ANALIZA N IELIN IOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH BELEK WIELOPRZĘ SŁOWYCH
|
|
- Bernard Szulc
- 9 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 26 (1988) ANALIZA N IELIN IOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH BELEK WIELOPRZĘ SŁOWYCH ROMAN LEWANDOWSKI Politechnika Poznań ska W niniejszej pracy podano numeryczne rozwią zanie dla geometrycznie nieliniowych drgań własnych belek cią głych których koń ce są sprę ż yśe ci podparte w kierunku poziomym. Pominię to poziome i obrotowe siły bezwładnoś ci a belki traktuje się jako ukł ady z cią głym rozkł adem masy. Zastosowano podejś cie wariacyjne, metodę elementów skończonych oraz pewną procedurę iteracyjną do wyznaczenia nieliniowych czę stoś i ci postaci drgań. Podano wyniki przykł adowych obliczeń numerycznych. 1. Wstę p Belki poddane drganiom o duż ych amplitudach należy traktować jako ukł ady nieliniowe. Analiza drgań wł asnych oraz ustalonych, harmonicznie wymuszonych drgań belek jednoprzę sł owych był a przedmiotem szeregu publikacji spoś ród których dla przykładu moż na wymienić prace [l- s- 14]. W pracach [1- ^7] do rozwią zania problemu uż y- wano przybliż onych metod analitycznych, a metodę elementów skoń czonych zastosowano w pracach [ ]. Przeprowadzono szczegółowe analizy wpływu poszczególnych parametrów belki na czę stoś i cdrgań wł asnych. We wszystkich pracach zgodnie stwierdza się zasadniczy wpływ odkształceń osi belki oraz braku swobody przesuwu koń ców belki w poziomie na jej nieliniowe zachowanie. W pracach [7, 12] wykazano również, że sprę ż yst e podparcie koń ców belki w poziomie znaczą co zwię ksza czę stoś i cdrgań własnych. Ponadto w [3, 13] stwierdza się nieznaczny wpływ poziomych sił bezwł adnoś ci na czę stośi c drgań. Belki jednoprzę - słowe charakteryzują się wzrostem czę stoś i cdrgań wraz ze wzrostem amplitudy. Rzadko wystę pują ce przypadki dla których nastę puje zmniejszenie czę stośi c drgań przy wzrastają cych amplitudach omówiono w [12]. W pracy [6] wykazano istotny wpływ nieliniowego, sprę ż ystego podparcia belki w kierunku pionowym na czę stośi c i postacie drgań. Problem sprzę ż eni a postaci drgań w stanie ustalonym drgań harmonicznie wymuszonych analizowano w pracy [5], a w [14] podano nową numeryczną metodę analizy drgań ustalonych w otoczeniu rezonansu gł ównego.
2 472 R- LEWANDOWSKI, Autorowi ń ie są znane prace dotyczą ce problemów nieliniowej dynamiki belek cią g- łych. N iniejsza praca podaje przybliż one rozwią zanie zagadnienia drgań wł asnych geometrycznie nieliniowych belek cią głych. W szczególnoś ci wyznacza się nieliniowe czę stoś ic i postacie drgań. Podano wariacyjne sformułowanie problemu. Zał oż ono rozwią zanie harmonicznie zmienne wzglę dem czasu, a wzglę dem zmiennej przestrzennej problem sprowadzono do rozwią zania nieliniowego zadania na wartoś ci wł asne. Nieliniowy problem własny rozwią zano numerycznie. Zastosowano metodę elementów skoń czonych oraz wyprowadzono dynamiczne macierze mas i sztywnoś ci elementów. 2. Sformułowanie problemu i jego rozwią zanie W pracy analizuje się drgania własne belek wieloprzę słowych opartych na niepodatnych podporach. Skrajne podpory mają wię zy sprę ż yst e o współ czynnikach podatnoś ci k Q i k krę pują ce swobodę przemieszczania koń ców belki w kierunku poziomym. Na belkę g m 1» m? I ) J 2 S " " o ft '2,»J ;.i. *«J lad J- j m 1 Rys. 1. Widok rozpatrywanej belki działa osiowa sił a statyczna S, masa belki jest rozłoż ona w sposób cią gły na je] długoś ci, a ponadto w pewnych punktach są skoncentrowane masy skupione. Moment bezwładnoś ci I(pć ),pole przekroju poprzecznego A(x) oraz jednostkowa masa belki m(x) są stale na pewnych odcinkach belki. Przykł adową belkę wraz z uż ywanymi oznaczeniami pokazano na rys. 1. Zwią zki geometryczne dla rozpatrywanej belki mają postać: 8u 1 (8w 2 gdzie M, w, s, K oznaczają kolejno: poziome i pionowe przemieszczenie belki, odkształcenie osi belki oraz jej krzywiznę. Zakł adają c, te poziome oraz obrotowe siły bezwładnoś ci są pomijalnie mał e, z warunku równowagi ^x 0 i po uwzglę dnieniu (2.1) l5 otrzymamy nastę pują ce wyraż enie nasilę normalną w belce wywołaną odkształ ceniami osi belki: N(t) = Cał kują c (2.2) w granicach od 0 do / oraz uwzglę dniając warunki brzegowe w(0) = k 0 N(t), u(l) = k N(t) moż emy wyraż enie na siłę N(t) zapisać w postaci:
3 NIELINIOWE DRGANIA WŁ ASNE 473 m - - S-1 \ ~\ dx. (2.3) EA gdzie fe = Ć / H j (ko+k ), d = 2J hajla e, A oznacza, porównawcze pole przekroju poprzecznego belki. Ze wzoru (2.3) wynika, że sił a normalna N(t) jest stał a na dł ugoś ic belki. Po wykorzystaniu powyż szych spostrzeż eń energię potencjalną i kinetyczną rozpatrywanego ukł adu moż na zapisać w postaci: 0 " H ' (2.4) (k 0 + k n ) + Dwa ostatnie skł adniki w (2.4) uwzglę dniaj ą wpł yw podatnoś ci skrajnych podpór. Ponieważ poszukujemy rozwią zań okresowych, więc zakł adamy, że w pierwszym przybliż eniu przemieszczenia dynamiczne belki moż na aproksymować funkcją o postaci: w(x, t) = uv(x)co$cat, (2.6) gdzie v(x) oznacza nieliniową postać drgań unormowaną w ten sposób aby dla x = x, v(x) = 1, a amplitudę drgań punktu x x belki a co nieliniową czę stość drgań. Rozwiązanie powyż sze speł nia warunki począ tkowe o postaci: w(x,0) = a.v(x), w(x, 0) = 0. Jak wynika, np. z pracy [15], przyję cie w omawianym przypadku harmonicznego przebiegu drgań w czasie dobrze przybliża rozwią zanie dokł adne. Podstawiając (2.6) do cał ki dział ania W' = J (K- U)dt oraz cał kując wzglę dem czasu -* o w przedziale równym poszukiwanemu okresowi drgań T 2^/ w otrzymamy funkcjonał o postaci: / n i. \ C 1 Vi 1 f / d 2 v \ W(v) = -p m 2 a 2 m(x)v 2 (x)dx+~- > <x 2 M e vl - ot, 2 EI(x) - ^- 5- dx- 4 J 4 t t 4 J \ ax I o «= i o (2-7) J 2 ^(x) gdzie: 5 Mech. Teoret. i Stos. 3/ 88
4 474 R. LEWANDOWSKI Warunek stacjonamoś ci funkcjonał u (2.7) dla m(x) = m, M e A(x) = A, I(x) = j prowadzi do równania róż niczkowego o postaci: ^mv( X )^0. (2.8) Jak wykazano w pracy [7] rozwią zanie równania (2.8) dla ję dnoprzę słowej belki ma postać: v(x) =D t ć hd^- +D 2 shd~+d 3 cosv- j- + D * s^'>'- ^-, (2.9) gdzie 2>x, Z) 2, - O3, D* to stał e, oraz: = / 2 \ ~ c\ (El). (2.10) N ieliniowość zadania wymaga ustalenia właś ciwej wartoś ci stał ej C. Moż na ją wyznaczyć stosują c iteracyjny sposób postę powania podany w pracy [7]. Dla belki cią głej stosuje się metodę elementów skoń czonych, dla wyznaczenia nieliniowej postaci drgań v(x). Belkę dzieli się na elementy w ten sposób aby w każ dym typowym elemencie e masa jednostkowa belki m(x) = m e, pole przekroju poprzecznego A(x) = A e, oraz jego moment bezwładnoś ci I(x) = I e były stał e. Ponadto miejsca wystę - powania podpór oraz mas skupionych winny pokrywać się z brzegami elementów. Zwią - zek (2.9) moż na teraz przyją ć jako rozwią zanie dla pojedynczego elementu skoń czonego, a stałe Z>j potraktować jako uogólnione parametry wę złowe. Macierzowa postać zależ nośi c(2.9) jest nastę pują ca: gdzie: N'(x)= {N ly N 2,N 3,N*}, v(x) = N'q e) ą e = {D\, D%, D%, D%), N 2 = N 3 = (2.9a) C = *//., ft = o> 2 mjtkei e ), y\ = l 2 els+~cj (EQ, a ( )' oznacza transpozycję macierzy. + w e a g* 1 1 w(j ~~M" ) b, Is 2 Rys. 2. Element belkowy 2
5 NIELINIOWE DRGANIA WŁ ASNE 475 dv ~dx Kinematyczne warunki na brzegach elementu v( 5l e ) = v%, z>(54) = g, dv gdzie: v = «, <pl, v%, <p e b }, v e = A e = cpl (porównaj rys. 2) pozwalają na napisanie równań: 1 q e) q e = A e v e, (2.11) 2F 1 F 2 v e sf ls - hcfx, v g ~sf L, ł e cf t v e cf 2, l e sf 2, - v~cf 2, IJF 2 eś F x, l e Ć tl F t, ~! e Ć ± F _- S e Ć 2 F, ~l e Ś F 2, S e Ć 2 F, - e lsf 2 _ F 1 = d e Cc- v c Ss, C= ch<5 e / 2, S = shd e l2. F 2 = v e Cs + d e Sc, c = cosvjz, s = sm (2.12) Podstawiając (2.9a) i (2.11) do (2.7) moż emy funkcjonał W(v) zapisać w nastę pują ce j postaci macierzowej: W(V) = ifl^'vmv-1 * 2 VKV~^- C(V, a2 } _ gdzie: C(V, a 2 ) = EAa 2 2lk J *' ' 2//c VBV, (2.13) V = lv' v f v* v f } M = Mt + Mj, Mj oznacza diagonalną macierz utworzoną z mas skupionych. Globalne macierze M 2, K, B powstał y w wyniku agregacji odpowiednio macierzy M c, K e, B e elementu. Postacie M e, K e, B e podano poniż ej : X,= 2<5 F*. <S 2 + v 2 1 2r n ^2, 1 2 Ó V j -7 5*
6 476 R. LEWANDOWSKI El 2 2d 2 v 2 ó 2 +v 2 - Fi F d o, 25 V 6 z +v 28 2 v 2 o, 2dv F f i V <5 2 + y 2 x 0 ~2~ F(i n U 5 Z e = ii / ' 2 dv - F x, -- ó 2 i- 2 v 0 d 2 2dv ó 2+v 2 3l,. c2 2" Fs (2.14) F 3 mu Ó+2Ś Ć F, 4 = 2Ś Ć -d, F s = y+2sc, F 6 = v- 25e" (') - - ^. We wzorach (2.14), dla uproszczenia zapisu, opuszczono indeks e przy /, m, I, d, v. Warunek stacjonarnoś ci funkcjonał u (2.7a) 6W(V) = 0 prowadzi do poniż szego równania: 2 MV- KV.<?+ = 0.. (2.15) Równanie (2.15) ł ą cznie z odpowiednimi warunkami brzegowymi definiuje tzw. nie-, liniowy problem własny [6, rl8]. Kwadrat czę stoś i cdrgań własnych jest nieliniową wartoś cią wł asną, a wektor V nieliniowym wektorem wł asnym. Zauważ my, że macierze M, K, B oraz stała C są złoż onymi funkcjami co i V. Rozwią zując powyż szy problem własny wyznaczymy co i V a tym samym rozwią ż emy postawione w pracy zagadnienie. Rozwią zanie problemu liniowych drgań własnych otrzymamy po rozwią zaniu równania macierzowego (2.15) w którym formalnie podstawimy a = 0. Metodę rozwią zania nieliniowego problemu własnego opisano w nastę pnym punkcie pracy. 3. Rozwią zanie nieliniowego problemu własnego Teoria nieliniowych problemów własnych jest do tej pory stosunkowo sł abo opracowana. Tym niemniej opracowano już kilka efektywnych metod numerycznych za pomocą których moż na uzyskać rozwią zanie. Omówienie tych metod moż na znaleźć w pracach
7 NIELINIOWE DRGANIA WŁ ASNE 477 [17, 18]. W pracy [19] podano nową metodę rozwią zania bę dąą crozszerzeniem metody wektorów iterowanych na przypadek nieliniowy. Przystę pując do opisu metody rozwią zania problemu wł asnego opisanego równaniem (2.15) zakł adamy, źe interesuje nas tylko jedno z rozwią zań które dla a zmierzają cego do zera przechodzi w wybraną postać i czę stość drgań belki traktowanej jako ukł ad liniowy. Ponadto dą ż ymy do numerycznego wyznaczenia krzywej szkieletowej i wobec tego zamierzamy okreś lić co i V dla cią gu rosną cych wartoś ci parametru a. Rozwią zanie uzyskuje się za pomocą opisanego poniż ej procesu iteracyjnego. Zakł a- damy, że dla danej wartoś ci oc znane jest przybliż enie począ tkowe C, co i V oznaczone przez Cu (Oi, Vj (indeks i oznacza numer iteracji). Wybór począ tkowego przybliż enia rozwią zania w zasadniczy sposób wpł ywa na zbieżność procesu iteracyjnego. Na podstawie doś wiadczeń numerycznych stwierdzono, źe szybką zbież ność uzyskuje się przyjmują ce pierwsze przybliż enia w sposób nastę pują cy : a) dla a = 0 (poszukiwanie rozwią zania liniowego problemu wł asnego) Ci = V a = = Wl a ^ gdzie a jest oszacowaniem poszukiwanej liniowej czę stośi cdrgań co u b) dla a = Aa. (pierwszy przyrost amplitudy drgań) jako pierwszy przybliż enie postaci drgań przyjmuje się wybraną liniową postać, a> t i C t wyznacza się ze wzorów: ^, (3.1) V'BVJ<x\ (3.2) C a =~gdzie elementy macierzy B, M okreś la się przyjmując C = m = a>i, c) dla kolejnych przyrostów amplitudy drgań (np. a + 1 = x +Aoc) jako pierwsze przybliż enie postaci drgań wybiera się postać wyznaczoną dla a a co x i C t wyznacza się ze wzorów:, <ol = a>ł + tl'c +1, (3.3) Wykorzystując zwią zki (2.12) i (2.14) moż na, znając C t, a>i, V f, okreś lić macierze M e, K e, oraz B e a nastę pnie wygenerować macierze globalne M, K, B. Operacji tych nie moż na wykonać tylko wtedy gdy oj t pokrywa się z jedną z liniowych czę stośi cdrgań co et elementu skoń czonego traktowanego jako izolowana belka obustronnie utwierdzona. W tym przypadku iloczyn wystę pująy c w mianowniku wzoru (2.12) F 1 F 2 = 0 gdyż jest on identyczny z lewą stroną równania charakterystycznego belki obustronnie utwierdzonej. Jeż el i więc «j = co ale coj = co el to należy zmienić COJ przyjmując np. o>j = 98a> el. Jeż el i zaś co t = co e i oraz co t = co to należy zmienić podział belki na elementy i w ten sposób doprowadzić do zmiany ct) c,. Nastę pnie podstawiamy macierze M, K, B oraz stał ą C do równania (2.15) i rozwiązujemy otrzymany w ten sposób zlinearyzowany problem wł asny. Jako nowe przybliż enia "i+ i. V, + 1 wybieramy to rozwią zanie zlinearyzowanego problemu wł asnego którego wektor wł asny jest bliski dotychczasowemu przybliż eniu postaci drgań V.
8 478 R. LEWANDOWSKI Z kolei wykorzystując (2.13) wyznaczamy nowe przybliż enie stał ej C. W zasadzie wymaga to zastosowania pomocniczego procesu iteracyjnego gdyż, dla zadanego (0i +1> V i+ i, elementy macierzy B e zależą od C poprzez parametr y. Doś wiadczenia numeryczne pokazał y jednak, że bez szkody dla zbież nośi cmetody moż na zaniedbać to sprzę ż eni e i okreś lać elementy macierzy B e na podstawie dotychczasowego przybliż enia stał ej C. Mając nowe przybliż enia rozwią zania nieliniowego problemu wł asnego C i+ 1, a i+u V i+ 1 przystę pujemy do sprawdzenia warunków zbież nośi citeracji. Mają one postać:!c l+ i- C, *S «ic l+ 1, «? + 1 -»? < «3 a>?+ i, V + i- V, < 8 3 V, + 1 (3.5) gdzie ej,, s 2, 3 oznaczają przyję te dokł adnoś i cobliczeń, a ( normę euklidesową wektora. Jeż el i powyż sze nierównoś ci są speł nione to otrzymane ostatnio przybliż enie co i V traktujemy jako rozwią zanie nieliniowego problemu wł asnego. W przeciwnym wypadku powtarzamy opisane powyż ej postę powanie iteracyjne przyjmując C i+ 1, «o i+ 1, V i+ 1 'jako' nowe przybliż enie poszukiwanego rozwią zania. Podobny do opisanego powyż ej sposób rozwią zania nieliniowego problemu wł asnego został podany w pracach [8- Ml]. W niniejszej pracy został on rozszerzony na przypadek, w którym macierze M, K, B zależą od wartoś ci wł asnej. 4. Wyniki obliczeń numerycznych Posł ugując się opisaną powyż ej metodą uzyskano rozwią zania szeregu przykł adowych zadań. Wyniki obliczeń wykonanych za pomocą maszyny cyfrowej przedstawiono na rys. 3- ;- 16. Uwagę skoncentrowano na analizie wpł ywu róż nych parametrów belki na zmianę stosunku nieliniowej czę stośi cdrgań do czę stośi ctej samej belki traktowanej jako ukł ad geometrycznie liniowy. W opisanych poniż ej przykł adach każ de przę sło belki dzielono na dwa elementy skończone. W wielu przypadkach moż na jednak bez szkody dla dokł adnoś i cobliczeń przyjąć dł ugość elementu skoń czonego równą dł ugoś i cprzę sła belki, ponieważ przyję te funkcje kształ tu są identyczne z funkcjami analitycznymi opisują cymi nieliniową postać drgań belki jednoprzę sł owe j o stał ym przekroju poprzecznym. Obliczenia wykonano przyjmując e t e 2 = e 3 = 001 jako dopuszczalne wzglę dne bł ę dy obliczeń. Ponadto we wszystkich przykł adach dotyczą cych belek dwuprzę sł owyc h a oznacza amplitudę drgań punktu poł oż onego w ś rodku lewego przę sł, a co p podstawową liniową czę stość drgań wł asnych rozpatrywanej belki. We wszystkich analizowanych przypadkach maksymalna liczba wykonywanych iteracji nie był a wię ksza od trzech przy czym bezwymiarowy przyrost amplitudy przyję to równy Ax/ i 5 (i oznacza promień bezwł adnoś i c przekroju lewego przę sł a). Dane podane w przykł adzie pierwszym należy traktować jako dane bazowe, w kolejnych przykł adach zmieniać się bę dą tylko te dane których zmiana jest niezbę dna do przeprowadzenia opisywanej analizy. Poza przykł adem pierwszym wszystkie pozostał e analizy dotyczą podstawowej czę stośi cdrgań Przykł ad i. Przykł ad ten ilustruje dokł adność rozwią zania otrzymywanego za pomocą metody elementów skoń czonych. Wyznaczono krzywe szkieletowe dla dwóch pierwszych czę stośi c drgań belki dwuprzę sł owe j o równych rozpię toś ciac h przę seł L,
9 NIELINIOWE DRGANIA WŁASNE 479 masach jednostkowych m(x) = m i charakterystykach geometrycznych I(x) = /, A(x) = m A. Ponadto przyję to k 0 - K = S = 0. Na rys. 3 pokazano krzywe szkieletowe dla belki spoczywają cej na podporach przegubowych, a na rys. 4 podobne krzywe dla belki Rys. 3. Krzywe szkieletowe belki swobodnie podpartej Rys. 4. Krzywe szkieletowe belki utwierdzonej na koń cach utwierdzonej na koń cach. Dla duż ych amplitud drgań brak swobody przesuwu koń ców belki w poziomie znaczą co zwię ksza czę stoś i cdrgań własnych. Ponieważ pierwsza postać drgań belki przegubowej jest antysymetryczna, wię c każ de jej przę sło zachowuje się tak jak izolowana belka jednoprzę sł owa. Podstawowa czę stość drgań jednoprzę sł owej belki przegubowo podpartej wyznacza się ze wzoru [7]: - I+ T6"(T) (4.1)
10 480 R. LEWANDOWSKI Wyniki pokazane na rys. 3 są identyczne z wynikami analitycznymi. W podobny sposób wykorzystują c rezultaty obliczeń zamieszczone w [7], sprawdzono pozostałe krzywe szkieletowe uzyskują c całkowitą zgodność wyników Przykład 2 wpływ podatnoś ci poziomej skrajnych podpór. Dla omówionych powyż ej belek dwuprzę słowych wykonano obliczenia zakładają c, że k 0 k n # 0. Wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 5,6 dla róż nych stosunków p = k 0 EAjL podatnoś ci skrajnej pod- Rys. 5. Krzywe szkieletowe belki swobodnie podpartej o róż nej podatnoś ci poziomej podpór skrajnych 1 2 Rys, 6. Krzywe szkieletowe belki utwierdzonej o róż nych podatnoś ciach poziomych podpór skrajnych pory do. podatnoś ci jednego przę sła na rozcią ganie. Znaczą ce efekty nieliniowe wystę pują również w przypadku duż ej podatnoś ci podpór przykładowo dla belki przegubowej o k 0 = L/ EA i a/ ż = 5,0 co = 1,83 a p. Dla belek o swobodnych koń cach mamy k 0 - = k n = co, co prowadzi do N(t) znikania czł onów nieliniowych w (2.15) i liniowego zachowania układu Przykład 3 wpływ statycznej siły osiowej S. N a rys. 7 i 8 przedstawiono krzywe szkieletowe belek poddanych dział aniu statycznej siły osiowej S. Parametr s = S/ S kr okreś la stosunek sił y osiowej d o pierwszej sił y krytycznej wyznaczonej wedł ug teorii
11 NIELINIOWE DRGANIA WŁASNE k 5 G 7 S 9 10 «1Z Rys. 7. Krzywe szkieletowe belki swobodnie podpartej poddanej dział aniu siiy osiowej (gp* Rys. 8. Krzywe szkieletowe belki utwierdzonej poddanej dział aniu sily osiowej Eulera. Osiowe sily rozcią gają ce zmniejszają efekty gometrycznej nieliniowoś ci w odróżnieniu od sił ś ciskają cych, które mogą w bardzo znacznym stopniu je zwię kszyć Przykład 4 wpływ róż nic w rozpię toś i cprzę seł* Analizowano belkę dwuprzę słową o stałej dł ugoś ci równej 2L, i róż nych proporcjach długoś ci przę seł A = / i/ / 2 - Wyniki 1J0 2 3 h Rys. 9. Wpł yw róż nic w rozpię toś ci przę seł belki swobodnie podpartej na podstawową czę stość drgań wjasnych
12 482 R. LEWANDOWSKI Rys. 10. Wpływ róż aic w rozpię toś i cprzę seł belki utwierdzonej na podstawową czę stość drgań własnych obliczeń przedstawiono na rys. 9 i 10. Wystę puje wyraź na redukcja efektów geometrycznej nieliniowoś ci, w tym także dla przę seł o mał ych róż nicach rozpię toś ci. Przykładowo dla belki przegubowej dla której A = 1,10 i a/ i = 5.0 efekty nieliniowe są w przybliż eniu o połowę mniejsze niż dla belki o równych rozpię toś ciach przę seł (A = 1.0) Przykład 5 wpływ róż ni c w szerokoś ci przekroju belki. W przykładach 5 i 6 założ ono, że belka ma prostoką tny przekrój poprzeczny o wymiarach b i h, róż ny w każ dym przę ś le. Rys. 11. Krzywe szkieletowe belki swobodnie podpartej w zależ nośi cod szerokoś ci przekroju poprzecznego Rys. 12. Krzywe szkieletowe belki utwierdzonej w zależ nośi cod szerokoś ci przekroju poprzecznego
13 NIELINIOWE DRGANIA WŁASNE 483 W omawianym przykł adzie zmianie ulegają proporcje mię dzy szerokoś ciami przekroju bi/ b 2, polami przekroi A 1 / A 2 i momentami bezwładnoś ci Ą fo podczas gdy promienie bezwładnoś ci pozostają takie same i x = i z = i. Wyniki obliczeń dla róż nych stosunków g = bi/ bi -» A t / A 2 = Iilh zaprezentowano na rys. 11 i 12. Dla obu sposobów podparcia wpływ nieliniowoś ci zmniejsza się jeż el i belka ma w każ dym przę śe linną szerokoś ć Przykład 6 wpływ róż ni c w wysokoś ci przekroju belki. Jeż el i w każ dym przę śe l wysokość przekroju poprzecznego jest inna i wynosi odpowiednio h t i h 2, to - 4iA4 2 = h x \h 2, hlh hilh 2, Ii/ ^ - (A1/A2) 2 - Na rys. 13 i 14 pokazano krzywe szkieletowe wyznaczone Rys. 13. Wpływ wysokoś ci przekroju belki przegubowo podpartej na czę stoś i cdrgań własnych Rys. 14. Wpływ wysokoś ci przekroju belki utwierdzonej na czę stoś i c drgań własnych dla belek charakteryzują cych się róż nymi stosunkami h hy\h 2. Jako porównawczy przyję to promień bezwładnoś ci i x. Również w tym przypadku obserwuje się zmniejszenie efektów nieliniowych w belkach o zróż nicowanych wysokoś ciach przekrojów poprzecznych Przykład 7 wpływ liczby przę seł. D la belki przegubowo podpartej krzywa szkieletowa podstawowej czę stoś i cdrgań nie zalety od liczby przę seł i jest opisana równaniem (4.1), co w pełni potwierdził y obliczenia numeryczne. Również krzywa szkieletowa belki
14 484 R. LEWANDOWSKI 1 2 Rys. 15. Wpływ liczby przę seł na czę stość drgań własnych dla belki jednostronnie utwierdzonej ł CV Rys. 16. Wpływ liczby przę seł na czę stoś i c drgań Własnych belki obustronnie utwierdzonej utwierdzonej na jednym koń cu w bardzo małym stopniu zależy od liczby przę seł. Na rys. 15 pokazano przykładowe krzywe szkieletowe dla belki jedno i trójprzę słowej. Parametr «oznacza tutaj amplitudę drgań punktu poł oż onego w ś rodku rozpię toś i c pierwszego przę sł a. Przeprowadzono również obliczenia dla belki utwierdzonej na obu koń cach a wyniki obliczeń przedstawiono na rys. 16. Zauważ my, że wystę puje wzrost efektów nieliniowych wraz ze wzrostem liczby przę seł n. Dla belek o nieparzystej' liczbie przę seł a oznacza amplitudę drgań punktu leż ą ceg o na osi symetrii belki. 5. Uwagi koń cowe W pracy podano wariacyjne sformułowanie problemu nieliniowych drgań własnych belek cią gł ych. Podano efektywną metodę wyznaczania nieliniowych czę stoś i c i postaci drgań, wyprowadzono dynamiczne macierze mas i sztywnoś ci elementu belkowego. Opisany proces iteracyjny jest szybkozbież ny, a wprowadzenie dynamicznej wersji metody elementów skoń czonych wydatnie zmniejsza wymiar zadania.
15 NIELINIOWE DRGANIA WŁASNE 485 Przeprowadzono analizy wpływu róż nych parametrów belek na nieliniowe czę stoś ic drgań własnych. Z analiz tych wynika, że nieregularnoś ci w budowie belki zmniejszają efekty geometrycznej nieliniowoś ci. Podobny efekt wywołuje dział anie statycznych sił rozcią gają cych oraz zwię kszanie podatnoś ci skrajnych podpór na przemieszczenia poziome. Z kolei dział anie ś ciskają cych sił osiowych oraz zwię kszanie liczby przę seł w belce obustronnie utwierdzonej zwię ksza wpływ nieliniowoś ci na czę stoś i c drgań wł asnych. We wszystkich jednak przypadkach czę stoś i cdrgań rosną wraz ze wzrostem amplitudy drgań. Analizują c inne, bardziej złoż one przypadki moż na się spodziewać, że w zależnoś ci od doboru parametrów belki bę dziemy mieli do czynienia z układami wykazują cymi w róż nym stopniu efekty nieliniowe. Literatura 1. S. WOINOWSKY- KRIEGER, The effect of an axial force on the vibration of hinged bars, J. Applied Mech., t. 17, 195 pp A. V. SRINIVASAM, Large amplitude free oscillations of beams and plates, AIAA J., t. 3, 1969, pp I. S. RAJU, G. VENKATESWARA RAO, K. KANAKA RAJU, Effect of longitudinal or inplane deformation and inertia on the large amplitude flexural vibrations of slender beams and thin plates, J. of Sound and Vibration, 49, 1976, pp D. A. EVENSEN, Non- linearvibrations of beams with various boundary conditions, AIAA J., 6, 1968, pp J. A. BENNETT, J. G. EISLEY, A multiple degree- of- freedomapproach to nonlinear beam vibrations AIAA J., 8, 197 pp W. SZEMPLIŃ SKA- STUPNICKA, Non- linearnormal modes" and the generalized Ritz method in the problems of vibrations of non- linearelastic continuous systems, Int. J. Non- Linear Mech., 18, 1983, pp R. LEWANDOWSKI, Application of the Ritz method to the analysis of non- linearfree vibrations of beams, J. of Sound and Vibration, 1987, t. 114, pp C. MEI, Finite element displacement method for large amplitude free flexural vibration of beams and plates, Comp. Struct., 3, 1973, pp G. R. BHASHYAM, G; PRATHAP, Galerkin finite element method for nonlinear beam vibrations, J. of Sound and Vibration, 72, 198 pp B. S. SARMA, T. K. VARADAN, Lagrange- typeformulation for finite element analysis of non- linearbeam vibrations, i. of Sound and Vibration, 86, 1983, pp G. V. RAO, K. K. RAJU, Finite element formulation for the large amplitude free vibrations of beams and orthotropic plates, Compt. Struct., 6, 1976, pp G. PRATHAP, Nonlinear vibration of beams with variable axial restraint, AIAA J., 16,1978, pp B. S. SARMA, T. K. VARDAN, Ritz fiinite element approach to nonlinear vibration of beams, Int. J. for Numer. Meth. in Engng, , pp C. MEI, K. DECHA- UMPHAI, A finite element method for non- linearforced vibrations of beams, J. of Sound and Vibration, 102, 1985, pp N. W. MCLACHLAN, Równania róż niczkowe zwyczajne, nieliniowe w fizyce i w naukach technicznych. PWN, Warszawa, L. C. WELLFORD, G. M. DIB, Post- buckling behaviour of structures using a finite element- nonlinear eigenvalue technique, Int. J. Numer. Meth. Engng, 15, 198 pp R. LEWANDOWSKI, Przeglą d komputerowych metod rozwią zywania nieliniowych problemów wł asnych, TV Konf. Nauk. Wydz. Bud. Lą d. Polit. Poznań skiej, t. 2,1985, str
16 486 R. LEWANDOWSKI 18. A. RUHB, Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem, SIAM J. Numer. Anal., , pp R. LEWANDOWSKI, The application of the vector iteration methods to the solution of nonlinear eigenproblems. Proc. Fifth National Congress on Theoretical and Applied Mechanics, September, Varna, Bulgaria, 1985, vol. 2, pp , 20. J. LEGRAS, Praktyczne metody analizy numerycznej, WNT, Warszawa, P e 3 IO M e AHAJIH3 HEJIHHEHHBIX COECTBEHHfclX KOJIEEAHHft MHOroiIPOJIETHBIX BAJIOK B HacTomneił pa6oie npeflciabneho ^HCjieHHBie peniemie HJIH HeJnmeftHbiXj co6ctbemn.ix KOJK- MHoronponeTHbix 6anoK, KOTopbrx KOHU>I ynpyro oneptbi B roph3ohtajn>hom HanpaBJieHHH. BanKH CHHTaioTCH HenpepbiBHBiMH chcteiwambt, Kpoiwe Toro B pasote npene6peraeivi roph3ohtajn>hbimh HHeprtMH. ripniweheno BapKaAHoHHbiH noaxoflj inetofl KOHe^nnsix 3JieMeHToB 3 a xakhce npoiieflypy fluh onpeflejienmh HoiHHeHHbix lacrot H dpopiw Kone6anHft. pacqerob. Summary THE ANALYSIS OF NON- LINEAR FREE VIBRATIONS OF MULTISPAN BEAMS The paper presents a numerical solution for geometrically non- linear free vibrations of continuous beams with elastically supported ends in the horizontal direction. The horizontaly and rotary inertia forces can be neglected and the beams are considered as the systems with distributed mass. The variationai approach, finite element method, and the iterative procedure are used for determining the frequencies and nonlinear modes of vibrations. Some numerical results are given. Praca wpłynę ła do Redakcji dnia 10 marca 1987 roku.
METODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 4, (986) METODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM WIESŁAW OSTACHOWICZ DARIUSZ SZWEDOWICZ Politechnika Gdań ska. Wstę
Metoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne
Podstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI. 1, Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, lfi (978) OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI JAAN LELLEP (WARSZAWA), Wstę p Optymalizacji poł oż enia podpory
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI
Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe
P. Litewka Efektywny element skończony o dużej krzywiźnie
4.5. Macierz mas Macierz mas elementu wyprowadzić można według (.4) wykorzystując wielomianowe funkcje kształtu (4. 4.). W tym przypadku wzór ten przyjmie postać: [ m~ ] 6 6 ~ ~ ~ ~ ~ ~ gdzie: m = [ N
WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
Metoda elementów skończonych
Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną
Mechanika i Budowa Maszyn
Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie
Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany
PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych
RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA
Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola
PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
DYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 10 (1972) DYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E. JERZY
O PEWNYM UOGÓLNIENIU METODY ORTOGONALIZACYJNEJ. 1, Uwagi wstę pne
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 3 (1965) O PEWNYM UOGÓLNIENIU METODY ORTOGONALIZACYJNEJ SYLWESTER KALISKI (WARSZAWA) 1, Uwagi wstę pne W problemach teorii drgań zasadniczą rolę odgrywają metody przybliż
Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji
POLITECHNIKA SZCZECIŃSKA KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Ćwiczenie nr 5 Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Numeryczne metody analizy konstrukcji Obliczenia statycznie obciążonej belki
i- i.a... (i) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 23 (1985) ANALIZA DRGAŃ PARAMETRYCZNYCH UKŁADÓW CIĄ GŁYCH PODDANYCH STAŁEMU OBCIĄ Ż ENI U POPRZECZNEMU Z ZASTOSOWANIEM METODY ASYMPTOTYCZNEJ I METODY ELEMENTÓW SKOŃ
Wykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów
Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy
Ruch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8
Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Wzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej
Prof. Mieczysław Kuczma Poznań, styczeń 215 Zakład Mechaniki Budowli, PP Linie wpływu w belce statycznie niewyznaczalnej (Przykład liczbowy) Zacznijmy od zdefiniowania pojęcia linii wpływu (używa się też
Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji
Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.
Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały
Metody energetyczne. Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii
Metody energetyczne Metoda Maxwella Mohra Układy statycznie niewyznaczalne Metoda sił Zasada minimum energii dv 1 N dx Ndu EA dv dv S 1 M dx M sdϕ GI 1 M gdx M gdϑ EI S Energia sprężysta układu prętowego
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUTEROWA
DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPTEROWA Parametry przekrojów belek: E=205MPa=205 10 6 kn m 2 =205109 N m 2 1 - IPE 220 Pręty: 1, 3, 4: I y =2770cm 4 =0,00002770 m 4 EI =5678500 Nm 2 A=33,4 cm 4 =0,00334 m 2 EA=684700000
Drgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Instrukcja Laboratoryjna
Karkonoska Państwowa Szkoła Wyższa w Jeleniej Górze Wydział Przyrodniczo-Techniczny Edukacja Techniczno-Informatyczna Instrukcja Laboratoryjna Komputerowe wspomaganie w technice i nowoczesne techniki informatyczne
Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA KRATOWNICY
ALGORYTM STATYCZNEJ ANALIZY MES DLA RATOWNICY Piotr Pluciński e-mail: p.plucinski@l5.pk.edu.pl Jerzy Pamin e-mail: jpamin@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej Wydział
14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
OSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 9 (1971) OSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH SZCZEPAN BORKOWSKI (GLIWICE) 1. Wstę p Zagadnienie
1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Obsługa programu Soldis
Obsługa programu Soldis Uruchomienie programu Po uruchomieniu, program zapyta o licencję. Można wybrać licencję studencką (trzeba założyć konto na serwerach soldisa) lub pracować bez licencji. Pliki utworzone
WIESŁAW OSTACHOWICZ, JANISŁAW TARNOWSKI (GDAŃ SK)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 17 (1979) ANALIZA DRGAŃ WAŁÓW WIRUJĄ CYCH OBCIĄ Ż ONYCH SIŁAMI OSIOWYMI WIESŁAW OSTACHOWICZ, JANISŁAW TARNOWSKI (GDAŃ SK) 1. Wstę p Jednym z podstawowych zadań zwią
Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO
POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0026 Piotr FRĄCZAK METODA MACIERZOWA OBLICZANIA OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO W pracy przedstawiono
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania
TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika
Politechnika Białostocka
Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:
POWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 18 (1980) POWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA (OPOLE) 1. Wstę p W pracy przedstawiono rozwią zanie
DOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 33, s. 7-34, Gliwice 007 DOBÓR FUNKCJI WŁASNEJ PRZEMIESZCZENIA UKŁADÓW DRGAJĄCYCH GIĘTNIE W RUCHU UNOSZENIA ANDRZEJ BUCHACZ, SŁAWOMIR ŻÓŁKIEWSKI Instytut Automatyzacji
8 2 [EJ\ 8 I 8v\ 8 2 v dv _
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (19»5) DRGANIA GIĘ TNE, NIELINIOWE BELKI POD DZIAŁ ANIEM OBCIĄ ŻŃ E STOCHASTYCZNYCH POPRZECZNYCH I WZDŁ UŻ NYCH NGUYEN CAO MENH (HANOI) Instytut Mechaniki, 1.
Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej
Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Opracował : dr inż. Konrad Konowalski Szczecin 2015 r *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest sprawdzenie doświadczalne
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MODELOWANIE UKŁADÓW MECHANICZNYCH Badania analityczne układu mechanicznego
ANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 13 (1975) ANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p Przy rozpatrywaniu dowolnego rekuperatora
- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa
Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia
2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE
METODY KOMPUTEROWE W MECHANICE wykład dr inż. Paweł Stąpór laboratorium 15 g, projekt 15 g. dr inż. Paweł Stąpór dr inż. Sławomir Koczubiej Politechnika Świętokrzyska Wydział Zarządzania i Modelowania
Systemy liczbowe Plan zaję ć
Systemy liczbowe Systemy liczbowe addytywne (niepozycyjne) pozycyjne Konwersja konwersja na system dziesię tny (algorytm Hornera) konwersja z systemu dziesię tnego konwersje: dwójkowo-ósemkowa, ósemkowa,
Zbigniew Mikulski - zginanie belek z uwzględnieniem ściskania
Przykład. Wyznaczyć linię ugięcia osi belki z uwzględnieniem wpływu ściskania. Przedstawić wykresy sił przekrojowych, wyznaczyć reakcje podpór oraz ekstremalne naprężenia normalne w belce. Obliczenia wykonać
40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Stateczność ramy. Wersja komputerowa
Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 2 Stateczność ramy. Wersja komputerowa Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 1/11 Semestr 2, II Grupa: KB2 Daniel
STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 24, (1986) WIESŁAW ŁUCJANEK JANUSZ NARKIEWICZ Politechnika Warszawska KRZYSZTOF SIBILSKI WAT STATECZNOŚĆ DYNAMICZNA Ś MIGŁOWCA Z WIRNIKIEM PRZEGUBOWYM W pracy został
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny Instytut
UKŁAD O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY JAKO DYNAMICZNY IZOLATOR" DRGAŃ BOGUSŁAW RADZISZEWSKI, ANDRZEJ RÓŻ YCKI (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA I, 6(1968) UKŁAD O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY JAKO DYNAMICZNY IZOLATOR" DRGAŃ BOGUSŁAW RADZISZEWSKI, ANDRZEJ RÓŻ YCKI (WARSZAWA) 1. Zagadnienie drgań układu o dwu stopniach
Stateczność ramy - wersja komputerowa
Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych
Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:
adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,
POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D-3
POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN Ćwiczenie D-3 Temat: Obliczenie częstotliwości własnej drgań swobodnych wrzecion obrabiarek Konsultacje: prof. dr hab. inż. F. Oryński
MODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 MODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI WOJCIECH BLAJER JAN PARCZEWSKI Wyż szaszkoł a Inż ynierskaw Radomiu Modelowano programowy
AKTYWNA REDUKCJA DRGAŃ WIRUJĄCEJ ŁOPATY ZA POMOCĄ ELEMENTÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH
Piotr PRZYBYŁOWICZ 1 Wojciech FUDAŁA 2 drgania wirników, tłumienie drgań, elementy piezoelektryczne AKTYWNA REDUKCJA DRGAŃ WIRUJĄCEJ ŁOPATY ZA POMOCĄ ELEMENTÓW PIEZOELEKTRYCZNYCH W pracy tej została przeanalizowana
Mechanika teoretyczna
Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe
POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI
POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU KONSRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI ĆWICZENIE PROJEKOWE NR 2 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUEROWA Z PRZEDMIOU MECHANIKA KONSRUKCJI Wykonał: Kamil Sobczyński WBiIŚ; SUM;
REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK
MECHANIKA TEORETYCZNA STOSOWANA, 9 (97) REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK (SZCZECIN) Przy modelowaniu maszyn za pomocą ukł adów dyskretnych bardzo waż ną rolę
Ć w i c z e n i e K 4
Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ
4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów
WYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO*
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (1987) WYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO* WOJCIECH BLAJER Wyż szaszkoł a Inż ynierska w Radomiu Praca
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
O PEWNEJ INTERPRETACJI METOD ENERGETYCZNYCH DLA PROBLEMÓW FILTRACJI USTALONEJ. 1. Sformułowanie problemu I zależ nośi c podstawowe
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 19 (1981) O PEWNEJ INTERPRETACJI METOD ENERGETYCZNYCH DLA PROBLEMÓW FILTRACJI USTALONEJ BOGDAN W O S I E W I C Z (POZNAŃ) 1. Sformułowanie problemu I zależ nośi c podstawowe
Dr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych
MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki
ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1 (ocena dostateczna)
PRZYKŁADOWE ZADANIA ZADANIE (ocena dostateczna) Obliczyć reakcje, siły wewnętrzne oraz przemieszczenia dla kratownicy korzystając z Metody Elementów Skończonych. Zweryfikować poprawność obliczeń w mathcadzie
F + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
ZMODYFIKOWANA METODA PROPORCJONALNEGO NAPROWADZANIA POCISKÓW W POZIOMEJ PŁASZCZYŹ NIE ZBLIŻ ENIA
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (1985) ZMODYFIKOWANA METODA PROPORCJONALNEGO NAPROWADZANIA POCISKÓW W POZIOMEJ PŁASZCZYŹ NIE ZBLIŻ ENIA MIROSŁAW GLAPSKI (WARSZAWA) Wojskowa Akademia Techniczna
5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY
Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym
MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia
MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Drgania Mechaniczne Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MBM 1 S 0 5 61-1_0 Rok: III Semestr: 5 Forma studiów: Studia stacjonarne
PL 205289 B1 20.09.2004 BUP 19/04. Sosna Edward,Bielsko-Biała,PL 31.03.2010 WUP 03/10 RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 205289
RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19) PL (11) 205289 (13) B1 (21) Numer zgłoszenia: 359196 (51) Int.Cl. B62D 63/06 (2006.01) Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (22) Data zgłoszenia: 17.03.2003
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe
Siły wewnętrzne - związki różniczkowe Weźmy dowolny fragment belki obciążony wzdłuż osi obciążeniem n(x) oraz poprzecznie obciążeniem q(x). Na powyższym rysunku zwroty obciążeń są zgodne z dodatnimi zwrotami
(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci
56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+
'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie
ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN ZACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody
Projekt MES. Wykonali: Lidia Orkowska Mateusz Wróbel Adam Wysocki WBMIZ, MIBM, IMe
Projekt MES Wykonali: Lidia Orkowska Mateusz Wróbel Adam Wysocki WBMIZ, MIBM, IMe 1. Ugięcie wieszaka pod wpływem przyłożonego obciążenia 1.1. Wstęp Analizie poddane zostało ugięcie wieszaka na ubrania
Mechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej
Spis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza