MODELOWANIE SŁABOSTRUKTURALNYCH SYSTEMÓW LOGISTYCZNYCH OPARTE NA ROZMYTYCH RELACYJNYCH MAPACH KOGNITYWNYCH

Transkrypt

1 LOGITRANS - VII KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA LOGISTYKA, SYSTEMY TRANSPORTOWE, BEZPIECZEŃSTWO W TRANSPORCIE Aleksander JASTRIEBOW, 2 Grzegorz SŁOŃ Moniorowanie, relacyna mapa kogniywna, model rozmyy, układ owary MODELOWANIE SŁABOSTRUKTURALNYCH SYSTEMÓW LOGISTYCZNYCH OPARTE NA ROZMYTYCH RELACYJNYCH MAPACH KOGNITYWNYCH W pracy przedsawiono pewne aspeky worzenia rozmye relacyne mapy kogniywne, słuŝące do moniorowania owarych sysemów słabosrukuralnych o dowolnym charakerze. Przeprowadzono analizę doboru określonych kszałów funkci charakerysycznych oraz sopnia dyskreyzaci. Dokonano równieŝ porównania działania przykładowego modelu rozmyego z odpowiadaącym mu modelem osrym. MODELLING LOW-STRUCTURAL LOGISTIC SYSTEMS BASED ON FUZZY RELATIONAL COGNITIVE MAPS In he paper, cerain aspecs of creaing fuzzy relaional cogniive map, designed for monioring any ype of open low-srucural sysems are presened. There were carried ou analysis of selecion of characerisic funcions specific shapes and discreizaion degree. There was also made a comparison of work of hypoheical fuzzy model and equivalen crisp model.. WSTĘP ZłoŜone sysemy logisyczne, obemuące liczne powiązane ze sobą i wzaemnie oddziałuące elemeny o zróŝnicowane srukurze, rzadko daą się opisać przy uŝyciu dokładnych modeli maemaycznych. Sysemy akie moŝna nazywać słabosrukuralnymi, poniewaŝ moniorowanie ich działania musi, siłą rzeczy, opierać się na doświadczeniu personelu zarządzaącego. Jes o spowodowane znaczącym udziałem niepewności co do rzeczywisego charakeru wzaemnych oddziaływań pomiędzy poszczególnymi elemenami danego sysemu. Podobnie warości wpływaących na siebie czynników są przewaŝnie rudne do precyzynego zmierzenia i mogą być edynie szacowane z większą lub mnieszą dokładnością. PowyŜsze powody sprawiaą, Ŝe wciąŝ akualne es zagadnienie efekywnego modelowania maemaycznego ego rodzau sysemów. Wysępuą u dwa Poliechnika Święokrzyska, Wydział Elekroechniki, Auomayki i Informayki; Kielce; Al. Tysiąclecia P. P. 7. Tel.: , faks: Poliechnika Radomska, Wydział Nauczycielski; Radom; ul. Malczewskiego 29.

2 44 Aleksander JASTRIEBOW, Grzegorz SŁOŃ problemy, kóre moŝna rozwiązywać sosuąc odpowiednie podeścia. Pierwszy problem, polegaący na niedosaeczne znaomości srukury powiązań, moŝna przezwycięŝyć, zasępuąc radycyny model róŝniczkowy relacyną mapą kogniywną, kóra es konsrukcą maemayczną opisuącą siły wzaemnych powiązań (relaci) pomiędzy kluczowymi czynnikami sysemu [-5]. Znaczenie drugiego, wynikaącego z niemoŝności dokładnego określenia zarówno poziomów relaci, ak i warości przepływaących sygnałów, moŝna do pewnego sopnia zniwelować, wprowadzaąc echnikę arymeyki rozmye [6]. Sosowanie powyŝszego podeścia wymaga nie ylko sworzenia rozmyego modelu, kóry w akiś sposób odwzorowywałby wewnęrzne powiązania (relace) pomiędzy kluczowymi czynnikami, ale akŝe wypracowania meody oceny wyników działania ego modelu, co ma wielkie znaczenie przy moniorowaniu sanu obieku. Tradycyne podeście rozmye bazue wyłącznie na wiedzy eksperowe, na podsawie kóre worzy się zbiory reguł decyzynych, ednakŝe subiekywizm akie meodologii zwiększa ryzyko niewłaściwego działania oraz wymusza sałe zaangaŝowanie personelu. Ponado, przy duŝe liczbie oddziałuących ze sobą czynników, worzenie szywnego zbioru reguł moŝe być rudne lub niewysarczaące. Isniee więc porzeba wypracowania podeścia pozwalaącego na większe zauomayzowanie procesu moniorowania. Ninieszy refera zawiera propozycę akiego podeścia zilusrowaną przykładem z zakresu logisyki hydrauliczne, w odniesieniu do owarego modelu mapy kogniywne. 2. BUDOWA MODELU MAPY KOGNITYWNEJ W syuaci braku moŝliwości dokładnego opisu maemaycznego badanego sysemu bądź procesu, edyną dosępna wiedzą są eksperowe informace na ema wzaemnych oddziaływań kluczowych czynników. W układzie owarym mogą być o oddziaływania (relace) pomiędzy czynnikami weściowymi (np. sympomami uszkodzeń) oraz wyściowymi (np. uszkodzeniami). Wybór konkrenych czynników zaleŝy od bieŝących porzeb sysemu moniorowania oraz moŝliwości pomiarowych. Przykładowy zesaw czynników pewnego sysemu hydraulicznego przedsawia ab.. Tab.. Zesaw sympomów i przyczyn niezdaności przykł. sysemu hydraulicznego Zesawienie sympomów Zesawienie uszkodzeń C ubyek wody w sysemie C 2 wilgoć wokół rury C 3 sopniowa zmiana ciśnienia C 4 spadek emperaury C 5 skokowa zmiana ciśnienia C 6 widoczna para wodna C 7 koroza rury C 8 pęknięcie rury C 9 nadmierny przyros osadu solnego C 0 zuŝycie armaury Sysem moniorowania sanu obieku charakeryzowanego przez czynniki z ab. moŝna przedsawić graficznie w posaci zespołu powiązań, ak na rys.. Normalizaca, wymieniona ako eden z eapów działania sysemu, ma na celu przekszałcenie rzeczywisych (np. zmierzonych) warości sygnałów sympomowych do bezwymiarowe, znormalizowane posaci z zakresu [-, ].

3 MODELOWANIE SŁABOSTRUKTURALNYCH SYSTEMÓW 45 Rys.. Ogólny schema sysemu moniorowania obieku z ab., {r i } współczynniki relaci pomiędzy czynnikami weściowymi (sympomami) a wyściowymi (uszkodzeniami) Siły (współczynniki) relaci, podobnie ak warości czynników, mogą być szacowane w sposób subiekywny, a więc zaleŝny od doświadczenia ekspera, moŝliwości pomiarowych, warunków środowiskowych i innych elemenów. NiezaleŜnie od ego ypu ograniczeń, podsawowym problemem przy budowie modelu es próba określenia poziomu sił oddziaływań wzaemnych (współczynników relaci) w posaci odpowiednich liczb rzeczywisych, przy czym, dla zachowania spóności procesu moniorowania, naleŝy dobierać ich warości z określonego, wspólnego dla wszyskich paramerów, przedziału (np. [-, ]). Tak sworzony zesaw powiązań, zwany mapą kogniywną, moŝna przedsawić w posaci () lub (2). <C, X, r> () <X, r> (2) gdzie: C = [C,..., C N ] T zbiór czynników (conceps), X = [X,..., X N ] T zbiór warości czynników mapy (wekor sanu), r = {r i } macierz relaci pomiędzy zmiennymi X i i X (i, =,..., N). W ab. 2 pokazano warości wzaemnych relaci dla zesawu czynników z ab., przy czym, z uwagi na owary charaker przykładowego sysemu, uwzględniono edynie relace pomiędzy czynnikami weściowymi, a wyściowymi. Tab. 2. Przykładowe zesawienie warości skalarnych wsp. relaci pomiędzy czynnikami r X 7 X 8 X 9 X 0 X 0,5 0 0 X X 3 0,5 0 X X ,3 X 6 0,5 0,5 0

4 46 Aleksander JASTRIEBOW, Grzegorz SŁOŃ Dla obieku, w kórym zarówno współczynniki relaci, ak i warości samych czynników są dokładnie określone, moŝna zasosować podeście zw. osre, polegaące na wyznaczeniu warości czynników wyściowych na podsawie równania (3). 6 X = r X, = 7,..., 0 (3) i i= i gdzie: X warość -ego czynnika (wyściowego), X i warość i-ego czynnika (weściowego) po normalizaci, r i skalarny współczynnik relaci pomiędzy i-ym i -ym czynnikiem. Uwaga. Określanie sanu poszczególnych czynników wyściowych za pomocą meody (3) polega na sprawdzeniu, w akim przedziale zawiera się w danym momencie warość danego czynnika. Jeśli sprawdzenie wykaŝe, Ŝe warość a przekroczyła granice uznane za poprawne, obsługa powinna podąć działania koryguące (np. próbę naprawy danego uszkodzenia). Bezpośrednie sosowanie równania (3) swarza zagroŝenie przekroczenia przez niekóre czynniki granic zakresu normalizaci (np. czynnik C 0 moŝe w akim uęciu osiągać warości X 0 z zakresu od,7 do,7), co moŝe prowadzić do niewłaściwego działania auomaycznego sysemu moniorowania. Dlaego eŝ warości czynników wyściowych powinny być dopasowywane do załoŝonych granic zakresu moniorowania. MoŜna o osiągnąć sosuąc róŝne funkce koryguące. W akie syuaci równanie (3) przybiera posać (4): gdzie: f(x) funkca koryguąca. 6 X = f r X i, = 7,..., 0 (4) i i= Funkca koryguąca z równania (4) moŝe przybierać róŝne formy (np.: (5) lub (6)), naleŝy ednak pamięać, Ŝe e głównym zadaniem es ograniczenie warości argumenu do załoŝonych granic. f (x) =, λ 0 (5) λx + e f (x) λx e =, λ 0 (6) λx + e Funkce koryguące (5) i (6) maą charaker nieliniowy, zdąŝaący asympoycznie do, co oznacza, Ŝe właściwie nie moŝna ich sosować w sysemach z duŝą liczbą oddziałuących czynników, poniewaŝ nie zapewniaą wysarczaące rozróŝnialności poszczególnych sanów (powyŝe pewnego poziomu duŝe przyrosy argumenu wywołuą

5 MODELOWANIE SŁABOSTRUKTURALNYCH SYSTEMÓW 47 coraz mniesze przyrosy warości funkci). W związku z ym auorzy proponuą zasosowanie inne meody korekci, opare na modyfikaci warości współczynników relaci. W proponowane meodzie pierwone warości współczynników relaci r i zosaą zasąpione warościami skorygowanymi r i, wyznaczonymi zgodnie z równaniem (7). r' = r w (7) i i gdzie: w + = max{s,s } dla dla max{s,s } > + max{s,s } + S k + r = i i= dla r 0 i k ; S = r dla r < 0 i i i= przy czym: nr czynnika wyściowego, k liczba czynników weściowych. Uwaga 2. Meodę korekci r i za pomocą (7) moŝna rakować ako pewien algorym adapaci (uczenia) mapy kogniywne ypu off-line. Zasosowanie korekci macierzy współczynników relaci wg (7) pozwala na budowę sysemu moniorowania w oparciu o równanie (8). 6 X = r' X, = 7,..., 0 (8) i= i i Takie podeście właściwie uniezaleŝnia rozróŝnialność sanów moniorowanego obieku od liczby oddziałuących czynników. Wymusza edynie odpowiednie dososowanie granic przedziałów oceny sanu. Przykładowe współczynniki relaci z ab. 2, po przekszałceniu wg (8), orzymaą warości przedsawione w ab. 3. Tab. 3. Współczynniki relaci z ab. 2 po przekszałceniu zgodnie z (8) r X 7 X 8 X 9 X 0 X 4 0, X X ,5 0,35 X ,5 X X W syuaci niepewności co do załoŝonych sił oddziaływań (relaci) pomiędzy czynnikami oraz warości czynników weściowych, model osry moŝe być zasąpiony przez

6 48 Aleksander JASTRIEBOW, Grzegorz SŁOŃ model rozmyy, w kórym osre warości czynników zasępue się funkcami przynaleŝności rozmyymi wokół ych warości (czynnikami rozmyymi), naomias w miesce skalarnych współczynników relaci wprowadza się przesrzenne relace rozmye zbudowane w oparciu o e współczynniki. W akim modelu rozmye warości czynników wyściowych wyznacza się na podsawie równania (9): gdzie: X 6 = X o R, = 7,..., 0 (9) i= i i, operaca sumowania rozmyego, R i, poedyncza rozmya relaca pomiędzy rozmyymi czynnikami o numerach i oraz (z uwzględnieniem koreky wg (7)), operaca maksyminowe kompozyci rozmye. Wybór sposobu rozmywania warości czynników oraz dobór paramerów poszczególnych relaci rozmyych zaleŝą od charakeru moniorowanego obieku oraz moŝliwości sysemu obliczeniowego. Ogólnie rzecz biorąc moŝna się posłuŝyć ednym z rzech ypów funkci przynaleŝności (rys. 2 i 3).,0 Gausoidalna funkca przynaleŝności,0 Trókąowa funkca przynaleŝności,0 Trapezoidalna funkca przynaleŝności µ(u ) µ(u ) µ(u ) -2,0 -,5 -,0-0,5 0,5,0,5 2,0 u -2,0 -,5 -,0-0,5 0,5,0,5 2,0 u -2,0 -,5 -,0-0,5 0,5,0,5 2,0 u Rys. 2. Przykłady funkci przynaleŝności, kóre moŝna wykorzysać do rozmywania czynników mapy kogniywne, u nośnik, µ(u) funkca przynaleŝności Relaca gausoidalna Relaca rókąowa Relaca rapezoidalna,0,0,0 µ(r,u,u2) µ(r,u,u2) µ(r,u,u2) -2,0 -,0,0 u -2,0 2 -,5 -,0-0,5 2,0 0,5,0,5 2,0-2,0 -,0,0 u -2,0 2 -,5 -,0-0,5 2,0 0,5,0,5 2,0-2,0 -,0,0 u -2,0 2 -,5 -,0-0,5 2,0 0,5,0,5 2,0 u u u Rys. 3. Przykłady relaci rozmyych budowanych w oparciu o róŝne rodzae funkci przynaleŝności; u, u 2 zmienne nośnika, µ(r,u,u 2 ) funkca przynaleŝności relaci Zakres nośnika zaleŝy głównie od granic zakresu normalizaci dla warości czynników. JeŜeli zakres en wynosi [-, ], o, dla zachowania symerii funkci charakerysycznych, dogodnie es przyąć nośnik o zakresie [-2, 2] (ak na rys. 2 i 3).

7 MODELOWANIE SŁABOSTRUKTURALNYCH SYSTEMÓW DOBÓR PARAMETRÓW MODELU ROZMYTEJ MAPY KOGNITYWNEJ Głównymi paramerami rozmye mapy kogniywne są: funkce przynaleŝności rozmyych czynników, funkce przynaleŝności rozmyych relaci, zakres nośnika liczb i relaci rozmyych, liczba warości lingwisycznych (równowaŝna liczbie kroków próbkowania nośnika) oraz poziomy odniesienia do wnioskowania o sanie czynników wyściowych. Dobór poszczególnych paramerów zaleŝy od róŝnych czynników, z kórych przynamnie część ma subiekywny charaker. Szerokość zakresu nośnika powinna pozwalać na prawidłowe wyosrzenie wszyskich wysępuących w sysemie warości czynników rozmyych. W prakyce oznacza o, Ŝe warości funkci przynaleŝności czynników rozmyych powinny być bliskie zeru po kaŝdym kolenym kroku wnioskowania, co z kolei oznacza powiązanie zakresu nośnika z przyęym sopniem rozmycia czynników, a więc pośrednio z poziomem niepewności co do odczyu ich warości rzeczywisych. Liczba punków próbkowania nośnika zaleŝy głównie od moŝliwości sprzęowych. Gęssze próbkowanie zwiększa dokładność modelu ale wydłuŝa czas obliczeń. Ma o duŝe znaczenie z uwagi na złoŝony charaker operaci arymeycznych na liczbach rozmyych. Rodzae wybranych funkci przynaleŝności zaleŝy przede wszyskim od charakeru sysemu i dobór ych paramerów es nabardzie subiekywny, poniewaŝ zaleŝy w zasadzie wyłącznie od wiedzy eksperowe. Tym niemnie właśnie rodza funkci przynaleŝności ma kluczowe znaczenie dla prawidłowego działania modelu. Co do poziomów odniesienia dla sysemu wnioskuącego, o zaleŝą one od bieŝących porzeb i celów moniorowania i mogą być zmieniane zaleŝnie od znaczenia moniorowanych procesów. 4. ANALIZA SYMULACYJNA Przedmioem analizy był obiek z rys., kórego paramery opisano w ab. i 2. Dla porzeb porównawczych zbudowano dwa ypy modeli: osry (będący modelem odniesienia) oraz kilka rozmyych (o róŝnych paramerach). W kaŝdym modelu wykorzysano en sam zesaw czynników weściowych (przedsawiony na rys. 4), przy czym w modelach rozmyych znormalizowane warości czynników sanowiły cenra rozmywania. Podobnie zasosowano macierz współczynników relaci z ab. 2, ym, Ŝe w modelu osrym współczynniki e (po korekcie wg (7)) sosowano w formie bezpośrednie, a w modelach rozmyych sanowiły one bazę do budowy odpowiednich relaci rozmyych.,2 Przebiegi czasowe czynników weściowych - model osry,0 X X2 X3 X4 X5 X Rys. 4. Warości czynników weściowych X X 6 po normalizaci bezwymiarowe do zakresu [-, ] model osry

8 50 Aleksander JASTRIEBOW, Grzegorz SŁOŃ Dla lepszego wyróŝnienia wniosku końcowego załoŝono, Ŝe w pewnym momencie warości części czynników weściowych (sympomów) wzrosły, nasępnie (na skuek reakci sysemu monioruącego) podęo działania naprawcze, po kórych ednak niekóre czynniki zachowały warości większe od zera. 4. Model osry Rys. 5 przedsawia przebiegi czasowe warości czynników wyściowych uzyskanych w modelu osrym.,0 Przebiegi czasowe czynników wyściowych - model osry X Rys. 5. Warości czynników wyściowych X 7 X 0 orzymane przez sysem monioruący model osry Do celów inerpreaci wskazań sysemu monioruącego przyęo szczególne przedziały warości odniesienia (ednakowe dla wszyskich czynników wyściowych), zesawione w ab. 4. Tab. 4. Przedziały odniesienia dla warości czynników wyściowych Zakres przedziału < 0.4 [0.4, 0.6) 0.6 warość niepewna warość warość poprawna Inerpreaca wskazania (moŝliwe niepoprawna (brak uszkodzenia) uszkodzenie) (uszkodzenie) Zgodnie z ab. 4 inerpreaca przebiegów z rys. 5 es nasępuąca. W pewnym momencie wysąpiły sympomy wskazuące na moŝliwość wysąpienia kilku uszkodzeń ednocześnie. Pierwszy eap działań naprawczych spowodował zmnieszenie warości niekórych sympomów, co pozwoliło wyeliminować dwa uszkodzenia. UmoŜliwiło o skoncenrowanie działań naprawczych na pozosałych dwóch moŝliwych uszkodzeniach. W końcowym eapie sysem monioruący wskazue uŝ ylko na edno uszkodzenie (czynnik C 9 ). Model osry skonsruowano edynie dla celów porównawczych. Zasadniczym celem pracy es analiza działania modeli rozmyych.

9 MODELOWANIE SŁABOSTRUKTURALNYCH SYSTEMÓW Modele rozmye Modele rozmye mogą znaleźć zasosowanie w syuacach braku wysarczaące pewności co do odczyanego poziomu warości sympomów oraz współczynników relaci. Z badań wynika, Ŝe, w odniesieniu do obieku z rys., nie ma większego znaczenia, kóry rodza funkci przynaleŝności zosanie przyęy ako podsawa rozmywania warości czynników i konsruowania relaci rozmyych. Warunkiem es zachowanie symerii funkci charakerysycznych wokół cenrum rozmywania. Pewne znaczenie ma dobór odpowiednie liczby punków dyskreyzaci nośnika. Je zmnieszanie wydanie skraca czas obliczeń, ale, poniŝe pewne granicy, nasępue zafałszowanie wyników. Na rys. 6 i 7 pokazano przebiegi czasowe czynników wyściowych w modelach rozmyych oparych na róŝnych funkcach przynaleŝności, przy czym rys. 6 przedsawia modele bazuące na K = 4 punkach próbkowania nośnika, a rys. 7 modele z K = 9 punkami próbkowania. Dla obu prezenowanych modeli zasosowano nośnik o zakresie [-2, 2].,0 Przebiegi czasowe czynników wyściowych - model rozmyy - funkce gausoidalne,0 Przebiegi czasowe czynników wyściowych - model rozmyy - funkce rapezoidalne X0 X Rys. 6. Warości czynników wyściowych X 7 X 0 orzymane przez rozmyy sysem monioruący dla funkci przynaleŝności: gausoidalnych oraz rapezoidalnych K = 4,0 Przebiegi czasowe czynników wyściowych - model rozmyy - funkce gausoidalne,0 Przebiegi czasowe czynników wyściowych - model rozmyy - funkce rapezoidalne X0 X Rys. 7. Warości czynników wyściowych X 7 X 0 orzymane przez rozmyy sysem monioruący dla funkci przynaleŝności: gausoidalnych oraz rapezoidalnych K = 9 Jak widać na rys. 6 i 7, znaczne zmnieszenie liczby punków próbkowania K nie ylko zmienia wnioski końcowe, ale równieŝ wprowadza rozbieŝności pomiędzy wynikami pracy modeli wykorzysuących róŝne funkce przynaleŝności. Większy problem sanowi niesymeria funkci przynaleŝności, kóra moŝe zosać wprowadzona na eapie worzenia rozmye mapy kogniywne bądź rozmywania warości czynników. Niesymeria wobec cenrum ma duŝe znaczenie w procesie późnieszego wyosrzania warości czynników, poniewaŝ es ono realizowane meodą średnie waŝone,

10 52 Aleksander JASTRIEBOW, Grzegorz SŁOŃ co oznacza, Ŝe wyosrzona warość czynnika nie pokrywa się z cenrum rozmye funkci charakerysyczne ego czynnika. Swarza o dodakową rudność przy korygowaniu współczynników relaci meodą (7), poniewaŝ w meodzie e zmienia się edynie relace osre bądź rozmye, co w efekcie moŝe prowadzić do przekroczenia załoŝonych ograniczeń przez wyosrzone warości czynników weściowych. Efek niesymerii pokazano rys. 8.,2 Przebiegi czasowe czynników wyściowych - model rozmyy - funkce rapezoidalne,0 X Rys. 8. Warości czynników wyściowych X 7 X 0 orzymane przez rozmyy sysem monioruący dla niesymerycznych rapezoidalnych funkci przynaleŝności K = 4 5. WNIOSKI Z przeprowadzone analizy wynika, Ŝe model rozmye mapy kogniywne moŝe znaleźć zasosowanie w moniorowaniu owarych obieków logisycznych i es w sanie dobrze odwzorować poszczególne sany obieku. Warunkiem poprawnego działania es odpowiedni dobór paramerów modelu. Obecnie rwaą prace nad opracowaniem meody pozwalaące zniwelować niekorzysny wpływ niesymerii funkci przynaleŝności sosowanych przy rozmywaniu warości czynników oraz budowie relaci rozmyych. 6. BIBLIOGRAFIA [] Borisow W. W., Krugłow W. W., Fiedułow A. C. Rozmye modele i sieci. Wyd. Telekom, Moskwa 2007 (w. rosyskim). [2] Jasriebow A., Słoń G.: Rozmye mapy kogniywne w relacynym modelowaniu słabosrukuralnych sysemów. W: Jasriebow A. (red.) Informayka w dobie XXI wieku. Technologie informayczne w nauce, echnice i edukaci. Wyd. Naukowe Insyuu Technologii Eksploaacyne Pańswowego Insyuu Badawczego, Radom 2009, sr [3] Jasriebow A., Słoń G.: Rozmye mapy kogniywne w relacynym modelowaniu sysemów moniorowania. W: Kowalczuk Z. (red.) Sysemy wykrywaące, analizuące i oleruące userki. PWNT, Gdańsk 2009, sr [4] Kandasamy W.B.V., Smarandache F.: Fuzzy Cogniive Maps and Neurosophic Cogniive Maps. Xiquan, Phoenix, AZ, USA [5] Kosko B. Fuzzy cogniive maps. In. Journal of Man-Machine Sudies, Vol. 24. pp , 986. [6] Piega A.: Fuzzy Modelling and Conrol. Physica-Verlag, Springer-Verlag Company, 200.