WIELOMIANY THOMA. Piotr Pragacz(IM PAN, Warszawa)

Transkrypt

1 WIELOMIANY THOMA Piotr Pragacz(IM PAN, Warszawa) Osobliwościodwzorowań: x 0 jestpunktemkrytycznym (osobliwym)funkcji f(x)jeżeli f (x 0 ) = 0. Rozważać będziemy rozmaitości zespolone: przestrzenie, które lokalniewyglądają jak C n : x Mjestpunktem krytycznym(osobliwym) odwzorowania rozmaitości f : M Njeżeliranga df x : T x M T f(x) Nniejest maksymalna. Twórcy teorii osobliwości odwzorowań: Hassler Whitney: twierdzenia o aproksymacji dowolnych odwzorowań przy pomocy odwzorowań bez punktów osobliwych. René Thom: Lemat o transwersalności, wielomiany Thoma ważny i intrygujący rozdział globalnej teorii osobliwości. Cel: Nowe metody algebraiczne w wyliczaniu i badaniu struktury wielomianów Thoma. Wielomiany Thoma pochodzą z geometrii; aby więc je wprowadzić i podkreślić ich uniwersalny charakter, potrzebne są podstawowe informacje z teorii przecięć w geometrii rozmaitości.

2 1 Baaardzo skrótowo: Niech Mbędzierozmaitością. Np. M = P n,lub M=Grassmannian G k (n) = {Λ C n : Λ = k}. Chcemy mnożyć podrozmaitości X, Y M. Można skonstruować pierścień przecięć H(M) ze strukturą mnożenia indukowaną z X Y modulo przesuwanie podrozmaitości, i uwzględniającą krotności przecięcia. Np. H(P n ) = Z[x]/(x n+1 ) x =hiperpłaszczyzna H(G k (n)) =Sym(x 1,...,x k )/(...) Rozmaitość Schuberta w Grassmannianie: {Λ G k (n) : Λ V r 1 1,..., Λ V r k k} Tu V r 1 V r k C n jest ogólnym ciągiem podprzestrzeniliniowychoraz r 1 < < r k. A. Lascoux 1978: Rozmaitość Schuberta jest FUNKCJĄ SCHURA?! Funkcje Schura będą głównym narzędziem w tym wykładzie. Klasafundamentalnapodrozmaitości X = i X i,gdzie X i sąskładowyminieprzywiedlnymijestrówna i m ix i, gdzie m i jestkrotnościąskładowej X i. Np. klasa fundamentalna podrozmaitości rzutowej stopnia d iwymiaru rwp n jestrówna d x n r ;wszczególności klasa hiperpowierzchni stopnia d jest równa d x.

3 2 Wiązka wektorowa: E M to rozwłóknienie przestrzeni liniowych ustalonego wymiaru nad M: x M E x. (Kombinacja geometrii rozmaitości z algebrą liniową). Np. -wiązkastycznadorozmaitości TM = x M T xm; -wiązka tautologiczna na G k (n):włóknemnadpunktem odpowiadającym Λ jest właśnie przestrzeń liniowa Λ. (Jeżeli ograniczyć się do odwzorowań ciągłych, to każdą wiązkę można otrzymać z tautologicznej za pomocą następującej operacji przeciagnięcia ). Dlaodwzor. f : M Niwiązki E Nkonstruujesię wiązkę f E M,którejwłóknemnad x Mjest E f(x). Każdą wiązkę można rozszczepić na sumę wiązek 1-wymiarowych:dlawiązki E n M m istnieje f : M M takie,że f E = L 1 + +L n (oraz H(M) H(M )). Niechwiązce L j odpowiadadywizor D j (miejscezer ogólnegoprzekroju M L j ). KlasaCherna: c i (E) = 1 j 1 < <j i n D j 1 D ji H(M) elementarnafunkcjasymetrycznastopnia iod D 1,...,D n. Ta algebraiczna definicja posiada szereg interpretacji geometrycznych.np. c m (TM)toklasyczna charakterystyka Eulera χ(m) rozmaitości M. Nazwa pochodziodznanegowzorueulera: W K +S = 2, wiążącego liczbę W wierzchołków, K krawędzi i S ścian wielościanu (χ = 2).

4 3 Po tym wstępie, zmierzamy do defincji wielomanu Thoma. Osobliwość: klasa równoważności kiełków (C m,0) (C n,0) zewzględunaanalityczne reparametryzacje dziedziny i przeciwdziedziny. Ustalmyosobliwość η.niech f : M m N n będzie odwzorowaniem między rozmaitościami zespolonymi. Niech V η (f)będziedomknięciemzbioru {x M :osobliwość fw xjestrówna η}. Przezkowymiarosobliwości ηrozumiemykowymiar V η (f) dla ogólnego odwzorowania f. Zakładamy w tym wykładzie, że liczba osobliwości kowymiaru mniejszego niż kowymiar η jest skończona. Wroku1955Thomdowiódł,żeistniejewielomian T η (nazywany obecnie wielomianem Thoma osobliwości η), który zależy od formalnych zmiennych c 1,c 2,...,c m ; c 1,c 2,...,c n,iposiadanastępującąwłasność: Popodstawieniu c i = c i (TM), c j = c j(f TN)dlaogólnego odwzorowania f : M Nrozmaitościzespolonych, T η obliczaklasęfundamentalną V η (f). Wielomian Thoma koduje więc numeryczną informację o ustalonej osobliwości przy pomocy niezmienników dziedziny i przeciwdziedziny ogólnego odwzorowania.

5 4 Okazuje się, że pierwszy wielomian Thoma odkrył już... Riemannwroku1857(!). Niech f : M N będzie surjektywnym odwzorowaniem holomorficznym zwartych powierzchni Riemanna stopnia d. e x :=indeksrozgałęzienia fw x M(tzn.liczbagałęzi f spotykających się w x). Algebraicznie oznacza to, że używającwspólrzednej zwotoczeniu x,lokalnie f(z) = z e x. Wzór Riemanna-Hurwitza orzeka (e x 1) = d χ(n) χ(m). x M (Jeśli powierzchnię M przedstawimy sobie jako precelek z gdziuramito χ(m) = 2 2g.) Jeżeli e x = 2,tomówimy,że xjestosobliwościątypu A 1. Oczywiście V A 1 (f) jakozbiór zawierawszystkiepunkty krytyczne f(tzn.punkty,dlaktórych e x 2).Jegoklasa fundamentalna(dywizor rozgałęzienia f) jest równa (e x 1)[x]. xkrytyczny Zatem wzór Riemanna-Hurwitza można zinterpretować jako: V A 1 (f)] = c 1 (f TN) c 1 (TM), co implikuje, że T A 1 = c 1 c 1.

6 5 Symetrie osobliwości i układ równań na wielomian Thoma Bedziemy zajmować się osobliwościami stabilnymi (C,0) (C +k,0).wielomianythomatakichosobliwości wyrażająsięprzez c i (f TN TM) = [c(f TN)/c(TM)] i. Oznaczmyprzez κ : (C n,0) (C n+k,0) prototyp osobliwości η. Analizując symetrie związane z maksymalną zwartą podgrupą grupy Autκ = {(φ,ψ) Diff(C n,0) Diff(C n+k,0) : ψ κ φ 1 = κ} stowarzyszasięzη klasęcherna c(η)i klasęeulera e(η). A i : C[[z]]/(z i+1 ); c(a i ) = 1+(i+1)x 1+x k (1+y j ), j=1 k e(a i ) = i! x i (y j x)(y j 2x) (y j ix). j=1 I 2,2 : C[[x,y]]/(xy,x 2 +y 2 ); c(i 2,2 ) = (1+2x 1)(1+2x 2 ) (1+x 1 )(1+x 2 ) k (1+y j ), j=1 k e(i 2,2 ) = x 1 x 2 (x 1 2x 2 )(x 2 2x 1 ) (y j x 1 )(y j x 2 )(y j x 1 x 2 ). j=1

7 6 III 2,2 : C[[x,y]]/(xy,x 2,y 2 ),(tu k 1); c(iii 2,2 ) = (1 +2x 1 )(1+2x 2 )(1+x 1 +x 2 ) (1+x 1 )(1+x 2 ) k 1 (1+y j ). j=1 Twierdzenie 1 Ustalmy osobliwość η. Załóżmy, że klasy Eulera wszystkich osobliwości kowymiaru mniejszego niż kowymiar η są nie-dzielnikami zera. Wówczas zachodzą następujace równania: (i) jeżeli ξ η oraz kowymiar ξjestniewiększyniż kowymiar η,to T η (c(ξ)) = 0; (ii) T η (c(η)) = e(η). Ten system równań(gdzie ξ przebiega zbiór wszystkich takichosobliwości)wyznaczawielomianthoma T η jednoznacznie. Twierdzenie to zwane dalej metodą węgierską zostało udowodnione i po raz pierwszy wykorzystane do obliczania wielomianów Thoma przez R. Rimanyi ego i grupę matematyków węgierskich na początku lat Metoda ta odwołuje się do klasyfikacji osobliwości patrz monografia Du Plesis-Wall a. Trzeba rachunki zorganizować konceptualnie, używając odpowiedniej bazy wielomianów. Standardową bazą używaną do wyliczeń wielomianów Thoma(np. w pracach liderów tej dziedziny: Rimanyi ego i Kazariana) była baza jednomianów od klas Cherna.

8 7 W roku 2004(dzięki dyskusjom z A. Lascoux) zainteresowałem się wielomianami Thoma i zacząłem stosować inną bazę: funkcji Schura. Alfabet A:(skończony) multi-zbiór elementów w pierścieniu przemiennym(najczęściej jest to zbiór zmiennych). Będziemyidentyfikowaćalfabet A = {a 1,...,a m }zsumą a 1 + +a m iwykonywaćzwykłeoperacjealgebraicznena takich elementach. Rozważmy inny alfabet B. Funkcjepełneodróżnicyalfabetów S i (A B): Si (A B)z i = b B(1 bz)/ (1 az). a A Tefunkcjeinterpolująmiędzy S i (A) pełnymifunkcjami symetrycznymiod AiS i ( B) ±elementarnymifunkcjami symetrycznymi od B. Rugownik AiB: R(A,B) := a A,b B (a b). Faktoryzacja:jeżeli card(b) = n,to S n (a B) = R(a,B). Dlapodziału I = (0 i 1 i h ),definujemyfunkcję Schura S I (A B)jako S I (A B) :=. 1 p,q h S iq +q p(a B) Funkcje Schura odgrywają podstawową rolę w wielu działach matematyki: teorii reprezentacji, teorii przecięć w geometrii i topologii, kombinatoryce i innych.

9 8 Np.oznaczając S i = S i (A B),mamy S 3 S 4 S 5 S 7 S 8 S 2 S 3 S 4 S 6 S 7 S (A B) = S 1 S 2 S 3 S 5 S 6 1 S 1 S 2 S 4 S S 1 S 3 S 4, Użycie A B jest wygodne: pozwala traktować wielomiany(symetryczne) funktorialnie. I tak, dla kombinacji liniowej W funkcji Schura mamy W(A+C B C) = W(A B). Poszukiwane wielomiany Thoma bedę miały postać α I S I (T M f T N) =: α I S I. I I Thompoliczył(geometrycznie) T A 1 dladowolnego k 0. Kowymiar A 1 jestrównyk+1.mamy2równaniana T A 1 : W( B k ) = 0, W(x B k 2x ) = R(x,B k + 2x ) Skoro mamy S k+1 ( B k ) = 0, S k+1 (x B k 2x ) = R(x,B k + 2x ), więcdlaparametru k,mamy T A 1 = S k+1.

10 9 Wygodniejsza notacja: η(r) : (C,0) (C +r 1,0) T η r = wiel. Thoma η(r). OsobliwościMorina A i (r). Thom: T A 1 r = S r. Twierdzenie2(Ronga1972) T A 2 r = j r 2j S r j,r+j. Dla i = 1,2, T A i r były policzone geometrycznie; dla większych i, potrzeba subtelniejszych metod algebry. Definujemy: F (i) r ( ) := J S J ( i )S r ji 1,...,r j 1,r+ J ( ), gdziesumajestpopodziałach J (r i 1 ). Przykłady: T A 1 r = F (1) r ; S j (2) = 2 j,więc T A 2 r = F (2) r. Czy T A 3 r = F (3) r? Równania(od W)charakteryzujące T A 3 r pochodzą od osobliwości A 0, A 1, A 2,idla r 2od III 2,2 : W( B r 1 ) = W(x B r 1 2x ) = W(x B r 1 3x ) = 0, (1) W(x B r 1 4x ) = R(x+ 2x + 3x,B r 1 + 4x ) (2) gdzie W(x 1 +x 2 D B r 2 ) = 0. (3) D = 2x 1 + 2x 2 + x 1 +x 2.

11 10 F (3) r spełnia(1) i(2). Zatem F (3) 1 = S S 12 +6S 3 = T A 3 1. Aledla r 2, F r (3) niespełnia(3).należy poprawić F r (3) dodając kombinację liniową funkcji Schura tak by otrzymany wielomian spełniał(3)(oraz(1) i(2)). Dla r = 2,tapoprawkato 5S 33, czyli T A 3 2 = F (3) 2 +5S 33. Twierdzenie3(A.Lascoux,PP) T A 3 r = F (3) r +H r,gdzie H 3 = 5S S 45, H 4 = 5S S S S 57,... H 7 = 5S S S S 3,8, S 2,9, S 2,8, S 1,10, S 1,9, S 1,8, S 10, S 9, S 8,13,... (Berczi-Feher-Rimanyi zaanonsowali w 2003 r. inny wzór). Twierdzenie4(PP) Jeżelidlakażdego x M,jądro df x : T x M T f(x) Njestwymiaru 1,todla i 1oraz r 1mamy T A i r = F (i) r. Wyliczenie T A i r wcałejogólnościdla i 4jestproblemem otwartym(to najbardziej prestiżowy problem w obliczeniach wielomianów Thoma; Feher-Rimanyi, Berczi-Szenes, Kazarian, Ozturk,...) Lata80.: T A 4 1 =? Sprzeczne wyniki przy pomocy metod geometrycznych.gaffney: c c 2 1c 2 +2c c 1 c 3 +6c 4. Naszemetodydająwprostysposób: T A 4 1 = F (4) 1 +10S 22.

12 11 Osobliwość I 2,2 (r);jejkowymiarwynosi 3r +1. T I 2,2 1 = S 22 (Porteous1971).Załóżmy,że r 2. Metodawęgierskacharakteryzuje T I 2,2 r następujacego układu równań(od W): Osobliwości A 0, A 1, A 2 dają: za pomocą W( B r 1 ) = W(x 2x B r 1 ) = W(x 3x B r 1 ) = 0, Osobliwość I 2,2 daje: W(x 1 +x 2 2x 1 2x 2 B r 1 ) = = x 1 x 2 (x 1 2x 2 )(x 2 2x 1 )R(x 1 +x 2 + x 1 +x 2,B r 1 ). Osobliwość III 2,2 daje: W(x 1 +x 2 D B r 2 ) = 0. Lemat 5(PP) Diagram Younga funkcji Schura występującejwrozwinięciu T I 2,2 r zawiera (r +1,r +1)ima conajwyżej 3 części. Z mojej rozprawy habilitacyjnej, której zasadnicza część dotyczyła enumeratywnej geometrii rozmaitości wyznacznikowych(ann. ENS 1988), wynika, że diagramy Younga funkcji Schura występujących w rozwinięciach wielomianów Thoma osobliwości muszą zawierać dostatecznie duże prostokąty. W tym wypadku: prostokąt (r +1,r +1).

13 12 Rekurencyjny(!)opis T r := T I 2,2 r bazie funkcji Schura). (widać to jedynie w Endomorfizmliniowy Φ: S i1,i 2,i 3 S i1 +1,i 2 +1,i T r :=sumaskładników α ij S ij wrozwinięciu T r. Algebra funkcji Schura pozwala dowieść: Lemat6(PP) T r = T r +Φ(T r 1 ). Stwierdzenie7(PP) T r (x 1,x 2 ) = (x 1 x 2 ) r+1 S r 1 (D). Okazujesię,żeproblemrozwinięcia S r 1 (D)wfunkcje Schura wystąpił już wcześniej: zupełne kwadryki: Schubert, Giambelli(wiek XIX), Laksov i inni(lata 80.); liczby Cherna: PP(Ann. ENS 1988). Szukanerozwinięcie S r 1 (D)to: [ ( ) ( ) ( ) r r r ] S pq(x 1 +x 2 ). p+1 p+2 q+1 p q, p+q=r 1 T 2 = 3S 34, T 3 = 7S 46 +3S 55,etc. T 2 = Φ(T 1 )+T 2 = Φ(S 22 )+3S 34 = S S 34 T 3 = Φ(T 2 )+T 3 = Φ(S S 34 )+T 3 = S S S 46 +3S 55, etc. Otrzymujemyjawne(zależneod r )wyrażenie α I S I na rozw. problemu Rimanyi ego w Inv. Math.(2001). T I 2,2 r (Kazarian anonsuje inne, geometryczne podejście).

14 13 I p,q : C[[x,y]]/(xy,x p +y q ) r = 1 I 2,2 : c 2 2 c 1 c 3 I 2,3 : 2c 1 c 2 2 c 2 1c 3 +2c 2 c 3 2c 1 c 4 I 2,4 : 2c 2 1c 2 2 +c 3 2 2c 3 1c 3 +2c 1 c 2 c 3 3c 3 3 5c 2 1c 4 +9c 2 c 4 6c 1 c 5 I 3,3 : c 2 1c 2 2 c 3 2 c 3 1c 3 +3c 1 c 2 c 3 +3c 2 3 2c 2 1c 4 3c 2 c 4 I 2,2 : S 22 I 2,3 : 4S 23 +2S 122 I 2,4 : 16S 24 +4S S S S 1122 I 3,3 : 2S 24 +6S 33 +3S 123 +S 1122 CZYM RÓŻNIĄ SIĘ TE DWA RODZAJE ROZWINIĘĆ? *** Hipoteza 8(Feher-Komuves, PP 2004) Ustalmy osobliwość η. Jeżeli T η r = α I S I (T M f T N), to α I 0dlakażdegopodziału I. Tego typu rezultaty o dodatniości są obecnie przedmiotem sporego zainteresowania w geometrii algebraicznej patrz monografia Lazarsfelda Positivity in algebraic geometry.

15 14 Twierdzenie 9(A. Weber, PP 2006, 07) Ustalmy osobliwość η(niekoniecznie stabilną). Jeżeli T η = α IJ S I (T M) S J (f TN), to α IJ 0dlakażdejparypodziałów I,J. To jest mocniejsza wersja hipotezy o dodatniości (uogólniona na wielomiany Thoma stożków niezmienniczych względemproduktów GL n ów). Użyte metody opierają się na teorii Fultona-Lazarsfelda numerycznej dodatniości stożków w wiązkach generowanych przez przekroje globalne i wiązkach szerokich. Wielomiany Thoma osobliwości Lagrange a Te wielomiany Thoma (Kazarian 2003) uogólniają indeks Masłowa: niech L będzie podrozmaitością Lagrange a w przestrzenisymplektycznej V = W W ;klasamasłowa jestreprezentowanaprzez {x L : dim(t x L W ) > 0}. Dla tej sytuacji istnieje naturalna baza. W roku 1986 zauważyłem, że rozmaitość Schuberta w Grassmannianie Lagrange ajest Q-funkcją. WielomianyThoma: A 2 : Q 1, A 7 : 135 Q Q Q Q 6, D 6 : 12( Q Q 41 ), E 7 : 9 Q Q Q 51. Twierdzenie10(M.Mikosz,A.WeberiPP2007) Wielomian Thoma osobliwości Lagrange a jest nieujemną kombinacją Q-funkcji Q I (T L).

16 15 Prace naszego zespołu o wielomianach Thoma: PP, Thom polynomials and Schur functions I, math.ag/ PP, Thom polynomials and Schur functions: the singularities I 2,2 ( ),Ann.Inst.Fourier(2007). PP, Thom polynomials and Schur functions: towards the singularities A i ( ),wdrukuw: Realandcomplex singularities- Sao Carlos 2006, Contemp. Math. AMS. PP, A. Weber, Positivity of Schur function expansions of Thom polynomials, Fund. Math.(2007). PP, A. Weber, Thom polynomials of invariant cones, Schur functions, and positivity, w: Algebraic cycles, sheaves, shtukas, and moduli, Birkhauser M. Mikosz, PP, A. Weber, Positivity of Thom polynomials II: the Lagrange singularities, preprint A. Lascoux, PP, Thom polynomials and Schur functions: thesingularities A 3 ( ),wprzygotowaniu. *** O.Ozturk,OnThompolynomialsfor A 4 ( )viaschur functions, Serdica Math. J.(2007). O. Ozturk, Thom polynomials and Schur functions: the singularities III 2,3 ( ),preprintimpan2008.