Programowanie liniowe w logistyce
|
|
- Joanna Pawlik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Programowanie liniowe w logistyce kierunek Informatyka, studia I stopnia wyklad 1 Wstęp Przedmiotem logistyki sa min procesy transportu i magazynowania surowców oraz wytworzonych dóbr, a także planowania produkcji Celem działań logistycznych jest maksymalizacja zysków i minimalizacja kosztów Do podstawowych działów logistyki należa min: logistyka transportu i logistyka produkcji Jednym z podstawowych narzędzi matematycznych stosowanych w logistyce transportu i logistyce produkcji jest programowanie liniowe Jest to dział teorii zadań ekstremalnych, którego przedmiotem sa zadania optymalizacyjne, opisane przez funkcje liniowe, określone na zbiorach zadanych układami równości lub nierówności liniowych Najprostszym przykładem zadania programowania liniowego jest zadanie znale-zienia punktu minimum funkcji f(x) =ax na przedziale [c, d] R + 0 W postaci zadań programowania liniowego można zapisać wiele praktycznych zagadnień 2 Modelowanie Przykład 1 (planowanie produkcji) Wytwórca dysponuje określonymi ilościami różnych środków (surowce, praca, sprzęt), wykorzystywanych do produkcji różnych towarów Wiadomo, jaka ilość i-tego środka jest potrzebna do produkcji jednostki j-tegotowaru, atakże jaki dochód daje sprzedaż każdej wyprodukowanej jednostki j-tego towaru Wytwórca 1
2 powinien tak zaplanować produkcję, by całkowity dochód uzyskany ze sprzedaży towarów był maksymalny Model Wprowadźmy następujace oznaczenia: m -ilość środków n -ilość towarów a ij -ilość jednostek i-tego środkapotrzebnadoprodukcjijednostkij-tego towaru b i -dostępna ilość jednostek i-tego środka x j - wielkość produkcjij-tego towaru c j - dochód uzyskiwany ze sprzedaży jednostki j-tego towaru Całkowita ilość i-tego środka, wykorzystana podczas produkcji, można więc wyrazić następujaco: nx a ij x j j=1 Ilość tapowinnabyć mniejsza lub równa dostępnej ilości jednostek i-tego środka, czyli nx a ij x j b i,i=1,, m j=1 Dochód uzyskany ze sprzedaży wszystkich wyprodukowanych towarów wyraża się następujaco: przy czym oczywiście należy żadać, by nx c j x j, j=1 x j 0, j=1,, n Można więc sformułować opisane zagadnienie w następujacy sposób: zmaksymalizować funkcjonał kosztu (dochód) nx c j x j przy ograniczeniach j=1 x j 0, j=1,, n, nx a ij x j b i,i=1,, m j=1 2
3 3 Sformułowanie zadania Ogólnym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci: J(u) =c 1 u c n u n min (1) u k 0, k I (2) a 1,1 u a 1,n u n b 1 a m,1 u a m,n u n b m a m+1,1 u a m+1,n u n = b m+1 a s,1 u a s,n u n = b s, (3) gdzie u =(u 1,, u n ) R n,natomiastc j, a i,j, b i, i =1,, s, j =1,, n, sadanymi liczbami rzeczywistymi, przy czym nie wszystkie liczby c j i nie wszystkie liczby a ij sa równe zero, I {1,, n} jest ustalonym zbiorem indeksów; możliwe sa tutaj przypadki: I =, I = {1,, n}, m = s, m =0Wprowadzaj ac oznaczenia c =(c 1,, c n ), a i =(a i,1,,a i,n ), możemy zapisać powyższe zadanie w następujacy sposób: J(u) =hc, ui min u U = {u =(u 1,, u n ) R n ; u i 0 dla i I, ha i,ui b i dla i =1,, m, ha i,ui = b i dla i = m +1,, s} (4) (symbolem hx, yi oznaczamy iloczyn skalarny wektorów x =(x 1,, x n ), y =(y 1,, y n ), tzn hx, yi = P n i=1 x iy i ) W dalszym ciagu, zapis x y, gdzie x =(x 1,, x n ), y =(y 1,, y n ),będzie oznaczał, że x i y i,i=1,,n 3
4 Wobec tego, zadanie (4) możemy zapisać następujaco: J(u) =hc, ui min u U = {u =(u 1,, u n ) R n ; u i 0 dla i I, Au b, Au = b} gdzie a 1,1 a 1,n a m+1,1 a m+1,n A =, A =, a m,1 a m,n a s,1 a s,n b = b 1 b m, b = b m+1 Każdy punkt u U nazywamy punktem dopuszczalnym zadania (5) Punkt u U nazywamy rozwiazaniem zadania (5), gdy dla dowolnego u U J(u ) J(u) Kanonicznym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci J(u) =hc, ui min, (6) u U = {u =(u 1,, u n ) R n ; u 0, Au = b} gdzie A R m n, b R m Podstawowym zadaniem programowania liniowego nazywamy zadanie postaci J(u) =hc, ui min, (7) u U = {u =(u 1,, u n ) R n ; u 0, Au b} gdzie A i b sa takie, jak wyżej b s (5) 4 Równoważność zadań Zajmiemy się teraz zagadnieniem równoważności zadań różnego typu Dokładniej, pokażemy, że rozwiazywanie zadania podstawowego i zadania ogólnego można zastapić rozwiazywaniem zadania kanonicznego 4
5 Istotnie, niech dane będzie zadanie podstawowe (7) i rozważmy w przestrzeni R n+m zadanie postaci hd, zi min z Z = {z =(u, v) R n+m ; z 0, Cz = b}, (8) gdzie d =(c, 0) R n+m, C =[A I m m ]= a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n (I m m jest macierza jednostkowawymiarum m) Łatwo zauważyć, że jeśli u U jest rozwiazaniem zadania (7), to z =(u,v ),gdzie v = b Au, jest rozwiazaniem zadania (8), tzn z Z oraz hd, z i hd, zi dla dowolnego z Z Jeśli natomiast z =(u,v ) Z jest rozwiazaniem zadania (8), to u jest rozwiazaniem zadania (7), tzn u U oraz dla dowolnego u U hc, u i hc, ui Podobnie, rozwiazywanie zadania ogólnego (5) można zastapić rozwi azywaniem zadania kanonicznego Rzeczywiście, rozważmy w przestrzeni R p (p = m + I + J + J, gdzie 5
6 J = {1,,n}ÂI) zadanie postaci he, zi = X c i u i + X i I i J c i w i + X i J c i w i min z Z = {z =(v, u i ; i I,w i ; i J, w i ; i J) R p ; z 0, v + X A i u i + X A i w i + X A i w i = b, i I i J i J X A i u i + X A i w i + X A i w i = b} i I i J i J = {z R p ; z 0, [I m m A i ; i I A i ; i J A i ; i J] 0 Ai ; i I A i ; i J A i ; i J z = b } b, (9) gdzie e =(0,c i ; i I,c i ; i J, c i ; i J) R p, A i - i-ta kolumna macierzy A, A i - i-ta kolumna macierzy A Jeśli u U jest rozwiazaniem zadania ogólnego (5), to z =(v,u i ; i I,w i ; i J, w i ; i J), gdzie v = b Au, w i =max{0,u i }, i J, w i =max{0, u i }, i J, jest rozwiazaniem zadania (9) (zauważmy, że u i = w i w i dla i J) Jeśli natomiast jest rozwiazaniem zadania (9), to z =(v,u i ; i I,w i ; i J, w i ; i J), u =(u i ; i I,w i w i ; i J) jest rozwiazaniem zadania (5) 6
7 5 Interpretacja geometryczna zadań programowania liniowego Rozważmy zadanie podstawowe (7) w przypadku, gdy n =2, czyli J(u) =c 1 u 1 + c 2 u 2 min u U = {u =(u 1,u 2 ) R 2 ; u 1 0, u 2 0, a i,1 u 1 + a i,2 u 2 b i,i=1,, m} (10) Wprowadźmy oznaczenia U 0,1 = {(u 1,u 2 ) R 2 ; u 1 0}, U 0,2 = {(u 1,u 2 ) R 2 ; u 2 0}, U i = {(u 1,u 2 ) R 2 ; a i,1 u 1 + a i,2 u 2 b i },i=1,, m Oczywiście U = U 0,1 U 0,2 U 1 U m Możliwe sanastępuj ace przypadki: 1 0 zbiór U jest pusty 2 0 zbiór U jest niepustym wielobokiem wypukłym i ograniczonym 7
8 3 0 zbiór U jest niepustym wielobokiem wypukłym i nieograniczonym Ustalmy liczbę α R Równanie c 1 u 1 + c 2 u 2 = α opisuje poziomicę funkcjonału J odpowiadajac awartości α, czyli zbiór {(u 1,u 2 ) R 2 ; J(u) =α} Jest to prosta o wektorze normalnym c =(c 1,c 2 ) Przy zmianie wartości stałej α od do prosta ta zmienia swoje położenie, przesuwajac się w sposób równoległy w kierunku wektora c i zamiataj ac całapłaszczyznę Wprzypadku2 0 zawsze istnieje punkt pierwszego kontaktu (być może nie jedyny) przesuwajacej się prostej z wielobokiem U Odpowiednia wartośćstałej α wynosi wówczas min u U J(u) =:J 8
9 9
10 W przypadku 3 0 ów punkt pierwszego kontaktu istnieje (być może nie jedyny) lub nie Jeśli nie istnieje, oznacza to, że zadanie nie ma rozwiazania; w takim przypadku inf J(u) = u U 10
11 Zpowyższej dyskusji wynika, że zadanie (10) może nie mieć rozwiazań, może mieć jedno rozwiazanie lub może mieć nieskończenie wiele rozwiazań Ponadto, w przypadku, gdy zbiór rozwiazań jest niepusty, w zbiorze tym istnieje co najmniej jeden punkt, który jest wierzchołkiem wieloboku U Podobna analizę można przeprowadzić w przypadku n =3,zastępujac wielobok wielościanem, a prosta-płaszczyzn a Matodagraficzn a można także rozwiazać niektóre zadania o większej niż 2 lub 3 ilości zmiennych Rozważmy mianowicie zadanie postaci J(u) =hc, ui min u U = {u R m+2 ; u 0, Au = b} gdzie a 1,1 a 1,m a 1,m+1 a 1,m+2 A =,b= a m,1 a m,m a m,m+1 a m,m+2 przy czym ranka = m ikolumnya 1,,A m sa liniowo niezależne Wprowadźmy oznaczenia Zatem a 1,1 a 1,m a 1,m+1 A =, A = a m,1 a m,m a m,m+1 u 1 u =, u = um+1, u m+2 A = c = u m c 1 c m h i A A,u= u u, c = c m+1 c m+2 a 1,m+2 a m,m+2,c= c c b 1 b m,, 11
12 W konsekwencji warunek możemy zapisać jako Stad Au = b Au + Au = b u = A 1 b A 1 Au Zauważmy teraz, że rozwiazywanie zadania wyjściowego można zastapić rozwi azywaniem zadania postaci D E c, A 1 b A 1 Au + c, u min u U = {u R 2 ; u 0, A 1 Au A 1 b} Dokładniej, jeśli u jest rozwiazaniem zadania (=), to u = u, u (=) gdzie u = A 1 b A 1 Au, jest rozwiazaniem zadania wyjściowego Na odwrót, jeśli u = zadania wyjściowego, to u jest rozwiazaniem zadania (=) u u jest rozwiazaniem 6 Punkty wierzchołkowe Punkt v V R n nazywamy punktem wierzchołkowym (punktem ekstremalnym) zbioru wypukłego i domkniętego V,jeśli przedstawienie v = αv 1 +(1 α)v 2, (11) gdzie α (0, 1), v 1,v 2 V,możliwe jest tylko wtedy, gdy v 1 = v 2 Innymisłowy, punkt v V jest punktem wierzchołkowym zbioru V, gdy nie jest on punktem wewnętrznym 12
13 niezdegenerowanego odcinka o końcach należacych do V Pojęcie punktu wierzchołkowego jest pojęciem fundamentalnym w teorii programowania liniowego W dalszej części wykładu pokażemy, że jeśli zadanie kanoniczne (przy dowolnym n N) posiada rozwiazanie, to wśród rozwiazań jest co najmniej jeden punkt wierzchołkowy zbioru U = {u R n ; u 0, Au= b} (12) Teraz podamy charakteryzację punktów wierzcholkowych zbioru postaci (12) Twierdzenie 1 Niech dany bedzie zbiór U postaci (12) i punkt v R n,przyczyma R m n Â{0}, r := ranka Punkt v jest punktem wierzchołkowym zbioru U wtedy i tylko wtedy, gdy istniejawskaźniki j 1,,j r {1,, n} takie, że v j 0, j {j 1,, j r } v j =0, j / {j 1,, j r } Układ wektorów A j1,,a jr kolumny A j1,, A jr A j1 v j A jr v jr = b saliniowoniezależne w R m (13) występujacych w warunkach (13) nazywamy baza punktu wierzchołkowego v, a odpowiednie współrzędne v j 1,,v j r - współrzednymi bazowymi punktu wierzchołkowego v Punkt wierzchołkowy, którego wszystkie współrzędne bazowe sado- datnie nazywamy nieosobliwym Punkt wierzchołkowy, którego co najmniej jedna współrzędna bazowa jest równa zero nazywamy osobliwym Zmienne u j 1,,u j r nazywamy zmiennymi bazowymi, a pozostałe -zmiennymi niebazowymi (przy ustalonej bazie A j1,,a jr ) Z twierdzenia 1 wynika, że baza nieosobliwego punktu wierzchołkowego zbioru (12) jest wyznaczona jednoznacznie Osobliwy punkt wierzchołkowy może mieć wiele baz 7 Metoda sympleksowa Metodasympleksowapolegana uporz adkowanym sprawdzaniu wartości funkcjonału kosztu w punktach wierzchołkowych zbioru ograniczajacego ( uporzadkowanie oznacza tu, że wartości funkcjonału kosztuwkolejnych punktachnierosna) 13
14 Rozważmy zadanie kanoniczne postaci J(u) =hc, ui min u U = {u R n ; u 0, Au = b} (14) gdzie 0 6= A R m n,przyczymzakładać będziemy w tym rozdziale, że U 6= (kwestia niepustości zbioru U omówiona będzie w dalszej części wykładu) Oczywiście ranka min{m, n} (podobnie, jak wcześniej, ranka oznaczać będziemy przez r) Równość Au = b możemy zapisać w postaci układu równań nx a i,j u j = b i,i=1,, m j=1 Nie zmniejszajac ogólności rozważań, możemy założyć, że r = m Oczywiście r n Jeżeli r = n, topowyższy układ ma dokładnie jedno rozwiazanie u, przyczymu 0 (gdyby któraś ze współrzędnych punktu u była ujemna, to zbiór U byłby pusty, co sprzeczne byłoby z naszym założeniem) W konsekwencji zbiór U jest jednoelementowy i tym samym u jest rozwiazaniem zadania (14) Będziemy więc zakładać wdalszymciagu, że r = m oraz r<nrówność Au = b możemy więc zapisać w postaci gdzie r = ranka < n a 1,1 u a 1,n u n = b 1 (15) a r,1 u a r,n u n = b r Podamy teraz opis metody sympleksowej Przypuśćmy, że dany jest punkt wierzchołkowy v zbioru U = {u R n ; u 0, Au = b} 14
15 izałóżmy, że kolumny A 1,,A r sabaz ategopuntu,v 1,,v r - jego współrzędnymi bazowymi (kwestia wyznaczenia poczatkowego punktu wierzchołkowego v zbioru U iokreślenia jego współrzędnych bazowych omówiona będzie w dalszej części wykładu) Wprowadźmy następujace oznaczenia u = u 1 u r v 1, v = v r c 1, c = c 1, a 1,1 a 1,r B = =[A 1 A r ] a r,1 a r,r Wówczas układ (15) możemy zapisać w postaci Bu + A r+1 u r A n u n = b (16) Z liniowej niezależności kolumn A 1,,A r (jesttobazapunktuv) wynika,że det B 6= 0W konsekwencji istnieje macierz odwrotna B 1 Współrzędne niebazowe punktu v sa zerowe, a więc z (16) otrzymujemy Bv = b, skad v = B 1 b Mnożac równość (16) lewostronnie przez B 1, otrzymujemy Oznaczmy u + nx k=r+1 B 1 A k u k = B 1 b = v (17) γ s,k = (B 1 A k ) s dla k = r +1,, n, s =1,, r gdzie (B 1 A k ) s oznacza s-tawspółrzędn awektora-kolumnyb 1 A k Równość(17)możemy 15
16 teraz zapisać wpostacinastępujacego układu równań u 1 + γ 1,r+1 u r γ 1,n u n = v 1 u 2 + γ 2,r+1 u r γ 2,n u n = v 2 u r + γ r,r+1 u r γ r,n u n = v r (18) Określmy także γ s,k =(B 1 A k ) s dla k =1, r, s =1,, r (oczywiście γ sk = δ s,k dla k =1,, r, s =1,, r, gdzieδ s,k jest symbolem Kronekera) Pokazaliśmy więc, że majac ustalony punkt wierzchołkowy v zbioru U iwiedzac, że współrzędne z indeksami 1,,r sa jegowspółrzędnymi bazowymi, można zapisać ograniczenia (15) w równoważnej postaci (16) lub (17) lub (18) Wartość funkcjonału kosztu J wpunkcieu spełniajacym ograniczenia typu równości (15), można zapisać wnastępujacej postaci nx J(u) = hc, ui = c i u i = hc, ui + Ponieważ = * c, v = hc, vi i=1 nx i=r+1 B 1 A i u i + + nx i=r+1 nx i=r+1 nx ( c, B 1 A i ci )u i i=r+1 hc, vi = hc, vi = J(v), c i u i c i u i więc gdzie Określmy także nx J(u) =J(v) i u i, (19) i=r+1 i = c, B 1 A i ci,i= r +1,, n i = c, B 1 A i ci (20) 16
17 dla i =1,, r Oczywiście i = c, B 1 A i ci = hc, e i i c i = c i c i =0 dla i =1,, r (tutaj e i jest i-takolumn a macierzy jednostkowej o wymiarach r r) Dokonajmy częściowego podsumowania Pokazaliśmy, że zadanie (14) możemy zapisać wnastępujacej postaci P J(u) =J(v) n i u i min i=r+1 U = {u =(u 1,, u n ) R n ; u 0, u spełnia (18)} Występujace w powyższym opisie wielkości γ s,k, v i, i zapiszemy w postaci tzw tablicy sympleksowej, odpowiadajacej punktowi wierzchołkowemu v (21) 17
18 Tablica sympleksowa I (dla punktu v) u 1 u i u s u r u r+1 u k u j u n u γ 1,r+1 γ 1,k γ 1,j γ 1,n v 1 u i γ i,r+1 γ i,k γ i,j γ i,n v i u s γ s,r+1 γ s,k γ s,j γ s,n v s u r γ r,r+1 γ r,k γ r,j γ r,n v r r+1 k j n J(v) Analizujac tablicę sympleksowa I,możemy wyróżnić trzy przypadki: 1 0 spełnione sanierówności i = c, B 1 A i ci 0 (22) dla i = r +1,, n, tzn w ostatnim wierszu tablicy sympleksowej wszystkie liczby i sa niedodatnie W tym przypadku punkt v, dla którego skonstruowana została tablica sympleksowa, jest rozwiazaniem zadania Istotnie, bowiem dla dowolnego u U mamy J(u) =J(v) nx i=r+1 i u i J(v) (bo i 0, u i 0) 2 0 istnieje wskaźnik k {r +1,,n} taki, że k > 0 γ i,k 0 dla i =1,, r (czyli B 1 A k 0) (23) Oznacza to, że w k-tej kolumnie tablicy sympleksowej ostatni element ( k ) jest dodatni, a pozostałe - niedodatnie W tym przypadku inf J(u) = (dowód tego faktu pomijamy) u U Oznacza to, że zadanie nie ma rozwiazania 18
19 3 0 nie zachodza przypadki 1 0 i2 0 ; w konsekwencji istniejawskaźniki k {r +1,, n}, i {1,, r} takie, że k > 0, γ i,k > 0 (24) Oznacza to, że w k-tej kolumnie tablicy sympleksowej ostatni element ( k ) jest dodatni i co najmniej jedna z liczb γ i,k jest dodatnia Załóżmy, że zachodzi przypadek 3 0 iokreślmy zbiór I k = {i {1,, r}, γ i,k > 0} Niech s I k będzie takim wskaźnikiem, że v s =min γ s,k i I k v i γ i,k (25) Współczynnik γ s,k,gdziewskaźniki k, s sa określone przez (24) i (25), nazywany jest elementem rozwiazuj acym tablicy sympleksowej I Można pokazać, że układ kolumn A 1,, A s 1,A s+1,, A r,a k (26) jest baza pewnego punktu wierzchołkowego w, przy czym J(w) J(v) Uwaga 1 Z faktu, że macierz A ma r wierszy wynika, wobec twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe, iż baza (26) wyznacza punkt wierzchołkowy w sposób jednoznaczny Można więc znaleźć współrzędne punktu w, korzystaj ac z tego twierdzenia Przejdźmy teraz do przypadku ogólnego bazowymi punktu v sa v j 1,, v j r, Łatwo zauważyć, że jeśli współrzędnymi gdzie 1 j 1 < < j r n, to wzory wyrażajace zmienne bazowe i funkcjonał kosztu przy pomocy zmiennych niebazowych, przyjmuja postać(poniżej symbolem I v oznaczamy 19
20 zbiór {j 1,,j r }) u j 1 = v j 1 P u jr = v jr P k/ I v γ j1,ku k k/ I v γ jr,ku k (27) J(u) =J(v) X k/ I v k u k, (28) gdzie γ ji,k =(B 1 A k ) i ; i =1,, r, k =1,, n (29) (w szczególności γ ji,k = δ ji,k dla i =1,, r, k I v ), B =[A j1 A jr ], gdzie c = c 1 c 1 v j i =(B 1 b) i,i=1,, r, v k =0,k/ I v, k = rx c, B 1 A k ck = c ji (B 1 A k ) i c k,k=1,,n, (30) i=1 (w szczególności k =0dla k I v ) W tym przypadku tablica sympleksowa dla punktu v jest następujaca: Tablica sympleksowa II (dla punktu v) 20
21 u 1 u j 1 u j i u k u j s u j u j r u n u j 1 γ j1,1 1 0 γ j1,k 0 γ j1,j 0 γ j1,n v j 1 u j i γ ji,1 0 1 γ ji,k 0 γ ji,j 0 γ ji,n v j i u js γ js,1 0 0 γ js,k 1 γ js,j 0 γ js,n v js u j r γ jr,1 0 0 γ jr,k 0 γ jr,j 1 γ jr,n v j r k 0 j 0 n J(v) Tak, jak wcześniej, należy rozważyć trzy przypadki: 1 0 spełniony jest warunek k 0, k/ I v (22 ) 2 0 istnieje k/ I v takie, że k > 0, γ ji,k 0, i=1,, r (23 ) 3 0 nie zachodzi przypadek 1 0 i2 0 ; w konsekwencji istnieja k/ I v oraz j i I v takie, że k > 0, γ ji,k > 0 (24 ) Podobnie, jak wcześniej, łatwo sprawdzić, że w pierwszym przypadku punkt v jest rozwiazaniem zadania (14), w drugim - inf hc, ui =, czyli zadanie (14) nie ma rozwi azania u U W trzecim przypadku należy wybrać element rozwiazuj acy γ js,k na podstawie warunku (24 ) oraz warunku v js min v ji γ js,k j i I v,k γ ji,k, (25 ) gdzie I v,k = {j i I v ; γ ji,k > 0}, któres a analogiczne do warunków (24), (25) Następnie, należy wykonać przejście do nowego punktu wierzchołkowego w Z warunków (24 ) i (25 ) wynika, że baza punktu w będzie układ kolumn (z dokładnościa do ich kolejności) A j1,, A js 1,A js+1,, A jr,a k, 21
22 przy czym J(w) J(v) Współrzędne punktu w można wyznaczyć na podstawie twierdzenia charakteryzujacego punkty wierzchołkowe Uwaga 2 Można pokazać, że w j 1 = v j 1 γ j1,k vj s γ j s,k w j i = v j i γ ji,k vj s γ js,k w j s 1 = v j s 1 γ js 1,k vjs γ js,k w js = v js γ js,k vjs γ js,k =0 w j s+1 = v j s+1 γ js+1,k vjs γ js,k w jr = v jr γ jr,k vjs γ js,k w k = vjs γ js,k w l =0,l/ I v,l 6= k, Tablica sympleksowa dla punktu w przyjmuje postać Tablica sympleksowa III (dla punktu w) 22
23 u 1 u j 1 u j i u k u j s u j u j r u n u j 1 γ 0 j 1, γ 0 j 1,j s γ 0 j 1,j 0 γ 0 j 1,n w j 1 u j i γ 0 j i, γ 0 j i,j s γ 0 j i,j 0 γ 0 j i,n w j i u k γ 0 k, γ 0 k,j s γ 0 k,j 0 γ 0 k,n w k u j s 1 γ 0 j s 1, γ 0 j s 1,j s γ 0 j s 1,j 0 γ 0 j s 1,n w j s 1 u j s+1 γ 0 j s+1, γ 0 j s+1,j s γ 0 j s+1,j 0 γ 0 j s+1,n w j s+1 u jr γ 0 j r, γ 0 j r,j s γ 0 j r,j 1 γ 0 j r,n w jr j s 0 j 0 0 n J(w) gdzie współczynniki γ 0 i,j, 0 j (30) z macierza B postaci sa określone przy pomocy wzorów analogicznych do (29), [A j1 A k A js 1 A js+1 A jr ] (zakładamy tu, że wiersze i kolumny w tablicy sympleksowej oraz kolumny macierzy B saustawionewkolejności rosnacych indeksów) Uwaga 2 Można pokazać, że γ 0 j i,j = γ ji,j γ j i,k γ γ j js,j ; i =1,, r, i 6= s, j =1, n, s,k γ 0 k,j = γ js,j,j=1,n, γ j s,k oraz γ 0 js,j j = j k dla j =1,, n γ js,k Opisany więc został jeden krok metody sympleksowej w dowolnym przypadku (co do bazy punktu wierzchołkowego), czyli przejście od jednego punktu wierzchołkowego (v) zbioru U do drugiego punktu wierzchołkowego (w) tego zbioru (w przypadku 3 0 )wtakisposób, że J(w) J(v) 23
24 8 Reguła antycykliczna Podczas realizacji metody sympleksowej może się zdarzyć, że 0= min v ji j i I v,k γ ji,k = vj s γ js,k Ze wzorów podanych w Uwadze 1 wynika, że w takim przypadku w = v i J(w) =J(v), aprzejście od punktu v do punktu w oznacza jedynie przejście od bazy A j1,,a jr do bazy A j1,, A k,, A js 1,A js+1,, A jr Można podać przykłady zadań pokazujace, że przy ustalonym sposobie wyboru elementu rozwiazuj acego (np często spośród indeksów k, j s spełniajacych warunki (24 )-(25 ) wybiera się najmniejsze wartości) metoda sympleksowa może się zapętlić, tzn w kolejnychiteracjach punktwierzchołkowy nie będzie się zmieniał, ajegobazybędazmieniały się w sposób okresowy (cykliczny) Można jednak określić (naróżne sposoby) regułę wyboruelementu rozwiazuj acego w taki sposób, by uniknać owegozapętlenia Każdatakareguła nazywana jest reguła antycykliczna Podamy teraz opis jednej z takich reguł Do tablicy sympleksowej punktu v (dla uproszczenia przyjmijmy, że kolumny A 1,,A r tworzabazę punktu v)dopisujemy r r -wymiarow a macierz jednostkow a [d i,j ] Dopisane wyrazy przekształcamy w każdej iteracji zgodnie ze wzorami podanymi w Uwadze 2, przy czym nie tworzymy współczynników Element rozwiazuj acy γ s,k wybieramy w następujacy sposób 24
25 Niech k > 0 i I k = {i {1,, r}, γ i,k > 0} 6= Określmy zbiór I k,1 = {s I k ;min i I k v i = vs } γ i,k γ s,k Jeśli zbiór I k,1 zawiera więcej niż jeden element, to tworzymy zbiór d i,1 I k,2 = {s I k,1 ; min = d s,1 } i I k,1 γ i,k γ s,k Jeśli mamy już określony zbiór I k,m (m 2) i zawiera on więcej niż jeden element, to tworzymy zbiór d i,m I k,m+1 = {s I k,m ; min = d s,m } i I k,m γ i,k γ s,k Dowodzi się, że istnieje l {1,, r+1} takie, że zbiór I k,l składa sięzjednegoelementus, przy czym wszystkie zbiory I k,i, i =1,, l 1, zawieraj awięcej niż jeden element Jako indeks s, służacy do określenia elementu rozwiazuj acego, przyjmujemy ów jedyny element zbioru I k,l Można pokazać, że stosowanie w każdym kroku metody sympleksowej takiego sposobu wyboru indeksu s, wyznaczajacego element rozwiazuj acy, pozwala uniknać zapętlenia i w skończonej ilości kroków rozwiazać zadanie,b adź stwierdzić, że rozwiazanie nie istnieje ( 1 ) 9 Wybór poczatkowego punktu wierzchołkowego Niech dane będzie zadanie kanoniczne J(u) =hc, ui min (31) u U = {u =(u 1,, u n ) R n ; u 0, Au = b}, (32) 1 Zatem nie może siętakże zdarzyć, że w nieuporzadkowany sposób będziemy przerabiać bazy jednego punktu wierzchołkowego, a także, iż wnieskończony sposób (cykliczny lub nie) będziemy przerabiać punkty wierzchołkowe (przejście do kolejnego punktu wierzchołkowego w 6= v oznacza, że v js 6=0iw konsekwencji J(w) <J(v)) 25
26 gdzie 6= A R m n Opisujac metodę sympleksow a, zakładaliśmy między innymi, że zbiór U jest niepusty i znany jest poczatkowy punkt wierzchołkowy tego zbioru Pokażemy teraz jak stwierdzić, czy U 6= i znaleźć ów punkt wierzchołkowy Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy założyć, że b i 0 dla i =1,, m (mnożac w razie potrzeby odpowiednie równania przez 1) Rozważmy zadanie pomocnicze postaci J 1 (z) =u n u n+m min (33) z Z = {z = u w R n+m ; z 0, Cz= b}, (34) gdzie C =[A I m m ], w =(u n+1,, u n+m )Układ Cz = b zapiszmy w postaci a 1,1 u a 1,n u n + u n+1 = b 1 a m,1 u a m,n u n + u n+m = b m Łatwo widać, że zbiór Z jest niepusty, bowiem z 0 := (0,b) Z Łatwo też widać, że z 0 jest punktem wierzchołkowym zbioru Z zbaz azłożona z ostatnich m kolumn macierzy C, czyli wektorów jednostkowych e 1,,e m R m (rankc = m) Można więc do zadania (33)-(34) zastosować metodęsympleksowazpocz atkowym punktem wierzchołkowym z 0 Ponieważ J 1 (z) 0, z Z, więc niemożliwy jest przypadek inf z Z J 1(z) = 26
27 Zatem, stosujac metodę sympleksowa, w skończonej ilości kroków otrzymamy punkt wierzchołkowy z =(v,w ) Z będacy rozwiazaniem zadania (33)-(34) Możliwe sa tutaj dwa przypadki 1 0 J 1 (z ) > 0 Wówczas zbiór U (dany przez (32)) jest zbiorem pustym Istotnie, w przeciwnym bowiem razie (czyli gdyby istniał punkt u U) punkt z =(u, 0) należałby do zbioru Z oraz spełniona byłaby równość J 1 (z) =0, co sprzeczne jest z nierównościa J 1 (z ) > 0 i optymalnościa punktu z 2 0 J 1 (z )=0 Wówczas punkt z jest postaci (v, 0) Jako punkt uzyskany przy pomocy metody sympleksowej z jest punktem wierzchołkowym zbioru Z St ad wynika, że v jest punktem wierzchołkowym zbioru U Istotnie, ponieważ z 0, więc v 0, natomiast z równości Cz = b wynika, że Awięc Przypuśćmy teraz, że Av = b v U v = αu +(1 α)eu, gdzie α (0, 1), u, eu U Punkty z =(u, 0), ez =(eu, 0) należaoczywiście do zbioru Z, przy czym z = αz +(1 α)ez Ponieważ z jest punktem wierzchołkowym zbioru Z, więc to oznacza, że z = ez, skad u = eu 27
28 Azatemv jest punktem wierzchołkowym zbioru U Pokazaliśmy więc, że majac wyjściowe zadanie (31)-(32) i rozważajac zadanie pomocnicze (33)-(34), potrafimy stwierdzić (stosujac metodę sympleksowa do zadania (33)-(34)), czy U 6= i, jeśli tak, wyznaczyć pocz atkowy punkt wierzchołkowy zbioru U Uwaga 3 Można pokazać, że, analizujac tablicę sympleksowa dla punktu z =(v, 0) będacego rozwiazaniem zadania (33)-(34)), można (1) znaleźć rz ad macierzy A występujacej w zadaniu (31)-(32), wskazać bazępunktu wierzchołkowego v zbioru (32) (por Uwaga 4) i otrzymać tablicę sympleksowadla punktu v lub (2) sformułować nowe zadanie, dla którego natychmiast można wskazać poczatkowy punkt wierzchołkowy, jego bazę i tablicę sympleksowa, przy czym ilość ograniczeń typu równości występujacych w tym zadaniu jest równa rzędowi macierzy opisujacej te ograniczenia Uzupełniajac rozwiazanie tego zadania (otrzymane metodasym- pleksowa) zerowymi współrzędnymi, otrzymujemy rozwiazanie wyjściowego zadania Jeśli nowe zadanie nie ma rozwiazania, to nie ma go także zadanie wyjściowe Uwaga 4 Majac punkt wierzchołkowy v zbioru U można wyznaczyć rz ad macierzy A iwskazaćwspółrzędne bazowe punktu v wnastępujacy sposób Dodatnie współrzędne punktu v sa oczywiście jego współrzędnymi bazowymi Uzupełniajac układ kolumn odpowiadajacych tymże dodatnim współrzędnym kolumnami spośród pozostałych kolumn tak, by otrzymany układ stanowił bazę powłoki liniowej wszystkich kolumn, otrzymamy bazę punktu v (znać teżbędziemy ranka iwspółrzędne bazowe punktu v ) Ta metoda w praktyce jest stosowana w przypadku małych wartości m i n Zpowyższych rozważań wynikanastępujace Twierdzenie 2 Jeśli zbiór U dany przez (32) jest niepusty, to ma co najmniej jeden punkt wierzchołkowy 28
29 Korzystajac z opisu metody sympleksowej, udowodnimy teraz dwa podstawowe fakty teorii programowania liniowego Twierdzenie 3 Na to, aby kanoniczne zadanie postaci (31)-(32) miałorozwiazanie, tzn aby istniał punkt u U taki, że potrzeba i wystarcza, aby hc, u i =infhc, ui u U 1) zbiór U był niepusty 2) funkcjonał J(u) =hc, ui był ograniczony z dołu na zbiorze U Dowód Konieczność Konieczność warunków 1) i 2) jest oczywista Dostateczność Z warunku 1) i twierdzenia 2 wynika, że istnieje punkt wierzchołkowy zbioru U Można więc, startujac z tego punktu, rozwiazywać zadanie metodasymplek- sowa Z warunku 2) wynika, że w żadnej iteracji nie zajdzie przypadek 2 0 (z opisu metody sympleksowej) Oznacza to, że po skończonej ilości kroków metoda sympleksowa zakończy się znalezieniem rozwiazania u zadania (31)-(32) Twierdzenie 4 Jeśli zadanie (31)-(32) ma rozwiazanie, to wśród rozwiazań conajmniej jeden punkt jest punktem wierzchołkowym Dowód Ztwierdzenia3wynika,że U 6= ifunkcjonał J jest ograniczony z dołu na U Z twierdzenia 2 wynika, że zbiór U ma co najmniej jeden punkt wierzchołkowy Startujac z tego punktu, w skończonej ilości kroków matody sympleksowej, otrzymamy rozwiazanie u, które jest punktem wierzchołkowym zbioru U (w żadnej iteracji nie zajdzie przypadek 2 0,gdyż inf J(u) > ) u U Dowód twierdzenia jest zakończony 29
Badania Operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia. wyklad. 1.1 Modelowanie
Badania Operacyjne kierunek Informatyka, studia II stopnia wyklad 1 Programowanie liniowe Programowanie liniowe jest jednym z działów teorii zadań ekstremalnych i głównym nurtem badań operacyjnych Podstawy
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia. wyklad. 1.1 Modelowanie
Badania Operacyjne kierunek Informatyka, studia II stopnia wyklad 1 Programowanie liniowe Programowanie liniowe jest jednym z działów teorii zadań ekstremalnychigłównym nurtem badań operacyjnych. Podstawy
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe w logistyce
Programowanie liniowe w logistyce kierunek Informatyka, studia I stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Zapisać nast epujace zadanie w postaci zadania programowania liniowego Producent
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. 1 Programowanie liniowe. kierunek Informatyka, studia II stopnia ćwiczenia. 1.1 Modelowanie
Badania operacyjne kierunek Informatyka studia II stopnia ćwiczenia Programowanie liniowe Modelowanie Zadanie Producent odzieży powinien określić ile kurtek i płaszczy należy wyprodukować tak aby zysk
Bardziej szczegółowoWstęp do logistyki. kierunek: Matematyka specjalność: Logistyka z zastosowaniem matematyki i informatyki. wykład. 1.1 Modelowanie
Wstęp do logistyki kierunek: Matematyka specjalność: Logistyka z zastosowaniem matematyki i informatyki wykład Wstęp Przedmiotem logistyki sa min procesy transportu i magazynowania surowców oraz wytworzonych
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe 1 Wstęp Programowanie liniowe jest jednym z działów teorii zadań ekstremalnych. Podstawy programowania liniowego stworzył Kantorowicz w latach 30-tych ubiegłego stulecia. Przedmiotem
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoWykład 7. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 16 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia / 23
Wykład 7 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 16 kwietnia 2018 Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 1 / 23 Programowanie liniowe Magdalena Alama-Bućko Wykład 7 16 kwietnia 2018 2 / 23
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoWybrane elementy badań operacyjnych
Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoPrzekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej
Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo