Podejmowanie decyzji
|
|
- Krystyna Markowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 , czyli skojarzenie matematyki z socjologia XLVIII Szkoła Matematyki Pogladowej 27 stycznia 2012
2 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
3 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
4 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
5 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
6 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
7 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
8 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
9 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
10 Teoria wyboru społecznego Jak podejmować decyzje zbiorowe na podstawie opinii indywidualnych? W jaki sposób grupy ludzi podejmuja wspólne decyzje? Jakie sa cechy powszechnie stosowanych w tym celu procedur? Jakie własności powinny spełniać metody podejmowania decyzji? I jak je wyrazić formalnie? Czy istnieja metody o pożadanych własnościach? Historycznie: ekonomia, matematyka Laureaci Nagrody Nobla: Kenneth Arrow, James Buchanan, John Nash, Amartya Sen Obecnie: nauki polityczne
11 Paradoks Condorceta (XVIII w.) Paradoksy ujawniaja ułomności powszechnie stosowanych procedur podejmowania decyzji. Osoba I: Osoba II: Osoba III: x y z y z x z x y x y y z z x osoba I tak tak nie osoba II nie tak tak osoba III tak nie tak decyzja grupowa tak tak tak Otrzymujemy uporzadkowanie cykliczne. Niemożliwy jest wybór najlepszego rozwiazania.
12 Paradoks Condorceta (XVIII w.) Paradoksy ujawniaja ułomności powszechnie stosowanych procedur podejmowania decyzji. Osoba I: Osoba II: Osoba III: x y z y z x z x y x y y z z x osoba I tak tak nie osoba II nie tak tak osoba III tak nie tak decyzja grupowa tak tak tak Otrzymujemy uporzadkowanie cykliczne. Niemożliwy jest wybór najlepszego rozwiazania.
13 Paradoks Condorceta (XVIII w.) Paradoksy ujawniaja ułomności powszechnie stosowanych procedur podejmowania decyzji. Osoba I: Osoba II: Osoba III: x y z y z x z x y x y y z z x osoba I tak tak nie osoba II nie tak tak osoba III tak nie tak decyzja grupowa tak tak tak Otrzymujemy uporzadkowanie cykliczne. Niemożliwy jest wybór najlepszego rozwiazania.
14 Paradoks Condorceta (XVIII w.) Paradoksy ujawniaja ułomności powszechnie stosowanych procedur podejmowania decyzji. Osoba I: Osoba II: Osoba III: x y z y z x z x y x y y z z x osoba I tak tak nie osoba II nie tak tak osoba III tak nie tak decyzja grupowa tak tak tak Otrzymujemy uporzadkowanie cykliczne. Niemożliwy jest wybór najlepszego rozwiazania.
15 Paradoks Condorceta (XVIII w.) Paradoksy ujawniaja ułomności powszechnie stosowanych procedur podejmowania decyzji. Osoba I: Osoba II: Osoba III: x y z y z x z x y x y y z z x osoba I tak tak nie osoba II nie tak tak osoba III tak nie tak decyzja grupowa tak tak tak Otrzymujemy uporzadkowanie cykliczne. Niemożliwy jest wybór najlepszego rozwiazania.
16 Teoria Agregacji Preferencji Klasyczne sformułowanie problemu decyzji dotyczy preferencji: Jak podejmować decyzje społeczne na podstawie indywidualnych uporzadkowań zbioru możliwych rozwiazań?
17 Teoria Agregacji Preferencji Klasyczne sformułowanie problemu decyzji dotyczy preferencji: Jak podejmować decyzje społeczne na podstawie indywidualnych uporzadkowań zbioru możliwych rozwiazań?
18 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
19 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
20 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
21 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
22 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
23 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
24 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
25 Teoria Agregacji Preferencji Skończony, niepusty zbiór alternatyw społecznych K. Relacja preferencji R - dowolna relacja binarna na zbiorze K. xry - alternatywa x jest przynajmniej tak dobra, jak y Z relacja preferencji R wiażemy: relację mocnej preferencji P, gdzie xpy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry i nieprawda, że yrx, relację indyferencji I taka, że xiy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy xry oraz yrx. xpy - alternatywa x jest lepsza niż y xiy - alternatywa x jest równie dobra, jak y Jakie sa nasze relacje preferencji?
26 Teoria Agregacji Preferencji Jeśli relacja preferencji R jest spójna, zwrotna i przechodnia, to nazywamy ja racjonalna relacja preferencji. x 1 x 2 x 3 - x 4 - x 5 x 6 - x 7 x 8 x 9 - x 10 Zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji R na zbiorze K oznaczamy przez R. Czy nasze preferencje sa spójne, zwrotne i przechodnie?
27 Teoria Agregacji Preferencji Jeśli relacja preferencji R jest spójna, zwrotna i przechodnia, to nazywamy ja racjonalna relacja preferencji. x 1 x 2 x 3 - x 4 - x 5 x 6 - x 7 x 8 x 9 - x 10 Zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji R na zbiorze K oznaczamy przez R. Czy nasze preferencje sa spójne, zwrotne i przechodnie?
28 Teoria Agregacji Preferencji Jeśli relacja preferencji R jest spójna, zwrotna i przechodnia, to nazywamy ja racjonalna relacja preferencji. x 1 x 2 x 3 - x 4 - x 5 x 6 - x 7 x 8 x 9 - x 10 Zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji R na zbiorze K oznaczamy przez R. Czy nasze preferencje sa spójne, zwrotne i przechodnie?
29 Teoria Agregacji Preferencji Jeśli relacja preferencji R jest spójna, zwrotna i przechodnia, to nazywamy ja racjonalna relacja preferencji. x 1 x 2 x 3 - x 4 - x 5 x 6 - x 7 x 8 x 9 - x 10 Zbiór wszystkich racjonalnych relacji preferencji R na zbiorze K oznaczamy przez R. Czy nasze preferencje sa spójne, zwrotne i przechodnie?
30 Teoria Agregacji Preferencji Zbiór osób N = {1, 2,..., n} podejmujacych społeczna decyzję. Jest on skończony i niepusty. Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dana jej relację preferencji R i na zbiorze alternatyw społecznych K, to otrzymujemy profil preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ). Funkcję F, która profilowi preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ) przyporzadkowuje relację F(R 1, R 2,..., R n ) = R na zbiorze alternatyw społecznych K, interpretowana jako relacja preferencji społecznej, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : R n R.
31 Teoria Agregacji Preferencji Zbiór osób N = {1, 2,..., n} podejmujacych społeczna decyzję. Jest on skończony i niepusty. Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dana jej relację preferencji R i na zbiorze alternatyw społecznych K, to otrzymujemy profil preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ). Funkcję F, która profilowi preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ) przyporzadkowuje relację F(R 1, R 2,..., R n ) = R na zbiorze alternatyw społecznych K, interpretowana jako relacja preferencji społecznej, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : R n R.
32 Teoria Agregacji Preferencji Zbiór osób N = {1, 2,..., n} podejmujacych społeczna decyzję. Jest on skończony i niepusty. Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dana jej relację preferencji R i na zbiorze alternatyw społecznych K, to otrzymujemy profil preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ). Funkcję F, która profilowi preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ) przyporzadkowuje relację F(R 1, R 2,..., R n ) = R na zbiorze alternatyw społecznych K, interpretowana jako relacja preferencji społecznej, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : R n R.
33 Teoria Agregacji Preferencji Zbiór osób N = {1, 2,..., n} podejmujacych społeczna decyzję. Jest on skończony i niepusty. Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dana jej relację preferencji R i na zbiorze alternatyw społecznych K, to otrzymujemy profil preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ). Funkcję F, która profilowi preferencji indywidualnych (R 1, R 2,..., R n ) przyporzadkowuje relację F(R 1, R 2,..., R n ) = R na zbiorze alternatyw społecznych K, interpretowana jako relacja preferencji społecznej, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : R n R.
34 Teoria Agregacji Preferencji Metoda zwykłej większości. W relacji preferencji społecznej R uzyskanej przy pomocy metody zwykłej większości alternatywa x jest przedkładana nad alternatywę y, jeśli więcej członków grupy przedkłada x nad y niż y nad x, czyli xpy {i N : xp i y} > {i N : yp i x}. Metoda zwykłej większości może generować relacje preferencji społecznej, które nie sa racjonalne (paradoks Condorceta).
35 Teoria Agregacji Preferencji Metoda zwykłej większości. W relacji preferencji społecznej R uzyskanej przy pomocy metody zwykłej większości alternatywa x jest przedkładana nad alternatywę y, jeśli więcej członków grupy przedkłada x nad y niż y nad x, czyli xpy {i N : xp i y} > {i N : yp i x}. Metoda zwykłej większości może generować relacje preferencji społecznej, które nie sa racjonalne (paradoks Condorceta).
36 Teoria Agregacji Preferencji Metoda zwykłej większości. W relacji preferencji społecznej R uzyskanej przy pomocy metody zwykłej większości alternatywa x jest przedkładana nad alternatywę y, jeśli więcej członków grupy przedkłada x nad y niż y nad x, czyli xpy {i N : xp i y} > {i N : yp i x}. Metoda zwykłej większości może generować relacje preferencji społecznej, które nie sa racjonalne (paradoks Condorceta).
37 Teoria Agregacji Preferencji Metoda zwykłej większości. W relacji preferencji społecznej R uzyskanej przy pomocy metody zwykłej większości alternatywa x jest przedkładana nad alternatywę y, jeśli więcej członków grupy przedkłada x nad y niż y nad x, czyli xpy {i N : xp i y} > {i N : yp i x}. Metoda zwykłej większości może generować relacje preferencji społecznej, które nie sa racjonalne (paradoks Condorceta).
38 Teoria Agregacji Preferencji Funkcje F : R n R nazywane sa funkcjami społecznego dobrobytu. Kenneth J. Arrow (1951) Social Choice and Individual Values Podejście Arrowa zostało nazwane metoda aksjomatyczna: formułujemy zestaw postulatów, wyróżniamy klasę metod je spełniajacych.
39 Teoria Agregacji Preferencji Funkcje F : R n R nazywane sa funkcjami społecznego dobrobytu. Kenneth J. Arrow (1951) Social Choice and Individual Values Podejście Arrowa zostało nazwane metoda aksjomatyczna: formułujemy zestaw postulatów, wyróżniamy klasę metod je spełniajacych.
40 Teoria Agregacji Preferencji Funkcje F : R n R nazywane sa funkcjami społecznego dobrobytu. Kenneth J. Arrow (1951) Social Choice and Individual Values Podejście Arrowa zostało nazwane metoda aksjomatyczna: formułujemy zestaw postulatów, wyróżniamy klasę metod je spełniajacych.
41 Teoria Agregacji Preferencji Funkcje F : R n R nazywane sa funkcjami społecznego dobrobytu. Kenneth J. Arrow (1951) Social Choice and Individual Values Podejście Arrowa zostało nazwane metoda aksjomatyczna: formułujemy zestaw postulatów, wyróżniamy klasę metod je spełniajacych.
42 Teoria Agregacji Preferencji Funkcje F : R n R nazywane sa funkcjami społecznego dobrobytu. Kenneth J. Arrow (1951) Social Choice and Individual Values Podejście Arrowa zostało nazwane metoda aksjomatyczna: formułujemy zestaw postulatów, wyróżniamy klasę metod je spełniajacych.
43 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.
44 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.
45 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.
46 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.
47 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.
48 Twierdzenie Arrowa Optymalność Pareto. Jeśli w sytuacji, gdy wszyscy przedkładaja alternatywę x nad alternatywę y, wyznaczona relacja preferencji społecznej również przedkłada x nad y, to powiemy, że spełnia ona warunek optymalności Pareto. Dla dowolnych alternatyw x, y K zachodzi ( i N xpi y ) xpy. Czym grozi naruszenie warunku optymalności Pareto? Wybraniem na podstawie wyznaczonej relacji preferencji społecznej rozwiazania nieoptymalnego Pareto, czyli takiego, że istnieje inne jednogłośnie uznawane przez członków grupy za lepsze. Bywa nazywane kryterium racjonalności społecznej.
49 Twierdzenie Arrowa Niezależność od alternatyw niezwiazanych. Metoda agregacji spełnia warunek niezależności od alternatyw niezwiazanych, jeśli dla dowolnych alternatyw x, y K i dowolnych profili (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R1, R 2,..., R n) należacych do dziedziny zachodzi ) ( i N (xr i y xri y yr ix yri x) ( ) xry xr y yrx yr x. Społeczna preferencja między alternatywami x i y zależy wyłacznie od preferencji członków grupy względem tych alternatyw i nie maja na nia wpływu preferencje zwiazane z innymi alternatywami.
50 Twierdzenie Arrowa Niezależność od alternatyw niezwiazanych. Metoda agregacji spełnia warunek niezależności od alternatyw niezwiazanych, jeśli dla dowolnych alternatyw x, y K i dowolnych profili (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R1, R 2,..., R n) należacych do dziedziny zachodzi ) ( i N (xr i y xri y yr ix yri x) ( ) xry xr y yrx yr x. Społeczna preferencja między alternatywami x i y zależy wyłacznie od preferencji członków grupy względem tych alternatyw i nie maja na nia wpływu preferencje zwiazane z innymi alternatywami.
51 Twierdzenie Arrowa Niezależność od alternatyw niezwiazanych. Metoda agregacji spełnia warunek niezależności od alternatyw niezwiazanych, jeśli dla dowolnych alternatyw x, y K i dowolnych profili (R 1, R 2,..., R n ) oraz (R1, R 2,..., R n) należacych do dziedziny zachodzi ) ( i N (xr i y xri y yr ix yri x) ( ) xry xr y yrx yr x. Społeczna preferencja między alternatywami x i y zależy wyłacznie od preferencji członków grupy względem tych alternatyw i nie maja na nia wpływu preferencje zwiazane z innymi alternatywami.
52 Twierdzenie Arrowa Dyktatura. Jeśli istnieje taka osoba i N, że dla każdego profilu preferencji jej mocna indywidualna preferencja między dowolna para alternatyw x, y wyznacza taka sama preferencję społeczna, czyli xp i y xpy, to mamy do czynienia z dyktatura. Dyktator i nie wyznacza jednoznacznie relacji preferencji społecznej R. Metoda dyktatorska nie musi być rzutowaniem na i-ta współrzędna: xi i y xiy.
53 Twierdzenie Arrowa Dyktatura. Jeśli istnieje taka osoba i N, że dla każdego profilu preferencji jej mocna indywidualna preferencja między dowolna para alternatyw x, y wyznacza taka sama preferencję społeczna, czyli xp i y xpy, to mamy do czynienia z dyktatura. Dyktator i nie wyznacza jednoznacznie relacji preferencji społecznej R. Metoda dyktatorska nie musi być rzutowaniem na i-ta współrzędna: xi i y xiy.
54 Twierdzenie Arrowa Dyktatura. Jeśli istnieje taka osoba i N, że dla każdego profilu preferencji jej mocna indywidualna preferencja między dowolna para alternatyw x, y wyznacza taka sama preferencję społeczna, czyli xp i y xpy, to mamy do czynienia z dyktatura. Dyktator i nie wyznacza jednoznacznie relacji preferencji społecznej R. Metoda dyktatorska nie musi być rzutowaniem na i-ta współrzędna: xi i y xiy.
55 Twierdzenie Arrowa Twierdzenie Arrowa (General Possibility Theorem) Niech n 2 i niech K będzie takim zbiorem alternatyw społecznych, że K 3. Każda metoda agregacji preferencji F : R n R spełniajaca warunki optymalności Pareto i niezależności od alternatyw niezwiazanych jest dyktatura.
56 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.
57 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.
58 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.
59 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.
60 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.
61 Twierdzenie Arrowa Jak sobie poradzić z niemożliwościa? Rozszerzenie przeciwdziedziny. (nie specjalnie pomaga) Ograniczenie dziedziny Dla jakich profili preferencji indywidualnych metoda zwykłej większości generuje "dobre" uporzadkowania? Pozbycie się lub osłabienie warunków optymalności Pareto i niezależnośli od alternatyw niezwiazanych.
62 Twierdzenie Arrowa Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ jaki on i jego następcy wywarli na teorię wyboru społecznego sprawiły, że teoria agregacji preferencji zajęła dominujac a pozycję w dziedzinie refleksji nad podejmowaniem decyzji zbiorowych. Nie każdy problem decyzji grupowej polega na wyznaczeniu relacji preferencji społecznej, która umożliwi wybór najlepszego spośród rozważanych rozwiazań... Często mamy do czynienia z sytuacja, gdy grupa osób ma zbiór kwestii do rozpatrzenia i musi wydać wspólna opinię, czy się z nimi zgadza czy też nie. decyzje ławy przysięgłych decyzje gron eksperckich
63 Twierdzenie Arrowa Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ jaki on i jego następcy wywarli na teorię wyboru społecznego sprawiły, że teoria agregacji preferencji zajęła dominujac a pozycję w dziedzinie refleksji nad podejmowaniem decyzji zbiorowych. Nie każdy problem decyzji grupowej polega na wyznaczeniu relacji preferencji społecznej, która umożliwi wybór najlepszego spośród rozważanych rozwiazań... Często mamy do czynienia z sytuacja, gdy grupa osób ma zbiór kwestii do rozpatrzenia i musi wydać wspólna opinię, czy się z nimi zgadza czy też nie. decyzje ławy przysięgłych decyzje gron eksperckich
64 Twierdzenie Arrowa Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ jaki on i jego następcy wywarli na teorię wyboru społecznego sprawiły, że teoria agregacji preferencji zajęła dominujac a pozycję w dziedzinie refleksji nad podejmowaniem decyzji zbiorowych. Nie każdy problem decyzji grupowej polega na wyznaczeniu relacji preferencji społecznej, która umożliwi wybór najlepszego spośród rozważanych rozwiazań... Często mamy do czynienia z sytuacja, gdy grupa osób ma zbiór kwestii do rozpatrzenia i musi wydać wspólna opinię, czy się z nimi zgadza czy też nie. decyzje ławy przysięgłych decyzje gron eksperckich
65 Twierdzenie Arrowa Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ jaki on i jego następcy wywarli na teorię wyboru społecznego sprawiły, że teoria agregacji preferencji zajęła dominujac a pozycję w dziedzinie refleksji nad podejmowaniem decyzji zbiorowych. Nie każdy problem decyzji grupowej polega na wyznaczeniu relacji preferencji społecznej, która umożliwi wybór najlepszego spośród rozważanych rozwiazań... Często mamy do czynienia z sytuacja, gdy grupa osób ma zbiór kwestii do rozpatrzenia i musi wydać wspólna opinię, czy się z nimi zgadza czy też nie. decyzje ławy przysięgłych decyzje gron eksperckich
66 Twierdzenie Arrowa Ogromna popularność Arrowa oraz wpływ jaki on i jego następcy wywarli na teorię wyboru społecznego sprawiły, że teoria agregacji preferencji zajęła dominujac a pozycję w dziedzinie refleksji nad podejmowaniem decyzji zbiorowych. Nie każdy problem decyzji grupowej polega na wyznaczeniu relacji preferencji społecznej, która umożliwi wybór najlepszego spośród rozważanych rozwiazań... Często mamy do czynienia z sytuacja, gdy grupa osób ma zbiór kwestii do rozpatrzenia i musi wydać wspólna opinię, czy się z nimi zgadza czy też nie. decyzje ławy przysięgłych decyzje gron eksperckich
67 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Trzech sędziów ma podjać wspólna decyzję w sprawie winy podejrzanego. Musza w tym celu zajać stanowisko w czterech kwestiach: a : b : c : c a b Podejrzany popełnił zarzucany mu czyn. Czyn ten stanowi przestępstwo. Podejrzany jest winny. (doktryna prawa) a b c a b c sędzia I tak tak tak tak sędzia II tak nie tak nie sędzia III nie tak tak nie decyzja grupowa tak tak tak nie
68 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Trzech sędziów ma podjać wspólna decyzję w sprawie winy podejrzanego. Musza w tym celu zajać stanowisko w czterech kwestiach: a : b : c : c a b Podejrzany popełnił zarzucany mu czyn. Czyn ten stanowi przestępstwo. Podejrzany jest winny. (doktryna prawa) a b c a b c sędzia I tak tak tak tak sędzia II tak nie tak nie sędzia III nie tak tak nie decyzja grupowa tak tak tak nie
69 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Trzech sędziów ma podjać wspólna decyzję w sprawie winy podejrzanego. Musza w tym celu zajać stanowisko w czterech kwestiach: a : b : c : c a b Podejrzany popełnił zarzucany mu czyn. Czyn ten stanowi przestępstwo. Podejrzany jest winny. (doktryna prawa) a b c a b c sędzia I tak tak tak tak sędzia II tak nie tak nie sędzia III nie tak tak nie decyzja grupowa tak tak tak nie
70 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Paradoks doktryny wskazuje na konflikt pomiędzy podejmowaniem decyzji w oparciu o przesłanki a podejmowaniem decyzji w oparciu o wnioski. Zaobserwowano, że podobnie jak paradoks Condorceta, ujawnia on istotna wadę powszechnie stosowanej procedury decyzyjnej: Zastosowanie do zbioru logicznie powiazanych kwestii klasycznego sposobu podejmowania decyzji metody zwykłej większości, może dawać w rezultacie sprzeczny zbiór zdań. Paradoks ten został nazwany dylematem dyskursywnym (Pettit 2001).
71 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Paradoks doktryny wskazuje na konflikt pomiędzy podejmowaniem decyzji w oparciu o przesłanki a podejmowaniem decyzji w oparciu o wnioski. Zaobserwowano, że podobnie jak paradoks Condorceta, ujawnia on istotna wadę powszechnie stosowanej procedury decyzyjnej: Zastosowanie do zbioru logicznie powiazanych kwestii klasycznego sposobu podejmowania decyzji metody zwykłej większości, może dawać w rezultacie sprzeczny zbiór zdań. Paradoks ten został nazwany dylematem dyskursywnym (Pettit 2001).
72 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Paradoks doktryny wskazuje na konflikt pomiędzy podejmowaniem decyzji w oparciu o przesłanki a podejmowaniem decyzji w oparciu o wnioski. Zaobserwowano, że podobnie jak paradoks Condorceta, ujawnia on istotna wadę powszechnie stosowanej procedury decyzyjnej: Zastosowanie do zbioru logicznie powiazanych kwestii klasycznego sposobu podejmowania decyzji metody zwykłej większości, może dawać w rezultacie sprzeczny zbiór zdań. Paradoks ten został nazwany dylematem dyskursywnym (Pettit 2001).
73 Paradoks doktryny (Kornhauser Sager 1986) Paradoks doktryny wskazuje na konflikt pomiędzy podejmowaniem decyzji w oparciu o przesłanki a podejmowaniem decyzji w oparciu o wnioski. Zaobserwowano, że podobnie jak paradoks Condorceta, ujawnia on istotna wadę powszechnie stosowanej procedury decyzyjnej: Zastosowanie do zbioru logicznie powiazanych kwestii klasycznego sposobu podejmowania decyzji metody zwykłej większości, może dawać w rezultacie sprzeczny zbiór zdań. Paradoks ten został nazwany dylematem dyskursywnym (Pettit 2001).
74 Dylemat dyskursywny Zadaniem trzyosobowego grona ekspertów jest zajęcie wspólnego stanowiska w następujacych kwestiach: a : a b : b : Nastapi wzrost PKB. Jeśli nastapi wzrost PKB, to wzrośnie inflacja. Nastapi wzrost inflacji. a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie
75 Dylemat dyskursywny Zadaniem trzyosobowego grona ekspertów jest zajęcie wspólnego stanowiska w następujacych kwestiach: a : a b : b : Nastapi wzrost PKB. Jeśli nastapi wzrost PKB, to wzrośnie inflacja. Nastapi wzrost inflacji. a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie
76 Dylemat dyskursywny Zadaniem trzyosobowego grona ekspertów jest zajęcie wspólnego stanowiska w następujacych kwestiach: a : a b : b : Nastapi wzrost PKB. Jeśli nastapi wzrost PKB, to wzrośnie inflacja. Nastapi wzrost inflacji. a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie
77 Dylemat dyskursywny a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie Trzy niesprzeczne zbiory zdań: A 1 = {a, a b, b}, A 2 = { a, a b, b}, A 3 = {a, (a b), b}. F(A 1, A 2, A 2 ) = A, gdzie A = {a, a b, b} sprzeczny
78 Dylemat dyskursywny a a b b osoba I tak tak tak osoba II nie tak nie osoba III tak nie nie decyzja grupowa tak tak nie Trzy niesprzeczne zbiory zdań: A 1 = {a, a b, b}, A 2 = { a, a b, b}, A 3 = {a, (a b), b}. F (A 1, A 2, A 2 ) = A, gdzie A = {a, a b, b} sprzeczny
79 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
80 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
81 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
82 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
83 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
84 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
85 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
86 Teoria agregacji sadów Dietrich (2004) A generalised model of judgment aggregation Systemem logicznym nazwiemy niepusty zbiór zdań L zamknięty ze względu na negację (jeśli p L, to p L) z wyróżniona rodzina swoich podzbiorów, nazywanych niesprzecznymi. Rodzina zbiorów niesprzecznych ma następujace własności: każda para {p, p} L jest zbiorem sprzecznym, podzbiór każdego zbioru niesprzecznego jest niesprzeczny, zbiór pusty L jest niesprzeczny oraz dla każdego niesprzecznego zbioru S L istnieje niesprzeczny nadzbiór T L taki, że dla każdej pary {p, p} L mamy p T lub p T.
87 Teoria agregacji sadów Przykład: Systemem logicznym jest rachunek zdań. Do zbioru L należa wszystkie poprawnie zbudowane formuły rachunku zdań (a, a, b, a b, a b,...). Do rodziny zbiorów niesprzecznych zaliczamy wszystkie zbiory S L, dla których istnieje takie wartościowanie, że wartość logiczna każdego zdania p S jest równa 1. Systemy logiczne w rozumieniu powyższej definicji stanowia ponadto między innymi języki rachunku predykatów i logiki modalnej.
88 Teoria agregacji sadów Przykład: Systemem logicznym jest rachunek zdań. Do zbioru L należa wszystkie poprawnie zbudowane formuły rachunku zdań (a, a, b, a b, a b,...). Do rodziny zbiorów niesprzecznych zaliczamy wszystkie zbiory S L, dla których istnieje takie wartościowanie, że wartość logiczna każdego zdania p S jest równa 1. Systemy logiczne w rozumieniu powyższej definicji stanowia ponadto między innymi języki rachunku predykatów i logiki modalnej.
89 Teoria agregacji sadów Przykład: Systemem logicznym jest rachunek zdań. Do zbioru L należa wszystkie poprawnie zbudowane formuły rachunku zdań (a, a, b, a b, a b,...). Do rodziny zbiorów niesprzecznych zaliczamy wszystkie zbiory S L, dla których istnieje takie wartościowanie, że wartość logiczna każdego zdania p S jest równa 1. Systemy logiczne w rozumieniu powyższej definicji stanowia ponadto między innymi języki rachunku predykatów i logiki modalnej.
90 Teoria agregacji sadów Przykład: Systemem logicznym jest rachunek zdań. Do zbioru L należa wszystkie poprawnie zbudowane formuły rachunku zdań (a, a, b, a b, a b,...). Do rodziny zbiorów niesprzecznych zaliczamy wszystkie zbiory S L, dla których istnieje takie wartościowanie, że wartość logiczna każdego zdania p S jest równa 1. Systemy logiczne w rozumieniu powyższej definicji stanowia ponadto między innymi języki rachunku predykatów i logiki modalnej.
91 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
92 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
93 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
94 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
95 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
96 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
97 Teoria agregacji sadów Pojęcie niesprzeczności określa logiczne powiazania między zdaniami. Powiemy, że ze zbioru zdań A L wynika zdanie p L (ozn. A p), gdy zbiór A { p} jest sprzeczny. Zbiór kwestii, co do których grupa ma podjać zbiorowa decyzję, nazywamy agenda. Jest to niepusty podzbiór X zbioru L taki, że X = {p, p : p X + }. (skończony) Przykład: system logiczny L - rachunek zdań agenda X = {a, a, a b, (a b), b, b}
98 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
99 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
100 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
101 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
102 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
103 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
104 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
105 Teoria agregacji sadów Zbiorem sadów nazywamy zbiór zdań A X. Wyraża on opinię jednostki badź grupy. Powiemy, że zbiór sadów A jest: niesprzeczny, jeśli jest niesprzeczny w sensie danego systemu logicznego L, zupełny, jeśli dla każdego p X mamy p A lub p A, całkowicie racjonalny, jeśli jest zupełny i niesprzeczny. Aby dany zbiór sadów nazwać całkowicie racjonalnym, deklarujaca go jednostka badź grupa musi wyrazić swoje zdanie na temat każdej kwestii należacej do agendy! Zbiór wszystkich całkowicie racjonalnych podzbiorów A agendy X oznaczamy przez C.
106 Teoria agregacji sadów Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dany jej zbiór sadów, to otrzymujemy profil (A 1, A 2,..., A n ). Funkcję F, która profilowi indywidualnych zbiorów sadów (A 1, A 2,..., A n ) przyporzadkowuje zbiór F(A 1, A 2,..., A n ) = A X, interpretowany jako zbiór zdań akceptowanych przez grupę N, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : C n C, dla których niemożliwe jest "wstrzymanie się od głosu".
107 Teoria agregacji sadów Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dany jej zbiór sadów, to otrzymujemy profil (A 1, A 2,..., A n ). Funkcję F, która profilowi indywidualnych zbiorów sadów (A 1, A 2,..., A n ) przyporzadkowuje zbiór F(A 1, A 2,..., A n ) = A X, interpretowany jako zbiór zdań akceptowanych przez grupę N, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : C n C, dla których niemożliwe jest "wstrzymanie się od głosu".
108 Teoria agregacji sadów Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dany jej zbiór sadów, to otrzymujemy profil (A 1, A 2,..., A n ). Funkcję F, która profilowi indywidualnych zbiorów sadów (A 1, A 2,..., A n ) przyporzadkowuje zbiór F(A 1, A 2,..., A n ) = A X, interpretowany jako zbiór zdań akceptowanych przez grupę N, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : C n C, dla których niemożliwe jest "wstrzymanie się od głosu".
109 Teoria agregacji sadów Jeśli dla każdej spośród n osób podejmujacych zbiorowa decyzję mamy dany jej zbiór sadów, to otrzymujemy profil (A 1, A 2,..., A n ). Funkcję F, która profilowi indywidualnych zbiorów sadów (A 1, A 2,..., A n ) przyporzadkowuje zbiór F(A 1, A 2,..., A n ) = A X, interpretowany jako zbiór zdań akceptowanych przez grupę N, nazywamy metoda agregacji. Będziemy rozpatrywać funkcje F : C n C, dla których niemożliwe jest "wstrzymanie się od głosu".
110 Teoria agregacji sadów Metoda zwykłej większości. Zdanie p X jest społecznie akceptowane, jeśli więcej członków grupy akceptuje to zdanie niż jego zaprzeczenie, czyli F (A 1, A 2,..., A n ) = {p X : {i N : p A i } > {i N : p A i } }. Metoda zwykłej większości może generować sprzeczne zbiory sadów (dylemat dyskursywny).
TEORIA WYBORU PUBLICZNEGO
TEORIA WYBORU PUBLICZNEGO Wykład 5 Teoria wyboru społecznego Katarzyna Metelska-Szaniawska 2/04/2008 PLAN WYKŁADU I II III IV Czym jest teoria wyboru społecznego? Przykłady systemów głosowania i systemów
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoZbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.
Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoKIEDY METODA ZWYKŁEJ WIĘKSZOŚCI ZAPEWNIA PRZECHODNIOŚĆ PREFERENCJI SPOŁECZNEJ?
DECYZJE nr 2 grudzień 2004 KIEDY METODA ZWYKŁEJ WIĘKSZOŚCI ZAPEWNIA PRZECHODNIOŚĆ PREFERENCJI SPOŁECZNEJ? Marta Kuc * Uniwersytet Warszawski Zasada zwykłej większości jest najczęściej stosowaną metodą
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca Imię i Nazwisko:... FIGLARNE POZNANIANKI
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 11 czerwca 2012 Imię i Nazwisko:........................................................... FIGLARNE POZNANIANKI Wybierz
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoRelacje. Relacje / strona 1 z 18
Relacje Relacje / strona 1 z 18 Relacje (para uporządkowana, iloczyn kartezjański) Definicja R.1. Parą uporządkowaną (x,y) nazywamy zbiór {{x},{x,y}}. Uwaga: (Ala, Ola) (Ola, Ala) Definicja R.2. (n-tka
Bardziej szczegółowoFiltry i nety w przestrzeniach topologicznych
Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoLogika I. Wykład 3. Relacje i funkcje
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 3. Relacje i funkcje 1 Już było... Definicja 2.6. (para uporządkowana) Parą uporządkowaną nazywamy zbiór {{x},
Bardziej szczegółowoSYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:
SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne
Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 8 Funkcje 8.1 Pojęcie relacji 8.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu kartezjańskiego
Bardziej szczegółowoRównoliczność zbiorów
Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoAdam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoNp. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Bardziej szczegółowoDrzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Bardziej szczegółowoEKONOMICZNA ANALIZA POLITYKI
EKONOMICZNA ANALIZA POLITYKI Wykład 1 Homo Oeconomicus w świecie polityki wprowadzenie do ekonomicznej analizy polityki Katarzyna Metelska-Szaniawska SPRAWY ORGANIZACYJNE wykład + ćwiczenia strona przedmiotu:
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoNr 2. Grudzieñ 2004 r.
Nr 2 Grudzieñ 2004 r. Warszawa 2004 DECYZJE półrocznik ul. Jagiellońska 59, 03-301 Warszawa, tel. +48 22 519 21 29 REDAKCJA: LISTA STAŁYCH RECENZENTÓW: Tadeusz Tyszka Redaktor naczelny Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Bardziej szczegółowo0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoRachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoTautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoLOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoIVa. Relacje - abstrakcyjne własności
IVa. Relacje - abstrakcyjne własności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny wiva. Krakowie) Relacje - abstrakcyjne własności 1 / 22 1 Zwrotność
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1
FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru
Bardziej szczegółowoFUNDAMENTALNY WKŁAD AMARTYI K. SENA DO TEORII WYBORU SPOŁECZNEGO
DECYZJE nr 3 czerwiec 2005 FUNDAMENTALNY WKŁAD AMARTYI K. SENA DO TEORII WYBORU SPOŁECZNEGO Grzegorz Lissowski Uniwersytet Warszawski Wstęp 14 października 1998 r. środki masowego przekazu poinformowały,
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowoTeoria popytu. Popyt indywidualny konsumenta
Teoria popytu Popyt indywidualny konsumenta Koszyk towarów Definicja 1 Wektor x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) taki, że x i 0 dla każdego i,w którym i-ta współrzędna oznacza ilość towaru nr i, którą konsument
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Bardziej szczegółowoWielokryterialne wspomaganie
Wielokryterialne wspomaganie podejmowania decyzji Wykład ZARZĄDZANIE, I st. Maciej Wolny Wielokryterialne wspomaganie podejmowania decyzji Tytuł: Wprowadzenie do wielokryterialnego wspomagania decyzji
Bardziej szczegółowoLogika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki
Logika dla socjologów Część 2: Przedmiot logiki Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Działy logiki 2 Własności semantyczne i syntaktyczne 3 Błędy logiczne
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoLogika dla socjologów
Logika dla socjologów Część 6: Modele rozumowań. Pojęcie wynikania Rafał Gruszczyński Katedra Logiki Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011/2012 Spis treści 1 Modele rozumowań 2 Wynikanie 3 Rozumowania poprawne
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoTeoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami
Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria
Bardziej szczegółowoRelacje. Zdania opisujące stosunki dwuczłonowe mają ogólny wzór budowy: xry, co czytamy: x pozostaje w relacji R do y.
Zdania stwierdzające relację Pewne wyrazy i wyraŝenia wskazują na stosunki, czyli relacje, jakie zachodzą między róŝnymi przedmiotami. Do takich wyrazów naleŝą m. in. wyrazy: nad, pod, za, przy, braterstwo,
Bardziej szczegółowoPodstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ
Logika Matematyczna: Podstawowe Pojęcia Semantyczne KRZ I rok Językoznawstwa i Informacji Naukowej UAM 2006-2007 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM http://www.logic.amu.edu.pl Dodatek: ściąga
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoTEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ
TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Bardziej szczegółowoDEFINICJA. Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B.
RELACJE Relacje 1 DEFINICJA Definicja 1 Niech A i B będą zbiorami. Relacja R pomiędzy A i B jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego tych zbiorów, R A B. Relacje 2 Przykład 1 Wróćmy do przykładu rozważanego
Bardziej szczegółowoParadoksy log o i g czne czn i inne 4 marca 2010
Paradoksy logiczne i inne 4 marca 2010 Paradoks Twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego
Bardziej szczegółowoTechnologie i systemy oparte na logice rozmytej
Zagadnienia I Technologie i systemy oparte na logice rozmytej Mają zastosowania w sytuacjach kiedy nie posiadamy wystarczającej wiedzy o modelu matematycznym rządzącym danym zjawiskiem oraz tam gdzie zbudowanie
Bardziej szczegółowoSemantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
Bardziej szczegółowoJEZYKOZNAWSTWO. I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca Imię i Nazwisko:... I
JEZYKOZNAWSTWO I NAUKI O INFORMACJI, ROK I Logika Matematyczna: egzamin pisemny 18 czerwca 2013 Imię i Nazwisko:.................................................................................. I Wybierz
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA Lekcja 17 Relacje częściowego porządku. Diagramy Hassego. ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Bardziej szczegółowoUZASADNIENIA METOD WYBORU SPOŁECZNEGO
DECYZJE nr 14 grudzień 2010 UZASADNIENIA METOD WYBORU SPOŁECZNEGO Grzegorz Lissowski* Uniwersytet Warszawski Streszczenie: Teoria wyboru społecznego zajmuje się warunkami nakładanymi na sposoby realizacji
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoWybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.
Bardziej szczegółowovf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoWykład XI. Podaż dóbr publicznych. Podatek Grovesa-Clarke a
Wykład XI Podaż dóbr publicznych. Podatek Grovesa-Clarke a Podaż dobra - głosowanie głosowanie większościowe => agregacja preferencji może prowadzić do nieprzechodniego porządku => manipulacja przez zmianę
Bardziej szczegółowoWstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia
Bardziej szczegółowoMonoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Bardziej szczegółowoO WYKŁADZIE TEORIA PODEJMOWANIA DECYZJI. Ignacy Kaliszewski i Dmitry Podkopaev
Zeszyty Naukowe Wydziału Informatycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informatyki Stosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2009 O WYKŁADZIE TEORIA PODEJMOWANIA DECYZJI Ignacy
Bardziej szczegółowo