Reprezentacje zmiennoprzecinkowe Reprezentacje zmiennoprzecinkowe

Transkrypt

1 F. znacznk (sgnfcanmnoŝnk awnej zwany mantysą (mantssa baza (ostawa rerezentacj (rax ustalona zaś wykłank (exonent zwany awnej cechą (characterstc. znacznk lczba wymerna (stałorzecnkowa ze znakem wykłank lczba całkowta rerezentacja lczb uŝych małych ostulaty uŝa okłaność uŝy zakres łatwe orównane łatwe wykonane ostawowych załań arytmetycznych stanary I 754 (985 arytmetyka wójkowa I 854 (987 arytmetyka w owolnej ostawe Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP Weloznaczność rerezentacj zmennorzecnkowej owolne wele róŝnych rerezentacj lczby Przykła F ( Ogranczene jenostronne znacznka ( k < ne jest wystarczające bo naal jest wele legalnych rerezentacj tej samej lczby o legalne wszystke rerezentacje z owolną lczbą woących zer < k - k < ( wykorzystane rzestrzen koowej jest neełne mogą stneć legalne rzyblŝena znacznka róŝnące sę okłanoścą Koneczne ogranczene wustronne Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP

2 Normalzacja rerezentacj zmennorzecnkowej znacznk znormalzowany < [ 0 : [ mn F > 0 brak znormalzowanej rerezentacj zera! ½ < ¾ ½ ¼ 0 ¼ ½ ¾ < 3 / ½ 0 ½ Przezały znormalzowanych wartośc znacznka rzy 0 Problem rerezentacj zera sztuczna rerezentacja jako cągu samych zer zero jako jena z lczb enormalzowanych (e-/sub-normalze o mn F lczby enormalzowane mn < Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 3 3 / Realzacja ostawowych załań arytmetycznych argumenty znormalzowane (lub enormalzowane F wynk załana normalzacja wynku: W F < W f F F... ( W tak aby s : W s < mn W s namar zmennorzecnkowy (exonent overflow s W : W < W > neomar zmennorzecnkowy (exonent unerflow s W : W < W < mn Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 4

3 noŝene F F ( ( ( < < albo < albo < normalzacja loczynu (ε0 lub ε ε F F ( nezbęna normalzacja jeśl > lub <0 otrzeba oatkowych ozycj aby ne utracć cyfr znaczących skutkem normalzacj moŝe być tylko namar 0 skutkem normalzacj moŝe być tylko neomar 0 normalzacja: ( ( normalzacja: ( ( Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 5 Dzelene F F /( ( / ( < / < albo / < albo < normalzacja lorazu (ε0 lub ε ε F F (( / nezbęna normalzacja jeśl > lub <0 otrzeba oatkowych ozycj aby ne utracć cyfr znaczących skutkem normalzacj moŝe być tylko neomar 0 skutkem normalzacj moŝe być tylko namar 0 normalzacja: ( / ( normalzacja: ( / ( Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 6

4 Doawane oejmowane F ± F ( ± ( ( ( ± wyrównane wykłanków jeśl enormalzacja oeranu o mnejszym wykłanku ( # < utrata okłanośc oeranu enormalzowanego (F jeśl > normalzacja wynku ( > W < < W < W ± ( < oraz W < namar oraz ( mn neomar utrata okłanośc wynku F F (wyrównane 0 0 F F F F F F F C F F F F F F F C F F (ostnormalzacja Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 7 Oblczane znormalzowanej owrotnośc lczby wykonalność załana /F ( < owrotność rawe najmnejszej lczby znormalzowanej mn Fmn mn F F < < jeśl warunek ne jest sełnony moŝe wystąć namar (exonent overflow owrotność najwększej lczby znormalzowanej F < Fˆ mn F > jeśl warunek ne jest sełnony moŝe wystąć neomar (exonent unerflow enormalzacja lub zaokrąglene o 0 stneją owrotnośc nektórych lczb enormalzowanych mn mn Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 8

5 Wybór sosobu koowana ostulaty uŝy zakres łatwe wykrywane enormalzacj łatwe szybke orównywane lczb znakowanych uorząkowane lczb zgone z naturalną nterretacją koów wykłank na wyŝszych znacznk na nŝszych ozycjach rzyak secjalne neskończonośc najwększy ko wykłanka zero lczby barzo małe najmnejszy ko wykłanka Koowane wykłanka naturalne tylko wartośc oatne uzuełnenowe wartośc oatne ujemne roblem uorząkowana solaryzowane wartośc oatne ujemne uorząkowane naturalne Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 9 Jak zakoować znacznk? ko uzuełnenowy warunek normalzacj < < ( ( < to wa rozłączne warunk: > 0 < 0 trune orównane orząek lczb nezgony z naturalnym ko solaryzowany roblem zakresu w mnoŝenu newykonalność zelena ko znak-mouł: s warunek normalzacj ( < uraszcza sę o ostac ( ( < x0 x x x3... x x0 łatwe orównane orząek lczb zgony z naturalnym robne roblemy w oawanu oejmowanu m 0 Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 0

6 Zero lczby barzo małe lczby znormalzowane F s ( ( f 0 f < ( brak rerezentacj zera!! naturalną rerezentacją zera jest ko ostac s lczby zenormalzowane F < mn F mn < F s mn ( (0 0 f f < mn mn ( ]( ][ [ mn mn 0 mn Lczby zenormalzowane mn mn mn Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP Dobór zakresu wykłanka Dla skrajnych lczb znormalzowanych warunk wykonalnośc / są srzeczne lesze rozwązane moŝlwość wykluczena namaru: mn < krajne wartośc wykłanka otrzebne o zakoowana: zera ewentualne lczb zenormalzowanych neskończonośc neskalowalnych lczb barzo uŝych ne-lczb Jeśl ostawa jest arzysta to o wykluczenu koów skrajnych rozętość zakresu wykłanka jest stała nearzysta k ( wyberając wartośc najblŝsze otymalnych otrzymamy mn k mn mn k > k k > 3 Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP

7 Dokłaność rerezentacj (rzyblŝena lczby rzeczywstej Fl( rerezentacja zmennorzecnkowa lczby rzeczywstej ( ul Fl( oległość wóch kolejnych lczb zaleŝy o wykłanka ul 0 [ [ [ 3 wzglęny błą rerezentacj lokalny ε( maksymalny Fl( ul ε ( ul ( m ε ( RR śren błą wzglęny ARR (average relatve reresentaton error ARR ε( ln ul 4ln 4ln ( m Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 3 Dokłaność wynków załań schematy zaokrąglana ochrona rze utratą okłanośc uŝyce cyfr (btów namarowych Fl( rerezentacja zmennorzecnkowa lczby rzeczywstej Fl( Fl( Fl Fl( ( < ul ( Fl( ( Fl( ul x x x ( < ul ( Fl( Fl( ( Fl( Fl( zaokrąglane (roun-off rzyblŝane z załoŝoną okłanoścą obcęce (truncaton chong gnorowane cyfr (btów namarowych rzycągane (o najblŝszej (roun-off mnmalzacja błęu lokalnego rzycągane symetryczne mnmalzacja błęu śrenego Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 4

8 Cyfry chronące normalzacja wynku wymaga skalowana (rzesunęca arytmetycznego rzesunęce w rawo roblem zaokrąglena rzesunęce w lewo ryzyko utraty okłanośc najmnejszy zakres rzesunęć (skalowana rzy 0 lub roblem mnmalna lczba oatkowych cyfr wynku nezbęnych o orawnej ostnormalzacj normalzacja rzy mnoŝenu lub zelenu (bez rzyblŝana jena oatkowa cyfra wynku cyfra chronąca (guar gt G 0 < (hl (G! / < (hr < (hr < (hl (G! / normalzacja z zaokrąglanem zwykłym (rzy 0 otrzebna oatkowa cyfra zaokrąglana (roun gt R normalzacja z zaokrąglanem symetrycznym roblem R½ otrzebny wskaźnk zer na ozostałych ozycjach (stcky gt Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 5 Cyfry chronące w oawanu lub oejmowanu oawane znacznków (z ewentualną enormalzacją jenego z nch < < ( normalzacja rzesunęce arytmetyczne o jeną ozycję w rawo zaokrąglane otrzebne R moŝna je wyznaczyć bez oejmowana oejmowane znacznków (z ewentualną enormalzacją jenego z nch znacznk ojemnej znormalzowany ( < ojemnk zenormalzowany ( k k < k k k k>0 ( < < ( o k róŝnca jest znormalzowana rzyblŝane (GR k o k róŝnca jest zawsze w rzezale < < normalzacja rzesunęce arytmetyczne o jeną ozycję w lewo (G zaokrąglane otrzebne R moŝna je wyznaczyć bez oejmowana (cyfry GR ojemnej są wszystke równe 0! k0 wszystke cyfry róŝncy są okłane ale k Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 6

9 Utrata okłanośc w oawanu lub oejmowanu k0 ( wszystke cyfry róŝncy są okłane F s ± F ± ( ( normalzacja wynku (r lczba ostęnych oatkowych cyfr argumentów r < wynk okłany (uŝyce cyfr GR r < utrata okłanośc wynku w < < oraz w mn neomar GR F F F F (ostnormalzacja okłane są najwyŝej 3 cyfry znacznka! Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 7 Kumulacja błęów oczas załań arytmetycznych wynk załana rzyblŝony ( Fl( ( ε kumulacja błęów oczas załana na wynkach orzench załań błą wzglęny mnoŝena lub zelena newelka kumulacja Fl( Fl( ( ε ( ε ε ε ε ε ε ε Fl( / Fl( / / ( ε ( ε ε ε ( ε ( ε ε błą wzglęny oawana lub oejmowana Fl( ± Fl( ( ± ε ± ε ± ± ε ± ± ε ± błą wynku jest śreną waŝoną błęów argumentów krytyczna sytuacja w oejmowanu oraz ε ε Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 8

10 Zaobegane kumulacj błęów ( utrata okłanośc (cancellaton łagona (bengn argumenty okłane (zaobegane cyfry chronące katastrofczna (catastrohc argumenty obarczone błęem zaokrąglana elmnacja katastrofcznej utraty okłanośc jest trunejsza ne zawsze moŝe być zrealzowana srzętowo raktyczny sosób rzecwzałana algorytmy Oblczane erwastków równana ax bx c 0 weług znanej formuły x b ± b 4ac a moŝe sowoować barzo uŝą neokłaność jenego z nch b >> 4ac. Alternatywa algorytm oarty na wzorach Vety zgone z którym w x a c x w sgn( b( b b 4ac. w w oraz erwastk równana są oblczone z okłanoścą oobną o a b c Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 9 Zaobegane kumulacj błęów ( Oblczane ola trójkąta weług orygnalnego wzoru Herona ( q ( a b c q( q a( q b( q c barzo uŝy błą rzyblŝena trójkąt jest barzo łask tzn. a b c bo wtey qa 0. Kahan zaroonował moyfkację tego wzoru o ostac (a b c [ a ( b c][ c ( a b][ c ( a b][( a ( b c ] 4 oblczena w kolejnośc wskazanej rzez nawasy (najerw oblczyć wynk w nawasach okrągłych wewnętrznych nawet a b ne nastęuje katastrofczna kumulacja błęu bo ab jest oobnego rzęu jak c. Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 0

11 Rerezentacja wójkowa Koowane znacznka ko znak-mouł s znacznk znormalzowany ( < ma ostać (bez znaku ( ( ne trzeba zasywać woącej ( bt ukryty amętane bty znacznka to część ułamkowa k Koowane wykłanka ( zakres mn ( k ko solaryzowany k ( mn lczba zenormalzowana mn neskończonośc ne-lczby (NaN lczba znormalzowana (ukryty bt Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP b b b b b... b 3 s F ( ( f 0 f < lczba zenormalzowana (ukryty bt 0 m b b b b... b 0 3 s mn F ( (0 f 0 f < m b m Format zmennorzecnkowy I 754/854 bt ukryty s e e e... e e e e b b b b... b b b b b b b b b b b b b znak wykłank (N f część ułamkowa moułu znacznka INGL (3b [s 3 30:3 f :0 ] DOUBL (64b [s 63 6:5 f 5:0 ] Wzorce koów obektów stanaru I 754 Wykłank Ułamek Ko bnarny Welkość mn s b...bb s m ± F ( ( mn s e...ee b...bb s m ± F ( f 0 s ± f 0 s... b..bb NaN mn f s s m ± F ( ( s m f... s ± F ( ( Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP

12 Obcęce lczba btów obcnanych Fl ( T ( < ul stanaryzowany błą obcnana ( ul 0 T ( ul 0 0 śren stanaryzowany błą obcnana (rozkła równomerny δ T ( 0 ( ( błą wzglęny śren jest zawsze ujemny bowem skutkem obcnana jest zawsze neoszacowane estymator T( jest ujemne obcąŝony (negatve base. Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 3 Przycągane (o najblŝszej zaokrąglane zwykłe Fl ( R( ul < (moŝlwe rzecwne rzysane R( rzy ul ul. ul stanaryzowany błą zaokrąglana ( ul 0 R( ul < < (0 < ( ul ul < ul. śren stanaryzowany błą zaokrąglana (rozkła równomerny δ R ( ( 0 śren błą zaokrąglana jest barzo blsk 0 estymator R( obcąŝony oatno (lub ujemne (zaleŝne o efncj rzysane R( rzy ul zaleŝne o znaku (R 0 lub R Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 4

13 Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 5 Przycągane (zaokrąglane symetryczne ( ( ul ul ul ul ul ul ul ul Fl < < < stanaryzowany błą rzyblŝena ( ul ( ul < < < śren stanaryzowany błą zaokrąglana symetrycznego 0 ( ( 0 δ estymator ( neobcąŝony (śren błą zaokrąglana równy 0 zaokrąglane o arzystej (nearest-even lub nearzystej (nearest-o Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 6 chematy roblemy ul ul ul ul (00 ul 4 4 ( roagacja rzenesena oczas zaokrąglana...x000...x00...x00...x0...x00...x0...x0...x R(...x0...x0...x...x...x...x...x...x (...x0...x0...x0...x...x...x...x...x rzeczywsty rozkła błęu

14 Arytmometr zmennorzecnkowy sumator / sx sy ex ey mx my IGN 0 P > 0 < 0 b ALIGN UB ( ex ey UB c n a/s c out hr R v ADD/UB hr/hl hr L LZ n c r ROUND sa ov uv ea ma m 0 ouł wykłanka: P wybór wykłanka IGN generator znaku sumy UB subtraktor ALIGN sterowane enormalzacją; ouł znacznka: ADD/UB sumator hr rzesuwnk w rawo LZ koer woących zer hr/hl ukła ostnormalzacj ROUND ukła zaokrąglana Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 7 Arytmometr zmennorzecnkowy ukła mnoŝąco-zelący s x s y ex ey v/mul m x my ADD/UB TP ~ /D RO D TP Port Port n n ULTIPLIR L hl UB c n c r ROUND sa ov uv ea m 0 m a ouł wykłanka: UB ukła oejmujący wykłank. ouł znacznka: TP rejestr wartośc chwlowej D oblczane oełnena zelnka hl ukła ostnormalzacj ROUND ukła zaokrąglana Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 8

15 noŝene akumulacyjne x 0 a 4 b 4 a 3 b 3 a b a b a 0 b 0 x FA FA FA FA HA s 0 x FA FA FA FA HA s arytmometr zmennorzecnkowy tylko matryca mnoŝena akumulacyjnego *A B Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 9 Arytmometr zmennorzecnkowy ukła mnoŝąco-zelący UB enormalzacja n G R Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 30

16 Wyjątk obsługa namaru neomaru wyjątk zmennorzecnkowe sytuacje zagroŝena orawnośc wynku namar rzejścowy skalowane k zaamętane ermanentny (namar o skalowanu sygnalzacja neomar rzejścowy skalowane (k zaamętane ermanentny (neomar o skalowanu sygnalzacja utrata okłanośc zmana algorytmu neozwolona oeracja sygnalzacja zmana algorytmu argument lub wynk ne jest lczbą ccha NaN (quet NaN - kontynuacja sygnalzowana NaN (sgnallng NaN sygnalzacja błęu błą zaokrąglena Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 3 aszynowe tryby zaokrąglana Zaokrąglane w kerunku o zera obcnane Zaokrąglane w kerunku neskończonośc oatne w górę ujemne w ół lub owrotne arytmetyka rzezałowa (nterval arthmetc Zaokrąglane o najblŝszej (arzystej symetryczne śroek xx0 I Zaokrąglane o najblŝszej (nearzystej symetryczne śroek xx ne I 3 Proagacja orawk l amęć RO l (l wejść oraz l btów wyjścowych l<m o...x... obcnane ostatnch btów błą zaokrąglana ( zamast ( l śren stanaryzowany błą zaokrąglana l l l śrena wartość błęu stanaryzowanego - ( ( Śren błą stanaryzowany -- wskaźnk neokłanośc zaokrąglana jest uŝywany rzy wyborze metoy zaokrąglana. Janusz Bernat Zmennorzecnkowe-r 5 gruna 003 FP 3.