ZASTOSOWANIE TEORII ZBIORÓW PRZYBLIŻONYCH DO PODEJMOWANIA DECYZJI

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE TEORII ZBIORÓW PRZYBLIŻONYCH DO PODEJMOWANIA DECYZJI STANISŁAW KOWALIK Katera Zarzązania i Inżynieria Bezpiezeństwa, Politehnika Śląska Streszzenie W pray przestawiono postawowe pojęia z teorii zbiorów przybliżonyh. Omówiono system informayjny, relaję nierozróżnialnośći, olne i górne przybliżenie zbioru. Następnie wykorzystano te pojęia o określania sytuaji niebezpieznyh w górnitwie. Poano wa przykłay związane z kopalniami i rejonami górnizymi. 1. Wprowazenie o teorii zbiorów przybliżonyh Teoria zbiorów przybliżonyh jest nową metoą analizy anyh, która wykazała swą użytezność w wielu ziezinah oraz wzbuziła spore zainteresowanie na świeie nie tylko wśró informatyków ale również wśró logików i filozofów. Mimo to wymaga ona alszyh baań, w szzególnośi w zakresie jej postaw matematyznyh oraz możliwośi zastosowań w różnyh ziezinah [3], [5]. Na temat teorii zbiorów przybliżonyh i jej zastosowań opublikowano na świeie o tej pory blisko wa tysiąe pra, oraz kilkanaśie książek. Kilka alszyh książek na jej temat jest w ruku. wzbuziła ona spore zainteresowanie, głównie w USA, Kanazie i Japonii. Prae na jej temat prowazone są również w wielu innyh krajah, mięzy innymi: w Anglii, Afrye Połuniowej, Australii, Brazylii, Chinah, Czehah, Finlanii, Franji, Greji, Hiszpanii, Holanii, Iniah, Irlanii, Niemzeh, Norwegii, Singapurze, Turji i we Włoszeh. Również w Polse kilka ośroków baawzyh zajmuje się tą teorią oraz jej zastosowaniami [3]. Metoa zbiorów przybliżonyh znalazła lizne zastosowania, mięzy innymi w: meyynie, farmakologii, bankowośi, lingwistye, rozpoznawaniu mowy, ohrona śroowiska, baza anyh. i innyh [3]. Teoria zbiorów przybliżonyh jest innym matematyznym poejśiem o niejasnośi. Teoria ma związki z innymi teoriami, w szzególnośi ze zbiorami rozmytymi. Iea zbiorów przybliżonyh jest oparta na założeniu że, w porównaniu o klasyznej teorii zbiorów, mamy jakąś oatkową informaję (wiezę, ane) o elementah zbioru. Wszystkie elementy z tą sam informają są nie o oróżnienia (są poobne) wobe ostępnej informaji i formy bloki, które mogą być rozumiane jak elementarne ząstki wiezy. Te ząstki są nazywane elementarnymi zbiorami albo pojęiami, i mogą być rozważane jak elementarne bloki (atomy) tworząe naszą wiezę o rzezywistośi, którą jesteśmy zainteresowani. Elementarne pojęia mogą być służyć o tworzenia złożonyh pojęć tj. pojęia te są jenoznaznie efiniowane na postawie elementarnyh pojęć. Jakiekolwiek połązenie elementarnyh zbiorów jest nazywane zbiorem efiniowalnym, i jakiekolwiek

2 inny zbiory sprowazają się o przybliżonyh (niewyraźnyh, niepreyzyjnyh). Z każym zbiorem X możemy skojarzyć wa pojęia, nazywane olne i górne przybliżenie X. Dolnym przybliżeniem X są wszystkie te elementy, które są jenoznaznie włązone o zbioru X, pozas gy górnym przybliżeniem X są wszystkie te elementy zbioru, które ma niepuste przeięie z X. Innymi słowy, olne przybliżenie zbioru jest to zbiór wszystkih elementów pewnie należąyh o X, pozas gy górne przybliżenie X jest to zbiór wszystkih elementów mogąyh należeć o X. Różnia górnego i olnego przybliżenia X jest to obszar brzegowy (brzeg) zbioru. Aproksymaje zbiorów są postawowymi ziałaniami w teorii zbiorów przybliżonyh i są używane jak główne narzęzia w przypaku, gy mamy o zynienia z niejasnymi i niepewnymi anymi [4]. W teorii mnogośi zbiór jest efiniowany poprzez swoje elementy, przy zym nie jest tu potrzebna żana oatkowa wieza o elementah uniwersum, z któryh tworzymy zbiory. W teorii zbiorów przybliżonyh przeiwnie, zakłaa się, iż mamy pewne ane o elementah uniwersum i ane te są wykorzystywane w tworzeniu zbiorów. Elementy, o któryh mamy ientyzną informaję są poobne i tworzą tzw. zbiory elementarne. Stanowią one postawę rozumowań w teorii zbiorów przybliżonyh. Suma owolnyh zbiorów elementarnyh jest nazywana zbiorem efiniowalnym. Zbiory, które są zbiorami efiniowalnymi nazywane są zbiorami przybliżonymi [3]. 2. Reprezentaja anyh w ujęie teorii zbiorów przybliżonyh Zbiór anyh przestawiany jest w postai tabliy, w której wiersze opowiaają rozpatrywanym obiektom (elementom, sytuajom, stanom), natomiast kolumny oznazają atrybuty (ehy). Ilustruje to tabela 1. Tablia elementów zbioru U Tabela 1 U q 1 q j q n u 1 v 11 v 1j v 1n : : : : : : u i v i1 v ij v in : : : : : : u m v m1 v mj v mn Źróło: literatura [1] W tabliy tej u 1,..., u m są nazwami obiektów ze zbioru U zwanego uniwersum, natomiast q 1,..., q m są nazwami atrybutów ze zbioru Q. Na przeięiu i-tego wiersza i j-tej kolumny jest wpisana wartość v ij, która należy o zbioru V qj wartośi (zieziny) przyjmowanyh przez atrybut q j Q. Tablie anyh o tej strukturze noszą nazwę tabli informayjnyh, tabli typu atrybut-wartość lub systemów informayjnyh. Postawy teorii zbiorów przybliżonyh (ang. rough sets theory) zostały opraowane przez prof. Zzisława Pawlaka i traktowane są jako pewna teoria systemów informayjnyh. Systemem informayjnym nazywamy uporząkowaną zwórkę S=[U, Q, V, f], gzie U jest niepustym, skońzonym zbiorem zwanym uniwersum, Q jest niepustym, skońzonym zbiorem atrybutów, V V, V q jest zieziną atrybutu q Q, f : U Q V jest funkją q Q q informaji, taką że f(x, q) V q la każego q Q i x U [1]. Każy wiersz tabeli 1 reprezentuje informaję o opowiaająym mu obiekie u i. W teorii zbiorów przybliżonyh postawowym pojęiem jest relaja nierozróżnialnośi, generowana przez informaję o interesująyh obiektah. Relaja nierozróżnialnośi 40

3 występuje wtey, gy z braku wiezy nie jesteśmy zolni rozróżnić pewnyh obiektów (przemiotów, sytuaji) używają ostępnej informaji. Mogą też występować obiekty (sytuaje) nie rozróżnialne ze wzglęu na wartośi opisująyh je atrybutów. Weźmy po uwagę pozbiór atrybutów B Q. Elementy x, y U nazywamy B- nierozróżnialnymi w systemie informayjnym S wtey i tylko wtey, gy f x (b)=f y (b) la każego b B. x B nierozróni a ln e o y f ( b ) f ( b ) (1) x, y U Relaja nierozróżnialnośi jest używana o efiniowania postawowyh pojęć teorii zbiorów przybliżonyh. Poamy teraz następująe wa pojęia związane ze zbiorami (operaje na zbiorah). B-olnym przybliżeniem (aproksymają) zbioru X w systemie S nazywamy zbiór B określony następująo: B ( X ) b B x { x U : B ( x ) X. (2) B-górnym przybliżeniem (aproksymają) zbioru X w systemie S nazywamy zbiór B określony następująo: B (X ) {x U : B ( x ) X }. (3) Na postawie B-olnego przybliżenia i B-górnego przybliżenia zbioru X określa się B- brzeg zbioru X jako różnię mięzy B-górnym i B-olnym przybliżeniem: BN (X ) B (X ) B (X ) (4) Jeżeli brzeg zbioru X jest pusty, tj., jeżeli BN(X )=, wtey zbiór X jest okłany (śisły) w oniesieniu o B ; w przeiwległym przypaku, tj., jeżeli BN(X ), wtey zbiór X jest przybliżony w oniesieniu o B. Definiuje się też brzeg wewnętrzny zbioru X U oraz brzeg zewnętrzny. Brzegiem wewnętrznym zbioru X U w systemie informayjnym S nazywa się zbiór BN (X ) określony następująo: BN BN (X ) X B (X ). (5) Brzegiem zewnętrznym zbioru X U w systemie informayjnym S nazywa się zbiór określony następująo: ( X ) BN ( X ) X B ( X ). (6) Zbiór X oraz brzeg zbioru X pokazany jest shematyzne na rysunku 1. y 41

4 Rys.1. Zbiór oraz brzeg zbioru X Brzeg wewnętrzny i zewnętrzny zbioru X pokazany jest shematyzne na rysunku 2. Rys.2. Brzeg wewnętzny i zewnętrzny zbioru X Górne przybliżenie zbioru X pokazane jest na rysunku 3. 42

5 Rys.3. Górne przybliżenie zbioru X Dolne przybliżenie zbioru X pokazane jest na rysunku 4. Rys.4. Dolne przybliżenie zbioru X 3. Zastosowanie teorii zbiorów przybliżonyh o określania sytuaji niebezpieznyh w górnitwie Rozważania przeprowazimy na przykłaah. Przykłay bęą otyzyły kopalń, w któryh występują różne zagrożenia. Przykła 1. Bierzemy po uwagę jeenaśie fikyjnyh kopalń, w któryh występują zagrożenia gazowe wutlenkiem węgla, zagrożenie metanowe lub tąpania. Zbiór obiektów U stanowić bęą kopalnie k 1,..., k 11, a zbiór atrybutów Q bęzie jenoelementowy: zagrożenie. 43

6 Zagrożenia występująe w kopalniah przestawia tabela 2. W tabeli tej wprowazono następująe oznazenia: g występowanie zagrożenia gazowego wutlenkiem węgla, m występowanie zagrożenia metanowego, t występowanie zagrożenia tąpaniami. Tabela 2 Tablia informayjna la kopalń Uniwersum KOPALNIE k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6 k 7 k 8 k 9 k 10 k 11 Atrybut ZAGROŻENIE g g, m g g, m g, m, t t m, t m, t g, m, t t g Kopalnie, które w sensie relaji nierozróżnialnośi (mają te same wartośi atrybutów) są takie same (są nierozróżnialne), tworzą tzw. zbiory elementarne. W naszym przykłazie występują następująe zbiory elementarne: E 1 = {k 1, k 3, k 11 }, E 2 = {k 6, k 10 }, E 3 = {k 2, k 4 }, E 4 = {k 7, k 8 }, E 5 = {k 5, k 9 }. Np. zbiór elementarny E 3 rozumiemy w ten sposób, że są to kopalnie w któryh występują zagrożenia gazowe wutlenkiem węgla lub zagrożenia metanowe lub obywa te zagrożenia łąznie, na pewno jenak nie występują tam tąpania. W rozumieniu teorii zbiorów przybliżonyh E 1, E 2 są zbiorami okłanymi, ponieważ w E 1 są kopalnie, w któryh wyłąznie występują zagrożenia wutlenkiem węgla (nie ma tam zagrożeń metanowyh ani tąpań), a w E 2 są kopalnie, w któryh wyłąznie występują zagrożenia tąpaniami (nie ma tam zagrożeń wutlenkiem węgla ani metanowyh). Chą wymienić kopalnie na postawie tabeli 2, w któryh występują zagrożenia gazowe wutlenkiem węgla, napotykamy na pewien problem. Wiemy na pewno, że występują one w kopalniah k 1, k 3, k 11 E 1 ; na pewno nie występują w kopalniah k 6, k 10 E 2 oraz w kopalniah k 7, k 8 E 4. Co o kopalni k 2, k 4 E 3 oraz k 5, k 9 E 5 nie jesteśmy pewni, ponieważ tablia 2 (w przypaku występowania wielu wartośi atrybutu) nie preyzuje okłanie które zagrożenie występuje (może wystąpić tylko jeno z nih lub kilka jenoześnie). Możemy natomiast poać olne i górne przybliżenie zbioru kopalń, w któryh występują zagrożenia gazowe wutlenkiem węgla. Dolnym przybliżeniem jest największy zbiór kopalń, w któryh na pewno występują zagrożenia gazowe wutlenkiem węgla. Tak wię olnym przybliżeniem jest E 1 = {k 1, k 3, k 11 }. Górnym przybliżeniem jest najmniejszy zbiór kopalń, w któryh być może występują zagrożenia gazowe wutlenkiem węgla. Tak wię górnym przybliżeniem jest E E E = {k , k 2, k 3, k 4, k 5, k 9, k 11 }. 44

7 Gybyśmy teraz rozpatrywali poobnie zbiór kopalń o zagrożeniah gazowyh wutlenkiem węgla lub metanem, to olnym przybliżeniem tego zbioru byłby E E = {k 1 3 1, k 2, k 3, k 4, k 11 }, natomiast górnym przybliżeniem tego zbioru byłby E E E E = {k , k 2, k 3, k 4, k 5, k 7, k 8, k 9, k 11 }. Przykła 2. Przykła otyzy rejonów poziemnyh w któryh mogą występować różne zagrożenia, Zbiór obiektów U stanowić bęą rejony r 1,..., r 10, a zbiór atrybutów Q bęzie zteroelementowy: t temperatura w stopniah Celsjusza, m występowanie zagrożenia metanowego, s wyrzuty skał, w występowanie wstrząsów poziemnyh, Wartośi atrybutów przestawione są w tabeli 3. Tablia informayjna la rejonów Tabeli 3 Uniwersum Atrybuty REJONY t m s w r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 r 8 r 9 r brak małe małe śrenie śrenie śrenie uże uże uże b. uże nie nie nie rzako rzako rzako zęsto zęsto zęsto b. zęsto 10 3 J 10 3 J 10 3 J 10 1 J 10 1 J 10 1 J 10 4 J 10 4 J 10 4 J 10 2 J Biorą po uwagę wszystkie atrybuty mamy następująe zbiory elementarne: E 1 = {r 1 }, E 2 = {r 2 }, E 3 = {r 3 }, E 4 = {r 4, r 5 }, E 5 = {r 6 }, E 6 = {r 7 }, E 7 = {r 8, r 9 }, E 8 = {r 10 }. Gy weźmiemy po uwagę tylko trzy atrybuty np. m, s, w, to otrzymamy następująe zbiory elementarne: E 1 = {r 1 }, E 2 = {r 2, r 3 }, E 3 = {r 4, r 5, r 6,}, E 4 = {r 7, r 8, r 9 }, E 5 = {r 10 }. Biorą po uwagę zbiór X={r 1, r 3, r 8, r 9 } (z wszystkimi atrybutami), to olne przybliżenie tego zbioru jest równe górnemu przybliżeniu i wynosi E E E ={r , r 3, r 8, r 9 }. Dla zbioru Y={r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 8, r 9 } (biorą po uwagę tylko trzy atrybuty m, s, w) olnym przybliżeniem jest E E ={r 1 2 1, r 2, r 3 }, a górnym przybliżeniem jest E E E ={r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, r 6, r 7, r 8, r 9 }. E Poejmowanie eyzji z wykorzystaniem tabli eyzyjnyh Informayjne systemy z warunkowymi atrybutami i eyzyjnymi atrybutami nazywane są tabliami eyzyjnymi. Jeżeli zbiór atrybutów w systemie informayjnym (tabela 1) rozzielimy na wie zęśi tzw. atrybuty warunkowe i atrybuty eyzyjne, to tak otrzymaną tablię nazywamy tablią eyzyjną. Zbiór U w tym przypaku bęą tworzyły pewne reguły 45

8 postępowania. Tablię eyzyjną można traktować jako reprezentają zbioru reguł eyzyjnyh. Wiersze tabliy eyzyjnej zawierają reguły. Każa reguła określa eyzje, które mają być pojęte, po warunkiem spełnienia opowienih warunków. Tablia eyzyjna przestawiona jest w tabeli 2. Tabela 2 Tablia eyzyjna Nr reguły 1 Atrybuty warunkowe Atrybuty eyzyjne 1 j k 1 j n v 11 1 j v v 1 k v 11 1 j v v : : : : : : : : : : : I v v v i1 ij ik v v v : : : : : : : : : : : m v v v m 1 mj mk i1 v v v m 1 ij mj 1 n in mn I-tą reguła eyzyjna zawarta w tabeli 2 interpretowana jest następująo: IF ( 1 = v... i1 k = v ) THEN ( ik 1 = v n = v ) in Innymi słowy, gy zespół warunków jest spełniony, wtey poejmowany jest opowieni zespół eyzji. Przykła 3. Prosty przykła pokazany jest na poniższej tabliy informayjnej (tabela 3). Tablia opisuje sześć samohoów przy pomoy ih eh (atrybutów) takih jak: zużyie paliwa F, jakość Q, ena sprzeaży P i popularność (zainteresowanie samohoem) M. Nasz główny problem może być harakteryzowany jako stosunek mięzy wybieranymi ehami samohoów i naszego zainteresowania. Cehy F, Q, P traktować bęziemy jako atrybuty warunkowe, a ehę M jako atrybut eyzyjny. Przykła systemu informayjnego Tabela 3 Nr Atrybuty warunkowe Atr. e. samohou F Q P M 1 uże barzo obra śrenia niewielka 2 barzo uże obra śrenia niewielka 3 uże obra mała niewielka 4 śrenie barzo obra śrenia uża 5 barzo uże barzo obra mała niewielka 6 uże obra mała uża W szzególnośi, możemy tu ientyfikować główne zynniki otyząe i eyująe o powozeniu rynku samohoowego. Każy wiersz tabliy eyzyjnej określa eyzyjną regułę, która wyszzególnia eyzję (ziałanie) w przypaku spełnienia warunków poanyh przez atrybuty warunkowe. Dla przykłau z tabeli 3 warunek: F = uże, Q = barzo obra, P = śrenia określa eyzję M=, niewielka. Reguły eyzyjne 3 i 6 w tabeli 1 mają te same atrybuty warunkowe, ale inne atrybuty eyzyjne. Takie reguły nazywane są niezgonymi (nieeterministyznymi, 46

9 koliująymi); inazej, reguły są onoszone o konkretnyh ale pewnyh, eterministyznyh, niekonfliktowyh sytuaji. Tablie eyzyjne zawierająe niezgone reguły eyzyjne nazywane są niezgonymi (nieeterministyznymi, źle określonymi); w przeiwnym wypaku tablie eyzyjne są eterministyznymi (konsekwentnymi, obrze określonymi). Przykła Zakońzenie Praa niniejsza jest pierwszą próbą zastosowania teorii zbiorów przybliżonyh w górnitwie. Wykorzystano ją o opisu i klasyfikaji kopalń i rejonów górnizyh o różnym stopniu zagrożenia. Tą teorię można wykorzystywać w sytuajah niepewnyh, gy nie jesteśmy pewni, zy ane zagrożenie na pewno występuje, ale mamy poejrzenie, że może wystąpić. Sytuaji zagrożeniowyh w górnitwie jest barzo użo i nie zawsze można przewizieć zy wystąpią. Teoria zbiorów przybliżonyh jest innym sposobem opisu zjawisk niepewnyh. W prezentowanej pray przestawiono jeynie niektóre wybrane elementy teorii zbiorów przybliżonyh. Z uwagi na wielkie znazenie bezpiezeństwa pray górników w kopalni wyaje się elowe alsze baania w tym zakresie uwzglęniająe nowo powstałą teorię zbiorów przybliżonyh. Literatura 1. Mrózek A., Płonka L.: Analiza anyh metoą zbiorów przybliżonyh. Zastosowania w ekonomii, meyynie i sterowaniu. Akaemika Ofiyna Wyawniza PLJ. Warszawa Pawlak Z.: Systemy informayjne. Postawy teoretyzne. WNT. Warszawa Pawlak Z.: Teoria zbiorów przybliżonyh. II Krajowa Konferenja Metoy i systemy komputerowe w baaniah naukowyh i projektowaniu inżynierskim. Kraków Pawlak Z.: Sets, Fuzzy Sets an Rough Sets. 5 International Workshop Fuzzy-Neuro Systems 98. Munih, Germany, Polkowski L., Skowron A. (Es.). Rough Sets an Curren Trens in Computing, Leture Notes in Artifial Intelligene 1424, Springer-Verlag. First International Coferene RSCTC 98. Warszawa, zerwie