Optymalizacja dystrybucji w zadaniach transportowo - produkcyjnych

Transkrypt

1 MICHLOWICZ Edward 1 SMOLIŃSKA Katarzyna 2 ZWOLIŃSKA Bożena 3 Optymalizacja dystrybucji w zadaniach transportowo - produkcyjnych WSTĘP Zadaniem dystrybucji jest dostarczenie nabywcom finalnym pożądanych przez nich produktów (rodzaj, ilość) do miejsc, w których chcą je nabyć, w odpowiadającym im czasie, na uzgodnionych warunkach i po możliwie niskiej cenie. Przed operatorem logistycznym staje więc zadanie ustalenia takiego planu przewozów towarów, który dawałby optymalne wyniki ze względu na przyjęte kryteria optymalizacyjne [8, 9, 11]. Ponadto często stawia się wiele innych problemów decyzyjnych do rozwiązania, m.in. problemy minimalizacji czasów realizacji usługi transportowej, problemy kształtowania sieci transportowej, problemy rozłożenia potoku ruchu w sieci. W analizie systemowej zagadnień transportowych wykorzystywane są metody z wielu dziedzin nauki, m.in. z teorii obsługi masowej, teorii grafów, programowania liniowego, teorii gier i badań operacyjnych. Ponadto w rozwiązywaniu zagadnień transportowych coraz częściej znajdują zastosowanie metody i algorytmy wielokryterialnego wspomagania decyzji. Obszerne informacje związane z wybranymi metodami optymalizacji (jedno i wielokryterialnej) oraz oceną systemów transportowych zawiera praca [3]. Powszechnie znane są metody umożliwiające wyznaczenie optymalnej drogi pomiędzy nabywcami towaru znane w literaturze jako problem komiwojażera, m.in.: algorytm Little a, algorytm włączania, algorytm poszukiwań lokalnych 2-optymalny i 3-optymalny oraz inne [1, 6]. Metody te dają rozwiązanie wtedy, gdy odbiorcy zaopatrywani są z jednego centrum dystrybucyjnego. Problem komiwojażera TSP (Travelling Salesman Problem) jest jednym z najstarszych problemów optymalizacyjnych występujących w działalności transportowej. W teorii sieci problem TSP polega na znalezieniu najkrótszego cyklu Hamiltona w n-wierzchołkowej sieci pełnej. Znalezienie właściwego cyklu Hamiltona, zwanego często marszrutą, jest zadaniem bardzo trudnym obliczeniowo. Zadanie to jest zaliczane do problemów NP-trudnych i jak do tej pory nie udało się znaleźć sposobu, dla którego czas rozwiązania problemu byłby proporcjonalny do wielomianu zmiennej n. Przy wzroście liczby klientów czas rozwiązania rośnie wykładniczo, stąd coraz częściej do rozwiązywania problemów dostaw wykorzystywane i poszukiwane są różnego rodzaju algorytmy heurystyczne, ewolucyjne, genetyczne, umożliwiające wyraźne zmniejszenie czasu obliczeń [5, 6]. W rozwiązaniach tych nie stawia się warunku optymalności rozwiązania, jakkolwiek uzyskiwane rozwiązania są bliskie optymalnym. Rozwinięciem zadania komiwojażera jest problem wielu komiwojażerów MTSP (Multiple Travelling Salesman Problem). W problemie MTSP zadanie realizuje wielu komiwojażerów, przy czym każdy z nich rozpoczyna i kończy marszrutę w tym samym magazynie. W rzeczywistych systemach logistycznych występuje wiele ograniczeń nie uwzględnianych w typowych algorytmach, jak na przykład narzucony termin dostawy, pojemność środków transportu, wymiary jednostek ładunkowych. Powoduje to ciągłe poszukiwania nowych algorytmów wspomagających realizację skomplikowanych zadań operatorów logistycznych. Najbardziej znany, typowy problem dostaw VRP (Vehicle Routing Problem) polega na minimalizowaniu kosztów transportu z jednego magazynu do dowolnej liczby odbiorców (klientów). Od zdefiniowania problemu przez Solomona w 1987 [10] roku trwają intensywne prace badawcze zmierzające do opracowywania algorytmów odwzorowujących zmieniające się wymagania 1 AGH w Krakowie; Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki; michlowi@agh.edu.pl 2 AGH w Krakowie; Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki; k.smolinska89@gmail.com 3 AGH w Krakowie; Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki; zwolinska@agh.edu.pl 4898

2 dostawców i odbiorców w łańcuchu dostaw. Początkowo do rozwiązania problemu wykorzystywano heurystykę przeszukiwania tabu zaproponowaną przez Cordeau i Solomona [2], a rozwijaną m.in. przez Nowickiego [7]. W odróżnieniu od problemu MTSP w zadaniu VRP każdy środek transportu (pojazd) ma zdefiniowaną ładowność, a klient zapotrzebowanie. A zatem całkowite zapotrzebowanie klientów nie może przekraczać ładowności środka transportu. Najogólniej rozwiązanie polega na minimalizowaniu liczby pojazdów, liczby tras oraz całkowitej długości tras. Aktualnie istnieje bardzo wiele odmian problemów dostaw. Najbardziej znanymi są: Problem dostaw ze zdefiniowanymi nośnościami pojazdów CVRP (Capacity Vehicle Routing Problem) wszystkie pojazdy posiadają identyczne ładowności. Problem dostaw z oknami czasowymi VRPTW (Vehicle Routing Problem with Time Windows) rozszerzenie CVRP o okna czasowe dla każdego klienta (interwał czasowy, w którym klient może być obsługiwany). Problem dostaw z różnymi nośnościami pojazdów SDVRP (Site-Dependet Vehicle Routing Problem) rozszerzenie CVRP; pojazdy posiadają różne pojemności, stąd ograniczenie w obsłudze niektórych klientów. Otwarty problem dostaw OVRP (Open Vehicle Routing Problem) zadanie kończy się po obsłużeniu ostatniego klienta; pojazd nie wraca do magazynu początkowego. Wielomagazynowy problem dostaw MDVRP (Multi Depot Vehicle Routing Problem) istnieje wiele magazynów centralnych. Problem dostaw z wieloma magazynami z oknami czasowymi MDVRPTW (Multi Depot Vehicle Routing Problem with Time Windows). Stochastyczny problem dostaw SVRP (Stochastic Vehicle Routing Problem). Problem dostaw ze stochastycznymi zapotrzebowaniami VRPSD (Vehicle Routing Problem with Stochastic Demands). Ogólny problem dostaw z oknami czasowymi RDPTW (Rich Delivery Problem with Time Windows) klienci mają zdefiniowane okna, zdefiniowana jest masa jednostki ładunkowej, a pojazdy posiadają różną nośność. Rozwiązanie problemu sprowadza się do minimalizacji trzech kryteriów: liczby pojazdów, całkowitej długości tras wszystkich pojazdów, kosztu realizacji zadania (lub zdefiniowanego wskaźnika kosztów). Do rozwiązywania tak złożonych problemów wykorzystuje się obecnie różne algorytmy hybrydowe. Są to najczęściej algorytmy genetyczne, ewolucyjne, adaptacyjne przeszukiwania dużego sąsiedztwa klasy ALNS (Adaptive Large Neighborhood Search) oraz heurystyki symulowanego wyżarzania (Simulated Annealing) i algorytmy mrówkowe (Ant Colony Systems). Zadanie optymalizacyjne można rozważać na wiele sposobów, w zależności od rozpatrywanych problemów. 1. ZADANIE TRANSPORTOWO PRODUKCYJNE Często zależności występujące w analizowanych procesach mają charakter nieliniowy. Dlatego też oprócz zadań liniowych formułowane są nieliniowe zadania decyzyjne (NZD). Zadanie decyzyjne nazywamy nieliniowym, jeżeli funkcja celu lub chociaż jeden z warunków ograniczających jest funkcją nieliniową (np. kwadratową, wykładniczą, logarytmiczną). Zadanie decyzyjne postaci: f(x) max, (1) f(x) min, (1 ) g i (x) 0 (i = 1,...,m), (2) g i (x) 0 (i = 1,...,m), (2 ) g i (x) = 0 (i = m + 1,...,r), (3) g i (x) = 0 (i = m + 1,...,r), (3 ) nazywamy zadaniem programowania nieliniowego (PN), jeżeli funkcja celu f(x) lub chociaż jeden z warunków ograniczających g i (x) jest funkcją nieliniową, przy czym x = (x 1,,x n ) oznacza n-wymiarowy wektor zmiennych decyzyjnych [1, 8]. Typowym zadaniem z nieliniową funkcją kosztów jest zadanie transportowo produkcyjne. 4899

3 Przedsiębiorstwo przetwarzające jednorodny surowiec posiada m punktów gromadzenia surowca oraz n zakładów przetwarzających ten surowiec. Dodatkowo należy ustalić: - jednostkowe koszty transportu od każdego punktu gromadzenia do poszczególnych zakładów przetwórczych, - ilość surowca zgromadzonego w każdym punkcie dostaw, - funkcje określające koszt przerobu surowca w każdym zakładzie w zależności od wielkości przerobu. Funkcje określające koszty przerobu są funkcjami wypukłymi i kwadratowymi. Uwzględniają one tylko koszty zmienne, czyli zależne od rozmiarów produkcji [6]. Całość nabytego surowca musi być przewieziona do zakładów i tam przerobiona. Przyjmuje się, że zakłady są w stanie przetworzyć dostarczoną ilość surowca (znane są możliwości przerobowe zakładów). Zwiększa to zdolności produkcyjne zakładów, ale powoduje także wzrost jednostkowych kosztów produkcji. Rosnące koszty przerobu są naturalnym ograniczeniem rozmiarów produkcji w każdym zakładzie. Sformułowanie zadania: Należy ustalić taki plan dostaw surowca do poszczególnych zakładów oraz przerobu surowca w tych zakładach, aby łączne koszty transportu i przerobu były minimalne. Przyjęto następujące oznaczenia: i - numer punktu gromadzenia (numer dostawcy), j - numer zakładu przetwórczego (numer odbiorcy), x ij - ilość surowca przesłana od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, x j - ilość surowca przerobiona przez j-tego odbiorcę, a i - ilość surowca, jaką musi wysłać i-ty dostawca, c ij - jednostkowy koszt transportu od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy, f j (x j ) - koszt przerobu x j jednostek surowca w j-tym zakładzie (u j-tego odbiorcy). Ponadto przyjęto, że wypukła funkcja kosztu f i jest wielomianem drugiego stopnia postaci: f j (x j ) = c j x j + e j x 2 j, c j,e j > 0 (4) gdzie: c j - opisuje minimalny koszt jednostkowy przerobu, e j - wyznacza tempo wzrostu kosztu jednostkowego. Pierwsza pochodna tej funkcji określa koszt krańcowy przerobu: f j (x j ) = c j + 2 e j x j (5) natomiast druga pochodna - tempo wzrostu kosztu krańcowego: f j (x j ) = 2 e j (6) Koszt przeciętny przerobu w j-tym zakładzie określony jest wzorem: K p j (x j ) = c j + e j x j. (7) Problem ustalenia optymalnego planu dostaw surowca i jego przerobu można przedstawić w postaci nieliniowego zadania decyzyjnego. Poszukiwane są takie wartości zmiennych x ij oraz x j, aby: przy warunkach: m n c x n ij ij i1 j1 j1 n j1 m x i1 ij f ( x j j ) min, (8) a i ; (i=1,,m), (9) x ij x j ; (j=1,,n), (10) x ij,x j 0 ; (i=1,,m; j=1,,n). (11) 4900

4 Funkcja celu (8) minimalizuje łączne koszty transportu i przerobu. Warunek (9) zapewnia, że każdy dostawca wyśle całość posiadanego surowca. Warunek (10) wymusza przerób w j-tym zakładzie całego surowca jaki do niego został dostarczony. Zadanie (8-10) jest zadaniem programowania kwadratowego o specjalnej - transportowej strukturze. Można je rozwiązać stosując algorytm wyrównywania kosztów krańcowych WKK. Koszt krańcowy, to koszt jaki ponosi producent w związku ze zwiększeniem wielkości produkcji danego dobra o jedną jednostkę. Stanowi on przyrost kosztów całkowitych związanych z produkowaniem dodatkowej jednostki dobra. Jeżeli zakład zwiększy swoją produkcję o jedną jednostkę, wówczas koszty całkowite produkcji zwiększą się. Różnica w wielkości kosztów jakie producent ponosił wcześniej i kosztów jakie ponosi po zwiększeniu produkcji stanowi właśnie koszt krańcowy. Jest to zatem koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki dobra. Pojęcie kosztu krańcowego może być również sformułowane w odniesieniu do konsumenta i oznacza wówczas koszt pozyskania dodatkowej jednostki dobra. Nazwa koszt krańcowy jest używana zamiennie z terminem koszt marginalny. Koszt krańcowy jest istotną kategorią mikroekonomiczną. Zaobserwowano, że dla typowych procesów gospodarczych koszty krańcowe początkowo maleją wraz ze wzrostem produkcji, aż do osiągnięcia minimum technologicznego. Dalsze zwiększanie produkcji ponad minimum technologiczne pociąga jednak za sobą coraz większe jednostkowe koszty kolejnych przyrostów produkcji i tym samym rosną koszty krańcowe. Obserwacja ta jest istotna w mikroekonomicznej analizie zachowań producenta i określaniu optymalnego poziomu produkcji. Zgodnie z teorią ekonomii koszt krańcowy nie może być ujemny. Oznacza to, że zwiększenie produkcji nie może pociągać za sobą zmniejszenia kosztów całkowitych. Metoda wyrównywania kosztów krańcowych polega na : wyznaczeniu możliwie najlepszego, dopuszczalnego rozwiązania wyjściowego, poprawie kolejnych rozwiązań X 1, X 2,, przez przesunięcia wyrównujące koszty krańcowe. Ciąg kolejnych rozwiązań X 1, X 2,, X r,, jaki uzyskujemy stosując metodę WKK, nie musi być skończony. Konieczne jest zatem przerwanie w pewnym momencie obliczeń. Istotne jest to, aby końcowe rozwiązanie nie odbiegało zbyt daleko (w sensie wartości funkcji celu) od rozwiązania optymalnego. Algorytm WKK sprowadza się do realizacji następujących kroków: 1. Wyznaczamy rozwiązanie wyjściowe: a. dla i-tego dostawcy (i=1,, m) ustalamy trasę o minimalnym koszcie krańcowym, b. na wybranej trasie lokujemy całą podaż i-tego dostawcy, c. aktualizujemy koszty krańcowe w kolumnie z wybraną trasą. Następnie przechodzimy do kolejnego dostawcy i powtarzamy kroki (a) - (c) tak długo, aż rozdysponujemy podaż wszystkich dostawców. 2. Sprawdzamy, czy aktualne rozwiązanie X r spełnia kryterium optymalności. Jeżeli tak, to końcowe rozwiązanie jest optymalne. Jeżeli nie przechodzimy do kroku Sprawdzamy, czy rozwiązanie X r jest ε - dokładne. Jeżeli tak, to kończymy obliczenia. Jeżeli nie, przechodzimy do kroku Poprawiamy rozwiązanie przez przesunięcia wyrównujące koszty krańcowe i wracamy do kroku 2. Mając wyznaczone rozwiązanie X r i macierz kosztów krańcowych K r dla każdego dostawcy, ustalmy różnice między maksymalnym kosztem realizowanym a kosztem minimalnym. W celu wyznaczenia parametrów wyjściowych należy określić liczbę dostawców oraz liczbę odbiorców, a następnie opisać macierz kosztów transportu pomiędzy dostawcami a odbiorcami, a także ustalić wartość wskaźnika dokładności względnej ε. W kolejnym kroku rozwiązania ustalana jest trasa o minimalnym koszcie krańcowym, na której lokowana jest cała podaż i-tego dostawcy. Po tak wykonanej operacji następuje aktualizacja kosztów krańcowych w kolumnie z wybraną trasą. W dalszej części algorytm przechodzi w podobny sposób do kolejnego dostawcy i powtarza operacje tak długo, aż rozdysponuje podaż wszystkich dostawców. 4901

5 Zadanie jest rozwiązywane przy pomocy programu WKK opracowanego w środowisku MatLab i wyposażonego w interfejs graficzny GUI. Przykładowe okna dialogowe do wprowadzania danych o kosztach transportu (dla n=3, m=3) i kwadratowej funkcji przerobu przedstawiono na rysunku 1. Rys.1. Przykładowe okna dialogowe programu WKK. Jako wynik użytkownik otrzymuje informację o poprawności rozwiązania zadania (rys. 2). Jeśli rozwiązanie jest optymalne (lub e dokładne) wynikiem jest tablica przedstawiająca następujące informacje: wielkość przerobu w poszczególnych zakładach, łączny koszt transportu i przerobu surowca, koszt transportu surowca, koszt przerobu surowca, koszty przeciętne, koszty krańcowe, sposób rozlokowania surowca. Rys. 2. Wyniki obliczeń w programie WKK. 2. EGZEMPLIFIKACJA PROBLEM TRANSPORTU I PRZETWARZANIA ODPADÓW Badaniom poddano dostawy odpadów medycznych i (grupa 18) w jednym z polskich województw (około Mg/rok) [4]. W rozważanym województwie źródłem odpadów jest 60 szpitali (małe, duże) oraz wiele ośrodków opieki zdrowotnej (nie uwzględnianych w obliczeniach). Na terenie województwa istnieją dwie spalarnie: SPA1 wydajność spalania (przetwarzania): 0.29 Mg/h, 4902

6 SPA2 wydajność spalania (przetwarzania): 1.13 Mg/h, oraz trzy małe zakłady utylizacji odpadów medycznych. W obliczeniach uwzględniono sześciu największych dostawców (szpitale). Zadanie sformułowano następująco: sześciu dostawców: D1, D2, D3, D4, D5, D6 zaopatruje w odpady medyczne dwie spalarnie: SPA1, SPA2, przy ograniczeniach: SPA1: może przyjąć i przetworzyć w ciągu roku 700 lub 1000 Mg odpadów, SPA2: może przyjąć i przetworzyć w ciągu Mg odpadów. Dane zestawiono w tablicy 1 i obejmują one: jednostkowe koszty transportu (w zł za km); oferowane miesięcznie wielkości dostaw Ai (w tonach), miesięczne zapotrzebowanie spalarni Bj (w tonach). Tab. 1. Jednostkowe koszty transportu, podaż i popyt. Spalarnie Dostawcy wariant v1 wariant v2 wariant v3 SPA1 SPA2 podaż SPA1 SPA2 SPA1 SPA2 [zł/tkm] [zł/tkm] A i [Mg] [zł/tkm] [zł/tkm] [zł/tkm] [zł/tkm] D D D D D D Popyt B j [Mg] W obliczeniach rozpatrzono kilka wariantów, przy czym podaż odpadów nie ulegała zmianie, natomiast zarówno popyt (możliwości przerobu), jak i koszty przetwarzania (opis funkcji) były zmieniane. Przykładowo dla wariantu v1 przyjęto wg tab. 1 następujący popyt: dla spalarni S1 700 Mg/rok, dla spalarni S Mg/rok. Ponadto na podstawie przeprowadzonych studiów przyjęto, że funkcje przerobu mają postaci: f 1 (x 1 ) = 15 x x 1 2 oraz f 2 (x 2 ) = 15 x x 1 2. Uzyskane wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 3 (ekran wyników końcowych). W przypadku wariantu v2 (dane wg tab. 1) przyjęto popyt: dla spalarni S Mg/rok, dla spalarni S Mg/rok. Funkcje przerobu mają postaci: f 1 (x 1 ) = 10 x x 1 2 oraz f 2 (x 2 ) = 10 x x 1 2. Uzyskane wyniki przedstawiono na rysunku

7 Rys. 3. Wyniki obliczeń w programie WKK dla wariantu v1. Rys. 4. Wyniki obliczeń w programie WKK dla wariantu v2. Zbiorcze zestawienie wyników przedstawiono w tablicy 2. Zestawienie zawiera wyniki najlepsze. Tab. 2. Zestawienie wyników dla zadania ZP-T. Dostawcy wariant v1 Spalarnie wariant v2 przerób [Mg] zapas przerobu [Mg] koszty transportu [zł] koszty przerobu [zł] łączne koszty transportu i przerobu [zł] koszty przeciętne [zł/mg] koszty krańcowe [zł/mg]

8 WNIOSKI Z zestawienia wynika, że łączne koszty realizacji zadania dla wariantu v1 wynoszą zł i są o ponad zł większe od kosztów realizacji wariantu v2. Taka różnica wynika przede wszystkim z tego, że dla małych spalarni koszty przerobu są wyższe, niż dla większych. Stąd zresztą postulat ekspertów, by w Polsce budować spalarnie o wydajności ponad Mg na rok Z przeprowadzonych badań wynika także, że efektywne wykorzystanie środków wydatkowanych w zakresie gospodarki odpadami jest możliwe tylko przez rozwiązania systemowe typu logistycznego, które będą skuteczne pod względem techniczno-informacyjnym i jednocześnie optymalne pod względem nakładów finansowych. Zaproponowane w pracy podejście wykorzystujące rozwiązywanie zadania produkcyjno transportowego z wypukłą funkcją kosztów powinno ułatwiać podejmowanie decyzji w procesach gospodarki odpadami. Streszczenie W artykule rozważana jest optymalizacja problemów dostaw VRP w odniesieniu do systemów dystrybucji. Są to zagadnienia należące do klasy NP-trudnych problemów. Przeanalizowano aktualne rozwiązania różnych problemów dostaw (VRP, TSP, MTSP, VRPTW, RDPTW). W zadaniu transportowo produkcyjnym wykorzystano algorytm wyrównywania kosztów krańcowych WKK. Dla istniejącej sieci punktów gromadzenia odpadów i zakładów ich przetwarzania, zgodnie z przyjętym algorytmem, należy wyznaczyć optymalny pod względem kosztowym rozdział zadań przewozowych do odpowiednich spalarni. Przyjęto, że funkcje określające koszty przerobu są wielomianami drugiego stopnia. Optimize the distribution of transport production tasks Abstract The paper considers the optimization of supply problems for VRP distribution systems. These issues belong to the class NP-hard problems. We analyzed the current supply solutions to problems (VRP, TSP, MTSP, VRPTW, RDPTW). The task of transportation-production algorithm uses marginal costs equal to JCC. For the existing network of collection points and processing plants, according to its algorithm, determine the optimal allocation of tasks to the cost of transport to the respective plants. It was assumed that the functions determining the processing costs are polynomials of the second degree. BIBLIOGRAFIA 1. Bellman R.: Dynamic Programming, Princeton University Press., Princeton Cordeau J.-F., Desaulniers G., Desrosiers J., Solomon M., Soumis F.: The VRP with Time Windows, SIAM, Philadelphia Jacyna M.: Modelowanie i ocena systemów transportowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Michlowicz E.: Optimization of the cost of transport and disposal of medical waste, Polish Journal of Environmental Studies, Vol. 20, No. 4A, Michlowicz E.: Problem komiwojażera dla kilku centrów dystrybucji, Prace Naukowe Transport z. 70, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa Miller R., E.: Optimization. Foundations and Applications, John Wiley & Sons, Inc., New York Nowicki E.: Metoda tabu w problemach szeregowania zadań produkcyjnych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław Sikora W: Badania operacyjne, PWE, Warszawa Snyder L.V., Shen Z.M.: Fundamentals of supply chain theory, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken Solomon M.: Algorithms for the Vehicle Routing and Scheduling Problem with Time Windows Constraints, Operation Research, No 35, Taylor G.D.: Logistics Engineering Handbook, CRC Press Taylor & Francis Group, Boca Raton