Systemy obsługi ze wspólną pamięcią

Transkrypt

1 Systemy obsłgi ze wspólną pamięcią dr Marcin Ziółkowski 14 listopada 2014 r.

2 SCHEMAT DZIAŁANIA SYSTEMU OBSŁUGI ZGŁOSZEŃ NIEJEDNORODNYCH Rysnek: Schemat działania system obsłgi zgłoszeń niejednorodnych

3 KLASYFIKACJA SYSTEMÓW OBSŁUGI ZGŁOSZEŃ NIEJEDNORODNYCH NiechVbędzieobjętościąpamięci,azmiennelosoweξorazζ oznaczają odpowiednio czas obsłgi i objętość zgłoszenia. Z wagi na charakter zależności zmiennych losowych ξ oraz ζ, a także wielkość V modele takich systemów możemy zaliczać do jednej z następjących klas: 1 Modele,dlaktórychV =,azmiennelosoweξiζsą niezależne. 2 Modele,dlaktórychV<,azmiennelosoweξiζsą niezależne. 3 Modele,dlaktórychV =,azmiennelosoweξiζsą zależne. 4 Modele,dlaktórychV<,azmiennelosoweξiζsą zależne.

4 ANALIZA MODELU SERWERA Rozpatrjemy dwa działające niezależnie od siebie klasyczne systemyobsłgitypm/m/n/m,oznaczającjejakom/m/n i /m i, gdziei=1,2,1 n i,0 m i. Niecha i,µ i będąparametramiwejściowego(najprostszego) strmienia żądań oraz czas obsłgi dla i-tego system. Dodatkowo zakładamy, że każde żądanie w i-tym systemie posiada pewienlosowyrozmiarζ i. OznaczmyprzezL i (x)dystrybantęzmiennejlosowejζ i orazprzez σ(t) objętość smaryczną wszystkich żądań obecnych w pamięci serwera pochodzących od ob systemów w chwili t. Załóżmy teraz, żeczasobsłgiżądańniezależyodichrozmiaroraz,żeoba systemy są połączone poprzez wspólną ograniczoną wielkością V pamięć. Z powod ostatniego założenia systemy te oczywiście stają się zależne.

5 OZNACZENIA, PROCES OPISUJĄCY DZIAŁANIE SYSTEMU Niechη i (t)będzieliczbążądańwi-tymsystemiewchwiliczast, i =1,2. Przezσ i j (t)oznaczmyrozmiarj-tegożądaniaobecnegowi-tym systemiewchwiliczast,j =1,η i (t). Wówczas analizowany kład dwóch systemów może być opisany przez poniższy proces markowowski ( ) η 1 (t),η 2 (t),σj 1 (t),j =1,η 1 (t),σj 2 (t),j =1,η 2 (t), (1) gdzie 2 η i (t) i=1j=1 σj i (t) =σ(t).

6 FUNKCJE OPISUJĄCE BADANY PROCES Analizowany proces możemy charakteryzować poprzez poniższe fnkcje: G(k 1,k 2,x,t) =P{η 1 (t) =k 1,η 2 (t) =k 2,σ(t)<x}; (2) P(k 1,k 2,t) =P{η 1 (t) =k 1,η 2 (t) =k 2 } =G(k 1,k 2,V,t), (3) k i =0,n i +m i,k 1 +k 2 1,i =1,2; P 0 (t) =P(0,0,t) =P{η 1 (t) =0,η 2 (t) =0}. (4)

7 RÓWNANIA OPISUJĄCE ZACHOWANIE SIĘ SYSTEMU Analizjąc zachowanie się proces(1), można zaważyć, że fnkcje (2) (4) spełniają następjące równania: P 0 (t) = (a 1L 1 (V)+a 2 L 2 (V))P 0 (t)+µ 1 P(1,0,t)+µ 2 P(0,1,t); (5) V P (0,1,t) =a 2 P(0,0,t)L 2 (V) a 1 G(0,1,V x,t)dl 1 (x) V a 2 G(0,1,V x,t)dl 2 (x) µ 2 P(0,1,t)+µ 1 P(1,1,t)+2µ 2 P(0,2,t); 0 (6) V P (1,0,t) =a 1 P(0,0,t)L 1 (V) a 1 G(1,0,V x,t)dl 1 (x) V a 2 G(1,0,V x,t)dl 2 (x) µ 1 P(1,0,t)+2µ 1 P(2,0,t)+µ 2 P(1,1,t); (7)

8 RÓWNANIA OPISUJĄCE ZACHOWANIE SIĘ SYSTEMU V P (k 1,k 2,t) = (1 δ 0,k1 )a 1 G(k 1 1,k 2,V x,t)dl 1 (x)+ 0 V +(1 δ 0,k2 )a 2 G(k 1,k 2 1,V x,t)dl 2 (x) 0 V (1 δ m1+n 1,k 1 )a 1 G(k 1,k 2,V x,t)dl 1 (x) 0 V (1 δ m2+n 2,k 2 )a 2 G(k 1,k 2,V x,t)dl 2 (x) 0 (κ 1 µ 1 +κ 2 µ 2 )P(k 1,k 2,t)+(1 δ m1+n 1,k 1 )γ 1 µ 1 P(k 1 +1,k 2,t)+ +(1 δ m2+n 2,k 2 )γ 2 µ 2 P(k 1,k 2 +1,t),k i =0,m i +n i,k 1 +k 2 2,i =1,2, (8) gdzieκ i =min(k i,n i ),γ i =min(k i +1,n i ).

9 RÓWNANIA W STANIE STACJONARNYM W trybie stacjonarnym otrzymjemy poniższe równania dla stacjonarnych odpowiedników fnkcji(2) (4): 0 = (a 1 L 1 (V)+a 2 L 2 (V))p 0 +µ 1 p(1,0)+µ 2 p(0,1); (9) V 0 =a 2 p 0 L 2 (V) a 1 g(0,1,v x)dl 1 (x) 0 V a 2 g(0,1,v x)dl 2 (x) µ 2 p(0,1)+µ 1 p(1,1)+2µ 2 p(0,2); 0 (10) V 0 =a 1 p 0 L 1 (V) a 1 g(1,0,v x)dl 1 (x) 0 V a 2 g(1,0,v x)dl 2 (x) µ 1 p(1,0)+2µ 1 p(2,0)+µ 2 p(1,1); 0 (11)

10 RÓWNANIA W STANIE STACJONARNYM V 0 = (1 δ 0,k1 )a 1 g(k 1 1,k 2,V x)dl 1 (x)+ 0 V +(1 δ 0,k2 )a 2 g(k 1,k 2 1,V x)dl 2 (x) 0 V (1 δ m1 +n 1,k 1 )a 1 g(k 1,k 2,V x)dl 1 (x) 0 V (1 δ m2 +n 2,k 2 )a 2 g(k 1,k 2,V x)dl 2 (x) 0 (κ 1 µ 1 +κ 2 µ 2 )p(k 1,k 2 )+(1 δ m1 +n 1,k 1 )γ 1 µ 1 p(k 1 +1,k 2 )+ +(1 δ m2 +n 2,k 2 )γ 2 µ 2 p(k 1,k 2 +1),k i =0,m i +n i,k 1 +k 2 2,i =1,2. (12)

11 ROZWIĄZANIE Wprowadźmy następjące oznaczenie: (n i ρ i ) k, k =0,n i, N i (k) = k! n n i iρ k i, k =n i +1,n i +m i, n i! (13) gdzieρ i =a i /(n i µ i ). Poprzez bezpośrednie podstawienie można sprawdzić, że rozwiązanie kład(9) (12) ma postać: g(k 1,k 2,x) =p 0 N 1 (k 1 )N 2 (k 2 )L (k 1) 1 L (k 2) 2 (x),k 1 +k 2 1, (14) skąd otrzymjemy p(k 1,k 2 ) =g(k 1,k 2,V) =p 0 N 1 (k 1 )N 2 (k 2 )L (k1) 1 L (k2) 2 (V),k i =0,m i +n i. (15)

12 WYZNACZENIE PRAWDOPODOBIEŃSTW ODMOWY Stacjonarneprawdopodobieństwoodmowyp i żądaniawi-tymsystemie (i =1,2)możebyćzyskanezrównaniarównowagi równanietoma następjący sens probabilistyczny w warnkach stacjonarnych średnia liczba żądań przybyłych do system w ciąg jednostki czas, które nie zostały odrzcone(tj. przyjętych do pamięci serwera) jest równa średniej liczbie żądań obsłżonych w ciąg jednostki czas. W przypadk i = 1 równanie równowagi przyjmje postać: gdziepk 1 1 = n2+m2 n ( ) 1 1 a 1 1 p 1 =µ1 k 2=0 k 1=1 p(k 1,k 2 ),pk 2 2 = n1+m1 n 1 1 k 1 pk 1 1 +n 1 µ 1 (1 k 1=0 p(k 1,k 2 ). k 1=0 p 1 k 1 ), (16)

13 WYZNACZENIE PRAWDOPODOBIEŃSTW ODMOWY Z równania(16) oraz analogicznego równania w przypadk i = 2 otrzymjemy równość: n i 1 p i =1 (n i ρ i ) 1 n k i pk i i 1 1 i ρ i 1. (17) k i =1 pk i i k i =0

14 UOGÓLNIENIE NA WIĘKSZĄ LICZBĘ URZĄDZEŃ Załóżmy,żemamykładr,r =1,2,...systemówinformatycznychtyp M/M/n/mpołączonychpoprzezwspólnąograniczonąpamięć.Niecha i, µ i będąparametramistrmieniawejściowegoorazczasobsłgidla i-tegosystemodpowiednio,i =1,r,L i (x)-dystrybantąobjętości zgłoszenia w i-tym systemie, V niech oznacza objętość pamięci. Wówczas dla prawdopodobieństw stacjonarnych p(k 1,...,k r ) =P{η 1 =k 1,...,η r =k r }otrzymjemyponiższe wyrażenie: r r p(k 1,...,k r ) =p 0 N i (k i ) i=1 i=1 L (ki) i (V), gdziefnkcjan i (k)jestokreślonawzorem(13),wktórymi =1,r.

15 UOGÓLNIENIE NA WIĘKSZĄ LICZBĘ URZĄDZEŃ Prawdopodobieństwo odmowy żądania dla i-tego system jest określone przez równość(17), przy czym p i k i = k 1,...,k i 1,k i+1,...,k r p(k 1,...,k i 1,k i,k i+1,...,k r ),k i =0,n i +m i.

16 UKŁAD DWÓCH SYSTEMÓW JEDNOLINIOWYCH Z WYKŁADNICZYM ROZMIAREM ŻĄDAŃ Załóżmyterazdodatkowo,żen 1 =n 2 =1,m 1 =m 2 = oraz rozmiary żądań dla ob systemów mają rozkład wykładniczy z parametremf:l(x) =1 e fx.dodatkowoprzypśćmy,że ρ 1 1,ρ 2 1orazρ 1 ρ 2.Wówczasotrzymjemy: k 1 +k 2 1 k p(k 1,k 2 ) =p 0 ρ 1 k 1 ρ e fv (fv) j,k i =0,1,...,i=1,2; j! j=0 (18)

17 WYZNACZENIE PRAWDOPODOBIEŃSTW ODMOWY Można wykazać, że w tym przypadk: p 1 =1 1 1 p 0 (1 ρ ) 2 e (1 ρ 2)fV. (19) ρ 1 1 ρ 2 p 2 =1 1 1 p 0 (1 ρ ) 1 e (1 ρ 1)fV. (20) ρ 2 1 ρ 1 Możnałatwopokazać,żep 1 =p. 2

18 WYZNACZENIE PRAWDOPODOBIEŃSTW ODMOWY Jeślizałożymy,żeρ 1 =ρ 2 =ρ 1,tootrzymamy p 1 =p2 = (ρ 1)2 +p 0 ( 1+e f(ρ 1)V ρ). (21) ρ(ρ 1) Jeśliρ 1 =1orazρ 2 1,towówczas p 1 =p2 =1 1 (1+fV)p 0 ρ 2. (22) Jeśliwreszcieρ 1 =1orazρ 2 =1,towtymwypadkotrzymjemy p 1 =p 2 =p 0 (1+fV). (23) Wzory mogą być ogólnione na większą ilość rządzeń obsłgi.

19 UWAGI UWAGA Podczas analizy możemy zaważyć, że badana kombinacja systemów jednoliniowych z wykładniczym rozkładem rozmiar żądań i parametrem f jednakowym dla wszystkich systemów może należeć do jednej z klas: stanstabilny(ρ i 1dlawszystkichi =1,r).Wtedydla każdegosystemmamyp 0,gdyV ; stanprzeładowania(ρ i >1przynajmniejdlajednegoi, i =1,r).Wtedydlakażdegosystemmamy p 1 min{ 1 ρ i,i =1,r},gdyV.

20 PORÓWNANIE WYNIKÓW ANALITYCZNYCH Z WYNIKAMI SYMULACJI Tabela:Prawdopodobieństwaodmowywprzypadk(ρ 1 =ρ 2 =2) V p an f =1 f =2 p 1sim p 2sim p an p 1sim p 2sim

21 PORÓWNANIE WYNIKÓW ANALITYCZNYCH Z WYNIKAMI SYMULACJI Tabela:Prawdopodobieństwaodmowywprzypadk(ρ 1 =ρ 2 =1) V p an f =1 f =2 p 1sim p 2sim p an p 1sim p 2sim

22 UWAGI C.D Jeśli parametry wykładniczego rozmiar żądań nie są jednakowe w każdym systemie, to wówczas prawdopodobieństwa trat w każdym systemie są różne. Tabela:Prawdopodobieństwaodmowywprzypadkρ 1 =1,ρ 2 =1 (wykładniczyrozkładrozmiarówprocesów,f 1 =1,f 2 =2) V p 1sim p 2sim

23 JEDNOSTAJNY ROZKŁAD ROZMIARU ŻĄDAŃ Na koniec zbadamy jeszcze jeden szczególny przypadek. Załóżmy, że dana jest kombinacja dwóch systemów jednoliniowych ze skończoną liczbą miejsc oczekiwania. Dodatkowo załóżmy, że rozmiary żądań mają jednakowy rozkład jednostajny w przedzale [a,b](0 a<b). Wykorzystjąc odwrócone przekształcenie Laplace a możemy znaleźć wzór określający splot wedłg Stieltjesa k-tego rzęd k niezależnych zmiennych losowych, z których każda ma rozkład jednostajny na odcink [a, b]: L (k) (x) = ( 1 ) k k b a l=0 ( 1) l ((b a)l bk +x) k H((b a)l bk +x), l!(k l)! gdzie H(x) jest fnkcją Heaviside a skok jednostkowego. (24)

24 JEDNOSTAJNY ROZKŁAD ROZMIARU ŻĄDAŃ Wówczas otrzymjemy następjące wyniki: Tabela:Prawdopodobieństwaodmowywprzypadkρ 1 =2,ρ 2 =3 (jednostajnyrozkładrozmiarżądań,a =1,b =3) V p 1sim p 1an p 2sim p 2an

25 JEDNOSTAJNY ROZKŁAD ROZMIARU ŻĄDAŃ Tabela:Prawdopodobieństwaodmowywprzypadkρ 1 = 1 2,ρ 2 = 1 3 (jednostajnyrozkładrozmiarżądań,a =1,b =3) V p 1sim p 2sim Możemyzaważyć,żeprawdopodobieństwaodmowyp i niesą jednakoweisązbieżnedo0wstaniestabilnymorazdo 1 1 ρ i,(i =1,2)wstanieprzeładowania,comazwiązekze skończoną liczbą miejsc oczekiwania.

26 ZASTOSOWANIA Jeżeli chodzi o techniczne realizacje model analizowanego w tym rozdziale, to możemy ich poszkiwać przede wszystkim w sieciach kompterowych. Wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z serwerem przechowjącym dane pochodzące od wiel żytkowników sieci kompterowej analizowany model ma swoje praktyczne zasadnienie. Przejdziemy teraz do przedstawienia kilk interesjących przypadków zastosowania analizowanego model.

27 ZASTOSOWANIA SERWER FTP Rozważamy serwer FTP, na którym żytkownicy mieszczają różnorodne pliki. Dodatkowo zakładamy, że każdy klient serwera FTP może zamieszczać pliki o maksymalnym możliwym w danej chwili rozmiarze, to znaczy ograniczenie jest związane tylko z maksymalną dostępną w danym momencie pamięcią serwera. Całkowita dostępna pamięć serwera ma rozmiar V, kolejka zamieszczanych plików jest nieograniczona dla każdego klienta. Klienci wysyłają losowe żądania zamieszczania plików na serwerze- czas między sąsiednimi chwilami inicjalizacji żądań ma rozkład wykładniczyzparametrema i dlai-tegoklienta.

28 ZASTOSOWANIA SERWER FTP Czas obsłgi żądania może być ttaj rozmiany jako czas przechowywania określonego plik na serwerze. Zakładamy, że czas ten jest niezależny od rozmiar żądania, co ma swoje praktyczne zasadnienie, gdyż czas przechowywania plików na serwerze FTP zwykle nie zależy od ich rozmiar.

29 ZASTOSOWANIA SERWER MAILOWY Ttaj sytacja jest bardzo podobna. Serwer poczty mailowej jest wyspecjalizowanym kompterem lb siecią kompterów przechowjącą wiadomości mailowe pochodzące od wiel żytkowników. Czas obsłgi wiadomości mailowej może być rozmiany jako czas przechowywania wiadomości na serwerze do moment jej skasowania. Ttaj również możemy założyć, że czas obsłgi wiadomości nie zależy od jej rozmiar. W tej realizacji technicznej właścicielom serwerów pocztowych zależy przede wszystkim na niezawodności komnikacji mailowej, stąd wyznaczanie rozmiar potrzebnej pamięci jest bardzo ważnym zadaniem przy projektowani takiego serwera.

30 ZASTOSOWANIA PORTALE AUKCYJNE, SKLEPY INTERNETOWE W dzisiejszych czasach rola handl elektronicznego znacznie wzrosła. Udział procentowy handl w internecie oraz generowane zyski stale się powiększają Skces portalów akcyjnych oraz sklepów internetowych zależy między innymi od odpowiednio zaprojektowanych serwerów, na których zamieszczane są dane związane z przeprowadzonymi transakcjami. Użytkownicy, oprócz ogłoszeń(będących plikami w ogólnym przypadk tekstowymi), zamieszczają zdjęcia, filmy i inne pliki o dżych rozmiarach. Jako czas obsłgi żądania generowanego w portal akcyjnym lb sklepie internetowym rozmiemy czas transakcji do moment snięcia związanych z nią danych z pamięci serwera, na którym dany portal jest zamieszczony. Założenie o niezależności czas transakcji od rozmiar danych związanych z transakcją ma również swoje zasadnienie.

31 ZASTOSOWANIA PORTALE SPOŁECZNOŚCIOWE Portale społecznościowe są oparte na serwerach o dżych pamięciach możliwiających zamieszczanie przez żytkowników różnorakiego rodzaj plików(zdjęcia, filmy). Czas obsłgi żądania generowanego przez żytkownika jest rozmiany jako czas przechowywania danego plik na portal do moment jego snięcia, ttaj też czas ten zwykle nie zależy od rozmiar zamieszczanego plik. Z wagi na działalność reklamową portalom społecznościowym zależy na trzymani klientów, co ma związek z zapewnieniem stabilności działania takich portali, związanych niewątpliwie z zapewnieniem odpowiedniego rozmiar pamięci dla serwerów obsłgjących dany portal.

32 ZASTOSOWANIA OBSŁUGA URZĄDZEŃ KOŃCOWYCH Załóżmy, że do system kompterowego posiadającego pamięć o rozmiarze V podłączonych jest kilka rządzeń końcowych, które generją żądania obsłgi, każde takie żądanie zajmje pamięć system i ma losowy rozmiar. Czas obsłgi żądania to czas potrzebny na wykonanie operacji na danym rządzeni, po wykonani takiej operacji pamięć jest zwalniana. Zagadnieniem związanym z taką techniczną realizacją jest zapewnienie stabilności działania rządzeń końcowych poprzez odpowiedni dobór pamięci wydzielonej dla obsłgi żądań w oparci o znane charakterystyki wejściowych strmieni żądań, ich rozmiarów oraz czasów obsłgi.

33 SERWER POCZTOWY- PRZYKŁAD NUMERYCZNY MODEL SERWERA POCZTOWEGO- PRZYKŁAD Rozważmy niedży serwer pocztowy, który obsłgje dziesięci klientów. Każdy z klientów wysyła z jednego komptera wiadomości pocztowe, które są przechowywane na serwerze do moment podjęcia przez żytkownika decyzji o ich snięci z serwera(skasowania wiadomości). Czas obsłgi wiadomości może być traktowany jako niezależy od jej rozmiar. Załóżmy, że rozmiar każdej wiadomości ma rozkład geometryczny o wartośći średniej 128 KB. Załóżmy, że czas obsłgi wiadomości dla każdego żytkownika ma jednakowy rozkład wykładniczy, a średnio jest obsłgiwanych dziesięć wiadomości dziennie(µ = 10).

34 SERWER POCZTOWY- PRZYKŁAD NUMERYCZNY MODEL SERWERA POCZTOWEGO- PRZYKŁAD Natomiast średnia liczba wysyłanych w ciąg dnia wiadomości wynosi odpowiedniodlakażdegożytkownikaa=1,2,3,4,5,6,7,8,9oraz2,5 (również rozkład wykładniczy). Serwer pracje więc w stanie stabilnym. Wyznaczymy pamięć serwera w taki sposób, aby prawdopodobieństwo odmowyprzyjęciawiadomościbyłomniejszeod Zaważmy,że geometryczny rozkład rozmiar żądania może być t zastąpiony rozkłademwykładniczymzparametremf =

35 SERWER POCZTOWY- PRZYKŁAD NUMERYCZNY MODEL SERWERA POCZTOWEGO- PRZYKŁAD Korzystając ze wzor(17) można zyskać prawdopodobieństwa trat. Wykorzystjąc analizę dla wykładniczego rozkład rozmiar żądań otrzymjemy,żev 7,5MB.