Układy liniowo niezależne
|
|
- Władysław Adamczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
2 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v α k v k = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
3 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
4 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Przykłady 1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) R 3 jest liniowo zależny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + ( 1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
5 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Przykłady 1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) R 3 jest liniowo zależny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + ( 1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0). 2. Układ (1, 2), (0, 3) R 2 jest liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
6 Definicja Niech V będzie przestrzenia liniowa. Wówczas układ wektorów v 1,..., v k V jest liniowo zależny jeśli istnieja liczby α 1,..., α k R, nie wszystkie równe 0, spełniajace: α 1 v α k v k = 0. Układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli nie jest liniowo zależny, czyli jeśli z równości α 1 v α k v k = 0 wynika α 1 = α 2 = = α k = 0. Przykłady 1. Układ wektorów (1, 0, 2), (2, 3, 1), (4, 3, 5) R 3 jest liniowo zależny, bo 2(1, 0, 2) + 1(2, 3, 1) + ( 1)(4, 3, 5) = (0, 0, 0). 2. Układ (1, 2), (0, 3) R 2 jest liniowo niezależny. 3. W przestrzeni R n niech ε i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), gdzie 1 występuje tylko na i-tym miejscu. Wektory ε 1, ε 2,..., ε n tworza układ liniowo niezależny. Nazywamy je wektorami jednostkowymi R n. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
7 Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
8 Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Twierdzenie Podukład układu liniowo niezależnego jest też liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
9 Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Twierdzenie Podukład układu liniowo niezależnego jest też liniowo niezależny. Twierdzenie Jeśli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zależny tylko wtedy jeśli jeden z wektorów układu jest kombinacja liniowa pozostałych. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
10 Uwagi Przyjmujemy, że układ pusty jest liniowo niezależny. Twierdzenie Układ złożony z jednego wektora v V jest liniowo zależny tylko jeśli v = 0. Twierdzenie Podukład układu liniowo niezależnego jest też liniowo niezależny. Twierdzenie Jeśli układ ma co najmniej 2 wektory to jest liniowo zależny tylko wtedy jeśli jeden z wektorów układu jest kombinacja liniowa pozostałych. Twierdzenie Układ niezerowych wektorów v 1, v 2,..., v k, z których żaden nie jest kombinacja liniowa poprzednich, jest liniowo niezależny. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
11 Twierdzenie Twierdzenie Steinitza Jeśli wektory w i lin(v 1,..., v m ) dla i = 1,..., k tworza układ liniowo niezależny w 1,..., w k to k m. (bez dowodu). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
12 Twierdzenie Twierdzenie Steinitza Jeśli wektory w i lin(v 1,..., v m ) dla i = 1,..., k tworza układ liniowo niezależny w 1,..., w k to k m. (bez dowodu). Przykład Mamy R n = lin(ε 1,..., ε n ) zatem z twierdzenia Steinitza wynika, że każdy układ liniowo niezależny wektorów w R n ma co najwyżej n wektorów. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
13 Bazy Definicja Układ v 1,..., v n nazywamy baza przestrzeni V jeśli spełnione sa dwa warunki (i) układ v 1,..., v n jest liniowo niezależny (ii) układ v 1,..., v n rozpina V, czyli V = lin(v 1,..., v n ). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
14 Bazy Definicja Układ v 1,..., v n nazywamy baza przestrzeni V jeśli spełnione sa dwa warunki (i) układ v 1,..., v n jest liniowo niezależny (ii) układ v 1,..., v n rozpina V, czyli V = lin(v 1,..., v n ). Przykłady 1. Układ ε 1,..., ε n złożony z wektorów jednostkowych stanowi bazę R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
15 Bazy Definicja Układ v 1,..., v n nazywamy baza przestrzeni V jeśli spełnione sa dwa warunki (i) układ v 1,..., v n jest liniowo niezależny (ii) układ v 1,..., v n rozpina V, czyli V = lin(v 1,..., v n ). Przykłady 1. Układ ε 1,..., ε n złożony z wektorów jednostkowych stanowi bazę R n 2. Przestrzeń rozwiazań układu jednorodnych równań liniowych ma bazę złożona z tylu elementów, ile parametrów (zmiennych wolnych) występuje w rozwiazaniu ogólnym. Kolejne wektory tej bazy można otrzymać przyjmujac kolejno wybierane parametry za równe 1 zaś pozostałe za 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
16 Przykład Rozważmy podprzestrzeń V R 5 opisana układem: { x1 + x 2 + 2x 4 + x 5 = 0 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 x 5 = 0 [ Macierza tego układu jest ]. Operacja w 2 [ 2w 1 sprowadzamy ja do ] postaci schodkowej zredukowanej M =. Widzimy, że jako zmienne zależne można przyjać x 1 i x 3 natomiast x 2, x 4, x 5 jako parametry. Rozwiazanie ogólne ma postać: x 1 = x 2 + 2x 4 x 5, x 3 = 5x 4 + 3x 5 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
17 Przykład Określimy bazę V złożona z wektorów v 1, v 2, v 3 w V następujaco: przyjmujac x 2 = 1, x 4 = x 5 = 0 mamy v 1 = ( 1, 1, 0, 0, 0). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
18 Przykład Określimy bazę V złożona z wektorów v 1, v 2, v 3 w V następujaco: przyjmujac x 2 = 1, x 4 = x 5 = 0 mamy v 1 = ( 1, 1, 0, 0, 0). Przyjmujac x 2 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0 mamy v 2 = (2, 0, 5, 1, 0) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
19 Przykład Określimy bazę V złożona z wektorów v 1, v 2, v 3 w V następujaco: przyjmujac x 2 = 1, x 4 = x 5 = 0 mamy v 1 = ( 1, 1, 0, 0, 0). Przyjmujac x 2 = 0, x 4 = 1, x 5 = 0 mamy v 2 = (2, 0, 5, 1, 0) Przyjmujac x 2 = x 4 = 0, x 5 = 1 otrzymujemy v 3 = ( 1, 0, 3, 0, 1). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
20 Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
21 Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
22 Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Przykłady 1. dimr n = n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
23 Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Przykłady 1. dimr n = n 2. Jeśli V U R n jest przestrzenia rozwiazań układu jednorodnych równań liniowych U to wymiar V U równa się liczbie parametrów rozwiazania ogólnego U. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
24 Twierdzenie Jeśli przestrzeń V ma bazę złożona z n wektorów to każda baza V ma n wektorów Definicja Mówimy, że przestrzeń jest n-wymiarowa jeśli ma bazę złożona z n wektorów. Liczbę n nazywamy wymiarem V, co zapisujemy dimv = n. Dla przestrzeni zerowej V = {0} przyjmujemy dimv = 0. Mówimy, że przestrzeń jest skończenie wymiarowa jeśli jest n-wymiarowa dla n = 0, 1, 2,.... W przeciwnym przypadku mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa i piszemy dimv = Przykłady 1. dimr n = n 2. Jeśli V U R n jest przestrzenia rozwiazań układu jednorodnych równań liniowych U to wymiar V U równa się liczbie parametrów rozwiazania ogólnego U. 2. dimr = bo R zawiera dowolnie duże układy liniowo niezależne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
25 Własności baz i wymiaru Twierdzenie Niech v 1,..., v n będa wektorami przestrzeni liniowej V. Następujace warunki sa równoważne: (i) układ v 1,..., v n jest baza przestrzeni V (ii) v 1,..., v n jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V (iii) v 1,..., v n jest minimalnym układem rozpinajacym V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
26 Własności baz i wymiaru Twierdzenie Niech v 1,..., v n będa wektorami przestrzeni liniowej V. Następujace warunki sa równoważne: (i) układ v 1,..., v n jest baza przestrzeni V (ii) v 1,..., v n jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V (iii) v 1,..., v n jest minimalnym układem rozpinajacym V Twierdzenie Niech dimv = n i niech v 1,..., v k V będzie układem liniowo niezależnym. Wówczas: (a) k dimv (b) v 1,..., v k tworzy bazę V k = dimv (c) Niech W będzie podprzestrzenia V. Wtedy dimw dimv oraz jeśli dimw = dimv to W = V d) Niech V = lin(v 1,..., v k ). Układ złożony z wektorów v 1,..., v k jest baza V dimv = k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
27 Przykład Układ (1, 2), (0, 3) jest baza R 2, bo jest liniowo niezależny i ma 2 = dimr 2 wektory. Przykład Układ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) rozpina R 3 zatem tworzy bazę tej przestrzeni Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
28 Współrzędne wektora w bazie Twierdzenie Układ wektorów v 1,..., v n V jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, kiedy każdy wektor w V można przedstawić w dokładnie jeden sposób jako kombinację liniowa: w = α 1 v α n v n. (Dowód) Definicja Niech układ v 1,..., v n stanowi bazę V, i niech w V. Wtedy układ liczb α 1,..., α n spełniajacy w = α 1 v α n v n nazywamy współrzędnymi wektora w w bazie v 1,..., v n. Przykłady Współrzędnymi wektora (1, 4, 3) w bazie ε 1, ε 2, ε 3 w R 3 sa liczby 1, 4, 3. Ogólnie: współrzędnymi wektora (x 1,..., x n ) R n w bazie ε 1,..., ε n sa liczby x 1,..., x n. (inne przykłady na tablicy) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik / 11
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoDziałania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100
ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. dla studentów informatyki. Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku
Algebra liniowa z geometria analityczna dla studentów informatyki Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku Aktualizacja: 15 stycznia 2012 Spis treści Spis treści 2 1 Macierze i wyznaczniki 1 1.1 Macierze
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowo6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych
konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowo