Mechanika i Budowa Maszyn

Transkrypt

1 Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski

2 Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 2 z 16

3 1 Założenia Rys. 1 Schemat podparcia i obciążenia beli dwuprzegubowej. Belka przedstawiona na Rys. 1 ma dwa przeguby. Lewy koniec belki jest utwierdzony, a pozostałe przęsła belki są podparte na podporach przesuwnych. Siły zewnętrzne stanowią obciążenie belki. Wartości sił zewnętrznych podaje Tablica 1. Tablica 1 Wartości sił zewnętrznych. 15 kn 20 kn 40 knm 3 kn/m 60 Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 3 z 16

4 2 Wyznaczenie wielkości podporowych Rys. 2 Przewidywane reakcje podporowe belki z Rys. 1. Przewiduje się pięć reakcji podporowych zgodnie z Rys. 2:,, dla utwierdzenia, dla podpory oraz dla podpory. Zagadnienie jest statycznie wyznaczalne, jeżeli wielkości podporowe można wyznaczyć za pomocą równań równowagi. Dla zagadnienia płaskiego wymagane są trzy równania równowagi (1) ze względu na trzy stopnie swobody: Suma rzutów sił na oś, suma rzutów sił na oś oraz suma momentów sił względem dowolnie wybranego punktu. (1) (2) Przy pięciu niewiadomych układ równań (1) wymaga dwóch dodatkowych równań dla zapewnienia statycznej wyznaczalności. Mogą to być równania momentów sił względem przegubów, ponieważ każdy przegub powoduje zerowanie momentu zginającego. Dla Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 4 z 16

5 przegubu i przegubu są to warunki (2). Ogólnym równaniom równowagi (1) i (2) odpowiadają równania szczególne (3), (4), (5) oraz (6) i (7). (3) (4) (5) (6) (7) Równania szczególne (3), (4), (5) oraz (6) i (7) są dość trudne do rozwiązania metodą klasyczną przez wyłączanie i podstawianie zmiennych. Można je dość prosto rozwiązać metodą macierzową, z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego, jednak trzeba je przekształcić do postaci macierzowej. W pierwszej kolejności równania szczególne (3), (4), (5) oraz (6) i (7) uzupełniamy elementami zerowymi, dla zmiennych które w nich nie występują, otrzymując układ równań (8). (8) Następnie zapisujemy układ równań (8) w postaci macierzowej (9). (9) Układ równań (9) zapisuje się krócej w postaci (10), gdzie jest macierzą współczynników układu równań (9), jest wektorem zmiennych układu równań (9), a jest wektorem wyrazów wolnych układu równań (9). Rozwiązanie (11) układu równań (9) uzyskuje się mnożąc lewostronne równanie macierzowe (10) przez macierz odwrotną. (10) (11) Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 5 z 16

6 Dla realnego rozwiązania zadania, bez stosowania rachunku macierzowego, dzieli się belkę w przegubach na trzy przęsła: przęsło, przęsło oraz przęsło. Przęsło po uzewnętrznieniu sił wewnętrznych w przegubie wymaga pięciu równań równowagi, zatem nie można wyznaczyć wielkości podporowych za pomocą trzech równań równowagi (1). Przęsło po uzewnętrznieniu sił wewnętrznych w przegubie i przegubie wymaga pięciu równań równowagi, zatem nie można wyznaczyć wielkości podporowych za pomocą trzech równań równowagi (1). Można wprowadzić dwa warunki zerowania momentów zginających w przegubach i przęsło staje się statycznie wyznaczalne. Przęsło po uzewnętrznieniu sił wewnętrznych w przegubie wymaga trzech równań równowagi, zatem można wyznaczyć wielkości podporowe za pomocą trzech równań równowagi (1), więc od przęsła można rozpocząć wyznaczanie wielkości podporowych. 2.1 Wyznaczenie wielkości podporowych dla przęsła DE. Przęsło jest obciążone obciążeniem ciągłym q na długości 2 m oraz siłą skupioną F 2 Rys. 3 Obciążenie zewnętrzne, reakcja podporowa oraz siły w przegubie D. nachyloną pod kątem ". Równania równowagi przyjmują postać (12), (13) oraz (14). (12) (13) Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 6 z 16

7 (14) Wyznaczenie siły wewnętrznej. Z równania równowagi (12) ustala się wzór (15) dla wyznaczenia siły wewnętrznej. (15) Podstawiając dane do wzoru (15) otrzymuje się: Wyznaczenie reakcji podporowej. Z równania równowagi (14) ustala się wzór (16) dla wyznaczenia reakcji podporowej. Podstawiając dane do wzoru (16) otrzymuje się: (16) Wyznaczenie siły wewnętrznej. Z równania równowagi (13) ustala się wzór (17) dla wyznaczenia siły wewnętrznej. (17) Podstawiając dane do wzoru (17) otrzymuje się: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 7 z 16

8 2.2 Wyznaczenie wielkości podporowych dla przęsła BCD. Obciążenie oraz wielkości podporowe dla przęsła przedstawiono na Rys. 4. Przegub jest obciążony siłami wewnętrznymi oraz, których wielkość została wyznaczona w rozdziale 2.1. Przegub jest obciążony siłami wewnętrznymi oraz, Rys. 4 Obciążenie zewnętrzne, reakcja podporowa oraz siły w przegubie B. których wielkość jest nieznana. Podpora wprowadza nieznaną reakcję. Tak więc, do wyznaczenia pozostałych wielkości podporowych wystarczą trzy równania równowagi (1). Szczególne równania równowagi dla przęsła przyjmują postać (18), (19) oraz (20). Równanie (20) bilansuje momenty sił względem przegubu. (18) (19) (20) Wyznaczenie siły wewnętrznej. Z równania (18) wyznacza się wzór (21), z którego wylicza się wartość siły wewnętrznej. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 8 z 16

9 (21) Podstawiając do wzoru (21) wartość otrzymuje się: Wyznaczenie reakcji podporowej. Po przekształceniu równania (20) otrzymuje się wzór (22) dla wyliczenia reakcji podporowej. (22) Podstawiając do (22) dane otrzymuje się: Wyznaczenie siły wewnętrznej. Przekształcając równanie (19) otrzymuje się wzór (23) dla wyliczenia siły wewnętrznej. (23) Podstawiając znane wartości do równania (23) otrzymuje się: 2.3 Wyznaczenie wielkości podporowych przęsła AB. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 9 z 16

10 Przęsło, przedstawione na Rys. 5, jest belką utwierdzoną lewostronnie. W połowie długości przęsło jest obciążone siłą skupioną, skierowaną pionowo w dół. Wolny koniec przęsła obciążony jest siłą wewnętrzną, przeniesioną przez przegub z przęsła. Zatem, przęsło jest obciążone trzema nieznanymi wielkościami podporowymi w utwierdzeniu, wyznaczanymi z równań równowagi (1), które po Rys. 5 Obciążenie zewnętrzne, siła wewnętrzna oraz reakcje w utwierdzeniu dla przęsła. uszczegółowieniu przyjmują postać (24), (25) oraz (26). (24) (25) (26) Wyznaczenie reakcji. Z równania równowagi (24) wyprowadza się wzór (27), z którego wylicza się reakcję. (27) Podstawiając znaną wielkość, otrzymuje się: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 10 z 16

11 2.3.2 Wyznaczenie reakcji Z równania równowagi (25) wyprowadza się wzór (28) dla wyliczenia reakcji. (28) Podstawiając znane wartości oraz do (28), otrzymuje się: Ujemna wartość reakcji oznacza, że wstępnie założony kierunek reakcji jest błędny. Zatem reakcja w rzeczywistości jest skierowana w dół, co zostało oznaczone na Rys. 5 przez ujęcie w nawiasy dotychczasowego i dorysowanie prawidłowego zwrotu wektora reakcji Wyznaczenie momentu utwierdzenia. Z równania (26) wyprowadza się wzór (29) dla obliczenia momentu utwierdzenia. (29) Podstawiając znane wartości oraz do wzoru (29), otrzymuje się: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 11 z 16

12 3 Wyznaczenie sił wewnętrznych w belce. Zagadnienie płaskie, jak dla belki z Rys. 2, sprowadza się do wyznaczenia rozkładu sił osiowych wzdłuż osi, rozkładu sił poprzecznych działających wzdłuż osi oraz rozkładu momentów zginających skierowanych wzdłuż osi. Po wyznaczeniu wszystkich wielkości podporowych stan obciążenia belki przedstawionej na Rys. 1, przedstawiono na Rys. 6. Rys. 6 Obciążenia zewnętrzne oraz wielkości podporowe dla belki utwierdzonej z dwuprzegubowej. Dla wyznaczenia sił wewnętrznych przyjmuje się układ współrzędnych, którego początek umieszczono w punkcie, jak pokazano na Rys Rozkład sił osiowych. Siła osiowa pojawia się w przekroju belki i jest równa reakcji, a zastaje zredukowana do zera przez składową poziomą siły. Na całej długości występowania siły osiowej jej charakter się nie zmienia, zatem belka jest wzdłużnie ściskana. W takim przypadku siła osiowa przyjmuje wartość ujemną (ściskającą). Rozkład siły osiowej ma dwa przedziały, co przedstawiono na Rys. 7, a wartości są następujące: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 12 z 16

13 Rys. 7 Rozkład siły osiowej. 3.2 Rozkład sił poprzecznych. Rozkład sił poprzecznych, przedstawiony na Rys. 8, ma cztery przedziały zmienności. Rozpoczyna się w przekroju wartością reakcji i rozciąga się do punktu przyłożenia siły zewnętrznej. Siła powiększa siłę poprzeczną do wartości, która się nie zmienia aż do podpory. Działająca w podporze reakcja obciążeniem ciągłym o intensywności zmienia wielkość siły poprzecznej do wartości. Od podpory aż do punktu przyłożenia siły belka jest obciążona, co na długości 6 m powoduje zmianę siły poprzecznej do wartości. W miejscu przyłożenia siły, nachylonej pod kątem, składowa poprzeczna zmienia rozkład siły poprzecznej do wartości. Wartość siły poprzecznej jest zgodna z wartością reakcji, która ostatecznie na końcu belki redukuje rozkład sił poprzecznych do zera. Równania opisujące zmienność sił poprzecznych w poszczególnych przedziałach są następujące: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 13 z 16

14 Rys. 8 Rozkład sił poprzecznych w belce utworzony pod wpływem sił zewnętrznych i reakcji. 3.3 Rozkład momentów zginających. Rozkład momentów zginających ma pięć przedziałów zmienności, przedstawionych na Rys. 9. Rozpoczyna się w przekroju wartością momentu utwierdzenia. W pierwszym przedziale moment zginający maleje liniowo do wartości. W drugim przedziale moment zginający maleje liniowo do wartości do wartości rośnie skokowo do wartości. W trzecim przedziale moment zginający, a następnie maleje liniowo. W czwartym przedziale występuje obciążenie ciągłe o natężeniu wartości, co powoduje paraboliczny wzrost momentu zginającego do. W piątym przedziale moment zginający maleje liniowo do zera w podporze. W przegubach belki oczywiście moment zginający przyjmuje wartość zero, czyli dla przegubu oraz dla przegubu. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 14 z 16

15 Rys. 9 Wielkości podporowe, obciążenia oraz rozkład momentu zginającego. Zmienność momentu zginającego opisują poniższe równania określone przedziałami. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 15 z 16

16 4 Podsumowanie Siła osiowa powoduje osiowe ściskanie belki. Obciążenie ściskające może spowodować lokalną utratę stateczności zwaną wyboczeniem. Przęsło ma 8 m długości, co może być przyczyną przekroczenia smukłości krytycznej. Fakt lewostronnego utwierdzenia przęsła korzystnie poprawia odporność na wyboczenie przęsła. Przęsło także ma 8 m długości, co również może być przyczyną przekroczenia smukłości krytycznej. Podpora usztywnia przęsło w połowie jego długości, co korzystnie poprawia odporność na wyboczenie przęsła. Siła poprzeczna powoduje poprzeczne ścinanie przekroju belki, wywołując naprężenia ścinające w całym jej przekroju. Największa wartość siły ścinającej występuje w II przedziale zmienności. Sposób przyłożenia siły początku przedziału oraz sposób podparcia belki w podporze na końcu przedziału II może decydować o prawdopodobieństwie uszkodzenia belki przez jej ścięcie. Moment zginający rozłożony wzdłuż całej belki przyjmuje największą wartość w przedziale I, w przekroju, która wynosi. Tak więc, miejscem najbardziej narażonym na uszkodzenie od zginania jest właśnie przekrój. Jednak na początku przedziału II moment zginający ma jeszcze dość znaczną wartość, co w połączeniu z naprężeniami ścinającymi na początku II przedziału może także stanowić miejsce krytyczne podatne na uszkodzenie. na Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Stronica 16 z 16