14. WIADOMOŚCI OGÓLNE

Transkrypt

1 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 4. WIADOMOŚCI OGÓLNE 4.. WARUNKI RÓWNOWAGI UKŁADU SIŁ Mechanika kontrukcji zajmuje ię wyznaczaniem ił wewnętrznych i przemiezczeń w różnego rodzaju układach kontrukcyjnych (belkach, łukach, ramach, kratownicach, płytach, powłokach, układach miezanych). Główne problemy mechaniki kontrukcji zilutrujemy na przykładach liniowo-prężytych kontrukcji prętowych o bardzo małych przemiezczeniach. Ograniczymy ię tutaj tylko do podania ogólnego enu metod wyznaczania wielkości tatycznych i kinematycznych, gdyż problematyka ta ma bardzo bogatą i ogólnie dotępną literaturę ([4, 0, 3, 33, 35]). Siła jet wektorem będącym miarą mechaniczną oddziaływania ciał materialnych. Konekwencją tego jet akceptacja algebry wektorów do badania równowagi ciał ztywnych. Z kuru mechaniki teoretycznej wiadomo, że równowaga ta zachodzi, gdy wektor wypadkowy wzytkich ił P (i) ( i =, 2, 3,..., n) oraz jednocześnie wektor momentu tych ił względem dowolnie obranego punktu ą równe zeru. Jeśli punktem tym jet początek przyjętego układu wpółrzędnych x, y, z, to analityczna potać warunków równowagi odpowiada ześciu liniowym równaniom algebraicznym ze względu na wpółrzędne Px i, Py i, Pz i wektorów P (i)) : (a) n Px i n Py i n = 0, = 0, Pz i = 0, i= i= i= n Mx i n My i n = 0, = 0, Mz i = 0, i= i= i= gdzie Mx, My i Mz oznaczają odpowiednio wpółrzędne wektora momentu ił P (i) względem oi x, y i z: (b) Mx i yipz i = zipy i, My i zipx i = xipz i, Mz i xipy i = yipx i. W zależności (b) xi, yi, zi oznaczają wpółrzędne punktów przyłożenia ił P (i). Zdecydowana więkzość zadań z mechaniki kontrukcji dotyczy przypadku zczególnego, w którym wzytkie wektory ił P (i) leżą w jednej płazczyźnie. Wytępuje wówcza tzw. płaki układ ił. Jeżeli płazczyzna ta pokrywa ię z płazczyzną układu wpółrzędnych x, z, to Py i = yi = 0, kąd Mx i = Mz i =0. Mamy wtedy tylko trzy itotne równania równowagi: (c) n Px i = 0, i= n Pz i = 0, i= n My i n zipx i = ( xipz i ) = 0. i= i= Równania równowagi dla płakiego układu ił mogą być toowane w natępujących trzech wariantach:

2 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 2 uma rzutów ił na dwie dowolne równoległe prote oraz uma momentów tych ił względem dowolnego punktu ą równe zeru, uma rzutów ił na jedną dowolną protą oraz uma momentów tych ił względem dwóch dowolnych punktów nie leżących na protej protopadłej do kierunku rzutowania ił ą równe zeru, uma momentów ił względem trzech dowolnych punktów nie leżących na jednej protej ą równe zeru. Zauważmy, że równania (c) ą zczególnym przypadkiem pierwzego wariantu (obie prote ą do iebie protopadłe, a momenty ił odnozą ię do punktu przecięcia tych protych). W metodzie graficznej równania równowagi płakiego układu ił odpowiadają zamykaniu ię wieloboku ił (Σ P x = 0, Σ i i Pz = 0) i zamykaniu ię wieloboku znurowego (Σ M i y = 0) PODPORY PRĘTÓW Pełny opi deformacji pręta mamy wówcza, gdy znana jet kinematyka każdego przekroju pręta. Przekrój pręta tworzą wzytkie punkty materialne należące do pręta i płazczyzny przeprowadzonej protopadle do oi pręta w konfiguracji pierwotnej (nieodkztałconej). Wprowadzenie więzów wewnętrznych powoduje ograniczenie wobody przemiezczeń przekroju. W klaycznej teorii prętów na ruch każdego przekroju pręta nakłada ię więzy wewnętrzne takie, że w proceie deformacji przekrój pozotaje płaki i nie zmienia wych wymiarów poprzecznych *). Przyjmujemy zatem, że przekroje pręta zachowują ię jak ztywne figury płakie, mające tylko ześć topni wobody (ry. 4.). Ry. 4. Są to trzy kładowe wektora przemiezczenia środka ciężkości przekroju ( uvw,, ) oraz trzy kąty obrotu względem pozczególnych oi układu ( ψ, ϕ y, ϕz ). Składowe te tworzą macierz uogólnionych przemiezczeń: { i} { y, z} d = u, v, w, ψϕ, ϕ, i =, 2,..., 6. (4.) Podparcie pręta w danym punkcie oi oznacza wprowadzenie dalzych dodatkowych więzów, odbierających przekrojowi jeden, dwa lub więcej topni wobody. Obciążeniu pręta (tzw. iłom czynnym) towarzyzą reakcje więzów podporowych (tzw. ił biernych). W praktyce najczęściej wytępują układy prętowe ulegające deformacji tylko w pewnej określonej płazczyźnie. Przyjmijmy, że płazczyznę tę tworzą oie x, z. Wówcza część topni wobody każdego przekroju tożamościowo jet równa zeru, tzn. ψ = ϕ z = 0, ν = 0. Przekroje pręta mają zatem tylko trzy topnie wobody: dwa przeunięcia u, v oraz kąt obrotu ϕ y. Można obie wyobrazić, że podparcie pręta uzykuje ię za pośrednictwem idealnie ztywnych prętów podporowych (ry. 4.2a). Pręt podporowy dopuzcza wytąpienie tylko przemiezczeń protopadłych do wej oi. Przemiezczenie w kierunku oi *) Założenie to nie jet łuzne dla kręcania prętów niekołowych oraz cienkościennych o przekroju otwartym. Dlatego formułowanie poobu podparcia w tych przypadkach jet bardziej złożone.

3 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 3 pręta podporowego jet niemożliwe, a każda próba przemiezczenia w tym kierunku wywołuje pojawienie ię iły biernej. Ry. 4.2 Pręt podporowy jet więzem, a iła bierna reakcją tego więzu. Kierunek reakcji pokrywa ię zawze z oią pręta podporowego (ry. 4b), gdyż w przeciwnym razie am pręt podporowy nie byłby w równowadze (ry. 4.2c). Typowe rodzaje podpór w układach płakich przedtawia ry Ry. 4.3 Utwierdzenie (ry. 4.3a) odbiera przekrojowi wzytkie topnie wobody (u = w = 0, ϕ y = 0). W związku z tym wytępują trzy reakcje więzów: dwie iły kładowe i moment.

4 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 4 Podpora telekopowa (ry. 4.3b) pozbawia przekrój dwóch topni wobody (w = 0, ϕ y = 0). Dopuzczalne jet tylko przemiezczenie u. Wytępują dwie reakcje: moment i iła o kierunku normalnym do podtawy fundamentu. W przypadku prętów cienkich, w których przekrój po odkztałceniu jet protopadły do oi pręta (założenie Bernoulliego), podporę telekopową można uzykać za pomocą dwóch równoległych prętów podporowych, protopadłych do oi pręta zaadniczego. Podpora przegubowa nieprzeuwna (ry. 4.3c) pozbawia przekrój dwóch topni wobody ( u= v =0 ). Dopuzczalny jet obrót przekroju wokół oi y (ϕ y = 0). Wytępują dwie kładowe reakcji (dwie iły). Podpora przegubowa przeuwna (ry. 4.3d) pozbawia przekrój jednego topnia wobody (w = 0). Dopuzczalne jet przemiezczenie u i kąt obrotu przekroju ϕ y. Na podporze wytępuje tylko jedna kładowa reakcji o kierunku pokrywającym ię z oią pręta podporowego (lub z normalną do podtawy fundamentu). Podpora ślizgowa (ry. 4.3e) pozbawia przekrój dwóch topni wobody (u = 0, ϕ y = 0). Dopuzczalne jet tylko przemiezczenie poprzeczne w. Wytępują dwie kładowe reakcji: iła podłużna i moment zginający CZYNNIKI ZEWNĘTRZNE POWODUJĄCE DEFORMACJĘ KONSTRUKCJI. OBCIĄŻENIA Główną przyczyną deformacji kontrukcji ą obciążenia, czyli iły czynne (aktywne). Trzeba jednak pamiętać, że deformacja kontrukcji może być wywołana przez wymuzenia kinematyczne (np. przez przemiezczenia podpór) lub zewnętrznymi czynnikami niemechanicznymi, np. przez zmianę temperatury lub kurcz technologiczny (kurcz betonu). Częto intereują na odchylenia kontrukcji rzeczywitej od konfiguracji idealnej powodowane błędami i niedokładnościami wykonania. Chodzi tu np. o wyznaczenie ił wewnętrznych i odchyleń oi pręta wtępnie zakrzywionego od położenia projektowanego, odpowiadającego prętowi o oi protoliniowej. Omówimy obecnie tylko obciążenia powodowane przez iły, natomiat wpływ innych czynników zewnętrznych będzie przedtawiony w dalzych rozdziałach. Na obciążenia zewnętrzne kładają ię iły powierzchniowe i maowe. Można wprowadzić jezcze inny podział: na obciążenia rozłożone w poób ciągły i kupione. Obciążenia kupione tanowią idealizację obciążenia ciągłego rozłożonego na bardzo małym obzarze (ry. 4.4). Ry. 4.4 W teorii prętów wzytkie obciążenia prowadza ię do punktów oi ciężkości pręta. Jeżeli wypadkowe wzytkich ił zewnętrznych leżą w tej amej płazczyźnie, to wytępuje płaki układ obciążenia. Sen podanej wyżej klayfikacji obciążeń objaśnimy na przykładzie płakiego układu obciążeń, odnieionego do konfiguracji początkowej (przed odkztałceniem). Na ryunku 4.5a przedtawiono obciążenie pręta iłami powierzchniowymi kupionymi i rozłożonymi w poób ciągły. Po prowadzeniu tych

5 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 5 obciążeń do oi pręta otrzymujemy płaki układ ił działający w płazczyźnie obciążenia π. Jet ona jednocześnie płazczyzną ymetrii pręta. W efekcie uzykujemy chemat obciążenia przedtawiony na ry. 4.5b. Ry. 4.5 Z reguły zakłada ię, że obciążenia roną od zera do wych końcowych wartości P, P2,..., P5 oraz qz( x). Siły te powodują deformację oi pręta. Odnozenie końcowych wartości obciążeń do nieodkztałconej oi pręta nie jet zatem właściwe, uprazcza natomiat ilutrację problemu obciążeń. Dalze zczegóły dotyczące zachowania ię obciążenia w proceie deformacji pręta zawiera p Ryunek 4.6a objaśnia poób utalania obciążenia ciągłego podcza działania wektora ił powierzchniowych tworzących kąt otry z oią belki. Otrzymujemy tu trzy rodzaje obciążeń ciągłych: obciążenie protopadłe do oi belki qz ( x), obciążenie tatyczne do oi belki qx ( x ) oraz rozłożony w poób ciągły moment zginający my ( x). Ryunek 4.6b ilutruje poób uwzględniania ił maowych (na przykład ił ciężkości) przy utalaniu obciążeń.

6 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 6 Ry. 4.6 W przypadku ogólnym na obciążenie pręta o oi protej lub zakrzywionej kładają ię iły qx( ), qy( ), qz( ) oraz momenty mx( ), my( ), mz( ), odnieione do jednotki długości pręta, przy czym x, y, z oznaczają tu oie lokalnego układu wpółrzędnych (por. ry. 4.6c). Ogólne obciążenie pręta opiuje zatem macierz wierzowa { Fi} o elementach Fi, będących funkcjami zmiennej : { i} { x y z x y z} F = q, q, q, m, m, m, i =, 2, 3,..., 6. (4.2) Elementy F i mogą przedtawiać również obciążenia kupione i odcinkowo ciągłe, jeżeli wyrazimy je za pomocą funkcji Heaviide a H() i Diraca δ(). Funkcje te będą omówione w p DEFINICJE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH W celu zdefiniowania ił wewnętrznych *) rozważymy pręt obciążony układem ił zewnętrznych (czynnych i biernych) będących w równowadze. Pod wpływem tych ił pręt ię odkztałci. W konfiguracji aktualnej (po odkztałceniu) w wybranym punkcie oi dokonamy myślowego przekroju pręta płazczyzną α α, protopadłą do jego odkztałconej oi (ry. 4.7b). Zwróćmy uwagę, że w ogólności punkty materialne tworzące ten przekrój nie ą tymi amymi punktami, które tworzą przekrój w konfiguracji pierwotnej. Identyczność tych punktów zachodzi tylko wówcza, gdy przekrój po odkztałceniu pozotaje płaki i protopadły do wygiętej oi pręta (założenie Bernoulliego). *) Określenia: iły wewnętrzne, iły przekrojowe, iły uogólnione, naprężenia uogólnione ą ynonimami używanymi wymiennie.

7 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 7 Ry. 4.7 Obie wydzielone przekrojem części pręta muzą być w równowadze. Na każdą z nich działają: iły obciążenia zewnętrznego (iły czynne), iły reakcji zewnętrznych (iły bierne), iły wewnętrzne działające na przekrój α α, czyli wektor iły T α i wektor momentu M α (ry. 4.7c). Siły wewnętrzne ą zatem wypadkowymi elementarnych wzajemnych oddziaływań obu części pręta oddzielonych przekrojem α α. Warto odnotować, że zgodnie z trzecią zaadą Newtona o akcji i reakcji wartości i kierunki wektorów T α i M α działających na obie części pręta ą takie ame, natomiat zwroty przeciwne. Wektor iły wypadkowej T α rozkładamy na dwie iły tyczne leżące w płazczyźnie przekroju (tj. poprzeczne w tounku do oi): Qyα i Qzα oraz iłę normalną do przekroju (tj. podłużną do oi), N α. Podobnie potępujemy z wektorem momentu M α. Składowe tyczne Myα i Mzα nazywamy odpowiednio momentami zginającymi względem oi y α i z α, a kładową normalną M α nazywamy momentem kręcającym. W przypadku ogólnym iły wewnętrzne działające na dany przekrój (tzw. uogólnione naprężenia) ą więc określone przez ześć elementów macierzy{ Y i }: { i} { y z y z} Y = N, Q, Q, M, M, M, i =, 2, 3,..., 6. (4.3) Znakowanie ił wewnętrznych jet związane z przyjętym układem wpółrzędnych. Założymy, że krzywoliniowa wpółrzędna pokrywa ię w konfiguracji odkztałconej ze tyczną do oi pręta, a oie lokalne y α i z α tworzą z nią układ prawokrętny. Na płazczyźnie przekroju, dla której zewnętrzny wektor normalny ma zwrot zgodny z oią (dodatnia trona), dodatnie iły wewnętrzne mają zwroty zgodne ze zwrotami oi, y α, z α. Na płazczyźnie przekroju określonej przez normalną zewnętrzną o zwrocie przeciwnym do zwrotu oi (ujemna trona) dodatnie iły wewnętrzne mają zwroty przeciwne do zwrotu oi, y α, z α. Według tej, matematycznie pójnej, zaady znakowania wzytkie iły wewnętrzne z ry. 4.7 ą dodatnie. Dla wyjaśnienia dodamy, że zwrot momentu zaznaczony podwójną trzałką odpowiada dzia-

8 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 8 łaniu tatycznie równoważnej pary ił tworzącej z wektorem momentu śrubę prawokrętną, tzn. taką, jaką tworzą oie przyjętego układu wpółrzędnych, y α, z α. W praktyce dążymy jednak do tego, by zaada znakowania była niezależna od przyjętego układu wpółrzędnych. Zaadę taką można zatoować tylko do znakowania iły normalnej, której dodatnia wartość oznacza rozciąganie pręta (ry. 4.8a). Znakowanie momentu kręcającego można uzależnić tylko od krętności układu wpółrzędnych. Jeśli przyjmiemy, że wektor dodatniego momentu kręcającego rozciąga pręt, otrzymamy zaadę znakowania zilutrowaną na ry. 4.8b. W prawokrętnym układzie wpółrzędnych, toowanym powzechnie w mechanice, dodatni moment kręcający odpowiada przykładowo kierunkowi odkręcania naadki pióra lub nakrętki śruby. Bardzo duże znaczenie praktyczne mają płakie układy prętowe, tzn. takie, w których oie wzytkich prętów leżą w tej amej płazczyźnie. Najczęściej potyka ię zadania, w których iły zewnętrzne (czynne i bierne) leżą w jednej płazczyźnie, pokrywającej ię z płazczyzną układu prętowego. W tych zczególnych przypadkach zgodnie z wieloletnią tradycją zaady znakowania ił poprzecznych i momentów zginających ą już utalone. Przyjmuje ię mianowicie, że dodatnia iła poprzeczna uiłuje obrócić odciętą część pręta zgodnie z ruchem wkazówki zegara (por. ry. 4.8c). Umowa ta zależy jednak od tego, z której trony płazczyzny układu oberwujemy kontrukcję. Dla momentu zginającego przyjmuje ię zaadę, że dodatni moment powoduje rozciąganie dolnych włókien pręta (por. ry. 4.8d). W przypadku prętów pionowych i pochyłych przed przytąpieniem do obliczeń zaznacza ię linią przerywaną te włókna, które umownie uważamy za dolne (ry. 4.8e). Znakowania momentów można całkowicie zaniechać, jeśli rzędne wykreu momentów odnoi ię zawze po tronie włókien rozciąganych. Ten poób ma wiele zalet i jet toowany również w tych przypadkach, gdy momenty ą zaopatrzone w znak. Ry KLASYFIKACJA UKŁADÓW PRĘTOWYCH

9 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 9 Nazewnictwo kontrukcji prętowych kztałtowało ię na przetrzeni tuleci. Nic dziwnego, że klayfikacja układów prętowych nie jet merytorycznie pójna. O nazwie kontrukcji decydują zazwyczaj natępujące cechy: poób podparcia i połączenia prętów, kztałt geometryczny oi, poób obciążenia, zdolność kontrukcji do przejmowania określonych ił wewnętrznych. Ry. 4.9 A oto określenia najczęściej potykanych układów prętowych: Kratownica to układ protoliniowych prętów połączonych ze obą przegubowo. Obciążenie działa wyłącznie w potaci ił kupionych przyłożonych w węzłach, tj. w punktach połączenia prętów (ry. 4.9a). Przy tych założeniach pręty kratownicy przenozą wyłącznie iły podłużne. Belka to pręt o oi protoliniowej, obciążony poprzecznie. Belka podparta wobodnie w dwóch punktach (przegubowo) oraz belka wpornikowa nozą nazwę belek protych (ry. 4.9b). Na ryunku 4.9c przedtawiono tzw. belki ciągłe (przegubowe i bezprzegubowe). Termin belka rezerwuje ię dla prętów zginanych.

10 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 0 Łuk to pręt o oi zakrzywionej w pewnej płazczyźnie. W łukach oprócz zginania i ścinania z reguły wytępują podłużne iły ścikające (ry. 4.9d). Cięgno to pręt mający tylko ztywność rozciągania. Przy obciążeniu poprzecznym równowaga cięgna wymaga zakrzywienia lub załamania oi (ry. 4.9e). Cięgno przenoi wyłącznie iły normalne rozciągające. Rama to układ prętów protoliniowych połączonych w węzłach w poób ztywny lub przegubowy (ry. 4.9f). Ruzt to rama płaka obciążona protopadle do wej płazczyzny (ry. 4.9g). Poza tym touje ię bardziej zczegółowe terminy. Określenie łup oznacza pręt pionowy poddany ścikaniu. Rozciągany pręt pionowy noi nazwę wiezak. Rygiel to zazwyczaj poziomy element ramy przenozący momenty zginające OBLICZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH. ZASADA ZESZTYWNIENIA Ogólny poób wyznaczania ił wewnętrznych w przekroju α α polega na badaniu równowagi jednej dowolnie wybranej części pręta oddzielonej tym przekrojem. Do wyznaczenia ił wewnętrznych za pomocą równań równowagi muzą być dane: przemiezczenia każdego przekroju pręta, zachowanie ię obciążenia w proceie deformacji, iły reakcji więzów. Ry. 4.0 Informacja, że obciążenia roną od zera do wej końcowej wartości, jet niewytarczająca, gdyż obciążenie związane z danym punktem materialnym może w proceie odkztałcenia zachować wój kierunek w przetrzeni (ry. 4.0a) lub nie (ry. 4.0b). W pierwzym przypadku mamy do czynienia z ob-

11 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH ciążeniem konerwatywnym. Odpowiada ono ytuacjom, w których praca obciążenia zależy tylko od konfiguracji początkowej i końcowej. Drugi przypadek odpowiada obciążeniu niekonerwatywnemu. Jet oczywite, że w obu przypadkach podanych na ry. 4.0a, b reakcje więzów podporowych i iły wewnętrzne będą różne. Zachowanie ię obciążenia w proceie deformacji warunkuje toowanie twierdzenia o minimum energii potencjalnej obciążenie mui być wówcza konerwatywne. Ma to duże znaczenie w problemach tateczności. Do obliczenia reakcji podporowych niezbędna jet zazwyczaj znajomość przemiezczenia tylko pewnych przekrojów pręta. Widać to wyraźnie na ry. 4.0a, b. W pewnych przypadkach wymaganie to nie jet konieczne, co pokazuje ry. 4.0d. Niemniej jednak do ściłego określenia ił wewnętrznych w każdym przekroju muimy znać deformacje całego pręta. Problem wyznaczania ił wewnętrznych uprazcza ię znakomicie, gdy przyjmiemy, że przemiezczenia kontrukcji ą bardzo małe. Założenie to jet uzaadnione, gdyż w technice wymagamy na ogół odpowiednio dużej ztywności kontrukcji. Wyjątek tanowią tu kontrukcje cięgnowe i pneumatyczne. Założenie małych przemiezczeń pozwala zaniedbać rozróżnianie konfiguracji przed i po odkztałceniu, a w równaniach równowagi można pominąć wpływ deformacji. Inaczej mówiąc, przy układaniu równań równowagi pręty traktujemy jak ciała ztywne zajmujące pod obciążeniem konfigurację początkową. Stwierdzenie powyżze tanowi treść tzw. zaady zeztywnienia. Zatoowanie tej zaady do belki z ry. 4.0c umożliwia obliczenie zarówno reakcji, jak i ił wewnętrznych wyłącznie z równań równowagi. Reakcje podpory utwierdzonej VA, HA, MA wyznaczamy na podtawie równań (c) z p. 4. (por. ry. 4.a): Px = 0: HA = 0, Pz = 0: VA + P = 0, VA = P, My = MA = 0: MA + Pl = 0, MA = Pl. Podobnie wyznaczymy iły wewnętrzne N(x), Q(x), M(x), badając równowagę jednej z części odciętej przekrojem x = x α. Przykładowo dla części lewej z ryunku 4.0b mamy: Px i = 0: N( x) = 0, Pz i = 0: P= Qx ( ) = 0, Qx ( ) = P, M y i = M B = 0: Pl M ( x) + Px = 0, M( x) = P( l x).

12 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 2 Ry. 4. Identyczne wyniki uzykamy za pomocą równań równowagi ułożonych dla części prawej (ry. 4.c). Wykrey ił wewnętrznych przedtawiają ry. 4.d, e, f. Zwróćmy uwagę na to, że rzędne wykreu M(x) odłożone ą po tronie włókien rozciąganych. 4.7 KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Jeżeli dla dowolnego obciążenia kontrukcji reakcje i iły wewnętrzne można wyznaczyć wyłącznie z równań równowagi, to kontrukcję taką nazywamy tatycznie wyznaczalną. Wzytkie inne tworzą zbiór kontrukcji tatycznie niewyznaczalnych. W kontrukcjach tych do określenia pola tatycznego (tj. reakcji i ił wewnętrznych) oprócz równań równowagi wykorzytuje ię dodatkowo informacje o polu przemiezczeń, które zależą m. in. od właności fizycznych materiału. Należy podkreślić, że w ramach teorii kinematycznie nieliniowej, w której nie obowiązuje zaada zeztywnienia, każda kontrukcja jet tatycznie niewyznaczalna. W takich przypadkach w równaniach równowagi wytępują nieznane przemiezczenia, do których wyznaczenia niezbędna jet analiza deformacji kontrukcji. Wnioek ten wynika z rozważań zawartych w p Przykładem kontrukcji tatycznie wyznaczalnej jet belka wpornikowa z ry. 4.0c, której rozwiązanie podano na ry. 4.. Bardzo itotną cechą kontrukcji tatycznie wyznaczalnych jet to, że zerowemu obciążeniu odpowiadają zawze zerowe reakcje i iły wewnętrzne. W kontrukcjach tatycznie niewyznaczalnych już tak nie jet, gdyż mogą w nich wytępować różne od zera reakcje i iły wewnętrzne będące w równowadze z zerowym obciążeniem. Teoria kontrukcji tatycznie wyznaczalnych ma znaczenie podtawowe, łuży bowiem także do obliczania kontrukcji tatycznie niewyznaczalnych. Na podtawie poprzedniego punktu można wniokować, że podział na kontrukcje tatycznie wyznaczalne i niewyznaczalne wynika z przyjęcia zaady zeztywnienia. Znaczenie tej zaady wykracza jednak poza kontrukcje o małych przemiezczeniach. Załóżmy, że przy pełnym obciążeniu P kontrukcja wykazuje duże przemiezczenia. Wyobraźmy obie, że obciążenie przyrata w czaie kokowo o tak małe wartości P, że przyroty przemiezczeń kontrukcji ą również bardzo małe. Wówcza na każdym kroku obciążenia można przyjąć, że jet łuzna zaada zeztywnienia. Pozwala to na przybliżone obliczenie ił

13 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 3 wewnętrznych, jeżeli uwzględnimy przemiezczenia kontrukcji kumulowane w krokach poprzednich. Idea metody przyrotowej jet bardzo częto toowana do obliczania kontrukcji wykazujących duże przemiezczenia RÓWNANIA PRACY WIRTUALNEJ DLA KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Fizyczne podtawy metod mechaniki budowli wywodzą ię z równań pracy wirtualnej, tąd fundamentalne znaczenie tych równań. Równania pracy wirtualnej ą łuzne dla dowolnego modelu fizycznego materiału. Wynikają z nich zarówno zaady energetyczne, jak i równania równowagi, ą bardzo użyteczne podcza wyznaczania przemiezczeń i wielkości tatycznych. W dalzych rozdziałach pokażemy niektóre zatoowania tych równań. Dla ciała o objętości V ograniczonego powierzchnią S równania pracy wirtualnej mają potać (por. wzory (3.2) i (3.3)): σ ε, (a) puds i i + GudV i i = ij ijdv S V V σ ε, (b) puds i i + GudV i i = ij ijdv S V V przy czym wielkości wirtualne dla odróżnienia od rzeczywitych zaznaczono nadkreśleniem. Między wielkościami rzeczywitymi a wirtualnymi nie ma żadnego związku przyczynowego. Muzą one jedynie pełniać warunki dopuzczalności tatycznej i kinematycznej. W tym punkcie nadamy równaniom (a) i (b) potać przydatną do analizy kontrukcji prętowych. W kontrukcjach prętowych wzytkie iły zewnętrzne ą przyłożone do oi pręta, wobec czego różnice między iłami powierzchniowymi i maowymi znikają. Stoownie do utaleń p. 4.3, traktującego o obciążeniach, lewe trony równań (a) i (b) można zapiać według chematu: piu ids + Giu idv = qxu + qyv + qzw + mx + my y + mz z d = 6 ( ψ ϕ ϕ ) Fd i id S V. i= (4.4) Wzór (4.4), przedtawiający pracę ił zewnętrznych, oraz wyrażenia na pracę ił wewnętrznych, podane w drugiej części, pozwalają otrzymać ogólną potać równań pracy wirtualnej dla kontrukcji prętowych: wirtualny tan przemiezczeń: lub krócej wirtualny tan ił: ( qu+ qv+ qw+ mψ + mϕ + mϕ ) d= x y z x y y z z = Nλ + Q β + Q β + Mθ + M k + M k ) d, ( 4. 5) y y z z y y z z 6 6 Fi d i d = Yi e i d, (4.5a) i= i=

14 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 4 lub ( qu x + qv y + qw z + mxψ + myϕy + mzϕz) d= = Nλ + Qyβy + Qzβz + Mθ + Myχy + Mzχz) d, ( 4. 6) 6 6 Fi d i d = Yi e i d. (4.6a) i= i= W równaniach tych λ, βy, βz, θ, ky, k z oznaczają odpowiednio tzw. uogólnione odkztałcenia pręta: wydłużenie względne oi, średnie kąty ścinania oraz jednotkowy kąt kręcenia i krzywizny oi pręta. e : Wielkości te można uważać za elementy pewnej macierzy odkztałceń uogólnionych { } i { ei} { λβy βz θ y z} =,,,, k, k, i =, 2,..., 6. (4.7) Warto przytoczyć pewien zczególny przypadek równań pracy wirtualnej (4.5). Chodzi o potać tych równań dla układu ciał idealnie ztywnych, w których dopuzczalne przemiezczenia wykluczają wytępowanie uogólnionych odkztałceń. Wówcza prawa trona wzoru (4.5) jet zawze równa zeru: ( qu x + qv y + qw z + mxψ + myϕy + mzϕz) d 0 (4.8) lub 6 Fi d i d = 0. (4.8a) i= Równania (4.8) mają duże znaczenie praktyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów i ił wewnętrznych. Równania (4.5) i (4.6) obowiązują również dla prętów ilnie zakrzywionych. Trzeba wówcza zamiat zmiany krzywizny k wpiać wyrażenie k +λ/r, gdzie r oznacza początkowy promień zakrzywienia oi pręta. Równania pracy wirtualnej zapiane w potaci (4.5) i (4.6) obowiązują przy założeniu płakich przekrojów (niekoniecznie normalnych do wygiętej oi pręta) oraz wobodnej deplanacji przekroju podcza kręcania. W innych przypadkach trzeba wprowadzić pewne modyfikacje tych równań. Niemniej ich en pozotaje ten am: lewe trony wyrażają pracę ił zewnętrznych, a prawe pracę ił wewnętrznych. Na przykład w protoliniowych prętach cienkościennych o przekroju otwartym, podlegających założeniom teorii Właowa, prawe trony równań pracy wirtualnej przybierają potać (por. wzór (3.5)): ( Nλ + Bkω + M vθ + Myky + Mzkz) d, (4.9) gdzie B i M v oznaczają odpowiednio bimoment i moment kręcający Saint-Venanta, natomiat krzywizna krętna k ω = θ' = ψ. W wyrażeniu (4.9) nie wytępują kładniki Qyβy + Qzβz, bo w teorii Właowa zakłada ię, że β = β = 0. y z 4.9. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA PRĘTÓW SPRĘŻYSTYCH

15 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Twierdzenie Clapeyrona Matematyczna treść twierdzeń energetycznych wynika z rezultatów uzykanych dla ośrodka ciągłego w rozdziale 5. Twierdzenie Clapeyrona dla kontrukcji prętowych wyraża równanie: 2 ( qu x + qv y + qw z + mxψ + myϕy + mzϕz) d= = ( Nλ+ Qyβy + Qzβz + Mθ + Myky + Mzkz) d, 2 (4.0) lub Fi d i d = Yi e i d i = 2 6 2,,,...,. (4.0a) i= i= Budowa wzoru (4.0) wynika bezpośrednio z rozważań zawartych w p Wzór ten można również traktować jako zczególny przypadek równań pracy wirtualnej, w których wielkości wirtualne utożamia ię z wielkościami rzeczywitymi. Założenie takie jet uzaadnione tym, że wielkości wirtualne ą dowolne i dopuzczalne, mogą zatem być także wielkościami rzeczywitymi. Wzór (4.0) obowiązuje tylko dla układów Clapeyrona, czyli układów, w których zależności między obciążeniami i przemiezczeniami ą liniowe, a ponadto nie wytępują wtępne naprężenia lub odkztałcenia oraz zmiany temperatury Twierdzenie o minimum energii potencjalnej Energię potencjalną definiuje ię natępująco: (a) [ ij k ] Π = W ε ( u ) dv puds i i GudV i i, V przy czym W( ε ij ) jet funkcją energii odkztałcenia prężytego mającą właność potencjału: Sp V (b) W ε ij = σ. ij Odpowiednią potać równania (a) dla prętów otrzymamy natychmiat, jeżeli połużymy ię wielkościami uogólnionymi Fi, di, Yi, ei: przy czym Π = Π = ( d i) W[ e i( di)] d Fd i i, (4.) 6 F i= W e i = Yi, i = 2,,..., 6. (4.2)

16 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 6 Dla pręta liniowo-prężytego 6 GA GA We ( i ) = EA + y + z + GJ + EJ y y + EJ z z = 2 λ β β Θ k k Die i, (4.3) 2 ky kz 2 i= gdzie D i oznaczają kolejno odpowiednie ztywności przekroju pręta EA, GA/k y,..., EJ z. Warunkiem tanu równowagi jet oiągnięcie przez energię potencjalną Π(d i ) wartości ektremalnej. Równowaga tateczna odpowiada natomiat takiemu kinematycznie dopuzczalnemu polu przemiezczeń, które nadaje energii potencjalnej wartość minimalną: Π(d i ) = min. (4.4) Twierdzenie to jet łuzne również dla prętów nieliniowo-prężytych. Przemiezczenia kontrukcji mogą być dowolnie duże pod warunkiem, że obciążenia ą konerwatywne. Omówimy jezcze jeden bardzo ważny przypadek zczególny, gdy obciążenie kłada ię również z obciążeń kupionych P j (j =, 2,..., m). Mogą to być iły lub momenty kupione. Dla janości zapiu oddziaływania te wydzielimy, przyjmując, że ] m Fd i i d Fd i i d P 6 6 = + j j, i= i= j= F gdzie D i oznacza rzut przemiezczenia punktu przyłożenia obciążenia kupionego P j na linię działania tego obciążenia. Energię potencjalną Π(d i, j ) wyrazimy więc jak natępuje: (c) Π( di, j) = W[ ei( dk)] d Fid i d Pj j. F 6 m i= j= Warunkiem koniecznym wytępowania tanu równowagi jet zerowanie ię pochodnej energii Π względem przemiezczenia j, czyli Π = 0, co na podtawie wzoru (c) prowadzi do zależności: j Pj U =, (4.5) j gdzie U = U( ei, j) = W( ei, j) d i oznacza całkowitą energię odkztałcenia wyrażoną przez wielkości kinematyczne Twierdzenie o minimum energii dopełniającej. Zaada Catigliano Energię dopełniającą Π * definiuje ię natępująco:

17 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 7 (d) Π * = W( σ ij ) dv pud i i, V S przy czym W(σ ij ) jet funkcją energii naprężeń mającą właność potencjału: (e) W σ ij = ε. Dla prętów odpowiednia potać energii dopełniającej Π * przedtawia wzór: ij u Π * 6 = ( ) W Y i d, F i d i d i= d (4.6) przy czym W Y k = ek, k = 2,,..., 6. (4.7) Dla pręta liniowo-prężytego 2 2 N Q Q M 2 M 6 2 y Y WY z M y ( z i ) = i. 2 EA ( GA / k y ) ( GA / kz) GJ EJ y EJz D = 2 i= i (4.8) Twierdzenie o minimum energii dopełniającej głoi, że pośród wzytkich dopuzczalnych pól tatycznych (naprężeń uogólnionych i ił zewnętrznych) realizuje ię to pole, które nadaje energii dopełniającej wartość minimalną, czyli: Π * ( Yi, Fk ) = min. (4.9) Szczególnym przypadkiem tego twierdzenia jet tzw. zaada Catigliano, która ma zatoowanie, gdy poza obciążeniami ciągłymi F k wytępują również obciążenia kupione P j. Wówcza (f) Π * Π * = ( Y,, ) = (, ) i Fk Pj W Y i Pj d. Fid i d Pj j 6 m d i= j= Warunkiem itnienia ektremum energii dopełniającej jet znikanie pochodnej energii dopełniającej * względem iły P j, czyli ( Π / P j ) = 0. Warunek ten zatoowany do równania (f) prowadzi do zależności: j = P U, (4.20) j

18 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 8 gdzie U = U( Yi, Pj) = W( Yi, Pj) d i oznacza całkowitą energię odkztałcenia wyrażoną przez wielkości tatyczne. Równanie (4.20) tanowi treść wpomnianej wyżej zaady Catigliano O KINEMATYCE I STATYCE UKŁADÓW CIAŁ IDEALNIE SZTYWNYCH Małe przemiezczenia tarczy ztywnej Problematykę zawartą w tytule tego punktu omówimy na przykładzie układów płakich. Jako model ciała idealnie ztywnego przyjmiemy nieodkztałcalną figurę płaką, czyli tzw. tarczę ztywną. Z mechaniki teoretycznej wiadomo, że dowolny przyrot przemiezczeń ciała ztywnego można traktować jako obrót tego ciała wokół chwilowego bieguna obrotu. Przeunięcie równoległe (tranlacja) tanowi przypadek zczególny, w którym chwilowy biegun obrotu leży w niekończoności. Ry. 4.2 Rozważmy obrót tarczy ztywnej wokół bieguna leżącego w początku przyjętego układu wpółrzędnych x, y (ry. 4.2a). Jeśli kąt obrotu ϕ jet mały, to można przyjąć, że wektory przemiezczenia pozczególnych punktów tarczy ą protopadłe do kierunku promieni łączących te punkty z biegunem obrotu. Ilutruje to ry. 4.2a, na którym dla wybranego punktu B wektor przemiezczenia jet protopadły do promienia r, przy czym = r tgϕ r ϕ (4.2) Rzuty przemiezczenia na oie x i y wynozą: (a) u= in α = ϕ ( rin α ), (b) v = co α = ϕ ( rco α ). Ponieważ wpółrzędne punktu B wyrażają ię wzorami (c) xb = rco α, (d) yb = rin α,

19 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 9 więc zależności (a) i (b) można zapiać w potaci: u= ϕ yb, v = ϕ xb. (4.22) Równanie (4.22) prowadzi do bardzo użytecznego wnioku, a mianowicie: Bezwzględna wartość dowolnej kładowej wektora przemiezczenia jet iloczynem kąta obrotu tarczy i odległości tej kładowej od bieguna obrotu. Drugie ważne potrzeżenie dotyczy poobu wyznaczenia położenia bieguna obrotu (por. ry. 4.2b): Jeżeli znamy kierunki wektorów przemiezczenia dwóch różnych punktów tarczy, to chwilowy biegun obrotu leży w punkcie przecięcia ię protych protopadłych do tych wektorów. Ponieważ każdy z punktów tworzących tarczę obraca ię względem bieguna obrotu o ten am kąt równy kątowi obrotu całej tarczy ϕ, zatem na podtawie (4.2) otrzymujemy zależność: ϕ = = 2 =... = n = cont. (4.23) r r2 rn W zczególnym przypadku, gdy tarcza podlega wyłącznie tranlacji, chwilowy biegun obrotu leży w niekończoności (w punkcie przecięcia ię dwóch protych równoległych por. ry. 4.2c) Warunek geometrycznej niezmienności i kinematyka układu tarcz ztywnych Tarcza ztywna na płazczyźnie ma trzy topnie wobody. Do jej unieruchomienia niezbędne ą zatem co najmniej trzy pręty podporowe (ry. 4.3a). Jet to tylko warunek konieczny, ponieważ tarcza z ry. 4.3b może obracać ię wokół bieguna O, leżącego w punkcie przecięcia ię wzytkich trzech prętów podporowych. Tarcza ta ma więc jeden topień wobody i jet chwilowo geometrycznie zmienna. Ry. 4.3 Dla układu złożonego z więkzej liczby tarcz warunek konieczny ich unieruchomienia jet natępujący: (e) p = 3, t gdzie p jet łączną liczbą prętów podporowych, a t liczbą tarcz w układzie. Na podtawie równania (e) można precyzować trzy przypadki:

20 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 20 ) gdy p < 3t, układ jet geometrycznie zmienny, 2) gdy p = 3t, układ jet geometrycznie niezmienny, 3) gdy p > 3t, układ jet geometrycznie niezmienny i przeztywniony. Powyżzy podział jet łuzny, jeżeli wykluczymy z równań przypadki zczególne podane przykładowo na ry. 4.3b, c, 4.4c, d. W każdej poprawnie zaprojektowanej kontrukcji, której elementy zgodnie z zaadą zeztywnienia można traktować jak tarcze ztywne, liczba więzów (prętów podporowych) mui pełniać konieczny warunek niezmienności geometrycznej. p 3 t. (4.24) Liczba n= p 3tokreśla topień przeztywnienia układu. Warunek dotateczny niezmienności geometrycznej układu formułujemy w p Ry. 4.4 Omówimy krótko układy geometrycznie zmienne (przypadek ), które także mają duże znaczenie praktyczne. Chodzi mianowicie o określenie kinematyki takich układów. Liczba = 3 t p określa liczbę topni wobody układu geometrycznie zmiennego. Gdy liczba topni wobody >, to kinematyka wypadkowa jet kombinacją liniową pozczególnych mechanizmów o jednym topniu wobody. Rozważmy przykładowo układ dwóch tarcz przedtawiony na ry Układ ten ma dwa topnie wobody ( = = 2 ). Wprowadzenie dwóch dodatkowych prętów podporowych i 2 powoduje, że układ taje ię geometrycznie niezmienny. Pierwzy mechanizm o jednym topniu wobody uzykujemy po uunięciu podpory, a drugi również o jednym topniu wobody po uunięciu podpory 2. Każdy z mechanizmów jet jednoznacznie określony przez kąt obrotu wybranej tarczy. Przyjmijmy zatem, że kąt ϕ określa mechanizm, a kąt ϕ 2 określa mechanizm 2.

21 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 2 Ry. 4.5 Dokonamy najpierw analizy mechanizmu (ry. 4.5b). Punkt (I) oznacza biegun obrotu tarczy I. Punkt ten pokrywa ię z podporą A. Biegun obrotu tarczy II leży na protych protopadłych do znanych kierunków wektorów przemiezczenia dwóch punktów B i C należących do tarczy II. Wzajemny biegun obrotu obu tarcz (I, II) leży w punkcie B. Charakterytyczne jet to, że bieguny (I), (I, II) i (II) leżą na jednej protej. Z porównania długości wektora B wyznaczonej z kinematyki tarcz I i II otrzymujemy zależność między kątami ϕi i ϕii : 3 ϕi = ϕii. Ponieważ ϕ = ϕ I, więc dla mechanizmu mamy I II ϕ = ϕ, ϕ = 3ϕ. W podobny poób utalamy położenie bieguna obrotu i zależności między kątami w mechanizmie 2 (ry. 4.5c): ( 2) ( 2) ϕi = 2 ϕii. ( 2) Ponieważ ϕ2 = ϕ II, więc ϕ ( 2) I ϕ ( 2) = 2 II = 2 ϕ 2. Otatecznie otrzymujemy: (f) ( 2) ϕi = ϕi + ϕii = ϕ 2ϕ2, ( 2) ϕii = ϕii + ϕii = 3ϕ+ ϕ2.

22 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 22 Zależność (f) jet ilutracją faktu, że kinematyka układu o dwóch topniach wobody jet kombinacją liniową dwóch mechanizmów kładowych, określonych przez dwa kąty obrotu ϕ I i ϕ II. Kąty obrotu układu tarcz ztywnych, tworzących mechanizm o jednym topniu wobody (tzw. łańcuch kinematyczny), można również wyznaczyć analitycznie, bez uciekania ię do wyznaczania biegunów obrotu pozczególnych tarcz. Dla ilutracji poobu analitycznego rozważymy układ trzech tarcz ztywnych o jednym topniu wobody, przedtawiony na ry. 4.5d. Idea tego poobu polega na wykorzytaniu równań umy rzutów przemiezczeń na oie układu wpółrzędnych x, y. Składowe przemiezczenia punktu D toownie do wzoru (4.22) wynozą: (g) Dx = x = ly ϕi + l2y ϕii + l3y ϕiii, Dy = y = lx ϕi l2x ϕii l3x ϕiii. Należy zwrócić uwagę, że dodatnie kąty ϕi, ϕii i ϕiiiodpowiadają tutaj obrotowi zgodnemu z kierunkiem ruchu wkazówek zegara, a znaki rzutów długości prętów lix, liy traktuje ię jako kładowe wektorów AB, BC i CD, czyli: (h) lix = li co αi, liy = li in αi. Ponieważ punkt D jet nieruchomy, więc Dx = Dy =0, a zależności (g) tworzą układ dwóch równań jednorodnych o trzech niewiadomychϕi, ϕii i ϕiii: (i) ly ϕi + l2y ϕii + l3y ϕiii = 0, lx ϕi + l2x ϕii + l3x ϕiii = 0. Z układu tego można wyznaczyć tounki niewiadomych kątów. Przyjąwzy przykładowo, że t 2 = ϕii ϕi oraz t 3 = ϕiii ϕi, otrzymujemy dwa równania o dwóch niewiadomych t2 i t3: (j) l2y t2 + l3y t3 = ly, l2x t2 + l3x t3 = lx, tąd lxl3y lyl3x ϕii = t2 ϕi = ϕi l l l l 2y 3x 2x 3y lyl2x lxl2y ϕiii = t3 ϕi = ϕi l l l l 2y 3x 2x 3y,. Dalze zatoowania poobu analitycznego pokażemy na przykładach łańcuchów kinematycznych podanych na ry. 4.5b, c. Dla układu z ry. 4.5b mamy: Cx Cy = 3lϕI lϕii = 0, = l ϕi 2l ϕii = C.

23 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 23 Z pierwzego równania otrzymujemy, że 3ϕI = ϕii, co pokrywa ię z wynikiem uzykanym wcześniej. Drugie równanie wyraża jedynie związek między wartościami kątów ϕi i ϕii a przemiezczeniem C. Dla układu z ryunku 4.5c mamy: ( 2) ( 2) Cx A I II ( 2) ( 2) Cy = lϕi 2lϕII = 0. = + 3lϕ lϕ = 0, ( Intereująca na zależność pomiędzy kątami ϕi 2 ) ( ) a ϕii 2 wynika z drugiego równania:ϕ ϕ I ( 2) = 2 II ( 2). Wynik ten jet identyczny z wynikiem uzykanym za pomocą planu biegunów Warunek tatycznej wyznaczalności i równowaga układu tarcz ztywnych Statyczna wyznaczalność w przypadku układu tarcz ztywnych oznacza, że reakcje wzytkich więzów (tj. prętów podporowych i prętów łączących tarcze) można obliczyć wyłącznie z równań równowagi. Dla każdej tarczy można ułożyć trzy równania równowagi. Wobec tego liczba kładowych reakcji (liczba prętów) w układzie wyznaczalnym wynoi 3t. Wyróżnimy trzy przypadki: ) gdy p < 3t, układ równań tatyki jet przeczny, 2) gdy p = 3t, układ jet tatycznie wyznaczalny, 3) gdy p > 3t, układ jet tatycznie niewyznaczalny. Z powyżzego wynika ilny związek tatyki z kinematyką. Przypadek ) odpowiada układom geometrycznie zmiennym, przypadek 2) geometrycznie niezmiennym, a przypadek 3) układom przeztywnionym. W tatyce kontrukcji liczba n= p 3 t nazywa ię topniem tatycznej niewyznaczalności układu. Liczba ta jet odpowiednikiem topnia przeztywnienia w kinematyce kontrukcji. Trzeba dodać, że warunek p = 3t jet tylko warunkiem koniecznym tatycznej wyznaczalności. Warunek ten mówi, że liczba równań równowagi jet równa liczbie niewiadomych reakcji (ił w prętach). Może ię okazać, że wyznacznik układu równań równowagi jet równy zeru i wówcza nie ma jednoznacznego rozwiązania. Ten zczególny przypadek odpowiada układom geometrycznie zmiennym (por. ry. 4.3b, i ry. 4.4c, d). Badanie wartości wyznacznika równań równowagi jet więc metodą pozwalającą zidentyfikować układy geometrycznie zmienne. Wyjaśnienie pochodzenia tej metody oraz poobu powiązania tatyki z kinematyką układów zawiera p Jeżeli p > 3t, to dla tarcz idealnie ztywnych nie można wyznaczyć reakcji więzów. Możliwość taka pojawia ię dopiero po odtąpieniu od założenia o idealnej ztywności tarcz. Podcza badania równowagi warto pamiętać o tym, że jeżeli na układ tarcz działają: tylko dwie iły, to równowaga zachodzi wtedy, gdy linie działania tych ił pokrywają ię, wartości ą równe a zwroty przeciwne (ry. 4.6a), tylko trzy iły, to równowaga zachodzi wtedy, gdy linie działania tych ił przecinają ię w jednym punkcie (ry. 4.6b). Ry. 4.6

24 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH Warunek dotateczny geometrycznej niezmienności układu ciał idealnie ztywnych Ruch układu ciał ztywnych natępuje wkutek niewytarczającej liczby lub niewłaściwego rozmiezczenia prętów podporowych. Rozważmy płaki układ idealnie ztywnych prętów połączonych ze obą węzłami przegubowymi (kratownica). Przyjmijmy ponadto, że iły zewnętrzne obciążające układ działają wyłącznie w węzłach (ry. 4.7a). Za pomocą takiego modelu można również analizować dowolny układ tarcz ztywnych. Zakłada ię przy tym, że węzły przegubowe wytępują dodatkowo w punktach przyłożenia ił zewnętrznych. Ponieważ do unieruchomienia węzła na płazczyźnie niezbędne ą co najmniej dwa pręty, zatem warunek konieczny geometrycznej niezmienności rozważanych układów ma potać: (a) p 2w, gdzie p jet liczbą prętów a w liczbą węzłów wewnętrznych (ruchomych, tzn. węzłów niepodporowych). Jeżeli p > 2w, to układ jet przeztywniony, a topień przeztywnienia takiego układu n = p 2w. Układ prętów jet geometrycznie niezmienny, jeżeli przemiezczeniu węzłów towarzyzą zmiany długości przynajmniej niektórych prętów. Inaczej mówiąc, zerowym wydłużeniom (króceniom) prętów muzą odpowiadać tylko zerowe wartości przemiezczeń wzytkich węzłów. Jet to łowne formułowanie dotatecznego warunku geometrycznej niezmienności. Ry.!4.7 Zależności między przemiezczeniami węzłów a wydłużeniem pręta utalimy na podtawie ry. 4.7b. W konfiguracji pierwotnej punkt A oznacza początek a punkt B koniec pręta o długości l i. Oś pręta ma zatem zwrot zgodny z wektorem AB. Po odkztałceniu punkt A zajmie położenie A', a punkt B położenie B'. W układzie wpółrzędnych lokalnych x, x 2 kładowe wektorów przemiezczenia punktów A i B oznaczymy odpowiednio przez ui i u i u i, 2 i 3, u4 i. Położenie pręta względem globalnego układu wpółrzędnych X, X 2 jet określone przez wartości koinuów kierunkowych wektora jednotkowego a(i) którego zwrot jet zgodny ze zwrotem wektora AB:

25 (b) Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 25 i i i a = ( a,a ), 2 i i a = co( a, X), i i a = co( a, X ). 2 2 Składowe wektorów przemiezczenia punktów A i B w globalnym układzie wpółrzędnych ą oznaczone i i i i odpowiednio przez U, U2 i U3, U4. Długość pręta po odkztałceniu obliczymy ze wzoru Pitagoraa: i 2 i i 2 i ( ) ( 4 2 ) i i i i 2 i i u u ( u3 u ) + ( u4 u2 ) li + li = li + u3 u + u u = c = li l 2 i li Jeżeli przemiezczenia ą bardzo małe w porównaniu z długością pręta, to uzaadnione jet uwzględnienie jedynie przyrotu długości jako liniowej funkcji kładowych wektorów przemiezczeń: kąd i i u u i i li + li = li = li + u3 u, li i i (d) li = u3 u. 2 Wzór (d) wiąże przyrot długości pręta i z przemiezczeniami odmierzonymi w lokalnym układzie wpółrzędnych x, x 2. Ponieważ (e) więc i i i i i u = U a + U2 a2, i i i i i u3 = U3 a + U4 a2, i i i i i i l U3 U a U4 U2 a2. (f) i = ( ) + ( ) Wzór (f) pozwala obliczyć przyrot długości pręta, jeżeli ą znane przemiezczenia węzłów odmierzane w układzie globalnym X, X 2. Obliczymy zatem wydłużenia prętów układu przedtawionego na ry. 4.7c. Numery prętów zapiano w kółkach, a zwrot ich oi odpowiada numeracji węzłów; niżzy numer oznacza początek danego pręta. Ponieważ układ kłada ię z pięciu prętów, a liczba węzłów wewnętrznych wynoi dwa, zatem topień przeztywnienia układu wynoi n =. Uwzględniając, że U = U2 = U7 = U8 = U9 = U0 = U = U2 = 0, ze wzoru (f) otrzymujemy: Ua 3 + Ua 4 2 = l, ( ( U5 U3) a 2 ) ( ( U6 U4) a2 2 ) + = l2, ( Ua 5 3 ) ( Ua ) = l3, ( Ua 5 4 ) ( Ua ) = l4, Ua 5 5 Ua = l5. Równania powyżze można zapiać w potaci macierzowej:

26 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 26 =, (g) [ Cjk ] { Uk } { lj} gdzie { U } { U U U U } k = 3, 4, 5, 6 jet wektorem przemiezczeń węzłów wewnętrznych, { l j } = { l l 2 l 3 l 4 l 5},,,, jet wektorem wydłużeń prętów, a a a ( ) ( ) ( ) ( ) a 2 a2 2 a 2 a2 2 (h) [ C ] ( ) ( ) jk = 0 0 a 3 a2 3 ( ) ( ) 0 0 a a a 5 a2 5 Macierz [C jk ] nazywa ię macierzą zgodności geometrycznej. Liczba wierzy tej macierzy jet równa liczbie prętów (j =, 2,..., p), zaś liczba kolumn jet równa liczbie topni wobody węzłów wewnętrznych, = 2w (k =, 2,..., a). Jak twierdziliśmy wyżej, warunkiem geometrycznej niezmienności układu jet wymaganie, by zerowym wydłużeniom prętów odpowiadały zerowe wartości przemiezczeń węzłów wewnętrznych. Oznacza to, że w kontrukcjach geometrycznie niezmiennych układ równań jednorodnych, (i) [ C ] { U } jk k =0, może mieć tylko rozwiązanie zerowe, czyli {U k } = 0. Stoownie do twierdzenia Sylvetra zachodzi to wówcza, gdy rząd macierzy [C jk ], czyli liczba liniowo niezależnych kolumn, jet równa liczbie topni wobody: (j) rz [C jk ] =. Jeżeli (k) rz [C jk ] <, to kontrukcja jet geometrycznie zmienna. Przedtawione wyżej kryteria dotyczące problemu geometrycznej niezmienności kontrukcji ą opiane zczegółowo w pracy [25]. Uytuowanie prętów tworzących kontrukcję z ry. 4.7c gwarantuje geometryczną niezmienność układu. Jeżeli jednak dla przykładu węzły, 2 i 3 leżałyby na jednej protej, to otrzymalibyśmy układ chwilowo geometrycznie zmienny, bo węzeł 2 może wówcza ulec niewielkiemu przemiezczeniu bez zmiany długości prętów i 2. Sytuacja taka zachodzi, gdy a = a ( 2) oraz a2 = a2 ( 2). Wtedy z zależności (h) widać, że rząd macierzy [C jk ] zmniejza ię o jedność, gdyż dwie pierwze kolumny tej macierzy ą proporcjonalne (tzn. liniowo zależne). Wobec powyżzego rz [C jk ] = 3 < = 4. Gdy p = 2w, macierz geometrycznej zgodności [C jk ] jet macierzą kwadratową, a badanie geometrycznej niezmienności kontrukcji prowadza ię do badania wartości wyznacznika tej macierzy. Układ równań (i) ma rozwiązanie trywialne (tj. zerowe) tylko wówcza, gdy wyznacznik tego układu jet różny od zera. Wobec powyżzego warunek dotateczny geometrycznej niezmienności ma potać: (l) det [C jk ] 0. Rozważymy obecnie równowagę układu prętów połączonych przegubami. Przyjmijmy, że kontrukcję z ry. 4.7c obciążono iłami przyłożonymi w węzłach wewnętrznych 2 i 3. Pod wpływem tych obciążeń w pozczególnych prętach wytąpiły iły oiowe Z i (i =, 2,..., 5). Sytuację tę objaśnia ry. 4.7d. Z równowagi węzłów 2 i 3 wynikają natępujące równania: P Za ( Z2a 2 ) =, P2 = Za2 ( Z2a2 2 ),

27 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 27 ( P3 Z2a 2 ) ( Z3a 3 ) ( Z4a 4 ) ( Z5a 5 ) =, ( P4 Z2a2 2 ) ( = Z3a2 3 ) ( Z4a2 4 ) ( Z5a2 5 ). Powyżze równania można zapiać w potaci macierzowej: =, (m) { Pk} [ Dkj] { Zj} gdzie { Z } { Z Z Z Z Z } j = wektorem ił węzłowych, a (n) [ D ],,,, jet wektorem ił wewnętrznych w prętach, { P } { P P P P } a a ( 2 ) a a kj = 2 ( 2 2 ) a a a a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( 0 a a a a 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) k =, 2, 3, 4 jet Macierz [D kj ] jet macierzą układu równań równowagi. Liczba wierzy tej macierzy równa ię 2w, a liczba kolumn jet równa liczbie prętów p. Nietrudno zauważyć, że macierz [D kj ] jet równa tranponowanej macierzy geometrycznej zgodności [C jk ] T =. (o) [ Dkj ] [ Cjk ] Nie jet to przypadek, gdyż zależność (o) obowiązuje zawze, niezależnie od rodzaju materiału, jeśli tylko przemiezczenia kontrukcji ą na tyle małe, że łuzna jet zaada zeztywnienia. Stwierdzenie powyżze wynika z równania pracy wirtualnej: p (p) Pk Uk = Zj lj. k = j= Podtawiwzy bowiem zależności (i) oraz (m) otrzymujemy: p p Dkj Z j Uk Zj Cjk U = k. k = j= j= k = Wynika tąd, że między elementami macierzy [C jk ] i [D kj ] zachodzi zależność [C jk ] = [D kj ], równoważna równaniu (o). W układach tatycznie wyznaczalnych liczba prętów jet równa podwojonej liczbie węzłów 2w, bo dla każdego węzła można ułożyć dwa równania równowagi. W układach tych macierz zgodności geometrycznej [C jk ] jet macierzą kwadratową, gdyż p = 2w. Zatem toownie do zależności (l) warunkiem dotatecznym geometrycznej niezmienności jet wymaganie, by det [C jk ] 0, równoważne wymaganiu: det[ Cjk ] T = det[ Dkj ] 0. Wynika tąd łuzność metody identyfikowania układów geometrycznie zmiennych, polegającej na badaniu wartości wyznacznika układu równań równowagi. Na zakończenie zwrócimy uwagę, że w przeprowadzonych wyżej rozważaniach podtawowe znaczenie mają zależności (g) i (m). Okazuje ię, że zależności te ą zczególnym przypadkiem potaci związków geometrycznych i równań równowagi dla układów dykretnych: (r) { ej} = [ Cjk] { dk}, () { Pk} = [ Cjk] { Yj}. W równaniach (r) ymbole { ej} oraz { dk} oznaczają odpowiednio wektory uogólnionych odkztałceń i przemiezczeń. W równaniach () przez { P k } oznaczono wektor obciążeń węzłowych, a przez {Y j }wek-

28 Część 3 4. PODSTAWY MECHANIKI SPRĘŻYSTYCH KONSTRUKCJI PRĘTOWYCH 28 tor uogólnionych naprężeń. Protokątna macierz [ C jk ] = C, wytępująca w obu równaniach, jet macierzą zgodności geometrycznej. Równania (r) i () można zapiać w nieco ogólniejzej, równoważnej potaci: e = C d, p p (4.25) T P = C Y, p p gdzie e= { ej}, d= { dk}, P= { Pk}, Y= { Yj}, C= [ Cjk], T oznacza operator tranpozycji, a pod ymbolami macierzy podano ich wymiary. Liczba p oznacza tutaj liczbę kładowych uogólnionych naprężeń (lub odkztałceń), a liczba liczbę uogólnionych przemiezczeń (lub obciążeń). Zależności (4.25) ilutrują dualizm mechaniki: macierz geometrycznej zgodności jet tranpozycją macierzy równowagi. Ten facynujący związek kinematyki i tatyki uzaadnił.sewell dopiero w 969 roku. Warto pamiętać, że zależności (4.25) zotały wyprowadzone dla kontrukcji wykonanych z dowolnego materiału, wykazujących małe przemiezczenia. Dodajmy, że podobne pokrewieńtwo równań równowagi i równań geometrycznych można wykazać również dla ośrodka ciągłego. 4.. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RÓWNOWAGI PRĘTÓW 4... Pręty o oi protoliniowej Równania różniczkowe równowagi prętów zotały już wprowadzone w części drugiej. Stanowią one jak wiadomo odpowiedniki równań różniczkowych równowagi w ośrodku ciągłym. Są to zależności między uogólnionymi naprężeniami a obciążeniem pręta. Równania te mają charakter ogólny i bardzo częto wykorzytuje ię je podcza rozwiązywania konkretnych zadań z mechaniki układów prętowych. Rozważania ograniczymy tylko do płakiego układu ił przy założeniu zaady zeztywnienia. Rozpatrzymy równowagę niekończenie małego odcinka pręta o długości dx (ry. 4.8): (a) Px = N + dn N + qxdx = 0, (b) Pz = Qz + dqz Qz + qzdx = 0, (c) 2 MB = M y + dm y M y Qzdx mydx + qz( dx) = 0. 2 Ry. 3.8 Po redukcji wyrazów podobnych oraz pominięciu w równaniu (c) kładnika qz ( dx ) 2 / 2 jako małej wielkości wyżzego rzędu otrzymujemy: