Grawitacja po feynmanowsku. Lesław Rachwał (IFT UW) Wykład SKFiz

Transkrypt

1 Grawitacja po feynmanowsku Lesław Rachwał (IFT UW) Wykład SKFiz

2 Czym jest grawitacja? - jedno z oddziaływań fundamentalnych - niepodobne do innych znanych, ale nie jest wyjątkowe - niezmiernie słabe w fizyce wysokich energii ( G N =6, GeV ) - klasycznie opisywane relatywistyczną teorią pola

3 Trzy drogi do klasycznej grawitacji Zasada równoważności i lokalne układy inercjalne Podejście Feynmana Teoria cechowania grupy Poincare'go + brak torsji

4 Grawitacja Newtona w 3 wymiarach przestrzennych (oddziaływanie kontaktowe): (prawo powszechnego ciążenia) M m r = G N F (~ prawo Coulomba) 3 r Pole grawitacyjne newtonowskie (lokalnie): =m = r =4 G N r F (równanie Poissona) Pole globalnie: S d A= g g = 4 G N V dv (~ prawo Gaussa Opis teleologiczny (wariacje całki działania ): S g = V 1 d r 4 G N 3 Teoria liniowa zasada superpozycji Na podstawie R.F. Charakter praw fizycznych

5 Ruch masy próbnej w potencjale newtonowskim Równania ruchu Newtona: r = = Zasada wariacyjna: A = r,0 [ ] 0 d x 1 dx dx S m= d 1 S el = d [ x e A x ] niezależny od czasu rozkład masy r, statyczna przestrzeń, absolutny czas newtonowski Co jest więc tu nieścisłe?

6 Pierwsza przyczyna relatywistyczne pole grawitacyjne Równoważność masa bezwładna-energia: E=m in c Zasada równoważnosći mas bezwładnych i grawitacyjnych: min =m gr1=mgr Statyczne słabe pole newtonowskie ma gęstość energii! 1 w= 8 G N 1 w= 0 E W elektrostatyce Pole grawitacyjne jest więc samo swoim źródłem! (samooddziaływanie, teoria nieliniowa) 00 Klasyczne pole fizyczne relatywistycznie: w=t Źródłem tensor energii-pędu sprzężenie do zachowanego prądu energii-pędu T w gr = c T =0

7 Tensorowe pole grawitacyjne W lagranżjanie oddziaływania: L el = e A j = 8 G N L gr = T h Pole grawitacyjne relatywistycznie opisuje symetryczny tensor hµν(x) (uogólnienie potencjału wektorowego Aµ(x) ) ℏ=c= 0 =1 W płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego hµν pole o spinie W części kinetycznej dla hµν(x) Źródło pola grawitacyjnego: Tensor energii-pędu układu Działanie dla całego układu: 1,, L kin = h h, h, h T =T mat T gr S=Sgr Smat S int Jak wygląda dokładne Sint (z uwzględnieniem pola grawitacyjnego)?

8 Budowa teorii samouzgodnionej h = T Równania pola grawitacyjnego dokładne: h = T k 1 a =a a 0-wy krok: T 0 =T mat T =T mat T T A = j (CED) = T h T gr h 1-y krok: 1 1 gr 1 gr 1 h, =a h = T, 1 h =O h 1 T itd. Kolejne rzędy w szeregu rozwinięcia w małym parametrze λ Teoria uzgadnia się (spójność równań ruchu, pola i zasady zachowania energii i pędu) w kolejnych potęgach λ T 1 =0 O gr

9 Znana teoria pola samouzgodnionego Elektrostatyka liniowego jednorodnego izotropowego dielektryka w kondensatorze płaskim: Q 0= D D = = =const o E S 0 E = E 0= 0 Procedura iteracyjna liniowa w każdym kroku (i >0) : i i i 1 P = 0 E i i E =E E d 0 P i E d = 0 Zbieżna gdy χ < 1, a rozwiązanie samouzgodnione dla χ > -1 (kontynuacja analityczna), równania liniowe, gdzie źródło? P = 0 E E= E0 1 = P Ed = 0 E D 0 = 0 r E = E0 Ed E = 0 r E 1 = E0 r=1

10 Zachowanie prądów Elektrodynamika (teoria liniowa, cechowanie abelowe): j j =0 D = iq A A A' = A Teoria Yanga-Millsa (cechowanie nieabelowe, samooddziaływanie): j =j mat j YM j =0 D= iq A A A' = A fa D j mat =0 Grawitacja (nieliniowa, samooddziaływanie, infinit. cechowanie): mat gr T =0 T =T T h h' =h D T mat =T mat ; =0 poch. kowariantna [, ]= h, h, h, k x = h x k D T mat =k T mat [, ] T na podstawie r-ń mat ruchu

11 Teoria zgodna we wszystkich rzędach Samozgodny tensor energii pola grawitacyjnego χµν(x) Efekt nieliniowy T mat, =0 T, =0 Pomaga zasada wariacyjna, funkcjonał F [hµν] S F =F F F 3 4 F = T mat h Kowariantne grawitacyjnie zachowanie źródeł: tensora energii-pędu materii k T mat, x [, ] T mat x =0 funkcjonalne równanie różniczkowe: k F h T mat ; F [, ] =0 h, =0

12 Szukamy rozwiązania Warunek ujednoznaczniające F [hµν]: co najwyżej drugie pochodne hµν(x), równoważny problem: niezmienniczość F w rzędzie ξ pod wpływem transformacji infinitezymalnych: x =x ' Transformacja pola kµν(x) przy infinit. przesunięciu k ' =k k, k Oznaczenia: 1 k = k, k, k =det k G =k [, ] Transformacje gradientów hµν,σ(x), [µν,σ](x), Gτµν(x) h ', =h, h,, h,, h, h, h,, h, [, ] '=[, ] [, ], [, ], [, ], [, ], h, G' =G R G =G,, G G,, G G G, G G, G,

13 Wreszcie równania Einsteina! Transformacje tensora Rτµνσ(x): R' =R, R, R F = dv 4, R, R R, 1 F = dv 4 k R k Dwa niezmienniki: 0 k Zwariujmy F względem hµν(x) F 1 k R 1 1 = = k R k R h x h R =R Równania OTW: 1 k R k R = T R=k R 1 R k R = T T ;=0 T ; =0 T =

14 Widok z góry Zbudowaliśmy spójną relatywistyczną teorię pola grawitacyjnego, nieliniową, samouzgodnioną, bez rozwijania w potęgach λ 1 opisaną działaniem Einsteina Hilberta: 4 S ' gr = d x R k sprzężoną do zachowanego kowariantnie grawitacyjnie źródła w postaci tensora energii-pędu samej materii T =0 S int = d 4 x T mat k x mat ; S=S mat S ' gr S int O istnieniu pola grawitacyjnego decyduje niezerowość tensora pola 1 Rµν(x), (tam gdzie materia) R = T k k T analogiem cechowalnego potencjału hµν(x) Pole grawitacyjne hµν(x) powstało na płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, ale czy dalej na niej żyje, czy (t,x,y,z) są najbardziej naturalnymi współrzędnymi opisującymi procesy fizyczne w obecności pola grawitacyjnego? d =dt dx dy dz

15 Przyczyna druga ruch relatywistyczny Ruch p. materialnego swobodny (bez żadnych oddziaływań): S 0 = d = dz dz = dz dz d z Ruch ładunku punktowego w elektrodynamice: m dz S=S0 S int = d dz j x =e d z x 4 Ruch grawitującej masy: dz dz e d A z d z dz m =ef z dz 4 T x =m d x z S int = d x T x h x = m d z z h z 4 dz m S=S0 S int = d z z m d z z h z = 1 = m d k z z z [k x = h x ]

16 Równania ruchu mas w grawitacji d k z h, z z =0 k z = 1 h, h, z z [, ]= h, h, h, k z = [, ] z z Zróżniczkujmy po parametrze α: k z z = k z z h, z z z =0 Stałość wzdłuż trajektorii masy próbnej: k z z =const ds =1 ds=d sanalog czasu własnego w obecności pola grawitacyjnego z naturalna czteroprędkość kinetyczna unormowanie: k z z =1 Naturalny parametr s: ds k z z =

17 Teoria zgodna we wszystkich rzędach Samozgodny tensor energii pola grawitacyjnego χµν Efekt nieliniowy T mat =0, Pomaga zasada wariacyjna, funkcjonał F[hµν] F = T h F =F F F 3 4, T =0 4 Najprostszy tensor energii pędu: T mat x =m ds x z s z z punktu materialnego bez spinu 4 Gęstość przyspieszenia: T x = m ds x z s z mat, Przyspieszenie tylko na skutek grawitacji: k T mat, x [, ] T mat x =0 k z = [, ] z z k Niekowariantne grawitacyjnie zachowanie źródeł: tensora energii-pędu T mat ; F h =0 F [, ] =0 h,

18 Naturalna skala czasu nie tylko gradienty ale i same d k z h, z z =0 potencjały grawitacyjne hµν(x) Załóżmy, że w pewnym obszarze czasoprzestrzeni: h00 = h0i =hij=0 k 00 =1 k ij=0 k ii= 1 1 Dla masy próbnej (s =0): S= m d k z z z = d m = d [ 1 t x y z ] Podstawienie naturalnej skali czasu m S= d [ t ' x y z ] t' =t 1 lokalnie dla ustalonego r tylko grawitująca masa próbna (nic się nie dzieje), wprowadźmy inne oddziaływania w lagranżjanie układu (materia + oddziaływania) L nongr T = L nongr, Tensor energii-pędu pól materii: L, =L nongr h T,

19 Grawitacyjna dylatacja czasu L nongr L L= 1 L,t H =T = L nongr nongr,t,t Podstawienie t' = 1 t sprowadza działanie w obecności pola grawitacyjnego 00,t S gr = d x 1 dtl nongr,,i, 1 1 / 3 1 / 1 / dt' = 1 dt 1 dt do postaci, gdy pola grawitacyjnego brak!,t ' = 1,t 1 /,t = gr 1 S gr = d x dt' L nongr,,i,,t' 3 Naturalna współrzędna czasu t'(t) opisuje dylatację czasu w statycznym potencjale grawitacyjnym, reszta fizyki opisywanej Lnongr pozostaje niezmieniona. Rozumowanie Einsteina z fotonami (energia skalą czasu) Grawitacja sprzęga się do zawartości energetycznej ciał E E pot gh nie ma perpetuum mobile = 0 1 c E =ℏ

20 Transformacje (nie)współrzędnych Oszustwo: nie było w ogóle grawitacji! h = r Dla słabych statycznych pól: Można było wykonać transformację współrzędnych (czasu t'(t) ) (mamy taką swobodę) i schowaliśmy grawitację, dla odpowiedniego hµν(x) prawdziwej grawitacji ( R x 0 ) nie da się ukryć! Ale użyjmy transformacji niewspółrzędnych, różniczek: x a x (macierz Jacobiego) x' by zamienić kµν(x) formalnie w ηµν w lagranżjanie oddziaływania z =a x dx polem grawitacyjnym, ale wtedy nasza przestrzeń płaska Minkowskiego (na której żyły pola) dostanie nową metrykę, bo transformacja różniczek: dx ds =d =g Okazuje się, że g x ' =a a =k x Wprowadzamy wreszcie współrzędne na tej rozmaitości: dx ' =

21 Dalsze wnioski Oderwaliśmy się od czasoprzestrzeni Minkowskiego, bo pomiary i procesy w niej były opisane w nienaturalnych współrzędnych (t,x,y,z) (przyczyną wszechobecne oddziaływanie grawitacyjne) Czasoprzestrzeń Minkowskiego nie była dostępna fizycznie! Przykład: gorąca płyta Robertsona: ds ' = 1 T x, y T 0 dx dy W czasoprzestrzeni wszystkie nasze linijki i zegarki są rozszerzalne cieplnie - oddziaływują z polem grawitacyjnym, nie ma absolutnej czasoprzestrzeni, jest względność układów współrzędnych, g x ' =e x ' e x ' Otrzymaliśmy nową rozmaitość czasoprzestrzenną z metryką gµν(x') bez oddziaływań grawitacyjnych, na niej znów możemy dokonywać transformacji współrzędnych (ale tylko nich), lagranżjany są kowariantne geometrycznie (zakrzywiona rozmaitość) ale już nie grawitacyjnie, element objętości k = g

22 Standardowe podejście OTW Czasoprzestrzeń pseudoriemannowską rozmaitością różniczkową E, g Przestrzeń styczna w punkcie lokalny układ inercjalny Swoboda dowolnych transformacji współrzędnych Równania Einsteina 1 R g R =8 G N T x x' Istotne efekty, gdy R x 0 czasoprzestrzeń Ricci-zakrzywiona nie można dyfeomorficznie wypłaszczyć 1 g = g Formalizm geometryczny: d =g dx dx czas własny: A; =A, A pochodne kowariantne: =g, współczynniki Christoffela: ruch po geodezyjnych: Du du = u u =0 R x ' tensor krzywizny: dynamiczna czasoprzestrzeń, brak pola gr. D d [ ]

23 Geometryczne podejście (Jedno z wielu możliwych sposobów opisu grawitacji) Geometrii różniczkowej potrzebujemy już do: opisu w krzywoliniowych układach współrzędnych w przestrzeni Euklidesa i w nieinercjalnych w płaskiej Minkowskiego g 0 R =0 teorii pola na zakrzywionych rozmaitościach: (elektrodynamika w falowodzie) F ; =j opisu gorących płyt (współrzędne absolutne i fizyczne) R 0 R 0 R =0 F [, ]=0 R 0 opisu teorii cechowania (Ricci zakrzywienie w wewnętrznych i zewnętrznych (grawitacja) polowych stopniach swobody). Ale możliwe także inne sprzężenia do grawitacji (nieminimalne): - teoria Bransa-Dickego, - teoria niedynamicznego Ricci-zakrzywienia (jak niedynamiczna topologia czasoprzestrzeni) - sprzężenia z wyższymi pochodnymi i potęgami skalara Ricciego R

24 Nierelatywistyczna grawitacja Newtona Nawet, gdy statyczny rozkład gęstości masy-energii r Nierelatywistyczny ruch v 1 na płaskiej przestrzeni z oddziaływaniem newtonowskim = z = albo ruch efektywnie swobodny z k z z =1 d 0 =dt d r k 00=1 k ij=0 k ii 1 d 1 dt d r Naturalna skala czasu procesów fizycznych: lokalnie dla ustalonego wektora położenia r dt' = 1 r dt Dla wolnych ruchów przestrzeń jest płaska, ale naturalny czas t' jest wewnętrznie wykrzywiony i różnie płynie w różnych miejscach r, ale tak by była zachowana całkowita energia grawitującej masy 1 E=E pot E kin =m m r =const

25 Relatywistyczny ruch w słabym polu Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego ze słabym polem grawitacyjnym (linearyzacja równań ruchu) k z = [, ] z z w pewnym ustalonym układzie inercjalnym h 1 0 czas własny Minkowskiego:d równanie ruchu masy próbnej: h dz dz d =1 d 0 d 0 = d z d z d =k d z d z k z = [, ] z z 00 T = r [ t x j, t ]=[ t t, x j ]= j h = r Czteroprędkość Minkowskiego i kinetyczna : d z u0 = d 0 dz u = d u = 1 h z z u 0 Równania ruchu we współrzędnych płaskich (Minkowskiego): 0 d u0 0 0 =u 0 u 0 u0 3 d 0 d u0 d 0 1 = u 0 1 u0 u 0 u problemy z zachowaniem energii relatywistycznej w ruchu, siła Newtona oraz część równoległa do prędkości (nie jak u Lorentza)

26 Wady i zalety teoriopolowej grawitacji - skomplikowane powiązanie z geometrią czasoprzestrzeni, - początkowe wyróżnianie przestrzeni Minkowskiego jako tła w rachunku perturbacyjnym + grawitacja jako oddziaływanie ze swoim polem, możliwość unifikacji z innymi oddziaływaniami, + obrazek kwantowy oddziaływań przez wymianę cząstek, ruch nieswobodny w polu grawitacyjnym, + łatwe przejście do rachunku perturbacyjnego, kwantowanie zlinearyzowanej teorii grawitacji (pomysł Feynmana), + interpretacja wielkości zachowanych w ruchach i sprzężeń, + proste przejście do teorii supergrawitacji i teorii strun, + niezależność od wyboru układu współrzędnych jest wbudowana, + możliwe oparcie na niezmienniczości względem cechowania, + podobieństwo do innych teorii pola (skalarnych, wektorowych), + inna wersja tej samej fizyki grawitacyjnej,

27 Co jeszcze można tu zrozumieć? - Rozwiązania statyczne i sferycznie symetryczne lub płaskie ( kondensator grawitacyjny) - Ich powiązanie ze standardowymi rozwiązaniami OTW Schwarzschild a Flamm, - problem energii i pędu w ruchu relatywistycznym, a wybór obserwatora, - ujednoznacznienie sprzężeń z innymi polami, kwantowa zasada równoważności - kwantowanie w zakresie dwu i więcej pętli

28 Literatura R.P. Feynman, F. Morinigo, W. Wagner Feynmana wykłady z grawitacji, Prószyński i S-ka 007 (odnośniki do artykułów Gupty, Desera, Kraichnana, Walda, Boulware'a) S. Weinberg Gravitation and Cosmology, John Wiley&Sons 197 B. Schutz Wstęp do ogólnej teorii względności, PWN 1995 C. Misner, K. Thorne Gravitation, Freeman&Co. 1973

29 Podziękowania: konsultacja: - prof. B. Grządkowski (Particles&Gravity I) - dyskusje: Łukasz Rudnicki Adrian Lewandowski - słuchaczom (za wytrwałość :-)) Dziękuję za uwagę!