TRYGONOMETRIA Tadeusz STYŠ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TRYGONOMETRIA Tadeusz STYŠ"

Transkrypt

1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 6 TRYGONOMETRIA Tadeusz STYŠ y ko lo trygonometryczne pierwsza ćwiartka I B punkt B = (, y ) B y ko lo trygonometryczne druga ćwiartka II sinα = AB sin(α + 90 o ) = AB cosα = OA } {{ } R 0 R = α cosα sinα A R = sin(α + 90 o ) -A cos(α + 90 o ) α + 90 o 0 }{{} R cos(α + 90 o ) = OA y ko lo trygonometryczne sinα(α + 80 o ) = AB y ko lo trygonometryczne trzecia ćwiartka III cosα(α + 80 o ) = OA czwarta ćwiartka IV sin(α + 70 o ) = AB α + 80 o cos(α + 70 o ) = OA sin(α + 80 o ) cos(α + 80 o ) -A 0 }{{} R } {{ } R cos(α + 70 o ) 0 α + 70 o A sin(α + 70 o ) R = R = -B punkt B = (, y ) -B Warszawa 00 Rozdzia l 0. Matematyka dla Szko ly Podstawowej i Liceum Ogȯlnokszta lc acego.

2

3 Contents Trygonometria 5. Funkcje trygonometryczne Ko lo trygonometryczne Wzory redykcyjne Zadania Funkcje periodyczne Wykresy funkcji trygonometrycznych Tożsamości trygonometryczne Jedynka trygonometryczna Funkcje sinus i cosinus sumy i różnicy k atów α, β Wzory k ata podwȯjonego Wzory k ata po lówkowego funkcje trygonometryczne po lowy k ata Wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez tg α Suma i różnica funkcji trygonometrycznych Równania trygonometryczne Nierówności trygonometryczne Twierdzenie sinusów Twierdzenie cosinusów Funkcje cykliczne Arcus sinus Arcus cosinus Arcus tangens Arcus cotangens Zadania Funkcje periodyczne Tożsamość trygonometryczna Rȯwnania trygonometryczne Nierȯwności trygonometryczne Twierdzenie sinusȯw Twierdzenie cosinusȯw Funkcje cykliczne

4 4

5 Chapter Trygonometria Trygonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trygonometria by lo używane w czasach starożytnych w Babilonie, Egipcie i Grecji.. Funkcje trygonometryczne sin α, czytamy sinus α, cos α, czytamy cosinus α, tg α lub tan α, czytamy tangens α, ctg α lub cot α, czytamy cotangence α, sec α, czytamy secant α, csc α, czytamy cosecant α, sinh α = eα e α, czytamy sinus hiperboliczny α, cos α = eα + e α, czytamy cosinus hiperboliczny α Funkcje trygonometryczne określamy w trójk acie prostok atnym lub na kole trygonometrycznym. 5

6 6 Rozpatrzmy trȯjk at prostok atny ABC o wierzcho lkach A, B, C przyprostpk atnych AC i BC oraz przeciwprostok atnej AB C przyprostokatna b γ = a przyprostokatna α β A}{{} przeciwprostokatna c B D lugości przyprostok atnych i przeciwprostok atnej oznaczamy ma lymi literami, piszemy a = BC, b = AC, c = AB. Definition. Sinus k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przeciwprostok atnej c sinα = a c Definition. Cosinus k ata α to stosunek przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α do przeciwprostok atnej c cos α = b c Definition.3 Tangens k ata α to stosunek przyprostok atnej a leż acej naprzeciw k ata α do przyprostok atnej b przyleg lej do k ata α tgα = a b lub tanα = a b Definition.4 Cotangens k ata α to stosunek przyprostok atnej b leż acej przyleg lej do k ata α do przyprostok atnej a leż acej na przeciw k ata α ctgα = b a lub cotα = a b Definition.5 Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem secα = c a Definition.6 Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem secα = c b W matematyce wyższej funkcje trygonometrytczne okeślane s a przez szeregi potȩgowe

7 7 Zauważmy, że odwrotność tangensa k ata α równa jest cotangensowi k ata α i odwrotność cotangensa k ata α równa jest tangensowi k ata α tgα = ctgα, ctgα = tgα Przyk lad. Podaj wartości funkcji trygonometrycznych określonych w trójk acie prostok atnym o bokach a = 3, b = 4, c = 5 Rozwi azanie. K aty tego trójk ata prostok atnego α = 30 o, β = 60 o, γ = 90 o sinα = 3 5, cosα = 4 5, tgα = 3 4, ctgα = 4 3, secα = 5 3, cscα = 5 4. Zauważmy, że określenie funkcji trygonometrycznych w trójk acie prostok atnym dotyczy tylko k atów 0 α 90 o lub w mierze lukowej 0 α. Ponieważ k aty α i β w trójk acie prostok atnym zmieniaj a siȩ od zera do k ata prostego. W tym dla α = 0 cotangens i secant s a nieokreślone. Również dla α = tangens i cosecant nie s a określone. Niżej podamy deficje funkcji trygonometrycznych na kole trygonometrycznym. Funkcje sinus i cosinus określone s a dla wszystkich wartości rzeczywistych argumentu α {, }. Natomiast funkcje tangens określona jest dla rzeczwistych wartości argumentu α k, k = 0,,,...; a funkcja cotangens określna jest dla wszystkich rzeczywistych warto.sci agumentu α k, k = 0,,, 3,...; Wartości funkcji sinus i cosinus leż a w przedziel domkinȩtym [, ]. wartości funkcji tangens i cotanges przebiegaj a ca ly zbiȯ liczb rzeczywistych od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Znak wartości fukcji trugonometrycznych zależy od ćwiartki pierwszej I, drugiej II, trzeciej lub czwartej IV do ktȯrej należy argument α. Dla okeślenia znaku wartości funkcji trygonometrycznych stosujemy heurystyczn a zasadȩ: W pierwszej ćwiarte wszystkie s a dodatnie sinus, cosinus, tangens i kotangens, w drugie tylko sinus jest dodatni, w trzecj tangens i cotangens s a dodatnie, a w czwartej tylko cosinus jest dodatni.

8 8. Ko lo trygonometryczne. Dla wszystkich k atów o wartościach rzeczywistych, ujemnych lub dodatnich, funkcje trygonometryczne definiujemy w kole trygonometrycznym. y ko lo trygonometryczne pierwsza ćwiartka I B punkt B = (, y ) B y ko lo trygonometryczne druga ćwiartka II sinα = AB sin(α + 90 o ) = AB cosα = OA } {{ } R 0 R = α cosα sinα A R = sin(α + 90 o ) -A cos(α + 90 o ) α + 90 o 0 }{{} R cos(α + 90 o ) = OA y ko lo trygonometryczne sinα(α + 80 o ) = AB y ko lo trygonometryczne trzecia ćwiartka III cosα(α + 80 o ) = OA czwarta ćwiartka IV sin(α + 70 o ) = AB α + 80 o cos(α + 70 o ) = OA sin(α + 80 o ) cos(α + 80 o ) -A 0 }{{} R } {{ } R cos(α + 70 o ) 0 α + 70 o A sin(α + 70 o ) R = R = -B punkt B = (, y ) -B Definition.7 Sinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y do promienia R sinα = y R Definition.8 Cosinus k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej do promienia R cos α = R Definition.9 Tangens k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej y do wpsó lrzȩdnej tg α = y, 0,

9 9 Definition.0 Cotangens k ata α to stosunek wspó lrzȩdnej do wpsó lrzȩdnej y ctg α = y, y 0, Definition. Secant k ata α to odwrotność sinusa k ata α. Zatem sec α = R y, y 0, Definition. Cosecant k ata α to odwrotność cosinusa k ata α. Zatem csc α = R, 0. Ponieważ secant i cosecant określone s a przez sinus i cosinus, dlatego dalej wystarczy rozpatrywać cztery funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens i cotangens... Wzory redykcyjne Wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zauważamy, że wszystkie funkcje s a nieujemne w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż dla k ata 0 α 90 o, wspó lrzȩdne punktu p = (, y ) s a nieujemne, to jest 0, y 0 i promień R > 0. W drugiej ćwiartce tylko sinus (sin α 0), jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna y 0. W trzeciej ćwiartce tangens i cotanges (tgα 0, ctgα 0), s a nieujemne, gdyż obie wspó lrzȩdne 0,, y 0 s a ujemne i wtedy iloraz ( y 0) lub ( y 0). W czwartej ćwiartce tylko cosinus (cos α 0) jest nieujemny, gdyż wspó lrzȩdna 0. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli 0 α 90 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 90 o α 80 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 80 o α 70 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 70 α 360 o sinα 0 cosα 0 tgα 0 ctgα 0 Funkcje trygonometryczne dowolnego k ata α osi agaj a już w pierwszej ćwiartce ko la trygonometrycznego wszystkie możliwe wartości bezwzglȩdne ( z dok ladności a do znaku). Zatem, inne wartości różni a siȩ od nich jedynie znakiem. Te różnice ustalaj a wzory redukcyjne, które podajemy niżej.

10 0 Najpierw, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 90 o α też leży w pierwszej ćwiartce oraz k at 90 o +α leży w drugiej ćwiartce. Natomiast, k at α leży w czwartej ćwiartce. W tej pozycji k ata α, z wykresu ko la trygonometrycznego odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych zapisane w niżej podanej tabeli sin(90 o α) = cosα sin(90 o + α) = cos α sin( α) = sinα cos(90 o α) = sinα cos(90 o + α) = sinα cos( α) = cos α tg(90 o α) = ctgα tg(90 O + α) = ctgα tg( α) = tgα ctg(90 O α) = tgα ctg(90 O + α) = tgα ctg( α) = ctgα Teraz, zauważmy, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 80 o α leży w drugiej ćwiartce oraz k at 80 o + α leży w trzeciej ćwiartce. sin(80 o α) = sinα cos(80 o α) = cosα tg(80 o α) = tgα ctg(80 O α) = ctgα sin(80 o + α) = sin α cos(80 o + α) = cos α tg(80 O + α) = tgα ctg(80 O + α) = ctgα Zauważmy podobnie, że jeżeli k at 0 α 90 o leży w pierwszej ćwiartce to k at 70 o α leży w trzeciej ćwiartce oraz k at 80 o + α leży w czwartej ćwiartce. Zatem, mamy nastȩpuj ace wzory redukcyjne: sin(70 o α) = cos α cos(70 o α) = sinα tg(70 o α) = tgα ctg(70 O α) = ctgα sin(70 o + α) = cos α cos(70 o + α) = sinα tg(70 O + α) = ctgα ctg(70 O + α) = tgα Niżej w tablicy podajemy zebrane wzory redukcyjne w mierze lukowej k atów. K at sinus cosinus tangens cotangens α sin( α) = cos α cos( α) = sin α tg( α) = ctgα ctg( α) = tgα + α sin( + α) = cos α cos( + α) = sinα tg( + α) = ctgα ctg( + α) = tgα α sin( α) = sinα (cos α) = cosα tg( α) = tgα ctg( α) = ctgα + α sin( + α) = sinα cos( + α) = cosα tg( + α) = tgα ctg( + α) = tgα 3 α sin(3 α) = cosα cos(3 α) = sinα tg(3 α) = ctgα tg(3 α) = tgα 3 + α sin(3 + α) = cosα cos(3 + α) = sinα tg(3 + α) = ctgα ctg(3 + α) = tgα α sin( α) = sinα cos( α) = cosα tg( α) = tgα ctg( α) = ctgα.3 Zadania Zadanie. D lugości bokȯw trȯjk ata prostok atnego ABC s a rȯwne a = BC = 6, b = AC = 8, c = AB = 0

11 Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych sin α, sin β, cos α, cos β, tg α, tg β, cotg α, cotg β k atȯw α, β leż acych naprzeciw odpowiednich bokȯw BC, AC. Zadanie. (i) Narysuj po lożenie punktȯw p = (p, p ) = ( 3,), na kole trygonometrycznych o promieniu R =. (ii) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych q = (q, q ) = ( 3, ). (a) sin 30 0 = p R =, sin 600 = p R = (b) cos 30 0 = p R =, cos 600 = p R = (c) tg 30 0 = p p =, tg 60 0 = p p = (d) cotg 30 0 = p p =, cotg 60 0 = p p = (iii) Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 0 0 = q R =, sin 400 = q R = (b) cos 0 0 = q R =, cos 400 = q R = (c) tg 0 0 = q q =, tg 40 0 = q q = (d) cotg 0 0 = q q =, cotg 40 0 = q q = Zadanie.3 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 0 0 = sin 50 0 = (b) cos 0 0 = cos 50 0 = (c) tg 0 0 = tg 50 0 = (d) cotg 0 0 = cotg 50 0 = Zadanie.4 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin 0 0 = sin 40 0 = (b) cos 0 0 = cos 40 0 = (c) tg 0 0 = tg 40 0 = (d) cotg 0 0 = cotg 40 0 = Zadanie.5 Korzystaj ac ze wzorȯw redukcyjnych oblicz wartości funkcji trygonometrycznych (a) sin = sin = (b) cos = cos = (c) tg = tg = (d) cotg = cotg =

12 Zadanie.6 (i) Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: (a) f() = sin 3, (b) f() = cos 3. (c) f() = tg 3, (d) f() = cotg 3. Zadanie.7 Narysuj wykres funkcji (i) f() = sin, dla (ii) f() = tg dla Funkcje periodyczne Funkcja f() jest periodyczna, jeżeli istnieje liczba dodatnia ω > 0 taka, że f( + ω) = f(), (.) dla każdej rzeczywistej wartości argumentu należ acego do dziedziny D. Jasne, że jeżeli funkcja f() jest periodyczna o okresie ω > 0, to zachodzi nastȩpuj aca tożsamość: f( + k ω) = f(), D, dla każdego ca lkowitego k = 0, ±, ±,... Okresem funkcji f() nazywamy najmiejsz a z liczb ω > 0, która spe lnia tożsamość (.). 3 Niżej sprawdzimy, że funkcje trygonometryczne s a periodyczne. Mianowicie, zauważamy, że jeżeli promień R obróci siȩ o 360 o lub w mierze lukowej o, to punkt p = (, y ) wróci do pozycji wyjściowej. Co wiecej, jeżeli promień R obróci siȩ w kierunku dodatnim lub ujemnym o wielokrotność okresu ω = 360 o lub w mierze lukowej o wielokrotność ω =, to punkt p = (, y ) też wróci do pozycji wyjściowej. Okresem funkcji sinus i cosinus jest liczba ω = 360 o lub w mierze lukowej liczba ω =. Natomiast, dla funkcji tanges i cotangens okresem jest liczba miejsza ω = 80 o lub w mierze lukowej ω =. Istotnie, funkcje tangens i cotangens osi agaj a te same wartości w pierwszej i w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego, gdyż tgα = y = y, oraz ctgα = y = y, 0, y 0. Dziedzin a funakcji f() nazywamy zbiȯr argumentȯw dla ktȯch f() jest okkre].slna 3 Tożsamość znaczy, że równość zachodzi dla wszystkich wartości w dziedzinie tożsamości D.

13 3 Przyk lad. Oblicz okres nastȩpuj acej funkcji: f() = sin 3 Rozawi azanie. Wiemy, że funkcja sinus ma okres. Zatem okresem funkcji f() jest liczba ω taka, że f( + ω) = sin 3 ( + ω) = sin(3 + 3 ω) = sin 3 = f() dla każdego rzeczywistego. Sk ad obliczamy okres 3 ω =, ω = 4 3 Sprawdzamy, że okresem funkcji f() jest liczba ω = 4. Istotnie, mamy 3 równość f( + ω) = f( ) = sin 3 ( ) = sin( ). = sin( + ) = sin = f()..3. Wykresy funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus określone s a na ca lej osi liczbowej, dla wszystkich wartości rzeczywistych (, ). Rȯwnież s a funkcjami periodycznymi o tym samym okresie ω =. To znaczy, że funkcje f() = sin i g() = cos spe lniaj a tożsamość 4 f( + )sin( + ) = sin ) = f(), g( + ) = cos( + )cos = g() dla każdego (, ). 4 Tożsamość to znaczy, że zachodzi rȯwność pomiȩdzy lew a i praw a stron a rȯwnania dla wszytstkich wartości zmiennej.

14 4 Wykreślaj ac funkcje trygonometryczne argument odk ladamy na osi, jak na rysunku. y Wykres funkcji sin 3 3 sin w okresie [0,] {}}{ Z określenia funkcji sinus sin = y R, gdyz R y, dla < <. Wartości funkcji sinus nie przekraczaj a przedzia lu [, ]. To znaczy, że dla wszystkich wartości argumentu < < spe lniona jest nierȯwność Istotnie, z określenia funkcji sinus sin. sin = y R, gdyz R y, dla < <. Podobnie, funkcja cosinus jest periodyczna o okresie i określona dla wszystkich rzeczywistych wartości k ata < <. Jej warotości nie przekraczaj a przedzia lu [.], gdyż z okresślenia funkcji cosinusa cos = R, gdyz y R, dla < <. Wykres funkcji cos 3 3 cos w przedziale [0,] {}}{ Funkcje trygonometryczne tangens i cotangens s a periodyczne o okresie ω =. Istotnie, k at + leży w trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego. Z tabeli

15 5 odczytujeme wartość tg( + ) = tg. Zatem, prawdziwa jest nastȩpuj aca tożsamość: f( + ) = tg( + ) = tg = f(), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji tangens D = { : k, k = 0, ± ±,...; }. i tożsamość f( + ) = ctg( + ) = ctg = f(), dla każdego argumentu w dziedzinie funkcji cotangens D = { : k, k = 0, ± ±,...; }. y W ykres f unkcji tg dla (, ) tg {}}{ Wykres funkcji cotangens W ykres f unkcji ctg w przedziale (0, ) y 4 ctg w dla (0,) {}}{ Tożsamości trygonometryczne Tożsamości a trygonometryczn a nazywamy równość, która jest prawdziwa dla wszystkich wartości k atȯw w dziedzinie tożsamości. W odróżnieniu od tożsamości,

16 6 równanie trygonometryczne jest spe lnione tylko dla niektȯrych wartości k atȯw z dziedziny równania. Podobnie, wzory trygonometryczne s a tożsamościami dla wszystkich wartości k atów z dziedziny ich określenia..4. Jedynka trygonometryczna Jedynka trygonometryczna to jest tożsamość sin α + cos α = dla wszystkich wartości rzeczywistych k ata α (, ). Wprost z definicji funkcji sinus i cosinus obliczamy przyprostok atne a i b trȯjk ata prostok atnego ABC a = csinα, b = ccos α. C przyprostokatna b γ = a przyprostokatna α β A}{{} przeciwprostokatna c B Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że suma kwadratȯw przyprostok atnych rȯwna jest kwadratowi przeciwprostok atnej a + b = c, Po podstawieniu a = c sin α, b = c cos α otrzymamy (csinα) + (ccos α) = c, c (sin α + cos α) = c : c, Sk ad wynika tozsamość sin α + cos α = dla każdej wartości α (, ). To jest jedynka trygonometryczna. Z jedynki trygonometrycznej wynikaj a nastȩpuj ace tożsamości: + tg α = cos α = csc α, α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...;

17 7 Istotnie, z definicji funkcji tangens wynika rȯwność + tg α = + sin α cos α = cos α + sin α cos α = + tg α = csc α. dla każdego k ata α ( + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; dla ktȯrego cos α 0. To znaczy dla k ata α ze zbioru określoności funkcji tangens. 5 Podobbnie z defincji funkcji cotangens wynika rȯwność + ctg α = + cos α sin α = sin α = sec α. dla każdego k ata α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; dla ktȯrego sin α 0. To znaczy dla k ata α ze zbioru określoności funkcji cotangens Funkcje sinus i cosinus sumy i różnicy k atów α, β Niżej wyprowadzimy wzory na sumȩ i różniȩ dwóch k atów sin(α + β) = sinα cosβ + sinβ cos α, sin(α β) = sinα cosβ sin β cos α, cos(α + β) = cos α cosβ sin β sinα, (.) cos(α β) = cos α cos β + sin β sinα, Rozpatrzmy rysunek C α β h A D Wysokość h trójk ata ABC B 5 Nieparzyst a wielokrotność k ata prostego piszemy ( + ), k =, ±, ±, ±3,...; 6 Parzyst a wielokrotność k ata pȯ lpe lnego piszemy k, k = 0, ±, ±, ±3,...;

18 8 Zauważamy, że sinα = AD AC, DB sinβ = BC, cosα = h AC, cosβ = h BC, h = AC cosα, h = BC cosβ Pole P trójk ata ABC jest sum a pola P trójk ata ADC i pola P trójk ata DBC Z drugiej strony, wiemy, że P = P + P = AC BC sin((α + β) (.3) P = AC h sinα, P = BC h sinβ, (.4) Porȯwnuj ac pola określone przez rȯwności (.3) i (.4), przez proste przekszta lcenia, otrzymamy wzór na sinus sumy dwóch k atów α i β AC BC sin((α + β) = AC h sinα + BC h sinβ, AC BC sin(α + β) = AC BC cosβ sinα + AC BC cosα, Skad sinus sumy sin(α + β) = sinα cos β + sin β cos α, }{{} sin (α+β) Pozosta le wzory wyprowadzamy korzystaj ac ze wzorów redukcyjnych. sin((α β) = sin(α + ( β)) = sinα cos( β) + sin( β) cos α = sinα cosβ sinβ cos α, }{{} sin (α β) cos(α + β) = sin(90 o (α + β)) = sin((90 o α) β) = sin(90 o α)cos β sinβ cos(90 o α), = cos αcos β sinα sinβ, }{{} cos (α+β) cos(α β) = sin(90 o (α β)) = sin((90 o α) + β) = sin(90 o α)cos β + sin β cos(90 o α), = cos αcos β + sin αsinβ, }{{} cos (α β) Wzory na tangens i cotangens sumy i różnicy dwóch k atów wynikaj a bezpośrednio

19 9 z powyżych wzorów tg(α + β) = sin(α + β) sinα cos β + sinβ cosα = cos(α + β) cos α cos β sinβ sinα dla α + β (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg(α + β) = cos(α + β) sin(α + β) = cosα cos β sinβ sin α sinα cos β + sinβ cosα dla α + β k, k = 0, ±, ±, ±3,...; = tgα + tgβ tgαtgβ }{{} tg (α+β) = ctgα ctgβ ctgα + ctgβ }{{} ctg (α+β) Podobnie wyprowadzamy wzory na tangens i cotangens różnicy dwóch k atów. tg(α β) = sin(α β) sin α cos β sinβ cos α = cos(α β) cos α cosβ + sinβ sin α dla α β (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg(α β) = cos(α β) sin(α β) = cos α cosβ + sinβ sinα sinα cosβ sinβ cos α dla α β k, k = 0, ±, ±, ±3,...; = tgα tgβ + tgαtgβ }{{} tg (α β) = ctgα ctgβ + ctgβ ctgα }{{} ctg (α β).4.3 Wzory k ata podwȯjonego Wzory k ata podwójnego wynikaj a bezpośrednio z powyższych wzorów na sumȩ. Mianowicie, dla α = β sinα = sin α cosα, dla α (, ) cosα = cos α sin α, dla α (, ) tgα = tgα tg α, dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; 4 ctgα = ctg α, dla α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg α

20 0.4.4 Wzory k ata po lówkowego Wzory k ata po lówkowego otrzymujemy przez podstawienie do powyższych wzorów k ata podwójnego zamiast α po lowȩ k ata α, wtedy otrzymamy sinα = sin α cos α, α (, ), cosα = cos α sin α, cos α = sin α, cosα = cos α α (, ), tgα = tgα tg α dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; ctgα = ctg α ctg, dla α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; α.4.5 funkcje trygonometryczne po lowy k ata Z powyższych wzorów k ata po lówkowego bezpośrednio wynikaj a wzory po lowy k ata. Mianowicie, obliczaj ac cosinus i sinus ze wzorów cos α = cos α, cos α = sin α otrzymamy wzóry cosinusa i sinusa na po lowȩ k ata α dla α (, ). cos + cosα α =, sin cos α α = Wzory po lowy k ata dla tangensa i cotangensa wynikaj a bezpośrednio z defincji tych funkcji i wzorów dla sinusa i cosinusa cosα tg α = sin α cos α = cos α = + cos α + cosα dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...; Cotangens jest odwrotności a tangensa, zatem dla α k, k = 0, ±, ±, ±3,...; ctg α = + cos α cos α

21 .4.6 Wyrażenie funkcji trygonometrycznych przez tg α Oznaczmy przez t = tg α dla α (k + ), k = 0, ±, ±, ±3,...;. Wtedy funkcje trygonometryczne k ata α można zapisać w postaci nastȩpuj acych wymierażeń wymiernych zmiennej t. sinα = t t + t, cosα = + t, < t <, tgα = t t t, t,, ctgα = t 0. t Istotnie, wiemy, że sinα = sin α cos α = sin α cos α sin α + cos α sin α cos α = cos α sin α + cos α cos α = t + t Podobnie funkcja cosinus cos α = cos α sin α = cos α sin α cos + sin α = cos α sin α cos α cos + sin α cos α = t + t. Dla funkcji tangens i cotangens wzory p lowy k ata wynikaj a wprost z ich definicji i wyżej podanych wzorów dla funkcji sinus i cosinus tgα = sinα cosα = t + t t + t = t t, t,

22 Cotanges jest odwrotności a tangnsa. Zatem wzór dla cotangensa ctgα = t, t 0. t.4.7 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych Niżej podajemy nastȩpuj ace wzory na sumȩ i ró znicȩ funkcji trygonometrycznych sinα + sinβ = sin α+β cos α β, sinα sin β = sin α β cos α+β, cos α + cos β = cos α+β cos α β, cos α cosβ = sin α+β sin α β, cos α cosβ tgα + tgβ = sin(α + β) cosα cos β tgα tgβ = sin(α β) cos αcos β ctgα + tgβ = sin(α + β) cosα cos β tgα tgβ = sin(α β) (.5) Powyższe wzory wynikaj a ze wzorów (.4) sinusa i cosinusa sumy i różnicy k atów. Mianowicie, wprowadzamy nowe zmienne α = + y, β = y, = α + β, y = α β, Korzystaj ac ze wzorów (.4) na sinus i cosinus sumy i różnicy k atów zauważamy, że sin α + sinβ = sin( + y) + sin( y) = (sincos y + siny cos) + (sincos y sin y cos ) = sin cos y = sin α + β sin α sinβ = sin( + y) sin( y) cos α β. = (sincos y + siny cos) (sincos y siny cos ) = sin y cos = sin α β cos α + β.

23 3 cos α + cos β = cos( + y) + cos( y) = (coscos y sin siny) + (cos cos y + sinsin y) = cos cos y = cos α+β cos α β. cos α cosβ = cos( + y) cos( y) = (coscos y sin siny) (cos cosy + sinsiny) = sinsin y = sin α+β sin α β Wzory sumy i różnicy tangensa i cotangensa wynikaj a wprost z definicji powyższych wzorów dla sinusa cosinusa. tgα + tgβ = = tgα tgβ = = sin α cosα + sin β cosβ, sinαcos β + sin β cos α = cosα cos β sin α cosα sinβ cos β, sinαcos β sinβ cos α = cos αcos β sin(α + β) cos αcos β sin(α β) cosαcos β (.6) Ponieważ cotangens jest odwrotności a tangensa, zatem wzór dla sumy cotangensa cos αcos β ctgα + ctgβ = sin(α + β), ctgα ctgβ = cos α cosβ sin(α β)..5 Równania trygonometryczne Zacznijmy od najprostrzych równań trygonometrycznych, rozwi azania których s a czȩści a rozwi azań bardziej z lożonych równań. Przyk lad.3 Znajdź wszystkie rozwi azania równania (i) sin = 0, (ii) sin =. Rozwi azanie (i). G lównymi pierwiastami tego równania, to znaczy zerami funkcji sinus w jej okresie od 0 do 360 o lub w mierze lukowej w zakresie od 0 α s a rozwi azania = 0, lub =.

24 4 To rozwi azanie jest zaznaczo na wykresie funkcji y = sin. y Wykres funkcji sin 3 3 sin w okresie [0,] {}}{ Wszystkie rozwi azanie dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu funkcji sinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = k, lub k = + k = (k + ), dla parzystych i dla nieparzystych k. To znaczy, że wszystkie rozwi azania s a wielokrotności a liczby, k = k, k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (ii). G lównymi pierwiastkami równania s a liczby sin =, lub sin = lub sin =. =, lub = 3. Wszystkie rozwi azanie dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu funkcji sinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k, lub k = k dla parzystych i dla nieparzystych k. To znaczy, że wszystkie rozwi azania s a nastȩpuj acej postaci: k = + k, k = 0, ±, ±,...; Przyk lad.4 Znajdź wszystkie rozwi azania równania (i) cos = 0, (ii) cos =. Rozwi azanie (i). G lównymi pierwiastami tego równania, to znaczy zerami funkcji cosinus w jej okresie od 0 do 360 o lub w mierze lukowej w zakresie od 0 α s a rozwi azania =, lub = 3.

25 5 To rozwi anie jest zaznaczone na wykresie funkcji y = cos. y Wykres funkcji cos 3 3 cos w przedziale [0,] {}}{ Wszystkie rozwi azanie dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu funkcji cosinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k, lub k = 3 + k, To znaczy, że wszystkie rozwi azania s a nastȩpuj acej postaci: k = (k + ), k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (ii). G lównymi pierwiastkami równania cos =, lub cos = lub cos =. s a liczby = 0, lub =. Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielikrotność okresu funkcji cosinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = k, lub k = + k = (k + ), To znaczy, że wszystkie rozwi azania dla parzystych i nieparzystych k, s a nastȩpuj acej postaci: k = k, k = 0, ±, ±,...; Zauważmy, że sinus i cosinus k atów α k = k lub α k = (k + ) możemy napisać w nastȩpujȩj postaci potȩgi minus jedynki: sin(k + ) = ( )k, cos k = ( ) k, k = 0, ±, ±,... : Przyk lad.5 Znajdź wszystkie rozwi azania równania (i) tg = 0, (ii) tg =. (iii) ctg = 0, (iv) ctg =.

26 6 Rozwi azanie (i). Ponieważ okresem funkcji tangens jest liczab, to g lównym pierwiastkiem równania tg = 0, jest = 0. Wtedy również sin = 0. y W ykres f unkcji tg dla (, ) { tg }} { Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastka g lównego wielokrotność okresu funkcji tangens. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = k, k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (ii). W zakresie okresu funkcji tangens od do pierwiastki g lówne równania s a dwa tg =, lub tg =, tg =. = 4, = 4. Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastka g lównego wielokrotność okresu funkcji tangens. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k, k = + k, k = 0, ±, ±,...; lub zapisane w postaci jednego wzoru k = (k + ), k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (iii). W zakresie okresu funkcji cotangens od 0 do, pierwiastkiem g lównym równania ctg = 0,

27 7 jest liczba =. W ykres f unkcji ctg w przedziale (0, ) y 4 ctg w dla (0,) {}}{ Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastka g lównego wielokrotność okresu funkcji cotangens. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = + k = (k + ), k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie (iv). G lównymi pierwiastkami równania s a liczby ctg =, lub ctg =, ctg =. = 4, = 3 4. Wszystkie rozwi azania dostaniemy dodaj ac do pierwiastków g lównych wielikrotność okresu funkcji cosinus. Zatem wszystkie rozwi azania maj a nastȩpuj ac a postać: k = 4 + k = (4k + ) 4, lub k = k = (4k + 3) 4 dla k = 0, ±, ±,...;

28 8 Niżej w tablicy podane s a wartości funkcji trygonometrycznych k atów wybranych. α sin α cos α tgα ctgα α = α = α = 4 α = α = 0 0 α = 3 4 α = 0 0 α = 5 4 α = α = 7 4 α = 0 0 Przyk lad.6 Znajdź wszystkie rozwi azania równania sin cos = 0. Rozwi azanie. W pierszej kolejności zauważmy, że dziedzin a D = R wyrażenia trygonometrycznego w równaniu jest ziór R wszystkich liczb rzeczywisych. Z tablicy odczytujemy pierwiastki równania w przedziale 0 okresu ω = funkcji sinus i cosinus sin = cos. Zatem widzimy, że sinus równy jest cosinus dla k atów = 4 oraz = 5 4, które leż a w pierwszej lub trzeciej ćwiartce ko la trygonometrycznego. Wszystkie rozwi azania dostajemy dodaj ac okres ω = do tych rozwi azanń k = 4 + k, lub k = k k = 0, ±, ±,...; Rozwi azanie tego równania znajdziemy innym sposobem rozak ladaj ac wyrażenie trygonometryczne na czynniki. Mianowicie, lew a stronȩ równiania zapiszmy w postaci sin sin( ) = 0. Stosuj ac wzór na różnicȩ sinusów, otrzymamy iloczn sin sin( ) = sin ( ) = cos 4 sin( 4 ) = sin( ) = 0. 4 cos( ) +

29 9 Sk ad pierwiastki g lówne w przedziale [0, ] okresu funkcji sinus 4 = 0, lub 4 = Dodaj a okres ω = funkcji sinus, otrzymamy wszystkie rozwi azania k = 4 + k, lub k = 4 + (k ), k = 0, ±, ±,...; Przyk lad.7 Znajdź wszystkie rozwi azania równania tg + ctg =. Rozwi azanie. Z tablicy wartości funkcji tangens i cotangens, widzimy, że suma tangensa i cotangensa k ata jest równa, jeżli tg = i ctg = dla = 4 lub = 5. Wszystkie rozwi azania otrzymamy dodaj ac do g lównych 4 pierwiastków wielokrotność ich okresu. To znaczy k = 4 + k, lub k = k, k = 0, ± ±,...; Te same rozwi azania otrzymamy innym sposobem. Mianowicie, napiszmy to równanie w postaci ekwiwalȩtnej sin cos + cos sin =. Zauważmy, że dziedzin a wyrażenia trygonometrycznego w tym równaniu jest zbiór D = { R : sin 0, i cos 0} = { R : k, i k, } dla ca lkowitych liczb k = 0, ±, ±,...; Przekszta lcamy to równanie korzystaj ac z jedynki trygonometrycznej i z sinusa podwojonego k ata sin cos + cos sin = cos + sin = sin cos Sk ad wynika równanie sin cos = sin cos =, lub sin =. Z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych pamiȩtamy, że sin = dla pierwiastka = lub = 5 w kole trygonometrycznym. Dodaj ac do pierwiastków g lównych wielokrotność okresu ω = funkcji sin otrzymamy 4 4 wszystkie rozwi azania tego równania. k = 4 + k, lub k = k k = 0, ±, ±,...; Zauważmy, że powyżesze pierwiastki równania s a takie same jak w pierszym sposobie rozwi azania i należ a do dziedziny równania.

30 30 Przyk lad.8 Rozwi aż równanie sin 3sin + = 0. Rozwi azanie. Tej postaci równia rozwi azujemy przez podstawienie nowej niewiadomej t = sin, żeby otrzymać równanie kwadratowe t 3t + = 0. Wyóżnik tego r ownania = ( 3) 4 =. Zatem rozwi azania t = 3 4 =, t = =. Wracaj ac do niewiadomej, znajdujemy wszystkie rozwi azania sin =, k = 6 + k, lub sin =, dla ca lkowitych k = 0, ±, ±...; k = + k, Zadanie.8 Rozwi aż równanie cos + cos = 0. Jednym ze skutecznych sposobów rozwi azywania równań trygonometrycznych jest rozk lad na czynniki wyrażenia trygonometrycznego. Niżej podajemy przyk lad takiego sposobu. Przyk lad.9 Rozwi aż równanie cos + 3cos 3 + cos 5 = 0. Rozwi azanie. Zastosujmy wzór do nawiasu na suma cosinusów (cos + cos 5) + cos 3 = cos + 5 cos + cos 3 = cos 3 cos( ) + cos 3 = cos3(cos + ) = 0. Zatem, wyrażenie trygonometryczne roz lożyliśmy na dwa czynniki, które przyrównujemy do zera cos 3 = 0, i cos + = 0, cos. Rozwi azuj ac powyżesze proste równania, otrzymamy nastȩpuj ace serie rozwi azań: Gdy cos 3 = 0,

31 3 to rozwi azanie 3 = + k, k = k, k = 0, ±, ±,...; 3 3 = 3 + k, k = + k, k = 0, ±, ±,...; 3 oraz gdy cos 3 =, to rozwi azanie 3 = 3 + k, k = 9 + k, k = 0, ±, ±,...; 3 3 = k, k = k, k = 0, ±, ±,...; 3 Przyk lad.0 Rozwi aż równanie sin + sin 3 = 0. Rozwi azanie. Oznaczmy przez t = sin. Wtedy dostajemy równanie kwadratowe dla niewiadomej t t + t 3 = 0, którego rozwi azanie jest t = 3 i t =. Ponieważ sin, dlatego t = 3 należy udrzucić. Pozostaje wartość t =. Dla tej wartości sin =, gdy k = + k, k = 0, ±, ±,...; Zadanie.9 Rozwi aż równanie 3 tg ( 3)tg 3 = 0. Zadanie.0 Rozwi aż równanie sin sin4 + sin7 = 0. Zadanie. Rozwi aż równanie cos 5cos + = 0..6 Nierówności trygonometryczne Podobnie jak równania trygonometryczne, rozwi azujemy nierówności trygonometrtczne korzystaj ac z wzorów redukcyjnych, wzorów sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych. Przyk lad. Rozwi aż nierównówność w przedziala [0, ]. (i) sin, (ii) cos.

32 3 Rozwi azanie (i). Funkcja sinus osi aga wartość sin = dla k ata = w 6 pierwszej ćwiartce, lub dla k ata = 5 w drugiej ćwiartce. Zatem nierówność 6 jest prawdziwa przedziale [0, ] dla 0 6, lub 5 6. Zobaczmy to rozwi azanie na wykresie funkcji sinus. W przedziale [0,] nierownosci sin jest prawdziwa dla [0, ] y lub [ 5,] sin sin {}}{{}}{ Zauważmy, że rozwi azaniem nierȯwności sin na ca lej osi liczb rzeczywistych s a te punkty R, ktȯre należ a do odcinkȯw [a k, b k ] = [ 6 + k, k], gdy k = 0, ±, ±, ± 3...; gdzie a k = 6 + k, b k = k. Podobnie znajdujemy rozwi azanie nierȯwności przeciwnej sin W przedziale [0,] nierownosc sin y jest prawdziwa dla [, 5 ] Rozwi azaniem nierȯwności sin, na ca lej osi liczb rzeczywistych, s a odcinki [a k, b k ] = [ 6 + k, 5 + k], k = 0, ±, ±, ± 3...; (.7) 6 o pocz atku w punkcie a k = + k i koṅcu w punkcie b 6 k = 5 + k. 7 6 Przyk lad. Podaj przedzia ly w ktȯrych nierȯwność sin jest prawdziwa, gdy k =,, 0,, 7 Tutaj indeks k C = {0, ±, ±, ±3,... :} przebiega ca ly zbiȯr liczb ca lkowitych.

33 33 Rozwi azanie. Z określenia (.8) przedzia lȯw [a k, b k ] znajdujemy gdy k = 0, a 0 = 0, b 0 = 6, [a 0, b 0 ] = [0, 6 ] gdy k =, a = 3 6, b = 7 6, [a, b ] = [ 3 6, 7 6 ] gdy k =, a = 5 6, b = 9 6, [a, b ] = [ 5 6, 9 6 ] Podobnie znajdujemy przedzia ly [a, b ] i [a, b ] dla ujemnych wartości wskaźnika k =, gdy k =, a = 7 6, b = 6, [a, b ] = [ 7 6, 6 ] gdy k =, a = 3 6, b = 7 6, [a, b ] = [ 9 6, 5 6 ] Zauważmy, że rozwi azaniem nierȯwności sin < s a te punkty R na osi liczb rzeczywistych, ktȯre nie należ a do żadnego z odcinkȯw gdy k = 0, ±, ±, ± 3...; / [a k, b k ] = [ 6 + k, k], Zadanie. Podaj wykres funkcji y = sin w przedziale [ 4, 4]. Zaznacz na wykresie przedzia ly argumentu [ 4, 4] w ktȯrych funkcja (i) sin, (ii) sin < Rozwi azanie (ii). Funkcja cosinus osi aga wartość cos = dla k ata = w pierwszej ćwiartce, lub dla k ata = 5 w czwartej ćwiartce. Zatem nierówność jest prawdziwa przedziale [0, ] dla 0, lub 5. Nieżej, na wykresie funkcji y = cos zosta ly zaznaczone wszystkie rozwi azania nierȯwności cos

34 34 W przedziale [0,] nierownosc cos y jest prawdziwa dla [, 5 ], Rozwi azaniem nierȯwności cos, na ca lej osi liczb rzeczywistych, s a odcinki [a k, b k ] = [ + k, 5 + k], k = 0, ±, ±, ± 3...; (.8) o pocz atku w punkcie a k = + k i koṅcu w punkcie b k = 5 + k. 8 Przyk lad.3 Podaj przedzia ly w ktȯrych nierȯwność cos gdy k =,, 0,, jest prawdziwa, Rozwi azanie. Z określenia (.8) przedzia lȯw [a k, b k ] znajdujemy gdy k = 0, a 0 =, b 0 = 5, [a 0, b 0 ] = [, 5 ] gdy k =, a = 7, b =, [a, b ] = [ 7, ] gdy k =, a = 3, b = 7 6, [a, b ] = [ 3, 7 ] Podobnie znajdujemy przedzia ly [a, b ] i [a, b ] dla ujemnych wartości wskaźnika k =, gdy k =, a = 5, b =, [a, b ] = [ 5, ] gdy k =, a =, b = 7, [a, b ] = [, 7 ] Zauważmy, że rozwi azaniem nierȯwności cos > s a te punkty R na osi liczb rzeczywistych, ktȯre nie należ a do żadnego z odcinkȯw / [a k, b k ] = [ + k, 5 + k], gdy k = 0, ±, ±, ± 3...; Zadanie.3 Podaj wykres funkcji cos dla argumentu [ 4, 4]. Zaznacz na wykresie przedzia ly w ktȯrych prawdziwa jest nierȯwność (i) cos, (ii) cos > 8 Tutaj indeks k C = {0, ±, ±, ±3,... :} przebiega ca ly zbiȯr liczb ca lkowitych.

35 35 Jak wiemy, funkcja tanges jest określona dla argumentu (k + ), k = 0, ±, ±,...; rȯżnego od nieparzystej wielokrotności k ata prostego. y W ykres f unkcji tg dla (, ) { tg }} { Funkcja tangens jest rosn aca i okresowa o okresie ω =. To znaczy dla wiȩkszych wartości argumentu warotości funkcji tanges s a wiȩksze, piszemy dla argumentȯw < wartości tg < tg i okresowa tg = tg( + ) dla kazdego k, k = 0, ±, ±,...; Niżej na wykresie zaznaczone s a wartości argumentu funkcji tangens dla ktȯrych wartości tg s a wiȩksze lub rȯwne jeden, to znaczy spe lniona jest nierȯwność tg. y tg {}}{ tg {}}{ tg {}}{ tg {}}{ Przyk lad.4. (i) Znajdź rozwi azanie nierȯwności tg

36 36 w przedziale otwartym (, ). (ii) Znajdź wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności tg, dla (k ), k = 0, ±, ±, ±3,... : Rozwi azanie(i). Funkcja y = tg jest rosn aca w przedziale (, ). Wartość jeden funkcja tangens osi aga w punkcie = 4, toznaczy, że tg 4 =. Zatem nierȯwność tg jest oprawdziwa w przedziale (, ) dla ( 4, ). Roozwi azanie (ii). Z wykresu funkcji y = tg widzimy, że w przedziale (, ) tg < dla (, 4 ). Wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności tg < latwo odczytamy z wykresu. Mianowicie wartość funkcji tangens jest mniejsza od jeden tg < dla wszystkich rzeczywistych wartości argumentu należ acych do przedzia lȯw ( + k, 4 + k), dla k = 0, pm, ±,...; Zadanie.4 Rozwi aż nierȯwność (i) tg 3, (ii) tg < 3 dla wszystkich rzeczywistych wartosci (k + ), k = 0, ±, ±,...; Jak wiemy, funkcja cotanges jest określona dla argumentu k, k = 0, ±, ±,...; rȯżnego od wielokrotności k ata pȯ lpe lnego. y Wykres funkcji y = ctg w przedziale (0, ) ( 4,) Funkcja cotangens jest malej aca i okresowa o okresie ω =. To znaczy dla wiȩkszych wartości argumentu warotości funkcji cotanges s a mniejsze, piszemy

37 37 dla argumentȯw < wartości ctg > ctg i okresowa ctg = ctg( + ) dla kazdego k, k = 0, ±, ±,...; Przyk lad.5. (i) Znajdź rozwi azanie nierȯwności ctg w przedziale otwartym (0, ). (ii) Znajdź wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności ctg, dla k, k = 0, ±, ±, ±3,... : Rozwi azanie (i). Funkcja y = ctg jest malej aca w przedziale (0, ). Watość ctg = osi aga dla = 4. Zatem ctg dla (0, 4 ). Rozwi azanie (ii) Z wykresu funkcji okresowej cotangens o okresie ω = znajdujemy wszystkie przedzia ly (k, 4 + k), dla k = 0, ±, ±,...; w ktȯrych nierȯwnść ctg jest prawdziwa. Zadanie.5. (i) Znajdź rozwi azanie nierȯwności ctg 3 w przedziale otwartym (0, ). (ii) Znajdź wszystkie rzeczywiste rozwi azania nierȯwności ctg 3, dla k, k = 0, ±, ±, ±3,... :.7 Twierdzenie sinusów Twierdzenie. W dowolnym trójk acie stosunek d lugości boków do sinusów k atów leż acych na przeciw boków jest sta ly i równy średnicy okrȩgu opisanego na tym trój acie. To znaczy a sinα = b sinβ = c sinγ = R

38 38 C γ b a A α c } {{ } R β B Okr ag opisany na trȯjk acie Dowód. Rozpatrujemy okr ag opisany na trójk acie ABC o promieniu R. Z wierzcho lka A prowadzimy średnicȩ okrcȩgu do przeciȩcia z okrȩgiem w punkcie D. Zauważmy, że kr aty wpisane ABC = β i ADC = δ w okr ag s a oparte na tym samym luku AC. Zatem s a równe β = δ. Trójk at ADC jest prosty, gdyż k at BCA opraty na średnicy jest prosty. Z tego prostok atnego trȯjk ata ADC, znajdujemy sinus k ata δ. Mianowicie, dla 0 δ < sinδ = AC AD = c R, lub c sin δ = R, c sinγ = R, γ = δ Dla δ = γ = twierdzenie jest również prawdziwe, gdż sinγ =, i c = R. Natomiast, dla γ > k at δ = γ i wtedy sinδ = sinγ W tym przypadku twierdzenie jest również prawdziwe. Pozosta le wzory a sinα = b sinβ = R, dowodzimy podobnie. Twierdzenia sinusów w po l aczeniu z twierdzeniem cosinusów stosujemy w prost do wyznaczania boków i k atów trójk ata, na podstawie nastȩpuj acych dawanych. dwóch boków i k ata naprzeci w jednego z nich,. boku i dwóch k atów przyleg lych do tego boku, Przyk lad.6 Oblicz boki i k aty trójk ata ABC, maj ac d lugości dwóch boków AB = c = 4 i BC = a = k at α = leż acy na przeciw boku [BC]. 6

39 39 Rozwi azanie. Zaznaczamy dane i niewiadome boki i k aty na rysunku C b =? γ =? a = 4 A α = β =? c = Trójk at ABC B Z twierdzenia sinusów obliczamy promień R okrȩgu opisanego na trójk acie a sinα = R, sin 6 = R, = R, R =. Nastȩpnie też twierdzenia sinusów obliczamy sinus k ata γ leż acego naprzeciw boku AB = c = c sinγ = R, Sk ad znajdujemy k at γ = 6 sinγ = c R = 4 = i k at β z sumy k atów w trójk acie α + β + γ =, β = α γ = 6 6 =. Pozosta ly bok AC = b obliczamy z twierdzenia sinusów b sinβ = R, b = R sinβ = sin =..8 Twierdzenie cosinusów Podobnie jak twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów stosujemy do obliczanie boków i k atów dowolnych trójk atów. W dowolnym trójk acie ABC C b γ h a A α c D β B Fig Trójk at ABC

40 40 o bokach i k atach zaznaczonych na rysunku zachodz a nastȩpuj ace zwi azki pomiȩdzy bokami i k atami (i) a = b + c b ccos α (ii) b = a + c a ccos β (iii) c = a + b a b cos γ Dowód. Udowodnimy pierwsz a z wymienionych wyżej równości. Zauważmy, że w przypadku trójk ata prostok atnego, gdy α = wzór (i) jest prawdziwy, gdyż wtedy stosuje siȩ twierdzenie Pitagorasa. Dla α <. Punkt D, spodek wysokści h dzieli bok [AB] na dwie czȩści AD = b cos α, DB = c b cos α. Stosuj ac twierdzenie Pitagorasa do trójk atów ADC i DBC, otrzymamy Sk ad dostajemy wzór (i), to jest h = b (b cosα) = a (c b cos α) a = b + c b ccos α. Pozosta le wzory (ii) oraz (iii) dowodziemy podobnie. Twierdzenie cosinusów stosujemy najczȩściej, żeby obliczyć trzeci bok gdy dane s a dwa boki i k at pomȩdzy nimi oraz do obliczenia wszystkich k atów gdy znane s a wszystkie boki. Przyk lad.7 W trójk ata ABC, dane s a d lugości dwóch boków AB = c = 3, AC = b = 8 i k at miȩdzy nimi α =, jak na rysunku, oblicz bok a. C γ? b = 5 a? A α = β? c = 3 Fig Trójk at ABC B Rozwi azanie. Z twierdzenia cosinusów obliczamy a = b + c b ccos α = = 49, a = 49 = 7.

41 4 Maj ac boki trójk ata, a, b, c obliczamy cosinus k atów β i γ. cos β = b a c a c cos γ = c a b a b = = = 7, = 3 4 Wartośćci k atów odczytujemy z tablic lub jako argumenty funkcji cyklicznych..9 Funkcje cykliczne Funkcje cykliczne arcsin α, arccos α, arctan α i arccot α to s a funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych w przedzia lach w których funkcje trygonometryczne s a rosn ace lub malej ace (monotoniczne). Na przyk lad, funkcj a odwrotn a do funkcji sin α jest funkcja arcsinα określona w przedziale otwartym dla α (, ) lub ogólnie dla α ( + k, + k), k = 0, ±, ±, ±3,...; Funkcj a odwrotn a do funkcji cos α jest funkcja arccos α określona w przedziale otwartym dla α (0, ) lub ogólnie dla α ( + k, + k), k = 0, ±, ±, ±3,...; Podobnie, funkcje odwrotne do funkcji tgα i ctgα s a funkcje arctgα i arccotα określone w przedzialach otwartych tangens dla α ( + k, + k), k = 0, ±, ±, ±3,...; i cotangens dla α (k, (k + )), k = 0, ±, ±, ±3,...;.9. Arcus sinus Funkcja y = sin jest rosn aca w przedziale [, ]. Zbiorem wartości funkcji sinus jest przedzia l[, ]. Zatem funkcja odwrotna arcsin y do funkcji y = sin istnieje i jest określona w przedziale [, ]. To znaczy dziedzin a funkcji odwrotnej arcsin y do funkcji y = sin jest zbiór wartości funkcji sin. Natomiast zbiorem wartości funkcji arcsin y jest przedzia l[, ]. Niżej na wykresie funkcji arcus sinus zanaczony jest przedzia l określoności

42 4 i przedzia l wartości. Przedzia l [, ] jest zbiorem określoności funkcji y = arcsin, a zbiȯrem wartości tej funkcji jest przedzia l [, ] y Wykres funkcji y = arcsin dla [,] arcsin = arcsin 0 = 0 0 arcsin( ) = Tabela wartości funkcji y = arcsin dla wybranych wartości argumentu. o radian y = sin = arcsiny 90 o 60 o 3 45 o o o o o o o Zauważmy, że zachodz a nastȩpuj ace tożsamości (i) arcsin(sin), dla (ii) sin(arcsin ) dla Rzeczywiście, niech y = sin, dla [, ]. Wtedy funkcja sin jest rosn aca i funkcja do niej odwrotna = arcsiny istnieje i jest określona dla y [, ]. Podstawiaj ac do lewej strony (i) y = sin, otrzymujemy tożsamość (i). Podobnie, niech y = arcsin dla [, ]. Wtedy funkcja arcsin, jest

43 43 rosn ace i funkcja do niej odwrotna = siny istnieje i jest określona dla y [, ]. Podstawiaj ac y = arcsin do równości = siny, otrzymujemy tożsamość (ii)..9. Arcus cosinus Funkcja y = cos jest malej aca w przedziale [0, ]. Zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedzia l, ]. Zatem funkcja odwrotna arccos y do funkcji y = cos istnieje i jest określona w przedziale [, ]. To znaczy dziedzin a funkcji odwrotnej arccos y do funkcji y = cos jest zbiór wartości funkcji cos. Natomiast zbiorem wartości funkcji arccos y jest przedzia l [0, ]. Niżej na wykresie funkcji y = arccos zanaczone s a przedzia l określoności i przedzia l wartości. Przedzia l [, ] jest zbiorem określoności funkcji y = arccos, a zbiȯrem wartości tej funkcji jest przedzia l [0, ] y arccos( ) = Wykresfunkcja y = arccos dla [,] arccos 0 = 0 arccos = 0 Tabela wartości funkcj y = arccos dla wybranych wartości argumentu. o radian y = cos = arccos y o o o o 0 35 o o o -

44 44 Zachodzi prosty zawi azek pomiȩdzy arcus sinus i arcus cosinus arcsin + arccos =, lub arccos = arcsin. (.9) Rzeczywiście, zauważamy, że prawdziwa jest nierȯwność 0 arcsin. Z nierȯwnośći i z rȯwność cos( arcsin. arccos ) = sin(arcsin) wynika tożsamość (.9)..9.3 Arcus tangens Funkcja tangens y = tg jest okresowa o okresie ω = i określona dla argumentu rȯżnego od nieparzystej wielokrotnoći k ata prostego. (k + ), k = 0, ±, ±,...; Przedzia lem wartości funkcji tangens jest zbiór liczb rzeczywistych R = (, ). Funkcja y = tg jest rosn aca od do w przedziale otwartym Dlatego istnieje funkcja odwrotna (, ). = arctg y, do funkcji y = tg w przedziale otwartym (, ). Bez zmiany w lasności funkcji arcus tangens możemy zamienić zmienne, y miejscami, pisz ac y = arctan. Wartości funkcji arcus tangens należ a do przedzia lu (, ), to znaczy prawdziwa jest nierȯwność < arctg <, < <. Rozpatrzmy jeszcze raz wykres funkcji tangens. Zauważmy, że wykres funkcji arcus tangens odwrotnej do funkcji tangens otrzymamy przez obrȯt wykresu

45 45 funckcji tangens w kierunku przeciwnym do ruch wskazȯwek zegara patrz ac na wykres z odwrotnej strony. y W ykres f unkcji tg dla (, ) tg {}}{ Niżej na wykresie zaznaczony jest zakres wartości funkcji y = arctg dla argumentu (, ). W ykres f unkcji arctg dla (, ) y L 4 arctg = L Funkcja arctag ma dwie asymptoty L i L rownolegle do osi.9.4 Arcus cotangens Funkcja y = cot jest malej aca w przedziale otwartym (0, ) i jej zbiorem wartości s a wszystkie liczby rzeczywiste < y <. Zatem funkcja odwrotna = arccot y istnieje i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych < y <. Natomiast jej zbior wartości zmienia siȩ w zakresie od 0 do, to znaczy 0 < arccot y <, < y <. Podobnie jak w przypadku funkcji arcu tanges, bez zmiany w lasności funkcji arcus cotangens, zamieniamy zmienne, y miejscami, pisz ac y = arccotg, dla < <

46 46 Rozpatrzmy jeszcze raz wykres funkcji cotangens. Zauważmy, że wykres funkcji arcus cotangens odwrotnej do funkcji cotangens otrzymamy przez obrȯt wykresu funckcji cotangens w kierunku przeciwnym do ruch wskazȯwek zegara patrz ac na wykres z odwrotnej strony. y Wykres funkcji y = ctg w przedziale (0, ) ( 4,) Z wykresu funkcji cotangens tworzymy wykres funkcji odwrotnej arcus cotangens Wykres funkcji arcctg y = arccotg, y dla < < L 4 arccotg = 4 0 Funkcja arcctg ma dwie asymptoty L to jest os i L rownolegla do osi Zachodzi nastȩpuj acy zawi azek pomiȩdzy arcus tangens i arcus cotangens, pis ac L arctg + arccot =, lub arcot = arctg. (.0) Rzeczywiście, zauważamy, że k at 0 arctg,

47 47 gdyż k at arctg. Zatem mamy tożsamość cot( arctg) = arctg Sk ad wynika tożsamość (.0)..0 Zadania.0. Funkcje periodyczne Zadanie.6 Oblicz okres funkcji Zadanie.7 Podaj wykres funkcji Zadanie.8 Oblicz okres funkcji Zadanie.9 Podaj wykres funkcji Zadanie.0 Oblicz okres funkcji Zadanie. Podaj wykres funkcji (i) sin (ii) cos (i) sin, (ii) cos 4, 0 8. (i) sin (ii) cos (i) sin, 3 3 (ii) cos, 0 3. (i) tg 4 (ii) ctg 4 (i) tg, 4 (ii) ctg 4, 0 4.

48 48 Zadanie. Funkcja E[] ca lość z ma najwiȩksz a wartość E[] nie wiȩksz a od 9 Sprawdź, że okres funkcji okresowej czȩść u lamkowa z liczby, jest rȯwny ω =. Oblicz okres i podaj wykresy funkcji f() = E[]. (i) f() = E[3], (ii) g() = E[ 4 ].0. Tożsamość trygonometryczna Zadanie.3 Sprawdź tożsamowść sin 4 cos 4 = cos < <. Zadanie.4 Sprawdź tożsamowść ( + tg )cos = k, k = 0, ±, ±,...; Zadanie.5 Sprawdź tożsamowść Zadanie.6 Wykaż, ze + tg + ctg = tg k, k = 0, ±, ±,...; sin(α + β) + sin(α + β) = sinα cosβ dla każdej rzeczyczywistej wrtości k atȯw α i β..0.3 Rȯwnania trygonometryczne Zadanie.7 Rozwi aż rȯwnanie (i) sin = 0, (ii) cos = 0. Zadanie.8 Rozwi aż rȯwnanie (i) tg = 0, (ii) ctg = 0. Zadanie.9 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.30 Rozwi aż rȯwnanie 9 E[] Entier of (i) sin + cos = 0, (ii) sin = cos. (i) tg ctg = 0 (ii) tg = sin.

49 Nierȯwności trygonometryczne Zadanie.3 Rozwi aż nierȯwność (i) sin 6 < (ii) cos > Zadanie.3 Rozwi aż nierȯwność (i) tg 4 Zadanie.33 Rozwi aż nierȯwność (ii) ctg 4 (i) sin cos 0 (ii) sin + cos Zadanie.34 Rozwi aż nierȯwność tg ctg > Twierdzenie sinusȯw Zadanie.35 Oblicz boki i k aty trȯjk ata ABC maj ac d lugość dwȯch bokȯw AB = 6, AC = 8 i kat ABC = 60 o Zadanie.36 Oblicz boki trȯjk ata ABC maj ac d lugość boku BC = 5 i k aty CAB = 30 o, ABC = 60 o.0.6 Twierdzenie cosinusȯw Zadanie.37 Oblicz boki i k aty trȯjk ata ABC maj ac d lugość dwȯch bokȯw AB = 6, AC = 8 i kat CAB = 60 o Zadanie.38 Oblicz boki trȯjk ata ABC maj ac d lugość bokȯw i k at ABC = 30 o. AB = 9, BC =.0.7 Funkcje cykliczne Zadanie.39 Oblicza wartość wyrażenia arcsin + arcsin

50 50 Zadanie.40 Oblicza wartość wyrażenia arccos + arcscos Zadanie.4 Oblicza wartość wyrażenia Zadanie.4 Podaj wykres funkcji dla argumentu [, ]. Zadanie.43 Podaj wykres funkcji dla argumentu [, ]. Zadanie.44 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.45 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.46 Rozwi aż rȯwnanie Zadanie.47 Rozwi aż rȯwnanie arctg + arctg f() = sin(arcsin ) f() = cos(arcsin ) arcsin arccos = 0 arcsin arccos = arctg arcctg = 0 3arctg arcctg =

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne

Trigonometria. Funkcje trygonometryczne 1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki arytmetyczne n a

Pierwiastki arytmetyczne n a Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE.

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE. 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 1 0 3 1 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 018 1 1 Projekt dziesi aty Contents

Bardziej szczegółowo

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x

Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0. Hyperbola 1 x 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Asymptota pozioma: oṡ x, gdy y = 0 Asymptota pionowa: oṡ y, gdy x = 0 2 1 0 3 1 2 x Hyperbola 1 x FUNKCJE ELEMENTARNE WYMIERNE POTȨGOWE LOGARYTMICZNE

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka kompendium 2

Matematyka kompendium 2 Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie

Bardziej szczegółowo

Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza

Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza. Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 Liczba 2, to jest jedyna najmniejsza liczba parzysta i pierwsza 2 1 0 1 2 3 x Oś liczbowa. Liczba 1, to nie jest liczba pierwsza MATEMATYKA

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi.

MATEMATYKA 8. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego (α < 90 ). Stosunki długości boków trójkąta prostokątnego nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy do matury i rekrutacji na studia medyczne Rok 017/018 www.medicus.edu.pl tel. 501 38 39 55 MATEMATYKA 8 FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny

Bardziej szczegółowo

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne

Bardziej szczegółowo

0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze

0.1 Sposȯb rozk ladu liczb na czynniki pierwsze 1 Temat 5: Liczby pierwsze Zacznijmy od definicji liczb pierwszych Definition 0.1 Liczbȩ naturaln a p > 1 nazywamy liczb a pierwsz a, jeżeli ma dok ladnie dwa dzielniki, to jest liczbȩ 1 i sam a siebie

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

Geometria przestrzenna. Stereometria

Geometria przestrzenna. Stereometria 1 Geometria przestrzenna. Stereometria 0.1 Graniastos lupy Graniastos lup to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, s a przystaj cymi wielok atami leż acymi w p laszczyznach równoleg lych,

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska

Funkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.

Bardziej szczegółowo

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA

SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16. Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 z y 0 x Szeṡcian w uk ladzie wspȯ lrzȩdnych x, y, z GEOMETRIA PRZESTRZENNA STEREOMETRIA Prof. dr. Tadeusz STYŠ Warszawa 2018 1 1 Projekt trzynasty

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2. Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z matematyki ćwiczenia

Repetytorium z matematyki ćwiczenia Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Funkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako:

Funkcją sinus kąta α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym, i opisujemy jako: 1. Trygonometria 1.1Wprowadzenie Jednym z podstawowych działów matematyki który wykorzystywany jest w rozwiązywaniu problemów technicznych jest trygonometria. W szkole średniej wprowadzone zostały podstawowe

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. x 1

FUNKCJE LICZBOWE. x 1 FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej sin α = b c. Cosinusem kąta ostrego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Liczby naturalne i ca lkowite

Liczby naturalne i ca lkowite Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

Skrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3

Skrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY. Warszawa pażdziernik 2017

MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY. Warszawa pażdziernik 2017 i MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS 02-892 WARSZAWA UL. BAŻANCIA 16 SYSTEMY LICZBOWE POZYCYJNE DECYMALNY, BINARNY, OKTALNY Warszawa pażdziernik 2017 ii Contents 0.1 Wstȩp............................... 1 0.2

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

System liczbowy binarny.

System liczbowy binarny. 1 System liczbowy binarny. 0.1 Wstȩp Ogȯlna forma systemów pozycyjnych liczbowych ma postać wielomianu α n 1 ρ n 1 + α n 2 ρ n 2 + + α 2 ρ 2 + α 1 ρ + α 0, (1) gdzie liczbȩ naturaln a ρ 2 nazywamy podstaw

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas

Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,

Bardziej szczegółowo

na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0

na p laszczyźnie kartezjaṅskiej prowadzimy prost a o rȯwnaniu s 1. (1.1) s 0 + t 1 t 0 Chapter 1 Interpolacja 1.1 Interpolacja liniowa Zacznijmy opis pojȩcia inter-polacji od prostego przyk ladu. Przyk lad 1.1 Oblicz ile kilometrȯw przejecha l samochȯd po 3 godzinach jazdy, jeżeli po jednej

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego 1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

PODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5. Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI

MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Opercja modulo a b( mod c) MATEMATYKA DZIELENIE LICZB Z RESZTA CECHY PODZIELNOṠCI Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 2018 1 1 Projekt pi aty

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa 1 Liczby rzeczywiste: Uczeń otrzymuje ocenę ( jeśli rozumie i stosuje podpowiedź nauczyciela)oraz

Bardziej szczegółowo

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)

KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie I poziom rozszerzony Na ocenę dopuszczającą, uczeń: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdajcego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami. 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3

ZADANIE 1 Ciag (a n ), gdzie n 1, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 ZADANIE 3 ZADANIE Ciag (a n ), gdzie n, jest rosnacym ciagiem geometrycznym. Wyznacz wartość największa funkcji f (x) = 2xa 6 a 2 a 4 a 3 x 2 a 3 a 6. ZADANIE 2 Długości boków trójkata tworza ciag geometryczny.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2 1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi

Bardziej szczegółowo