4. PERSPEKTYWA STOSOWANA PIONOWA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "4. PERSPEKTYWA STOSOWANA PIONOWA"

Transkrypt

1 4. PERPEKTYWA TOOWANA PIONOWA 151 Perspektywa jednorzutowa, jako metoda sporządzania przedstawień perspektywicznych, czyli konstruowania restytuowalnych rzutów środkowych obiektów przestrzeni M 3, jest metodą typowo teoretyczną. Nie znalazła ona szerszego zastosowania w kreśleniu rysunków poglądowych użytecznych w dokumentacjach technicznych. Jest to wynikiem braku nawiązania właściwości aparatu odwzorowania tej metody do powszechnie stosowanych w opisach i definiowaniu obiektów przestrzeni fizykalnej pojęć pionu i poziomu. Mankamentu tego nie ma kolejna z omawianych w niniejszym skrypcie metod dochodzenia do poglądowych przedstawień graficznych figur przestrzeni M 3 zwana tutaj perspektywą stosowaną lub pionową. Pojęcia pionu i poziomu, rozumiane w sensie fizykalnym, odgrywają podstawową rolę w formułowaniu zasad kształtowania aparatu odwzorowania tej metody. Nie mniej jednak, elementy zapisu za pomocą perspektywy jednorzutowej mogą pełnić rolę wspomagającą w odwzorowaniach niektórych figur i relacji przy zastosowaniu perspektywy stosowanej. Takie rozwiązania prowadzą często do istotnych uproszczeń realizowanego odwzorowania np. w zakresie odwzorowania par podprzestrzeni prostopadłych czy równoległych. Ponadto zasadność wzmiankowanego wspomagania perspektywy stosowanej zapisem opartym na perspektywie jednorzutowej, wynika z faktu, że fundamentalny w perspektywie jednorzutowej układ śladowy {τ,µ } jest obecny również w odwzorowaniu za pomocą perspektywy stosowanej, o ile założy się, że rzutnie tła rzutowań środkowych w obu tych perspektywach jednoczą się z jedną i tą samą płaszczyzną właściwą τ zawierającą, wykorzystywaną do graficznego zapisu obrazów, powierzchnię arkusza rysunkowego Założenia metody Aparat odwzorowania przestrzeni M 3 za pomocą perspektywy stosowanej pionowej składa się z (rys.4.1): - aparatu {τ,} rzutowania środkowego Rs, którego rzutnia tło τ jest właściwą płaszczyzną pionową, - aparatu {π, p } rzutowania prostokątnego Rp, którego rzutnia π jest właściwą płaszczyzną poziomą (a więc prostopadłą do tła τ), usytuowaną w ten sposób, że środek rzutowania Rs leży przed rzutnią π z uwagi na zgodny ze zwrotem sił grawitacji ziemskiej zwrot prostej kierunkowej k p ustalającej środek p rzutowania Rp.

2 152 Rys.4.1. truktura aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej pionowej Rzutowanie Rs jest w omawianej obecnie metodzie odwzorowania rzutowaniem zasadniczym, dającym obrazy perspektywiczne odwzorowywanych figur przestrzeni M 3. w postaci sumy tzw. rzutów zasadniczych punktów tych figur. Natomiast rzutowanie prostokątne Rp pełni tutaj rolę przekształcenia pomocniczego. Jego efekty są odwzorowywane wtórnie za pomocą rzutowania Rs, co prowadzi do ustalenia w tle τ tzw. (złożonych) rzutów pomocniczych. Rzuty te razem z rzutami zasadniczymi składają się na restyuowalny zapis graficzny na tle τ figur przestrzeni M 3. Jak wspomniano na wstępie niniejszego rozdziału, w pewnych sytuacjach pomocne jest powiększenie aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej (podobnie jak to miało miejsce w perspektywie jednorzutowej) o układ śladowy {τ,µ } złożony z płaszczyzny τ tła oraz z niewłaściwej płaszczyzny µ odwzorowywanej przestrzeni M 3. Przy ukształtowanym w opisany powyżej sposób w przestrzeni M 3 aparacie perspektywy stosowanej pionowej każdemu punktowi A M 3 przypisane zostają (rys.4.2): - rzut zasadniczy A = τ (AO) = Rs(A), - rzut prostokątny A = π (AO p ) = Rp(A), - (złożony) rzut pomocniczy A = τ (A O). Jeżeli odwzorowywany punkt A nie należy do tzw. prostej dwurzutującej (O p ) realizowanej perspektywy stosowanej, to wyznacza on wraz z tą prostą tzw. płaszczyznę dwurzutującą σ A = A O O p. Łatwo zauważyć, że rzut zasadniczy σ A oraz rzut pomocniczy σ A płaszczyzny σ A jednoczą się w prostej pionowej (bo przechodzącej przez p ), do której należą rzuty zasadniczy A oraz pomocniczy A odwzorowywanego punktu A (rys.4.2).

3 153 Rys.4.2. Właściwości obrazu w perspektywie stosowanej punktu A nie należącego do dwurzutującej prostej ( O p ) Tradycyjnie prostą σ A = σ A nazywa się odnoszącą rzutów punktu A. Odnoszące rzutów zasadniczych i pomocniczych wszystkich punktów przestrzeni M 3 składają się na pęk prostych < p,τ>, w którym proste właściwe są w sensie fizykalnym prostymi pionowymi. Należy podkreślić, że: elementy pary {A,A } punktów tła τ mogą być uznane za rzuty zasadniczy i pomocniczy jednego i tego samego punktu A M 3, gdy rozważane punkty leżą w jednej odnoszącej (rys.4.3).

4 154 p A o O h A' p Rys.4.3. Przykład obrazu punktu A M 3 w odwzorowaniu za pomocą perspektywy stosowanej (zapis zrealizowano przy założeniu, że tło τ jest płaszczyzną zawierającą powierzchnię arkusza rysunkowego) Niech w dalszym ciągu na tle τ dane będą rzuty A i A różne od środka p rzutowania prostokątnego Rp (rys.4.4). Rys.4.4. Ilustracja zasad restytucji punktu A na podstawie danych w tle t rzutów A i A tego punktu różnych od p Tak ustalone rzuty wyznaczają ze środkiem rzutowania zasadniczego Rs dwie proste s A = O A oraz s A = O A zawarte w płaszczyźnie σ A = O A O A. Z kolei prosta s A przebijając rzutnię π określa w tej rzutni rzut prostokątny A (ze środka p ), który wraz ze środkiem p rzutowania Rp ustala prostą r A. Prosta ta wraz z prostą s A jest zawarta w

5 płaszczyźnie σ A. Ponieważ r A s A ( bo p s A ), więc proste r A i s A mają dokładnie jeden punkt wspólny, będący oryginałem restytucją odwzorowanego w perspektywie stosowanej punktu A ; A = s A r A. Wykazano zatem, że: 155 perspektywa stosowana pionowa jest w zbiorze punktów przestrzeni M 3 pomniejszonej o zbiór (( O p )/( p )) odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, czyli restytuowalnym. W nawiązaniu do aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej wyróżnia się i tradycyjnie nazywa następujące podprzestrzenie (rys.4.5): - rzutnię π zwaną płaszczyzną podstawy, - prostą p = π τ zwaną prostą podstawy, krócej podstawą, - płaszczyznę χ π i χ zwaną płaszczyzną horyzontu, - prostą h = χ τ zwaną prostą horyzontu, krócej horyzontem. Rys.4.5. Nazewnictwo podprzestrzeni wyróżnianych w nawiązaniu do aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej. Oczywiście proste p i h (podstawa i horyzont) są w sensie fizykalnym prostymi poziomymi, a prosta h przechodzi przez punkt centralny O τ perspektywy. Uwzględniając w strukturze aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej układ śladowy {τ,µ } łatwo zauważyć, że (rys.4.5): a) horyzont h jest rzutem zasadniczym płaszczyzny horyzontu χ zjednoczonym ze śladem tłowym oraz z rzutem zasadniczym śladu zbiegu tej płaszczyzny, b) horyzont h jest rzutem zasadniczym śladu zbiegu płaszczyzny podstawy π, c) w podstawie p jednoczą się ślad tłowy płaszczyzny podstawy π oraz rzuty pomocnicze śladów zbiegu płaszczyzn horyzontu χ i płaszczyzny podstawy π. Wyróżnienie w tle τ linii horyzontu h oraz linii podstawy p pozwala, między innymi, podać szczególne właściwości obrazów perspektywicznych punktów zbioru M 3 /( p ) charakterystycznie usytuowanych względem elementów aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej. Mianowicie (rys.4.6):

6 156 B E = E E ' C C ' B' o O F D= D' F ' h p B - dowolny punkt niewłaściwy C - dowolny punkt właściwy D - własciwy punkt rzutni π E - punkt właściwy należący do F - punkt właściwy należący do płaszczyzny horyzontu Rys.4.6. Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej punktów należących do zbioru M 3 /( p ) charakterystycznie usytuowanych względem elementów aparatu odwzorowania zastosowanej perspektywy - w przypadku niewłaściwego punktu B M 3 /( p ) rzut pomocniczy B tego punktu należy do horyzontu h; dzieje się tak dlatego, że rzut prostokątny B zachowuje rodzaj oryginału i jest tym samym punktem niewłaściwym rzutni π. Rzut ten wraz ze środkiem rzutowania zasadniczego Rs wyznacza prostą s B zawartą w płaszczyźnie χ horyzontu. Ponieważ h = χ τ, więc B = s B τ = s B h i tym samym B h, - w przypadku właściwego punktu C M 3 /( p ) charakterystyczną cechą jego obrazu jest nie należenie rzutu pomocniczego C do horyzontu h; istotnie ponieważ rzutem prostokątnym C rozważanego punktu C jest tutaj punkt właściwy rzutni π, więc prosta s C = C O nie jest równoległa do π i tym samym nie jest zawarta w płaszczyźnie χ horyzontu, stąd rzut pomocniczy C = s C τ nie należy do prostej horyzontu h = χ τ, - gdy punkt D należy do rzutni π, to jego rzut prostokątny na π jednoczy się z D i tym samym rzuty zasadniczy D oraz pomocniczy D są tym samym punktem, - jeżeli odwzorowywany punkt E jest punktem tła τ, różnym od środka p rzutowania prostokątnego Rp, to jego rzut prostokątny E należy do podstawy p = τ, a więc cechą charakterystyczną obrazu rozważanego punktu w perspektywie stosowanej jest należenie rzutu pomocniczego E do prostej podstawy p, - w przypadku punktu F leżącego w płaszczyźnie horyzontu χ pomniejszonej o środek rzutowania Rs, prosta rzutująca s F = F O zawarta jest w płaszczyźnie horyzontu χ i tym samym obraz rozważanego punktu wyróżnia się tym, że jego rzut zasadniczy F jest punktem leżącym w horyzoncie h. Należy zauważyć, że środki i p rzutowań Rs i Rp jako elementy aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej są wraz z tym aparatem jednoznacznie ustalone w przestrzeni M 3, przy czym = p = Ø, = p, p = p (rys.4.7).

7 157 Rys.4.7. Obrazy perspektywiczne środków i p rzutowań zasadniczego Rs i prostokątnego Rp Natomiast w przypadku punktów leżących w prostej s = ( O p ), lecz różnych od i p, rzuty zasadnicze i pomocnicze tych punktów nie stanowią ich zapisu restytuowalnego w odwzorowaniu za pomocą perspektywy stosowanej. Dla uzyskania obrazu restytuowalnego, zwanego tutaj obrazem iloczynowym, tego rodzaju punktu np.g odwzorowuje się pomocniczo dwa różne i współliniowe z G punkty np. K i L nie należące do s (, p ), (rys.4.8). Punkty K i L wyznaczaja prostą g = K O L, która przecinając prostą s (, p ) ustala jednoznacznie rozważany punkt G, którego rzuty zasadniczy G oraz pomocniczy G jednoczą się ze środkiem p rzutowania Rp. Rys.4.8. truktura obrazu iloczynowego w perspektywie stosowanej punktu G leżącego w prostej s (, p ), lecz różnego od i p. Uwaga: Umieszczone na rys.4.8. dolne prawe indeksy G w opisie rzutów zasadniczych i pomocniczych punktów K i L informują, że punkt G jest współliniowy z punktami K i L.

8 Kolejnym zagadnieniem godnym wyeksponowania w rozważaniach dotyczących perspektywy stosowanej jest konstrukcja obrazów restytuowalnych w tej perspektywie prostych przestrzeni M 3. W celu uchwycenia charakterystycznych właściwości takich obrazów, dokonuje się w pierwszej kolejności podziału rodziny wszystkich prostych przestrzeni M 3 na podzbiory, których elementy zajmują podobne położenia względem części składowych aparatu odwzorowania rozważanej perspektywy. Wzorując się przede wszystkim na podziałach zrealizowanych wcześniej w trakcie omawiania właściwości rzutowań wiązkowych, w rodzinie prostych przestrzeni M 3 odwzorowywanych w perspektywie stosowanej wyróżnia się następujące podzbiory: - podzbiór prostych rzutujących, to jest prostych przechodzących przez środek rzutowania zasadniczego Rs, lecz rozłącznych ze środkiem p pomocniczego rzutowania prostokątnego Rp, Uwaga: Wśród prostych rzutujących wyróżnia się prostą o prostopadłą do tła τ, którą nazywa się centralną prostą rzutującą, - podzbiór prostych p rzutujących, zwanych też prostymi pionowymi, to jest prostych przechodzących przez środek p rzutowania prostokątnego Rp, lecz rozłącznych ze środkiem rzutowania zasadniczego Rs, - podzbiór prostych dwurzutujących, redukujący się do jednej prostej s (, p ), - podzbiór prostych warstwowych, zwanych też prostymi czołowymi, które są równoległe do tła τ, lecz nie równoległe do płaszczyzny podstawy π i nie zawarte w płaszczyźnie zniknienia ζ rzutowania zasadniczego Rs, - podzbiór prostych p warstwowych, zwanych też prostymi poziomymi, złożony z prostych równoległych do płaszczyzny podstawy π, lecz nie równoległych do tła τ i nie przechodzących przez środek rzutowania Rs, Uwaga: Wśród prostych poziomych wyróżnia się podzbiór tzw. prostych celowych, tj. prostych prostopadłych do tła τ. - podzbiór prostych dwuwarstwowych, równoległych zarówno do tła τ jak i do płaszczyzny podstawy π, lecz nie zawartych w płaszczyźnie zniknienia ζ rzutowania Rs, - podzbiór prostych profilowych, tj. prostych przecinających prostą s (, p ) w punktach różnych od środków i p rzutowań Rs i Rp, - podzbiór prostych ogólnych usytuowanych nieszczególnie względem elementów aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej, w tym względem prostej s (, p ). Podane definicje rodzajów prostych odwzorowywanych za pomocą perspektywy stosowanej, łącznie z wcześniej ustalonymi właściwościami obrazów odwracalnych punktów przestrzeni M 3 uzasadniają wykreślone na rys obrazy perspektywiczne przedstawicieli wyróżnionych rodzajów prostych. Na rys zaznaczono dodatkowo (przydatne w niektórych działaniach konstrukcyjnych) obrazy śladów tłowych i śladów zbiegu odwzorowanych prostych. Ślady te spełniają szczególnie ważną rolę w przypadku obrazów perspektywicznych prostych profilowych (prosta m na rys.4.11). tanowią one bowiem pary punktów odwzorowywanych prostych pozwalających dokonać jednoznacznej restytucji tych prostych względem aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej ( podobnie jak to miało miejsce w przypadku punktów K i L na rys.4.8). 158

9 159 Rys.4.9. Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej prostych rzutujących Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej prostych warstwowych

10 160 Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej prostych niewarstwowych i nierzutujących: właściwych rys.a, niewłaściwej n rys.b Analizę struktury obrazów w perspektywie stosowanej pionowej płaszczyzn przestrzeni M 3 poprzedza się wskazaniem konstrukcji obrazów w tym odwzorowaniu punktów należących do zadanych prostych. Jeżeli obrazy np. punktu B i prostej a związanych relacją należenia składają się z samych rzutów zasadniczych i pomocniczych odwzorowywanych podprzestrzeni, to z restytuowalności tych obrazów wynika, że w rozważanej sytuacji punkt B należy do prostej a wtedy i tylko wtedy, gdy B a oraz B a. Przykłady obrazów perspektywicznych tego rodzaju par {a,b} pokazano na rys Rys Przykłady obrazów perspektywicznych punktu B i prostej a powiązanych relacją należenia, w przypadku, gdy a s (, p ) s /{, p } Nieco bardziej skomplikowany jest zapis w perspektywie stosowanej obrazu punktu B należącego do prostej profilowej a wyznaczonej przez dwa jej różne punkty, np. ślady tłowy T a i zbiegu Z a. W tym przypadku konieczne jest uwzględnienie związku rzutowości między szeregami punktów a (T a =T a,z a,a,...) oraz a (T a,z a,a,...), w których odpowiadające sobie punkty niewłaściwe A = A są rzutami jednoznacznie ustalonego w

11 prostej a punktu A = a s (, p ), zaś poszukiwane rzuty punktu B a są elementami odpowiadającymi sobie w rozważanych szeregach. Innymi słowy: punkt B należy do prostej profilowej a(t a,z a ), gdy a (T a,z a,a,b...) a (T a,z a,a, B...),(rys.4.13). Konstrukcję opartą na sformułowanej ostatnio zależności pokazano na rys Rys Konstrukcja obrazu w perspektywie stosowanej punktu B należącego do prostej profilowej a(t a,z a ) Następnym z podstawowych zagadnień w zapisie przestrzeni M 3 za pomocą perspektywy stosowanej jest sprawa odwzorowań, czyli konstrukcji obrazów restytuowalnych płaszczyzn tej przestrzeni. Podobnie jak w ostatnio omawianym przypadku odwzorowań prostych przestrzeni M 3, tak i obecnie, analizę struktury obrazów płaszczyzn należy poprzedzić wyróżnieniem podzbiorów płaszczyzn, których elementy charakteryzują się analogicznymi położeniami względem części składowych aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej. Mamy więc płaszczyzny: - rzutujące, tj. płaszczyzny przechodzące przez środek rzutowanie zasadniczego Rs: wśród takich płaszczyzn wyróżnia się płaszczyzna χ horyzontu oraz płaszczyzna ζ zniknienia w rzutowaniu Rs, - p rzutujące, zwane też płaszczyznami pionowymi, mające tę właściwość, że wszystkie one przechodzą przez środek p rzutowania prostokątnego Rp: do zbioru płaszczyzn p rzutujących zalicza się tzw. płaszczyzny - warstwowe, zwane też tradycyjnie płaszczyznami czołowymi, które są równoległe do płaszczyzny τ tła, - dwurzutujące, tj. płaszczyzny zawierające prostą dwurzutującą s (, p ): zjednoczone rzuty zasadnicze oraz pomocnicze tego rodzaju płaszczyzn są tzw. odnoszącymi rzutów zasadniczych i pomocniczych punktów przestrzeni M 3, - nierzutujące, tj. płaszczyzny rozłączne ze środkami i p rzutowań Rs i Rp; w zbiorze płaszczyzn nierzutujacych wyróżnia się tzw. płaszczyzny poziome, tzn. różne od płaszczyzny horyzontu χ płaszczyzny równoległe do płaszczyzny podstawy π, a także tzw. płaszczyzny celowe prostopadłe do tła τ lecz nie przechodzące przez środek rzutowanie Rs. Z ogólnych właściwości rzutowania wiązkowego, w tym środkowego i prostokątnego, oraz z faktu, że przekształcenie płaszczyzny podstawy π na jej rzut zasadniczy π = τ jest

12 kolineacją środkową (przekształceniem wzajemnie jednoznacznym) wynikają następujące prawidłowości. 162 Obrazem w perspektywie stosowanej rzutującej płaszczyzny α jest para rzutów α oraz α tej płaszczyzny, w której α jest prostą różną od odnoszącej rzutów zasadniczego i pomocniczego punktów przestrzeni M 3, zaś α jest płaszczyzną jednoczącą się z tłem τ (rys.4.14a), gdy rzutująca płaszczyzna α jest identyczna z płaszczyzną horyzontu χ, to α = χ = h (rys.4.14b). Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej płaszczyzny rzutującej α; rys.a α χ, rys.b - α = χ. Obrazem w perspektywie stosowanej płaszczyzny p rzutujacej β jest para jej rzutów β oraz β, w której β = τ, zaś β jest prostą różną od odnoszącej rzutów zasadniczego i pomocniczego punktów przestrzeni M 3 (rys.4.15a). Jeżeli p rzutująca płaszczyzna β należy do rodziny płaszczyzn czołowych ( warstwowych), to rzut β jest prostą równoległą do podstawy p i horyzontu h (rys.415b). Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej płaszczyzny p rzutującej β; rys. a - β nie jest płaszczyzną czołową ( warstwową), rys.b.- β jest płaszczyzna czołową Obrazem w perspektywie stosowanej płaszczyzny dwurzutującej γ jest para jej rzutów γ = γ, będących:

13 163 - prostą prostopadłą do podstawy p i horyzontu h stanowiącą odnoszącą rzutów zasadniczego i pomocniczego punktu przestrzeni M 3, gdy γ jest płaszczyzną różną od płaszczyzny zniknienia ζ w rzutowaniu zasadniczym Rs (rys.4.16a), - prostą niewłaściwą tła τ, gdy γ = ζ (rys.4.16b). Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej dwurzutującej płaszczyzny γ : rys.a - płaszczyzną różną od płaszczyzny zniknienia ζ w rzutowaniu Rs, rys.b - γ = ζ. γ jest Ponieważ płaszczyzny nierzutujące nie przechodzą, przez żaden ze środków i p rzutowań Rs oraz Rp, więc rzuty zasadnicze jak i pomocnicze tego rodzaju płaszczyzn jednoczą się z tłem τ rzutowania Rs. Nie są więc w nich zapisane żadne informacje różnicujące odwzorowywane płaszczyzny. Wobec tego, podobnie jak to miało miejsce w perspektywie jednorzutowej, tak i obecnie obrazy restytuowalne (zwane też obrazami złączowymi) płaszczyzn nierzutujacych uzyskuje się w perspektywie stosowanej za pośrednictwem obrazów restytuowalnych podprzestrzeni o wymiarach mniejszych niż dwa, dobranych w ten sposób, że złącz wyróżnionych podprzestrzeni jest odwzorowywaną płaszczyzną nierzutującą. Przykładowo na rys.4.17 wykreślono obrazy odwracalne nierzutującej w perspektywie stosowanej płaszczyzny δ przy założeniu, że płaszczyzna ta jest złączem; - trzech niewspółliniowych punktów K, L i M (rys.4.17a), - punktu K i nie przechodzącej przez K prostej l (rys.4.17b), - dwóch przecinających się w punkcie K prostych m i l (rys.4.17c). Ponieważ zapisy odwzorowanych na rysunku 4.17 podprzestrzeni pomocniczych są ich obrazami restuowalnymi, zaś złącza rzutów zasadniczych oraz pomocniczych tych podprzestrzeni jednoczą się z tłem τ, wobec tego restytucje wyróżnionych przez zapis w perspektywie stosowanej podprzestrzeni wyznaczają w złączu rozważaną płaszczyznę nierzutująca δ.

14 164 Rys Przykłady obrazów złączowych w perspektywie stosowanej płaszczyzny nierzutującej δ. Uwaga: Podane na rys.4.17 dolne indeksy δ przy opisach literowych rzutów podprzestrzeni wyznaczających płaszczyznę δ sygnalizują założenie, że odwzorowane podprzestrzenie należą lub są zawarte w δ. Wśród płaszczyzn nierzutujących odwzorowywanych za pomocą perspektywy stosowanej na szczególną uwagę, ze względu na dalsze zastosowania, zasługują: - płaszczyzny równoległe do płaszczyzny podstawy π, zwane płaszczyznami poziomymi, - płaszczyzny prostopadłe do płaszczyzny tła τ, zwane płaszczyznami celowymi. W przypadku płaszczyzn poziomych ich obrazy w perspektywie stosowanej uzyskuje się najczęściej za pośrednictwem obrazów par prostych poziomych przecinających się w punkcie właściwym. Przykład takiego zapisu poziomej płaszczyzny δ pokazano na rys Na obraz płaszczyzny δ składają się tutaj obrazy poziomych prostych m i l, przecinających się we właściwym punkcie K.

15 165 Rys Przykład obrazu w perspektywie stosowanej poziomej płaszczyzny δ traktowanej jako złącz prostych poziomych m i l przecinających się w punkcie K Z kolei obraz płaszczyzny celowej w perspektywie stosowanej wygodnie jest uzyskać za pośrednictwem obrazów dwóch (równoległych) prostych celowych, których złączem jest odwzorowywana płaszczyzna. Ilustrację takiego zapisu pokazano na rys Rys Przykład odwzorowania w perspektywie stosowanej płaszczyzny celowej δ będącej złączem celowych prostych l i m Na wszystkich rysunkach przedstawiających struktury obrazów restytuowalnych w perspektywie stosowanej poszczególnych gatunków płaszczyzn przestrzeni M 3 (rys ) wykreślono również obrazy śladów tłowych i śladów zbiegu odwzorowanych płaszczyzn. Konstrukcje te wynikają z wcześniej ustalonych definicji śladów (patrz rozdział 3) oraz z zasad zapisu prostych śladowych w perspektywie stosowanej (rys ). Dodatkowego komentarza wymagają jedynie konstrukcje obrazów śladów zrealizowane na rys.4.17a,b,c, 4.18 oraz Dla wykreślenia obrazów śladów płaszczyzn odwzorowanych na tych rysunkach wyróżniono: - na rys.4.17a proste e i f zawarte w płaszczyźnie δ a wyznaczone przez pary punktów zadanych w tej płaszczyźnie, - na rys.4.17b prostą l oraz prostą e(k,z l ), - na rys.4.17c, 4.18 i 4.19 dane w δ proste l i m.

16 Następnie wyznaczono obrazy śladów wyróżnionych par prostych, a te w odpowiednich złączach określają najczęściej zarówno rzuty zasadnicze jak i pomocnicze śladów odwzorowanych płaszczyzn Zapisy śladów płaszczyzn w perspektywie stosowanej, wiążą się w pewnym zakresie z zagadnieniem odwzorowania prostych i punktów leżących w zadanej płaszczyźnie przestrzeni M 3. Zapis tej fundamentalnej relacji w przypadku punktów i prostych leżących w płaszczyznach rzutujących ( rzutujących lub p rzutujących) jest rozwiązywany w oparciu o wcześniej poznane właściwości rzutowania wiązkowego. Właściwości te zastosowane do odwzorowań metodą perspektywy stosowanej pozwalają stwierdzić, że: 166 punkt A, prosta a leżą w płaszczyźnie rzutującej β odwzorowanej za pomocą perspektywy stosowanej wtedy i tylko wtedy, gdy A,a β, zaś A,a β (rys.4.20). Rys Przykłady odwzorowania w perspektywie stosowanej punktu A oraz prostej a leżących w płaszczyźnie β : rzutującej rys.a. p rzutującel rys.b, dwurzutującej rys.c W celu odwzorowania w perspektywie stosowanej punktu np. A należącego do nierzutującej płaszczyzny γ, należy umieścić ten punkt na pewnej prostej np. e γ. Prostą tą wyróżnia się tak, aby jej punkty wspólne z podprzestrzeniami współwyznaczającymi płaszczyznę γ, lub ze złączami tych podprzestrzeni, jednoznacznie ustalały prostą e. Po wykreśleniu obrazu prostej e (składającego się najczęściej z rzutów e i e tej prostej) rzuty punktu A γ znajduje się jako rzuty punktu należącego do prostej e, stosując jedną z

17 wcześniej opisanych konstrukcji (rys.4.12, 4.13). Przykład graficznej realizacji sformułowanego ostatnio algorytmu pokazano na rys.4.21, gdzie obraz płaszczyzny nierzutującej γ, w której ustalono punkt A, uzyskano za pośrednictwem obrazów niewspółliniowych punktów K, L i M. 167 Rys Przykład konstrukcji obrazu w perspektywie stosowanej punktu A należącego do nierzutującej płaszczyzny γ (K,L,M) Umiejętność odwzorowywania w perspektywie stosowanej punktów należących do płaszczyzn nierzutujących przestrzeni M 3 otwiera teoretyczną możliwość zapisu w tej perspektywie dowolnych figur (w tym prostych) zawartych w tego rodzaju płaszczyznach Zapis w perspektywie stosowanej relacji równoległości, przecięć i złączy podprzestrzeni przestrzeni M 3 Jak wiadomo, równoległość w przestrzeni M 3 dotyczy par podprzestrzeni właściwych, w skład których wchodzą dwie proste, prosta i płaszczyzna względnie dwie płaszczyzny. Relacja ta jest równoważna identyczności lub zawieraniu się części niewłaściwych ( w odwzorowaniach perspektywicznych - śladów zbiegu) rozważanych podprzestrzeni równoległych. Poznane wcześniej właściwości obrazów w perspektywie stosowanej punktów i prostych niewłaściwych (rys.4.6 punkt B, rys.4.11b prosta n ), oraz przeanalizowane dotąd konstrukcje obrazów takich podprzestrzeni, przy założeniu ich zawierania się w zadanych prostych czy płaszczyznach, uzasadniają zapisy par podprzestrzeni równoległych dokonane na rys.4.22, 4.23 i Na rysunkach tych odwzorowano odpowiednio: - ogólne proste równoległe a i b rys.4.22, - ogólne płaszczyzny równoległe α i β rys.4.23, - ogólną prostą a równoległą do ogólnej płaszczyzny β rys.4.24.

18 168 Rys Przykład obrazu w perspektywie stosowanej dwóch ogólnych prostych równoległych a i b Rys Przykład obrazu w perspektywie stosowanej dwóch ogólnych płaszczyzn równoległych α (e,f) i β (m,n)

19 169 Rys Przykład obrazu w perspektywie stosowanej ogólnej prostej a równoległej do ogólnej płaszczyzny β (m,n) W technicznych zastosowaniach perspektywy stosowanej istotną rolę odgrywają szczególne rodzaje prostych i płaszczyzn, takie jak proste, płaszczyzny poziome, proste, płaszczyzny pionowe, proste i płaszczyzny czołowe itp. Łatwo zauważyć, że relacja równoległości, a dokładniej jej zapis w perspektywie stosowanej ma swoiste, godne wyeksponowania właściwości. Mianowicie: każde dwie proste pionowe (p- rzutujące), a także każde dwie proste celowe są parami prostych równoległych (rys.4.25), każda prosta pionowa i płaszczyzna pionowa, a także każda prosta celowa i każda płaszczyzna celowa tworzą pary podprzestrzeni równoległych (rys.4.26), każde dwie płaszczyzny poziome są równoległe (rys.4.27), każde dwie płaszczyzny czołowe są równoległe (rys.4.28), każda prosta pozioma i każda płaszczyzna pozioma, a także każda prosta czołowa i każda płaszczyzna czołowa są parami podprzestrzeni równoległych (rys.4.29), każda prosta pionowa oraz każda prosta profilowa są równoległe do każdej płaszczyzny dwurzutującej (rys.4.30), równoległość każdych dwóch prostych czołowych zastaje zachowana w ich rzutach zasadniczych i pomocniczych (rys.4.31).

20 170 Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej równoległych prostych pionowych a i b oraz równoległych prostych celowych e i f Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej: prostej pionowej a równoległej do płaszczyzny pionowej β (rys.a) prostej celowej g równoległej do płaszczyzny celowej γ (rys.b)

21 171 Rys Zapis w perspektywie stosowanej dwóch (równoległych) płaszczyzn poziomych α i β Rys Zapis w perspektywie stosowanej dwóch (równoległych) płaszczyzn czołowych α i β

22 172 Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej: prostej poziomej b równoległej do płaszczyzny poziomej α (rys.a) prostej czołowej d równoległej do płaszczyzny czołowej γ (rys.b) Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej prostej pionowej a oraz prostej profilowej c równoległych do płaszczyzny dwurzutującej γ

23 173 Rys Przykład obrazu w perspektywie stosowanej dwóch równoległych prostych czołowych a i b W dalszym ciągu niech przedmiotem prowadzonych rozważań będą zasady zapisu w perspektywie stosowanej par podprzestrzeni przecinających się oraz konstrukcje obrazów części wspólnych (iloczynów) tych podprzestrzeni. Powołując się na podstawowe właściwości rzutowania wiązkowego, w tym środkowego i równoległego można dowieść, że: jeżeli co najmniej jedna z przecinających się podprzestrzeni A i B jest w perspektywie stosowanej podprzestrzenią rzutującą lub p rzutującą, to rzut zasadniczy K względnie pomocniczy K ich części wspólnej K jest identyczny odpowiednio z iloczynem A B względnie A B. Pozostały rzut K względnie K podprzestrzeni K konstruuje się w opisanej sytuacji uwzględniając, że K A i K B i stosując odpowiednią konstrukcję przedstawioną w podrozdziale 4.1. Przykłady odwzorowań w perspektywie stosowanej par podprzestrzeni przecinających się, z których co najmniej jedna jest podprzestrzenią rzutująca lub p rzutującą pokazano na rys

24 Rys Przykłady odwzorowań w perspektywie stosowanej par prostych a i b przecinających się w punkcie K, z których co najmniej jedna jest prostą rzutującą lub p rzutującą 174

25 Rys Przykłady konstrukcji w perspektywie stosowanej obrazów par przecinających się w punkcie K podprzestrzeni będących prostą a i płaszczyzną β, z których co najmniej jedna jest podprzestrzenią rzutującą lub p rzutującą 175

26 176 Rys Przykłady odwzorowań w perspektywie stosowanej pary przecinających się w prostej k płaszczyzn α i β, z których co najmniej jedna jest płaszczyzną rzutującą lub p rzutującą Niech z kolei w parze przecinających się podprzestrzeni przestrzeni M 3, odwzorowywanych za pomocą perspektywy stosowanej, żadna nie będzie podprzestrzenią rzutującą. Przy takim założeniu podstawowymi konstrukcjami są konstrukcje rzutów punktu wspólnego pary przecinających się nierzutujących prostych oraz punktu przebicia płaszczyzny nierzutującej prostą nierzutującą. Jeżeli w parze nierzutujących prostych żadna z prostych nie jest prostą profilową, to z wcześniej omówionych zasad odwzorowywania w perspektywie stosowanej punktów należących do prostych wynika, że przecinanie się nierzutujących i nieprofilowych prostych a i b w punkcie K jest gwarantowane przez istnienie w jednej odnoszącej rzutów zasadniczych i pomocniczych, pary punktów K i K takich, że K a b zaś K a b ; punkty K i K są rzutem zasadniczym oraz pomocniczym punktu K = a b (rys.4.35).

27 177 Rys Przykłady obrazów w perspektywie stosowanej nierzutujących i nieprofilowych prostych a i b przecinających się w punkcie K Natomiast, gdy w parze prostych nierzutujących a i b zapisywanych w perspektywie stosownej, jedna np. a jest prostą profilową wyznaczoną np. przez punkty M i N, to z właściwości obrazów prostych profilowych łatwo wywnioskować, że prosta nierzutująca i nieprofilowa b przecina prosta profilową a(m,n) w punkcie K, gdy punkty K = a b oraz K = a b są odpowiadającymi sobie punktami w rzutowych szeregach punktów a (M,N,A,...) oraz a (M,N, A,...), gdzie A i A są zjednoczonymi rzutami niewłaściwego punktu A a (rys.4.36). Rys Przykład obrazu w perspektywie stosowanej przecinających się w punkcie K prostych nierzutujących a i b, z których a jest prostą profilową Niech jeszcze zapisywana w perspektywie stosowanej para prostych przecinających się a i b składa się z dwóch prostych profilowych wyznaczonych odpowiednio przez punkty E,F oraz M,N. Proste te jako przecinające się zawarte są w jednej płaszczyźnie dwurzutującej, a więc ich rzuty zasadnicze i pomocnicze muszą jednoczyć się w jednej odnoszącej ; a = a

28 = b = b h. Zgodnie z wcześniej opisanymi właściwościami obrazów w perspektywie stosowanej prostych profilowych, rzuty K oraz K punktu K = a b muszą być odpowiadającymi sobie punktami jednocześnie w dwóch parach rzutowych szeregów punktów, a mianowicie: a (E,F,A,...) a (E,F, A,...) oraz b (M,N,B,...) b (M,N, B,...), gdzie A = A = B = B są zjednoczonymi rzutami zasadniczymi i pomocniczymi niewłaściwych punktów A i B leżących odpowiednio w prostych a i b. Przykład konstrukcji prowadzącej do ustalenia w perspektywie stosowanej obrazu (rzutów zasadniczego i pomocniczego) punktu K, w którym przecinają się proste profilowe a(e,f) oraz b(m,n) zrealizowano na rys Rys Przykład konstrukcji obrazu w perspektywie stosowanej punktu K wspólnego dla profilowych prostych a(e,f) oraz b(m,n). Niech w dalszym ciągu zagadnieniem wiodącym będzie odwzorowanie w perspektywie stosowanej punktu wspólnego dla nierzutujących prostej i płaszczyzny. Zasada postępowania jest tutaj analogiczna do tej, którą przyjęto w zapisie rozważanej zależności na gruncie perspektywy jednorzutowej. Mianowicie, dla odwzorowania punktu np. K = a β, wprowadza się pomocniczą płaszczyznę sieczną γ przechodzącą przez prostą a i będącą płaszczyzną rzutujacą lub p rzutujacą (rys.4.38a). Krawędź g = γ β, odwzorowana podobnie jak na rys.4.34c, wyznacza w przecięciu z prostą a poszukiwany punkt K = a β, (rys.4.38b)

29 179 Rys Przykład konstrukcji obrazu w perspektywie stosowanej punktu K przebicia płaszczyzny nierzutującej β przez prostą nierzutującą (celową) a Umiejętność odwzorowania w perspektywie stosowanej punktu wspólnego dla prostej i płaszczyzny nierzutujących otwiera możliwość zapisu perspektywicznego krawędzi przeciącia się dwóch płaszczyzn nierzutujących. W sygnalizowanej sytuacji wystarczy wyróżnić np. w jednej z przecinających się płaszczyzn dwie różne proste i znaleźć ich punkty wspólne z pozostałą płaszczyzną (rys.4.39a). Punkty te, o ile są różne, wyznaczają w złączu poszukiwaną krawędź. Przykład zapisu opisanej konstrukcji przedstawiono na rys.4.39b. Rys Przykład konstrukcji obrazu w perspektywie stosowanej krawędzi k nierzutujących płaszczyzn α i β, rys.a - opis algorytmu działań geometrycznych, rys.b zapis konstrukcji obrazu prostej k = α β.

30 Uwaga: W pewnych sytuacjach konstrukcja obrazu w perspektywie stosowanej części wspólnej dwóch podprzestrzeni nierzutujących może być zrealizowana w prostszy sposób to jest za pomocą śladów rozważanych podprzestrzeni. Taki przykład pokazano na rys.4.40, gdzie korzystając ze śladów tłowych i śladów zbiegu nierzutujacych płaszczyzn α i β odwzorowano krawędź k tych płaszczyzn. Wyjściowo założono, że przecinające się płaszczyzny α oraz β wyznaczone są odpowiednio przez przecinające się proste c i d oraz przez prostą e i punkt F nie należący do e. 180 Rys Przykład konstrukcji perspektywy stosowanej krawędzi k nierzutujących płaszczyzn α(c,d) i β(e,f) z zastosowaniem śladów tłowych i zbiegu przecinających się płaszczyzn. Czwartą, po relacjach zawierania, równoległości i przecinania się, podstawową zależnością niemiarową zachodzącą pomiędzy podprzestrzeniami przestrzeni M 3 jest relacja złączy. Poznane dotąd właściwości rzutowania wiązkowego, w tym środkowego i równoległego, upoważniają do stwierdzenia, że: dla każdych dwóch podprzestrzeni A, B M 3 odwzorowanych za pomocą perspektywy stosowanej (A O B) = A O B oraz (A O B) = A O B. Pozostaje jeszcze pytanie, czy znajomość złączy rzutów zasadniczych A i B oraz rzutów pomocniczych A i B podprzestrzeni A i B pozwala odtworzyć w przestrzeni M 3 złącz A O B odwzorowanych w perspektywie stosowanej podprzestrzeni. Odpowiedź na postawione pytanie jest pozytywna, gdy pary {A, A } oraz {B, B } stanowią restytuowalne obrazy podprzestrzeni A i B. W rozważaniach prowadzonych w niniejszym rozdziale omawiane obecnie zagadnienia mają istotne znaczenie w przypadku, gdy analizowana relacja złączy dotyczy podprzestrzeni będących punktami lub prostymi. Przy takim założeniu, wskazane wcześniej właściwości obrazów perspektywicznych punktów i prostych pozwalają stwierdzić, że:

31 181 w perspektywie stosowanej zapis relacji złącza pary { A,B }podprzestrzeni będących punktami lub prostymi przestrzeni M 3 jest zapisem wzajemnie jednoznacznym, gdy żadna z podprzestrzeni A i B nie jest punktem należącym do ( O p )/( p ), ani prostą profilową. Przykłady wzajemnie jednoznacznego zapisu w perspektywie stosowanej relacji złącza par podprzestrzeni pokazano na rys Rys Przykłady wzajemnie jednoznacznego zapisu w perspektywie stosowanej złączy par podprzestrzeni przestrzeni M Zapis w perspektywie stosowanej wybranych zależności miarowych Charakterystykę miarową obiektów przestrzeni M 3, traktowanej jako geometryczny odpowiednik otaczającej nas przestrzeni fizykalnej, można ustalić w nawiązaniu do trzech kierunków głównych wymiarów liniowych tych obiektów zwanych popularnie wysokością szerokością i długością opisywanego miarowo obiektu. Pomiar pierwszego z wyróżnionych wymiarów dokonywany jest w kierunku pionowym, zaś pozostałe dwa wymiary mierzy się we wzajemnie prostopadłych kierunkach poziomych. Również charakterystykę kątową definiowanych miarowo obiektów przestrzeni M 3 wyprowadza się zazwyczaj z pomiarów rozwartości kątów płaskich zawartych w płaszczyznach poziomych i pionowych. Do takiej

32 koncepcji miarowego opisu obiektów geometrycznych dostosowana jest struktura aparatu perspektywy stosowanej pionowej. Mianowicie, jak wcześniej przyjęto, płaszczyzna tła τ rzutowania zasadniczego Rs jest płaszczyzną pionową, natomiast rzutnia π pomocniczego rzutowania prostokątnego Rp jest na ogół płaszczyzną poziomą. W ślad za tym, do podstawowych zapisów miarowych realizowanych na gruncie perspektywy stosowanej zalicza się konstrukcyjne zasady mierzenia: - długości odcinków wyróżnianych w prostych poziomych i pionowych, - rozwartości kątów zawartych w płaszczyznach poziomych i pionowych. Niech w pierwszej kolejności analizowanym zagadnieniem konstrukcyjnym będzie odwzorowanie w perspektywie stosowanej odcinka np. KL o ustalonej długości d leżącego w zadanej poprzez swój obraz perspektywiczny prostej poziomej a. W celu skonstruowania rzutów zasadniczego i pomocniczego takiego odcinka należy przede wszystkim odwzorować ślady tłowy i ślad zbiegu prostej a, a następnie wykreślić, również przy udziale śladów, obraz płaszczyzny poziomej α przechodzącej przez prostą a; T a t α, t α p, Z a = Z a z α = h (rys.4.42a). 182 a) Z m =Z m = Ma m a h O m Z a =Z a t a a T Ta 2 T 2 T 1 A 2 T 1 m 2 A1 a m 1 Z m Z a T 2 a T 1

33 183 b) Rys Zasady konstrukcji prowadzącej do wyznaczenia w perspektywie stosowanej punktu mierzenia M a dla prostych poziomych równoległych do zadanej poziomej prostej a rys.a, Przykład konstrukcji obrazu w perspektywie stosowanej odcinka o zadanej długości zawartego w prostej poziomej - rys.b W płaszczyźnie α daje się wyróżnić pęk prostych < Z m, α> mający tę własciwość, że jego elementy właściwe są takimi prostymi równoległymi m i, iż ich punkty przecięcia A i oraz T i odpowiednio z prostymi a i t α odpowiadają sobie w przystających szeregach punktów a(a 1,A 2,...) oraz t α (T 1,T 2,...). Proste pęku < Z m, α> leżąc w poziomej płaszczyźnie α są również prostymi poziomymi, a ich kierunek zostaje ustalony, gdy w prostej z α = z α = h wyróżni się zjednoczony rzut zasadniczy i pomocniczy śladu zbiegu Z m tych prostych. Poszukując punktu Z m = Z m należy dokonać kładu (obrotu) płaszczyzny horyzontu χ wokół osi h jednoczącego tę płaszczyznę z płaszczyzną tła τ. W kładzie χ wyróżnia się obraz χ środka rzutowania zasadniczego Rs, oraz obraz a χ prostej - rzutującej a równoległej do a. Horyzont h będąc prostą poziomą a jednocześnie osią konstruowanego kładu ma obraz h χ zjednoczony z h, a kierunek tej prostej reprezentuje w kładzie kierunek śladu tłowego t α płaszczyzny α. Natomiast kierunek prostej a χ na podobnej zasadzie reprezentuje w kładzie kierunek prostej a. W opisanej sytuacji, dla ustalenia w kładzie χ płaszczyzny horyzontu χ reprezentanta m χ prostych właściwych wcześniej zdefiniowanego pęku prostych < Z m, α> odłożono w prostej h odcinek Z a Z m Z χ a ; prosta m χ ( χ,z m ) jako kład prostej m < Z m, α>, wyznacza przez swój punkt przecięcia się z horyzontem h zjednoczony rzut zasadniczy i rzut pomocniczy śladu zbiegu Z m prostych pęku < Z m, α>. Punkt ten tradycyjnie oznaczany jest przez M a i nazywany punktem mierzenia dla prostych poziomych równoległych do zadanej prostej a. Chcąc przy znanym punkcie mierzenia M a wykreślić obraz odcinka KL a o narzuconej długości d, wyróżnia się w prostej t α, będącej śladem tłowym płaszczyzny poziomej α a, odcinek K * L * mający długość d, a następnie przez punkty K* oraz L* kreśli się proste k i l przechodzące przez punkt mierzenia M a (rys.4.42b). Proste przecinając rzut zasadniczy a prostej a wyznaczają odpowiednio punkty

34 K oraz L stanowiące rzuty zasadnicze końców odwzorowywanego odcinka KL. Z kolei odnoszące rzutów zasadniczych i pomocniczych poprowadzone przez punkty K oraz L ustalają w przecięciu z prosta a rzuty pomocnicze K oraz L odcinka KL ; odcinki K L ' ' oraz K L stanowią obraz w perspektywie stosowanej odcinka KL a o zadanej długości d. ą sytuacje, w których narzucona długość d odcinka KL odwzorowywanego w perspektywie stosowanej przy założeniu, że odcinek ten leży w zadanej prostej poziomej np. a, jest za duża, aby odmierzyć ją w całości na śladzie t α płaszczyzny poziomej α zawierającej prostą a. Rozwiązanie tego problemu daje posłużenie się tzw. punktem częściowego mierzenia k M a przypisanym prostej a. Korzystając z takiego punktu mierzenia można w l k śladzie tłowym t α płaszczyzny poziomej α a odmierzyć odcinek o długości d i z jego l pomocą wykreślić w prostej a rzut zasadniczy odcinka KL o żądanej długości d. Przykład ustalenia punktu częściowego mierzenia k M a przypisanego danej prostej a l π pokazano na rys.4.43, przy założeniu, że k/l = 1/3. Konstrukcję tę rozpoczęto od wyznaczenia w prostej horyzontu h przypisanego prostej a punktu mierzenia M a stosując działania analogiczne do zaprezentowanych na rys Następnie odcinek M a Z podzielono na l = 3 równe części i wyróżniono k ty, czyli pierwszy z punktów 184 a Rys Przykład wyznaczenia punktu częściowego mierzenia M a 3 1 dla prostej a π. podziałowych licząc od punktu Z a. Okazuje się, że wyróżniony punkt jest poszukiwanym punktem M a 3 1 częściowego mierzenia przypisanym prostej a. Istotnie jeżeli, dla potrzeb dowodu, odmierzy się w prostej podstawy p = t π, poczynając od punktu T a = a p, odcinek K * L * o długości d, a następnie poprowadzi się proste k(m a,k*) oraz l(m a,l*), to jak udowodniono wcześniej, punkty k a = K = K = K* oraz l a = L = L są rzutami zasadniczymi końców odcinka KL a o długości d. Z kolei punkt 1 M a w złączach z rzutami 3 K oraz L ustalają odpowiednio proste k 3 1 oraz l 3 1, których przecięcia z prostą podstawy p są

35 punktami K * = K* oraz 1 L * (rys.4.43). Wyróżnione w prostych h i p trójki punktów {M 1 a, M a, Z a } oraz {L*, L *, 1 K * } odpowiadają sobie w jednokładności o środku 1 L = L i wobec tego M M 1 a 3 a Z Z a a K * 1 3 L * 1 3 k 1 = = = l 3 * K L * = K * L * 1 3 d 1 3, czyli K * L * 1 1 = d. Innymi słowy wykazano, że wyróżniając w prostej p = tπ odcinek * L 3 K * 1 1 o 3 3 długości 3 1 d i rzutując końce tego odcinka ze środka M a 3 1 na rzut zasadniczy a poziomej prostej a π otrzymuje się rzuty zasadnicze K oraz L końców odcinka KL a o długości równej d; M a 3 1 jest więc wcześniej zdefiniowanym punktem częściowego mierzenia przypisanym prostej a. W odwzorowaniu za pomocą perspektywy stosowanej wśród prostych poziomych wyróżniają się tzw. proste dwuwarstwowe tzn. proste równoległe zarówno τ jak i do π. Łatwo zauważyć, że takie proste są równoległe do śladów tłowych zawierających je płaszczyzn poziomych. Wobec tego punktem mierzenia dla tego rodzaju prostej może być dowolny punkt właściwy horyzontu h. Pewną komplikacją w posługiwaniu się punktem mierzenia w omawianym przypadku jest konieczność skonstruowania obrazu płaszczyzny poziomej przechodzącej przez rozważaną prostą. W konstrukcji tej korzysta się z obrazu pomocniczej prostej poziomej przecinającej zadaną prostą dwuwarstwową. Przykład takiej konstrukcji zrealizowano na rys. 4.44, gdzie odwzorowano odcinek KL o ustalonej długości d zawarty w dwuwarstwowej prostej a. Pomocniczą prostą poziomą przecinającą prostą a i współwyznaczającą z a poziomą płaszczyznę α jest prosta oznaczona symbolem b. Rys Przykład odwzorowania w perspektywie stosowanej odcinka KL o ustalonej długości zawartego w dwuwarstwowej prostej a.

36 186 Niech kolejne zagadnienie konstrukcyjne polega na odwzorowaniu w perspektywie stosowanej odcinków o ustalonych długościach i zawartych w prostych pionowych (p rzutujących). Ponieważ każda z takich prostych, np. a, jest równoległa do tła τ, więc po przeprowadzeniu przez a dowolnej płaszczyzny pionowej (p rzutującej) np. α, ślad tłowy t α tej płaszczyzny jest prostą równoległą do a. W tej sytuacji łatwo zauważyć, że punktem mierzenia M a przypisanym rozważanej prostej pionowej a może być rzut zasadniczy śladu zbiegu dowolnych prostych równoległych zawartych w płaszczyźnie α. Najprostszym rozwiązaniem spełniającym wymienione ostatnio warunki jest obranie punktu mierzenia M a w linii horyzontu h w postaci zjednoczonego rzutu zasadniczego i pomocniczego śladu zbiegu Z m prostych poziomych leżących w α (rys.4.45). Wyróżnione punkty Z m = Z m = M a wraz z rzutem pomocniczym a prostej a ustalają prostą α będącą rzutem pomocniczym pionowej płaszczyzny α a. Punkt p α jest z kolei rzutem pomocniczym t α śladu tłowego t α płaszczyzny α, zaś pionowa prosta t α przechodząca przez t α stanowi ślad tłowy wprowadzonej pomocniczo płaszczyzny α. Jeżeli teraz w prostej t α wyróżni się odcinek Rys Przykład ustalenia w perspektywie stosowanej punktu mierzenia M a dla pionowej prostej a K * L * o ustalonej długości d, to proste k(k*,m a ) oraz l(l*,m a ) przecinając prostą a wyznaczają rzuty zasadnicze K = k a oraz L = l a punktów K i L będących końcami zawartego w prostej a odcinka KL o długości d. Rzuty pomocnicze K oraz L tych punktów, dopełniające zapis odcinka KL w perspektywie stosowanej jednoczą się z rzutem pomocniczym a prostej a (rys.4.45). Zgodnie z wstępnymi ustaleniami niniejszego podrozdziału należy jeszcze rozpatrzyć zagadnienie pomiaru w perspektywie stosowanej rozwartości kątów płaskich zawartych w płaszczyznach poziomych względnie pionowych. Analizując elementarne zależności przestrzenne występujące między prostymi a i b zawartymi w płaszczyźnie α, a prostymi rzutującymi a a i b b odwzorowującymi na tle τ ślady zbiegu Z a i Z b prostych a i b, łatwo zauważyć, że σ(a,b) = σ(a,b ), zaś a = O Z a oraz b = O Z b (rys.4.46). Wobec tego dokonując kładu na tło τ płaszczyzny

37 187 Rys Przestrzenne zależności występujące w perspektywie stosowanej między współpłaszczyznowymi prostymi a i b a prostymi rzutującymi a a i b b rzutującej α = O Z α i wyznaczając w tym kładzie obrazy a α i b α prostych a i b uzyskuje się możliwość zmierzenia rozwartości kąta między prostymi a i b poprzez pomiar w kładzie płaszczyzny α rozwartości kąta między prostymi a α i b α. Przykład realizacji opisanej powyżej konstrukcji w przypadkach pomiaru kąta między prostymi zawartymi w płaszczyźnie poziomej oraz pionowej pokazano odpowiednio na rys i Rys Przykład zapisu w perspektywie stosowanej działań umożliwiających pomiar rozwartości kąta między prostymi a i b zawartymi w poziomej płaszczyźnie α

38 188 Rys Przykład zapisu w perspektywie stosowanej działań umożliwiających pomiar rozwartości kąta między prostymi a i b zawartymi w pionowej płaszczyźnie α 4.4. Redukcja głębokości tłowej w odwzorowaniu realizowanym za pomocą perspektywy stosowanej oraz zastosowania takiej redukcji W wielu przypadkach stosowania perspektywy stosowanej do graficznych zapisów modeli geometrycznych obiektów fizykalnych, rzuty śladów zbiegu prostych poziomych zawierających krawędzie odwzorowywanych modeli znajdują się poza obszarem dostępnej powierzchni arkusza rysunkowego. Taka sytuacja utrudnia konstruowanie obrazów rozważanych prostych poziomych i w konsekwencji komplikuje odwzorowywanie np. odcinków zawartych w tych prostych i mających ustalone długości. Rozwiązanie wskazanego problemu można uzyskać redukując głębokość tłową w aparacie rzutowania zasadniczego Rs wchodzącego w skład aparatu odwzorowania perspektywy stosowanej. Łatwo zauważyć, że zmniejszenie głębokości tłowej w stosunku 1/x powoduje przekształcenie zapisów uzyskanych przy wyjściowo określonej głębokości tłowej przez jednokładność J 1/x o środku O τ i współczynniku 1/x. Przykładowo na rys.4.49 na tle τ ustalono obraz w perspektywie stosowanej punktu A oraz rzut zasadniczy a prostej poziomej a.przechodzącej przez punkt A. Przyjęte założenia charakteryzują się tym, że zjednoczone rzuty zasadniczy Z a oraz pomocniczy Z a śladu zbiegu Z a prostej a, tożsame z punktem a h, leżą poza dostępną powierzchnią arkusza rysunkowego. W celu uzupełnienia obrazu prostej poziomej a o brakujący rzut pomocniczy

39 189 Rys Przykład zastosowanie redukcji głębokości tłowej do wykreślenia perspektywy stosowanej prostej poziomej a przechodzącej przez zadany punkt A i mającej ustalony rzut zasadniczy a. a tej prostej, dokonano redukcji głębokości tłowej aparatu rzutowania Rs przykładowo w stosunku ½. Konsekwencją takiej redukcji jest przypisanie rzutom A i A punktu A oraz rzutowi zasadniczemu a prostej a obrazów A 1/2, A 1/2 oraz a 1/2 tych podprzestrzeni w jednokładności J 1/2 o środku O τ i współczynniku ½ (rys.4.49). Prosta a 1/2 przecinając, tym razem już w obrębie arkusza rysunkowego, horyzont h ustala zjednoczone rzuty Z a 1/2 = Z a 1/2 tzw. zredukowanego śladu zbiegu Z a 1/2, który w złączu z punktem A 1/2 wyznacza obraz a 1/2 w jednokładności J 1/2 rzutu pomocniczego a prostej a. Ostatecznie dla uzupełnienia obrazu rozważanej prostej poziomej a w perspektywie stosowanej wystarczy wykreślić rzut pomocniczy a tej prostej będący obrazem prostej a 1/2 w przekształceniu J 1/2-1 ; A a i a a 1/2 (rys.4.49). Jak już wcześniej zauważono konstrukcje perspektyw stosowanych modeli geometrycznych obiektów technicznych wiążą się często z koniecznością kreślenia rzutów zasadniczych i pomocniczych wielu równoległych prostych poziomych, tak usytuowanych względem aparatu perspektywy stosowanej, że zjednoczone rzuty zasadnicze i pomocnicze śladów zbiegu tych prostych nie mieszczą się na dostępnej powierzchni arkusza rysunkowego. W takiej sytuacji można posłużyć się tzw. podziałkami zbiegu, których zastosowanie pozwala sprawnie i z zadawalającą dokładnością kreślić rzuty równoległe prostych poziomych, bez konieczności odwoływania się do obrazów ich śladów zbiegu, które nie są dostępne na kreślonym rysunku. Konstrukcję podziałki zbiegu oraz sposób jej wykorzystania przedstawiono na rys Przykładowo w konstrukcji tej założono, że wyjściowo dany jest obraz punktu A

2. RZUTOWANIA WIĄZKOWE

2. RZUTOWANIA WIĄZKOWE 67 2. RZUTOWANIA WIĄZKOWE Informacje zebrane w kolejnych rozdziałach niniejszego skrypty stanowią zestaw teoretycznych zasad sporządzania zapisów graficznych modeli geometrycznych obiektów technicznych.

Bardziej szczegółowo

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu

Co należy zauważyć Rzuty punktu leżą na jednej prostej do osi rzutów x 12, którą nazywamy prostą odnoszącą Wysokość punktu jest odległością rzutu Oznaczenia A, B, 1, 2, I, II, punkty a, b, proste α, β, płaszczyzny π 1, π 2, rzutnie k kierunek rzutowania d(a,m) odległość punktu od prostej m(a,b) prosta przechodząca przez punkty A i B α(1,2,3) płaszczyzna

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki 2005/2006

Rok akademicki 2005/2006 GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2005/2006 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie

3.3. dwie płaszczyzny równoległe do siebie α β Dwie płaszczyzny równoległe do siebie mają ślady równoległe do siebie Widoczność A. W rzutowaniu europejskim zakłada się, że przedmiot obserwowany znajduje się między obserwatorem a rzutnią, a w amerykańskim rzutnia rozdziela przedmiot o oko obserwatora. B. Kierunek patrzenia

Bardziej szczegółowo

METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.)

METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.) RZUT PUNKTU NA TRZECIĄ RZUTNIĘ METODA RZUTÓW MONGE A (II CZ.) Dodanie trzeciej rzutni pozwala na dostrzeżenie ważnej, ogólnej zależności. Jeżeli trzecia rzutnia została postawiona na drugiej - pionowej,

Bardziej szczegółowo

PUNKT PROSTA. Przy rysowaniu rzutów prostej zaczynamy od rzutowania punktów przebicia rzutni prostą (śladów). Następnie łączymy rzuty na π 1 i π 2.

PUNKT PROSTA. Przy rysowaniu rzutów prostej zaczynamy od rzutowania punktów przebicia rzutni prostą (śladów). Następnie łączymy rzuty na π 1 i π 2. WYKŁAD 1 Wprowadzenie. Różne sposoby przedstawiania przedmiotu. Podstawy teorii zapisu konstrukcji w grafice inżynierskiej. Zasady rzutu prostokątnego. PUNKT Punkt w odwzorowaniach Monge a rzutujemy prostopadle

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa.

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. Grafika inżynierska geometria wykreślna 3. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie,

Bardziej szczegółowo

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok

w jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego

Bardziej szczegółowo

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E''

Zadanie I. 2. Gdzie w przestrzeni usytuowane są punkty (w której ćwiartce leży dany punkt): F x E' E'' GEOMETRIA WYKREŚLNA ĆWICZENIA ZESTAW I Rok akademicki 2012/2013 Zadanie I. 1. Według podanych współrzędnych punktów wykreślić je w przestrzeni (na jednym rysunku aksonometrycznym) i określić, gdzie w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 2. Elementy wspólne. Cień jako rzut środkowy i równoległy. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 5. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 5. Obroty i

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury

Geometria wykreślna. 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław. Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Geometria wykreślna 3. Równoległość. Prostopadłość. Transformacja celowa. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Architektura, semestr I 1 3.

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. dr inż. arch.

Geometria wykreślna. 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. dr inż. arch. Geometria wykreślna 1. Rysunek inżynierski historia. Metody rzutowania. Rzut prostokątny na dwie rzutnie. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek

Bardziej szczegółowo

Imię i NAZWISKO:... Grupa proj.: GP... KOLOKWIUM K1 X 1. Geometria Wykreślna 2018/19. z plaszczyznami skarp o podanych warstwicach.

Imię i NAZWISKO:... Grupa proj.: GP... KOLOKWIUM K1 X 1. Geometria Wykreślna 2018/19. z plaszczyznami skarp o podanych warstwicach. A1 Zad. 1. Podaj definicję rzutu przestrzeni 3D na płaszczyznę D Zad.. Wymień wszystkie znane sposoby definicji płaszczyzny w przestrzeni 3D Zad. 3. Podaj definicję rzutu cechowanego Zad. 4. Co daje założenie

Bardziej szczegółowo

ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII

ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA Wydział Nowych Technologii i Chemii KATEDRA ZAAWANSOWANYCH MATERIAŁÓW I TECHNOLOGII Temat: Grafika inżynierska Podstawy Inżynierii Wytwarzania T 1: elementy przestrzeni rzuty

Bardziej szczegółowo

Kolejne zadanie polega na narysowaniu linii k leżącej na płaszczyźnie danej za pomocą prostej i punktu α(l,c).

Kolejne zadanie polega na narysowaniu linii k leżącej na płaszczyźnie danej za pomocą prostej i punktu α(l,c). Konstrukcje podstawowe 1. Konstrukcja elementu przynależnego (KEP) 1.1. przynależność punktu do prostej (typowe zadania to wykreślenie punktu leżącego na prostej A m oraz wykreślenia prostej przechodzącej

Bardziej szczegółowo

(a) (b) (c) o1" o2" o3" o1'=o2'=o3'

(a) (b) (c) o1 o2 o3 o1'=o2'=o3' Zad.0. Odwzorowanie powierzchni stożka, walca, sfery oraz punktów leżących na tych powierzchniach. Przy odwzorowaniu powierzchni stożka, walca, sfery przyjmiemy reprezentację konturową, co oznacza, że

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana Zastosowania geometrii wykreślnej w praktyce inżynierskiej

Matematyka stosowana Zastosowania geometrii wykreślnej w praktyce inżynierskiej Matematyka stosowana Zastosowania geometrii wykreślnej w praktyce inżynierskiej 1. Perspektywa dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 5a. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu.

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 5a. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. Grafika inżynierska geometria wykreślna 5a. Obroty i kłady. Rozwinięcie wielościanu. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna,

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza

Plan wykładu. Wykład 3. Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady. Rzutowanie prostokątne - geneza. Rzutowanie prostokątne - geneza Plan wykładu Wykład 3 Rzutowanie prostokątne, widoki, przekroje, kłady 1. Rzutowanie prostokątne - geneza 2. Dwa sposoby wzajemnego położenia rzutni, obiektu i obserwatora, metoda europejska i amerykańska

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 2. Przynależność. Równoległość.

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 2. Przynależność. Równoległość. Grafika inżynierska geometria wykreślna 2. Przynależność. Równoległość. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr

Bardziej szczegółowo

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE wg PN-EN ISO 5456-2 rzutowanie prostokątne (przedstawienie prostokątne) stanowi odwzorowanie geometrycznej postaci konstrukcji w postaci rysunków dwuwymiarowych. Jest to taki rodzaj

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 4. Wielościany. Budowa. Przekroje.

Grafika inżynierska geometria wykreślna. 4. Wielościany. Budowa. Przekroje. Grafika inżynierska geometria wykreślna 4. Wielościany. Budowa. Przekroje. dr inż. arch. Anna Wancław Politechnika Gdańska, Wydział Architektury Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr

Bardziej szczegółowo

Π 1 O Π 3 Π Rzutowanie prostokątne Wiadomości wstępne

Π 1 O Π 3 Π Rzutowanie prostokątne Wiadomości wstępne 2. Rzutowanie prostokątne 2.1. Wiadomości wstępne Rzutowanie prostokątne jest najczęściej stosowaną metodą rzutowania w rysunku technicznym. Reguły nim rządzące zaprezentowane są na rysunkach 2.1 i 2.2.

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

przecięcie graniastosłupa płaszczyzną, przenikanie graniastosłupa z ostrosłupem

przecięcie graniastosłupa płaszczyzną, przenikanie graniastosłupa z ostrosłupem przebicie ostrosłupa prostą, przecięcie graniastosłupa płaszczyzną, przenikanie graniastosłupa z ostrosłupem WSA - wykład VII w dn. 12. I. 2014 r: Przenikanie wzajemne brył nieobrotowych (graniastosłupów,

Bardziej szczegółowo

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45

METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA. WYKŁAD 1 Czas: 45 METODY KONSTRUKCJI ZA POMOCĄ CYRKLA WYKŁAD 1 Czas: 45 TWIERDZENIE PONCELETA-STEINERA W roku 1833, Szwajcarski matematyk Jakob Steiner udowodnił, że wszystkie klasyczne konstrukcje (za pomocą cyrkla i linijki)

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ELEMENTARNA

GEOMETRIA ELEMENTARNA Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Słowo wstępne 7

Spis treści. Słowo wstępne 7 Geometria wykreślna : podstawowe metody odwzorowań stosowane w projektowaniu inżynierskim : podręcznik dla studentów Wydziału Inżynierii Lądowej / Renata A. Górska. Kraków, 2015 Spis treści Słowo wstępne

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA. AdamŚwięcicki

WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA. AdamŚwięcicki WYKŁAD I KONSTRUKCJE PODSTAWOWE RZUT RÓWNOLEGŁY RZUT PROSTOKĄTNY AKSONOMETRIA AdamŚwięcicki KONSTRUKCJA PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ PRZEZ DWA PUNKTY a B B A A KONSTRUKCJA ODCINKA B B A A wariant I KONSTRUKCJA

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Mówimy, że odcinki i CD są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli CD = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza

Zbiór zadań z geometrii przestrzennej. Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Zbiór zadań z geometrii przestrzennej Michał Kieza Wydawca: Netina Sp. z o.o. ISN 978-83-7521-522-9 c 2015, Wszelkie Prawa Zastrzeżone Zabrania się modyfikowania

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA PEWNEJ WŁASNOŚCI PĘKU STOŻKOWYCH ŚCIŚLE STYCZNYCH

ANALIZA PEWNEJ WŁASNOŚCI PĘKU STOŻKOWYCH ŚCIŚLE STYCZNYCH Marian PALEJ Ośrodek Geometrii i Grafiki Inżynierskiej Politechnika Śląska ANALIZA PEWNEJ WŁASNOŚCI PĘKU STOŻKOWYCH ŚCIŚLE STYCZNYCH W pracy [1] przy omawianiu tworzenia krzywej rzędu trzeciego poprzez

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 28 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. uzicki Zadanie 8 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 8. any jest sześcian (zobacz rysunek) o krawędzi równej 1. unkt S jest środkiem krawędzi. Odcinek W jest wysokością ostrosłupa

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania

Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Inwersja w przestrzeni i rzut stereograficzny zadania Rozważmy sferę S o środku O i promieniu R. Inwersją względem sfery S nazywamy przekształcenie, które przekształca punkt A na punkt A leżący na półprostej

Bardziej szczegółowo

Zanim wykonasz jakikolwiek przedmiot, musisz go najpierw narysować. Sam rysunek nie wystarczy do wykonania tego przedmiotu. Musisz podać na rysunku

Zanim wykonasz jakikolwiek przedmiot, musisz go najpierw narysować. Sam rysunek nie wystarczy do wykonania tego przedmiotu. Musisz podać na rysunku Zanim wykonasz jakikolwiek przedmiot, musisz go najpierw narysować. Sam rysunek nie wystarczy do wykonania tego przedmiotu. Musisz podać na rysunku jego wymiary (długość, szerokość, grubość). Wymiary te

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

RYSUNEK TECHNICZNY I GRAFIKA INśYNIERSKA

RYSUNEK TECHNICZNY I GRAFIKA INśYNIERSKA RYSUNEK TECHNICZNY I GRAFIKA INśYNIERSKA WYKŁAD 2 dr inŝ. Beata Sadowska 1. Zasady rzutowania elementów i obiektów budowlanych 2. Rzuty budynku 3. Wymiarowanie rysunków architektoniczno-budowlanych Normy

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie

Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie Trójwymiarowa grafika komputerowa rzutowanie Mirosław Głowacki Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej Rzutowanie w przestrzeni 3D etapy procesu rzutowania określenie rodzaju rzutu określenie

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE

RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE RZUTOWANIE PROSTOKĄTNE WPROWADZENIE Wykonywanie rysunku technicznego - zastosowanie Rysunek techniczny przedmiotu jest najczęściej podstawą jego wykonania, dlatego odwzorowywany przedmiot nie powinien

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 2 (14-19.10.2009) nalogie i różnice miedzy trójkątem

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

RZUT CECHOWANY DACHY, NASYPY, WYKOPY

RZUT CECHOWANY DACHY, NASYPY, WYKOPY WYZNACZANIE DACHÓW: RZUT CECHOWANY DACHY, NASYPY, WYKOPY Ograniczymy się do dachów złożonych z płaskich wielokątów nazywanych połaciami, z linią okapu (linią utworzoną przez swobodne brzegi połaci) w postaci

Bardziej szczegółowo

Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.

Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej. 2. Podstawy krystalografii Podczas naszych zajęć skupimy się przede wszystkim na strukturach krystalicznych. Kryształem nazywamy (def. strukturalna) substancję stałą zbudowaną z atomów, jonów lub cząsteczek

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne

Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne 46 III. Przekształcenia w przestrzeni trójwymiarowej Z ostatniego wzoru i zależności (3.20) można obliczyć n6. Otrzymujemy (3.23) 3.5. Transformacje geometryczne Złożone obiekty trójwymiarowe można uważać,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie

Bardziej szczegółowo

RYSUNEK TECHNICZNY BUDOWLANY RZUTOWANIE AKSONOMETRYCZNE

RYSUNEK TECHNICZNY BUDOWLANY RZUTOWANIE AKSONOMETRYCZNE RYSUNEK TECHNICZNY BUDOWLANY RZUTOWANIE AKSONOMETRYCZNE MOJE DANE dr inż. Sebastian Olesiak Katedra Geomechaniki, Budownictwa i Geotechniki Pokój 309, pawilon A-1 (poddasze) e-mail: olesiak@agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A

Rysunek 1. Udowodnij, że AB CD = BC DA. Rysunek 2. Po inwersji o środku w punkcie E. Rysunek 3. Po inwersji o środku w punkcie A g H e D c H' E g' h e' O d A C' d' C A' F' f' I' G' B' G I F f INWERSJA Inwersją o środku O i promieniu r nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny (bez punktu O), które każdemu punktowi X O przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Geometria wykreślna. Dr inż. Renata Górska

Geometria wykreślna. Dr inż. Renata Górska Dr inż. Renata Górska rgorska@l5.pk.edu.pl Instytut Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej L-5 Katedra Metod Obliczeniowych w Mechanice L-52 Projekty (sala 404 WIL): dr inż. Renata Górska dr

Bardziej szczegółowo

Odwzorowanie rysunkowe przedmiotów w rzutach

Odwzorowanie rysunkowe przedmiotów w rzutach Odwzorowanie rysunkowe przedmiotów w rzutach Rzutem nazywamy rysunkowe odwzorowanie przedmiotu lub bryły geometrycznej na płaszczyźnie rzutów, zwanej rzutnią, którą jest płaszczyzna rysunku. Rzut każdej

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb

6. Notacja wykładnicza stosuje notację wykładniczą do przedstawiania bardzo dużych liczb LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY str. 1 Przedmiot: matematyka Klasa: 2 ROK SZKOLNY 2015/2016 temat Wymagania podstawowe P 2. Wartość bezwzględna oblicza wartość bezwzględną liczby wymiernej 3. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

RZUT CECHOWANY ODWZOROWANIA INŻYNIERSKIE

RZUT CECHOWANY ODWZOROWANIA INŻYNIERSKIE SERIA GEOMATYKA RZUT CECHOWANY ODWZOROWANIA INŻYNIERSKIE SKRYPT DLA STUDENTÓW STUDIÓW NIESTACJONARNYCH KIERUNKÓW BUDOWNICTWO I INŻYNIERIA ŚRODOWISKA dr inż. arch. DOMINIKA WRÓBLEWSKA ISBN 978-83-934609-9-1

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa - podsumowanie

Funkcja liniowa - podsumowanie Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych

Bardziej szczegółowo

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy)

Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Tomasz Tobiasz PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 3. PAZDRO Plan jest wykazem wiadomości i umiejętności, jakie powinien mieć uczeń ubiegający się o określone oceny na poszczególnych etapach edukacji

Bardziej szczegółowo

Metoda objętości zadania

Metoda objętości zadania Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów

Bardziej szczegółowo

WSTSP. str. 1, Wstęp... t e Elementy niewłaściwe p_r o_a_t_ojk_jjb_jtt_e_;_. Rozdział I. Punkt, prosta i płaszczyzna,,

WSTSP. str. 1, Wstęp... t e Elementy niewłaściwe p_r o_a_t_ojk_jjb_jtt_e_;_. Rozdział I. Punkt, prosta i płaszczyzna,, - 640 - \ S P I S TREŚCI WSTSP. str. 1, Wstęp.... t... 1 2 e Elementy niewłaściwe... 1 CZjjlŚó I.! i f R aju. t y p_r o_a_t_ojk_jjb_jtt_e_;_ Rozdział I. Punkt, prosta i płaszczyzna,, 3. Rauty punktów właściwych...

Bardziej szczegółowo

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.

Bardziej szczegółowo