Pragnę wyrazić podziękowanie osobom, których pomoc przyczyniła się do powstania niniejszej pracy, a w szczególności: profesorowi Andrzejowi Fladze,

Transkrypt

1 Pragnę wyrazć podzękowane osobom, których pomoc przyczynła sę do powstana nnejszej pracy, a w szczególnośc: profesorow Andrzejow Fladze, pracownkom Katedry Mechank Budowl Poltechnk Lubelskej, zwłaszcza dr hab. nż. Ewe Błazk-Borowej.

2 Poltechnka Lubelska Wydzał Budownctwa Archtektury ul. Nadbystrzycka Lubln

3 Jacek Szulej Wyznaczene ekwwalentnego wskotycznego tłumena drgań w konstrukcjach welomaterałowych Poltechnka Lubelska Lubln 010

4 Recenzenc: Dr hab. nż. Marek Łagoda, prof. Poltechnk Lubelskej Dr hab. nż. Joanna Dulńska, prof. Poltechnk Krakowskej Skład łamane: Tomasz Pech Publkacja wydana za zgodą Rektora Poltechnk Lubelskej Copyrght by Poltechnka Lubelska 010 ISBN: Wydawca: Poltechnka Lubelska ul. Nadbystrzycka 38D, Lubln Realzacja: Bbloteka Poltechnk Lubelskej Ośrodek ds. Wydawnctw Bblotek Cyfrowej ul. Nadbystrzycka 36A, Lubln tel , emal: Druk: Wydawnctwo-Drukarna Lber Duo ul. Długa 5, Lubln

5 Sps treśc Symbole oznaczena Wstęp Podstawowe wadomośc o tłumenu w konstrukcjach budowlanych Defncja rodzaje tłumena Welkośc opsujące wartośc tłumena drgań Modele tłumena drgań Metody określające wartośc parametrów tłumena drgań: Przykładowe zestawena logarytmcznego dekrementu tłumena drgań dla materałów, elementów konstrukcj obektów budowlanych Wartośc tłumena wybranych materałów Wartośc tłumena elementów konstrukcj Wartośc tłumena konstrukcj budowlanych Układ pomarowy (tor pomarowy) Obróbka wynków badań błędy, jake mogą sę pojawć przy stosowanu metody kolokacyjnej Ogólna obróbka wynków badań Najczęścej występujące problemy popełnane błędy przy stosowanu metody kolokacyjnej Badana: Modele Model złożony Modele proste Badana: Konstrukcje Kładk Mosty Wadukt Maszty Stropy Kładka po przeprowadzenu modernzacj... 18

6 8. Zalecane wartośc δ dla poszczególnych klas obektów nżynerskch wnosk końcowe Wprowadzene Mosty wadukt Mosty dla peszych (kładk) Maszty z odcągam (stalowe) Stropy Podsumowane Wnosk końcowe Bblografa

7 Symbole oznaczena Ltery łacńske A, B, A p, B p, A, B - ampltudy przemeszczeń, przyspeszeń odkształceń drgań D - dyssypowana energa -tej postac drgań D j - udzał energ dyssypowanej j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj) przy -tej postac drgań f - częstotlwość f - - ta częstotlwość drgań własnych konstrukcj FFT - szybka transformata Fourera F u - kwadrat modułu transformaty Fourera F umax - maksymalna wartość kwadratu modułu transformaty Fourera F y - funkcja aproksymująca (dotyczy metody kolokacyjnej) h(τ) - macerz odpowedz mpulsowych h k (τ) - wektor odpowedz układu na wymuszena typu p = [0, 0 0, δ k (τ), 0 0] T H(f) - macerz transmtancj mechancznej układu H k (f) - element macerzy transmtancj mechancznej układu H k,θ k - moduł argument transmtancj mechancznej układu j - jednostka urojona K j - macerz sztywnośc j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj) M j - macerz bezwładnośc j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj) M, C, K - macerze odpowedno bezwładnośc (mas), tłumena sztywnośc układu N - sła nacsku U - całkowta energa potencjalna -tej postac drgań U j - udzał energ potencjalnej j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj) przy -tej forme drgań u(t) - przemeszczene konstrukcj u (t) - - ty przebeg czasowy przemeszczeń konstrukcj

8 0 U j - energa wynkająca ze wstępnego napęca lub dużych przemeszczeń ΔW - energa rozproszona w jednym cyklu drgań W - maksymalna energa dostarczona do układu w jednym cyklu drgań V - wektor prędkośc watru V j - energa odkształceń w zakrese małych przemeszczeń V - wektor maksymalnych prędkośc drgań -tej postac X - wektor przemeszczeń węzłów konstrukcj X - wektor prędkośc węzłów konstrukcj X Y(f), P(f) - wektor przyspeszeń węzłów konstrukcj - transformaty Fourera odpowedz konstrukcj oraz przyłożonego obcążena Ltery grecke α β γ δ δ k (τ) δ 1 δ δ 3 ε(t) ε (t) μ ξ φ ψ ω ω * ω - parametr tłumena masowego - współczynnk tłumena drgań - bezwymarowy współczynnk tłumena drgań -logarytmczny dekrement tłumena drgań - delta Draca - składowa logarytmcznego dekrementu tłumena zwązana z tłumenem materałowym - składowa logarytmcznego dekrementu tłumena zwązana z tłumenem konstrukcyjnym - składowa logarytmcznego dekrementu tłumena zwązana z przekazywanem energ na grunt przez fundament - odkształcene konstrukcj - - ty przebeg czasowy odkształceń konstrukcj - współczynnk tarca - lczba tłumena, ułamek, procent tłumena krytycznego, stopeń tłumena - unormowany wektor własny -tej postac drgań - współczynnk pochłanana (tłumena właścwego) - częstość kołowa drgań własnych - częstość kołowa drgań własnych -tej postac drgań - częstość kołowe drgań tłumonych 8

9 1. Wstęp W ostatnch klkudzesęcu latach można zaobserwować stały wzrost lczby projektowanych wykonywanych coraz bardzej smukłych wotkch konstrukcj (mosty wszące podweszone, maszty, kładk). Prawdłowe projektowane takch budowl, jak ch bezpeczna eksploatacja wymaga wedzy na temat dynamcznego zachowana sę konstrukcj. Jednym z głównych parametrów opsujących zachowane prawdłowo zaprojektowanych budowl jest odpowedn pozom tłumena przy drganach konstrukcj. W pracy przedstawono analzę weryfkację metod służących określanu współczynnków tłumena drgań złożonych materałów konstrukcj welomaterałowych oraz przeprowadzono badana dotyczące pozomu tłumena drgań klku różnych budowl konstrukcj. Praca powstała dzęk badanom zrealzowanym w ramach grantu promotorskego nr N /1044, pt. Wyznaczane ekwwalentnego wskotycznego tłumene drgań dla konstrukcj złożonej z różnych materałów pracy doktorskej autora. Cel pracy realzowano przez postulowane różnych model tłumena. W modelach tłumena wykorzystywane zostały następujące metody pozwalające na szacowane tłumena: metody energetyczne, metoda kolokacyjna, metoda fltracyjno-regresyjna. W nnejszej pracy szczegółowo rozpatrywano metodę kolokacyjną prof. Andrzeja Flag. Przeprowadzono dokładne wyprowadzene wzorów metody określono warunk stosowalnośc tej metody. Sprawdzene wynków uzyskanych ze stosowana model tłumena wykonano przez ch porównane z rezultatam uzyskanym w badanach na następujących modelach konstrukcjach: sześcu modelach różnych konstrukcj, czterech prostych dwóch złożonych, dwóch stropach: żelbetowym monoltycznym w budynku welorodznnym, typu Terva w budynku jednorodznnym, czterech kładkach: dwóch stalowych belkowych dwóch podweszonych, wadukce żelbetowo-stalowym, dwóch masztach z odcągam zlokalzowanych w Paskach Gedlarowej, czterech mostach: łukowym w Puławach, podweszonym w Gdańsku, łukowym podweszonym w Warszawe. 9

10 Na mośce w Puławach przeprowadzono badana w różnych fazach budowy tego obektu. Pozwolło to określć wpływ poszczególnych materałów na pozom tłumena drgań całej konstrukcj. Badana na modelach obektach polegały na wzbudzenu drgań wymenonych układów określenu welkośc tłumena drgań na podstawe analzy przebegów czasowych drgań. Wymenone modele konstrukcje modelowano w systeme Algor. Służyło to porównanu dentyfkacj parametrów dynamcznych model MES konstrukcj rzeczywstych. Wykorzystane w pracy modele określające tłumene drgań, uwzględnają główne cężar własny badanych układów zależne są od pozomu naprężeń w konstrukcj. W oblczenach weryfkujących rozpatrywano tylko zakres małych drgań swobodnych. Rozważana ujęto w ośmu rozdzałach. Perwszy rozdzał opsuje ogólny zarys tematyk pracy. Drug rozdzał omawa ogólne wadomośc dotyczące tłumena drgań. Zawarte są w nm mary opsujące tłumene drgań, rodzaje tłumena drgań, metody szacujące tłumene drgań. Trzec przedstawa zebrane z lteratury wartośc logarytmcznego dekrementu tłumena drgań dla materałów, elementów konstrukcj konstrukcj. Układ pomarowy, wykorzystany do badań omówony jest w następnym rozdzale. W pątym rozdzale omówono obróbkę wynków badań błędy, jake mogą sę pojawć przy stosowanu metody kolokacyjnej. Rozdzał szósty sódmy przedstawa badane modele konstrukcje oraz otrzymane wynk, stosując różne metody ch wyznaczana. Zalecane wartośc δ dla poszczególnych klas obektów nżynerskch wnosk końcowe przedstawa rozdzał ósmy. 10

11 . Podstawowe wadomośc o tłumenu w konstrukcjach budowlanych.1. Defncja rodzaje tłumena Tłumene drgań jest to zdolność rozpraszana (pochłanana) przez cało częśc pracy sł zewnętrznych, która zmena sę w energę ceplną ulega rozproszenu. Zjawsko to zachodz podczas drgań budowl, czyl przy cyklczne zmenających sę odkształcenach (naprężenach). Zdolność tłumena drgań można zdefnować jako stosunek energ rozproszonej w jednym cyklu drgań ΔW do maksymalnej energ dostarczonej do układu w tym samym cyklu W. Zdolność tłumena drgań opsuje ponższy wzór: W W (.1) Welkość tłumena drgań w ośrodkach sprężystych można przedstawć za pomocą tak zwanej pętl hsterezy. Otrzymuje sę ją badając dośwadczalne zależność pomędzy odkształcenem naprężenem, lub też na wykrese zależnośc pomędzy słą wywołanym przez ną przemeszczenem, w cągu trwana jednego, pełnego cyklu obcążene-odcążene. Przykład pętl hsterezy pokazano na ponższym rysunku (energę potencjalną maksymalną W przedstawa pole trójkąta OEC, zaś energę rozproszoną ΔW przedstawć można jako pole pętl hsterezy ABCD). Rys..1. Pętla hsterezy przy drganach tłumonych wymuszonych perodyczne. 11

12 Zjawsko tłumena drgań jest bardzo złożone. Wyróżna sę trzy główne jego rodzaje. Perwszym, mającym zwykle najmnejszy udzał jest tłumene materałowe. Dotyczy ono zjawsk zachodzących w samym materale. Drugm jest tłumene konstrukcyjne zależne główne od obecnośc tzw. elementów nekonstrukcyjnych w obekce rodzaju połączeń w konstrukcj. Ostatn rodzaj to tłumene zewnętrzne, na które wpływ ma otoczene konstrukcj. Rodzaje tłumena drgań przedstawone zostały na rysunku.. Podzał tłumena drgań: Tłumene drgań Materałowe Konstrukcyjne Zewnętrzne Rys... Rodzaje tłumena drgań Tłumene materałowe drgań zwązane jest tylko z wewnętrzną strukturą cała drgającego śwadczy o nesprężystym charakterze zachowana sę materałów Tłumene materałowe drgań spowodowane jest mędzy nnym: Rozproszenem energ uwarunkowanym lokalnym odkształcenam plastycznym mkroobjetośc materału, które powstają na skutek dzałana naprężeń wewnętrznych równoważących sę na grancy sąsednch zaren; Termosprężystym rozproszenem energ uwarunkowanym neodwracalnym przepływam powstającym pomędzy różnym objętoścam cała drgającego pod wpływem gradentu temperatur; Rozproszenem energ w metalach wywołanym dyfuzją; Wewnętrznym rozproszenem energ uwarunkowanym poślzgem na grancy zaren, które występuje w materałach polkrystalcznych czystych metalach; Rozproszenem energ uwarunkowanym rozprzestrzenanem sę sprężystych fal drgań satk krystalcznej; Sprężystolepkm rozproszenem energ, które występuje w tworzywach sztucznych; Wewnętrznym rozproszenem energ zwązanym z ferromagnetycznym stanem materału. Tłumene materałowe drgań jest najmnejsze w metalach, wększe w takch materałach jak drewno, beton. Ogólne wększe wartośc tłumena drgań odpowadają materałom o bardzej złożonej budowe. Średne wartośc tłumena materałowego drgań, wyrażonego za pomocą logarytmcznego dekrementu tłumena δ, przedstawa tab..1. 1

13 Tab..1. Wartośc tłumena materałowego drgań (Bachmann nn, 1991) Materał Wartość średna δ Żelbet słabo wytężony (ne zarysowany) 0,054 Żelbet średno wytężony (zarysowany) 0,157 Żelbet mocno wytężony (zarysowany) 0,141 Beton sprężony 0,035 Beton częścowo sprężony 0,063 Konstrukcja zespolona 0,017 Drewno 0,079 Stal 0, Tłumene konstrukcyjne drgań Tłumene konstrukcyjne drgań można podzelć na cztery grupy: Tarce na styku elementów połączonych różnego rodzaju łącznkam; Tarce w połączenach ruchomych; Tarce w luzach, pęknęcach, szczelnach, rysach tp.; Dyssypacja energ w tzw. elementach nekonstrukcyjnych, kontaktujących sę z elementam konstrukcyjnym deformującym sę wraz z nm podczas drgań. W przypadku elementów połączonych różnym łącznkam, w wynku sprężystych odkształceń dochodz do poślzgu na stykających sę powerzchnach. Ops tego zjawska opera sę na dość prostych modelach, jak tłumene wskotyczne lub model tarca Coulomba. Na styku połączeń ruchomych mamy do czynena ze zjawskem tarca. Jeśl ne ma smarowana wówczas jest to tarce suche, jeśl występuje duże smarowane wówczas jest to tłumene wskotyczne. Dyssypacja energ podczas drgań występuje także w wynku tarca powerzchn stykających sę w różnego rodzaju luzach, pęknęcach, szczelnach, rysach. Tłumene konstrukcyjne drgań ma duży wpływ na redukcję drgań jest znaczne wększe nż tłumene materałowe drgań Tłumene zewnętrzne drgań Tłumene zewnętrzne drgań to zewnętrzne opory ruchu take jak: Opory aerodynamczne; Przekazywane częśc energ drgającego układu na podłoże gruntowe (propagacja fal w podłożu gruntowym); Tarce mędzy fundamentem a podłożem gruntowym. Tłumene aerodynamczne drgań jest stosunkowo małe w porównanu do konstrukcyjnego zazwyczaj jest pomjalne w oblczenach dynamcznych budowl. 13

14 Ponżej w tab... zestawono przykładowe wartośc pokazujące pozom tłumena całkowtego drgań z zaznaczenem udzału poszczególnych rodzajów tłumena, wyrażone w δ. Wartośc dotyczą sprężonego betonowego komna (wysokość 10 m, średnca 8m, fundament-płyta żelbetowej, grunt-żwr, wewnętrzna wykładzna murowana, wymuszene drgań-watr). Tab... Przykładowe welkośc tłumena drgań z podzałem na rodzaje (Bachmann nn, 1991) Tłumene Materałowe Konstrukcyjne Zewnętrzne (od gruntu) δ 1 δ δ 3.. Welkośc opsujące wartośc tłumena drgań W lteraturze występują różne mary tłumena drgań. Są to mędzy nnym: Logarytmczny dekrement tłumena (welkość bezwymarowa): q( t ) ln q( t T ) 1 (.) gdze: q(t) q(t+t ) dwe kolejne maksymalne ampltudy drgań (tego samego znaku). W oblczenach częścej wykorzystuje sę średną wartość logarytmcznego dekrementu tłumena dla n kolejnych okresów drgań. W takm przypadku wzór przyjmuje postać: 1 q( t ) ln n q( t nt ) (.3) Lczba tłumena, ułamek, procent tłumena krytycznego, stopeń tłumena (wyrażony w procentach): (.4) 4 Bezwymarowy współczynnk tłumena drgań: (.5) 14

15 Współczynnk pochłanana (tłumena właścwego): (.6) Współczynnk tłumena drgań (jednostka 1/s): (.7) T gdze: T-okres drgań,.3. Modele tłumena drgań (Flaga, 1979; Osńsk, 1980; Rakowsk nn, 199) Ogólne, macerzowe równane ruchu ma postać: MX KX PXXX T XXX (,,,t) (,, ) (.8) Sły tłumena drgań w powyższym równanu, przedstawone mogą być na różne sposoby w zależnośc od rodzaju uwzględnanego tłumena. Są to mędzy nnym: lnowe tłumene wskotyczne, tłumene Coulomba, tłumene aerodynamczne. Ponżej przedstawono omawane modele tłumena Lnowe tłumene wskotyczne T( X ) CX dzelmy na trzy rodzaje: a) Masowe (współczynnk tłumena są proporcjonalne do pędu masy) C M (.9) gdze: α - parametr tłumena masowego, M-macerz mas Zgodne z tym założenem otrzymamy bezwymarowy współczynnk tłumena drgań wynoszący (dla jednego stopna swobody): c m km km (.10) 15

16 Rys..3. Wykres współczynnka bezwymarowego γ dla wskotycznego masowego warantu tłumena drgań. b) Sztywnoścowe (współczynnk tłumena drgań są proporcjonalne do prędkośc reakcj sprężystych) C K (.11) gdze: -wymarowy parametr tłumena materałowego drgań, K-macerz sztywnośc. Przy tak założonym modelu tłumena, otrzymamy bezwymarowy współczynnk tłumena drgań wynoszący (dla jednego stopna swobody): c k km km (.1) Rys..4. Wykres współczynnka bezwymarowego drgań γ dla wskotycznego sztywnoścowego warantu tłumena. c) Masowo-sztywnoścowe (opory są proporcjonalne do pędu masy do prędkośc reakcj sprężystych) 16 C M K

17 Zgodne z tym założenem otrzymamy bezwymarowy współczynnk tłumena drgań, który dla jednego stopna swobody można wyrazć wzorem: c m k (.13) km km Rys..5. Wykres współczynnka bezwymarowego γ dla wskotycznego masowo-sztywnoścowego warantu tłumena drgań..3.. Tłumene Coulomba (tłumene przy tarcu suchym): T( X ) NsgnX (.14) gdze: T jest wartoścą stałą dodatną zależną od przemeszczena, zaś 1 dla X 0 sgnx 1 dla X 0 -współczynnk tarca, N-sła nacsku T(X) Rys..6. Wykres tłumena Coulomba. 17

18 Przy ruchu względnym cała drgającego w środowsku ceczy lub gazu, opór może być nelnową funkcją prędkośc zależną od wyższych potęg prędkośc, szczególne przy wększych prędkoścach drgań. Rys..7. Spotykane charakterystyk oporów Tłumene aerodynamczne (opór aerodynamczny): a) Bez uwzględnana ruchu powetrza, wyraża sę wzorem: T X DX ( ) sgn X (.15) gdze: X -wektor prędkośc węzłów konstrukcj b) Uwzględnając ruch powetrza otrzymujemy wzór określający tłumene aerodynamczne (opór aerodynamczny): T( X ) D( X V) sgn( X V) (.16) gdze: V -wektor prędkośc watru Rys..8. Wykres tłumena aerodynamcznego. 18

19 Ponżej pokazana jest rama (rys..9), na przykładze której przedstawono różne rodzaje tłumena występujące w poszczególnych punktach fragmentach konstrukcj. Następne w tab..3 zestawono równana ruchu matematyczne modele tłumena odpowadające różnym punktom fragmentom konstrukcj. Rys..9. Rama pokazująca modele tłumena. Tab..3 Schemat ramy z równanam ruchu modelam tłumena Nr Równane ruchu Modele tłumena T 1 MK X (.17) 1 1 MX KX P(X, X, X, t ) T ( X ) MX KX P(X, X, X, t) T ( X ) T ( X, X ) 1 T NsgnX (.18) MX KX P(X, X, X, t) T ( X ) T ( X, X ) T ( X T X ) 4, T N sgnx MX KX P(X, X, X, t) T ( X ) T ( X, X ) (.19) T5 5N5sgnX (.0) 5 MX KX P(X, X, X, t) T1( X ) T5( X ) T 5 dx sgnx (.1) Uwzględnene wszystkch mechanzmów tłumena drgań, czyl zastosowane różnych model, w których brano by pod uwagę różne rodzaje tłumena w badanej konstrukcj, jest bardzo trudne, dlatego stosuje sę metody, które określają jeden lub klka ekwwalentnych współczynnków tłumena drgań dla całej konstrukcj. 19

20 .4. Metody określające wartośc parametrów tłumena drgań: W lteraturze przedstawone są różne metody określające wartośc parametrów tłumena drgań. Są wśród nch metody teoretyczne (np. metody energetyczne) oraz metody określające tłumene drgań na podstawe analzy wynków badań (fltracyjno-regresyjna, kolokacyjna, na podstawe transmtancj odpowedz konstrukcj, oparta na funkcj autokorelacj odpowedz budowl). Ponżej zostaną omówone nektóre z tych metod Metoda energetyczna (Yamaguch, Ito, 1995) Model ten został opsany przez Yamaguch Ito, gdze jest zastosowany do wyznaczana logarytmcznego dekrementu tłumena drgań budowl, składającej sę z różnych elementów konstrukcyjnych (np.: pomost, słupy cęgna w mostach). Logarytmczny dekrement tłumena drgań określany jest dla - tej postac drgań, tak jak dla układu o jednym stopnu swobody według wzoru: D (.) 4U gdze: D -dyssypowana energa -tej postac drgań (utrata energ w czase jednego cyklu); U - całkowta energa potencjalna -tej postac (w maksymalnym wychylenu). W sytuacj, gdy budowla złożona jest z klku głównych elementów konstrukcyjnych o różnych wartoścach dyssypowanych energ lub jednego elementu, ale złożonego z klku materałów, energa dyssypowana całkowta energa potencjalna zapsane mogą być w następujący sposób: D D j n j 1, U U j n j 1 (.3) gdze: D j udzał energ dyssypowanej j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj) przy -tej postac drgań; U j - udzał energ potencjalnej j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj) przy -tej forme drgań. Energa potencjalna U j składa sę z energ odkształceń V j w zakrese małych przemeszczeń energ wynkającej ze wstępnego napęca U j 0 lub dużych przemeszczeń (w zakrese mechank nelnowej). 0 Uj Vj U j (.4) 0

21 Dyssypowana energa pojedynczego materału (lub fragmentu konstrukcj) może być przedstawona następująco: D V (.5) j j j gdze: j - współczynnk pochłanana (tłumena właścwego) dla danego materału. Ostateczne wartość logarytmcznego dekrementu tłumena drgań w odnesenu do - tej postac drgań, po uwzględnenu zależnośc (.-.5) wynos: 1 n Vj j U j 1 Energa odkształcena V j jest wyznaczona ze wzoru: V j (.6) T 1 ÆKÆ j (.7) gdze: φ unormowany wektor własny -tej postac drgań; K j - macerz sztywnośc j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj). Całkowta energa potencjalna U jest wyznaczana ze wzoru: U n V j j 1 U 0 j (.8).4.. Zmodyfkowana metoda energetyczna (Szulej J. (009)) Korzystając z podstawowych założeń metody energetycznej, przedstawonej wyżej, określono wartośc tłumena, operając sę na energ knetycznej układu. Metoda ta pozwol na bardzej precyzyjne określene tłumena, poneważ uwzględnone równeż zostaną nne elementy tzw. nekonstrukcyjne, których sztywność sę na ogół pomja. Warstwy te mają znaczną energę knetyczną właścwośc tłumące (np. beton asfaltowy w nawerzchn waduktu). Różnca w określenu współczynnka tłumena będze polegała na uwzględnenu maksymalnej energ knetycznej E j, zamast maksymalnej energ potencjalnej. Energa knetyczna może być wyrażona w następującej forme: 1 VMV T E j j (.9) gdze: M j - macerz bezwładnośc j-tego materału w konstrukcj (lub fragmentu konstrukcj), V = φ ω - wektor maksymalnych prędkośc drgań -tej postac, - częstość kołowe drgań własnych -tej postac. 1

22 Ostateczne energę knetyczną można przedstawć wzorem: Ej 1 T j M (.30).4.3. Metoda fltracyjno-regresyjna Określane welkośc parametru tłumena drgań metodą fltracyjno-regresyjną wykonuje sę na podstawe badań drgań własnych badanego obektu. Następne w celu wyodrębnena częstośc kołowych, przeprowadzamy obróbkę wdmową przebegów drgań. Wyznaczane parametru opsującego tłumene polega na wykorzystanu fltracj przebegów czasowych, czyl wykorzystuje sę fltr wąskopasmowy obejmujący pojedynczą częstotlwość. Dzęk temu uzyskuje sę przebeg czasowe zwązane z daną postacą drgań. Otrzymane przebeg czasowe opsuje sę odpowedną krzywą wykładnczą (wzór.31). Dzałana tego typu łatwo przeprowadzć wykorzystując program Catman 4.0, gdze dopasowane krzywej określamy metodą najmnejszych kwadratów. f(t) ae t (.31) Na jej podstawe określamy wartość parametru tłumena drgań (w tym przypadku β). Rys..10 przedstawa przykładowy przebeg przyspeszeń drgań. Rys..10. Określane parametrów drgań metodą wartośc szczytowych Metoda kolokacyjna A. Flag (Flaga, Mchałowsk (000); Mchałowsk T. (00); Szulej J. (009)) Stosowane metody kolokacyjnej wykorzystując przebeg przemeszczeń drgań Kolejność czynnośc przy określanu parametru tłumena tą metodą:

23 1. Pomary drgań swobodnych tłumonych konstrukcj, stosując czujnk przemeszczeń (równeż akcelerometry, tensometry, tp.), dzęk którym uzyskuje sę przebeg czasowe przemeszczeń konstrukcj (u (t)). Przykładowy przebeg drgań przedstawa rys..11. u(t) [m] t [s] Rys..11. Przykładowy przebeg drgań.. Przeprowadzene analzy spektralnej przebegów czasowych u(t) np. za pomocą FFT (szybkej transformacj Fourera), dzęk którym uzyskujemy częstośc kołowe drgań własnych odpowadające lokalnym ekstremom tej funkcj. Tak otrzymaną funkcję sprowadzamy do postac kwadratu modułu transformaty: F u FFT u(t) (.3) Przykładowy wykres kwadratu modułu transformaty przedstawa rys..1. 3,500 3,000,500,000 F u 1,500 1,000 0,500 0,000 0,000 1,000,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 10,000 11,000 1,000 13,000 14,000 [rad/s] Rys..1. Przykładowy kwadrat modułu transformaty przebegu drgań. 3

24 3. Przyjęce założena, że drgana badanej konstrukcj są sumą tłumonych drgań harmoncznych o różnych częstotlwoścach (tłumene opsano zastępczym modelem wskotycznym). t y( t) { A e sn( t) B e cos( t)} t (.33) ( ) ( ) ( ) (.34) 4. Aproksymacja przebegu funkcj F u funkcją F y, opsaną ponższą zależnoścą 1 t Fy y(t) e dt (.35) Aproksymując przyjęto założena, że punkty charakterystyczne to ekstrema modułów F u oraz punkty leżące na 0,5 wysokośc tych ekstremów (rys..13). F F u, y Rys..13 Funkcja aproksymująca [rad/s] Fy charakterystyczne punkty metody. 5. Wyznaczene następujących parametrów: A, β, B Oznaczena: A, B ampltudy, β parametr tłumena, g częstośc kołowe drgań własnych, *- częstość kołowe drgań tłumonych. 4

25 5 Przykładowo borąc pod uwagę powyższe zależnośc otrzymuje sę układ równań nelnowych na wyznaczene parametrów A, B,. Rozpatrując wdmo z trzema wartoścam szczytowym, uzyskuje sę układ dzewęcu nelnowych równań z dzewęcoma newadomym o postac: ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( u g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g F B A A B j A B B B A A B j A B B B A A B j A B B (.36) gdze: = 1 9, zaś 1 g, 5 g, 8 3 g - częstotlwośc rezonansowe, j-jednostka urojona lczby zespolonej. Jak wynka z powyższych zależnośc w kolejnych równanach zmenne u F przyjmują następujące wartośc zestawone w tab..4. Grafczne zobrazowane punktów charakterystycznych pokazuje rys..14. Tab..4. Wartośc zmennych u F w układze składającym sę z dzewęcu równań nelnowych. Nr równ F u max1.5 0 u F F u max1 max1.5 0 u F max.5 0 u F F u max max.5 0 u F max u F F u max 3 max u F

26 F F u, y Rys..14 Wartośc Fu w przypadku trzech ekstremów. Układ równań nelnowych rozwązywano wykorzystując program Mathcad 11. Zawarte są w nm trzy metody rozwązywana równań nelnowych, są to: metoda gradentów sprzężonych, Levenberga-Marquardta Quas-Newtona Stosowane metody kolokacyjnej wykorzystując przebeg przyspeszeń dgrań W tym celu dwukrotne różnczkujemy zależność.33., opsującą przemeszczena drgań. Po tym zabegu otrzymujemy zależność na przyspeszene drgań (.37). d( y(t )) dt n p p p t * t p * [( A e sn( t )) ( B e cos( t ))] (.37) p gdze: A A A B p p, B B B A (.38), Czyl uwzględnając przyspeszena drgań postępując analogczne jak w wypadku uwzględnana przemeszczeń drgań, otrzymujemy dokładne taką samą wartość parametru tłumena, jedyne ampltudy A B doznają wzmocnena, gdy 1 lub osłabena, gdy 1. 6

27 Stosowane metody kolokacyjnej wykorzystując przebeg odkształceń konstrukcj W podejścu tym wykorzystujemy zależnośc mędzy odkształcenem (t) przemeszczenem y (t). Wówczas odkształcene przyjmuje postać wzoru (.39). gdze: A t t k A, B k B, (t) k y(t) {A e sn( t) B e cos( t)} (.39). (.40) Z powyższych relacj wynka, że przeprowadzając pomary odkształceń konstrukcj otrzymuje sę w bezpośredn sposób wartośc ampltud A, B oraz parametru tłumena Metoda half-power bandwth (Bachmann nn, 1991) Współczynnk tłumena -tej postac drgań otrzymujemy wykorzystując analzę wdmową przebegu czasowego drgań. Polega to na odczytanu wartośc trzech częstośc kołowych, którym odpowadają trzy punkty charakterystyczne (ekstremum funkcj punkty leżące na wysokośc 0,707 ekstremum). Przykład transformaty Fourera z określonym punktam charakterystycznym pokazuje rys..15. Metoda ta może być zastosowana dla układów o jednym stopnu swobody lub układów o wyraźne rozseparowanych częstotlwoścach. Wartość logarytmcznego dekrementu tłumena otrzymujemy na podstawe następującej zależnośc: 3 1 (.41) Rys..15 Wykres transformaty Fourera z pokazanem punktów charakterystycznych metody half-power bandwth. 7

28 .4.6. Metoda opartą na transmtancj (funkcj przejśca) odpowedz konstrukcj (Flaga, Kaweck, Kucwaj, 1979) Transmtancja mechanczna wyznaczana jest poprzez modyfkację podstawowego macerzowego równana ruchu: My Cy Ky p (.4) gdze: M, C, K odpowedno dagonalna macerz mas, macerz tłumena, macerz sztywnośc; y, y, y wektor przemeszczeń, prędkośc, przyspeszeń; p wektor obcążeń. Rozwązane macerzowego równana ruchu można przedstawć w postac: y() t h( ) p ( t) d (.43) 0 gdze: h(τ)-macerz odpowedz mpulsowych; Wektor h k (τ) to wektor odpowedz układu na wymuszena typu p 0,0...0, ( ),0...0 T k ; gdze ( ) -delta Draca. k Transmtancja mechanczna jest macerzą H(f), której element H k (f) jest transformatą Fourera odpowedz mpulsowej h k (t): j f Hk ( f) h ( ) 0 k e d (.44) Po wykonanu transformacj Fourera na równanu ruchu (.4), przy wymuszenu mpulsowym w punkce k ( ) otrzymamy: ( 4 f j f ) k k k K M C H 1 (.45) W ogólnośc H k jest welkoścą zespoloną może być przedstawona w postac: jk H H e Re H jim H (.46) k k k k Re Hk Hk (Re Hk ) (Im Hk ) ;arg Hk k arctg (.47) Im H k gdze: Hk, odpowedno moduł transmtancj argument transmtancj. k 8

29 Jeżel przyjmemy oznaczene (.47) uzyskujemy równane: ReGRe H Im GIm H j Im GRe H ReGIm H 1 (.48) k k k k k Realzując wymuszena jednostkowym mpulsam kolejno we wszystkch wejścach k uzyskujemy pełną macerz transmtancj H(f): Re H ReGIm G ReG Im G 1 k Im H ReG ImGRe H k k k (.49) Po dokonanu transformacj Fourera na równanu (.43) otrzymujemy równane: Y() = H()P()=F[y(t)] (.50) gdze: Y(), P() są transformatam Fourera odpowedz konstrukcj oraz przyłożonego obcążena, zaś H() to transmtancja mechanczna (wzmocnene układu). Znając macerz transmtancj H() oraz transformatę P(), w prosty sposób możemy określć odpowedź układu poprzez wyznaczene odwrotnej transformaty Fourera: y(t) = F -1 [Y()=F -1 H()P() (.51) Porównując transmtancje mechanczne pomerzone prognozowane jak wyżej można wyznaczać parametry tłumena drgań stosując np. metodę kolokacyjną. 9

30 3. Przykładowe zestawena logarytmcznego dekrementu tłumena drgań dla materałów, elementów konstrukcj obektów budowlanych Rozdzał jest podzelony na trzy podpunkty prezentuje wartośc logarytmcznego dekrementu tłumena drgań δ dla wybranych materałów, elementów konstrukcj budowl Wartośc tłumena wybranych materałów Orentacyjne wartośc tłumena materałowego, wyrażone w logarytmcznym dekremence tłumena δ, przedstawono w tab Parametr tłumena określano wymuszając drgana gętne. Tab Wartośc tłumena materałowego przy drganach gętnych (Dyląg nn, 1997) 30 Materał Wartość δ mnmalna maksymalna średna Stal 0,005 0,015 0,010 Żelwo - - 0,115 Medź - - 0,165 Alumnum 0,015 0,0 0,018 Sosna 0,035 0,05 0,04 Buk 0,035 0,07 0,05 Dąb - - 0,110 Guma 0,1 0,6 - Korek naturalny - - 0,019 Szkło 0,006 0,011 0,009 Beton - - ok. 0,3 Grunt budowlany (ścskane) 0,35 0,65 0,500 Wartośc tłumena materałowego, wyrażone w logarytmcznym dekremence tłumena drgań δ, dla ośmu głównych materałów przedstawa tab. 3..

31 Tab. 3.. Wartośc tłumena materałowego (Bachmann, 1991) Materał Wartość δ mnmalna maksymalna średna Żelbet słabo wytężony (nezarysowany) 0,045 0,063 0,054 Żelbet średno wytężony (zarysowany) 0,063 0,50 0,157 Żelbet mocno wytężony (zarysowany) 0,031 0,50 0,141 Beton sprężony 0,05 0,045 0,035 Beton częścowo sprężony 0,050 0,075 0,063 Konstrukcja zespolona 0,013 0,00 0,017 Drewno 0,063 0,094 0,079 Stal 0,006 0,013 0, Wartośc tłumena elementów konstrukcj Przykładowe wartośc δ dla elementów konstrukcyjnych, przy drganach gętnych zostały przedstawone w tab Tab Wartośc tłumena drgań elementów konstrukcj (Dyląg nn, 1997) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Żelbetowe stropy 0,16 0,39 0,7 Żelbetowe stropy w budownctwe welkopłytowym przed powązanem z całoścą konstrukcj 0,10 0,1 0,11 Żelbetowe stropy po powązanem z całoścą konstrukcj 0, 0,3 0,6 Żelbetowe sklepena odcnkowe na belkach stalowych 0,18 0,5 0,34 Ceglane sklepena odcnkowe na belkach stalowych 0,3 0,45 0,35 Żelbetowe belk podsuwncowe przed wykonanem (umonoltycznenem) styków 0,1 0, 0,16 Żelbetowe belk podsuwncowe po wykonanu styków 0,19 0,8 0,3 Żelbetowe belk 0,17 0,39 0,8 Żelbetowe ramy 0,08 0, 0,15 Drewnane belk klejone - - 0,06 Drewnane belk ze ścanką na rąb (gwoźdzowane) 0,085 0,05 0,15 Drewnane stropy na belkach skrzynkowych, klejonych 0,115 0,15 0,165 Drewnane stropy na belkach pełnych - - 0,175 Ceglany mur na zaprawe cementowo-wapennej - - 0,4 Kamenny mur na zaprawe cementowej - - 0,19 Kamenny mur na zaprawe cementowo-wapennej - - 0, Kamenny mur na zaprawe wapennej - - 0,33 31

32 Wartośc δ dla stropów w różnych fazach budowy, przedstawono w tab. 3.4, gdze zestawono trzy wartośc parametru tłumena ze względu na stan wykończena stropu. Tab Wartośc tłumena drgań stropów (Bachmann, 1991) Elementy konstrukcj Zalecana wartość δ Strop newykończony 0,19 Strop z warstwam podłogowym, podsuftką, obc. meblam 0,38 Strop j.w. obcążony ścankam dzałowym 0,75 Tab przedstawają wartośc tłumena drgań stropów jako konstrukcj wsporczych pod maszyny wartośc parametrów tłumena stropów w salach sportowych tanecznych. Tab Wartośc δ dla stropów jako konstrukcj wsporczych pod maszyny (Bachmann, 1991) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Strop żelbetowy 0,063 0,157 0,107 Strop sprężony 0,044 0,16 0,08 Strop welowarstwowy 0,05 0,075 0,044 Strop stalowy 0,019 0,050 0,031 Tab Wartośc δ dla stropów sal sportowych tanecznych (Bachmann, 1991) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Strop żelbetowy 0,088 0,0 0,160 Strop sprężony 0,063 0,190 0,130 Strop welowarstwowy 0,031 0,160 0,100 Strop stalowy 0,038 0,130 0,075 Wartośc δ dla stropów przestawono w tab. 3.7, belek ram w tab Wartośc parametrów tłumena pochodzą z badań. 3

33 Tab Wartośc tłumena drgań stropów (Bachmann, 1991) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Strop żelbetowy, żebrowy 0,163 0,39 0,-0,8 Strop żelbetowy, płytowy 0,101 0,30 0,11-0,6 Strop drewnany 0,119 0,6 0,16-0,1 Strop murowany 0,05 0,3 0,15 Tab Wartośc tłumena drgań belek ram (Bachmann, 1991) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Belk ramy żelbetowe 0,088 0,390 0,130-0,50 Belk ramy stalowe 0,031 0,10 0,038-0,057 Belk ramy drewnane, zwykła, klejona 0,038 0,10 0,050-0,151 Belk ramy drewnane, złożone, gwoźdzowane 0,088 0,10 0,151 Wartośc δ przęseł pylonów mostów wszących wyrażone za pomocą logarytmcznego dekrementu tłumena, pokazano w tab Tab Wartośc δ przęseł pylonów mostów wszących (Bachmann, 1991, Blevns, 001) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Przęsło 0,013 0,58 0,075 Pylon 0,013 0,038 - Wartośc δ dla pozostałych elementów konstrukcyjnych zostały pokazane w tab Tab Wartośc tłumena drgań elementów konstrukcyjnych (Bachmann, 1991) Elementy konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Kratownce stalowe 0,057 0,51 0,101-0,151 Stalowe kontrukcje cenkoścenne 0,019 0,08 0,031-0,050 Elementy sprężone - 0,151 0,050-0,08 Ścany ceglane 0,101 0,30 0,01-0,51 Ścany kamenne 0,119 0,333 0,3 33

34 3.3. Wartośc tłumena konstrukcj budowlanych Wartośc δ dla budynków ze względu na wysokość lub lczbę kondygnacj, przedstawa tab Tab Wartośc parametrów tłumena drgań budynków (Bachmann, 1991, Blevns, 001) Lczba kondygnacj lub wysokość budynku 1 ~ ~ 0 > 0 ~ 50m > 100 m Konstrukcja Wartość δ mnmalna maksymalna średna stalowa 0, ,163 żelbetowa 0,031 0,779 0,170 stalowa 0,05 1,54 0,157 żelbetowa 0,044 0,660 0,01 stalowa 0,013 0,314 0,107 żelbetowa 0,05 0,691 0,163 stalowa 0,093 0,157 0,16 żelbetowa 0,14 0,188 0,157 stalowa 0,044 0,08 0,06 żelbetowa 0,06 0,16 0,093 Wartośc δ dla budynków, ze względu na użyty materał wartość sły wzbudzającej tab Tab Wartośc parametrów tłumena budynków (Blevns, 001) Typ konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Budynk stalowe, słabe wzbudzene 0,019 0,3 0,094 Budynk stalowe, slne wzbudzene 0,16 0,710 0,30 Budynk żelbetowe, słabe wzbudzene 0,063 0,195 0,107 Budynk żelbetowe, slne wzbudzene 0,107 1,040 0,47 Blevns Bachmann zebral równeż wartośc δ dla weż z podzałem ze względu na rodzaj konstrukcj (tab. 3.13). 34

35 Tab Wartośc parametrów tłumena drgań weż (Bachmann, 1991, Blevns, 001) Typ konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Weża żelbetowa, nezarysowana 0,031 0,050 0,038 Weża żelbetowa, zarysowana 0,08 0,119 0,101 Weża żelbetowa 0,063 0,119 0,088 Weża stalowa 0,013 0,18 0,057 Wartośc δ masztów komnów ze względu na rodzaj konstrukcj, przedstawa tab Tab Wartośc tłumena masztów komnów (Bachmann, 1991) Typ konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Maszty wolnostojące, stalowe, spawane 0, Komny stalowe, z wykładzną ceramczną 0,044 0,68 - Komny stalowe, bez wykładzny ceramcznej 0,05 0,094 - Zestawono równeż wartośc δ dla kładek ze względu na materał użyty do ch budowy, tab Tab Wartośc tłumena kładek (Bachmann, 1991) Typ konstrukcj Wartość δ mnmalna maksymalna średna Kładk żelbetowe 0,050 0,16 0,08 Kładk sprężone 0,031 0,107 0,063 Kładk welowarstwowe 0,019-0,038 Kładk stalowe 0,013-0,05 Wartośc logarytmcznych dekrementów tłumena drgań δ dla smukłych budowl żelbetowych, z uwzględnenem podzału na składowe zwązane z tłumenem materałowym (δ 1 ), składowe zwązane z tłumenem konstrukcyjnym (δ ) składowe zwązane z przekazywanem energ na grunt przez fundament (δ 3 ), przedstawa tab Całkowty parametr tłumena δ jest sumą trzech składowych parametrów, czyl: δ = δ 1 + δ + δ 3 35

36 Tab Wartośc δ dla smukłych budowl żelbetowych (Bachmann, 1991) Rodzaj materału Składowa δ 1 zwązana z tłumenem materałowym Żelbet nezarysowany, beton sprężony 0,05 Żelbet zarysowany 0,045 Rodzaj konstrukcj Składowa δ zwązana z tłumenem konstrukcyjnym Konstrukcja powłokowa lub skrzynowa bez usztywneń 0,00 Konstrukcja powłokowa lub skrzynowa z usztywnenam 0,035 Konstrukcja ramowa bez elementów nekonstrukcyjnych 0,05 Konstrukcja ramowa z elementam nekonstrukcyjnym 0,040 Komny weże bez elementów nekonstrukcyjnych 0,010 Komny weże z elementam nekonstrukcyjnym 0,015 Rodzaj podparca lub posadowena Składowa δ 3 zwązana z przekazywanem energ na grunt przez fundament Podpora przegubowa rolkowa 0,005 Podpora przegubowa elastomeryczna 0,015 Utwerdzona konstrukcja ramowa 0,010 Konstrukcja zamocowana wspornkowo na podporze stalowej 0,010 Konstrukcja zamocowana wspornkowo na podporze betonowej 0,005 skalstym 0,005 Konstrukcja zamocowana wspornkowo w podłożu: żwrowym 0,008 paszczystym 0,010 na palach 0,015 36

37 4. Układ pomarowy (tor pomarowy) Układ pomarowy zastosowany w badanach składał sę z następujących elementów: Akcelerometrów B00, frmy HBM, merzących przyspeszena w jednym kerunku. Akcelerometry mocowane były do elementów konstrukcj model w mejscach maksymalnych ampltud przyspeszeń, służyło to wyłapanu możlwe najwększej lczby postac drgań. Czujnk mocowane były do prętów wbjanych we wcześnej wywercone otwory na konstrukcjach przez użyce zacsków madełkowych. Analzatora analogowo-cyfrowego Spder 8, frmy HBM. Rejestrowany na czujnkach przyspeszeń sygnał analogowy urządzene to przetwarza na cyfrowy przesyła przez adapter do komputera przenośnego. Rejestrator posada układ ośmu gnazd pozwalających na jednoczesne podłączene ośmu czujnków. Adaptera USB-LPT1, frmy HBM. Urządzene służy połączenu rejestratora Spder 8 wyposażonego w gnazdo LPT1 z komputerem przenośnym posadającym wejśce USB. Komputera przenośnego Asus F3JP z oprogramowanem Catman 4.0. Komputer oprogramowane służyło zapsywanu sygnału z wcześnej określoną częstotlwoścą. Program Catman 4.0 pozwalał równeż na obróbkę danych (przeprowadzene fltracj transformat Fourera na uzyskanych przebegach przyspeszeń). Dane w ten sposób uzyskane były podstawą do oblczeń parametrów tłumena drgań metodam omówonym wcześnej. Schemat pokazany nżej (rys.4.1), przedstawa kolejność używanych urządzeń podczas badań konstrukcj model. Rys Schemat blokowy toru (układu) pomarowego. 37

38 5. Obróbka wynków badań błędy, jake mogą sę pojawć przy stosowanu metody kolokacyjnej 5.1. Ogólna obróbka wynków badań Przeprowadzając obróbkę wynków badań, czyl uzyskanych przebegów czasowych (przemeszczeń, przyspeszeń, odkształceń) trzeba pamętać o ponżej zestawonych zasadach Mejsca pomarów na konstrukcj Podczas badań trzeba zwrócć uwagę na właścwe rozmeszczene czujnków na badanej konstrukcj. Wyberamy take mejsca na konstrukcj, aby wyłapać jak najwęcej częstośc własnych. Wąże to sę z unkanem tzw. węzłów, czyl mejsc na konstrukcj, które po wymuszenu drgań doznają mnmalnych przemeszczeń Czas mejsce pomaru drgań częstotlwość próbkowana Czas pomarów pownen objąć jak najdłuższy fragment drgań tłumonych zankających, a częstotlwość próbkowana pownna być co najmnej równa częstotlwośc Nyqusta (Częstotlwość próbkowana 1/Δt mus być co najmnej równa lub wększa od podwojonej maksymalnej częstotlwośc, którą chcemy uzyskać w spektrum f max ). W praktyce wystarczająca jest częstotlwość próbkowana równa 100Hz. Przypadek źle dobranej częstośc próbkowana przedstawa rys Rys Przykład newłaścwego próbkowana sygnału. 38

39 Wyodrębnene marodajnej częśc sygnału Uzyskane przebeg czasowe trzeba pozbawć częśc zawerającej wymuszene zastosować fltr dolnoprzepustowy, aby odrzucć część sygnału zawerającą szum (jeśl po zanku drgań nadal wykonywane były pomary) Pozbyce sę trendu Ważnym zagadnenem jest trend, który pozostawony w sygnale znekształca w dużym stopnu wdmo częstotlwoścowe, przez co znacząco zmena otrzymywane wartośc δ Fltracja przebegów drgań Chcąc uzyskać przebeg zwązane z daną częstoścą własną, wykorzystuje sę fltrację przebegów. Stosujemy wtedy fltry cyfrowe wąskopasmowe (np. Bessel, Butterworth, Chebyschev). Rys. 5. przedstawa wąskopasmowy fltr Butterworth a; drugego, czwartego ósmego rzędu. Fltrację przebegów czasowych stosujemy równeż w celu pozbyca sę wysokch częstotlwośc, które zaburzają początkowy zakres częstotlwośc w wdme mocy. Stosujemy wtedy fltry pasmowe dolnoprzepustowe (rys. 5.3). Rys. 5.. Wąskopasmowy pasmowy dolnoprzepustowy fltr, typ: Butterworth. Rys. 5.3 Pasmowy dolnoprzepustowy fltr, typ: Butterworth Szybka transformata Fourera (FFT) Szybka transformacja Fourera to algorytm lczena dyskretnej transformaty Fourera. Postać wzoru na oblczane FFT przedstawa zależność

40 c j 1 1 n n k 0 f ( x k ) e k j n, x k k,, k 0,1..., n 1, j 0,1..., n 1 (5.1) n 5.. Najczęścej występujące problemy popełnane błędy przy stosowanu metody kolokacyjnej Wykonując oblczena parametrów tłumena drgań metodą kolokacyjną, trzeba meć na uwadze: Problem blskośc ekstremów Czasam przeprowadzając obróbkę wdmową przebegów czasowych, otrzymujemy wdma drgań o bardzo blskch pkach, w których ne ma możlwośc odczytana wartośc funkcj F an odpowadających m częstotlwośc kołowych punktów charakterystycznych (rys. 5.4). Dotyczy to wąskego zakresu przypadków, np. masztów, rzadzej mostów kładek. Dla takch blsko zgrupowanych częstotlwośc ne jest możlwe zastosowane metody kolokacyjnej do określana parametrów tłumena drgań. Rys Wdmo mocy z blskm częstoścam. ω[rad/s] 5... Różnce rzędnych W przypadku wystąpena wdma drgań z pkam o różnych ampltudach (rys. 5.5), w oblczenach metodą kolokacyjną brano pod uwagę tylko pk reprezentatywne (o ampltudze ne różnącej sę o węcej nż o 30% od pku o najwększej ampltudze w rozpatrywanym wdme). Uwzględnano jednak wpływ pków o małej ampltudze na pk reprezentatywne. Częstotlwośc kołowe o nskch ampltudach zanedbywano, gdyż obarczone są one dużym błędem wynkającym z małego stopna ujawnena w wdme. 40

41 Rys Wdmo mocy z jedną reprezentatywną częstoścą kołową. ω [rad/s] Netrafene w wartośc szczytowe Równana nelnowe metody kolokacyjnej wymuszają dokładne określene wartośc punktów charakterystycznych w wdme. Dotyczy to wartośc częstotlwośc kołowych wartośc funkcj w punktach charakterystycznych. Nedokładne ch określene, np. przez uwzględnene wdma sygnału o nskej częstotlwośc próbkowana krótkm czase powoduje powstane znacznych rozrzutów w oblczanych parametrach tłumena. Na rys. 5.6 pokazano przykład newłaścwego wdma różnc w odczytywanych częstoścach kołowych pków. ω [rad/s] Rys Wdmo mocy sygnału o nskej częstotlwośc próbkowana krótkm czase pomaru Problem wdm przyspeszenowych przemeszczenowych Stosując metodę kolokacyjną wymagane są wdma z wyraźnym pkam. Oczywsty jest fakt, że ampltuda danej częstośc własnej w wdme uzależnona jest od mejsca zamocowana czujnka, rodzaju badanej konstrukcj. Na ampltudę częstośc własnej w wdme duży wpływ ma równeż transformowany sygnał, tzn. czy jest to przebeg czasowy przyspeszeń lub przemeszczeń. W nektórych przypadkach, borąc pod uwagę przyspeszena drgań konstrukcj, otrzymać można słabo ujawnone częstośc własne w wdme mocy, szczególne w zakrese częstotlwośc do ok. 1Hz (rys. 5.7). 41

42 Rys Wdmo mocy przyspeszenowe. ω [rad/s] Właścwe są wtedy pomary przebegów czasowych przemeszczeń konstrukcj, poneważ po przeprowadzenu obróbk wdmowej otrzymujemy przemeszczenowe wdma mocy, ze wzmocnonym ampltudam częstośc własnych w początkowym zakrese częstośc wdma (rys. 5.8). Nasuwa sę następujący wnosek: jeśl chcemy otrzymać wyraźnejsze częstośc własne w wdme, w przedzale częstotlwośc do ok. 1 Hz wygodnejsze jest przeprowadzane pomarów przemeszczeń konstrukcj. Rys. 5.8 Wdmo mocy przemeszczenowe. ω [rad/s] Metodę rozwązana układu równań nelnowych W oblczenach parametru tłumena δ metodą kolokacyjną przeprowadzanych z wykorzystanem wdm częstotlwoścowych np.: z trzema pkam, otrzymuje dzewęć slne nelnowych równań postac (zależność 5.). Do rozwązywana równań nelnowych wykorzystano trzy metody zawarte w programe Mathcad 11. Równana rozwązywano metoda prób, podstawając różne wartośc początkowe parametrów A, B, β. Wynk uznawano za marodajny, kedy z dwóch metod rozwązywana równań nelnowych otrzymywano ten sam wynk. 4

43 ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( ) (4 ) ( u g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g F B A A B j A B B B A A B j A B B B A A B j A B B (5.) Fltrowane przebegów W nektórych przypadkach, przed obróbką wdmową używano fltrów pasmowych dolnoprzepustowych. Służyło to wyelmnowanu wysokch częstośc zaburzających całe pasmo częstotlwoścowe sygnału. Newłaścwy rząd fltra neprawdłowy zakres fltrowanych częstotlwośc może doprowadzć do znacznej zmany wdma mocy sygnału doprowadzć do błędnego określene parametru tłumena.

44 6. Badana: Modele 6.1. Model złożony Płyta żelbetowa płyta żelbetowa plus styropan desk Ops konstrukcj model Badana przeprowadzono na dwóch modelach płytowych. Ponżej przedstawono ops fotografe model. Perwszy model; płyta żelbetowa oparta na dwóch dwuteownkach podpartych przegubowo. Wymary charakterystyczne dane dotyczące modelu: grubość płyty 7cm, klasa betonu B5, zbrojene główne płyty pręty średncy 1mm w rozstawe 17cm. Szerokość płyty 3.5m, długość 3,84m. Rozstaw dwuteownków 3.18m. Długość dwuteownków 3.84m. Model nr 1 przedstawa rys Drug model; układ jak wyżej plus styropan grubośc 4cm, klejony do płyty żelbetowej desk grubośc 1 cal oparte na belkach drewnanych o wymarach 5cm x 10cm, rozstaw belek drewnanych ok. 100cm. Belk drewnane przykręcone śrubam do płyty żelbetowej. Model nr przedstawa rys. 6.. Rys. 6.1 Płyta żelbetowa oparta na dwóch dwuteownkach. Rys. 6.. Płyta żelbetowa oparta na dwóch dwuteownkach plus styropan drewno. 44

45 Model komputerowy (MES) drgana własne stropu W celu wyznaczena zestawu postac oraz częstotlwośc drgań własnych posłużono sę jednym paketów MES, jakm jest program ALGOR. Stworzono modele MES analzowanych układów płytowych, a następne wykonano lnową analzę modalną za pomocą modułu o nazwe SSAP1, który posługuje sę metodą teracj podprzestrzen przy wyznaczanu początkowych postac wartośc drgań własnych. Kompletność znalezonych wartośc własnych sprawdzana jest za pomocą szeregów Sturma. W oblczenach wykorzystano pokazany na rys. 6.3 model MES płyty nr 1. Rys Model MES płyty żelbetowej opartej na dwóch dwuteownkach. W wynku analzy modalnej otrzymano zestaw pęcu perwszych postac drgań własnych. Zestawene częstotlwośc oraz postac drgań analzowanych konstrukcj przedstawono w tablcy tab. 6.1 tab. 6.. Tab Zestawene częstotlwośc oraz postac drgań modelu nr 1 Numer drgań Częstotlwość [Hz] Postace drgań Perwsza gętna ponowa symetryczna Perwsza gętna ponowa antysymetryczna Druga gętna ponowa symetryczna Druga gętna ponowa antysymetryczna Gętna ponowa złożona 45

46 Tab. 6.. Zestawene częstotlwośc oraz postac drgań modelu nr Numer drgań Częstotlwość [Hz] Postace drgań Perwsza gętna ponowa symetryczna Perwsza gętna ponowa antysymetryczna Druga gętna ponowa symetryczna Druga gętna ponowa antysymetryczna Gętna ponowa złożona Na rysunkach ponżej przedstawono perwszą (rys. 6.4), drugą (rys. 6.5) pątą (rys. 6.6) postać drgań własnych modelu nr 1, poneważ w oblczenach wdm mocy te trzy postace najwyraźnej sę ujawnły. Rys Perwsza postać drgań własnych modelu nr 1( 1 = 6.86Hz). Rys Druga postać drgań własnych modelu nr 1 ( 1 = 1.608Hz). Rys. 6.6 Pąta postać drgań własnych modelu nr 1 ( 1 = Hz) Rozmeszczene czujnków Czujnk zostały rozmeszczone na os podłużnej model. Perwszy zamocowano w połowe długośc, drug w 3/8 długośc, trzec w 1/4 długośc płyty. Sygnał próbkowano z częstotlwoścą 100Hz, szerokość pasma 150 Hz. Schemat usytuowana czujnków pokazany został na rysunku

47 Rys Schemat modelu nr 1 nr pokazujący rozmeszczene czujnków mejsc gdze dokonywano wymuszeń drgań Sposób wymuszena Drgana modelu wymuszano przez uderzena drewnaną belką w cztery punkty pokazane na rys Wymuszene nr 1 realzowane było w poblżu czujnka nr 3, wymuszene nr neopodal czujnka nr, wymuszene nr 3 w 1/4 długośc dwuteownka, wymuszene nr 4 w połowe długośc dwuteownka Wynk oblczeń parametrów tłumena Po przeprowadzenu obróbk wdmowej otrzymanych z badań przebegów drgań, wybrano trzy reprezentatywne częstośc drgań własnych, tj, perwszą, drugą pątą. Logarytmczny dekrement tłumena drgań dla perwszej, drugej pątej postac drgań własnych oblczano dwema metodam: Metodą kolokacyjną (Wdmo mocy: Auto power spectrum ; program Catman 4.0), Metodą energetyczną (bazującą na maksymalnej energ knetycznej drgającego układu), do oblczeń przyjęto: δ stal =0,01, δ żelbet =0,15 δ drewno =0,08. Oblczając parametry tłumena drgań metodą kolokacyjną brano pod uwagę maksymalne trzy reprezentatywne częstotlwośc własne. W przypadku wystąpena w wdme mocy czterech częstotlwośc własnych (rys. 6.8), gdze perwsza druga częstość jest wyraźne odseparowana od trzecej czwartej oblczena przeprowadzano oddzelne dla dwóch perwszych dwóch ostatnch. Jeśl jedna z częstotlwośc własnych w wdme mała małą ampltudę (np.: częstotlwość czwarta rys. 6.8) uwzględnano ją w oblczenach tylko ze względu na jej wpływ na częstotlwość o wększej ampltudze (np. na częstotlwość numer trzy z rys. 6.8). Ponżej przedstawono dwa przykładowe wdma przyspeszeń drgań (rys. 6.8 rys. 6.9). 47