o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF

Transkrypt

1 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF Wrocław, ul. Wieniawskiego Aksjomat wyboru Źródłem zastrzeżeń pod adresem aksjomatu wyboru są nie tylko jego paradoksalne konsekwencje, ale również sam ten aksjomat. Otóż ma on zupełnie inny charakter niż pozostałe aksjomaty systemu ZF: jest mianowicie niekonstruktywny, tzn. postuluje istnienie pewnego zbioru bez podawania jakichkolwiek bliższych informacji o nim z tego też powodu jest on zdecydowanie odrzucany na przykład przez intuicjonistów. Co więcej: w odróżnieniu od pozostałych aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla ZF postulujących istnienie pewnych zbiorów, które są określone jednoznacznie przez wskazane warunki (i aksjomat ekstensjonalności), zbiór, którego istnienie głosi aksjomat wyboru, nie jest określony jednoznacznie. Zatem dla danej rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych może istnieć wiele zbiorów-reprezentantów w sensie aksjomatu wyboru /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 180/. Świadomość trudności (głównie natury filozoficznej) związanych z aksjomatem wyboru, z jednej strony, a jednocześnie fakt jego niezbędności w wielu działach matematyki, z drugiej, powodują, że wielu matematyków wyraźnie odróżnia twierdzenia udowodnione bez niego od tych, w dowodzeniu których jest on potrzebny, zaznaczając to explicite przy każdym takim twierdzeniu. Ta szczególna pozycja aksjomatu wyboru spowodowała też, że tak dużo uwagi poświęcano mu (i nadal się poświęca) w badaniach nad podstawami teorii mnogości. Dzieli on to specjalne zainteresowanie i hipotezą kontinuum /Tamże, s Aksjomat wyboru dołączony do teorii mnogości Zermela-Fraenkla. Oba podejścia, tzn. podejście aksjomatyczne Zermela i podejście teoriotypowe Russella, znalazły licznych zwolenników, którzy rozwijali ich idee. I tak system Zermela w wyniku ulepszenia przez Abrahama A. Fraenkla ( ) i Thoralfa A. Skolema ( ) przyjął postać teorii mnogości Zermela- Fraenkla oznaczanej krótko symbolem ZF (lub ZFC, jeśli dołączyć aksjomat wyboru). Nieco odmienne ujęcie aksjomatyczne zaproponował John von Neumann ( ). W odróżnieniu od Zermela, który upatrywał źródeł antynomii w istnieniu zbiorów bardzo dużych, von Neumann uważał, że nie sam fakt istnienia takich zbiorów prowadzi do antynomii, lecz raczej to, że dopuszczamy, by zbiory takie były elementami innych zbiorów. Idea ta doprowadziła do powstania teorii mnogości von Neumanna-Godla-Bernaysa, oznaczanej zwykle jako GB, w której mamy do czynienia ze zbiorami i klasami, przy czym klasa X jest zbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje klasa Y taka, że X Y /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 172/. W teorii tej przyjmuje się też predykatywny aksjomat wyróżniania, który postuluje istnienie klasy X złożonej dokładnie z tych elementów x, które spełniają daną własność predykatywną, tzn. własność nie zawierającą kwantyfikatorów wiążących zmienne klasowe, czyli kwantyfikatorów typu: dla każdej klasy X..., czy istnieje taka klasa X, że... ( może zawierać oczywiście kwantyfikatory wiążące zmienne zbiorowe). Odrzucenie tego ograniczenia i dopuszczenie w aksjomacie wyróżniania 1

2 dowolnych formuł prowadzi do systemu teorii mnogości M, zwanego systemem Morse'a / Dodajmy, że rozważanie takiego aksjomatu wyróżniania zostało po raz pierwszy zasugerowane przez W. V.O. Quine'a w pracy z roku 1940, a następnie przez Hao Wanga (1949) i A. P. Morse'a (1965)/ /Tamże, s Aksjomat wyboru dołączony do teorii mnogości ZF; oraz dołączenie uogólnionej hipotezy kontinuum nie daje żadnych nowych informacji o liczbach naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są bez znaczenia dla naszej wiedzy o liczbach naturalnych Czy nieskończoność jest w ogóle potrzebna w matematyce skończonej. Gödel w swej słynnej pracy z roku 1931, w której udowodnił niezupełność arytmetyki, napisał: Skonstruowane tutaj zdania nierozstrzygalne staną się rozstrzygalne, jeżeli dołączyć [do arytmetyki uwaga moja, R. M.] odpowiednie wyższe typy. Ponieważ zdania nierozstrzygalne Gödla mają charakter skończony, tzn. mówią o obiektach skończonych (liczbach naturalnych), zatem opinia Gödla sprowadza się do tezy, że nieograniczone iteracje pozaskończone operacji brania zbioru potęgowego są konieczne dla matematyki skończonej. Nie mogąc tu wchodzić w skomplikowane szczegóły techniczne badań związanych z tą tezą powiedzmy tylko, że nowe wyniki na temat niezupełności arytmetyki liczb naturalnych (o których pisaliśmy w rozdziale II.3, poświęconym formalizmowi), tzn. wyniki J. Parisa, L. Harringtona i L. Kirby ego, stanowią potwierdzenie opinii Godla. Jak pamiętamy, podają one przykłady zdań arytmetycznych (tzn. mówiących o liczbach naturalnych i ich własnościach) nie mających dowodów czysto arytmetycznych. Są to zatem zdania, których dowody wymagają użycia środków pozaskończonych wykraczających poza dziedzinę liczb naturalnych. Pokazują one więc, że co najmniej pierwszy stopień pozaskończoności w teorii mnogości Cantora jest konieczny dla matematyki (dokładniej: kombinatoryki) skończonej. Wspomnieć tu też warto o twierdzeniu Kreisla głoszącym, że jeśli jest zdaniem języka arytmetyki Peana (czyli zdaniem mówiącym o liczbach naturalnych) takim, że można udowodnić na gruncie aksjomatów teorii mnogości ZF + AC + GCH, to można je również udowodnić w oparciu o aksjomaty samej teorii mnogości ZF. Twierdzenie to mówi zatem, że teoria mnogości ZF wraz z aksjomatem wyboru oraz uogólnioną hipotezą kontinuum jest zachowawczym rozszerzeniem teorii mnogości ZF względem zdań o liczbach naturalnych. Innymi słowy: dołączenie do teorii mnogości ZF aksjomatu wyboru oraz uogólnionej hipotezy kontinuum nie daje żadnych nowych informacji o liczbach naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są bez znaczenia dla naszej wiedzy o liczbach naturalnych /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s Aksjomat wyboru dyskutowany w roku 1913 przyczynił się do dostrzeżenia przydatności pojęcia ciągu wyborów do intuicjonistycznej analizy kontinuum. Chcąc rekonstruować matematykę klasyczną Brouwer natknął się przede wszystkim na problem kontinuum. Początkowo głosił poglądy podobne do poglądów Borela, później jednak podjął próby wyjaśnienia natury i istoty zarówno kontinuum jak i liczb naturalnych odwołującego się do pierwotnej intuicji apriorycznego czasu. W roku 1913 dostrzegł przydatność pojęcia ciągu wyborów (ang. choice sequence) (które pojawiło się już u Borela w związku z dyskusją aksjomatu wyboru) do intuicjonistycznej analizy 2

3 kontinuum. Pojęcie to stało się z czasem jednym z podstawowych w intuicjonizmie. Aby je nieco przybliżyć, (nie mogąc wchodzić w szczegóły) powiedzmy tu tylko, że ciąg wyborów a liczb naturalnych można rozumieć jako nie zakończony proces wybierania wartości 1, 2, 3,... dokonywany przez wyidealizowanego matematyka; na każdym kroku określa on tylko skończenie wiele wartości ciągu oraz formułuje ewentualnie pewne ograniczenia dotyczące przyszłych wyborów. Stosowanie ciągów wyborów do liczb wymiernych prowadzi do intuicjonistycznej koncepcji kontinuum i w rezultacie stanowi podstawę analizy intuicjonistycznej. W Brouwerowskiej teorii mnogości głównym pojęciem jest pojęcie rozwinięcia (ang. spread). W uproszczeniu można powiedzieć, że rozwinięcie jest to drzewo skończonych ciągów liczb naturalnych takich, że każdy ciąg ma co najmniej jeden następnik, plus prawo L, które przyporządkowuje obiekty ze skonstruowanej wcześniej dziedziny wierzchołkom tego drzewa. Ciągi wyborów wewnątrz danego rozwinięcia odpowiadają nieskończonym gałęziom drzewa. Brouwer nazywa ciąg L( 1), L( 2), L( 3),..., gdzie jest nieskończoną gałęzią, elementem rozwinięcia /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s.110/. Pojęcie rozwinięcia uzupełnia pojecie gatunku (ang. species), będące odpowiednikiem klasycznego pojęcia zbioru. Można myśleć o gatunku jako o zbiorze elementów wyodrębnionych za pomocą jakiejś własności ze skonstruowanej wcześniej całości (tak jak się to czyni na przykład w przypadku aksjomatu wyróżniania w teorii mnogości) /Tamże, s Aksjomat wyboru krytykowany przez intuicjonistów, podobnie semiintuicjoniści francuscy. Konsekwencją stanowiska konceptualistycznego jest odrzucenie metody aksjomatycznej jako metody budowania (i ugruntowywania) matematyki. Nie można bowiem postulować tylko istnienia obiektów, jak się to czyni w metodzie aksjomatycznej, ale należy je uprzednio skonstruować. Podobnie rzecz się ma z własnościami obiektów. W związku z tym należy w szczególności odrzucić na przykład aksjomatykę Peana dla liczb naturalnych czy aksjomatykę Zermela dla teorii mnogości. Intuicjoniści szczególnie ostro krytykowali podobnie jak semi-intuicjoniści francuscy zwłaszcza aksjomat wyboru (por. dodatek o teorii mnogości). Aksjomat ten jest bowiem według nich jaskrawym przykładem postulowania istnienia zbioru, którego myśl nasza nie jest na ogół w stanie określić. Inną konsekwencją tezy konceptualistycznej jest odrzucenie przez intuicjonizm istnienia nieskończoności aktualnej. Umysł ludzki może konstruować obiekty jakiegoś rodzaju, na przykład liczby, ale nie może nigdy wykonać nieskończenie wielu konstrukcji /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 101/. Zatem zbiór nieskończony można rozumieć jedynie jako prawo czy regułę tworzenia wciąż nowych jego elementów. Taki zbiór jest jednak zawsze przeliczalny. Nie ma więc zbiorów nieprzeliczalnych, nie ma też liczb kardynalnych pozaskończonych innych niż 0. W konsekwencji pojęcie zbioru, do którego dochodzą intuicjoniści, jest zupełnie inne niż to, którym operuje teoria mnogości Cantora /Tamże, s Aksjomat wyboru może być w teoria mnogości. Okazało się więc ostatecznie, że AC i GCH są niesprzeczne i niezależne od aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla. A zatem, możliwa (bo niesprzeczna) jest teoria 3

4 mnogości z aksjomatem wyboru (i (uogólnioną) hipotezą kontinuum)), jak również możliwa jest teoria zbiorów bez nich, czy z ich negacjami. Biorąc pod uwagę fakt, że teoria mnogości stanowi w pewnym sensie fundament matematyki i że tak wiele twierdzeń na przykład w analizie czy algebrze zależy od AC, musimy dojść do wniosku, że możliwe są różne matematyki, w szczególności na przykład różne analizy. Która z nich jest tą właściwą i co to w ogóle znaczy? Sytuację te można by porównać z sytuacją w geometrii po stworzeniu geometrii nieeuklidesowych, a więc negujących piąty postulat Euklidesa o równoległych. W tym przypadku jednak sprawa jest bardziej zasadnicza dotyczy bowiem całej matematyki, a nie tylko jednego jej działu. Ponieważ pozycja aksjomatu wyboru w teorii mnogości nie jest do końca wyjaśniona, a jego rola jednoznaczna (obok konsekwencji dobrych i pożądanych ma on też złe i paradoksalne), zaczęto szukać innych, alternatywnych zasad. Jedną z nich jest aksjomat determinacji AD, sformułowany przez Jana Mycielskiego i Hugona Steinhausa w roku 1962 w pracy A Mathematical Axiom Contradicting the Axiom of Choince /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s Aksjomat wyboru niesprzeczny i niezależny w systemie Zermela-Fraenkla. wyniki Gödla i Cohena na temat niesprzeczności i niezależności aksjomatu wyboru i hipotezy kontinuum w systemie Zermela-Fraenkla mają oprócz wskazanych jeszcze inne konsekwencje. Oznaczają one bowiem, że zawarta w aksjomatach ZF charakteryzacja zbiorów jest zbyt słaba i niewystarczająca, by móc na jej podstawie rozstrzygnąć na przykład te dwie ważne szczególne własności. Powstaje więc pytanie o ewentualne wzmocnienie aksjomatów. K. Gödel pisał na ten temat tak: Jeżeli bowiem przyjąć jako trafne (sond) terminy pierwotne teorii mnogości (...), to wynika stąd, iż pojęcia i twierdzenia teoriomnogościowe opisują rzeczywistość dobrze określoną, w której hipoteza Cantora musi być albo prawdziwa, albo fałszywa. Zatem jej nierozstrzygalność na gruncie przyjmowanych dziś aksjomatów może znaczyć tylko tyle, że aksjomaty te nie zawierają pełnego opisu tej rzeczywistości. (...) Aksjomaty teorii mnogości nie tworzą żadną miarą systemu zamkniętego, wprost przeciwnie: samo pojęcie zbioru, na którym są oparte, sugeruje rozszerzanie ich za pomocą nowych aksjomatów, stwierdzających istnienie dalszych jeszcze iteracji operacji 'zbiór (czegoś)' (set of) (What Is Cantor's Continuum Problem?, wersja z roku 1964, s. 264) /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 186/. Główny rodzaj aksjomatów, których dołączenie do teorii ZF się sugeruje, to aksjomaty nieskończoności postulujące istnienie dużych liczb kardynalnych. Najprostszy z nich stwierdza istnienie liczb kardynalnych nieosiągalnych, tzn. liczb kardynalnych zamkniętych ze względu na działania potęgowania i sumowania. Dokładniej: liczba kardynalna m jest nieosiągalna wtedy i tylko wtedy, gdy: (1) 0 <m, (2) jeżeli n < m, to 2 n < m oraz (3) jeżeli A <m i F jest funkcją ze zbioru A o wartościach będących liczbami kardynalnymi mniejszymi od m, to x A F(x) < m. Aksjomat liczb nieosiągalnych nie jest twierdzeniem teorii ZF. Istnienie liczb nieosiągalnych może być iterowane w pozaskończoność. Prowadzi to do skali liczb kardynalnych Mahlo (opisanej po raz pierwszy przez Friedricha Paula Mahlo w roku 1911) /Tamże, s Aksjomat wyboru odgrywa bardzo ważną rolę w matematyce znacznie większą, niż zdają sobie z tego na ogół sprawę matematycy nie 4

5 zastanawiający się nad problemami podstaw swej dyscypliny. Bardzo wiele twierdzeń w sposób istotny wykorzystuje ten aksjomat lub pewne równoważne mu zasady. Do takich zasad równoważnych aksjomatowi wyboru na gruncie teorii mnogości ZF należą m. in.: (1) twierdzenie Zermela o dobrym uporządkowaniu, mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować; (2) lemat Tukeya, głoszący, że dla dowolnej danej własności charakteru skończonego /Własność nazywamy własnością charakteru skończonego wtedy i tylko wtedy, gdy (0) oraz dla dowolnego B A: (B) C (C B&C skończony (C))/, mogącej przysługiwać podzbiorom pewnego zbioru A, dowolny podzbiór zbioru A mający własność zawarty jest w pewnym maksymalnym zbiorze mającym własność ; (3) lemat Kuratowskiego-Zorna, mówiący, że jeżeli dla każdego liniowo uporządkowanego podzbioru A0 zbioru częściowo uporządkowanego A istnieje element największy, to w zbiorze A istnieje element maksymalny. Tytułem przykładu wymieńmy kilka twierdzeń, których dowody w sposób istotny korzystają z aksjomatu wyboru AC. W teorii mnogości korzystamy z AC dowodząc na przykład, że (a) każdy zbiór nieskończony ma podzbiór przeliczalny; (b) suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym; (c) zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych; (d) produkt kartezjański zbiorów niepustych jest niepusty /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s Aksjomat wyboru po raz pierwszy wspomniany przez Giuseppe Peano w pracy z roku 1890 dotyczącej istnienia rozwiązań układów równań różniczkowych zwyczajnych. Doszedłszy w dowodzie do miejsca, w którym trzeba było wybrać po jednym elemencie z każdego ze zbiorów pewnego ciągu A 1,A 2,... podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, Peano napisał: Ponieważ nie można stosować nieskończenie wiele razy dowolnego prawa, za pomocą którego przyporządkowuje się (on fait correspondre) klasie pewne indywiduum z tej klasy, sformułowaliśmy tu więc konkretne prawo, pozwalające, przy odpowiednich założeniach, przyporządkować każdej klasie pewnego systemu jakieś indywiduum z tej klasy (Demonstration de l integrabilite..., s. 210). W roku 1902 aksjomat wyboru został wyraźnie zastosowany przez Beppo Lebiego /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 177/. Dodać oczywiście należy, że aksjomat wyboru stosowany był już wcześniej przez Cantora i innych matematyków, ale czynili oni to bez świadomości używania zasady, której przedtem nie formułowano w matematyce klasycznej ani w logice. W roku 1904 E. Zermelo podał pierwsze wyraźne sformułowanie aksjomatu wyboru i zastosował go w dowodzie twierdzenia o dobrym uporządkowaniu. W roku 1906 B. Russell podał używaną dziś postać aksjomatu (nazywając go aksjomatem muiltiplikatywnym) /Tamże, s Aksjomat wyboru potrzebny jest w topologii w szczególności w dowodzie twierdzenia Tichonowa o tym, że produkt przestrzeni zwartych jest przestrzenią zwartą. Udowodniono też, że lemat Urysohna jest równoważny aksjomatowi wyboru. W teorii miary wykorzystujemy AC w dowodzie istnienia zbiorów liczb rzeczywistych niemierzalnych w sensie Lebesgue a. W analizie matematycznej aksjomat wyboru potrzebny jest do udowodnienia, że definicja ciągłości funkcji według Heinego jest równoważna definicji ciągłości 5

6 funkcji według Cauchy'ego. Dokładniej AC potrzebne jest w dowodzie implikacji: jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 według Heinego, to jest leż ciągła w x0 według Cauchy'ego, co więcej: implikacja ta jest równoważna przeliczalnemu aksjomatowi wyboru, czyli aksjomatowi wyboru dla rodzin przeliczalnych. W analizie funkcjonalnej wykorzystuje się AC (dokładniej: lemat Tukeya) w dowodzie istnienia bazy dla dowolnej przestrzeni wektorowej, jak również w twierdzeniu Hahna-Banacha. W algebrze stosuje się aksjomat wyboru w dowodzie twierdzenia mówiącego, że dla dowolnego ciała F istnieje dokładnie jedno (z dokładnością do izomorfizmu) domknięcie algebraiczne F (co więcej, twierdzenie to jest równoważne przeliczalnemu aksjomatowi wyboru). Używa się go również dowodząc, że podgrupa grupy wolnej jest wolna, czy dowodząc, że każda grupa posiada maksymalne podgrupy apelowe /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s Aksjomat wyboru powiązany z hipotezą kontinuum. zachodzą pewne związki między aksjomatem wyboru a hipotezą kontinuum. I rzeczywiście, w roku 1926 Alfred Tarski i Adolf Lindenbaum zaanonsowali, a w roku 1947 Wacław Sierpiński udowodnił, że z uogólnionej hipotezy kontinuum GCH (w drugim sformułowaniu) wynika aksjomat wyboru AC. Na uwagę zasługuje tu fakt, że wynik ten uzyskany został w sposób czysto kombinatoryczny. Najważniejszą sprawą do wyjaśnienia pozostawał stosunek aksjomatu wyboru i hipotezy kontinuum do pozostałych aksjomatów teorii mnogości ZF. Gdyby bowiem okazało się, że są one konsekwencjami pozostałych aksjomatów, które na ogół nie wzbudzają żadnych zastrzeżeń i wątpliwości, to wtedy i ich pozycja stałaby się mocniejsza i mniej dyskusyjna. W roku 1938 Kurt Gödel udowodnił, że GCH (a zatem i CH) oraz AC są względnie niesprzeczne z pozostałymi aksjomatami systemu ZF, tzn. jeżeli teoria ZF jest niesprzeczna, to pozostanie ona niesprzeczna po dołączeniu jako nowych aksjomatów GCH i AC. Innymi słowy: jeśli po dołączeniu GCH i AC do ZF otrzymalibyśmy sprzeczność, to można by ją otrzymać już z samych aksjomatów ZF. A zatem w konsekwencji w systemie ZF nie można udowodnić ani negacji (uogólnionej) hipotezy kontinuum, ani też negacji aksjomatu wyboru. Gödel uzyskał ten wynik budując model dla ZF wraz z GCH i AC. Był to model złożony z tzw. zbiorów konstruowalnych, tzn. zbiorów, które dadzą się otrzymać ze zbioru pustego za pomocą pewnych explicite podanych operacji, stosowanych pozaskończenie wiele razy. Twierdzenie Gödla nie rozwiązywało jednak jeszcze problemu do końca /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 182/. Dopiero w roku 1963 Paul J. Cohen za pomocą całkowicie nowej metody, tzw. metody forcingu (wymuszania), wyjaśnił w pełni status GCH i AC w systemie ZF. Udowodnił on mianowicie, że: 1. nieprawda, że (CH GCH); 2. nieprawda, że (AC GCH); 3. AC i CH (a więc tym bardziej GCH) nie wynikają z pozostałych aksjomatów ZF; 4. CH nie wynika z AC ani też na odwrót, na gruncie aksjomatów ZF /Tamże, s Aksjomat wyboru prowadzi do pewnych paradoksalnych konsekwencji. Najbardziej znana z nich to twierdzenie Banacha-Tarskiego z roku 1924 o paradoksalnym rozkładzie kuli wykorzystujące pewne idee Felixa Hausdorffa /Dowód tego twierdzenia można znaleźć w Dodatku do pierwszego wydania Teorii mnogości K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego/. Niech mianowicie K 6

7 będzie sferą trójwymiarową o promieniu l i niech X, Y K. Mówimy, że X przystaje do Y (co zapisujemy symbolicznie: X Y) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obrót sfery K dookoła środka taki, że (X) = Y. /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 179/. Mówimy, że zbiór X przystaje do zbioru Y przez rozkład skończony (symbolicznie: X Y) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją rozłączne zbiory X1,...,Xn i rozłączne zbiory Y1,... Yn takie, że X = X... Xn, Y= Y... Yn oraz dla każdego i = l,..., n zachodzi Xi Yi. Twierdzenie Banacha- Tarskiego głosi, że powierzchnia kuli K rozkłada się na sumę dwu zbiorów rozłącznych X i Y takich, że X K i Y K. Można dowieść, że ta sama własność zachodzi też dla kuli bez środka. Pewna modyfikacja dowodu pozwala otrzymać również twierdzenie dla pełnej kuli (domkniętej lub otwartej). Raphael M. Robinson wykazał, że minimalna liczba części, na które można podzielić kulę w taki sposób, aby można z nich było złożyć dwie kule, wynosi 5. Stefan Banach udowodnił zaś, że na płaszczyźnie nie jest możliwy paradoksalny rozkład żadnej figury mający własności takie, jak w twierdzeniu Banacha-Tarskiego. Paradoksalność twierdzenia o rozkładzie kuli polega na tym, że przeczy ono naszym intuicjom dotyczącym miary. Zauważyć jednak należy, że te ostatnie powstały głównie w związku ze zbiorami regularnymi (takimi jak na przykład wielokąty), a w twierdzeniu Banacha-Tarskiego mamy do czynienia ze zbiorami nieregularnymi, być może nawet niemierzalnymi /Tamże, s Aksjomat wyboru rozszerza teorię mnogości zachowawczo względem zdań o liczbach naturalnych. Wspomnieć tu też warto o twierdzeniu Kreisla głoszącym, że jeśli jest zdaniem języka arytmetyki Peana (czyli zdaniem mówiącym o liczbach naturalnych) takim, że można udowodnić na gruncie aksjomatów teorii mnogości ZF plus AC plus GCH, to można je również udowodnić w oparciu o aksjomaty samej teorii mnogości ZF. Twierdzenie to mówi zatem, że teoria mnogości ZF wraz z aksjomatem wyboru oraz uogólnioną hipotezą kontinuum jest zachowawczym rozszerzeniem teorii mnogości ZF względem zdań o liczbach naturalnych. Innymi słowy: dołączenie do teorii mnogości ZF aksjomatu wyboru oraz uogólnionej hipotezy kontinuum nie daje żadnych nowych informacji o liczbach naturalnych, a zatem zarówno AC jak i GCH są bez znaczenia dla naszej wiedzy o liczbach naturalnych /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 190/. Postawić też należy inne jeszcze pytanie związane z pytaniem poprzednim a mianowicie, czy matematyka nieskończona jest potrzebna i konieczna w matematyce stosowanej. Abstrahując od nieprecyzyjności określenia matematyka stosowana, odpowiedź na to pytanie wydaje się być negatywna. Już Hermann Weyl w swej monografii Das Kontinuum (1918) pokazał, że spore fragmenty klasycznej analizy matematycznej mogą być rozwinięte w ramach teorii będącej zachowawczym rozszerzeniem arytmetyki Peana PA /Tamże, s Aksjomat wyboru w teorii mnogości nie jest do końca wyjaśniony. Biorąc pod uwagę fakt, że teoria mnogości stanowi w pewnym sensie fundament matematyki i że tak wiele twierdzeń na przykład w analizie czy algebrze zależy od AC, musimy dojść do wniosku, że możliwe są różne matematyki, w szczególności na przykład różne analizy. Która z nich jest tą właściwą i co to w ogóle znaczy? Sytuację te można by porównać z sytuacją w geometrii po 7

8 stworzeniu geometrii nieeuklidesowych, a więc negujących piąty postulat Euklidesa o równoległych. W tym przypadku jednak sprawa jest bardziej zasadnicza dotyczy bowiem całej matematyki, a nie tylko jednego jej działu. Ponieważ pozycja aksjomatu wyboru w teorii mnogości nie jest do końca wyjaśniona, a jego rola jednoznaczna (obok konsekwencji dobrych i pożądanych ma on też złe i paradoksalne), zaczęto szukać innych, alternatywnych zasad. Jedną z nich jest aksjomat determinacji AD, sformułowany przez Jana Mycielskiego i Hugona Steinhausa w roku 1962 w pracy A Mathematical Axiom Contradicting the Axiom of Choince /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 183/. Aksjomat determinacji Mycielskiego-Steinhausa głosi: Dla każdego zbioru A, gra G (A) jest zdeterminowana, gdzie: to ciąg liczb naturalnych, a to zbiór wszystkich nieskończonych ciągów liczb naturalnych (zauważmy tu, że zgodnie z prawami arytmetyki liczb porządkowych 2 = ). Jakie są konsekwencje aksjomatu determinacji AD? Otóż na gruncie teorii mnogości ZF wraz z aksjomatem AD można udowodnić m. in. następujące twierdzenia: (1) każdy zbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie Lebesgue a; (2) dla przeliczalnych rodzin zbiorów liczb rzeczywistych zachodzi aksjomat wyboru; (3) istnieje dobry praporządek na zbiorze R liczb rzeczywistych (tzn. na zbiorze R można określić relację przechodnią i ufundowaną); (4) każdy ultrafiltr na zbiorze liczb naturalnych jest główny /Tamże, s. 184/. (5) jest liczbą kardynalną mierzalną; (6) 3 jest liczbą kardynalną singularną; (7) dla każdego zbioru X liczb rzeczywistych albo moc X 0, albo moc X = 2 (a zatem zachodzi hipoteza kontinuum Cantora) (definicje liczb kardynalnych mierzalnych i singularnych znaleźć można na przykład w monografii K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego Teoria mnogości) /Tamże, s Aksjomat wyboru wykorzystany przez Zermelo E. w dowodzeniu twierdzenie o dobrym uporządkowaniu (1904). Walka Kroneckera i jego uczniów przeciw nowoczesnym, opartym na teorii mnogości Cantora (Kronecker był jednym z głównych krytyków i przeciwników teorii mnogości Cantora) metodom w teorii liczb rzeczywistych i teorii funkcji (rozwijanych głównie przez Karla Weierstrassa i jego szkołę), skończyła się właściwie ich przegraną. Teorie te rozwijały się szybko i burzliwie, nawet mimo wykrycia antynomii w teorii mnogości. Dopiero Ernsta Zermela dowód (korzystający z pełnej postaci aksjomatu wyboru) twierdzenia o dobrym uporządkowaniu (1904), głoszącego, iż każdy zbiór można dobrze uporządkować, wywołał rozmaite obiekcje grupy matematyków francuskich, którzy sami aktywnie pracowali nad rozwijaniem teorii funkcji z wykorzystaniem teorii mnogości Cantora. Do grupy tej, zwanej paryską szkołą intuicjonizmu lub francuskimi semi-intuicjonistami, należeli Rene Louis Baire ( ), Emile Borel ( ), Henri Louis Lebesgue ( ) i matematyk rosyjski Mikołaj Nikołajewicz Łuzin ( ). Ich rozważania nad podstawami matematyki dotyczyły głównie roli i miejsca aksjomatu wyboru, często jednak zajmowali się także kwestiami ogólniejszymi. Nie stworzyli żadnej zwartej doktryny filozoficznej; mamy w ich przypadku do czynienia jedynie z rozmaitymi poglądami cząstkowymi formułowanymi na marginesie zasadniczej działalności naukowej, które łączy wspólna tendencja konstruktywistyczna. Jako przykład przytoczmy kilka z ich tez. I tak na 8

9 przykład Lebesgue twierdził, że obiekt matematyczny istnieje tylko wtedy, gdy został zdefiniowany za pomocą skończenie wielu słów. Borel mówił tu o efektywnym definiowaniu obiektów. Twierdził, że sama niesprzeczność nie wystarcza do przyjęcia, że rozważany obiekt istnieje. Poszczególne liczby rzeczywiste muszą być dane za pomocą skończonych definicji, a więc ich zbiór nie może być nigdy nieprzeliczalny /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s