RAPORT Z BADAŃ WŁASNYCH OPRACOWANIE BIBLIOTEKI DOKŁADNYCH OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH W JĘZYKU PYTHON
|
|
- Jacek Bielecki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 RAPORT Z BADAŃ WŁASNYCH OPRACOWANIE BIBLIOTEKI DOKŁADNYCH OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH W JĘZYKU PYTHON MARCIN CIURA Streszczenie. W ramach badań opracowano bibliotekę procedur w języku Python, która realizuje podstawowe operacje arytmetyczne i funkcje matematyczne. Dzięki zastosowaniu leniwie wartościowanych ułamków łańcuchowych wyniki działań można podawać z dowolną dokładnością. Autor zaimplementował znane z literatury algorytmy wykonywania czterech działań arytmetycznych na ułamkach łańcuchowych oraz opracował nowe algorytmy obliczania wartości funkcji wykładniczej, logarytmów oraz funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych ułamków łańcuchowych.. Wprowadzenie W języku programowania Python dostępny jest standardowy zmiennoprzecinkowy typ danych float i biblioteka funkcji matematycznych math. Ponadto od wersji.4 języka wprowadzono doń bibliotekę stałoprzecinkową decimal operującą na liczbach dziesiętnych []. Do profesjonalnych obliczeń numerycznych można używać dodatkowej biblioteki gmpy, stanowiącej interfejs do biblioteki obliczeń wielokrotnej precyzji GNU Multiple Precision (GMP) []. Wspólną cechą tych bibliotek jest to, że wykonywane za ich pomocą obliczenia, choć szybkie, są obarczone błędami zaokrągleń. Cała dziedzina nauki analiza numeryczna powstała, by szacować wielkość tych błędów, nawarstwiających się przy stosowaniu algorytmów numerycznych. Idea niniejszej pracy jest odmienna: biblioteka będąca jej przedmiotem służy dokładnym obliczeniom. Przy jej stosowaniu nie występują błędy zaokrągleń. W literaturze przedmiotu opisano wiele podejść do dokładnej arytmetyki liczb rzeczywistych, z zastosowaniem ułamków łańcuchowych [3, 4], skalowanych liczb całkowitych [5, 6], przekształceń Möbiusa [7], i innych sposobów, które nie doczekały się praktycznych implementacji, jak układy pozycyjne o niecałkowitej lub ujemnej podstawie, zagnieżdżone ciągi przedziałów o końcach wymiernych, czy ciągi Cauchy ego [8]. Niniejsza praca przedstawia użycie do dokładnych obliczeń ułamków łańcuchowych, co po raz pierwszy zaproponował Gosper [3].. Ułamki łańcuchowe Skończony ułamek łańcuchowy to wyrażenie postaci () a 0 + a + a + a ak Słowa kluczowe. Dokładna arytmetyka liczb rzeczywistych, ułamki łańcuchowe, arytmetyka Gospera, szereg Ostrogradskiego-Sierpińskiego, leniwe wartościowanie, język programowania Python.
2 gdzie ogniwo a 0 jest liczbą całkowitą, a kolejne ogniwa a i dla i > 0 to liczby naturalne dodatnie, przy czym ostatnie ogniwo a k jest większe od [9, rozdz. XII]. Dla zaoszczędzenia miejsca zamiast wyrażenia () pisze się często [a 0 ; a, a, a 3,..., a k ]. Nieskończony ułamek łańcuchowy to granica ciągu ułamków skończonych [a 0 ; a, a, a 3,...] = lim k [a 0; a, a, a 3,..., a k ]. Każdą liczbę rzeczywistą można jednoznacznie przedstawić w postaci ułamka łańcuchowego, przy czym liczbom wymiernym odpowiadają skończone ułamki łańcuchowe, a liczbom niewymiernym nieskończone. Kolejne ogniwa ułamka łańcuchowego odpowiadającego danej liczbie wymiernej łatwo obliczać, stosując algorytm Euklidesa wyznaczania największego wspólnego dzielnika, np. 96 = = = = 3, a zatem 96 = [;, 0, 3]. 65 Oto rozwinięcia niektórych liczb niewymiernych w ułamki łańcuchowe: = [;,,,,,,,,,,,...] = [ ;,,,,,,,,,,,...] 3 = [;,,,,,,,,,,,...] e = [;,,,, 4,,, 6,,, 8,...] e / = [;,,, 5,,, 9,,, 3,,...] tg(/) = [0;,, 4,, 8,,,, 6,, 0,...] π = [3; 7, 5,, 9,,,,,, 3,,...] 3 = [; 3,, 5,,, 4,,, 8,, 4,...]. Atrakcyjną własnością ułamków łańcuchowych jest to, że obcięte ułamki łańcuchowe (redukty) stanowią najlepsze możliwe przybliżenia liczb rzeczywistych. Po obliczeniu wartości początkowych ogniw rozwinięcia danej liczby rzeczywistej znana jest dokładność jej przybliżenia przez to rozwinięcie. Jest to spostrzeżenie kluczowe dla dalszej części pracy, w której przybliżane liczby są wynikami działań na innych ułamkach łańcuchowych. 3. Wymagane cechy języka programowania Do obliczeń na ułamkach łańcuchowych zgodnych z algorytmami przedstawionymi poniżej potrzebne są tylko liczby całkowite, jednak ich wartość bezwzględna może być dowolnie duża, większa niż pojemność słowa maszynowego. Aby zatem móc w jakimś języku programowania wygodnie zaimplementować podane algorytmy, powinien być w nim dostępny typ całkowity o nieograniczonym zbiorze dopuszczalnych wartości. Wymaganie to spełnia język Python od zawsze można w nim było korzystać z typu wbudowanego long, a od wersji.3, wydanej w 003 roku, został on w pełni zunifikowany z typem int, odpowiadającym słowu maszynowemu. Oznacza to, że wyrażenia całkowite, których wartość wykracza poza zakres typu int, są automatycznie konwertowane do typu long.
3 Sposób wykonywania obliczeń w opracowanej bibliotece różni się od zwykłego, gorliwego wartościowania (ang. eager evaluation). Opiera się on mianowicie na leniwym wartościowaniu (ang. lazy evaluation): przy tworzeniu wyrażenia arytmetycznego nie są wykonywane żadne obliczenia na liczbach. Zamiast tego powstaje skierowany acykliczny graf podwyrażeń. Od wierzchołka tego grafu, odpowiadającego całemu wyrażeniu, można następnie kolejno żądać tyle ogniw bądź cyfr dziesiętnych, ile zachodzi potrzeba. Wierzchołek ten z kolei żąda ogniw z wierzchołków z nim połączonych, które odpowiadają jego bezpośrednim podwyrażeniom, i tak dalej, aż do wierzchołków wejściowych, odpowiadających stałym liczbom. Dzięki leniwemu wartościowaniu wykonuje się tylko tyle obliczeń, ile jest w danej chwili potrzebne, a podwyrażenia dynamicznie dopasowują swoją dokładność, aby cyfry otrzymywane z wartościowania całego wyrażenia zawsze były prawidłowe. Istnieją języki programowania, np. Haskell [0], oparte w całości na koncepcji leniwego wartościowania, ale i w języku Python można z niego wygodnie korzystać dzięki generatorom, wprowadzonym do niego eksperymentalnie w wersji. i na stałe w wersji.3. Generatory są podobne do funkcji, zwracających tablice, lecz w odróżnieniu od nich przy kolejnych wywołaniach zwracają wynik element po elemencie. Dzięki temu funkcja wywołująca generator może rozpocząć przetwarzanie wyniku nie czekając, aż zostanie on w całości wygenerowany, co zresztą byłoby w ogóle niemożliwe, jeśli generator jest nieskończony. Ponieważ tworzenie wyrażeń arytmetycznych wiąże się z powstaniem grafu powiązanych zależnościami obiektów, konieczne jest zwalnianie pamięci, zajmowanej przez obiekt, gdy przestanie on być potrzebny, czyli przestaną być potrzebne wszystkie obiekty, które korzystały z wyników przezeń generowanych. Zarządzanie pamięcią znacznie się upraszcza przy zastosowaniu odśmiecania pamięci (ang. garbage collection), czyli automatycznego zwalniania niepotrzebnych obszarów pamięci. Język Python jest od swej pierwszej wersji wyposażony w automatyczny odśmiecacz pamięci. 4. Działania arytmetyczne Algorytmy czterech działań arytmetycznych na leniwie obliczanych ułamkach łańcuchowych podał Gosper [3, pkt. 0]. Polegają one na sprowadzeniu sum, różnic, iloczynów i ilorazów do ogólnej funkcji bihomograficznej, której kolejne ogniwa mogą być generowane na podstawie kolejnych generowanych na żądanie ogniw obu operandów. Każdy system dokładnej arytmetyki liczb rzeczywistych napotyka problem tego, że równość liczb niewymiernych jest nierozstrzygalna w skończonej liczbie kroków. Dotyczy to też opisywanego w tej pracy systemu: jeśli dowolnie wiele początkowych ogniw dwóch nieskończonych ułamków łańcuchowych jest parami równe, to nie wiadomo, czy kolejne ogniwa będą dalej parami równe. Problem nierostrzygalny występuje nie tylko przy porównywaniu liczb, ale i wtedy, gdy argumenty operacji są niewymierne, a jej wynik prawdopodobnie wymierny. Możliwe jest idealistyczne rozwiązanie tego problemu: udokumentowanie faktu, że takie obliczenia nigdy się nie skończą. Autor umożliwił taką wersję działania opracowanej biblioteki osiąga się ją przez ustawienie parametru k max, dostępnego dla programisty, na wartość ujemną. Domyślne ustawienie tego parametru jest jednak inne; autor sądzi, że bardziej praktyczne. Otóż jeśli algorytm Gospera wykona k max iteracji z jednakowymi wartościami dolnego i górnego ograniczenia na następne generowane ogniwo, to generuje owo górne ograniczenie, a po nim symbol None, oznaczający nieskończone ogniwo, czyli koniec ułamka łańcuchowego. Podobnie jeśli funkcja służąca do porównywania liczb pobierze po k max / parami równych ogniw z obu swoich argumentów, to decyduje, że są one równe. 3
4 Algorytm Gospera potrzebuje 8 iteracji, aby odkryć, że (math.sqrt(5) )/ ( 5 )/ > 0, gdzie math.sqrt() to funkcja obliczająca pierwiastek jako liczbę zmiennoprzecinkową, a funkcji porównującej liczby potrzeba 39 = 78/ iteracji, by odkryć, że powyższa odjemna i odjemnik są nierówne. Jest to przypadek pesymistyczny: każde ogniwo liczby ( 5 )/ odpowiada za przyrost dokładności o log 0 ( 5+)/ 0, cyfr dziesiętnych, jednak twierdzenie Lochsa [] głosi, że w prawie każdym (w sensie Lebesgue a) ułamku łańcuchowym każde kolejne ogniwo powoduje przyrost dokładności średnio o π /(6 ln ln 0),03 cyfry dziesiętnej. Badania empiryczne [] wskazują, że wariancja liczby cyfr dziesiętnych przypadających na jedno ogniwo wynosi w przybliżeniu 0,6. Po k max = 00 iteracjach z niezmienionymi wartościami dolnego i górnego ograniczenia na kolejne ogniwo liczba poprawnych cyfr po przecinku w wartości nie wygenerowanego jeszcze ogona ułamka łańcuchowego ma rozkład w przybliżeniu normalny z wartością oczekiwaną,03 00 i wariancją 0,6 00. Zatem różnica między dokładną wartością ogona a wygenerowaną liczbą całkowitą ma rozkład w przybliżeniu logarytmiczno-normalny o wartości oczekiwanej 0,03 00+(0,6 00 ln 0)/,07 00, czyli z grubsza pomiędzy 0 3 a 0 3. Algorytm generuje wtedy parę ogniw (a, ), podczas gdy poprawny wynik to ciąg (a, a,...) lub (a,, a,...), gdzie a 0 3, a 0 3. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Kuźmina [3, 4] dowolne ogniwo w rozwinięciu prawie każdej liczby na ułamek łańcuchowy jest większe od n 0 = 0 3 z prawdopodobieństwem log ( + /n 0 ) = log ( ) 0 3 / ln, Zatem przy k max = 00 prawdopodobieństwo, że algorytm błędnie obetnie rozwinięcie losowej liczby w ułamek łańcuchowy nie przekracza wartości,5 0 3 pomnożonej przez liczbę obliczonych ogniw. Podobny problem występuje, gdy funkcja o argumentach niewymiernych ma wymierny wynik, np. e ln 5, czy cos(π/3). Został on podobnie rozwiązany w opracowanej bibliotece. Na rysunku przedstawiono sprawdzenie kilku przykładowych tożsamości, wykonane w trybie interaktywnym interpretera Pythona z zastosowaniem opracowanej biblioteki, a możliwe właśnie dzięki decyzji projektowej objaśnionej powyżej. W przedostatnim przykładzie porównywane liczby są nierówne, gdyż liczby zmiennoprzecinkowe to w gruncie rzeczy liczby wymierne o dużym mianowniku, a zatem skończone ułamki łańcuchowe, które mają mniej niż k max ogniw. W ostatnim przykładzie biblioteka sygnalizuje równość porównywanych liczb, ponieważ reprezentują je nieskończone ułamki łańcuchowe, z których porównano tylko k max początkowych ogniw. 4
5 >>> (sqrt() - )*(sqrt() + ). >>> sqrt(5 + *sqrt(6)) == sqrt() + sqrt(3) True >>> [sin(x)** + cos(x)** for x in... [pi*random(), pi*random(), pi*random()]] [.,.,.] >>> [cos(3*x)/cos(x) == cos(x)** - 3*sin(x)** for x in... [pi*random(), pi*random(), pi*random()]] [True, True, True] >>> [x == x + cf(0)**-000 for x in... [cf(random()), cf(random()), cf(random())]] [False, False, False] >>> sqrt() == sqrt() + cf(0)**-000 True Rysunek. Przykładowe tożsamości i wyniki ich sprawdzenia 5. Funkcje przestępne i π Do funkcji przestępnych zalicza się funkcję wykładniczą i logarytmiczną oraz funkcje trygonometryczne i cyklometryczne. Nie wszystkie z nich trzeba było bezpośrednio implementować w opracowanej bibliotece, a to dzięki poniższym tożsamościom: ( ) / ( ) sin x = cos x = tg x ( tg x arc sin x = arc tg + tg x ) / ( + tg x x x arc cos x = π/ arc sin x x y = e y ln x log 0 x = ln x/ ln 0. Po uwzględnieniu tych tożsamości, aby uzyskać zastępnik standardowej biblioteki math, pozostaje zdefiniować funkcje sqrt(), exp(), tan(), log(), atan() oraz liczbę pi. Leniwy algorytm obliczania pierwiastka kwadratowego oparto na metodzie Newtona (stycznych), dzięki czemu jest on szybszy, niż przy zastosowaniu tożsamości x / = e (ln x)/. Algorytm rozpoczyna się od obliczenia wartości a, równej całkowitoliczbowemu przybliżeniu x. Tak długo, jak ogniwa liczb a i x/a są równe, należy je emitować; w przeciwnym wypadku należy obliczyć następne przybliżenie a := (a+x/a)/. Zbieżność tego algorytmu jest kwadratowa, co oznacza, że po każdym kolejnym wyznaczeniu wartości a liczba poprawnych cyfr dziesiętnych wyniku w przybliżeniu się podwaja. Algorytmy obliczania wartości pozostałych funkcji przestępnych autor oparł na rozwijaniu argumentu w szereg Ostrogradskiego drugiego rodzaju [5], który poprawniej powinien się zwać szeregiem Ostrogradskiego-Sierpińskiego [6]: x = x + /q /q + /q 3 /q , gdzie kolejne mianowniki q k wybiera się zachłannie największe z możliwych, przy zachowaniu tego, by kolejne sumy częściowe szeregu przybliżały x na przemian z dołu i z góry. 5 )
6 Po składniku ±/q kolejny składnik jest co do wartości bezwzględnej równy co najwyżej /(q + q), zatem liczba poprawnych cyfr w przybliżeniu co najmniej się podwaja z każdym składnikiem. Przypadkiem pesymistycznym jest rozwijanie w szereg Ostrogradskiego-Sierpińskiego liczb o części ułamkowej równej stałej Cahena / / + /6 /4 + /806 / / Leniwe obliczanie wartości funkcji e x polega na leniwym rozwijaniu x w szereg Ostrogradskiego-Sierpińskiego z pamiętaniem dwóch ostatnich sum częściowych s k i s k oraz zastosowaniu poniższych zależności do obliczania e s k i e s k : e /q = [; q,,, 3q,,, 5q,...], e x+y = e x e y, e x y = e x /e y. Tak długo, jak ogniwa liczb e s k i e s k są równe, należy je emitować; w przeciwnym przypadku należy obliczyć następną sumę częściową s k+. Algorytm leniwego obliczania wartości tg x jest analogiczny, z tym, że korzysta z zależności tg(/q) = [0; q,, 3q,, 5q,, 7q,...], tg(x ± y) = tg x ± tg y tg x tg y. Wartość ln x oblicza się leniwie, leniwie znajdując sumy częściowe szeregu Ostrogradskiego-Sierpińskiego tak, żeby e s k < x e s k lub e s k > x e s k. Tak długo, jak ogniwa liczb s k i s k są równe, należy je emitować; w przypadku ich nierówności obliczyć następną sumę częściową s k+. Wartości funkcji arc tg x oblicza się tak samo, jak logarytmu naturalnego, tylko z tg s k i tg s k zamiast e s k i e s k. Kwadratowa zbieżność powyższych algorytmów wynika z kwadratowej zbieżności szeregu Ostrogradskiego-Sierpińskiego. Liczbę π oblicza się leniwie na podstawie uogólnionego ułamka łańcuchowego π = Algorytm ten ma zbieżność liniową, ale okazał się w praktyce szybszy od algorytmów o wyższym rzędzie zbieżności. 6. Podsumowanie Autor opracował bibliotekę dokładnych obliczeń na liczbach rzeczywistych w języku programowania Python, opartą na leniwie wartościowanych ułamkach łańcuchowych. Z adresu WWW można pobrać kod źródłowy biblioteki. Działania arytmetyczne w opracowanej bibliotece opierają się na algorytmie Gospera, przy czym autor wprowadził doń heurystykę, przerywającą pętle nieskończone. Wartości funkcji przestępnych są obliczane przez autorskie algorytmy, oparte na rozwijaniu liczb w szereg Ostrogradskiego-Sierpińskiego. 6
7 Opracowana biblioteka może znaleźć zastosowanie przy badaniu zjawisk chaotycznych, w geometrii obliczeniowej i numerycznej teorii liczb, a także w programach edukacyjnych. Szybkość wykonywania działań arytmetycznych jest zadowalająca, natomiast czas potrzebny do obliczenia wyników bardziej skomplikowanych wyrażeń zawierających funkcje przestępne można liczyć nawet w sekundach. Literatura [] G. van Rossum, F.L. Drake, Jr. (ed.), The Python Language Reference Manual (version.5), Network Theory Ltd, 006. [] The GMP Team, The GNU Multiple Precision Arithmetic Library, Free Software Foundation, 007. [3] M. Minsky, B. Gosper, M. Beeler et al., Artificial Intelligence Memo No. 39, Massachusetts Institute of Technology, A.I. Laboratory, 97. [4] J. Vuillemin, Exact real computer arithmetic with continued fractions, Proceedings of the 988 ACM conference on LISP and functional programming, ACM, 988, 4 7. [5] H.-J. Boehm, R. Cartwright, M. Riggle, M.J. O Donnell, Exact real arithmetic: a case study in higher order programming, Proceedings of the 986 ACM conference on LISP and functional programming, ACM, 986, [6] K. Briggs, Implementing exact real arithmetic in Python, C++ and C, Theoretical Computer Science 35 (006), [7] P. Potts, Exact real arithmetic using Möbius transformations, rozprawa doktorska, Department of Computing, Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London, 999. [8] M. Escardó, Introduction to Exact Numerical Computation, School of Computer Science, St. Andrews University, 000. [9] W. Sierpiński, Teoria liczb, PWN, 950. [0] S. Peyton Jones (red.), Haskell 98 language and libraries: the Revised Report, Cambridge University Press, 003. [] G. Lochs, Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 7 (964), [] W. Bosma, K. Dajani, C. Kraaikamp, Entropy and counting correct digits, Raport nr 995, Department of Mathematics, University of Nijmegen, 999. [3] C.F. Gauß, Werke, tom 0, [4] R.O. Kuzmin, Sur un problème de Gauss, Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna, 98, [5] J.J. Remez, O zakonomiernych riadach, kotoryje mogut byt swiazany s dwumia ałgoritmami M. W. Ostrogradskogo dla pribliżenija irracyonalnych czisieł, Uspiechi matiematiczeskich nauk 6 (95), [6] W. Sierpiński, O kilku algorytmach dla rozwijania liczb rzeczywistych na szeregi, Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydział III 4 (9), Instytut Informatyki, Politechnika Śląska, Gliwice Adres poczty elektronicznej: Marcin.Ciura@polsl.pl 7
Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python
Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Marcin Ciura Zakªad Oprogramowania 28 marca 2007 Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca 2007 1 / 24
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoLISTA 5. C++ PETLE for, while, do while
WSTEP DO INFORMATYKI I PROGRAMOWANIA LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while Zadanie. Przeanalizuj działanie poniższego programu. cout
Bardziej szczegółowoO liczbach niewymiernych
O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.
Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowo1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.
1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoa[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76
. p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoWstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Procedury wyższych rzędów 1 Procedury wyższych rzędów jako abstrakcje konstrukcji programistycznych Intuicje Procedury wyższych rzędów
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 3 czerwca 017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy pierwszej TECHNIKUM Strona 1 z 8 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoInstytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska
Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl @imiopolsl Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska Języki programowania z programowaniem obiektowym Laboratorium
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoFunkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoW planie dydaktycznym założono 172 godziny w ciągu roku. Treści podstawy programowej. Propozycje środków dydaktycznych. Temat (rozumiany jako lekcja)
Ramowy plan nauczania (roczny plan dydaktyczny) dla przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego uwzględniający kształcone i treści podstawy programowej W planie
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoPROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ
OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZE: GM-MX1, GM-M2, GM-M4, GM-M5 KWIECIEŃ 2018 Zadanie 1. (0 1) I. Wykorzystanie i
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii
Ciągi liczbowe Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 Co to są ciągi? Ciąg skończony o wartościach w zbiorze A to dowolna funkcja f: 1,2,, n A Ciąg nieskończony o wartościach w zbiorze
Bardziej szczegółowoPodstawy i języki programowania
Podstawy i języki programowania Laboratorium 5 - konwersja i rzutowanie oraz wprowadzenie do klasy Round i Math mgr inż. Krzysztof Szwarc krzysztof@szwarc.net.pl Sosnowiec, 9 listopada 2018 1 / 23 mgr
Bardziej szczegółowoLab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur.
Języki i paradygmaty programowania 1 studia stacjonarne 2018/19 Lab 10. Funkcje w argumentach funkcji metoda Newtona. Synonimy nazw typów danych. Struktury. Tablice struktur. 1. Identyfikator funkcji,
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoCzęść całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Sprawdzian nr 2: 25..204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -48) Sprawdzian nr 3: 9.2.204, godz. 8:5-8:40 (materiał zad. -88) Część całkowita i ułamkowa, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności funkcji
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020.
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań edukacyjnych niezbędynych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoAlgorytm. a programowanie -
Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin
. Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa
ymagania edukacyjne: Matematyka Zasadnicza Szkoła Zawodowa Oznaczenia: wymagania konieczne (ocena dopuszczająca), wymagania podstawowe (ocena dostateczna), wymagania rozszerzające (ocena dobra) D wymagania
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej Wymagania dostosowano do sześciostopniowej skali ocen. I. Liczby rzeczywiste zna cechy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych. z matematyki dla uczniów klasy I LO poziom podstawowy
Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych Nauczyciel: mgr Karolina Bębenek z matematyki dla uczniów klasy I LO poziom podstawowy 1. Wprowadzenie do matematyki.
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych 4. Łódź 2018 Suma szeregu harmonicznego - Wpisz kod programu w oknie edycyjnym - Zapisz kod w pliku harmonic.py - Uruchom skrypt (In[1]: run harmonic.py) - Ten program wykorzystuje
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.
Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 5 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B Plan prezentacji Algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i złożone Metody
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoIII. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoJęzyk skryptowy: Laboratorium 1. Wprowadzenie do języka Python
Język skryptowy: Laboratorium 1. Wprowadzenie do języka Python Język PYTHON Podstawowe informacje Python to język skryptowy, interpretowany - co oznacza, że piszemy skrypt, a następnie wykonujemy go za
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA
Bardziej szczegółowo