3. PERSPEKTYWA JEDNORZUTOWA KLASYCZNA Założenia metody

Transkrypt

1 PERPEKYWA JEDNRUWA KLAYCNA 3.1. ałżenia medy Rzuwanie śrdkwe Rs jak przekszałcenie nie dwracalne np. w zirze, różnych d śrdka eg rzuwania, punków właściwych przesrzeni M 3 nie sanwi samdzielnie medy zapisu graficzneg mdeli gemerycznych ieków echnicznych w ym archieknicznych. W związku z ym knieczne jes rzudwanie aparau rzuwania śrdkweg dpwiednie wry gemeryczne raz zasady psługiwania się ymi wrami, w celu uzyskania resyuwalneg dwzrwania graficzneg wyróżnianych w M 3 figur. akie zadziałanie prwadzi d uwrzenia w przesrzeni M 3 zw. aparau dwzrwania knkrenej medy zapisu. W przypadku perspekywy jednrzuwej klasycznej na apara dwzrwania składają się (rys.3.1): a) apara {τ,}rzuwania śrdkweg Rs, ) dane kreślające z dkładnścią d izmerii parzysej płżenie śrdka rzuwania Rs względem ła τ eg rzuwania; danymi ymi są: - wyróżniny w le τ zw. punk cenralny τ perspekywy, ędący punkem wicia się w ł τ prsej n przechdzącej przez i prspadłej d τ, - zawary w τ zw. kręg głękści łwej ) śrdku τ i długści prmienia r = ρ(, τ) zwanej głękścią łwą, c) układ śladwy {τ,µ } złżny z dwóch płaszczyzn τ raz µ, kóre spełniają gólne wymagania sawiane elemenm układu śladweg, zn.: τ raz µ mają jednznacznie sprecyzwane płżenie względem aparau {τ,} rzuwania Rs, τ µ = M 3, τ raz µ są w rzuwaniu Rs pdprzesrzeniami nierzuujacymi. Rys.3.1. rukura aparau dwzrwania perspekywy jednrzuwej - klasycznej Płaszczyzny τ raz µ nazywa się płaszczyznami śladwymi a ich część wspólna, ędąca prsą niewłaściwą w nsi nazwę węzła układu śladweg {τ,µ }. Wyróżnienie układu śladweg {τ,µ } generuje pjawienie się zw śladów pdprzesrzeni dwzrwywanych za pmcą perspekywy jednrzuwej. 117

2 118 Śladami pdprzesrzeni G w układzie śladwym {τ,µ } są ilczyny G = G τ raz G = G µ zwane radycyjnie dpwiedni śladem łwym raz śladem ziegu pdprzesrzeni G. W miarę przey wyróżnia się zw uwór węzłwy pdprzesrzeni G w układzie śladwym {τ,µ } ędący pdprzesrzenią W G = G w = G G. Dwdzi się, że: Ślady G, G raz uwór węzłwy W G jednznacznie kreślają w przesrzeni M 3 pdprzesrzeń G, gdy G = G G, c ma miejsce wedy gdy: dim G + dim G = dim G + dim W G. Pnieważ płaszczyzny śladwe τ i µ a akże prsa węzłwa w układu {τ,µ } są z załżenia pdprzesrzeniami nierzuującymi, więc zaware w nich ślady raz uwór węzłwy pdprzesrzeni G dwzrwywanej w perspekywie jednrzuwej przekszałcają się na swje rzuy śrdkwe w spsó wzajemnie jednznaczny, a rzważane rzuy śrdkwe zachwują wymiary rzuwanych ryginałów. Wec eg: rzu śrdkwy G = Rs(G) pdprzesrzeni G z wyróżninymi w nim rzuami śrdkwymi G, G raz W G dpwiedni śladów i uwru węzłweg pdprzesrzeni G w danym układzie śladwym {τ,µ } sanwią raz resyuwalny, zwany uaj razem prsym pdprzesrzeni G, gdy: dim G + dim G = dim G + dim W G. Na rysunku 3.2. przedsawin przykłady razów prsych punków, prsych raz płaszczyzn uzyskane za pmcą perspekywy jednrzuwej - klasycznej. a) G = G ) G = = G G = W = G G G = ( G ) G G = W G = c) G = W = = G G G d) g = = g g W g = G = w ( G ) g= g 118

3 119 e) f) m = w m m m m m= m m m= m = m m g) m = m h) = = z m =Wm m = (m ) W = i) z = z Rys.3.2. Przykłady razów prsych punków, prsych i płaszczyzn uzyskanych za pmcą perspekywy jednrzuwej apis razów prsych pdprzesrzeni dwzrwywanych medą perspekywy jednrzuwej jes zazwyczaj znacznie upraszczany w ssunku d przykładów pdanych na rys.3.2. Uprszczenie plega na pminięciu szeregu czywisych pisów elemenów razów śladów, uwrów węzłwych a nawe rzuów śrdkwych zapisywanych pdprzesrzeni. Przykłady akich uprszcznych pisów razów prsych pdprzesrzeni pkazan na rys

4 120 A d e e f z C B g A, g B, C, f d e =e e z e Rys.3.3. Przykłady skrócnych pisów elemenów składwych uzyskiwanych w perspekywie jednrzuwej razów prsych pdprzesrzeni Pdprzesrzenie nie mające w perspekywie jednrzuwej razów prsych zapisuje się w spsó resyuwalny pprzez zw. razy złżne: a) pśrednie, ) złączwe. raz pśrednipdprzesrzeni A składa się z razu prseg pdprzesrzeni nierzuującej np. B zawierającej A raz z rzuu śrdkweg A dwzrwywanej pdprzesrzeni. razy pśrednie mają wszyskie punky właściwe przesrzeni M 3 nie należące d ła τ perspekywy jednrzuwej raz wszyskie właściwe prse nierzuujace zaware w płaszczyźnie zniknienia ζ.. Przykład akieg razu punku właściweg A wykreśln na rys. 3,4. W przykładzie ym, pdnie jak w zapisie razu pśrednieg każdej pdprzesrzeni, należenie punku A d pmcniczej prsej zasygnalizwan umwnie pprzez dlny prawy indeks pisu rzuu śrdkweg punku A. A A Rys.3.4. Przykład razu pśrednieg właściweg punku A przesrzeni M 3 raz złączwy np. pdprzesrzeni A uzyskiwany jes w perspekywie jednrzuwej jak suma: - razów prsych pdprzesrzeni B 1 i B 2, kórych złączem jes dwzrwywana pdprzesrzeń A, - rzuu śrdkweg pdprzesrzeni A ędąceg złączem rzuów śrdkwych pdprzesrzeni B 1 i B

5 121 razy złączwe psiadają - prse warswwe, zn. prse właściwe równległe d ła τ lecz nie zaware w τ, - płaszczyzny warswwe, zn. płaszczyzny równległe d ła τ lecz różne d τ. raz złączwy prsej warswwej np. a, względnie płaszczyzny warswwej np. α, składa się na gół z rzuów śrdkwych ej pdprzesrzeni, jej uwru węzłweg raz z razu pśrednieg dwlneg punku właściweg np. B, należąceg d dwzrwywanej pdprzesrzeni. Przykłady zapisu eg rdzaju razów przedsawin na rys.3.5. a) ) = A, a Aa, a = a = z a = A a = A Rys.3.5. Przykłady razów złączwych prsej warswwej a(a, a ) rys. a, płaszczyzny warswwej α(a, α ) rys apis w perspekywie jednrzuwej klasycznej pdsawwych relacji zachdzących między pdprzesrzeniami przesrzeni M apis relacji zawierania ( należenia) wcześniej sygnalizwanych właściwści pdprzesrzeni niewłaściwych przesrzeni M 3 raz płaszczyzny ła τ perspekywy jednrzuwej wynika, że zawieranie się prsych względnie punków w płaszczyznach układu śladweg {τ,µ } gwaranwane jes w zapisie realizwanym za pmcą perspekywy jednrzuwej przez: d) zawieranie się rzuów śrdkwych dwzrwywanych pdprzesrzeni w τ względnie w µ, e) dpwiedni, umwny pis rzuów śrdkwych dwzrwywanych punków lu prsych. Przykłady akich zapisów pkazuje rys

6 122 = µ C = C D = D a = a a, µ,c,d µ Rys.3.6. Przykłady zapisu w perspekywie jednrzuwej razów pdprzesrzeni zawarych w płaszczyznach śladwych układu śladweg {τ,µ } analgicznych przesłanek wynika wnisek, że należenie punku np. A d prsej np. zawarej w τ lu w µ gwaranwane jes w zapisie za pmcą perspekywy jednrzuwej przez należenie rzuu śrdkweg A punku A d rzuu śrdkweg prsej (rys.3.7). a) ) A A A A Rys.3.7. Przykłady razów punków należących d prsych zawarych w płaszczyznach śladwych układu {τ,µ } Należenie nie leżąceg w płaszczyznach śladwych układu śladweg {τ,µ } punku np. A d prsej np. razie prsym w dwzrwaniu za pmcą perspekywy jednrzuwej usalane jes: - na eapie kszałwania razu pśrednieg akieg punku (rys.3.4), gdy prsa jes prsą nierzuującą, - pprzez zjednczenie rzuu śrdkweg A punku A z rzuem śrdkwym prsej, gdy prsa a jes prsą rzuującą (rys.3.8). 122

7 123 c = A c c c A Rys.3.8. raz pśredni punku A należąceg d rzuującej prsej Klejnym zagadnieniem isnym w ramach zapisu w perspekywie jednrzuwej relacji zawierania jes knsrukcja razu prseg prsej np. leżącej w płaszczyźnie np. α mającej również raz prsy. Jeżeli rzważana płaszczyzna α jes płaszczyzną nierzuującą, gwarancją zawierania się prsej w ej płaszczyźnie jes należenie razów śladów prsej d razów równimiennych z nimi śladów płaszczyzny α (rys.3.9). z Rys.3.9. Przykład zapisu w perspekywie jednrzuwej prsej zawarej w płaszczyźnie α, gdy ie rzważane pdprzesrzenie są nierzuujące i mają razy prse Namias, gdy płaszczyzna α jes płaszczyzną rzuującą, z gólnych właściwści rzuu wiązkweg eg rdzaju pdprzesrzeni wynika, że α jeżeli α (rys.3.10). = Rys Przykład zapisu w perspekywie jednrzuwej razu prsej zawarej w rzuującej płaszczyźnie α. 123

8 124 łżenie zależnści zapisanej na rys.3.9. z umwą dyczącą srukury razu pśrednieg punku nie leżąceg w elemenach układu śladweg {τ,µ } (rys.3.4) prwadzi d wskazania knsrukcji razu pśrednieg punku A należąceg d nierzuującej płaszczyzny α razie prsym (rys.3.11). z A A A Rys Knsrukcja razu pśrednieg punku A należąceg d nierzuującej płaszczyzny α razie prsym. Klejny rysunek 3.12 przedsawia nie wymagającą kmenarza knsrukcję razu pśrednieg punku A należąceg d płaszczyzny rzuującej β. β A Rys Przykład razu pśrednieg punku A należąceg d rzuującej płaszczyzny β. Przey dalszych rzważań niniejszeg rzdziału nakazują zwrócić jeszcze uwagę na zapis w perspekywie jednrzuwej relacji zawierania się par pdprzesrzeni, z kórych c najmniej jedna ma raz złżny. Rysunki pkazują kilka przykładów eg rdzaju zapisów. 124

9 125 z A,a a = a a a = a A a Rys raz prsej warswwej a zawarej w płaszczyźnie nierzuującej β razie prsym a = a =W a c a = c z a i z c a = A Wa B a B c,a z A,a = c c c c = z B c = c c a Rys Przykład knsrukcji razu pśrednieg punku B należąceg d prsej warswwej a a a a = z = w = A A,,a = Rys Knsrukcja razu złączweg prsej warswwej zawarej w płaszczyźnie warswwej α apis relacji przecinania się par pdprzesrzeni 125

10 126 Przecinanie się pdprzesrzeni jes jednym z ważniejszych działań gemerycznych realizwanych w rakcie kszałwania złżnych ieków gemerycznych. ąd przea szczegółweg przeanalizwania przeiegu knsrukcji razów w perspekywie jednrzuwej części wspólnych par dwzrwanych pdprzesrzeni. właściwści rzuów wiązkwych, a więc i śrdkwych pdprzesrzeni, w ym pdprzesrzeni rzuujących, wynikają knsrukcje perspekyw jednrzuwych ilczynów pdprzesrzeni dwzrwanych na rys, 3,16. a) ) K=a a = K K K= c) = Kd a = d B a, a d) z c c d d K= a, gdzie = B c = K c K= e) f) = d d A c, d c = e d = K e, d e k z c c e K e = d, gdzie d = d Ac k = 126

11 127 g) h) z k =k k z = k c B c,k c =k k c k = k =, gdzie k = B c k Rys Przykłady knsrukcji razów w perspekywie jednrzuwej ilczyn przecięcia par pdprzesrzeni, z kórych c najmniej jedna jes pdprzesrzenią rzuującą Niech w dalszym ciągu przecinającymi się pdprzesrzeniami, dwzrwanymi za pmcą perspekywy jednrzuwej, ędą dwie pdprzesrzenie nierzuujące. Rys pkazuje przykłady knsrukcji perspekywy jednrzuwej punku K przecięcia się dwóch nierzuujących prsych a i w przypadku, gdy: - ie rzważane prse są prsymi niewarswwymi rys.3.17a, - prsa a jes prsą niewarswwą, namias prsa jes prsą warswwą rys.3.17, - ie prse a i są prsymi warswwymi rys.3.17c. a) ) z Ka a = K a, a a a a a K = a K = a, gdzie = K a 127

12 128 c) k k = = a a a K k d c c p A d,a z B c, p=p d z c = k d Rys Przykłady knsrukcji razów w perspekywie jednrzuwej punków przecięcia się par prsych nierzuujących Gdy przecinającymi się pdprzesrzeniami dwzrwanymi za pmcą perspekywy jednrzuwej sa dwie nierzuujące płaszczyzny α i β różnych punkach węzłwych W α i W β, punky przecięcia się ich śladów łwych α i β raz rzuów z α i z β śladów ziegu ych płaszczyzn są dpwiedni śladem łwym k = α β raz rzuem śrdkwym k = z α z β śladu ziegu krawędzi k = α β. Punky k i k wraz z ich złączem ędącym rzuem śrdkwym k prsej k składają się na raz prsy ej prsej (rys.3.18). w k z z k w k Rys knsrukcja razu w perspekywie jednrzuwej prsej k = α β, gdzie α i β są nierzuującymi płaszczyznami razach prsych i różnych punkach węzłwych. W przypadku, gdy dwzrwane w perspekywie jednrzuwej przecinające się płaszczyzny nierzuujące α i β mają razy prse lecz zjednczne punky węzłwe W α = W β, wówczas ich krawędź k przechdzi przez punk W α = W β i jes ym samym prsą warswwą. W celu usalenia razu akiej prsej, kóry jes w rzważanej syuacji razem złączwym, knieczne jes dwzrwanie dwlneg punku właściweg np. K należąceg d u przecinających się płaszczyzn; K k = α β. raz akieg punku uzyskuje się przecinając płaszczyzny α i β rzecią pmcniczą płaszczyzną nierzuującą γ razie prsym i punkcie węzłwym różnym d W α = W β. Krawędzie m = α γ raz l = β γ zapisane spsem 128

13 129 pkazanym na rys.3.18 usalają w przecięciu swich rzuów śrdkwych m i l rzu śrdkwy K punku K należąceg d α i β, kóry wraz z razem prsej m lu l sanwi raz pśredni punku K. saecznie punk K w złączu z punkem węzłwym W α = W β wyznacza krawędź k = α β a razy ych punków łącznie ze złączem ich rzuów śrdkwych składają się na raz złączwy dwzrwywanej prsej k = α β (ys.3.19). = k k W, l m K m z l m z l m k z k = k = K m W, Rys apis w perspekywie jednrzuwej razu złączweg krawędzi k nierzuujących płaszczyzn α i β razach prsych i idenycznych punkach węzłwych. Przecięcie pmcniczą płaszczyzną nierzuującą razie prsym ssuje się również w knsrukcji perspekywy jednrzuwej punku przeicia płaszczyzny nierzuującej prsą nierzuującą (rys.3.20) raz w knsrukcji razu krawędzi nierzuującej płaszczyzny razie prsym z płaszczyzną warswwą (rys.3.21). z k z K k k K= Rys Przykład zapisu w perspekywie jednrzuwej razu punku K = α, gdzie i α są pdprzesrzeniami nierzuującymi razach prsych. 129

14 130 z =z k B, q K q,k q q p k z = k = B k = k = Kq k Rys Przykład zapisu w perspekywie jednrzuwej razu krawędzi k = α β, gdy α i β są pdprzesrzeniami nierzuującymi, płaszczyzna α ma raz prsy zaś płaszczyzna β jes płaszczyzną warswwą razy złączy par pdprzesrzeni W wielu zagadnieniach knsrukcyjnych rzważanych na gruncie perspekywy jdnrzuwej przydaje się umiejęnść dwzrwywania złącza par pdprzesrzeni. Pdsawwe w ym zakresie są knsrukcje razów złącza pary punków raz punku i prsej. Na rysunkach pkazan kilka przykładów eg rdzaju knsrukcji z wypunkwaniem klejnych czynnści gemerycznych prwadzących d uzyskania razu rzważaneg złącza. z A A = A Rys Knsrukcja razu w perspekywie jednrzuwej płaszczyzny α ędącej złączem punku A τ i nierzuującej prsej razie prsym 130

15 131 a a z p A a p a z = p A = Rys Przykład knsrukcji razu w perspekywie jednrzuwej płaszczyzny β ędącej złączem punku A razie pśrednim i nierzuującej prsej razie prsym A a z a c e a B e c z a = e c B e i e e a = c = A B c = c c c = c z a = a Rys Przykład knsrukcja razu w perspekywie jednrzuwej prsej c ędącej złączem punków A i B razach pśrednich 131

16 132 p q a z q p a A a a z c Bc, c = q p = A B (raz prsej p sknsruwan pdnie jak raz prsej c na rys.3.24) z p A a B c = B =A = p = p = p = z c Rys Knsrukcja razu w perspekywie jednrzuwej płaszczyzny α ędącej złączem punku A razie pśrednim i prsej warswwej apis relacji równległści par pdprzesrzeni definicji równległści dwóch pdprzesrzeni A i B przesrzeni M 3 wynika, że pdprzesrzenie e muszą yć pdprzesrzeniami właściwymi wymiarach większych d 0, a ich części niewłaściwe pwinny yć pwiązane relacją zawierania, w ym idenycznści. Pnad wiadm, że: - w rzuwaniu śrdkwym pdprzesrzenie niewłaściwe raz ich rzuy śrdkwe dpwiadają sie w spsó wzajemnie jednznaczny, - w perspekywie jednrzuwej części niewłaściwe pdprzesrzeni właściwych są śladami ziegu ych pdprzesrzeni. Wec eg prawdziwe jes nasępujące wierdzenie rzsrzygające spsó zapisu w perspekywie jednrzuwej relacji równległści par pdprzesrzeni. Pdprzesrzenie właściwe A i B wymiarach większych d 0 są pdprzesrzeniami równległymi, gdy rzuy śrdkwe A i B ich śladów ziegu A raz B pwiązane są relacją zawierania, w ym idenycznści. Na rysunku 3.26 wykreśln razy w perspekywie jednrzuwej : - prsych równległych a i (rys.3.26a,), - prsej a równległej d płaszczyzny β (rys.3.26c,d), - płaszczyzn równległych α i β (rys.3.26e,f). 132

17 133 a) ) a = a = a a a = a a c) = z a a a a d) z B,a a a a, gdzie a = B a e) = z = z f) z = z Rys Przykłady razów w perspekywie jednrzuwej par pdprzesrzeni równległych Knsrukcje kładów figur płaskich dwzrwanych za pmcą perspekywy jednrzuwej Kładem figury płaskiej Γ γ nazywa się figurę Γ γ płaszczyźnie ła τ. przysającą d Γ i wykreślną w Dla każdej figury Γ dwzrwanej za pmcą perspekywy jednrzuwej i nie zawarej w le τ ej perspekywy, dla uzyskania kładu ej figury knieczne jes dknanie przekszałcenie 133

18 134 izmeryczneg K przypisująceg płaszczyźnie γ Γ płaszczyznę γ γ = τ, w ym figurze Γ jej razu Γ γ = K(Γ). Knsrukcję kładu figury Γ i zawierającej ją płaszczyzny γ realizuje się, ay: - rzpznać pełną charakerysykę właściwści gemerycznych (miarwych i niemiarwych) figury Γ wyróżninej w płaszczyźnie γ i zapisanej za pmcą perspekywy jednrzuwej, - wykreślić raz w perspekywie jednrzuwej figury Γ zdefiniwanej w płaszczyźnie γ pprzez dpwiednie właściwści gemeryczne ej figury. Jeżeli płaszczyzna γ Γ jes płaszczyzną warswwą (γ τ i γ), kórej raz złączwy usalny jes za pśrednicwem razu rzuu śrdkweg jej uwru węzłweg w γ raz razu pśrednieg pewneg punku A γ, przekszałcenie izmeryczne K przypisujące płaszczyźnie γ jej kład γ γ = τ definiuje się jak ranslację Aa wekr Aa, gdzie a jes śladem łwym prsej a współwyznaczającej raz punku A (rys.3.27a). W zapisie perspekywicznym wynik akiej ranslacji jes żsamy z przekszałceniem przez pdieńsw śrdkwe K ( śrdku = a, ędącym rzuem śrdkwym śladu ziegu a pmcniczej w dwzrwaniu punku A prsej a), rzuu śrdkweg płaszczyzny γ i zawarej w niej figury Γ dpwiedni na płaszczyznę ła τ i kład Γ γ = K (Γ ), przy czym K (A ) = a = A γ (rys.3.27). Na rys.3.27 pkazan knsrukcję razu perspekywiczneg rójkąa równczneg <ABC> γ(a,w γ ) danej długści d ku. W zrealizwanym zapisie skrzysan z wcześniej pisanej knsrukcji kładu γ γ = K ( γ ) płaszczyzny dwzrwywaneg rójkąa. Rys Przykład zasswania kładu płaszczyzny warswwej γ w knsrukcji razu perspekywiczneg zawareg w ej płaszczyźnie rójkąa równczneg Γ = <ABC> Niech w dalszym ciągu płaszczyzna γ, kórej kład należy sknsruwać ędzie w dwzrwaniu za pmcą perspekywy jednrzuwej płaszczyzną rzuującą. W ej syuacji przekszałcenie izmeryczne K, kóre jednczy γ z łem τ = γ γ jes rem dpwiedni ką płaszczyzny γ wkół si γ = γ = γ τ. ś a jes zirem punków sałych ru, a więc γ = γ = γ γ. Drugim elemenem usalającym z dkładnścią d izmerii ziór punków i prsych płaszczyzny γ γ = τ = (γ) jes raz γ τ w rcie śrdka γ rzuwania śrdkweg sswaneg w rzważanej perspekywie jednrzuwej. W przypadku, gdy rzuująca płaszczyzna γ jes: 134

19 135 - prspadła d τ (rys.3.28a, a ), raz kład γ śrdka rzuwania śrdkweg jes punkem przecięcia się z kręgiem głękści łwej ) rzuu ω γ płaszczyzny ω ru punku ( pnieważ ρ(, τ) = ρ(, γ γ )), - nieprspadła d ła τ (rys.3.28, ), raz kład γ = () śrdka rzuwania śrdkweg jes punkem rzuu ω γ płaszczyzny ω ru punku dległym d si ru γ = γ =γ γ wielkść ρ(, γ ) =, gdzie = ω γ. Usalenie długści dcinka wymaga sknsruwania, według zasad pdanych na rys.3.28a, kładu płaszczyzny ω γ i ω, w kórej przemieszcza się punk w rakcie ru wkół prsej γ. = γ ω γ (na rys.3.28 ). Punk γ (raz punku w kładzie płaszczyzny γ) jes akim punkem prsej ω γ pprwadznej przez punk τ cenralny zasswanej perspekywy, że ρ( γ,) = ω. Pdnie jak w przypadku rzważanym na rys.3.27, ak i na rys.3.28a raz 3.28 pkazan knsrukcje razów w perspekywie jednrzuwej rójkaa równczneg <ABC> usalnej długści d ku, przy załżeniu, iż rójką en zawary jes w płaszczyźnie rzuującej γ. W rysunku eg razu wykrzysan knsrukcję kładu płaszczyzny γ zawierającej dwzrwywany rójką. 135

20 136 Rys Knsrukcja kładu płaszczyzny γ i zawarej w niej figury Γ w przypadku, gdy γ jes płaszczyzną rzuującą w perspekywie jednrzuwej zasswanej d zapisu rzważanych ieków. Uwaga. Przez każdą prsą np. a dwzrwaną za pmcą perspekywy jednrzuwej daje się pprwadzić c najmniej jedną płaszczyznę rzuującą γ. Wec eg przedsawina na rys.3.28 knsrukcja kładu eg rdzaju płaszczyzny zasswana d płaszczyzny γ zawierającej prsą a, pzwala znaleźć kład a γ rzważanej prsej a, a z jeg pmcą : - dwzrwać każdy dcinek leżący w a narzucnej długści, - znaleźć długść każdeg dcinka wyróżnineg w prsej a. Przykład akiej knsrukcji pkazan na rys knsruwan na nim perspekywę jednrzuwą dcinka PQ narzucnej długści d leżąceg w danej prsej a razie prsym. Rys Knsrukcja razu w perspekywie jednrzuwej dcinka PQ usalnej długści d zawareg w danej prsej a razie prsym. Pzsaje jeszcze wskazać spsó knsruwania kładu figury zawarej w płaszczyźnie nierzuującej i niewarswwej γ dwzrwanej za pmcą perspekywy jednrzuwej. Kład aki uzyskuje się, pdnie jak we wcześniej mówinych przypadkach, pprzez ró wkół si γ = γ τ płaszczyzny γ jednczący ę płaszczyznę z łem τ. Jednak w rzważanym ecnie przypadku, jedncześnie z rem płaszczyzny γ dknuje się ru z wkół si z γ jedncząceg z łe τ rzuujacą płaszczyznę γ * równległą d γ (ędącą uwrem rzuującym śladu ziegu z γ płaszczyzny γ ). rach raz z zakłada się, że dknywane są kąy zgdnie skierwane idenycznych miarach (rys.3.30) Dwdzi się, że dla dwlnie wyróżnineg w γ punku np. A jeg rzu śrdkwy A nie dznaje przemieszczeń przy każdej realizacji rów i z. 136

21 137 Rys Rysunek pglądwy przedsawiający zależnści uzasadniające związek kładu γ γ i rzuu śrdkweg γ płaszczyzny nierzuującej i niewarswwej γ dwzrwanej za pmcą perspekywy jednrzuwej Isnie (rys.3.30) wyróżnine na rys.3.30 rójkąy <Q*A > i <AQA > są figurami pdnymi i wec eg Q A : Q * = A Q : A Q *. W rakcie rów i z zgdnie skierwane kąy mierze ξ ο punky Q* raz Q nie dznają przemieszczeń, namias punky A i zsają przekszałcne dpwiedni na akie punky A i *, że A Q = AQ, Q * * = Q *, zaś A Q *Q*. W związku z ym punky A, Q, Q* raz * pzsają współpłaszczyznwe i prsa *A przecina prsą QQ* w akim punkcie A *, że rójkąy <A QA *> raz < *Q*A *> są * Q A A Q AQ Q A pdne. Knsekwencją eg jes równść ssunków = = =, c ma * * * * * * Q A Q Q Q A miejsce, gdy A * = A. Przeprwadzne rzumwanie pzwala swierdzić, że pdczas dknywania rów i z rzważanych płaszczyzn γ i γ*, dpwiedni wkół si γ raz z γ, kąy zgdnie skierwane idenycznych miarach, układy płaskie pdsawach γ γ = (γ) i τ = γ pzsają w związku klineacji siwej śrdku γ * = z () raz si γ. Ław zauważyć, że we wspmnianej klineacji prsa z γ, ędąca rzuem śrdkwym śladu ziegu z γ płaszczyzny γ jes prsą graniczną układu płaskieg plu γ = τ. pisana sani zależnść wiązuje również w przypadku, gdy ry i z pwdują zjednczenie dpwiedni płaszczyzn γ i γ* z łem τ, c jes równznaczne z rzymaniem kładów płaszczyzn γ i γ * (rys.3.31). 137

22 138 Rys ależnści między razem w perspekywie jednrzuwej a kładem figury zawarej w płaszczyźnie nierzuującej i niewarswwej Pdnie jak w przypadkach kładów zilusrwanych rysunkami 3.27 i 3.28., ak i na rys.3.31 sknsruwan, psługując się dpwiednim kładem, raz w perspekywie jednrzuwej rójkąa równczneg <ABC> usalnej długści d ku. rójką en jes uaj reprezenanem figur zawarych w płaszczyźnie niewarswwej i nierzuujacej, kreślnych przez swe właściwści miarwe. Przeieg zrealizwanej na rys. 3,31 knsrukcji jes nasępujący: 1 Psługując się kładem płaszczyzny rzuującej γ * rzucie śrdkwym γ * = z γ (prównaj z rys.3.28 ) znalezin kład γ * śrdka rzuwania śrdkweg; punk γ * jes śrdkiem klineacji śrdkwej wiążącej rzu śrdkwy γ płaszczyzny γ <ABC) z kładem γ γ = τ ej płaszczyzny. 2 W kładzie γ γ wykreśln kład <A γ B γ C γ > rójkąa <ABC> jak rójką równczny narzucnej długści d ków. 3 Wzię pd uwagę, że wierzchłki A i B rzważaneg rójkąa leżą w pmcniczej prsej, zaś wierzchłki A i C wyznaczają drugą pmcniczą prsą c ( ie wyróżnine prse leżą w płaszczyźnie γ), 4 Kłady γ ( A γ,b γ ) raz c γ (A γ,c γ ) prsych i c usalają w przecięciu ze śladem łwym γ płaszczyzny γ (ędacym sią klineacji śrdkwej między kładem i rzuem płaszczyzny γ) ślady łwe i c ( zjedncznych kładach i rzuach) rzważanych prsych, 5 Punky niewłaściwe γ γ raz c γ c γ są kładami śladów ziegu dpwiedni prsych i c, ich razami w rzucie śrdkwym, czyli w klineacji śrdku γ * i si γ, są punky = z γ s ( γ *, γ ) raz c = z γ s c ( γ *, c γ ) ędące rzuami śrdkwymi śladów ziegu dpwiedni prsych i c. 6 Wykreśln razy perspekywiczne prsych i c złżne z rzuów śrdkwych (, ) i c ( c, c ) ych prsych raz ich śladów łwych i ziegu, 7 saeczne wykreśln prse s A ( γ *,A γ ), s B ( γ *,B γ ) raz s C ( γ *,C γ ), kóre w przecięciu z prsymi raz c usalaja rzuy perspekywiczne A = s A = s A c, B = s B raz C = s C c wierzchłków dwzrwywaneg rójkąa równczneg <ABC> razy par pdprzesrzeni prspadłych W większści zapisów graficznych, w ym w zapisach realizwanych za pmcą perspekywy jednrzuwej, pdsawwym zagadnieniem w zakresie knsrukcji razów par 138

23 139 pdprzesrzeni prspadłych jes zapis prspadłści prsej i płaszczyzny. Wynika z nasępujących związków zaliczanych d pdsawwych właściwści przesrzeni M 3. Jeżeli a β i β, a. Jeżeli β i α, α β. Jeżeli a β i α a, α β. Jeżeli a i c a i d, c d. Jeżeli a β i c a i γ β, c γ. Jeżeli α β i γ α i δ β, γ δ. Wymienine zależnści, przy załżeniu umiejęnści zapisu w perspekywie jednrzuwej par pdprzesrzeni związanych relacją zawierania raz relacją równległści, prwadzą, pprzez zapis prsych i płaszczyzn prspadłych, d knsrukcji razów każdych dwóch pdprzesrzeni wzajemnie prspadłych. Wśród sygnalizwanych knsrukcji na plan pierwszy, ze względu na swą pdsawwść, wyijają się w perspekywie jednrzuwej zapisy razów: - prsej prspadłej d ła τ i płaszczyzny warswwej, - prsej warswwej i płaszczyzny rzuującej wzajemnie prspadłych, - prsej rzuujacej i płaszczyzny rzuujacej wzajemnie prspadłych. Prsa np. a prspadła d ła τ i płaszczyzna warswwa np. β są w perspekywie jednrzuwej zawsze pdprzesrzeniami prspadłymi, a charakerysyczną cechą ich razów jes jednczenie się (rys.3.32): - rzuu śrdkweg a śladu ziegu a prsej a z punkem cenralnym τ perspekywy, - śladu ziegu z β płaszczyzny β z prsą niewłaściwą płaszczyzny ła τ. a a = a B, = z (,B) a Rys apis w perspekywie jednrzuwej razów płaszczyzny warswwej β i prspadłej d niej prsej a (prspadłej d ła τ) Niech w dalszym ciągu para dwzrwywanych w perspekywie jednrzuwej pdprzesrzeni prspadłych składa się z prsej warswwej a i płaszczyzny rzuującej β (rys.3.33). 139

24 140 Rys Przykład zapisu w perspekywie jednrzuwej razów prsej warswwej a i prspadłej d niej płaszczyzny rzuującej β Ław zauważyć (rys.3.33a), że w mawianej syuacji załżna prspadłść płaszczyzny rzuującej β d warswwej prsej a pwduje, że płaszczyzna β jes płaszczyzną prspadłą d ła τ i c za ym idzie, że rzu śrdkwy β ej płaszczyzny jes prsą przechdzącą przez punk cenralny τ perspekywy i prspadłą d rzuu śrdkweg a prsej a (rys.3.33a). Isnie, jeżeli a τ, a a, a pnieważ β a, więc β a, a sąd β = β τ musi yć prsą prspadłą d a (rys.3.33). saecznie niech prsa i płaszczyzna prspadłe i dwzrwywane za pmcą perspekywy jednrzuwej ędą dpwiedni prsą rzuującą a raz płaszczyzną rzuującą β nie prspadłą d ła τ (rys.3.34) Rys apis w perspekywie klasycznej razów wzajemnie prspadłych i rzuujacych prsej a i płaszczyzny β. Przez rzważaną ecnie prsą a, z załżenia prspadłą d β, daje się pprwadzić (rys.3.34a) rzuującą i prspadłą d ła τ płaszczyzna α, kórej rzu śrdkwy α jes prsą prspadłą rzuu 140

25 141 β = β τ = β = z β przechdzącą przez τ (prównaj z rys.3.33). Płaszczyzna α przecina płaszczyznę β w prsej l β (zwanej prsą spadu płaszczyzny β) wyznaczną przez śrdek rzuwania śrdkweg raz przez punk A = α β = α β. D ej prsej musi yć prspadła dwzrwywana prsa a (pnieważ a β, zaś l β β, więc a l β ). W celu sknsruwania razu prsej a, żsameg uaj z rzuem śrdkwym a ej prsej, dknuje się kładu płaszczyzny α wraz z należącymi d niej punkami raz A (rys.3.34), (prównaj z rys.3.28a,a ). Punky A α = A raz α wyznaczają kład l α β prsej l β, a prspadła d l α β prsa a α zawara w α i przechdząca przez α jes kładem rzważanej prsej rzuującej a prspadłej d zadanej rzuującej płaszczyzny β. Punk a = α a α z uwagi na, że prsa α jes zawarą w le τ sią ru prwadząceg d kładu α płaszczyzny α, jednczy się z punkem a τ, a więc jes rzuem śrdkwym rzuującej prsej a. punkem a jednczy się ślad łwy a prsej a raz rzu śrdkwy a jej śladu ziegu (rys.3.34). Knsrukcja pkazana na rys.3.34 wiera mżliwści dwzrwania w perspekywie jednrzuwej dwlnej nierzuującej i niewarswwej płaszczyzny γ i prspadłej d niej nierzuującej prsej d. aki zapis zrealizwan na rys Wyjściw zadan na ym rysunku raz w perspekywie jednrzuwej nierzuującej i niewarswwej płaszczyzny γ(z γ, γ ), d kórej należy pprwadzić i dwzrwać prsą prspadłą d nie ędącą prsą rzuująca. Dążąc d zapisu prsej d, w pierwszej klejnści wyróżnin i dwzrwan rzuującą płaszczyznę β równległą d γ ; β = z β = z γ. Nasępnie, wyknując knsrukcję analgiczną d zaprezenwanej na rys.3.34, sknsruwan rzu śrdkwy a = a prsej rzuujacej a prspadłej d pmcniczej płaszczyzny β. Pnieważ β γ, więc dwzrwana sani prsa a β jes jedncześnie prsą prspadłą d γ i każda prsa np. d równległa d a ( czyli mająca rzu śrdkwy d śladu ziegu idenyczny z a ) jes również prspadła d płaszczyzny γ. Rys Knsrukcja razu w perspekywie jednrzuwej prsej nierzuujacej d prspadłej d nierzuującej i niewarswwej płaszczyzny γ. Na rys.3.35 rzu d. dwzrwywanej prsej d γ wykreśln jak dwlną prsą przechdzącą przez d i na niej wyróżnin ślad łwy d prsej d w psaci dwlneg punku właściweg różneg d d. 141

26 142 Jak sygnalizwan na pcząku niniejszeg paragrafu, knsrukcja zapisana na rys.3.35 mże yć punkem wyjścia d dwzrwania w perspekywie jednrzuwej dwóch dwlnych prsych wzajemnie prspadłych raz dwóch dwlnych płaszczyzn związanych relacją prspadłści. I ak, na rys.3.36, ędącym w fazie wyjściwej kpią rys.3.35 (a więc zapisem prsej d prspadłej d płaszczyzny γ), wykreśln perspekywy jednrzuwe; - prsej nierzuującej i niewarswej g γ, kóra leżąc w płaszczyźnie γ d jes prsą prspadłą d d, - płaszczyzny nierzuującej i niewarswwej δ d, kóra przechdząc przez prsą d γ jes płaszczyzną prspadłą d γ. Rys Przykłady perspekyw jednrzuwych dwóch prspadłych i nierzuujacych prsych g i d raz dwóch nierzuujących i prspadłych płaszczyzn γ i δ apis w perspekywie jednrzuwej złżnych zależnści niemiarwych i miarwych Pznane dąd knsrukcje dają mżliwść zapisu w perspekywie jednrzuwej figur gemerycznych definiwanych przez zesawy ich złżnych właściwsci miarwych i niemiarwych. Przykład eg rdzaju zapisu pkazan na rys.3.37, gdzie dwzrwan w perspekywie jednrzuwej sżek rwy wiedząc, że: - dana prsa l( l, l ) jes sią sżka,(rzu l wykreśln linią punkwą), - wyróżniny w l punk Q jes śrdkiem kła pdsawy sżka, - krąg e ) graniczający kł pdsawy sżka jes syczny d zadanej płaszczyzny β (z β, β ), - wyskść WQ sżka ma długść 2,5r, gdzie r jes długścią prmienia kręgu e ), - wierzchłek W sżka leży za płaszczyzną jeg pdsawy ze względu na usalne umwą zwry wszyskich prsych rzuujących nie zawarych w płaszczyźnie zniknienia ζ. 142

27 143 Rys Knsrukcja perspekywy jednrzuwej sżka rweg danej si l Klejnymi czynnściami knsrukcyjnymi zrealizwanymi na rys.3.37 są: - dwzrwanie płaszczyzny rzuującej ε* prspadłej d l (prównaj z rys.3.34), (zapis za pmcą cienkich linii ciągłych), - wykreślenie razu prsej p przechdzącej przez punk Q, (przy załżeniu, że Q = p l), ( prównaj z rysa.3.17a), i równległej d płaszczyzny ε (prównaj z rys.3.26c),(zapis za pmcą cienkich linii ciągłych), - dwzrwanie płaszczyzny ε przechdzącej przez p i równległej d ε* (prównaj z rys.3.26e), (zapis za pmcą cienkich linii ciągłych), ε* l i ε ε *, więc ε l, pnad pnieważ Q p i p ε, więc Q ε, sad ε jes płaszczyzną kła pdsawy dwzrwywaneg sżka, - wykreślenie razu prsej = β ε, ędącej zgdnie z emaem rzwiązywaneg przykładu, prsą syczną d kręgu rzegweg e ) kła pdsawy sżka (prównaj z rys.3.18), (zapis za pmcą cienkich linii ciągłych), - sknsruwanie kładu płaszczyzny ε wraz z wyróżninym w niej punkem Q i prsą ( prównaj z rys.3.31), (zapis za pmcą cienkich linii kreskwych), - naryswanie kładu e ) ε kręgu rzegweg e ) kła pdsawy sżka ; kręg e ) ε ma śrdek w punkcie Q ε i jes syczny d prsej ε ; długść prmienia kręgu e ) ε równa jes R = ρ(q ε, ε ), (zapis za pmcą cienkich linii kreskwych), 143

28 144 - sknsruwanie rzuu perspekywiczneg - śrdkweg e ) kręgu e ) ; rzu e ) jes elipsą, kórą wyznaczn za pmcą figury ędącej sumą rzuów śrdkwych: a) leżąceg w prsej prspadłej d ε, dcinka średnicweg I, II kręgu e ), ) sycznych c i d d kręgu e ) dpwiedni w punkach I i II, c) punku III ędąceg punkem sycznści prsej d kręgu e ) (zapis za pmcą cienkich linii ciągłych), - wykreślenie kładu γ rzuującej płaszczyzny γ przechdzącej przez prsą l, ze szczególnym uwzględnieniem kładu l γ prsej l i leżąceg w niej punku Q (prównaj z rys.3.29), (zapis za pmcą cienkich linii wielpunkwych), - wyróżnienie w kładzie l γ prsej l dwóch punków W γ 1 i W γ 2 mających ę właściwść, że W γ 1 W γ 2, zaś Q γ W γ 1 = Q γ W γ 2 = 2,5R, gdzie R jes długścią prmienia kręgu e ) ; punky W γ 1 raz W γ 2 są kładami dwóch ereycznie mżliwych wierzchłków sżka, - uzupełnienie kładu γ płaszczyzny γ kład g γ krawędzi g = γ ε, przy uwzględnieniu, że g = γ ε, zaś g = γ z ε (zapis za pmcą cienkich linii wielpunkwych), γ - wykreślenie prsych w 1 ( γ, W γ γ 1 ) raz w 2 ( γ, W γ 2 ) ędących kładami prsych rzuujących punky W 1 raz W 2, (zapis za pmcą cienkich linii wielpunkwych), a nasępnie wyróżnienie: a) w prsej w γ 1 punków γ, W 1 = W γ 1 = w 1 τ, G γ 1 = w γ 1 g γ = (w 1 ε) γ raz W γ 1, ) w prsej w γ 2 punków γ, W 2 = W γ 2 = w 2 τ, G γ 2 = w γ 2 g γ = (w 2 ε) γ raz W γ 2, - zrienwanie kładów w γ 1 raz w γ 2 prsych rzuujących w 1 raz w 2 zgdnie z wcześniej przyjęymi zasadami ( prównaj rys.2.28), ak ay w prsej w γ 1 punk γ pprzedzał punk W 1 = W γ 1 ( w prsej w γ 2 punk γ pprzedzał punk W 2 = W γ 2 ), - przeanalizwanie układów punków wyróżninych w prsych w γ 1 raz w γ 2 w celu wskazania kładu eg z dwóch mżliwych wierzchłków W 1 raz W 2 sżka, kóry zgdnie z załżeniem rzwiązywaneg przykładu leży za płaszczyzną ε pdsawy sżka ; z zapisu dknaneg na rys.3.37 wynika, że punk W γ 1 leżąc w prsej w γ γ 1 za punkem G 1 ędącym kładem punku G 1 = w 1 ε jes kładem wierzchłka W 1 sżka leżąceg w ryginale za płaszczyzną ε pdsawy sżka, γ - pdniesienie z kładu płaszczyzny γ punku W 1 l γ, czyli wyznaczenie rzuu śrdkweg W 1 wyraneg wierzchłka W 1 sżka, (zapis za pmcą cienkich linii wielpunkwych), - wykreślenie rzuów śrdkwych zw. wrzących zarysu sżka w knsruwanej perspekywie jednrzuwej; rzuy e są dcinkami sycznych pprwadznych z punku W 1 d elipsy e ) (zapis za pmcą gruych linii ciągłych), - usalenie widcznści sżka w sknsruwanej perspekywie jednrzuwej (azując na gólnych zasadach zilusrwanych rys.2.28, 2.29 i 2.30) i zróżnicwanie przedsawień graficznych razów linii widcznych i niewidcznych na sżku pprzez zasswanie dpwiedni gruych linii ciągłych względnie cienkich linii kreskwych; pnieważ w rzwiązywanym przykładzie załżn, że wierzchłek W 1 sżka leży za płaszczyzną ε pdsawy eg sżka, więc krąg rzegwy e ) kła pdsawy sżka zaliczny zsaje d figury składwej widcznej sżka, w kórej zaware są również jeg wrzące zarysu. Wec eg wszyskie linie kszałujące rzu sżka kreśli się uaj gruymi liniami ciągłymi. 144

29 emay zadań sprawdzających 3/1. Wykreśl perspekywę jednrzuwą figury: A) Γ m A, B) Γ k B, zdefiniwanej na rys.3.38 pprzez zapis umwny. W rzwiązaniu przyjmij, że wyjściw w perspekywie jednrzuwej dane są(rys.3.39): - śladwy raz płaszczyzny prównawczej δ, - kład płaszczyzny δ z wyróżninymi w nim kładami danej prsej m lu k raz punku A lu B lu C. a) ) c) k0 e0 W3 C /0 B0 A0 m0 3/ k0 C0 c) d) d) k0 C0 W3 4/ /0 1 B0 A0 m0 C0 e) f) g) k0 C /0 B0 2/ /0 e0 2 2/ /0 W 3 2 A /0 e1 W 4 e0 W4 W4 B0 A0 m0 B0 A0 m0 k0 A0 k0 k0 k / C C0 m0 m0 Rys apisy umwne figur rzważanych w zadaniu 3/1 e1 B0 C0 2/ /0 4/0 e0 W3 e0 W3 e1 W4 B0 A0 m0 B0 A0 m0 B0 A0 m0 a) ) c) d) s zδ zδ s s zδ s zδ τ τ s δ B = B δ s δ C = C τ δ s A = A δ τ δ A s δ = A δ δ m δ k m δ δ k Rys ałżenia d knsrukcji perspekywy jednrzuwej figury Γ rzważanej w zadaniu 3/1 145

30 146 Rzwiązanie zadania 3/1A dla załżeń pdanych na rys. 3.38g i rys.3.39c Czynnści knsrukcyjne zmierzające d wykreślenia perspekywy jednrzuwej danej figury Γ m A są analgiczne d ych, kóre zrealizwan na rys.3.37 zapisując w perspekywie jednrzuwej sżek. Przeieg ych czynnści jes nasępujący (rys.3.40a,). a) C /0 e0 W3 B0G2 A0 m0 ) α δs s z α W s s p W s G s W β G β s zδ m s s m τ β s δ A = A k δ e δ e s s l s s K K δ L s C s B s F s s sb p s p B β β δ δ E δ l δ L δ F δ s c s c B δ m δ p δ C δ s zβ Rys ałzenia d rzwiązywaneg zadania rys.a, knsrukcja perspekywy jednrzuwej figury Γ zdefiniwanej na rys.a rys. β s s n 146

31 147 a) W danym kładzie płaszczyzny δ kreśli się kład δ m δ A δ figury płaskiej m A ędącej figurą przysającą d przedsawienia graficzneg figury Γ m A w pdanym na rys.3.38g zapisie umwnym. Uwaga: Kład płaszczyzny δ zrealizwan na rys.3.40 pprzez ró ej płaszczyzny wkół jej śladu łweg ką rzwary. aki ró pzwala dknać zapisu działań knsrukcyjnych wyknywanych w kładzie δ δ pza ręem przewidywaneg zapisu efeków ych działań w perspekywie jednrzuwej. Rzwiązanie akie z jednej srny plepsza czyelnść sprządzneg rysunku, ale jedncześnie pwduje kniecznść przedsawienia w kładzie ziru figur zawarych w δ w psaci jeg dpwiednika dwrnie przysających d ryginałów. W związku z ym na rys.3.40 kład δ m δ A δ wykreśln jak figurę dwrnie przysająceg d ryginału daneg na rys.3.40a. ) W parciu dany kład δ m δ A δ knsruuje się rzu perspekywiczny figury m A, c saje się mżliwe p wyznaczeniu rzuów perspekywicznych wszyskich punków charakeryzujących srukurę rzważanej figury (prównaj z rys.3.38) Przykładw dla wyznaczenia rzuu perspekywiczneg narża B figury wyróżnia się w kładzie płaszczyzny δ kład p δ pmcniczej prsej p przechdzącej przez B (na rys.3.40 p = BC). Nasępnie knsruuje się rzu perspekywiczny prsej p wiedząc, że p = p δ δ zaś p = z δ ( δ p δ ), gdzie p δ jes punkem niewłaściwym prsej p δ ; p = p p δ. Przecięcie prsej p z wiążącą s B (B δ, δ ) daje rzu perspekywiczny B punku B. War jeszcze zwrócić uwagę, że pmcnicza prsa p(b,c) mże yć przydana d wyznaczenia rzuu C narża C; C p s C, gdzie s C jes wiążącą kładu i rzuu perspekywiczneg punku C. w analgiczny spsó knsruuje się rzuy perspekywiczne pzsałych punków usalających srukurę figury. Pnieważ w skład figury wchdzi łuk kręgu e ) śrdku, więc jeg rzuem perspekywicznym jes sżkwa e), dla kórej należy usalić figurę ją wyznaczającą. W przypadku syuacji pkazanej na rys.3.40 figurą ą jes średnica K L ( syczne d e ) w punkach K i L są równległe d δ ) raz kreślny wcześniej punk F ( ewenualnie E ). Pprawnść ak wyróżninej figury wyznaczającej e ) wynika z faku, że punky K i L są rzuami perspekywicznymi punków K δ i L δ zawarych w średnicy kręgu e ) δ prspadłej d δ. yczne d e )δ w ak wyróżninych punkach są równległe d δ a więc warswwe w rzuwaniu śrdkwym sswanym w rzważanej perspekywie. Gwaranuje zachwanie równległści ych sycznych przez ich rzuy perspekywiczne. Prsa K L jes więc średnicą sżkwej e ), a syczne d e ) w punkach K i L są równległe d δ i graniczają pasm płaszczyzny, d kóreg należy punk F (E ).Wec eg e ) jes elipsą i jej łuk wchdzący w skład figury kreśli się wykrzysując ddakwe punky wyróżnine spsem wskazanym na rys c) Wyznacza się rzuy perspekywiczne wszyskich charakerysycznych dla srukury figury m A punków leżących przed płaszczyzną pdsawy δ w dległściach kreślnych w danym dwzrwaniu umwnym figury Γ m A. W ym celu ssując knsrukcję analgiczną d zaprezenwanej na rys.3.35 usala się rzu perspekywiczny śladu ziegu n wspólneg dla wszyskich prsych prspadłych d płaszczyzny δ. W dalszym ciągu przez wszyskie punky płaszczyzny δ, nad kórymi leżą punky charakerysyczne figury Γ, 147

32 148 prwadzi się prse prspadłe d płaszczyzny δ. akim punkem jes np. punk B, nad kórym w dległści dwóch jednsek leży narże G figury Γ. Na raz perspekywy prsej B i δ, składa się jej rzu perspekywiczny =B n, rzu śladu ziegu = n raz ślad łwy, usalny przy uwzględnieniu, że prsa przecina się w punkcie B z wcześniej wyróżniną prsą p. Prse p i wyróżniają płaszczyznę a, z a = p n, a a i p a ; saecznie = a. Klejną czynnścią jes dwzrwanie dcinka, kóreg kniec G leży przed płaszczyzną δ w dległści dwóch jednsek. W ym celu wprwadza się pmcniczą płaszczyznę rzuującą β przechdzącą przez i dknuje się kładu ej płaszczyzny łącznie z prsą raz punkami B i. Na kładzie wyróżnia się dcinek, kóreg kniec G leży w ej samej srnie prsej (βδ) c punk i jes dległy d B dwie jednski. Uwaga: Na prsej usaln jeszcze jeden punk wyznaczający z punkem B dcinek zawierający dcinek i mający długść rzech jednsek. Rzu perspekywiczny eg punku jes przydany w knsrukcji rzuu perspekywiczneg wierzchłka W sżka, kóreg część wchdzi w skład figury Γ; = ( ). Prsa wiążąca G w przecięciu z rzuem daje rzu perspekywiczny G narża G figury Γ. Pnieważ charakerysyczne punky srukury figury Γ nie leżące w płaszczyźnie prównawczej δ wznszą się pnad ę płaszczyznę na wyskść dwóch lu rzech jednsek, więc sknsruwane sani rzuy perspekywiczne punków G i pzwalają w prsy spsó wyznaczyć rzuy perspekywiczne pzsałych punków charakerysycznych figury Γ. Przykładw rzu W sżka wchdząceg w pewnej części w skład dwzrwywanej figury knsruuje się jak punk przecięcia rzuu l (, n ) si l eg sżka z prsą równległą d prsej B pprwadzną przez rzu pmcniczeg punku leżąceg w i ddalneg d płaszczyzny prównawczej rzy jednski, czyli yle, ile dległy jes d ej płaszczyzny dwzrwywany wierzchłek W (parz rys.3.40a) d) knsruwane rzuy perspekywiczne figury Γ raz figury m A łączy się dpwiednimi dcinkami rzymując łącznie z rzuem rzuy perspekywiczne charakerysycznych linii, kóre graniczają elemeny dwuwymiarwe składające się na rzu perspekywiczny rzegu figury Γ. Uwaga: W przypadku rzuu perspekywiczneg części sżka wchdząceg w skład figury Γ liniami kreślającymi en rzu są, prócz łuku elipsy rzegwej pdsawy, ddakw rzuy wrzących rzegwych raz rzu zw. wrzącej zarysu, kóry jes dcinkiem sycznej pprwadznej z punku W d elipsye ). Czynnścią kńczącą zapis figury Γ m A w perspekywie jednrzuwej jes usalenie i zapis widcznści ej figury w sswanym rzuwaniu śrdkwym. W ym celu dknuje się przyliżnej resyucji figury Γ m A względem aparau perspekywy jednrzuwej. Ław zauważyć, że dwzrwywana figura ma akie ułżenie, że wyróżnina w związku z nią prsa m leży d srny śrdka rzuwania Rw namias wszyskie punky figury Γ usyuwane nad płaszczyzną δ należą d ej samej srny płaszczyzny δ c śrdek. Wec 148

33 149 eg serwar parzący na figurę Γ ze śrdka widzi w pierwszym planie część sżka wierzchłku W raz, jak zawsze, wszyskie linie charakeryzujące srukurę figury Γ, kórych rzuy śrdkwe składają się na rzeg rzuu Γ. Bazując na sfrmułwanych przesłankach definiuje się część widczną figury Γ i linie charakeryzujące srukurę ej części wyróżnia się w rysunku rzuu Γ gruymi liniami ciągłymi. Namias pnieważ raz figury Γ w perspekywie jednrzuwej mżna prakwać jak rysunek pglądwy ej figury, więc rzuy śrdkwe linii niewidcznych figury Γ nie są ekspnwane w saecznym zapisie rzuu Γ (rys.3.40). 149