ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:"

Transkrypt

1 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x j 0 (j = 1, 2,, n)

2 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 2 Zagadnienie dualne definiuje siȩ nastȩpuj aco: minw = b 1 y 1 + b 2 y b m y m a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m c 1 a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m c 2 a 1n y 1 + a 2n y a mn y m c n y i 0 (i = 1, 2,,m)

3 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 3 Budowȩ zagadnienia dualnego ilustruje tablica?? Tab 1: Budowa zagadnienia dualnego max z minw (x 1 0) (x 2 0) (x n 0) x 1 x 2 x n (y 1 0) y 1 a 11 a 12 a 1n b 1 (y 2 0) y 2 a 21 a 22 a 2n b 2 (y m 0) y m a m1 a m2 a mn b m c 1 c 2 c n

4 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 4 Przykład 1 Zakład meblowy STYL produkuje stoły i fotele Wyprodukowany stół przynosi 160 zł zysku a fotel 200 zł Produkcja stołów i foteli limitowana jest godzinami pracy, ilości a posiadanego drewna i powierzchni a magazynowania Zużycie tych zasobów oraz ich dzienne limity s a nastȩpuj ace: Zasoby Zużycie zasobów Stół Fotel Limit dzienny(godz) Praca(godz) Drewno(m 3 ) Powierz(m 2 ) Jaki powinien być dzienny plan produkcji maksymalizuj acy zysk?

5 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 5 Model prymalny: max z = 160x x 2 2x 1 + 4x x x x x x 1, x 2 0 Model dualny minw = 40y y y 3 2y y y y y y y 1, y 2, y 3 0 Ekonomiczna interpretacja zagadnienia dualnego

6 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 6 Budowa zagadnienia dualnego dla dowolnej postaci zagadnienia programowania liniowego- przykład max z = 2x 1 + x 2 minw = 2y 1 + 3y 2 + y 3 x 1 + x 2 = 2 y 1 -dowolna 2x 1 x 2 3 y 2 0 x 1 x 2 1 y 3 0 x 1 0 y 1 + 2y 2 + y 3 2 x 2 dowolna y 1 y 2 y 3 = 1

7 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 7 Podstawowe zwi azki pomiȩdzy zagadnieniami pierwotnym i dualnym Twierdzenie 1 Zagadnienie dualne do dualnego jest zagadnieniem pierwotnym Twierdzenie 2 Wartość funkcji celu z dla dowolnego rozwi azania dopuszczalnego zagadnienia pierwotnego jest nie wiȩksza niż wartość funkcji celu w dla dowolnego rozwi azania zagadnienia dualnego Z tego twierdzenia mamy dwa wnioski: Wniosek1Jeśli (x 1, x 2,,x n )i(y 1, y 2,,y m )s arozwi azaniami dopuszczalnymi odpowiednio zagadnienia pierwotnego i dualnego takimi, że z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n = b 1 y 1 + b 2 y b m y m = w,tos ato rozwi azania optymalne tych zagadnień

8 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 8 Wniosek2Jeślijednozzagadnień(pierwotnelubdualne)niema skończonego rozwi azania optymalnego(funkcja celu jest nieograniczona w zbiorze rozwi azań dopuszczalnych), to drugie zagadnienie nie ma rozwi azań dopuszczalnych(układ ograniczeń jest sprzeczny) Natomiast jeśli jedno z zagadnień nie ma rozwi azania dopuszczalnego to jego zagadnienie dualne może albo nie mieć rozwi azania dopuszczalnego albo nie mieć skończonego rozwi azania optymalnego Twierdzenie 3 Jeśli jedno z zagadnień(pierwotne lub dualne) ma rozwi azanie optymalne, to oba zagadnienia maj a rozwi azania optymalne i wartości funkcji celu tych zagadnień dla rozwi azań optymalnych s a sobie równe Rozwi azuj ac metod a sympleks zagadnienia pierwotne z optymalnej tablicy można odczytać rozwi azanie optymalne zagadnienia dualnego Rozważmy model liniowy dla firmy STYL Optymaln a tablic a

9 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 9 sympleksow a jest: s 1 s 2 s 3 x 1 x x x s z Zmiennymibazowymirozwi azaniaoptymalnegos a ZB = {x 2, x 1, s 3 } natomiast baz a tego rozwi azania jest B = Macierz

10 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe odwrotna B 1 = znajdujesiȩwkolumnach s 1, s 2, s 3 tablicyoptymalnejrozwi azanieoptymalnezagadnienia dualnego (y 1, y 2, y 3 )możnawyznaczyćkorzystaj aczmacierzy B 1 nastȩpuj aco: (y 1, y 2, y 3 ) = c B B 1 = (200, 160, 0) = (20, 20 3, 0) gdziewektor c B zawierawspółczynnikifunkcjiceluodpowiadaj ace zmiennym bazowym W tablicy optymalnej to rozwi azanie znajduje siȩwkolumnach s 1, s 2, s 3 wierszawskaźnikówoptymalności

11 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 11 Jeśli zagadnienie pierwotne jest w dowolnej postaci, to rozwi azanie optymalne odczytujemy z optymalnej tablicy sympleksowej nastepuj aco: Optymalnawartośćzmiennejdualnej y i odpowiadaj acej ograniczeniu =współczynnikkolumny s i wierszawskaźników optymalnośći Optymalnawartośćzmiennejdualnej y i odpowiadaj acej ograniczeniu =-(współczynnikkolumy e i wierszawskaźników optymalności) Optymalnawartośćzmiennejdualnej y i odpowiadaj acej ograniczeniu = =(współczynnikowikolumny a i wiersza wskaźników optymalności)- M

12 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 12 Zmienna e i jestzmienn a,któr aodejmujemyodlewejstrony ograniczeniapostaci,abyzamienićjenarównanie,azmienna a i jest zmienn a sztuczn a w M- metodzie, któr a dodajemy do lewej strony ograniczenia w postaci równania Dla ilustracji rozważmy zagadnienie: max z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 5 x 1 + 3x 2 + 2x x 2 x 3 5 2x 1 + x 2 5x 3 = 10 x 1, x 2, x 3 0

13 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 13 Dodaj ac odpowiednie zmienne mamy: max z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 5 Ma 2 Ma 3 x 1 + 3x 2 + 2x 3 + s 1 = 15 2x 2 x 3 e 2 + a 2 = 5 2x 1 + x 2 5x 3 + a 3 = 10 x 1, x 2, x 3, s 1, a 2, a 3 0

14 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 14 Optymalna tablica jest nastȩpuj aca: x 1 x 2 x 3 s 1 e 2 a 2 a x x x z Zagadnienie dualne ma postać: M 58 M minw = 15y 1 + 5y y 3 y 1 + 2y 3 3 3y 1 + 2y 2 + y 3 2 2y 1 y 2 5y 3 5 y 1 0, y 2 0, y 3 dowolna

15 A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 15 Odczytuj ac rozwi azanie optymalne zagadnienia dualnego z optymalnej tablicy sympleks mamy: ograniczenie pierwsze jest nierówności a to y 1 = 51 (współczynnikoptymalnościwkolumnie s 1 ),drugieograniczeniejestnierówności a to y 2 = 58 (- współczynnikoptymalnościwkolumnie e 2 ),trzecieograniczeniejest równości azatem y 3 = 9 (współczynnikoptymalnościwkolumnie a 3 - M) Optymalna wartość rozwi azania dualnego wynosi w = ( 58 ) = 565 ijestrównaoptymalnejwartości funkcji celu zagadnienia pierwotnego

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej:

Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej: METODA SYMPLEKS Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej: max(min)z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC)

Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) * ) && &&& % ( - &&(() n && - n% ( ' n!"#$ Optymalizacja liniowa w liczbach całkowitych (PLC) (( & ' nn nn Zadanie (-) nazywamy zadaniem regularnym Zadanie (-) nazywamy zadaniem PLC Stosownie do tego podziału

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.

Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

I.Firmaprodukujedwawyroby W 1 i W 2 zdwóchsurowców S 1 i S 2.Firma chce zaplanować produkcjȩ tak aby osi agn ać jak najwiȩkszy zysk.

I.Firmaprodukujedwawyroby W 1 i W 2 zdwóchsurowców S 1 i S 2.Firma chce zaplanować produkcjȩ tak aby osi agn ać jak najwiȩkszy zysk. Wykład 1 Badania operacyjne- zastosowanie naukowych metod do rozwiązywania problemów zarządzania w celu wspomagania menedżerów w podejmowanie lepszych decyzji. I. Obserwaja II. Sformułowanie problemu III.

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego.

Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego. Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia Zestaw. Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia planowania produkcji Zadanie.. Zapisać następujące zadanie w postaci

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Pawe l G ladki. Problem przetargu.

Pawe l G ladki. Problem przetargu. 1 Problem przertargu Pawe l G ladki Problem przetargu. Co to jest przetarg w potocznym znaczeniu wyjaśniać chyba nie trzeba. W ujȩciu eknomicznym, za przetarg uważamy takie sytuacje, jak negocjacje handlowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych

Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................

Bardziej szczegółowo

Wykłady z programowania liniowego

Wykłady z programowania liniowego Wykłady z programowania liniowego A. Paweł Wojda Wydział Matematyki Stosowanej AGH 2 Spis treści 1 Wstęp 5 2 Problem programowania liniowego 7 2.1 PPL.................................. 7 2.2 Definicje................................

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ.

WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. Wykład 1 Wprowadzenie do ekonomii menedżerskiej 1 WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI NA PODSTAWIE ANALIZY MARGINALNEJ. 1. EKONOMIA MENEDŻERSKA ekonomia menedżerska

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 3 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 3 (Materiały) Metoda analityczna Przed przystąpieniem do rozwiązania programu liniowego metodą analityczną, należy sprowadzić program do postaci KANONICZNEJ. Model o postaci kanonicznej to taki, w którym wszystkie warunki

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos

Rozdzia 5. Uog lniona metoda najmniejszych kwadrat w : ::::::::::::: Podstawy uog lnionej metody najmniejszych kwadrat w :::::: Zastos Spis tre ci PRZEDMOWA :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11 CZ I. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ::::::::::: 13 Rozdzia 1. Modelowanie ekonometryczne ::::::::::::::::::::::::::::::

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.3. ZADANIA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE W zadaniach 1.1 1.40 zakłada się, że

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

Analiza danych przy uz yciu Solvera

Analiza danych przy uz yciu Solvera Analiza danych przy uz yciu Solvera Spis treści Aktywacja polecenia Solver... 1 Do jakich zadań wykorzystujemy Solvera?... 1 Zadanie 1 prosty przykład Solvera... 2 Zadanie 2 - Optymalizacja programu produkcji

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Zadanie programowania liniowego metoda graficzna

Zadanie programowania liniowego metoda graficzna Dorota Kuchta Zadanie programowania liniowego metoda graficzna. Formułowanie zadania programowania linowego Punktem wyjścia do sformułowania zadania programowania liniowego jest zawsze problem decyzyjny,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

CYKL 2/6 W METODZIE SYMPLEKS

CYKL 2/6 W METODZIE SYMPLEKS CYKL /6 W METODZIE SYMPLEKS SEBASTIAN SITARZ Uniwersytet l ski Streszczenie Celem niniejszej pracy jest przedstawienie i analiza zjawiska cykliczno ci wyst puj cego w zdegenerowanych zadaniach programowania

Bardziej szczegółowo

Komunikacja między sterownikami przez protokół ADS

Komunikacja między sterownikami przez protokół ADS Komunikacja między sterownikami przez protokół ADS Poziom trudności: łatwy Wersja dokumentacji: 1.0 Aktualizacja: 20.03.2015 Beckhoff Automation Sp. z o. o. Spis treści 1. Komunikacja ADS... 3 2. Konfiguracja

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA MENEDŻERSKA

EKONOMIA MENEDŻERSKA EKONOMIA MENEDŻERSKA Koszt całkowity produkcji - Jest to suma kosztów stałych całkowitych i kosztów zmiennych całkowitych. K c = K s + K z Koszty stałe produkcji (K s ) to koszty, które nie zmieniają się

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy

Bardziej szczegółowo

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna -. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Dynamiczny przydział pamięci w języku C. Dynamiczne struktury danych. dr inż. Jarosław Forenc. Metoda 1 (wektor N M-elementowy)

Dynamiczny przydział pamięci w języku C. Dynamiczne struktury danych. dr inż. Jarosław Forenc. Metoda 1 (wektor N M-elementowy) Rok akademicki 2012/2013, Wykład nr 2 2/25 Plan wykładu nr 2 Informatyka 2 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr III, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 2012/2013

Bardziej szczegółowo

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi

Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Układy równań stopnia pierwszego z dwiema i trzema niewiadomymi Przedmowa To opracowanie jest napisane z myślą o gimnazjalistach, ale mogą z niego korzystać także Ci, co chcą się dowiedzieć np. jak rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne- programowanie liniowe

Badania operacyjne- programowanie liniowe Justyna Kosakowska i Piotr Malicki Badania operacyjne- programowanie liniowe Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki (specjalność: matematyka w ekonomii i finansach) Wydział Matematyki i Informatyki

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A)

5. Utarg krańcowy (MR) można zapisać jako: A) 1. Na rynku pewnego dobra działają dwie firmy, które zachowują się zgodnie z modelem Stackelberga. Firmy ponoszą stałe koszty krańcowe równe 24. Odwrócona linia popytu na tym rynku ma postać: P = 480-0.5Q.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Wstęp do Techniki Cyfrowej... Teoria automatów Alfabety i litery Układ logiczny opisywany jest przez wektory, których wartości reprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych. Zwiększenie stopnia

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do pakietu STATA

Wprowadzenie do pakietu STATA Wprowadzenie do pakietu Ma lgorzata Kalbarczyk-Stȩclik Uniwersytet Warszawski mkalbarczyk@wne.uw.edu.pl Październik 02, 2014 Plan 1 Podstawowe informacje o kursie Warunki zaliczenia Prezentacje Zaliczenie

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne.

Algorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne. Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima

Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima Zadania rachunkowe z termokinetyki w programie Maxima pliku, polecenia do wpisywania w programie Maxima zapisane są czcionką typu: zmienna_w_maximie: 10; inny przykład f(x):=x+2*x+5; Problem 1 komorze

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Model Davida Ricardo

Model Davida Ricardo Model Davida Ricardo mgr eszek incenciak 15 lutego 2005 r. 1 Założenia modelu Analiza w modelu Ricardo opiera się na następujących założeniach: istnieje doskonała konkurencja na rynku dóbr i rynku pracy;

Bardziej szczegółowo

Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki

Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki Liniowe Zadanie Decyzyjne model matematyczny, w którym zarówno funkcja celu jak i warunki ograniczające są funkcjami liniowymi ekonomiczne wykorzystanie Programowania Liniowego do opisu sytuacji decyzyjnej

Bardziej szczegółowo

2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej dostępności środków produkcji

2. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej dostępności środków produkcji P. Kowalik, Laboratorium badań operacyjnych: wybór optymalnego planu produkcji. Wybór optymalnego planu (asortymentu) produkcji przy ograniczonej dostępności środków produkcji Firma może produkować n rodzajów

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

Wskazówki rozwiązania zadań#

Wskazówki rozwiązania zadań# Terminy i skróty pochodzące z języka angielskiego: P - price - cena Q - quantity - ilość S - sales - sprzedaż VC - variable cost - koszt zmienny FC - fixed cost - koszt stały EBIT - Earnings before Intrest

Bardziej szczegółowo

Microsoft EXCEL SOLVER

Microsoft EXCEL SOLVER Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie programów matematycznych

Rozwiązywanie programów matematycznych Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo