Wyrażenia regularne.
|
|
- Nina Mucha
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoretyczne podstawy informatyki Wykład : Wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202
2 Wyrażenia regularne Wyrażenia regularne (ang. regular expressions) stanowią algebraiczny sposób definiowania wzorców. Wyrażenia regularne stanowią analogię do algebry wyrażeń arytmetycznych oraz do algebry relacyjnej. Zbiór wzorców które można wyrazić w ramach algebry wyrażeń regularnych odpowiada dokładnie zbiorowi wzorców, które można opisać za pomocą automatów. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
3 Operandy wyrażeń regularnych Wyrażenia regularne posiadają pewne rodzaje operandów niepodzielnych (ang. atomic operands). Poniżej lista: Znak Symbol ε Symbol Zmienna która może być dowolnym wzorcem zdefiniowanym za pomocą wyrażenia regularnego. Wartość wyrażenia regularnego jest wzorcem składającym się ze zbioru ciągów znaków, który często określa się mianem języka (ang. language). Język określony przez wyrażenia regularne E oznaczony będzie jako L(E) lub określany jako język wyrażenia E. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
4 Języki operandów niepodzielnych Języki operandów niepodzielnych definiuje się w następujący sposób. Jeżeli x jest dowolnym znakiem, to wyrażenie regularne x oznacza język {x}, to znaczy L(x) = {x}. Należy zauważyć, że taki język jest zbiorem zawierającym jeden ciąg znakowy. Ciąg ten ma długość i jedyna pozycja tego ciągu określa znak x. L(ε) = {ε}. Specjalny symbol ε jako wyrażenie regularne oznacza zbiór, którego jedynym ciągiem znakowym jest ciąg pusty, czyli ciąg o długości 0. L( ) =. Specjalny symbol jako wyrażenie regularne oznacza zbiór pusty ciągów znakowych. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
5 Języki operandów niepodzielnych Istnieją trzy operatory w odniesieniu do wyrażeń regularnych. Można je grupować przy użyciu nawiasów, podobnie jak ma to miejsce w przypadku innych znanych algebr. Definiuje się prawa kolejności działań oraz prawa łączności, które pozwalają na pomijanie niektórych par nawiasów tak jak w przypadku wyrażeń arytmetycznych. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
6 Operatory wyrażeń regularnych Suma: Symbol sumy (ang. union) oznacza się za pomocą symbolu. Jeżeli R i S są dwoma wyrażeniami regularnymi, to R S oznacza sumę języków określanych przez R i S. To znaczy L(R S) = L(R) L(S). L(R) i L(S) są zbiorami ciągów znakowych, notacja sumowania jest uzasadniona. Złożenie: Operator złożenia (ang. concatenation) nie jest reprezentowany przez żaden odrębny symbol. Jeżeli R i S są wyrażeniami regularnymi to RS oznacza ich złożenie. L(RS), czyli język określony przez RS, jest tworzony z języków L(R) i L(S) w sposób następujący: Dla każdego ciągu znakowego r należącego do L(R) oraz każdego ciągu znakowego s należącego do L(S), ciąg rs, czyli złożenie ciągów r i s, należy do L(RS). Złożenie dwóch list takich jak ciągi znaków, jest wykonywane przez pobranie po kolei elementów pierwszej z nich i uzupełnienie ich po kolei elementami drugiej listy. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
7 Operatory wyrażeń regularnych Domknięcie: Operator domknięcia (ang. closure), jest to operator jednoargumentowy przyrostkowy. Domknięcie oznacza się za pomocą symbolu *, tzn. R* oznacza domkniecie wyrażenia regularnego R. Operator domknięcia ma najwyższy priorytet. Efekt działania operatora domknięcia można zdefiniować jako określenie występowania zera lub większej liczby wystąpień ciągów znaków w R. Oznacza to że L(R*) składa się z: Ciągu pustego ε, który można interpretować jako brak wystąpień ciągów znaków w L(R). Wszystkich ciągów znaków języka L(R). Reprezentują one jedno wystąpienie ciągów znaków w L(R). Wszystkich ciągów znaków języka L(RR), czyli złożenia języka L(R) z samym sobą. Reprezentują one dwa wystąpienia ciągów znaków z L(R). Wszystkich ciągów znaków języka L(RRR), L(RRRR) i tak dalej, które reprezentują trzy, cztery i więcej wystąpień ciągów znaków z L(R). Nieformalnie można napisać: R* = e R RR RRR Wyrażenie po prawej stronie to nie jest wyrażeniem regularnym ponieważ zawiera nieskończoną liczbę wystąpień operatora sumy. Wszystkie wyrażenia regularne są tworzone ze skończonej liczby wystąpień operatorów. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
8 Kolejność operatorów wyrażeń regularnych Istnieje określona kolejność wykonywania trzech działań wyrażeń regularnych: sumy, złożenia oraz domknięcia. Kolejność ta jest następująca: Domknięcie (najwyższy priorytet) Złożenie Suma (najniższy priorytet) Przykład: a bc*d = (a ( b (c*) ) d ) Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
9 Prawa algebraiczne wyrażeń regularnych Możliwe jest aby dwa wyrażenia regularne określały ten sam język. Dwa wyrażenia regularne R S oraz S R określają ten sam język bez względu na postać wyrażeń regularnych jakie się podstawi za R i S. Wynika to z faktu że sumowanie jest przemienne. Dwa wyrażenia regularne są równoważne (ang. equivalent) jeżeli L(R) = L(S). Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
10 Prawa algebraiczne wyrażeń regularnych Tożsamość sumowania: ( R ) ( R ) R Tożsamość złożenia: ε R R ε R Anihilator złożenia: R R Przemienność sumowania: (R S) (S R ) Łączność sumowania: ( (R S) T ) ( R ( S T ) ) Łączność złożenia: ( ( R S ) T ) ( R ( S T ) ) Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
11 Prawa algebraiczne wyrażeń regularnych Lewostronna rozdzielność złożenia względem sumowania: ( R ( S T ) ) ( RS RT ) Prawostronna rozdzielność złożenia względem sumowania: ( ( S T ) R ) ( SR TR ) Idempotencja sumowania: ( R R ) R Równoważności operatora domknięcia: * ε RR* R*R ( RR* ε ) R* Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202
12 Od wyrażeń regularnych do automatów Istnieje sposób na zamianę dowolnego wyrażenia regularnego na automat niedeterministyczny, a następnie przez użycie konstrukcji podzbiorów zamiany takiego automatu na automat deterministyczny. Istnieje także możliwość zamiany dowolnego automatu na wyrażenie regularne, którego język dokładnie odpowiada zbiorowi ciągów znaków akceptowanych przez automat. Stąd automaty i wyrażenia regularne dają te same możliwości opisywania języków. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
13 Automaty z epsilon przejściami Należy rozszerzyć notacje używaną w przypadku automatów w celu umożliwienia opisu krawędzi posiadających etykietę ε. Takie automaty wciąż akceptują ciąg znaków s wtedy i tylko wtedy, gdy ścieżka zaetykietowana ciągiem s wiedzie od stanu początkowego do stanu akceptującego. Symbol ε, ciąg pusty, jest niewidoczny w ciągach znaków, stąd w czasie konstruowania etykiety danej ścieżki w efekcie usuwa się wszystkie symbole ε i używa tylko rzeczywistych znaków. ε Automat z ε-przejściami dla wyrażenia a bc* Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
14 Automaty z przejsciami Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
15 Automaty z przejsciami Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
16 Od wyrażeń regularnych do automatów z epsilon przejściami Wyrażenie regularne zamienia się na automat przy użyciu algorytmu opracowanego na podstawie indukcji zupełnej względem liczby wystąpień operatorów w wyrażeniu regularnym. Twierdzenie S(n): Jeżeli R jest wyrażeniem regularnym o n wystąpieniach operatorów i braku zmiennych jako operatorów niepodzielnych, to istnieje automat A z ε-przejściami, który akceptuje ciągi znaków należące do języka L(R) i żadne inne. Ponadto automat A: posiada tylko jeden stan akceptujący, nie posiada krawędzi wiodących do jego stanu początkowego, nie posiada krawędzi wychodzących z jego stanu akceptującego. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
17 Podstawa Jeżeli n=0, to R musi być operandem niepodzielnym, którym jest, ε lub x dla pewnego symbolu x. Dla owych trzech przypadków można zaprojektować 2- stanowy automat, spełniający wymagania twierdzenia S(0). start start ε Automat dla Automat dla ε start x Automat dla x Automaty dla przypadków bazowych. Każdy spełnia warunki, 2, 3 (patrz poprzednia strona). Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
18 Indukcja Zakładamy teraz, ze S(i) jest prawdziwe dla wszystkich i n. To znaczy, że dla każdego wyrażenia regularnego R o maksymalnie n wystąpieniach istnieje automat spełniający warunek hipotezy indukcyjnej i akceptujący wszystkie ciągi znaków języka L(R) i żadnych innych. Zajmiemy się tylko najbardziej zewnętrznym operatorem w R, co oznacza, że wyrażenie R może mieć tylko formę R R2, R R2, R* w zależności od tego czy ostatni użyty operator był operatorem sumy, złożenia lub domknięcia. Wyrażenie R, R2 nie mogą posiadać więcej niż n operatorów. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
19 Przypadek : R = R R2 Przechodzimy krawędzią zaetykietowaną symbolem ε do stanu początkowego automatu dla R lub automatu dla R2. Następnie przechodzimy do stanu akceptującego tego automatu, a później przejściem ε do stanu akceptującego automatu R. ε Dla R ε ε Dla R2 ε Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
20 Przypadek 2: R = R R2 Automat posiada jako swój stan początkowy stan początkowy automatu dla wyrażenia R, a jako swój stan akceptujący stan akceptujący dla wyrażenia R2. Dodajemy także ε - przejście ze stanu akceptującego automatu dla wyrażenia R do stanu początkowego automatu dla wyrażenia R2. Stan akceptujący pierwszego automatu przestaje być stanem akceptującym, a stan początkowy drugiego automatu przestaje być stanem początkowym w skonstruowanym automacie. start Dla R ε Dla R2 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
21 Przypadek 3: R = R* Do automatu dla wyrażenia R dodajemy nowy stan początkowy i akceptujący. Stan początkowy posiada ε przejście do stanu akceptującego (a więc akceptowany jest ciąg ε) oraz do stanu początkowego automatu dla wyrażenia R. Stan akceptujący automatu dla wyrażenia R otrzymuje ε- przejście z powrotem do swojego stanu początkowego oraz do stanu akceptującego automatu dla wyrażenia R. Stan początkowy i akceptujący automatu dla wyrażenia R nie są stanami początkowym i akceptującym konstruowanego automatu. Etykiety ścieżek odpowiadają ciągom należącym do języka L(R*) czyli L(R). Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
22 Eliminacja epsilon-przejść Jeżeli stanem bieżącym jest dowolny stan s automatu z ε- przejściami, oznacza to że jednocześnie stanem bieżącym jest dowolny stan, do którego można się dostać z s w wyniku przejścia ścieżki zawierającej krawędzie zaetykietowane symbolem ε. Wynika to z faktu, że bez względu na to, jaki ciąg etykietuje wybraną ścieżkę prowadzącą do s, ten sam ciąg będzie także stanowił etykietę ścieżki rozszerzonej o ε-przejścia. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
23 Eliminacja ε przejśćść Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs Automat z ε-przejściami dla wyrażenia a bc* Dla grafu automatu usuwamy wszystkie ścieżki oznaczone rzeczywistymi etykietami. Przeprowadzamy przeszukiwanie w głąb pozostałego grafu
24 Tabela osiągalności Automat z ε-przejściami dla wyrażenia a bc* Dla grafu automatu usuwamy wszystkie ścieżki oznaczone rzeczywistymi etykietami. Przeprowadzamy przeszukiwanie w głąb pozostałego grafu. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
25 Tabela osiągalności Posiadając informacje o osiągalności, możemy skonstruować równoważny automat nie posiadający ε-przejść. Stany do których przechodzi się krawędziami zaetykietowanymi symbolami rzeczywistymi nazywamy stanami istotnymi. W nowym automacie chcemy zawrzeć tylko te stany oraz stany początkowe dla zbioru jego własnego zbioru stanów. Należy też zadecydować które stany będą stanami akceptującymi. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
26 Automat skonstruowany na podstawie eliminacji ε - przejść. Automat akceptuje wszystkie ciągi języka L (a bc*). Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
27 Automat skonstruowany na podstawie eliminacji ε - przejść. Automat akceptuje wszystkie ciągi języka L (a bc*). Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
28 Od automatów do wyrażeń regularnych. Dla każdego automatu istnieje A wyrażenie regularne, którego język dokładnie odpowiada zbiorowi ciągu znaków akceptowanych przez automat A. Konstrukcja polega na eliminacji stanów automatów. Etykiety krawędzi, które są zbiorami znaków, zastępuje się bardziej skomplikowanymi wyrażeniami regularnymi. Jeżeli dla pewnej krawędzi istnieje etykieta {x,x2,...xn}, zastępuje się ją wyrażeniem regularnym x x2 xn, które reprezentuje ten sam zbiór symboli. Etykietę ścieżki można postrzegać jako złożenie wyrażeń regularnych opisujących krawędzie tej ścieżki, lub jako język zdefiniowany przez złożenie tych wyrażeń. Przykład: Wyrażenia regularne etykietujące krawędzie to a b i a b c. Zbiór znaków etykietujących tę ścieżkę składa się z tych, które występują w języku zdefiniowanym przez wyrażenia regularne: (a b)( a b c) czyli {aa, ab, ac, ba, bb, bc}. a b a b c 0 2 Ścieżka z wyrażeniami regularnymi jako etykietami. Etykieta ścieżki należy do wyrażeń regularnych utworzonych w wyniku złożeń. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
29 Konstrukcja eliminacji stanów. Kluczowym etapem konwersji z postaci automatu na wyrażenie regularne jest eliminacja stanów. Chcemy wyeliminować stan u, ale chcemy zachować etykiety krawędzi występujące w postaci wyrażeń regularnych, tak aby zbiór etykiet ścieżek miedzy dowolnymi pozostałymi stanami nie uległ zmianie. Poprzedniki stanu u to s, s 2,..., s n zaś następniki stanu u to t, t 2,..., t m (mogą też istnieć stany wspólne). Zbiór ciągów znaków etykietujących ścieżki wiodące z wierzchołków s i do wierzchołka u, włącznie z ścieżkami biegnącymi kilkakrotnie wokół pętli u u, oraz z wierzchołka u do wierzchołka t j, jest opisany za pomocą wyrażenia regularnego S i U* T j. Po eliminacji wierzchołka u należy zastąpić etykietę R ij, czyli etykietę krawędzi s i t j przez etykietę R ij S i U* T j. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
30 Redukcja filtra odbijającego Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
31 Redukcja filtra odbijającego Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
32 Redukcja zupełna automatu W celu otrzymania wyrażenia regularnego określającego wszystkie ciągi znaków akceptowane przez automat A i żadne inne, należy rozpatrzyć po kolei każdy stan akceptujący t automatu A. Każdy ciąg znaków akceptowany przez automat A jest akceptowany dlatego, że etykietuje on ścieżkę wiodąca ze stanu początkowego s do pewnego stanu akceptującego t. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
33 Posumowanie Trzy sposoby określania języków dają te same możliwości wyrażania: Istnieje pewien automat deterministyczny, akceptujący wszystkie ciągi znaków języka L i żadne inne. Istnieje pewien, być może niedeterministyczny automat, akceptujący wszystkie ciągi znaków języka L i żadne inne. Język L jest językiem L(R) pewnego wyrażenia regularnego. Konstrukcja podzbiorów pokazuje, że 2. implikuje. Stwierdzenie. implikuje 2. gdyż automat deterministyczny jest szczególnym rodzajem automatu niedeterministycznego. Przechodzenie od wyrażeń regularnych do automatów oznacza że 3. implikuje 2. Przechodzenie od automatów do wyrażeń regularnych oznacza że 2. implikuje 3. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
34 Posumowanie Automaty deterministyczne mogą być używane jako podstawa programów, które rozpoznają wiele różnych rodzajów wzorców w ciągach znaków. Wyrażenia regularne są często przydatną konwencją tonacyjną opisywania wzorców. Istnieje formalizm praw algebraicznych dla wyrażeń regularnych. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 10: Opis wzorców - wyrażenia regularne. http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wyrażenia regularne Wyrażenia
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 9: Wzorce, automaty, wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wzorce i automaty Problematyka wzorców stanowi bardzo rozwiniętą dziedzinę wiedzy.
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 10, part I 2 Wzorce, automaty Definicja Grafy reprezentujące maszyny stanów Symulacje automatów Automaty
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 10b: Wzorce i automaty. http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2009/tpi-2009 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wzorce i automaty Problematyka wzorców
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI: POWTÓRKA CZ. II
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI: POWTÓRKA CZ. II 27/01/2014 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 8 2 Modele danych: grafy Podstawowe pojęcia Grafy wywołań Grafy skierowane
Języki regularne, rozpoznawanie wzorców regularnych, automaty skończone, wyrażenia regularne
Języki regularne, rozpoznawanie wzorców regularnych, automaty skończone, wyrażenia regularne Automat skończony (AS), ang. Finite Automaton (FA) Automat skończony (automat czytający, maszyna Rabina-Scotta)
Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Stany równoważne Stany p i q są równoważne,
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Automaty... 2 Cechy automatów... 4 Łączenie automatów... 4 Konwersja automatu do wyrażenia
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 8b: Algebra relacyjna http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2009/tpi-2009 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Algebra relacyjna Algebra relacyjna (ang.
AUTOMATY SKOŃCZONE. Automat skończony przedstawiamy formalnie jako uporządkowaną piątkę:
AUTOMATY SKOŃCZONE DETERMINISTYCZNY AUTOMAT SKOŃCZONY - DAS Automat skończony jest modelem matematycznym systemu o dyskretnych wejściach i wyjściach. System taki w danej chwili może znajdować się w jednym
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1
Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...
Opis wzorców polegający na na wykorzystaniu modelu definicji rekurencyjnych, nazywamy gramatyką bezkontekstową (ang. contex-free grammar).
1 2 Opis wzorców polegający na na wykorzystaniu modelu definicji rekurencyjnych, nazywamy gramatyką bezkontekstową (ang. contex-free grammar). Jednym z ważnych zastosowań gramatyksą specyfikacje języków
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
Automat ze stosem. Języki formalne i automaty. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Automat ze stosem Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Automat ze stosem (1) dno stosu Stos wierzchołek stosu Wejście # B B A B A B A B a b b a b a b $ q i Automat ze
Teoretyczne podstawy informatyki. Wykład 12: Gramatyki. E. Richter-Was 1
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 12: Gramatyki 1 18.12.2012 Gramatyki bezkontekstowe Opis wzorców polegający na wykorzystaniu modelu definicji rekurencyjnych, nazywamy gramatyką bezkontekstową (ang.
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI Podstawowe pojęcia teorii automatów i języków Zbiór grupa obiektów, nazywanych elementami zbioru, traktowana jako całość {0,5,7,21,57,12,18} Ciąg lista obiektów nazywanych
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
Obliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
ZADANIA Z AUTOMATU SKOŃCZONEGO SPRAWOZDANIE NR 4
ZADANIA Z AUTOMATU SKOŃCZONEGO SPRAWOZDANIE NR 4 Dla każdego zadania określić: graf przejść tablicę stanów automatu skończonego akceptującego określoną klasę słów podać dwa przykłady ilustrujące parę AS
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Jaki język zrozumie automat?
Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy
JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2. JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2
Dowodzenie nieregularności języka [lemat o pompowaniu] Jeśli L regularny to istnieje stała c spełniająca : jeżeli z L, z c to istnieje dekompozycja w = u v x tak, że uv i x L dla każdego i 0 [lemat o skończonej
Maszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 6a: Model danych oparty na zbiorach http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Model danych oparty na zbiorach
Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek Matematyka Paulina Barbara Rozwód Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń praca magisterska studia
Imię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 6
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 6 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Wyrażenia regularne... 2 Standardy IEEE POSIX Basic Regular Expressions (BRE) oraz Extended
Hierarchia Chomsky ego
Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym
Temat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów skończonych
Opracował: dr inż. Zbigniew Buchalski KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie Temat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów
KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204
Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych
JAO - Wprowadzenie do Gramatyk bezkontekstowych Definicja gramatyki bezkontekstowej Podstawowymi narzędziami abstrakcyjnymi do opisu języków formalnych są gramatyki i automaty. Gramatyka bezkontekstowa
10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
Logika binarna. Prawo łączności mówimy, że operator binarny * na zbiorze S jest łączny gdy (x * y) * z = x * (y * z) dla każdego x, y, z S.
Logika binarna Logika binarna zajmuje się zmiennymi mogącymi przyjmować dwie wartości dyskretne oraz operacjami mającymi znaczenie logiczne. Dwie wartości jakie mogą te zmienne przyjmować noszą przy tym
Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe. dr inż. Artur Cichowski
Wykład nr 1 Techniki Mikroprocesorowe dr inż. Artur Cichowski ix jy i j {0,1} {0,1} Dla układów kombinacyjnych stan dowolnego wyjścia y i w danej chwili czasu zależy wyłącznie od aktualnej kombinacji stanów
-termami -wyrażeń pre-termami abstrakcją aplikacją zmiennych wolnych zmienną związaną domknięte
8. Wykład 8: Rachunek λ. Wprowadzenie. Rachunek lambda i logika kombinatoryczna powstały w latach trzydziestych dwudziestego wieku. Początkowo miały stanowić alternatywne wobec teorii mnogości podejście
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a
Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w
2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Teoretyczne podstawy informatyki. Repetytorium: Algorytmy Modele danych Automaty, wyrażenia regularne, gramatyki. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1
Teoretyczne podstawy informatyki Repetytorium: Algorytmy Modele danych Automaty, wyrażenia regularne, gramatyki Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Informatyka: mechanizacja abstrakcji modele danych:
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B:
Zbiory 1 Rozważmy dowolne dwa zbiory A i B. Suma A B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x A B) (x A x B). Część wspólna (przekrój) A B składa się z wszystkich
Teoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki Mgr inż. Janusz Marecki -1- -2- WSTĘP......... -3- -4- Spis treści 1. WPROWADZENIE... 8 1.1 DOW ODY INDUKCYJNE... 8 1.2 DOWODY WTEDY-I-TYLKO-W TEDY... 9 1.3 JĘZYKI... 11
Grafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Wprowadzenie do maszyny Turinga
Wprowadzenie do maszyny Turinga Deterministyczna Maszyna Turinga (DTM) jest pewną klasą abstrakcyjnych modeli obliczeń. W tej instrukcji omówimy konkretną maszynę Turinga, którą będziemy zajmować się podczas
Dopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Maszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Teoretyczne podstawy informatyki. Repetytorium: Algorytmy Modele danych Automaty, wyrażenia regularne, gramatyki. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1
Teoretyczne podstawy informatyki Repetytorium: Algorytmy Modele danych Automaty, wyrażenia regularne, gramatyki Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 6.10.2009 Informatyka: mechanizacja abstrakcji modele
złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
Efektywna analiza składniowa GBK
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI Efektywna analiza składniowa GBK Rozbiór zdań i struktur zdaniowych jest w wielu przypadkach procesem bardzo skomplikowanym. Jego złożoność zależy od rodzaju reguł produkcji
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Sposób tworzenia deterministycznego automatu skończonego... 4 Intuicyjne rozumienie konstrukcji
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 10: Maszyny Turinga Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 29 kwietnia 2015 Plan Maszyny Turinga (Niedeterministyczna) maszyna Turinga M = (A, Q, q 0, F, T, B, δ) A
Odwrotna Notacja Polska
Odwrotna Notacja Polska Odwrotna Notacja Polska w skrócie ONP) jest sposobem zapisu wyrażeń arytmetycznych. Znak wykonywanej operacji umieszczany jest po operandach, argumentach tzw. zapis postfiksowy).
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu
Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Początek Gramatyka Kwantyfikatory Poprawność Plan wykładu 1 Na (dobry) początek Zrozumieć słowa Oswoić znaki 2 Gramatyka
Generacja kodu docelowego
Generacja kodu docelowego Zagadnienia związane z generacją kodu Język wejściowy i wynikowy Zarządzanie pamięcią (adresacja) Wybór rozkazów maszynowych (koszty rozkazów) Przydział i wyznaczanie rejestrów
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III)
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III) wer. 9 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2018-12-18 08:22:34 +0100 Upraszczanie danych Komputery są coraz szybsze i sprawniejsze. Na potrzeby rozważań naukowych
Pole wielokąta. Wejście. Wyjście. Przykład
Pole wielokąta Liczba punktów: 60 Limit czasu: 1-3s Limit pamięci: 26MB Oblicz pole wielokąta wypukłego. Wielokąt wypukły jest to wielokąt, który dla dowolnych jego dwóch punktów zawiera również odcinek
Drzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
GRAMATYKI BEZKONTEKSTOWE
GRAMATYKI BEZKONTEKSTOWE PODSTAWOWE POJĘCIE GRAMATYK Przez gramatykę rozumie się pewien układ reguł zadający zbiór słów utworzonych z symboli języka. Słowa te mogą być i interpretowane jako obiekty językowe
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Zbiory Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel.618295833 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 8 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Konwersja NFA do DFA... 2 Minimalizacja liczby stanów DFA... 4 Konwersja automatu DFA do
Wstęp do Matematyki (2)
Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie
Operatory. Operatory bitowe i uzupełnienie informacji o pozostałych operatorach. Programowanie Proceduralne 1
Operatory Operatory bitowe i uzupełnienie informacji o pozostałych operatorach. Programowanie Proceduralne 1 Przypomnienie: operatory Operator przypisania = przypisanie x = y x y Operatory arytmetyczne
Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych
Szczepan Hummel Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych 24.11.2005 1. Minimalizacja automatów deterministycznych na słowach skończonych (DFA) [HU] relacja
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Graf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych
Elementy logiki: Algebra Boole a i układy logiczne 1 Elementy logiki dla informatyków Wykład III Elementy logiki. Algebra Boole a. Analiza i synteza układów logicznych Elementy logiki: Algebra Boole a
Wyrażenie nawiasowe. Wyrażenie puste jest poprawnym wyrażeniem nawiasowym.
Wyrażenie nawiasowe Wyrażeniem nawiasowym nazywamy dowolny skończony ciąg nawiasów. Każdemu nawiasowi otwierającemu odpowiada dokładnie jeden nawias zamykający. Poprawne wyrażenie nawiasowe definiujemy
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych mgr inż. Olga Siedlecka olga.siedlecka@icis.pcz.pl Zakład Informatyki Stosowanej i Inżynierii Oprogramowania Instytut Informatyki
Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów
17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące
Arytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Zależności funkcyjne
Zależności funkcyjne Plan wykładu Pojęcie zależności funkcyjnej Dopełnienie zbioru zależności funkcyjnych Postać minimalna zbioru zależności funkcyjnych Domknięcie atrybutu relacji względem zależności
- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania
Rozwiązywanie problemów metodą przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Reprezentacja problemu w przestrzeni stanów Jedną z ważniejszych metod sztucznej
Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Obliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Od maszyn Turinga do automatów komórkowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 03/03/2016 1 / 16 1 2 3 Krótka historia Znaczenie 2 / 16 Czego dowiedzieliśmy się
Technologie baz danych
Plan wykładu Technologie baz danych Wykład 2: Relacyjny model danych - zależności funkcyjne. SQL - podstawy Definicja zależności funkcyjnych Reguły dotyczące zależności funkcyjnych Domknięcie zbioru atrybutów
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =
Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 7 Model danych oparty na zbiorach 18.11.2008 Model danych oparty na zbiorach Zbiór jest najbardziej podstawowym modelem danych w matematyce. Wszystkie pojęcia matematyczne,
Analiza leksykalna 1. Teoria kompilacji. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Analiza leksykalna 1 Teoria kompilacji Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Zadanie analizy leksykalnej Kod źródłowy (ciąg znaków) Analizator leksykalny SKANER Ciąg symboli leksykalnych (tokenów)
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 11: Obliczalność i nieobliczalność Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 6 maja 2015 Plan 1 Problemy częściowo rozstrzygalne 2 Problemy rozstrzygalne 3 Funkcje (częściowo)