P f h. M g N 0 w którym dolny wiersz jest dokładny, jest przemienny; (2) każdy ciąg dokładny

Transkrypt

1 7. Wykład 7: Moduły projektyne i injektyne. Tierdzenie 7.1. Niec R będzie pierścieniem, P leym R-modułem. Następujące arunki są rónoażne: (1) dla każdego R-modułu N i omomorizmu : P Ñ N zacodzi następujący arunek: dla każdego leego R-modułu M i dla każdego epimorizmu g : M Ñ N istnieje omomorizm : P Ñ M taki, że g ; inaczej: diagram P M g N 0 którym dolny iersz jest dokładny, jest przemienny; (2) każdy ciąg dokładny 0 Ñ M ÝÑ N g ÝÑ P Ñ 0 rozszczepia się; (3) P jest składnikiem prostym penego leego R-modułu M o następującej łasności: istnieje podzbiór t i : i P Iu zbioru M taki, że dla każdego leego R-modułu N i jego rodziny elementó t i : i P Iu istnieje dokładnie jeden omomorizm : M Ñ N taki, że p i q i. Doód. p1q ñp2q: załóżmy,że0 Ñ M ÝÑ N g ÝÑ P Ñ 0 jest ciągiem dokładnym. W diagramie P id N g P 0 iersz jest dokładny, istnieje ięc omomorizm : P Ñ N taki, że g id P. Wobec Tierdzenia 5.1 ciąg 0 Ñ M ÝÑ N g ÝÑ P Ñ 0 rozszczepia się. p2q ñp3q: obec Tierdzenia 6.12 istnieją ley R-moduł M o następującej łasności: istnieje podzbiór t i : i P Iu zbioru M taki, że dla każdego leego R-modułu N ijego rodziny elementó t i : i P Iu istnieje dokładnie jeden omomorizm : M Ñ N taki, że p i q i oraz epimorizm g : M Ñ P. Niec K ker g. Wóczas ciąg 0 Ñ K ãñ M g ÝÑ P Ñ 0 jest dokładny, a ięc rozszczepialny. Tym samym P jest składnikiem prostym modułu M. p3q ñp1q: niec M będzie leym R-modułem o następującej łasności: istnieje podzbiór t i : i P Iu zbioru M taki, że dla każdego leego R-modułu N ijego rodziny elementó t i : i P Iu istnieje dokładnie jeden omomorizm : M Ñ N taki, że p i q i 37

2 38 oraz niec M P Q. Niec π : M Ñ P będzie rzutoaniem. Ustalmy moduły K i L, omomorizm : P Ñ L i epimorizm g : K Ñ L: M K g π P na L 0. Wobec Tierdzenia 6.14 istnieje omomorizm 1 : M Ñ L taki, że π g 1.Tymsamym odzoroanie : P Ñ L dane zorem 1 æ P spełnia arunek g. Uaga 7.1. Poyższe tierdzenie upraszcza się nieznacznie, gdy R jest pierścieniem z jedynką, a P leym unitarnym R-modułem. Wóczas arunek (3) przybiera brzmienie: (3) P jest składnikiem prostym penego modułu olnego. Deinicja 7.1. Niec R będzie pierścieniem, P leym R-modułem. Jeżeli P spełnia jeden (a zatem szystkie) z rónoażnyc arunkó Tierdzenia 7.1, to P nazyamy modułem projektynym. Wniosek 7.1. Każdy moduł olny nad pierścieniem z jedynką jest projektynym modułem unitarnym. Tierdzenie odrotne do Wniosku 7.1 nie jest pradzie: Przykład: (1) Niec R 1 i R 2 będą pierścieniami z jedynką, niec R R 1 ˆ R 2. R jest oczyiście leym R- modułem. Oznaczmy r 1 p1 R1, 0 R2 q oraz r 2 p0 R1, 1 R2 q. Wtedy R xr 1 y`xr 2 y oraz xr 1 yx xr 2 y t0 R u,obecczegoxr 1 y jest składnikiem prostym R, a ięc modułem projektynym. Dla doolnyc a 1,...,a k P R zacodzi: r 2 a 1 r 1 `...` r 2 a k r 1 0 oraz r 2 0, a ięc a 1 r 1,...,a k r 1 są linioo zależne. Tym samym xr 1 y nie ma bazy, ięc nie może być olny. Okazuje się jednak, że niektóre moduły projektyne są olne. Omóimy teraz kilka znanyc przypadkó, któryc ma to miejsce. Tierdzenie 7.2 (Cartana-Eilenberga). Niec R będzie przemiennym pierścieniem lokalnym z jedynką, niec P będzie skończenie generoanym leym unitarnym R-modułem projektynym. Wóczas P jest olny. Lemat 7.1. Niec R będzie pierścieniem z jedynką, P skończenie generoanym leym unitarnym R- modułem projektynym. Wóczas istnieje skończenie generoany ley unitarny R-moduł projektyny Q taki, że P Q jest modułem olnym skończonej rangi. Doód. Niec N będzie leym unitarnym R-modułem takim, że F P N jest olny. Niec t i : i P Iu będzie bazą F,am 1,...,m g zbiorem generatoró P.Każdym i jest kombinacją linioą skończonej liczby i, istnieje ięc skończony podzbiór J Ă I taki, że F 0 ř jpj x jyąp. Pokażemy, że F 0 P pn X F 0 q. Istotnie, ponieaż F 0 Ă F P N, ięc P XpN X F 0 q t0u. Ponadto F 0 Ą P `pn X F 0 q. Skoro dla 0 P F mamy 0 m ` n, dla penyc m P P, n P N, to n 0 m P F 0.ZatemF 0 Ă P `pn X F 0 q. Ponieaż F 0 jest skończenie generoanym modułem olnym, ięc F 0 {P N X F 0 jest skończenie generoany. Kładąc Q N X F 0 otrzymujemy tezę.

3 Przecodzimy teraz do doodu Tierdzenia 7.2. Doód. Niec Q będzie takim skończenie generoanym leym unitarnym R-modułem projektynym, że F P Q jest modułem olnym skończonej rangi. Poiedzmy, że F ř n i 1 x iy. Ponieaż R jest przemiennym pierścieniem lokalnym z jedynką, zaiera dokładnie jeden ideał maksymalny I róny zbioroi szystkic elementó nieodracalnyc R, konsekencji ięc k R{I jest ciałem. Wybierzmy bazę p 1,..., n q przestrzeni ektoroej k n i zdeiniujmy odzoroanie Φ:F Ñ k n zorem: Φpa 1 1 `...` a n n q pa 1 ` Iq 1 `...`pa n ` Iq n. Oznaczmy F ΦpF q, P ΦpP q oraz Q ΦpQq. WóczasF P Q oraz P,Q ă F.Możemyzatem ybrać elementy m 1,...,m l P P, m l`1,...,m n P Q takie, że m 1 Φpm 1 q,...,m l Φpm l q jest bazą P, m l`1 Φpm l`1 q,...,m n Φpm n q jest bazą Q oraz m 1,...,m n jest bazą F. Niec m i b 1i 1 `...` b ni n, dla i Pt1,...,nu. Wtedy B rb ji spr n n jest macierzą przejścia od bazy p 1,..., n q do układu pm 1,...,m n q,zaśb rb ji spk n n, gdzie b ji Φpb ji q, jest macierzą przejścia od bazy p 1,..., n q do bazy pm 1,...,m n q.tym samym det B 0 R{I I, a ięc det B R I, co oznacza, że det B jest elementem odracalnym pierścienia R, a ięc i macierz B jest odracalna, co konsekencji oznacza, że układ pm 1,...,m n q jest bazą F. Zatem dla doolnego m P M istnieje jednoznaczne przedstaienie postaci skąd, szczególności, dla m P P : Wobec tego moduł P jest olny. m a 1 m 1 `...` a l m l ` q, dla penyc a 1,...,a l P R, q P Q, m a 1 m 1 `...` a l m l. Tierdzenie to można istotnie zmocnić, a mianoicie można pominąć nim założenie tego, że pierścień R jest przemienny, a moduł P skończenie generoany: Tierdzenie 7.3 (Kaplansky ego). Niec R będzie pierścieniem lokalnym z jedynką, niec P będzie leym unitarnym R-modułem projektynym. Wóczas P jest olny. 1 Z punktu idzenia geometrii algebraicznej ażnym zagadnieniem jest iedzieć, które moduły projektyne nad pierścieniami ielomianó są olne. Kompletną odpoiedź na tak postaione pytanie jest następujące tierdzenie z połoy lat 70-tyc: Tierdzenie 7.4 (Sesardi-Quillena-Suslina). Niec F będzie ciałem, niec P będzie leym unitarnym F rx 1,...,x n s-modułem projektynym. Wóczas P jest olny. 2 Uaga 7.2. Niec R będzie pierścieniem, niec M będzie leym R-modułem. Wóczas M jest omomoricznym obrazem penego modułu projektynego. Doód ynika prost z Tierdzeń 6.12 i 7.1. Tierdzenie 7.5. Niec R będzie pierścieniem, niec tp i : i P Iu będzie rodziną leyc R-modułó. Wóczas ř ipi P i jest modułem projektynym tedy i tylko tedy, gdy P i, i P I, są modułami projektynymi. 1 I. Kaplansky, Projective modules, Ann. o Mat. (2) 68 (1968), tierdzenie pokazane przez Cartana i Eilenberga dla n 1 około 1950 roku, dla n ą 1 sormułoane jako ipoteza Serre a 1955, dla n 2 ykazane 1958 przez Sesardi. Ogólny przypadek został roziązany dóc niezależnyc pracac: D. Quillen, Projective modules over polynomial rings, Invent. Mat. 36 (1976), oraz A. Suslin, Projective modules over polynomial rings are ree, Dokl. Akad. Nauk SSSR 229 (1976),

4 40 Doód. pñq: załóżmy,że ř ipi P i jest modułem projektynym i ustalmy i P I. Zauażmy,żeóczas ÿ P i P i ÿ P j. ipi Niec π : ř ipi P i Ñ P i będzie zatem rzutoaniem. Ustalmy moduły K i L, omomorizm : P i Ñ L i epimorizm g : K Ñ L: ř ipi P i g π P i K L 0. Ponieaż ř ipi P i jest projektyny, istnieje omomorizm 1 : ř ipi P i Ñ L taki, że π g 1.Tym samym odzoroanie : P i Ñ L dane zorem 1 æ Pi spełnia arunek g. pðq: Załóżmy,żeP i, i P I, są projektyne. Niec ι i : P i Ñ ř ipi P i, i P I, będą kanonicznymi monomorizmami. Załóżmy także, że diagramie ř ipi P i jpiztiu M g N 0. dolny iersz jest dokładny. Dla ustalonego i P I rozażmy diagram P i ι i ř ipi P i M g N 0. Ponieaż P i jest projektyny, ięc istnieje omomorizm i : P i Ñ M taki, że g i ι i. Dalej, obec łasności uniersalnej koproduktu modułó, istnieje dokładnie jeden omomorizm : ř ipi P i Ñ M taki, że ι i i. Wóczas g ι i g i ι i, dla i P I, skąd ynika g. Jako przykład zastosoań poyższego tierdzenia porócimy na cilę do rozażań kiedy dany moduł projektyny jest olny i szczególności udoodnimy tierdzenie Sesardi-Quillena-Suslina przypadku n 1. Lemat 7.2. Niec R będzie pierścieniem, niec M będzie modułem, niec tm i : i P Iu będzie rodziną podmodułó modułu M, niec pi,ďq będzie zbiorem dobrze uporządkoanym o elemencie najmniejszym 0, którym, dla danego elementu i P I, przez i ` 1 oznaczamy najmniejszy element zbioru tj P I : i ď j ^ i ju. Niec ponadto spełnione będą następujące arunki: (1) jeśli i ď j, to M i Ă M j, (2) M 0 t0u,

5 41 (3) jeśli i jest elementem granicznym zbioru I, to M i Ť jăi M j, (4) M Ť ipi M i, (5) moduły ilorazoe M i`1 {M i są projektyne. Wóczas M ř ipi M i`1{m i. Doód. Ustalmy i P I i rozażmy ciąg dokładny id Mi 0 Ñ M i ÝÝÑ M κ i`1 ÝÑ M i`1 {M i Ñ 0. Ponieaż moduł M i`1 {M i jest projektyny, ięc ciąg się rozszczepia. Tym samym istnieje podmoduł M 1 i modułu M i`1 taki, że M i`1 M 1 i M i. Wobec Wniosku?? M 1 i M i`1 {M i,azatemm 1 i jest projektyny. Pokażemy, że M ř ipi M 1 i. Niec M 1 x Ť ipi M 1 iy. Pokażemy najpier, że M 1 ř ipi M 1 i. W tym celu ystarczy pokazać, że doolny element m P M 1 ma jednoznaczne przedstaienie postaci m 1 1 `...` m 1 n, dla m 1 i P M 1 k i. Przypuśćmy boiem, że dla penego elementu m P M 1 istnieją da przedstaienia: m m 1 1 `...` m 1 n m 2 1 `...` m 2 n, dla m 1 i,m 2 i P M 1 k i. Wóczas pm 1 1 m 2 1q`...`pm 1 n m 2 nq 0. Niec m 1 m 1 1 m 2 1,...m n m 1 n m 2 n. Stąd m 1`...`m n 0, m i P Mk 1 i,azatemm n pm 1 `...` m n 1 q. Zmieniając eentualnie numerację możemy założyć, że k 1 ď k 2 ď... ď k n,aóczas,obec(1),m 1,...,m n 1 P M kn oraz jednocześnie m 1,...,m n 1 P Mn. 1 Zatem m n pm 1`...`m n 1 qpm kn XMk 1 n t0u. Podobnie możemy pokazać, że m 1... m n 1 0. Pozostaje pokazać, że M 1 M. Oczyiście M 1 Ă M, przypuśćmy zatem, że M 1 Ĺ M. Wobec(4) istnieje j P J takie, że M j Ć M 1. Niec i 0 będzie najmniejszym j o tej łasności. Wobec (3), i 0 nie jest elementem granicznym I, przecinym boiem razie M i0 Ť jăi 0 M j, a ięc dla penego j ă i 0 zacodziłoby M j Ć M 1.Tymsamymi 0 i 1 ` 1, dla penego i 1 P I. Niec m i0 P M i0 będzie takim elementem, że m i0 R M 1. Ponieaż M i0 M i1 Mi 1 1, ięc m i0 m i1 ` m 1 i 1, dla penyc m i1 P M i1, m 1 i 1 P Mi 1 1. Skoro i 1 ă i 0,toM i1 Ă M 1. Oczyiście też Mi 1 1 Ă M 1.Zatemm i0 P M 1, co daje sprzeczność. Tierdzenie 7.6. Niec R będzie pierścieniem z jedynką, niec każdy leostronny ideał pierścienia R będzie leym unitarnym R-modułem projektynym (lub, odpoiednio, olnym). Wóczas każdy podmoduł doolnego leego unitarnego R-modułu projektynego jest projektyny (lub, odpoiednio, olny). Doód. Ponieaż moduł projektyny jest podmodułem modułu olnego, ystarczy pokazać, że podmoduł modułu olnego jest projektyny (lub, odpoiednio,olny). Niec F będzie modułem olnym z bazą t i : i P Iu, zaśpi,ďq zbiorem dobrze uporządkoanym, niec F i xt j : j ă iuy. Ustalmy podmoduł F 1 modułu F. Wóczas rodzina podmodułó Fi 1 F 1 X F i spełnia arunki (1) (5) poprzedniego lematu zględem F 1. Pokażemy, że F 1 są izomoriczne z ideałami pierścienia R. Dla ustalonego i P I zdeiniujmy i`1{fi 1 odzoroanie φ i : t j : j P Iu ÑR arunkiem φ i p j q # 0, gdy i j 1, gdy i j. Istnieją zatem omomorizmy φ i : F Ñ R takie, że φ i æ tj :jpiu φ i, i P I. Wóczasker φ i X Fi`1 1 Fi 1, ięc Fi`1{F 1 i 1 Fi`1{ 1 ker φ i X Fi`1 1 φ i pfi`1q 1 ĂR. Ponadto φ i pfi`1q 1 jest podmodułem modułu R, a ięc ideałem pierścienia R. Wobec założenia, moduły Fi`1{F 1 i 1 są projektyne (lub, odpoiednio, olne). Stosując Tierdzenie 7.5 (lub, odpoiednio, odołując się prost do deinicji modułu olnego), otrzymujemy zatem, że F 1 jest projektyny (lub, odpoiednio, olny).

6 42 Wniosek 7.2. Niec R będzie pierścieniem z jedynką, niec każdy leostronny ideał pierścienia R będzie modułem olnym. Wóczas każdy ley unitarny R-moduł projektyny jest olny. Przykłady: (2) Niec R będzie pierścieniem ideałó głónyc z jedynką. Wóczas każdy ley unitarny R-moduł projektyny jest olny. (3) Niec F będzie ciałem. Wóczas każdy ley unitarny F rxs-moduł projektyny jest olny. Deinicja 7.2. Pierścień R nazyamy pierścieniem dziedzicznym, jeżeli każdy podmoduł doolnego leego R-modułu projektynego jest projektyny. Pierścień R nazyamy półprostym, jeżeli każdy ley R-moduł jest projektyny. Deinicja 7.3. Niec R będzie pierścieniem, J leym R-modułem. Jeżeli dla każdego R-modułu M i omomorizmu : M Ñ J zacodzi następujący arunek: dla każdego leego R-modułu N i dla każdego monomorizmu g : M Ñ N istnieje omomorizm : N Ñ J taki, że g (inaczej: diagram 0 M g N J którym górny iersz jest dokładny, jest przemienny), to moduł J nazyamy modułem injektynym. Tierdzenie 7.7. Niec R będzie pierścieniem, niec tj i : i P Iu będzie rodziną leyc R-modułó. Wóczas ś ipi J i jest modułem injektynym tedy i tylko tedy, gdy J i, i P I, są modułami injektynymi. Doód jest bardzo podobny do doodu analogicznego rezultatu dla modułó projektynyc i pozostaiamy go czytelnikoi jako nietrudne ćiczenie. Ponieaż pojęcia modułu olnego nie da się dualizoać, to znaczy nie istnieje coś takiego jak moduł koolny, ięc nie można udoodnić rezultató dualnyc do Wniosku 7.1 (to znaczy nie istnieje tierdzenie, orzekające że każdy moduł koolny jest modułem injektynym ), ani do Uagi 7.1 (to znaczy nie istnieje tierdzenie orzekająze, że moduł jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy jest składnikiem prostym modułu koolnego ). Okazuje się jednak, że można dualizoać Uagę 7.2, to znaczy można udoodnić tierdzenie orzekające, że każdy moduł można zanurzyć peien moduł injektyny, skąd z kolei ynika prosta dualizacja Tierdzenia 7.1 (1) i (2). Pozostałą część niniejszego ykładu pośięcimy doodoi takiej dualizacji, ograniczając się szakże do przypadku leyc R-modułó unitarnyc nad pierścieniami z jedynką. Zaczniemy od następującej carakteryzacji unitarnyc modułó injektynyc. Tierdzenie 7.8 (lemat Baer a). Niec R będzie pierścieniem z jedynką, J leym unitarnym R- modułem. Wóczas J jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy dla każdego leostronnego ideału I Ÿ R raz z kanonicznym zanurzeniem : I ãñ R i omomorizmu : I Ñ J istnieje omomorizm : R Ñ J taki, że. Inaczej: diagram 0 I R J jest przemienny.

7 Doód. Implikacja pñq ynika prost z deinicji modułu injektynego, pozostaje ięc udoodnić implikację pðq. Rozażmy diagram o dokładnym ierszu: Niec 0 M g N J. S tpn 1, 1 q : N 1 ă N,im g Ă N 1, 1 : N 1 Ñ J jest omomorizmem takim, że 1 gæ g 1 pn 1 qu i zdeiniujmy zbiorze S relację ă arunkiem pn 1, 1 q ă pn 2, 2 q tedy i tylko tedy, gdy N 1 Ă N 2 ^ 2 æ N 1 1. Z łatością spradzamy, że S H, ă jest relacją częścioego porządku oraz że każdy łańcuc S ma ograniczenie górne. Tym samym, obec lematu Kuratoskiego-Zorna, S istnieje element maksymalny pn 0, 0 q. Pokażemy, że N 0 N. Na odrót, przypuśćmy, że istnieje n P N taki, że n R N 0. Niec N 1 będzie podmodułem generoanym przez zbiór N 0 Ytnu. Wóczas N 1 tn 0 ` rn : n 0 P N 0,r P Ru. Niec ponadto I tr P R : rn P N 0 u. Bez trudu spradzamy, że I jest leostronnym ideałem pierścienia R, zaś odzoroanie α : I Ñ N 0 dane zorem αprq rn jest omomorizmem. Rozażmy diagram 0 I R 0 α α N 0 J. 0 Wobec założenia istnieje omomorizm : R Ñ J taki, że 0 α. Zdeiniujmy odzoroanie 1 : N 1 Ñ J zorem 1 pn 0 ` nrq 0 pn 0 q`rp1q. Pokażemy, że 1 jest dobrze zdeinioane. Załóżmy boiem, że n 0 `rn n 1 0 `r 1 n.wóczaspr r 1 qn n 1 0 n 0 P N 0, ięc r r 1 P I. Stąd 0 pn 1 0 n 0 q 0 ppr r 1 qnq 0 αpr r 1 q pr r 1 q pr r 1 qp1q, ięc 0 pn 0 q`rp1q 0 pn 1 0q`r 1 p1q. Rónie prosto spradzamy, że 1 jest omomorizmem. Tym samym pn 1, 1 qps oraz pn 0, 0 q ň pn 1, 1 q, co daje sprzeczność. Wniosek 7.3. Niec R będzie pierścieniem z jedynką, J leym unitarnym R-modułem. Wóczas J jest injektyny tedy i tylko tedy, gdy dla każdego leostronnego ideału I Ÿ R i omomorizmu : I Ñ J istnieje element j P J taki, że prq rj, dla r P R. Doód. pñq: Ustalmy leostronny ideał I Ÿ R raz z łożeniem : I ãñ R i rozażmy diagram: 0 I R J 43

8 44 W szczególności, dla ustalonego r P I: prq prq pprqq prq r p1 R q i możemy przyjąć j p1 R q. pðq: Ustalmy leostronny ideał I Ÿ R raz z łożeniem : I ãñ R i rozażmy diagram: 0 I J R gdzie omomorizm : R Ñ J zdeinioany jest zorem prq rj, dla r P R. Wobec lematu Baer a moduł J jest injektyny. Tierdzenie 7.9. Niec R będzie pierścieniem z jedynką, niec M będzie leym R-modułem unitarnym. Wóczas istnieje moduł injektyny J, który zanurza się M. Doód. Ustalmy pierścień z jedynką R i ley unitarny R-moduł M. Rozażmy rodzinę F tpi,φq : I jest ideałem leostronnym pierścienia R, φ : I Ñ M jest omomorizmemu. Niec F ř pi,φqpf xx pi,φqy, gdzie xx pi,φq y R dla pi,φqpf, będzie modułem olnym o bazie tx pi,φq : pi,φqpfu. Zdeiniujmy moduł Q 1 pmq F ˆ M{xtp rx pi,φq,φprqq : pi,φqpf,r P Iuy oraz oznaczmy przez ν : F ˆ M Ñ Q 1 pmq epimorizm kanoniczny dany zorem νp,mq p,mq`xtp rx pi,φq,φprqq : pi,φqpf,r P Iuy. Wóczas oczyiście ker ν xtp rx pi,φq,φprqq : pi,φqpf,r P Iuy. Zdeiniujmy ponadto omomorizm 1 : M Ñ Q 1 pmq zorem 1 pmq νp0,mq oraz, dla ustalonego pi,φqpf, parę omomorizmó φ : R Ñ F ˆ M oraz φ 1 : R Ñ Q 1 pmq zorami: oraz Wóczas, dla ustalonyc pi,φqpf oraz r P R: a zatem, dla ustalonego pi,φqpf, diagram φ prq prx pi,φq, 0q φ 1 prq ν φ prq. φ 1 prq νprx pi,φq, 0q νp0,φprqq 1 pφprqq, φ I M ι 2 φ R F ˆ M φ 1 ν Q 1 pmq jest przemienny, przy czym ι 2 : M Ñ F ˆ M oznacza tu kanoniczne łożenie. 1

9 Pokażemy, że 1 jest monomorizmem. Ustalmy tym celu m P ker 1.Wóczasp0,mqPker ν, a ięc dla penyc pi 1,φ 1 q,...,pi n,φ n qpf i dla penyc r 1,...,r n P R zacodzi: nÿ p0,mq p r i x pii,φ i q,φ i pr i qq. i 1 Ponieaż moduł F jest olny, ięc szczególności r 1... r n 0, skądφ i pr i q 0, dla i Pt1,...,nu, atymsamymm 0. Wobec tego możemy identyikoać elementy m P M i 1 pmq PQ 1 pmq. Tym samym, dla ustalonego pi,φqpf i dla r P I: φprq 1 pφprqq vp φ prqq r v φ p1 R q, czyli φprq r j, dla penego j P Q 1 pmq. Zdeiniujmy liczbę α arunkiem R ℵ α, gdy R jest nieskończony oraz α 1, gdzy R jest skończony. Dla doolnej liczby porządkoej ξ ă ω α`1 deiniujemy rekurencyjnie Niec Q 0 pmq M, Q ξ pmq Q 1 pq ζ pmqq, gdy ξ ζ ` 1, Q ξ pmq Ť ηăξ Q ηpmq, gdy ξ jest graniczna. J ď ξăω α`1 Q ξ pmq. Oczyiście M ãñ J. Pokażemy, że Q jest injektyny. Ustalmy leostronny ideał I Ÿ R i omomorizmu : I Ñ J. Wóczas im ďℵ α, ięc dla penej liczby porządkoej ξ ă ω α`1 zacodzi im Ă Q ξ pmq. Rozażmy diagram: I R φ φ F ˆ Q ξ pmq φ 1 ν im ι 2 Q ξ pmq Q 1 pq ξ pmqq Q ξ`1 pmq Istnieje zatem przedłużenie φ 1 : R Ñ Q ξ`1 pmq ĂJ omomorizmu, a ięc jest postaci 1 prq r j, dla penego j P J. Wobec Wniosku 7.3, moduł J jest injektyny. Tierdzenie 7.1 (1) i (2) można teraz prosto zdualizoać następujący sposób: Tierdzenie Niec R będzie pierścieniem z jedynką, J leym unitarnym R-modułem. Następujące arunki są rónoażne: (1) moduł J jest injektyny; 45

10 46 (2) każdy ciąg dokładny 0 Ñ J ÝÑ M ÝÑ g N Ñ 0 rozszczepia się; (3) J jest składnikiem prostym każdego modułu, którego jest podmodułem. Doód. p1q ñp2q: Załóżmy, że ciąg 0 Ñ J ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0 jest dokładny. W szczególności, diagramie 0 J id J J M iersz jest dokładny, istnieje ięc omomorizm : M Ñ J taki, że id J. Wobec Tierdzenia 5.1 ciąg 0 Ñ J ÝÑ M g ÝÑ N Ñ 0 rozszczepia się. p2q ñp3q: Dla doolnego modułu M, dla którego J jest podmodułem, ciąg 0 Ñ J Ă ÝÑ M κ ÝÑ M{J Ñ 0 jest rozszczepialnym ciągiem dokładnym, ięc im J J jest składnikiem prostym M. p3q ñp1q: Wobec Tierdzenia 7.9 J jest podmodułem penego modułu injektynego Q. Wobec(3) oraz Tierdzenia 7.7, J jest injektyny. Na zakończenie podamy jeszcze zastosoanie Wniosku 7.3 (a ięc, pośrednio, lematu Baer a) do skazania ażnego przykładu modułó injektynyc. Deinicja 7.4. Niec pd, `q będzie grupą abeloą. Grupę D nazyamy podzielną, jeżeli Przykład: (1) Grupa Q jest P D@n P Zzt0uDx P Dpnx yq. Uaga 7.3. Każda grupa abeloa podzielna jest Z-modułem injektynym. Doód. Niec pd, `q będzie grupą abeloą podzielną. Jedynymi ideałami pierścienia Z są ideały głóne pnq, n P Z, a zatem jeżeli : pnq ÑD jest omomorizmem, to istnieje x P D takie, że pnq nx. Zdeiniujmy : Z Ñ D zorem pmq mx. Wóczas jest omomorizmem oraz, gdzie : pnq ãñ Z jest kanonicznym łożeniem.