TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania

Transkrypt

1 TARCZE PROSTOKĄTNE Charakterystyczne wielkości i równania Mechanika materiałów i konstrukcji budowlanych, studia II stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko

2 Tematyka wykładu 1 Definicja tarczy, kryterium znakowania 2 Równania tarcz prostokątnych 3 Przykłady rozwiązania analityczne Jednokierunkowe rozciąganie Czyste ścinanie Belko-ściana opis zagadnienia

3 Definicja tarczy Tarcza jest dźwigarem powierzchniowym, który można traktować jako plik warstw. W dowolnej warstwie (na płaszczyźnie środkowej P 0 i równo oddalonej) panuje płaski stan naprężenia. Rozkład naprężeń po grubości tarczy jest stały. z x P 0 z = 0 L y σ y (z) = const σ x (z) = const L x y Tarcza prostokątna h Rozkład naprężeń normalnych wzdłuż grubości Rozważania na tym wykładzie ograniczamy do tarcz prostokątnych.

4 Model dwuwymiarowy tarczy Założenia: Modelem dwuwymiarowym tarczy jest jej płaszczyzna środkowa. Grubość tarczy jest stała h = const. Panuje płaski stan naprężenia. Tarcze prostokątne opisujemy za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych. z = 0 y = const x dy y + dy = const x + dx = const dx y x = const Płaszczyzna środkowa z elementarnym powierchniowym wycinkiem

5 Zmienne stanu dla tarczy W dowolnym punkcie P 0 na płaszczyźnie środkowej wprowadzamy osiem pól (funkcji zależnych od x, y), pogrupowanych w trzy wektory: wektor przemieszczenia (styczne do płaszczyzny środkowej): u n (2 1) (x, y) = {u x, u y } = {u, v} [m], wektor odkształcenia (odkształcenia liniowe i postaciowe): e n (3 1) (x, y) = {ε x, ε y, γ xy } [-], wektor sił tarczowych (normalnych i stycznych): n (3 1) (x, y) = {n x, n y, n xy } [kn/m]. Rozkłady tych niewiadomych poznamy w wyniku rozwiązania zagadnienia brzegowego.

6 Czym są siły tarczowe? σ y (z) = const σ x (z) = const h n y = σ y h n x = σ x h Siła tarczowa wypadkowa składowej naprężenia wyznaczona na jednostkę długości linii przekrojowej z płaszczyzny środkowej: n x = n xy = +h/2 h/2 +h/2 h/2 σ x dz = σ x h n y = τ xy dz = τ xy h = τ yx h = n yx +h/2 h/2 σ y dz = σ y h

7 Kryterium znakowania sił tarczowych z = 0 y = const x dy y + dy = const x + dx = const y dx x = const dy n x dy dx y n xy dy n + yxdx x n yx dx n + xydy n + y dx = (n y + ny y dy)dx n y dx n + x dy x y n y n yx n x + n x 1.0 n xy n xy + n yx + n y Kryterium znakowania sił tarczowych dla elementarnego wycinka dx dy (po lewej) lub wycinka z jednostkowymi długościami linii brzegowych (po prawej).

8 Obciążenia i wymuszenia kinematyczne ˆp y (x, y) ˆp ν ˆp s z = 0 y = const x dy ˆp x (x, y) y + dy = const x + dx = const y dx x = const Znane są wielkości zadane, sprowadzone do płaszczyzny środkowej: obciążenia powierzchniowe: ˆp(x, y) = {ˆp x, ˆp y } [kn/m 2 ], obciążenia brzegowe: ˆp b = {ˆp ν, ˆp s } [kn/m], brzegowy wymuszenia kinematyczne: û b = {û ν, û s }[m].

9 Komplet równań tarcz prostokątnych Sformułowanie lokalne I.Równania kinematyczne (3) ε x = u x ε y = v y II. Równania równowagi (2) γ xy = u y + v x n x x + nyx y + ˆp x = 0 n xy x + ny y + ˆp y = 0 III. Równania fizyczne (3) n x = D n (ε x + νε y ) n y = D n (ε y + νε x ) n xy = D n γ xy gdzie: D n = Eh (1 ν 2 ) sztywność tarczowa IV. Warunki brzegowe w ogólnej postaci: a) kinematyczne: u ν = û ν u s = û s b) statyczne: n ν = ˆp ν n νs = ˆp s c) mieszane (jeden warunek kinematyczny i jeden statyczny).

10 Kryterium znakowania wielkości brzegowych n y n yx α x α x, u n xy ν n νs u s u x = u n x y s n ν y, v s uy = v u u ν ν Warunki brzegowe: a) kinematyczne: u ν = û ν u s = û s b) statyczne: n ν = ˆp ν n νs = ˆp s c) mieszane jeden warunek kinematyczny i jeden statyczny.

11 Możliwości uwzględnienia warunków brzegowych Różne warianty warunków brzegowych, w zależności od przyłożonych więzów kinematycznych i/lub obciążeń brzegowych: brzeg x = 0: u ν = u x = 0, u s = u y = 0, brzeg x = a: n ν = n x = ˆp ν = ˆp, n νs = n xy = 0, brzeg y = 0: n ν = n y = 0, n νs = n yx = 0, brzeg y = b: u ν = u y = 0, n νs = n yx = ˆp s = ˆp. ˆp A y = 0 D x, u b x = 0 x = a B y = b C a ˆp y, v

12 Komplet równań tarcz prostokątnych Zapis macierzowy I.Równania kinematyczne e n = [3 1] [3 2] Ln [2 1] un, gdzie: Ln = [3 2] x 0 0 y y x II. Równania równowagi (L n ) [2 3] T n [3 1] = pn [2 1] III. Równania fizyczne n = [3 1] [3 3] Dn [3 1] en, gdzie: Dn = [3 3] Dn D n = E h 1 ν 2 1 ν 0 ν ν 0 0 2

13 Równania przmieszczeniowe tarcz Dwa równania równowagi wyrażamy przez połączone równania fizyczne i kinematyczne: I. R. kinematyczne + III. R. fizyczne II. R. równowagi W efekcie otrzymujemy dwa przemieszczeniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o następującej postaci: ( 2 x + 1 ν ) 2 u ν y 2 2 x y v = 1 D n ˆpx 1 + ν 2 ( 2 2 x y u + y + 1 ν 2 2 ) 2 v = 1 x 2 D n ˆpy

14 Siły tarczowe główne i ich kierunki Wartości ekstremalnych sił tarczowych n I,II = 1 2 (n x + n y ) ± 1 2 (n x n y ) 2 + 4nxy 2 Kierunki główne Wartość kąta α pomiędzy osią Ox a kierunkiem maksymalnej siły n I : tg(2α) = 2nxy n x n y Trajektorie sił głównych pokazują linie, wzdłuż których występują ekstremalne siły.

15 Jednokierunkowe rozciąganie Tarcza jednokierunkowo rozciągana Dana jest tarcza kwadratowa rozciągana w jednym kierunku za pomocą brzegowego obciążenia p ν = +ˆp =const na dwóch przeciwległych brzegach (x=±a/2). y y, v A D a/2 B C a/2 x ˆp u, x a/2 a/2 ˆp Zadanie będzie rozwiązywane jako zagadnienie brzegowe 1/4 obszaru w ujęciu lokalnym.

16 Jednokierunkowe rozciąganie Układ równań i warunki brzegowe dla 1/4 obszaru tarczy kwadratowej Komplet 8 równań (różniczkowych i algebraicznych): I. R. kinematyczne (3): ε x = u,x ε y = u,y γ xy = u,y + v,x II. R. równowagi (2): n x,x + n yx,y + ˆp x = 0 n xy,x + n y,y + ˆp y = 0 III. R.fizyczne (3): ε x = (n x νn y )/(Eh) ε y = (n y νn x )/(Eh) γ xy = 2(1 + ν)n xy /(Eh) Dla czterech linii brzegowych 1/4 obszaru: y, v brzeg x = 0: u ν = u(0, y) = 0, n νs = n xy = 0, brzeg y = 0: u ν = v(x, 0) = 0, n νs = n yx = 0, brzeg x = a/2: n ν = n x = +ˆp, n νs = n xy = 0, brzeg y = a/2: n ν = n y = 0, n νs = n yx = 0. A D B C ˆp u, x

17 Jednokierunkowe rozciąganie Tarcza jednokierunkowo rozciągana Rozwiązanie analityczne a/2 Pole sił tarczowych (otrzymanych przez przecałkowanie równań równowagi, z uwzględnieniem statycznych warunków brzegowych): n x (x, y) = +ˆp = const n y (x, y) = n xy (x, y) = 0 Pole odkształceń (obliczonych z algebraicznych równań fizycznych): ε x (x, y) = ˆp/(Eh) ε y (x, y) = νˆp/(eh) γ xy (x, y) = 0 Pole przemieszczeń (wyznaczonych z przecałkowania równań kinematycznych, z uwzględnieniem kinematycznych warunków brzegowych): u(x, y) = ˆp νˆp Eh x v(x, y) = Eh y y, v y u(a/2, a/2) v(a/2, a/2) ˆp u, x x a/2

18 Jednokierunkowe rozciąganie Tarcza jednokierunkowo rozciągana Rozwiązanie dla określonych danych liczbowych Dane: Wymiary: a = b = 1.0 m h = 0.01 m Moduł Younga: E = kn/m 2 Współczynnik Poissona: ν = 0.3 Obciążenie: ˆp = 100 kn/m ˆp x (x, y) = ˆp y (x, y) = 0.0 Na podstawie rozwiązania analitycznego: n x (x, y) = ˆp = 100 kn/m=const n y (x, y) = n xy (x, y) = 0 ε x (x, y) = ε y (x, y) = γ xy = 0 u(+a/2, y) = u(+0.5, y) = m v(x, +a/2) = v(x, +0.5) = m Należy zauważyć, że w tarczy kwadratowej przy niezerowym współczynniku Poissona zachodzą następujące związki: ε x (x, y) = νε y (x, y) u(+a/2, +a/2) = νv(+a/2, +a/2)

19 Czyste ścinanie Tarcza kwadratowa w stanie czystego ścinania Czyste ścinanie niezerowe siły styczne i odkształcenia postaciowe. Do rozwiązania analitycznego wykorzystujemy identyczny komplet 8 równań jak dla przykładu jednokierunkowego rozciągania. ˆp y y, v v(a/2, a/2) a x a x, u a ˆp a Do równań dołączamy nowe warunki brzegowe dla całej tarczy: brzeg x = 0: u(0, y) = v(0, y) = 0, brzegi x = ±a/2: n νs = n xy = +ˆp, n ν = n x = 0, brzegi y = ±a/2: n νs = n yx = +ˆp, n ν = n y = 0.

20 Czyste ścinanie Tarcza kwadratowa w stanie czystego ścinania Rozwiązanie analityczne Otrzymujemy następujące rozkłady sił tarczowych, odkształceń i przemieszczeń: ˆp n x (x, y) = n y (x, y) = 0 n xy (x, y) = +ˆp = const ε x (x, y) = ε y (x, y) = 0 γ xy (x, y) = 2(1+ν)ˆp Eh u(x, y) = 0 v(x, y) = 2(1+ν)ˆp Eh x y y, v v(a/2, a/2) = const a x a x, u a ˆp a

21 Czyste ścinanie Tarcza kwadratowa w stanie czystego ścinania Rozwiązanie dla określonych danych liczbowych Dane: Wymiary: a = b = 1.0 m h = 0.01 m Moduł Younga: E = kn/m 2 Współczynnik Poissona: ν = 0.3 Obciążenie: ˆp s = ˆp = 100 kn/m ˆp x (x, y) = ˆp y (x, y) = 0.0 Na podstawie rozwiązania analitycznego: n x (x, y) = n y (x, y) = 0 ε x (x, y) = ε y (x, y) = 0.0 n xy (x, y) = +100 kn/m=const γ xy (x, y) = = const u(x, y) = 0.0 v(x, y) = x v(±a/2, y) = ± m

22 Belko-ściana opis zagadnienia Belko-ściana opis zagadnienia Istotne są proporcje między wymiarami charakterystycznymi dla belki zginanej (L - długość, h - wysokość, b - szerokość). Mamy do czynienia z konstrukcjami: belkowymi, gdy h < 0.4L tarczowymi, gdy 0.4L h L takie konstrukcje są nazywane belko-ścianami. Zasadniaczą zmianą, przy wzroście wysokości h jest zmiana rozkładu naprężeń normalnych σ x (const, y) w kierunku wysokościowym. Przykładowo w swobodnie podpartych na obu końcach dźwigarach z obciążeniem na górnym brzegu: w belkach (niskich) jest on liniowy, z jednakowymi co do bezwzględnej wartości naprężeniami we włóknach skrajnych, w tarczy mamy do czynienia z nieliniowym rozkładem naprężeń, np. z charakterystycznym gwałtownym wzrostem naprężeń rozciągających na dolnym brzegu tarczy.

23 Belko-ściana opis zagadnienia Belka niska Rozkład naprężeń σ x wzdłuż pionowej linii przekrojowej q L y = H < 0.4L x σ x (y) L = L x x, u y, v

24 Belko-ściana opis zagadnienia Belka wysoka Rozkład naprężeń σ x wzdłuż pionowej linii przekrojowej q n x (y) = σ x (y) h L y = H > 0.4L x x, u c L = L x y, v c

25 Belko-ściana opis zagadnienia Literatura M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe. Podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Skrypt PK, Kraków, A. Borkowski, Cz. Cichoń, M. Radwańska, A. Sawczuk, Z. Waszczyszyn. Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe. T.3, rozdz.9, Arkady, Warszwa, W. Starosolski. Konstrukcje żelbetowe. T. 1,2 i 3, wyd. XII, PWN, Warszawa, 2008.