Geometria Różniczkowa I
|
|
- Bogumił Klimek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Geometria Różniczkowa I wykład trzynasty Na poprzednim wykładzie zajmowaliśmy się różniczkowaniem pól tensorowych wzdłuż pola wektorowego,czylipochodnąliegol X.WartośćpochodnejLiegozależywsposóbbardzo istotny od pola wektorowego wzdłuż którego różniczkujemy. Zależność ta jest poważniejsza niż tylkozależnośćodkierunkuiwartościpolawdanympunkcieq,alewogóleodtegojakiejest polewotoczeniuq.żebysięotymprzekonaćwystarczyporównaćl X zl fx dlagładkiejfunkcji f. Do tej pory mnożyliśmy przez funkcje tylko argument pochodnej. Dla pola wektorowego Y otrzymaliśmy L X (fy)=[x,fy]=f[x,y]+(xf)y=fl X Y+(L X f)y (1) adlaformyα L X (fα)=(l X f)α+fl X α (2) Obawzory(1)i(2)nazywaliśmyregułąLeibniza.Terazsprawdźmycosiędzieje,topoleX pomnożymy przez funkcję. Najpierw pochodna Liego pola wektorowego potem pochodna formy L fx Y=[fX,Y]=f[X,Y] (Yf)X=fL X Y df,y X (3) L fx α=ı(fx)dα+d(ı(fx)α)=fı(x)dα+d(fı(x)α)= =fı(x)dα+df ı(x)α+fdı(x)α=fl X α+df ı(x)α (4) Wobuwzorach(3)i(4)pojawiasięróżniczkafunkcjif,cowskazujenazależnośćodwartości polawotoczeniuq,aniejedyniewpunkcieq.narozmaitościbezdodatkowejstrukturyjestto nieuniknione. Dzisiaj zajmiemy się różniczkowaniem w innym sensie wprowadzimy dodatkową strukturę, dzięki której różniczkowanie zależne będzie jedynie od wektora w kierunku którego różniczkujemy. Różniczkowanie to nazywa się pochodną kowariantną a dodatkowa struktura od której pochodzi to koneksja lub powiązanie. Zaczniemy od wprowadzenia powiązania w wiązce wektorowej a dopiero potem użyjemy tego pojęcia w szczególnej wiązce wektorowej: wiązce stycznej. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać trudniejsze, wiązkę styczną już przecież dobrze znamy, a z dowolnymi wiązkami wektorowymi dotychczas nie pracowaliśmy. Jednak w ostatecznym rozrachunku sądzę, że taki sposób będzie jednak łatwiejszy! Niechwięcζ:E Mbędziewiązkąwektorową.PrzydadząnamsięteżwspółrzędnewE. PonieważEjestwiązkąwektorowąwspółrzędnebędziemyokreślaćwζ 1 (O),gdzieOjest dziedzinąukładuwspółrzędnych(x i )wm.wkażdymwłókniee q dlaq Owybieramybazę (e 1 (q),e 2 (q),...,e n (q))wtakisposób,abykażdee i byłonieznikającymcięciemwiązkiζ.układ cięć(e i )nazywaćbędziemybazącięć.współrzędneliniowewewłókniee q związanezwybraną baząoznaczaćbędziemyy a.indeksi 1..mnumerujewspółrzędnewM,zaśindeksa 1..n 1
2 współrzędnewewłóknie.formalnierzeczbiorącwspółrzędne(x i )namiwspółrzędne(x i ) stanowiąceczęśćukładu(x i,y a )sąinne,gdyżtepierwszesąfunkcjaminamatedrugiena E. Nie będziemy ich jednak odróżniać, gdyż wartość tych drugich zależy jedynie od rzutu punktu e E na M. Rozróżnianie ich w notacji byłoby niepotrzebnym mnożeniem oznaczeń. PowiązaniejesttorozkładprzestrzenistycznejT e Ewkażdympunkciee Enaczęśćpionową ipoziomąwzględemrzutuζ.częśćpionowajestdanakanonicznieitworząjątewektoryzt e E, któresąstycznedowłóknae q (ζ(e)=q).częśćhoryzontalnazatopodlegatejsamejdowolności co przestrzeń dpełniająca do podprzestrzeni wektorowej w danej przestrzeni wektorowej. Część pionowąoznaczasięzazwyczajv e E.Ponieważtworząjąwektorystycznedowłókna,czyli styczne do przestrzeni wektorowej, to istnieje naturalne utożsamienie V e E E q. PonieważdimT e E=n+madimV e E=dimE q =ntodopełniającaprzestrzeńpowinnabyć wymiarum,oznaczmyjąh e E.IstnienierozkładuprzestrzeniwektorowejT e E=V e E H e E oznacza,żekażdywektorv T e Erozłożyćmożemyjednoznacznienaczęśćpionowąv v i poziomąv h : v=v v +v h. Przyjrzyjmy się rzutowi stycznemu wektora v na TM: Tζ(v)=Tζ(v v +v h )=Tζ(v v )+Tζ(v h )=0+Tζ(v h )=Tζ(v h ). SamwektorvijegoczęśćpoziomamajątakiesamerzutynaT q M,odwzorowanieTζobcięte doh e Ejestizomorfizmem.JakkolwiekwybórprzestrzenidopełniającejHEwjednympunkcie jest dość dowolny, jednak powiązanie musi spełniać pewne dodatkowe warunki: po pierwsze rozkład ten musi gładko zależeć od punktu, po drugie musi być zgodny ze strukturą wiązki liniowej. Oba te warunki należy oczywiście doprecyzować. Najpierw gładkość: zamiast mówić o rozkładzie przestrzeni stycznej możemu mówić o rozkładzie wektorów na składowe. Rozkład ten jest odwzorowaniem T e E V e E H e E KorzystajączizomorfizmuH e E T q Morazzfaktu,żeprzytakimrozkładziewektorstyczny można oddzielić od jego punktu zaczepienia, po zebraniu rozkładów punkt po punkcie w E otrzymujemy odwzorowanie Γ:TE E M E M TM, v (τ E (v),v v,tζ(v h )) (5) Ponieważ odwzorowanie to pochodzi od rozkładu na część pionową i poziomą na wektorach pionowych powinno być identycznością. Powiązanie jest gładkie jeśli powyższe odwzorowanie jest gładkie. Część niebieska to punkt zaczepienia wektora, część czerwona to wektor pionowy utożsamiony ze stosownym elementem włókna. Z wcześniejszych rozważań wynika, że powiązanie musizachowywaćrzutnae(niebieskie),tznγ pr 1 =τ E orazrzutnatm,czyliγ pr 3 =Tζ. Trochę trudniej jest wypowiedzieć warunek zgodności ze strukturą wiązki wektorowej(zgodność ta nazywana jest też liniowością powiązania. Zauważmy, że wiązka styczna jest wiązką wektorową na dwa sposoby. Pierwszy z nich jest oczywisty: wektory styczne są wektorami, tzn wiązka τ E :TE E 2
3 jest wiązką wektorową. Okazuje się jednak, że także Tζ:TE TM jest wiązką wektorową. Okazuje się, że można dodać do siebie dwa wektory zaczepione w różnych punktach ale mające ten sam rzut styczny. Niezbędny jest obrazek: E v v+w w M ζ Tζ(v)=Tζ(w) Jeśliwektoryviwmajątensamrzutstyczny,toistniejątakiekrzyweγ v iγ w,doktórych tewektorysąstyczneiktóremająjednakowerzutynam,tznζ γ v =ζ γ w.dlakażdej wartościparametrutpunktyγ v (t)iγ w (t)sąwtymsamymwłókniewiązkiζ,możnawięcje dodać korzystając z wektorowej struktury włókien otrzymując nową krzywą t γ v (t)+γ w (t). Wektor styczny do tej nowej krzywej jest sumą wektorów stycznych do E względem drugiej struktury wiązki wektorowej. To drugie dodawanie oznaczać będziemy +. Obejrzyjmy oba dodawania we współrzędnych. W TE mamy współrzędne pochodzące od współrzędnych w E: (x i,y a,ẋ j,ẏ b ),czyliwektorstycznynapisaćmożemyjako podobnie v=ẋ i (v) x i+ẏa (v) y a w=ẋ i (w) x i+ẏa (w) y a. Jeśliviwzaczepionesąwtymsamympunkcietomożemyznaleźćv+wwzwykłymsensie, co można napisać v+w=(ẋ i (v)+ẋ i (w)) x i+(ẏa (v)+ẏ a (w)) y a. JeślizaśviwzaczepionesąwróżnychpunktachtegosamegowłóknaE q imajątensamrzut nat q M,czyliẋ i (v)=ẋ i (w),tomożnajedodaćwdrugimsensieotrzymującwektor v +w=(ẋ i (v)) x i+(ẏa (v)+ẏ a (w)) y a 3
4 zaczepionywpunkciewłóknae q będącegosumąpunktówzaczepieniawektorówviw,czyli y a (v +w)=y a (v)+y a (w). Dodawanie zwykłe odbywa się w trzeciej i czwartej współrzędnej, podczas gdy pierwsza i druga muszą być równe: (x i,y a,ẋ i,ẏ a ), dodawanie w drugim sensie odbywa się w drugiej i czwartej współrzędnej, podczas kiedy pierwszaitrzeciamusząbyćrówne: (x i,y a,ẋ i,ẏ a ). W obrazie odwzorowania(5) też są dwie struktury wiązki wektorowej: jedna nad E adruganadtm E M E M TM E E M E M TM TM Powiązanie Γ( patrz(5)) jest liniowe jeśli jest izomorfizmem liniowym ze względu na obie struktury wiązki wektorowej. Po tej dość długiej dyskusji jesteśmy w stanie sformułować w sposób kompletny definicję powiązania liniowego w wiązce wektorowej: Definicja 1 Powiązaniem liniowym w wiązce wektorowej ζ: E M nazywamy odwzorowanie gładkie Γ Γ:TE E M E M TM zachowujące rzuty na E i TM oraz liniowe ze względu na obie struktury wiązki wektorowej oraz identycznościowe na wektorach pionowych. Powyższa definicja oznacza między innymi, że przemienny jest diagram TE τ E Tζ E TM id Γ E M E M TM pr 1 pr 3 E TM id (6) Zapiszmy odwzorowanie Γ we współrzędnych, uwzględniając identyczności na E i TM: Γ(x i,y a,ẋ j,ẏ b )= ( x i,y a,f b (x i,y a,ẋ i,ẏ a ),ẋ i) LiniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadEoznacza,żefunkcjeF b musząmiećpostać F b (x i,y a,ẋ i,ẏ a )=G b j (xi,y a )ẋ j +H b c (xi,y a )ẏ c Dalej,liniowośćzewzględunastrukturęwiązkinadTM oznacza,żefunkcjeh b c niemogą zależećody a,zaśfunkcjeg b j(x i,y a )ẋ j musząmiećpostać G b aj (xi )y a ẋ j. 4
5 Jeślidołączmywarunek,abynawektorachpionowych(ẋ i =0)odwzorowaniebyłoidentycznościąotrzymamyH b c =δb c iostatecznie Γ(x i,y a,ẋ i,ẏ a ),ẋ i )=(x i,y a,g b aj (xi )y a ẋ j +ẏ b,ẋ i ) TradycjakażefunkcjeG b aj oznaczaćraczejγb aj inazywaćsymbolamichristofela. Pochodnakowariantna.Wwiązcewektorowejζ :E MzpowiązaniemliniowymΓ zdefiniowanajestpochodnakowariantnacięćwiązkiζ.niechσ:m Ebędziecięciemζ.Dla v T q Mdefiniujemy ( v σ)(q)=pr 2 (Γ(Tσ(v))) Wzór wygląda być może s dpodób skomplikowany, ale procedurę wyznaczania wartości pochodnej cięcia w punkcie q w kierunku wektora v wypowiedzieć można prosto: wektor v podnosimy do wektora stycznego do E w punkcie σ(q) przy pomocy odwzorowania Tσ a następnie bierzemy jego część pionową względem powiązania. Część pionowa jako styczna do włókna może być utożsamiona z elementem włókna, tzn wartość pochodnej kowariannej cięcia w punkcie q jest elementeme q.mającpolewektorowexnammożemyobliczyćpochodnącięciaσwkażdym punkcie otrzymując nowe cięcie X σ:m E. Policzmy pochodną kowariantną używając współrzędnych. Niech σ będzie dane przez funkcje σ a,tzn σ(q)=σ a (q)e a v=ẋ i (v) x i Tσ(v)=ẋ i (v) (v) x i+ σa x kẋk y a iwkońcu ( v σ)(q)= ( σ a x kẋk (v)+γ a kb σb (q)ẋ k (v) ) e a Oto podstawowe własności pochodnej kowariantnej: Fakt1(1)Pochodnakowariantnajestliniowazewzględunav,tzn. λv σ=λ v σ, v+v σ= v σ+ v σ; (7) (2) Pochodna kowariantna jest różniczkowaniem, tzn, jeśli f jest funkcją na M a σ cięciem, to v (fσ)=f v σ+(vf)σ. (8) Działanie pochodnej kowariantnej na funkcjach zadać możemy wzorem v f=vf (9) 5
6 i wtedy wzór(8) przyjmuje postać v (fσ)=f v σ+( v f)σ. Dowód: Wzory(7) wynikają wprost z definicji pochodnej kowariantnej: v+v σ=pr 2 (Γ(Tσ(v+v ))= odwzorowanie styczne jest odwzorowaniem liniowym, więc =pr 2 (Γ(Tσ(v)+Tσ(v ))= Γ też jest odwzorowaniem liniowym(używamy tu zwykłej liniowości nad E) =pr 2 (Γ(Tσ(v))+Γ(Tσ(v ))=pr 2 (Γ(Tσ(v)))+pr 2 (Γ(Tσ(v ))= v σ+ v σ. Wzoru dotyczącego pochodnej względem λv dowodzimy podobnie. We wzorze(8) podnosimy wektor do cięcia σ pomnożonego przez funkcję f. Potrzebujemy więc informacji na temat odwzorowania T(f σ): T(fσ)(v)=f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert gdzieσ(q) vert jestpionowympodniesieniemelementuσ(q)dowektorastycznegodowłókna E q wpunkcieσ(q).ogólniej,jeślie E q toe vert jestwektoremstycznymdokrzywejt e + te. W wykładzie dotyczącym pól wektorowych podawaliśmy przykład pola Eulera na wiązce wektorowej.jeszczeinaczejmożnapowiedzieć,żee vert jestwartościątegopolawpunkciee. Terazmożemypoliczyć v (fσ) v (fσ)=pr 2 (Γ(T(fσ)(v))) =pr 2 (Γ(f(q)Tσ(v)+(vf)(q)σ(q) vert )) =f(q)pr 2 (Γ(Tσ(v))+(vf)(q)pr 2 (Γ(σ(q) vert )) Γ na wektorach pionowych jest identycznością, więc =f(q)pr 2 (Γ(Tσ(v))+(vf)(q)σ(q)=f(q) σ +(vf)(q)σ(q) Jeśli założymy, że pochodna kowariantna spełnia regułę Leibniza, możemy rozszerzyć ją na cięcia dowolnych wiązek tensorowych związanych z E. W szczególności na cięcia wiązki dualnej E M.Wzórnapochodnąkowariantnącięciaαwiązkidualnejwyprowadzimyużywając współrzędnych. Niech σ=σ a e a, α=α a ɛ a, v=ẋ i x i, gdzieɛ a tocięciawiązkie Mtworzącewkażdympunkciebazędualnądo(e a ).Ewaluacja cięciaαnacięciuσjestfunkcjąnam Zgodnie z zasadami powinno więc być: α,σ =α a σ a, v α,σ = v α,σ(q) + α(q), v σ. 6
7 Liczymy używając współrzędnych ( v α,σ =ẋ i x i(α aσ a )=ẋ i αa x iσa )+ẋ i ( α a σ a x i ) (10) v α,σ(q) =( v α) b σ b (11) ( ) σ b α(q), v σ =α a +Γ b x iẋi kc σc ẋ k (12) Dodajemy(11)do(12)iporównujemyz(10) ( ( ẋ i αb )+ẋ i σ b ) ( ) σ α x iσb b =( x i v α) b σ b b +α b +Γ b x iẋi kc σc ẋ k, wyznaczamy szukaną wielkość i korzytamy z dowolności σ ( ) ( v α) b σ b =ẋ i αb Γ b x iσb kc σc ẋ k α b ( v α) b = α b x iẋi Γ a kbẋ k α a No i co dalej? Najczęściej pojawiającą się koneksją jest koneksja w wiązce stycznej, zwłaszcza koneksja związana z metryką. O tym będzie w przyszłym semestrze! 7
Geometria Różniczkowa II wykład piąty
Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 6 stycznia 014 1 Różniczkowanie pól i form 1.1 Pochodna kowariantna Zobaczmy jak we współrzędnych wyglądać będzie równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 11 listopada 013 1 Alternatywne spojrzenie na wektory styczne Definicja 1 Algebrą nazywamy przestrzeń wektorową A wyposażoną w działanie
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład trzeci NiechC (M)oznaczazbiórwszystkichgładkichfunkcjinarozmaitościM.C (M)jestrzeczywistą, przemienną algebrą z jedynką. Istotną rolę w geometrii różniczkowej odgrywają homomorfizmy
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo= f. = df(d1 t, d 2 t,..., d n t) D γ(0) = df γ. x i. Biorąc funkcję f postaci f(q) + x i g i stwierdzamy, że f (q) = g
Skoro funkcja f jest gładka, to funkcje g i także są gładkie (twierdzenia o całkach z parametrem na odcinku zwartym) Wracamy teraz do dyskusji różniczkowań algebry C (M) względem ewaluacji w punkcie q
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo3. Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór:
2 Iloczyn zewnętrzny jest łączny, tzn: (α β) γ α (β γ) 3 Iloczyn zewnętrzny w ogólności nie jest przemienny, ale zachodzi wzór: α β ( 1) kl β α Dowód: Punkt (1) wynika łatwo z definicji Dowód punktu (2)
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 17 listopada 2013 1 Wielokowektory i wieloformy na powierzchni Poprzedni wykład zakończyliśmy na sformułowaniu następującego faktu:
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoGeometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
Bardziej szczegółowoZadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe
Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoStruktury Geometryczne Mechaniki
Struktury Geometryczne Mechaniki Paweł Urbański u rb a n ski@fuw.ed u.p l Kat edra Met od Mat ematycznych Fizyki Uniwersyt et Warszawski Sympozjum IFT, 08.12.2007 p. 1/23 MOTYWACJE Dlaczego mechanika (analityczna)?
Bardziej szczegółowoZadania o transferze
Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład drugi Powierzchnie zanurzone, o których rozmawialiśmy na poprzednim wykładzie są bardzo istotną klasą przykładów rozmaitości różniczkowych. Pod koniec dzisiejszego wykładu
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji a styczna do wykresu funkcji. Autorzy: Tomasz Zabawa
Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autorzy: Tomasz Zabawa 2018 Pochodna funkcji a do wykresu funkcji Autor: Tomasz Zabawa Pojęcie stycznej do wykresu funkcji f w danym punkcie wykresu P( x 0, f( x 0
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowo4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że
4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 30 grudnia 2013 1 Całkowanie form różniczkowych 11 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a W tej części zajmiemy się interpretacją poniższych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II
Geometria Różniczkowa II reszta wykładu siódmego i wykład ósmy Wszyscy słuchacze wykładu wiedzą, mam nadzieję, co to jest grupa i znają podstawowe przykłady grup skończonych i nieskończonych. Teoria grup
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoDefinicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].
1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym
Bardziej szczegółowoA,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoZadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji
Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowo[ A i ' ]=[ D ][ A i ] (2.3)
. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1.. WSTĘP DO TEORII SPRĘŻYSTOŚCI.1. Tensory macierzy Niech macierz [D] będzie macierzą cosinusów kierunkowych [ D ]=[ i ' j ] (.1) Macierz transformowana jest równa macierzy
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoWzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)
Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w R 3
Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową
Wyprowadzenie wzoru na krzywą łańcuchową Daniel Pęcak 16 sierpnia 9 1 Wstęp Być może zastanawiałeś się kiedyś drogi czytelniku nad kształtem, jaki kształt przyjmuje zwisający swobodnie łańcuch lub sznur
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
Bardziej szczegółowoWykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym
Wykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym Niechf: R n RbędziefunkcjąróżniczkowalnąnapewnymobszarzeO R 2.Przyjrzyjmy się zbiorowi f
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Tensory. 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych
Rozdział 3 Tensory 3.1 Krzywoliniowe układy współrzędnych W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty P są scharakteryzowane przez współrzędne kartezjańskie wektora wodzącego r = x 1 i 1 + x 2 i 2 +
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo