3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej

Transkrypt

1 Klasa I - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Zadanie 1 ( pkt ) Uzasadnij, że 7 50 : jest liczbą większą od 8. Zadanie ( pkt ) Spośród 40 uczniów pewnej klasy 17 gra w szachy, 1 w brydża, a 6 gra w szachy i w brydża. Ilu uczniów : a) gra w brydża a nie gra w szachy, b) nie gra ani w szachy ani w brydża? Zadanie 3 ( 3 pkt ) Wykaż, że liczba 3 n+3 + n n+1 + n+ jest podzielna przez 6 dla dowolnej liczby naturalnej n N Narysuj trójkąt ABC, którego wszystkie kąty są ostre. Znajdź środek O boku AB i zakreśl okrąg o środku O i promieniu długości OA. Okrąg ten przetnie odpowiednio bok BC w punkcie D, a bok AC w punkcie E. Poprowadź odcinki AD, BE. Czym są te odcinki dla trójkąta ABC? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 5 ( 4 pkt ) Robertowi podano szklankę czarnej kawy. Wypił 0, szklanki kawy i dopełnił szklankę mlekiem. Następnie po wymieszaniu znów wypił 0, zawartości szklanki i znów dopełnił mlekiem. Ponownie wymieszał i po wypiciu 5 3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej części jest o 8 cm 3 więcej kawy niż mleka. Oblicz jaka była pojemność szklanki. Zadanie 6 ( 4 pkt ) Uzasadnij, że a + 1 dlaa > 0 = a 1 dlaa < 0 a + 1 a Zadanie 7 ( 4 pkt ) W trapezie równoramiennym ABCD wysokość ma długość 14 cm, a jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku :5. Oblicz pole tego trapezu Zadanie 8 ( 4 pkt ) Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań : x + y = m x + 3y = jest parą liczb o różnych znakach? Zadanie 9 ( 5 pkt ) Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny ABCD ( (AB AD) znajduje się w odległości 6 i 8 jednostek od końców dłuższego ramienia. Oblicz obwód trapezu. Zadanie 10 ( 5 pkt ) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy jest równy α, natomiast wysokość ostrosłupa ma długość h. Wyznacz objętość ostrosłupa w zależności od α i h.

2 Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Zadanie 1 ( pkt) Wykaż, że liczba jest podzielna przez 3. Zadanie ( pkt) Dany jest kwadrat o boku długości a. Przekątna tego kwadratu jest bokiem drugiego kwadratu. Przekątna drugiego kwadratu jest bokiem trzeciego kwadratu. Jaka jest długość przekątnej trzeciego kwadratu, jeżeli a =. Sprawdź, czy liczba : jest liczbą wymierną. Przekątne rombu tworzą z jednym z boków kąty, których miary różnią się o 1 0. Oblicz miary kątów tego rombu. Cyfra jedności pewnej liczby czterocyfrowej a jest 5. Jeżeli tę cyfrę przestawimy na początek, to otrzymamy liczbę o 77 większą od liczby a. Znajdź liczbę a. W trapezie równoramiennym wysokość ma długość 14 cm, a jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku :5. Oblicz pole tego trapezu. Na Kongres Matematyczny przybyło 100 matematyków, z których 85 posługiwało się językiem angielskim, 80 francuskim, 70 polskim, 66 rosyjskim. Czy wśród matematyków był taki, który posługiwał się czterema językami? Farmer rozdał konie swoim synom. Pierwszy otrzymał 9 1 wszystkich i jeszcze jednego, drugi 1 1 pozostałych i jeszcze dwa, trzeci reszty i jeszcze trzy itd. Okazało się, że wszyscy 9 9 synowie otrzymali po tyle samo koni. Ilu synów miał farmer? Piła ma 60 centymetrów długości i zęby będące przystającymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość każdego z zębów jest równa 3 jego podstawy. Po zębach piły maszeruje mrówka. Jaką drogę przejdzie pokonując wszystkie zęby. Znajdź wszystkie liczby naturalne podzielne przez 8, których suma cyfr wynosi 7, zaś iloczyn cyfr jest równy 6.

3 Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Zadanie 1 ( pkt) a + b 1 3a Wiedząc, że = dla b 0. Oblicz b 4 a + b Zadanie ( pkt) Przekątne prostokąta przecinają się pod kątem Oblicz stosunek długości boków tego prostokąta. Udowodnij, że ( ) = 4 Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu x y = m 1 jest para liczb x y = 3 m dodatnich takich, że każda z nich jest mniejsza od 3. W trapezie prostokątnym ABCD, ( AD AB) długości podstaw i ramienia prostopadłego do podstaw są odpowiednio równe a, b i c. Wyznacz odległość punktu przecięcia się przekątnych tego trapezu od podstawy AB. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta ABC przy wierzchołkach A i B przecinają się w punkcie S. Przez punkt S poprowadzono prostą równoległa do boku AB, która przecina bok AC w punkcie D, zaś bok BC w punkcie E. Wykaż, że DE = AD + BE. Stara legenda głosi, że czeska królewna Libusza obiecała oddać swą rękę temu z trzech ubiegających się o nią rycerzy, który rozwiąże zadanie: "Ile brzoskwiń mieści koszyk, z którego połowę całej zawartości i jedną brzoskwinie oddam pierwszemu, zaś drugiemu połowę reszty i jedną brzoskwinię, wreszcie trzeciemu połowę pozostałych i trzy ostatnie?" Oblicz ile brzoskwiń otrzymałby każdy z rycerzy. Wśród 400 badanych osób 65% biegle zna język angielski,47% zna biegle język francuski, a 4% zna biegle oba języki. Oblicz ile osób spośród badanych nie zna żadnego z tych języków. Jeden z boków trójkąta ma długość Kąty przylegające do tego boku mają miary równe odpowiednio 45 0 i Oblicz pole i obwód tego trójkąta. Suma cyfr liczby dwucyfrowej należy do zbioru rozwiązań nierówności t 9 1 < 0. Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry, to stosunek otrzymanej liczby do liczby początkowej będzie wynosił 5 : 6. Jakie to liczby?

4 Klasa I LO, I Technikum zakres podstawowy Etap rejonowy rok Zadanie 1 ( pkt) Wykaż, że suma jest podzielna przez 56. Zadanie ( pkt) Dany jest zbiór A= {, 1,0,1, }. Podaj za pomocą tabelek dwie funkcje g, h z których każda odwzorowuje zbiór A w zbiór A i ponadto: - g jest funkcją rosnącą - h ma jedno miejsce zerowe równe. Wyznacz najmniejszą i największą wartość b dla której wykres funkcji y = 3x + b ma co najmniej jeden punkt wspólny z prostokątem ABCD, gdzie A(-1,-1), B (3,-1), C(3,), D(-1,). Ojciec ma 48 lat, a syn 1. Przed ilu laty ojciec był 10 razy starszy od swego syna? Obwód prostokąta jest równy l a jego pole powierzchni p. Oblicz długość przekątnej tego prostokąta. W obliczeniach możesz wykorzystać wzór skróconego mnożenia ( a + b) = a + ab + b. Kwadrat podzielono na dwa prostokąty, których stosunek obwodów wynosi 5:4. Jaki jest stosunek pól tych prostokątów? W trójkącie równoramiennym ABC, gdzie AC = BC, podstawa przystaje do wysokości opuszczonej na nią i ma długość h centymetrów. Wyznacz długość odcinka AM, gdzie M jest środkiem boku BC. Wykorzystaj twierdzenie Środkowe w trójkącie przecinają się w punkcie O, który dzieli każdą z nich na dwie części, z których odcinek łączący wierzchołek z punktem O jest dwa razy dłuższy od pozostałej części tej środkowej. W zbiorze żarówek 3% stanowią żarówki uszkodzone. Ile co najmniej uszkodzonych żarówek trzeba usunąć, aby w pozostałych było mniej niż % żarówek uszkodzonych? Wskazówki zegara wskazują dokładnie godzinę dziewiątą. Oblicz po jakim czasie ( od tej chwili) wskazówka minutowa dogoni wskazówkę godzinową, zakładając, że wskazówki poruszają się ruchem jednostajnym. 1 Znajdź pole trójkąta ograniczonego wykresami funkcji : y = x i y = x +.!

5 Klasa I LO, I Technikum zakres podstawowy Etap II rok Zadanie 1 ( pkt) n 6 Wyznacz liczbę naturalną n taką, że 10 jest dwucyfrową liczbą pierwszą mniejszą od 0. Zadanie ( pkt) Sprawdź, czy liczba postaci jest liczbą całkowitą 5 Na trzech drzewach siedziało razem 36 sikorek. Kiedy z pierwszego drzewa przeleciało na drugie drzewo 6 sikorek, a z drugiego na trzecie 4 sikorki, to na każdym drzewie siedziała jednakowa liczba sikorek. Ile sikorek siedziało początkowo na każdym drzewie? Na zabawie było 1 osób (chłopców i dziewcząt). Jeżeli jeden chłopiec opuści zabawę, to liczba sposobów doboru par tańczących zmniejszy się o 7. Ile było dziewcząt na tej zabawie? Uwaga: tańczą jedynie pary dziewczynka - chłopiec. Wyznacz wszystkie możliwe wartości m, n dla których liczba 13m54n jest podzielna przez 36. Odpowiedź uzasadnij. Zastęp harcerzy miał do przebycia pewną trasę. W pierwszym dniu harcerze przebyli 9 4 trasy, w drugim pozostałej trasy, a w trzecim pozostałe 35, kilometra. Ile kilometrów przebyli harcerze po dwóch dniach? Zadanie 7 (4 pkt) Czy trójkąt o bokach: a = 4 168, b =, c = jest prostokątny? Wysokość trójkąta równobocznego jest krótsza od jego boku o 1. Oblicz pole trójkąta. Jeżeli liczbę dwucyfrową podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 6 i resztę 3. Jeżeli natomiast podzielimy tę liczbę przez sumę cyfr powiększoną o, to otrzymamy 5 i resztę 5. Jaka to liczba? W trapezie równoramiennym wysokość ma długość 14 cm, a jego przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą się w stosunku :5. Oblicz pole tego trapezu.