Pesymistyczna złożoność obliczeniowa algorytmu faktoryzacji Fact

Transkrypt

1 Pesymstyczna złożoność oblczenowa algorytmu faktoryzacj Fact Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 7, Wrocław Streszczene. W artykule zaprezentowano algorytm faktoryzacj Fact oblczana nezawodnośc - termnal sec probablstycznych reprezentowanych przez graf ( V, E) = z wyróżnonym podzborem węzłów, jak równeż metodę oceny pesymstycznej złożonośc tego algorytmu. Pośród algorytmów faktoryzacj najnższą złożonoścą pesymstyczną charakteryzuje sę algorytm analzowany przez Wooda, którego lczba lśc bnarnego drzewa oblczeń w przypadkach grancznych, gdy 5 oraz V V, ne przekracza ( V )!. Dla algorytmu Fact wykażemy, że maksymalna lczba lśc bnarnego drzewa oblczeń ( V )! jest osągalna dla dowolnego ( V ), a ne tylko w przypadkach grancznych. Rezultat ten uzyskano przy prostszym nż zaproponowany przez Wooda zborze zachowujących nezawodność redukcj grafu neskomplkowanej strateg selekcj krawędz do faktoryzacj. Słowa kluczowe: analza algorytmów, algorytmy faktoryzacj, nezawodność -termnal. 1. Algorytm faktoryzacj W artykule rozpatrywany jest, powszechne podejmowany przez badaczy, problem analzy nezawodnośc sec z wykorzystanem mar nezawodnośc bazujących na spójnośc sec reprezentowanej poprzez probablstyczny graf neskerowany = ( V, E) z wyróżnonym podzborem węzłów (<= <= V ). rawędze grafu reprezentują łącza komunkacyjne, które ulegają wzajemne nezależne losowym uszkodzenom ze znanym prawdopodobeństwem. Wśród mar oceny nezawodnośc sec, najbardzej unwersalną powszechne stosowaną marą jest nezawodność -termnal (-termnal network relablty), defnowana jako prawdopodobeństwo, ż wszystke węzły znajdujące sę w zborze są połączone za pomocą ne uszkodzonych łączy (mogą sę komunkować). 1 E-mal: madeysk@c.pwr.wroc.pl. E-mal: mazur@c.pwr.wroc.pl.

2 Spośród algorytmów znajdujących dokładne rozwązane problemu nezawodnośc - termnal szczególne dużo uwag pośwęcono algorytmom faktoryzacj zachowującym nezawodność redukcjom grafu [1 13]. Algorytm faktoryzacj wykorzystuje zdarzena elementarne sprawnośc lub nesprawnośc pojedynczej krawędz. Stany grafu można podzelć na dwa zbory ze względu na dwa możlwe stany krawędz e o nezawodnośc p. Stąd nezawodność -termnal można wyrazć w postac prostej formuły nezawodnośc warunkowej: R ( ) p R( e funkcjonuje) + ( 1 p ) R( e ne funkcjonuje). = (1) Twerdzene faktoryzacj jest topologczną nterpretacją formuły (1) dla grafów neskerowanych. Twerdzene 1 (Twerdzene faktoryzacj) Nezawodność -termnal sec probablstycznej reprezentowanej poprzez graf z wyróżnonym podzborem węzłów można wyrazć następująco: R ( ) p R( * e ) + ( 1 p ) R( e ), gdze: = () ' e dowolna krawędź grafu ; p prawdopodobeństwo, że łącze reprezentowane przez ' * e ( V u v + w, E e ) ' = u v + w e = ( V, E e ). =, w = u v; jeżel u, v ; jeżel u lub v ; e E funkcjonuje; Algorytm faktoryzacj uzupełnony o funkcje redukcj grafu można opsać w postac następującej trójk (F 0, R, S), gdze: F 0 szkelet algorytmu oblczana nezawodnośc wykorzystujący twerdzene faktoryzacj; R zbór zachowujących nezawodność redukcj dekompozycj grafu 3 ; S stratega wyberana krawędz grafu do faktoryzacj (dekompozycj problemu). 3 Nektóre zachowujące nezawodność redukcje grafu przedstawono w załącznku 1.

3 Spośród algorytmów faktoryzacj najnższą pesymstyczną złożonoścą czasową charakteryzuje sę algorytm faktoryzacj opsany przez Wooda [11, 1] (F 0, {R1, R, R3, R4}, S), gdze: S = S S 3 ; S = {Możyć wybrana dowolna krawędź e E za wyjątkem takej, że ' = 1 w * e }; S 3 = {Możyć wybrana dowolna krawędź e E jeżel * e e są dwuspójne ne mają pętl własnych}. W przypadku tego algorytmu maksymalna lczba lśc bnarnego drzewa oblczeń ( V )! jest osągalna dla przypadków grancznych, gdy 5 oraz V V. Znany jest równeż nny algorytm faktoryzacj [8, 1], dla którego maksymalna lczba lśc bnarnego drzewa oblczeń jest równa ( V 1)! dla dowolnego zboru ( V ). Zaprezentowany w tym artykule algorytm faktoryzacj Fact (F 0, {R0, R1, R, R3}, S ) jest modyfkacją algorytmu faktoryzacj przedstawonego przez Page a Perry [3]. Dzęk zaproponowanu nowej strateg S selekcj krawędz do faktoryzacj, jak równeż nowej metody analzy pesymstycznej złożonośc oblczenowej algorytmu wykażemy, że maksymalna lczba ( V )! lśc bnarnego drzewa oblczeń algorytmu faktoryzacj jest osągalna dla dowolnego zboru ( V ), a ne tylko dla przypadków grancznych, gdy 5 oraz V V (jak to ma mejsce w przypadku algorytmu analzowanego przez Wooda [11, 1]). Rezultat ten uzyskano przy prostszym nż zaproponowany przez Wooda zborze zachowujących nezawodność redukcj grafu neskomplkowanej strateg selekcj krawędz do faktoryzacj. Dokładna analza procesu faktoryzacj w przypadku algorytmu Fact wykorzystującego strategę S, jak równeż sama stratega S selekcj krawędz do faktoryzacj, przedstawona jest w następnym rozdzale.

4 . Analza pesymstycznej złożonośc oblczenowej algorytmu faktoryzacj metodą przekształcena do grafu pełnego Znane z lteratury metody analzy pesymstycznej złożonośc algorytmów faktoryzacj wykorzystywały nezmennk grafów [8, 1]. W przypadku analzy pesymstycznej złożonośc algorytmu Fact zaproponowano odmenną metodę..1. Idea przekształcena do grafu pełnego Mamy dowolną seć reprezentowaną poprzez graf o n -werzchołkach. raf możemy uzupełnć do postac grafu pełnego krawędzam reprezentującym łącza o zerowym prawdopodobeństwe uszkodzena. W wynku tej operacj nezawodność -termnal takej sec ne ulega zmane. Dokonując faktoryzacj (wykorzystując określoną strategę selekcj S) na krawędzach o prawdopodobeństwe uszkodzena p = 0, zamast dwóch podproblemów (jak ma to mejsce przy faktoryzacj na krawędzach o p 0 ) otrzymujemy tylko jeden podproblem. W zwązku z tym lczba lśc BDO algorytmu faktoryzacj wykorzystującego strategę S przy rozwązywanu dowolnych sec reprezentowanych przez, nędze wększa nż L ( n ), gdze n jest grafem pełnym o n werzchołkach. Podobne głębokość rekurencj przy rozwązywanu sec reprezentowanych przez przypadku grafu pełnego. nędze wększa nż w Jeżel ponadto stratega S selekcj krawędz do faktoryzacj będze tak dobrana, by mała mejsce dekompozycja problemu oblczena nezawodnośc -termnal sec reprezentowanej przez graf pełny n (o n werzchołkach) na pewną lczbę podproblemów nższego rzędu reprezentowanych poprzez grafy pełne n 1, to określene pesymstycznej złożonośc oblczenowej rozważanego algorytmu będze stosunkowo proste... Złożoność czasowa algorytmu faktoryzacj Chcąc oszacować złożoność czasową algorytmu faktoryzacj należy uwzględnć lczbę węzłów (lśc) BDO, jak równeż złożoność czasową operacj dokonywanych w poszczególnych węzłach BDO, którą można oszacować przez ( b ) O.

5 ..1. Nezawodność wszystkch termnal Dla ułatwena rozpatrzmy najperw często rozważany przypadek oblczana nezawodnośc wszystkch termnal (tzn. gdy = V ). Twerdzene Lczba lśc BDO algorytmu faktoryzacj, wykorzystującego zbór redukcj R={R0, R1, R, R3} oraz strategę S=S' (określoną na rysunku ponżej), przy rozwązywanu problemu nezawodnośc wszystkch termnal dowolnej sec reprezentowanej poprzez graf, spełna zależność ( ) ( n )! V L V, gdze n jest lczbą werzchołków (przy rozwązywanu problemu nezawodnośc wszystkch termnal redukcje R ne są używane).

6 Faktoryzacja z wykorzystanem strateg S' Tak raf Czy n>3 Ne Wyberamy werzchołek u Proste Na grafe (nekoneczne pełnym) stosujemy procedurę faktoryzacj na krawędz e ncydentnej do u Powstaje L =\e Powstaje P =*e Tak Czy deg(u)> Ne Stosuję redukcje, dostaję graf nższego stopna P ' = P ' = L u take same Stosuję redukcje usuwając werzchołeku dostaję graf nższego stopna = L Rysunek 1. Faktoryzacja z wykorzystanem strateg S' selekcj krawędz grafu do faktoryzacj. Dowód: W przypadku oblczana nezawodnośc wszystkch termnal sec reprezentowanej przez graf pełny, fragment BDO algorytmu faktoryzacj przedstawony jest na ponższym rysunku.

7 n n-1 n-1 n- 1 n-1 n- n-1 n-1 R R n-1 n- n-1 3 n-1 n-1 R n-1 n- n-1 n-1 R n-1 Rysunek. Fragment bnarnego drzewa oblczeń algorytmu faktoryzacj (F 0, {R0, R1, R, R3}, S') przy rozwązywanu problemu nezawodnośc wszystkch termnal sec reprezentowanych przez graf pełny.

8 Wyberamy werzchołek u, który ma n 1 krawędz ncydentnych. Następne n 3 razy stosujemy formułę faktoryzacj. Otrzymujemy n węzłów BDO, w których występuje seć n 1. Lczbę lśc BDO algorytmu faktoryzacj można węc wyrazć rekurencyjne: L L ( n ) = ( n ) L( n 1 ) ( ) = L( ) = L( ) = W efekce lczba lśc BDO algorytmu faktoryzacj (F 0, {R0, R1, R, R3}, S') w przypadku oblczana nezawodnośc wszystkch termnal spełna zależność ( ) ( n )! R ne są używane).... Nezawodność -termnal L V (redukcje c.n.d. W rozdzale tym uogólnmy rozpatrywany w poprzednm rozdzale przypadek tak, by dotyczył nezawodnośc -termnal (gdy V ), a ne tylko nezawodnośc wszystkch termnal ( = V ). Modyfkując strategę S' można uogólnć twerdzene na problem nezawodnośc - termnal. Jeżel ne wszystke werzchołk rozpatrywanego grafu należą do zboru, wystarczy w ramach stosowanej strateg selekcj krawędz wyberać tak werzchołek u, że u. Tak zmodyfkowaną strategę selekcj krawędz S" przedstawa ponższy rysunek.

9 Faktoryzacja z wykorzystanem strateg S" Tak raf Czy n>3 Ne Wyberamy werzchołek u (o le to możlwe ne należący do zboru ) Proste Na grafe (nekoneczne pełnym) stosujemy procedurę faktoryzacj na krawędz e ncydentnej do u Powstaje L =\e Powstaje P =* e Tak Czy deg( u)> Ne Stosuję redukcje na grafe P, dostaję graf P ' = P ' = L u take same Stosuję redukcje usuwając werzchołek u, dostaję graf nższego stopna = L Rysunek 3. Faktoryzacja z wykorzystanem strateg S" selekcj krawędz grafu do faktoryzacj. Modyfkacja strateg selekcj krawędz grafu do faktoryzacj umożlwa redukcję werzchołków stopna : za pomocą redukcj R w przypadku, gdy ne wszystke werzchołk grafu należą do zboru ; za pomocą redukcj R3 w przypadku, gdy wszystke werzchołk grafu należą do zboru. Dzęk temu lczba lśc BDO, a co za tym dze równeż złożoność algorytmu Fact (F 0, {R0, R1, R, R3}, S") w przypadku oblczana nezawodnośc -termnal ne ulegne zmane w porównanu do przypadku rozpatrywanego w twerdzenu. Dlatego prawdzwe jest ponższe twerdzene.

10 Twerdzene 3 Lczba lśc BDO algorytmu faktoryzacj Fact, wykorzystującego zbór redukcj R={R0, R1, R, R3} oraz strategę S" (określoną na rysunku powyżej), przy rozwązywanu problemu nezawodnośc -termnal dowolnej sec reprezentowanej poprzez graf spełna zależność ( ) ( n )! L, gdze n jest lczbą werzchołków. W rezultace prawdzwe jest równeż ponższe twerdzene. Twerdzene 4 Pesymstyczna złożoność czasowa algorytmu faktoryzacj Fact (F 0, {R0, R1, R, R3}, S"), przy rozwązywanu problemu nezawodnośc -termnal dowolnej sec reprezentowanej poprzez graf wynos b (( n )!) ( ) O..3. Złożoność pamęcowa algorytmu faktoryzacj Rozmar wymaganej pamęc można ogólne oszacować poprzez loczyn rozmaru sec (t.j. zestawu danych, wykorzystanych główne do reprezentacj sec w pojedynczej nstancj rekurencyjnej funkcj Prob) głębokośc rekurencj d ( ). Stąd zgrubnym pesymstycznym oszacowanem złożonośc pamęcowej algorytmów faktoryzacj jest O ( b ), gdz jest lczbą krawędz grafu reprezentującego badaną seć. Pesymstyczną złożoność pamęcową algorytmu faktoryzacj można równeż, podobne jak w przypadku złożonośc czasowej, w prosty sposób analzować wykorzystując grafy pełne. łębokość rekurencj przy rozwązywanu sec reprezentowanych przez ne będze wększa nż w przypadku grafu pełnego. Uzyskane w ten sposób oszacowana mogą być jednak (szczególne w przypadku grafów rzadkch) gorsze od oszacowana O ( b ). Jak można zaobserwować na rysunku. głębokość rekurencj algorytmu faktoryzacj, wykorzystującego zbór redukcj R={R0, R1, R, R3} oraz strategę S' lub S" w przypadku rozwązywana problemu nezawodnośc -termnal sec reprezentowanej poprzez graf pełny d ( ) n spełna zależność d ( ) ( n ) + d( ) n n = 3 n 1. Stąd: ( n 3) ( ) ( n )( n 3) n 5n + 6 n( n 1) 1+ 4n + 6 = n 3 = = = = b n + 3.

11 Twerdzene 5 łębokość rekurencj algorytmu faktoryzacj Fact, wykorzystującego zbór redukcj R={R0, R1, R, R3} oraz strategę S", przy rozwązywanu problemu nezawodnośc - termnal dowolnej sec reprezentowanej poprzez graf, spełna zależność ( ) ( n )( n 3) d, gdze n jest lczbą werzchołków. Twerdzene 6 Pesymstyczna złożoność pamęcowa algorytmu faktoryzacj Fact (F 0, {R0, R1, R, R3}, S"), przy rozwązywanu problemu nezawodnośc -termnal dowolnej sec reprezentowanej poprzez graf 3. Podsumowane wynos O ( n )( n 3) Przedstawony w tym rozdzale algorytm Fact (F 0, {R0, R1, R, R3}, S ) jest modyfkacją algorytmu faktoryzacj przedstawonego przez Page a Perry [3]. Dzęk zaproponowanu nowej strateg S selekcj krawędz do faktoryzacj, jak równeż nowej metody analzy pesymstycznej złożonośc oblczenowej algorytmu wykazano, że maksymalna lczba ( V )! lśc bnarnego drzewa oblczeń algorytmu faktoryzacj jest osągalna dla dowolnego zboru ( V ), a ne tylko dla przypadków grancznych, gdy 5 oraz V V (jak to ma mejsce w przypadku algorytmu analzowanego przez Wooda [11, 1]). Rezultat ten uzyskano przy prostszym nż zaproponowany przez Wooda zborze zachowujących nezawodność redukcj grafu R={R0, R1, R, R3}. Ne ma bowem konecznośc uwzględnana najbardzej skomplkowanego 4 podzboru redukcj R4 (redukcj welokąta do łańcucha). Równeż zaproponowana stratega selekcj krawędz do faktoryzacj ne wymaga stosowana złożonych procedur testowana własnośc (np. dwuspójnośc) sec występujących w poszczególnych węzłach BDO. Zaprezentowana w tym rozdzale metoda analzy pesymstycznej złożonośc oblczenowej jest na tyle unwersalna, że można ją równeż wykorzystać do analzy odman algorytmu Fact, wykorzystujących różne zbory zachowujących nezawodność redukcj grafów. Złożoność czasowa tych algorytmów nyła dotąd analzowana a uzyskane rezultaty. 4 Por. załącznk 1.

12 pomogą określć wpływ zastosowanych redukcj grafu na pesymstyczną złożoność oblczenową algorytmów faktoryzacj.

13 Lteratura: [1] M. S. Cho, C. H. Jun, Some varants of polygon-to-chan reductons n evaluaton relablty of undrected network, Mcroelectron. Relab., 1995(35), [] M.. F. La, Polygon-to-chan reductons work for networks wth mperfect vertces, Mcroelectron. Relab., 1994(34), [3] L. B. Page, J. E. Perry, A practcal mplementaton of the factorng theorem for network relablty, IEEE Trans. Relablty, 1988 (37) Aug, [4] L. B. Page, J. E. Perry, Relablty of drected networks usng the factorng theorem, IEEE Trans. Relablty, 1989 (38) Dec, [5] M.. C. Resende, A program for relablty evaluaton of undrected networks va polygon-to-chan reductons, IEEE Trans. Relablty, 1986 (R-35) Apr, 4-9. [6] L. I. P. Resende, Implementaton of factorng algorthm for relablty evaluaton of undrected networks, IEEE Trans. Relablty, 1988 (37) Dec, [7] A. Satyanarayana, R.. Wood, Polygon-to-chan reductons and network relablty, Operatons Research Center, Unversty of Calforna, Report ORC 8-4, 198. [8] A. Satyanarayana, M.. Chang, Network Relablty and the Factorng Theorem, Networks, 1983 (13), [9] O. R. Theologou, J.. Carler, Factorng and Reductons for Networks wth Imperfect Vertces, IEEE Trans. Relablty, 1991 (40), [10] R.. Wood, Polygon-to-chan reductons and extensons for relablty evaluaton of undrected networks, PhD thess, Dept. of Industral Engneerng and Operatons Research, Unversty of Calforna, Berkeley, 198. [11] R.. Wood, A Factorng Algorthm Usng Polygon-to-Chan Reductons for Computng -Termnal Network Relablty, Networks, 1985 (15), [1] R.. Wood, Factorng Algorthms for Computng -Termnal Network Relablty, IEEE Trans. Relablty, 1986 (R-35), [13] R.. Wood, Trconnected decomposton for computng -termnal network relablty, Networks, 1989 (19), 03-0.

14 Załącznk 1 Zachowujące nezawodność redukcje grafu Aby zredukować rozmar badanych grafów, a co za tym dze także rozmar przestrzen stanów rozpatrywanego problemu nezawodnośc -termnal, czyl złożoność problemu, można zastosować zachowujące nezawodność redukcje grafu (relablty preservng reductons) ze zboru R. Redukcje te wymagają tylko welomanowego czasu wykonana 5 zmnejszając wykładnczą przestrzeń stanów problemu. Redukcje zmenają graf topologczne probablstyczne przekształcając go do postac ' ' tak, że: ( ) = Ω Ω R( ). R + 1 ' ' (3) Ω 1 Ω są stałym uzyskanym wyłączne z orygnalnego grafu. Ta ogólna formuła jest często upraszczana do postac, która zawera jedyne stałą multplkatywną Ω = Ω. Poneważ wększość redukcj wykorzystuje jedyne stałą multplkatywną równane (3) przyjmuje następującą postać: ( ) ΩR( ) R = ' ' Ponżej zostaną przedstawone najczęścej wykorzystywane w praktyce redukcje grafu 6. Przyjęto następujące oznaczena werzchołków na rysunkach opsujących redukcje: werzchołek grafu ze zboru werzchołek grafu spoza zboru werzchołek grafu, który może lecz ne mus należeć do zboru (4) R0 redukcja stopna 1 (degree-1 reducton) Jeśl e ( u, v) = będze krawędzą w grafe, a werzchołek v będze stopna jeden tzn. deg ( v ) = 1, to wtedy: ' ' = * e = ' = u v + w 1 Ω1 = 0, Ω = pa ( V u v + w, E e ) jeżel u, v jeżel u lub jeżelv jeżelv, w = u v, v. 5 Por. [11], s.175 [8], s Dokładne opsy redukcj można znaleźć także w pracy [1], s.7-73 oraz [11], s

15 R1 Redukcja równoległa (parallel reducton) u e a v e a =(u,v) =(u,v) redukcja u v =(u,v) p c =1- q a q b Ω 1 =0, Ω =1 = R Redukcja szeregowa (seres reducton) u v e a w e a =(u,v) =(v,w) v redukcja u w =(u,w) p c =p a p b Ω 1 =0, Ω =1 =

16 R3 Redukcja stopna (degree- reducton) u v e a redukcja w e a =(u,v) =(v,w) u,v,w deg(v)= u w =(u,w) p c =p a p b /(1-q a q b ) Ω 1 =0, Ω =(1-q a q b ) =-v R4 Redukcje welokąta do łańcucha (polygon-to-chan reducton) Satyanarayana Wood [7, 10, 11] zaproponowal redukcje R4, welokąta do łańcucha (polygon-to-chan reductons). Jeżel po zastosowanu redukcj R1, R, R3 graf zawera welokąt, to przybera on jedną z sedmu postac można go zastąpć przez łańcuch składający sę z 1, lub 3 krawędz. Redukcje te mogą zmnejszyć wysłek oblczenowy wymagany do oblczena nezawodnośc za pomocą algorytmu faktoryzacj. Ponższa tabela zawera wszystke sedem redukcj: Welokąt Łańcuch Nowe nezawodnośc łączy łańcucha gdze: e a e r e s p r =δ/(α+δ) α=q a p b q c (1) β=p a q b q c e a () e r e s p s =δ/(β+δ) Ω =(α+δ)(β+δ)/δ δ=p a p b p c [1+(q a /p a )+ (q b /p b )+ (q c /p c )] e a e r e s Ω 1 =0 α=p a q b q c p d +q a p b p c q d + q a p b q c p d β=p a q b p c q d (3) e d δ=p a p b p c p d [1+(q a /p a )+ (q b /p b )+(q c /p c )+(q d /p d )]

17 e a e r e s e t α=q a p b q c p d β=p a q b q c p d + q a p b p c q d (4) e d p r =γ/(α+γ) δ=p a q b p c q d γ=p a p b p c p d [1+(q a /p a )+ (q b /p b )+(q c /p c )+(q d /p d )] > α=q a p b p c q d e a e r e s e t p s =γ/(β+γ) β=p a q b p c q d e d (5a) δ=p a p b q c q d γ=p a p b p c p d [1+(q a /p a )+ (q b /p b )+(q c /p c )+(q d /p d )] e a e r e s e t p t =γ/(δ+γ) α=q a p b p c q d p e β=p a q b p c (p d q e +q d p e )+ e d e e p b (q a p c p d q e +p a q c q d p e ) (6) δ= p a p b q c p d q e γ=p a p b p c p d p e [1+(q a /p a )+ (q b /p b )+(q c /p c )+(q d /p d )+ (q e /p e )] e a e r e s e t Ω =(α+γ)(β+γ)(δ+γ α=q a p b p c q d p e p f β=p a q b p c (q d p e p f +p d q e p f +p d p e q f ) e d e e (7) e f )/γ Ω 1 =0 + p a p b q c p f (p d q e +q d p e )+ q a p b p c p d (q e p f +p e q f ) δ= p a p b q c p d p e q f γ=p a p b p c p d p e p f [1+(q a /p a )+(q b /p b )+(q c /p c )+(q d /p d )+(q e /p e )+(q f /p f ) ] = p r =(p b +p a q b p c p d )/Ω α=q a p b p c q d e a e r Ω =p b +p a q b p c β=p a q b p c q d e d (5b) Ω 1 =0 δ=p a p b q c q d γ=p a p b p c p d [1+(q a /p a )+ (q b /p b )+(q c /p c )+(q d /p d )] Tabela 1 Redukcje welokąta do łańcucha (polygon-to-chan reductons)