1 Warto±ci wªasne i wektory wªasne

Transkrypt

1 Warto±ci wªasne i wektory wªasne. Algebra endomorzmów. Wielomian od operatora Def. Algebr nad ciaªem K nazywamy zbiór A b d cy przestrzeni wektorow nad K oraz wyposa»ony w dziaªanie mno»enia : A A (a, b) a b A Mno»enie jest ª czne, tzn. a, b, c A zachodzi: oraz biliniowe a, b, c A, λ, µ K: a (b c) = (a b) c a (λb + µc) = λa b + µa c, (λa + µb) c = λa c + µb c Mówimy,»e algebra A ma jedynk, je±li istnieje element I A taki,»e a A: I a = a I = a Mówimy,»e algebra A jest przemienna, je±li a, b A zachodzi Przykªady. a b = b a.. Zbiór wielomianów K jest algebr przemienn z jedynk. (Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem. Jedynka to wielomian staªy równy ). 2. Odwzorowanie liniowe przestrzeni wektorowej V w siebie nazywamy endomorzmem przestrzeni V (lub operatorem dziaªaj cym w V ). Zbiór endomorzmów przestrzeni wektorowej V : End V L(V, V ) L(V ) jest algebr nieprzemienn z jedynk. W szczególno±ci, zbiór End K n czyli zbiór macierzy kwadratowych K n n jest algebr. Algebra ta ma jedynk (macierz jednostkow ) oraz jest nieprzemienna. Niech b dzie zadany wielomian p K : p(x) = a 0 + a x + a 2 x a n x n. We¹my teraz T pewien operator: T L(V ). Zwró my uwag,»e poniewa» T jest odwzorowaniem V w V, to sensownie jest okre±lony operator T 2 i w konsekwencji dowolna pot ga operatora T s to wszystko endomorzmy V. Równie» z sensem jest okre±lony operator p(t ) = a 0 I + a T + a 2 T a n T n. Takie formalne podstawienie T zamiast x w wielomianie ma sens dla elementów ka»dej algebry (z jedynk ). Operacj przej±cia od T do p(t ) nazywamy wzi ciem wielomianu od operatora T.

2 .2 Warto±ci wªasne, wektory wªasne, wielomian charakterystyczny macierzy Def. Niech T End V. Niezerowy wektor x taki,»e dla pewnej liczby λ K zachodzi: T x = λx () nazywamy wektorem wªasnym operatora T. Uwaga. Powy»sze równanie () mo»emy przepisa jako: (T λi)x = 0. Def. Liczb λ, wyst puj c w powy»szej denicji, nazywamy warto±ci wªasn operatora T. Uwaga. Wektor wªasny jest wyznaczony z dokªadno±ci do staªej: Je±li wektor wªasny w równ. () pomno»ymy przez dowoln niezerow staª a: x = ax, to wektor x jest równie» wektorem wªasnym odpowiadaj cym tej samej warto±ci wªasnej λ. Def. Zbiór warto±ci wªasnych operatora T nazywamy widmem operatora i oznaczamy Sp T : Sp T = {λ, λ 2,..., λ k }. Ile warto±ci i wektorów wªasnych ma zadany operator T? Jak je wyznacza? B dziemy odt d zakªada,»e przestrze«v ma wymiar sko«czony: dim V = n. Skorzystamy teraz z faktu, i» równanie: (T λi)x = 0 ma niezerowe rozwi zanie wtedy i tylko wtedy, gdy operator T λi jest nieodwracalny. Jest to równowa»ne warunkowi: det(t λi) = 0 (2) gdzie przez wyznacznik operatora rozumiemy wyznacznik jego macierzy w dowolnej bazie. Aby ta denicja (wyznacznika operatora) miaªa sens, musimy si przekona, i» wyznacznik operatora nie zale»y od bazy. Okazuje si,»e mamy Stw. Wyznacznik operatora nie zale»y od bazy. Dow. Przypomnijmy sobie, jak zmienia si macierz operatora przy zmianie bazy. Miejmy zadane w V dwie bazy e, f: e = {e, e 2,..., e n }. Macierze operatora A w tych bazach s powi zane przez: A f f = Idf e Ae e Ide f (3) gdzie macierze Id f e, Ide f s macierzami zamiany bazy. Pami tamy, i» s one nieosobliwe i zachodzi: Id f e = (Ide f ), z czego wynika: det(id f e ) = / det(ide f ) Licz c teraz wyznacznik obu stron równo±ci (3), mamy det(a f f ) = det(idf e ) det(ae e ) det(ide f ) = det(ae e ), pokazali±my wi c tez Stwierdzenia. Def. Funkcj zmiennej λ K: CBDO w T (λ) = det(t λi) (4) 2

3 nazywamy wielomianem charakterystycznym operatora T. Uwaga. Z denicji wida,»e w T (λ) jest wielomianem stopnia n w zmiennej λ. Wida te» porównuj c denicje wy»ej»e warto±ci wªasne operatora T s pierwiastkami wielomianu charakterystycznego w T (λ). St d, oraz z przypomnienia sobie zasadniczego tw. algebry, mówi cego, i» wielomian stopnia n ma co najwy»ej n pierwiastków, mamy Wniosek. Operator T ma nie wi cej ni» n = dim V warto±ci wªasnych. Uwaga. Mo»e si zdarzy,»e operator ma dokªadnie n warto±ci wªasnych, a mo»e te» mie ich mniej. Je±li zaªo»ymy,»e λ C, to jest zawsze dokªadnie n warto±ci wªasnych (liczonych z krotno±ciami); je±li λ R, to mo»e ich by mniej lub nie by wcale. Wektorów wªasnych mo»e by dokªadnie n, mo»e te» by ich mniej. Przykª.. Znajd¹my warto±ci wªasne i wektory wªasne macierzy: A = 2 2 Mamy: w A (λ) = (2 λ) 2 = 4 4λ + λ 2 = λ 2 4λ + 3 = (λ )(λ 3), tak wi c widmo to: Sp(A) = {, 3}. 2. A teraz, niech: λ =, v = A = ; λ 2 = 3, v 2 = Tu: w A (λ) = ( λ) 2 (2 λ), wi c widmo to: Sp(A) = {, 3}, przy czym λ = warto± wªasna dwukrotna, λ 2 = 2 warto± wªasna jednokrotna. Wektory wªasne: λ =, v = Tu s tylko dwa wektory wªasne. 0 0 λ 2 = 2, v 2 = 3 3. Niech teraz: A = 0 0 Mamy: w A (λ) = ( λ) 2 + = λ 2 +. Równanie charakterystyczne nie ma rzeczywistych pierwiastków i w konsekwencji nie ma te» rzeczywistych wektorów wªasnych. Ale s pierwiastki zespolone: Sp(A) = {i, i}. Wektory wªasne liczymy standardowo, jak w przypadku rzeczywistym, tyle»e skªadowe wektorów s tu zespolone. λ = i, v = i ; λ 2 = i, v 2 = i 3

4 4. Oraz jeszcze: A = Rozwa»ymy tu ogólniejszy przypadek: z A = z 3 + 4i 3 4i = re iφ re iφ gdzie liczb z przedstawili±my w postaci trygonometrycznej z = re iφ. Mamy: w A (λ) = ( λ) 2 r 2 = λ = r, λ + = + r; zwró my uwag,»e oba pierwiastki s rzeczywiste, mimo i» A jest zespolona. Wektory wªasne s : v = Ker v + = Ker r re iφ re iφ r r re iφ re iφ r = Ker = Ker Wracaj c do wyj±ciowego problemu: e iφ e iφ e iφ e iφ = Ker e iφ = = Ker e iφ = w A (λ) = ( λ) 2 (3 + 4i)(3 4i) = ( λ) 2 25, e iφ e iφ sk d: Sp(A) = { 4, 6}. Zwró my uwag,»e mimo i» macierz A jest zespolona, to jej warto±ci wªasne s rzeczywiste! Nie jest to przypadek ( za chwil zapodamy stosowne twierdzenie). Tu jeszcze sko«czmy rachunki: Wektory wªasne s tu zespolone: 3 4i 3 + 4i λ = 4, v = ; λ 5 2 = 6, v 2 = ; 5 zwró my jeszcze uwag na to, i» (v + v ) = 0, czyli oba wektory wªasne s ortogonalne (przy liczeniu iloczynu skalarnego pami tajmy o sprz»eniu zespolonym!) Bardzo wa»n klas operatorów stanowi operatory hermitowskie i symetryczne. (W przykªadzie 4 mieli±my do czynienia wªa±nie z operatorem hermitowskim). Okre±la si je na przestrzeniach z iloczynem skalarnym, do zdeniowania i prostych wªasno±ci tego» niniejszym przejdziemy. Ale zauwa»my jeszcze,»e: Stw. Wyznacznik macierzy jest iloczynem jej warto±ci wªasnych. Dow. Sfaktoryzujmy wielomian charakterystyczny: w A (λ) = (λ λ )(λ λ 2 )... (λ λ n ) (nie wszystkie λ i musz by ró»ne). Rozwi«my nawiasy w powy»szym wyra»eniu: ; ; n n w A (λ) = λ n ( λ i )λ n + + λ i ; i= i= zatem w A (0) = n i= λ i. Z drugiej strony, w A (0) = det(a 0I) = det A. CBDO 4

5 .3 Przestrzenie z iloczynem skalarnym Niech V przestrze«wektorowa. Musimy tu rozwa»y dwa przypadki: przestrze«nad R i nad C. Nad R jest prosto: Def. Iloczynem skalarnym na V nazywamy form biliniow ( ) o wªasno±ciach: Dla wszystkich wektorów x, y, z i wspóªczynników α, β R zachodz wªasno±ci:. (x x) 0, przy czym (x x) = 0 x = (x y) = (y x). 3. (x αy + βz) = α(x y) + β(xz) Nad C natomiast mamy: Dla wszystkich wektorów x, y, z i wspóªczynników α, β C zachodz wªasno±ci:. (x x) 0, przy czym (x x) = 0 x = (x y) = (y x). 3. (x αy + βz) = α(x y) + β(x z) Uwaga. Punkty 2 i 3 znacz,»e: (nietrywialne jest to w przypadku zespolonym): (αx y) = ᾱ(x y). jest wi c inaczej, ni» w przypadku formy biliniowej nad R (tam byªa liniowo± w pierwszym i drugim argumencie; tu jest liniowo± w drugim argumencie, a w pierwszym, czynnik liczbowy podlega sprz»eniu przy wyrzucaniu poza iloczyn skalarny). Form o tej wªasno±ci nazywa si póªtoraliniow. Przykª.. Standardowy iloczyn skalarny w R N : 2. Standardowy iloczyn skalarny w C N : (x y) = (x y) = N i= N i= x i y i (5) x i y i (6) 3. Iloczyn skalarny dla wielomianów na, : Dla dwóch wielomianów u(x), v(x) rzeczywistych deniujemy ich iloczyn skalarny jako: (u v) = dxu(x)v(x) (7) a dla dwóch wielomianów u(x), v(x) zespolonych deniujemy ich iloczyn skalarny jako: (u v) = dxū(x)v(x) (8) 4. Iloczyn skalarny zapo»yczony z wielomianów Hermite'a: Dla dwóch wielomianów u(x), v(x) rzeczywistych deniujemy ich iloczyn skalarny jako: (u v) = 5 dxu(x)v(x)e x2 (9)

6 .4 Bazy ortogonalne Def. Mówimy,»e baza E = {E, E 2,..., E N } jest ortogonalna, je»eli (E i E j ) = 0 dla i j oraz (E i E i ) 0 dla i =,..., N. Def. Mówimy,»e baza e = {e, e 2,..., e N } jest ortonormalna, je»eli (e i e j ) = 0 dla i j oraz (e i e i ) 0 dla i =,..., N. Ten ostatni warunek zapisujemy wygodniej jako (e i e j ) = δ ij Tu δ ij jest symbolem zwanym delt Kroneckera: Warto± δ ij jest równa, je±li i = j, oraz 0, je±li i j. Przykª. Baza standardowa w R N jest ortonormalna. W bazie ortonormalnej zazwyczaj rachunki id znacznie ªatwiej, ni» w innej bazie. Dlatego tez opªaca si umie znale¹ baz ortonormaln. Mamy proste ale wa»ne Stw. Ka»d baz mo»na zortogonalizowa (a w konsekwencji te» zortonormalizowa ). Dow. jest konstruktywny (tzn. pokazuje od razu konstrukcj bazy ortogonalnej). Proces ten nazywa si ortogonalizacj Grama-Schmidta. Zakªadamy,»e mamy przestrze«n wymiarow. Mamy w niej zadan baz e = {e, e 2,..., e n } (na ogóª, nieortogonaln ). B dziemy konstruowa baz f = {f, f 2,..., f n } rekurencyjnie.. W pierwszym kroku kªadziemy f = e. 2. Szukamy drugiego wektora bazy f 2 w postaci: f 2 = e 2 + αf, gdzie α jest wspóªczynnikiem, który chcemy wyznaczy z» dania, aby f 2 byª ortogonalny do f. Liczymy: 0 = (f 2 f ) = (e 2 f ) + α(f f ), sk d Mamy wi c, w drugim kroku: α = (e 2 f ) (f f ). f 2 = e 2 (e 2 f ) (f f ) f. 3. Szukamy kolejnego czyli trzeciego wektora bazy f 3 w postaci: f 3 = e 3 +βf +γf 2, gdzie β, γ s wspóªczynnikami, które chcemy wyznaczy z» dania, aby f 3 byª ortogonalny zarówno do f 2, jak i f. Liczymy: sk d Analogicznie: 0 = (f 3 f ) = (e 3 f ) + β(f f ) + γ (f 2 f ), }{{} =0 β = (e 3 f ) (f f ). 0 = (f 3 f 2 ) = (e 3 f 2 ) + β (f f 2 ) +γ(f 2 f 2 ), }{{} =0 6

7 sk d Mamy wi c, w trzecim kroku: γ = (e 3 f 2 ) (f 2 f 2 ). f 3 = e 3 (e 3 f ) (f f ) f (e 3 f 2 ) (f 2 f 2 ) f 2....k Šatwo ju» teraz chyba domy±li si,»e w k tym kroku dostaniemy: f 3 = e 3 k j= (e 3 f j ) (f j f j ) f j Uwaga. Metoda dziaªa zarówno nad R jak i nad C; w tym ostatnim przypadku nale»y uwa»a na kolejno± wektorów w iloczynie skalarnym. Przykª. Ortogonalizacja wielomanów na, ze standardowym iloczynem skalarnym prowadz ca do wielomianów Legendre'a.5 Nierówno± Schwarza Zetkn li±my si z ni w przypadku standardowego iloczynu skalarnego w R 3 (tak naprawd te» w R n ). Okazuje si,»e nierówno± jest te» sªuszna w dowolnej przestrzeni z iloczynem skalarnym. Mianowicie zachodzi: Tw. Dla dowolnych wektorów x, y, zarówno w przestrzeni wekt. nad R jak i nad C, zachodzi (x y) 2 (x x)(y y) (0) Nieco si ró»ni dowody w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Dow. R. We¹my dwa dowolne wektory x, y V i utwórzmy trójmian kwadratowy f(t): f(t) = (tx y tx y) = t 2 (x x) 2t(x y) + (y y). (w drugiej równo±ci wykorzystali±my symetri iloczynu skalarnego). Z aksjomatu nieujemno±ci iloczynu skalarnego, f(t) 0. Zatem wyró»nik trójmianu jest niedodatni: 0 = 4(x y) 2 4(x x) (y y), a to jest dokªadnie równo± (0). Dow. C We¹my znów dwa dowolne wektory x, y V. Ich iloczyn skalarny mo»e przyjmowa warto±ci zespolone. Zapiszmy go w postaci trygonometrycznej: (x y) = (x y) e iφ, lub (pami tajmy o póªtoraliniowo±ci iloczynu skalarnego) (x y) = (e iφ x y) = (y e iφ x). Utwórzmy teraz nast puj cy trójmian kwadratowy w t: f(t) = (te iφ x y te iφ x y); 7

8 mamy oczywi±cie f(t) 0. Napiszmy jawn posta f(t), korzystaj c z wªasno±ci iloczynu skalarnego nad C: lub f(t) = (x x)e iφ e iφ t 2 t(e iφ x y) t(y e iφ x) + (y y) f(t) = (x x) 2t (x y) + (x x) Dalszy ci g post powania jest identyczny jak w przypadku rzeczywistym..6 Operatory sprz»one Niech F endomorzm przestrzeni V. Def. Operator sprz»ony do F oznaczamy jako F i deniujemy jako taki operator,»e dla wszystkich wektorów x, y zachodzi: Wªasno±ci sprz»enia, ªatwe do sprawdzenia:. (F + G) = F + G 2. (λf ) = λf 3. (F ) = F 4. (F G) = G F (x F y) = (F x y). () Np. ostatnia wªasno± : z jednej strony; a z drugiej: (x (F G)y) = ((F G) x y) (x (F G)y) = (x F (Gy)) = (F x Gy) = (G (F x) y) = (G F x y) a poniewa» wszystko to musi zachodzi dla dowolnych x, y, wi c otrzymujemy wªasno± 4. Stw. W bazie ortonormalnej, macierz A operatora T oraz macierz B operatora T s powi zane przez: a i j = b j i. (2) Dow. Najpierw przypomnijmy sobie ogólne wyra»enie na macierz operatora: T e i = j a j ie j ; Zatem, w bazie ortonormalnej e: (e k T e i ) = j a j i(e k e j ) = j a j iδ kj = a k i. Dalej, mamy krótki rachunek: a i j = (e i T e j ) = (T e i e j ) = (e j T e i ) = b j i 8

9 .7 Operatory symetryczne i samosprz»one, oraz ich macierze Def. (C, R) Operator T nazywamy hermitowskim (lub: samosprz»onym), gdy T = T. Gdy operator hermitowski T jest w pewnej bazie ortonormalnej e zadany macierz T e e A, to elementy a i j tej macierzy speªniaj : Bo: a i j = a j i. a i j = (e i T e j ) = (T e i e j ) = (T e i e j ) = (e j T e i ) = a j i Def. Macierz (zespolon ) A nazywamy hermitowsk, gdy jej elementy macierzowe A ij speªniaj zwi zek: A ij = A ji. Uwaga. Gdy macierz A jest rzeczywista, to powy»szy warunek oznacza, i» jest ona symetryczna, tzn. A = A T. Dla takich macierzy bardzo wa»nych w zyce i matematyce zachodzi niemniej wa»ne Tw.. Macierz hermitowska/symetryczna jest diagonalizowalna, tzn. ma komplet wektorów wªasnych. Tego nie udowodnimy tu. 2. Warto±ci wªasne macierzy hermitowskich/symetrycznych s rzeczywiste. Bo: Niech λ i, v i odpowiednio i ta warto± wªasna i (unormowany) wektor wªasny operatora hermitowskiego H; mamy: H = H. Mamy: (v i Hv i ) = (v i λ i v i ) = λ i = (H v i v i ) = (Hv i v i ) = (λ i v i v i ) = λ i ; Podsumowuj c: otrzymali±my: λ i = λ i, czyli λ i R. CBDO 3. Wektory wªasne, odpowiadaj ce ró»nym warto±ciom wªasnym, s ortogonalne. Bo: We¹my: (v i Hv j ) = λ j (v i v j ) = (H v i v j ) = (Hv i v j ) = λ i (v i v j ); mamy wi c równo± : λ j (v i v j ) = λ i (v i v j ); odejmuj c stronami, dostaniemy: (λ j λ i )(v i v j ) = 0, co znaczy,»e je±li λ i λ j»e (v i v j ) = 0, czyli v i oraz v j s ortogonalne. CBDO Z powy»szego twierdzenia wynika kilka faktów dotycz cych macierzy diagonalizuj - cych H operator hermitowski. 9

10 Niech S macierz zªo»ona z (unormowanych) wektorów wªasnych H: S = v, v 2,..., v n ; (3) Odwrotna do niej: Šatwo zgadn,»e S = v T v T 2. v T n Wida,»e ta macierz speªnia: S = S Def. Macierz speªniaj ca powy»szy warunek nazywa si unitarna nad C i ortogonalna nad R. Bezpo±rednim rachunkiem przekonujemy si,»e dla macierzy (3) mamy λ λ S HS = λ n.8 Twierdzenie Cayleya Hamiltona Mamy wa»ne twierdzenie, b d ce kluczem do liczenia funkcji od macierzy. Tw. (Cayleya Hamiltona). Niech T End(V ) i niech w T (λ) b dzie wielomianem charakterystycznym operatora T. Wówczas w T (T ) = 0. (4) Dow. Oznaczmy: A = T e e. Przypomnijmy sobie nast puj c wªasno± dopeªnienia algebraicznego: Je±li M macierz nieosobliwa, a M D jej dopeªnienie algebraiczne, to M M D = (det M)I. We¹my teraz M = A λi. Mamy naówczas: (A λi) (A λi) D = det(a λi)i = w A (λ)i. (5) Pami taj c, jak jest okre±lone dopeªnienie algebraiczne, ªatwo skojarzymy,»e elementy macierzy (A λi) D s wielomianami zmiennej λ stopnia co najwy»ej n. Mo»emy wi c napisa : (A λi) D = B 0 + λb + λ 2 B λ n B n dla pewnych macierzy B 0, B,..., B n. 0

11 Zapiszmy teraz lew stron równo±ci (5) jako wielomian w zmiennej λ: (A λi) (A λi) D = A B 0 +λ(a B B 0 )+λ 2 (A B 2 B )+ +λ n (A B n B n 2 ) λ n B n = ( ); w powy»szym wyra»eniu zast pmy teraz zmienn (rzeczywist lub zespolon ) λ przez macierz A, co jak wiemy jest dopuszczalne. Mamy w ten sposób: ( ) = A B 0 +A(A B B 0 )+A 2 (A B 2 B )+ +A n (A B n B n 2 ) A n B n, co po rozwini ciu nawiasów okazuje si by równe zeru! A z drugiej strony, patrz c na równo± (5), jest to dokªadnie w A (A). Tak wi c otrzymujemy tez tw. CH. CBDO.9 Funkcje od operatora