c k (n i 1)log(Sn 2 i 1)] i=1

16 Test Bartletta - statystyka testowa Statystyka testowa jest: χ 2 = [(n k)log(s 2 ) c k (n i 1)log(Sn 2 i 1)] gdzie: Sn 2 i 1 = 1 ni n i 1 j=1 (X ij X i ) 2, S 2 = 1 ki=1 n k Sn 2 i 1 oraz c = (k 1) i=1 k 1 ( n i=1 i 1 1 n k )

17 Test Bartletta - statystyka testowa Statystyka testowa jest: χ 2 = [(n k)log(s 2 ) c k (n i 1)log(Sn 2 i 1)] gdzie: Sn 2 i 1 = 1 ni n i 1 j=1 (X ij X i ) 2, S 2 = 1 ki=1 n k Sn 2 i 1 oraz c = (k 1) i=1 k 1 ( n i=1 i 1 1 n k ) Przy prawdziwości hipotezy zerowej, statystyka testowa χ 2 ma rozk lad chi-kwadrat z k 1 stopniami swobody.

18 Zadanie Do pewnych doświadczeń farmakologicznych wybierano sa króliki jednorodne pod wzgledem wagi. Wybrano losowo po 5 królików z poszczególnych grup i otrzymano nastepuj ace wyniki (w kg): A B C D Na poziomie istotności α = 0.1 zweryfikować hipotez e, że wariancja wagi królików we wszystkich czterech grupach jest jednakowa.

19 Rozwiazanie - Test Bartletta Bartlett test of homogeneity of variances data: waga by group Bartlett's K-squared = 2.067, df = 3, p-value =

20 Zadanie W tabeli sa podane wielkości zbioru pszenicy ozimej otrzymane przy zastosowaniu czterech możliwych dawek azotu jako nawozu. Każda z dawek azotu zastosowano na 8 poletkach Zbadać, czy średnia wielkość plonu zależy od użytej ilości nawozu. P 1 P 2 P 3 P

21 Test Bartletta Bartlett test of homogeneity of variances data: plon by group Bartlett's K-squared = , df = 3, p-value =

22 Rozwiazanie - Analiza wariancji Analysis of Variance Table Response: plon Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) group Residuals

23 Zadanie W tabeli znajduja sie dane o przeżywalności chrzaszczy macznych hodowanych na różnych pożywkach. Dla tych danych testować bedziemy hipoteze, że miedzy różnymi pożywkami nie ma różnic w przeżywalności chrzaszczy. A B C D E MP MP MP MPR

24 Rozwiazanie - Analiza wariancji Analysis of Variance Table Response: pozywka Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) group * Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

25 Testy a posteriori Uwaga Jeżeli analiza wariancji nie wykaże istotności różnic miedzy rozpatrywanymi grupami, nie przeprowadza sie już dalszych testów. Natomiast kiedy hipoteza zerowa zostanie odrzucona w analizie wariancji, to powstaje pytanie, które z porównywanych populacji sa odpowiedzialne za odrzucenie hipotezy zerowej. Chcemy wiedzieć, które z n średnich różnia sie miedzy soba, a które sa równe.

26 Testy a posteriori Uwaga Narzedzi s lużacych do tego celu jest bardzo dużo na tym wyk ladzie wyróżnimy nastepuj ace 1 Test Bonferoniego;

27 Testy a posteriori Uwaga Narzedzi s lużacych do tego celu jest bardzo dużo na tym wyk ladzie wyróżnimy nastepuj ace 1 Test Bonferoniego; 2 Test Tukeya.

28 Test Bonferroniego Jeżeli porównujemy k grup, to porównanie każdy z każdym wymaga wykonania K = k(k 1) 2 testów. Dla pojedynczego testu statystyka testowa przyjmuje postać: Przy czym t ij = X i X j s 2 1 n i + 1 n j s 2 = SSE n k. Rozk lad statystyki testowej Przy prawdziwości hipotezy zerowej H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k ; statystyka t ij ma rozk lad studenta z n k stopniami swobody.

29 Test Bonferroniego Uwaga, Uwaga, Uwaga... 1 poziom istotności pojedynczego testu;

30 Test Bonferroniego Uwaga, Uwaga, Uwaga... 1 poziom istotności pojedynczego testu; 2 poziom istotności ca lej procedury. Uwaga Aby poziom istotności ca lej procedury by l na poziomie α poziom istotności pojedynczego testu powinien być na poziomie α/k.

31 Przyklad zastosowania - chrzaszcze Study: LSD t Test for pozywka P value adjustment method: bonferroni Mean Square Error: 18.7 group, means and individual ( 95 %) CI pozywka std.err replication LCL UCL MP MP MP MPR alpha: 0.05 ; Df Error: 16 Critical Value of t:

32 Test Tukeya - krótki komentarz

33 Przyklad zastosowania - chrzaszcze Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = fit) $group diff lwr upr p adj MP2-MP MP5-MP MPR-MP MP5-MP MPR-MP MPR-MP